【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：第1章单元综合检测1(含答案解析)

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【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：模块综合测试2(含答案解析)

选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1 D ．∃x ∈R ，x <－1 解析：全称命题的否定是特称命题．答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ． x 2－y 2＝2 B ． x 23－y 2＝1C ． x 2－y 2＝3D ． x 2－y 23＝1解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( ) A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题 C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ． (0,1) B ． (－∞，1) C ． (0，＋∞)D ． (0，12)解析：f ′(x )＝3x 2－6b ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴f ′(x )＝0在x ∈(0,1)时有解，∴⎩⎨⎧f f∴00，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值为( )A ． 12B ．－12C ． 6D ．－6 解析：f (x )＝12x ＋3x ，f ′(x )＝3－12x 2，由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2(舍去)， ∴f (x )在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝12. 答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．[2014·贵州六校联盟高三联考]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：由条件可知当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．所以选C.答案：C10．[2014·聊城高二检测]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ． 1B ． 2C ．22D ． 3解析：由题意知，过点P 作与直线y ＝x －2平行的直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设切点P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P (1,1)，d ＝|1－1－2|2＝ 2.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ． 83B ． 163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝3x －得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a)，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．[2014·云南师大附中月考]对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程 f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的图象的对称中心为________．解析：由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，解得x ＝12，且f (12)＝1，所以此函数图象的对称中心为(12，1)．答案：(12，1)16．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R)，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )．但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0. 又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立，故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a (a ∈R)，g (x )＝x 2＋2x ＋m (x <0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝0，函数y ＝f (x )在A (2，f (2))处的切线与函数y ＝g (x )相切于B (x 0，g (x 0))，求实数m 的值．解：(1)f ′(x )＝1－axx，x >0. 若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，＋∞)上单调递减．(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x . f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(2)＝12.∴函数f (x )在A (2，ln2)处的切线方程为y ＝12(x －2)＋ln2，易得函数g (x )在B (x 0，g (x 0))处的切线方程为y ＝(2x 0＋2)·(x －x 0)＋x 20＋2x 0＋m ，整理得：y ＝(2x 0＋2)x －x 20＋m . 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧12＝x 0＋ln2－1＝－x 20＋m，解得x 0＝－34，m ＝－716＋ln2.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．解：(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0. 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1. 解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )．由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0，则2x －2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)．代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·银川唐徕回民中学三模]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ， (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间；(2)设直线l 为函数f (x )的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一x 0，使直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解：(1)证明：(1)φ(x )＝ln x －x ＋1x －1，故φ′(x )＝1x ＋2x －2，显然当x >0且x ≠1时都有φ′(x )>0，故函数φ(x )在(0,1)和(1，＋∞)内均单调递增．(2)因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，设直线l 与曲线y ＝g (x )切于点(x 1，e x 1)，因为g ′(x )＝e x ，所以e x 1＝1x 0，从而x 1＝－ln x 0，所以直线l 的方程又为y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，故ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，从而有ln x 0＝x 0＋1x 0－1，由(1)知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)内单调递增，又因为φ(e)＝lne －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)>0，故φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(e ，e 2)内存在唯一的零点x 0，此时，直线l 与曲线y ＝g (x )相切．22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋4m m 2＋32－4·－2m 2＋3]＝24m 2＋m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·m 2＋1＋4m 2＋1＋≥124＋＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值．所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：第1章习题课2(含答案解析)

选修1-1 第一章习题课(2)一、选择题1．[2014·云南师大附中阶段检测]下列命题中是假命题的是( )A ． a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若α＝60°，则cos α＝12解析：本题考查命题真假性的判断．因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，方向不一定相同，所以a ＝b 不一定成立，故选B.答案：B2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．答案：B3．与命题“若m ∈M ，则n ∉M ”等价的命题是( )A ．若m ∈M ，则n ∈MB ．若n ∉M ，则m ∈MC ．若m ∉M ，则n ∈MD ．若n ∈M ，则m ∉M 解析：原命题与其逆否命题等价，故选D.答案：D4．[2013·山东高考]给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵¬p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒¬p ，但¬p q ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬q p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.答案：A5．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C．a2>b2D．a3>b3解析：a>b＋1⇒a>b，a>b a>b＋1.答案：A6．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则¬p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：¬p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，¬q：5x－6≤x2，即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.∴¬p⇒¬q，但¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件．答案：A二、填空题7．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为__________，命题的否定为__________．解析：命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a<b，则2a≥2b”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b8．命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：原命题的逆命题是真命题，所以原命题的否命题是真命题．答案：真9．“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x ∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a ＝0.综上知，“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．答案：充要三、解答题10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)在同一个三角形中大角所对的边大于小角所对的边；(2)当x2－2x＋1＝0时，x＝1.解：(1)在同一个三角形中，若一条边是大角所对的边，则它大于小角所对的边，真命题．(2)若x2－2x＋1＝0，则x＝1，真命题．11．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.解：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即¬q⇒¬p，但¬p¬q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．12．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；(2)求a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．解：M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5<x≤8}，取a＝0，但M∩P＝{x|5<x≤8}推不出a＝0.所以a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．(2)当M∩P＝{x|5<x≤8}时，－5≤a≤3，此时有a≤3，但当a≤3时，推不出M∩P＝{x|5<x≤8}．所以a≤3是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．。

【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：3.1.2瞬时速度与导数(含答案解析)

选修 1-1第三章3.1课时作业22一、选择题f x0＋Δx － f x0中，Δx不行能 ()1．在 f′(x0)＝ limΔxΔx→0A．大于0B．小于0C．等于0D．大于 0或小于 0分析：由导数定义知Δx不过无穷趋近于0，应选 C.答案： Cf x0－Δx － f x0等于() 2．设 f(x)在 x＝ x0处可导，则 limΔxΔx→0A．－ f′(x0) B ．f ′(－x0)C． f ′(x0)D． 2f′(x0)f x0－Δx － f x0分析： limΔxΔx→0＝lim－ f x0－ f x0－ΔxΔxΔx→0＝－ lim f x0－fx－Δx＝－f′(xΔx→0Δx0)．答案： A23．设函数 f(x)在点 x0邻近有定义，且 f(x0＋Δx)－ f(x0)＝ aΔx＋ b(Δx)(a，b 为常数 )，则 () A． f′(x0)＝－ a B ． f′(x0)＝－ bC． f′(x0)＝ a D． f′(x0)＝ b分析：∵ f( x＋Δx)－ f(x2，00)＝aΔx＋b(Δx)∴f x0＋Δx －f x0＝a＋bΔx.Δxf x0＋Δx － f x0(a＋bΔx)．∴ limΔx ＝ limΔx→0Δx→0∴f′(x0)＝ a.应选 C.答案： C4．一物体的运动方程是 s＝1a t2(a 为常数 )，则该物体在t＝ t0时的刹时速度是 ()2A． at0 B ．－ at01C ． 2at 0D ． 2at 0s s t 0 ＋ t － s t 0 1分析：∵t ＝ t＝2a t ＋ at 0，Δs∴ lim＝at 0.Δt→0 Δt答案： A二、填空题x5．过曲线 y ＝ 2 上两点 (0,1)， (1,2)的割线的斜率为 ______．2－ 1分析：由均匀变化率的几何意义知k ＝＝ 1.答案： 1f x－ f a2，则 lim＝ ________. 6．已知 f( x)＝ x x →ax － a 分析：令 x － a ＝Δx，则 x ＝ a ＋Δx，f x － f a f a ＋Δx － falimx － a＝ limΔxx →aΔx→02－2－ 22＝ lima ＋ Δx aΔx ＝ lim＝－2.Δx→0Δx→0aa ＋Δx a2答案：－ a 21，且 f ′(m)＝－ 1，则 f(m) ＝________.7．已知 f( x)＝ x 16分析：∵ f( x)＝1，x∴ f ′(m)＝ lim f m ＋ Δx － f mΔxΔx→01 － 1－ 11＝ limm ＋Δx mΔx ＝ lim＝－2Δx→0Δx→0mm ＋ Δx m.又 f ′(m)＝－1 1116 ，∴－ 2m＝－16.1 1∴m ＝ ±4.∴ f( m)＝ m ＝ ±4.1 答案： ±4三、解答题x ， x ≥08．已知函数 f(x)＝1＋ x 2， x<0 ，求 f ′(1)f ′(·－1)的值．Δy f＋Δx －f 解：当 x＝ 1 时，＝ΔxΔx＝1＋Δx－ 1＝1.Δx1＋Δx＋ 1由导数的定义，得f′(1)＝ lim1＝1.Δx→01＋Δx＋ 12Δy f － 1＋Δx － f－当 x＝－ 1 时，＝ΔxΔx1＋－ 1＋Δx2－1－－2＝Δx＝Δx－2.由导数的定义，得f′(－1)＝ lim(Δx－2) ＝－ 2.Δx→0因此 f′(1)f′(·－1) ＝1×(－2)＝－ 1. 29．高台跳水运动中，运动员相关于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位： s)之间的关系式为h(t)＝－ 4.9t2＋ 6.5t＋ 10，求运动员在t＝65s 时的刹时速度，并解说此时的98运动情况．65解：令 t0＝，Δt为增量．则 h t 0＋Δt－ h t0Δt－t0＋Δt2＋t0＋Δt＋ 10＋ 4.9t02－6.5t0－ 10＝Δt－ 4.9Δt t0＋Δt＋ 6.5Δt＝Δt＝－ 4.9(6549＋Δt)＋ 6.5.∴lim h t0＋Δt－ h t0Δt→0Δt65＝Δt→0lim[－ 4.9(49＋Δt)＋ 6.5] ＝0，65即运动员在t0＝s 时的刹时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．。

人教版高中数学选修1-1综合测试卷B(含答案).doc

数学选修1-1测试卷一、选择题：1、已知a、b为实数，则2" >2"是的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、给出命题:若函数y = .f(x)是幕函数,则函数y = f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A.OB.lC.2D.33、已知命题p:H VxG[l,2],x2-a>0,,J^题/?,/+2仮+2-0 = 0”,若命题“0人厂是真命题，则实数。

的取值范围是 ( )A.(-oo,-2]U{l}B.(-汽-2] U [1,2]C.[l,+8)D.[-2,l]4、设函数/(兀)在定义域内可导,y = /(x)的图象如左图所示，则导函数y = /©)可能为( )2 25、设片和坊为双曲线—1(。

>0#>0)的两个焦点,若耳,只，P(0,2b)是正三角形的三个顶点, CT b~则双曲线的离心率为()3,5A.-B.2C.-D.32 26、设斜率为2的直线/过抛物线y2 = ax{a 0)的焦点F,且和y轴交于点九若厶0AF(0为朋标原点)的而积为4,则抛物线方程为( )A. =±4xB. y2=±SxC. y2 = 4xD. y2 = 8x7、如图，曲线y = f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q,过P作PT垂直于x轴于T,若△P7Q的面积为-，则y与y'的关系满足(・)A. y =)/B. y = -y"C. y - y1D. y2 - y'8^ 己知)；=/(x)是奇函数，当XG (0,2) lit, f(x) = Inx-ax{a >—)，当xw (-2,0)吋,/(x)的最小值为1，则a的值等于( )1 1 」A.—B.—C.—D..14 3 29、设函数y = /(X)在(。

0)上的导函数为广(x)，r(x)在(a,b)上的导函数为f\x)，若在(a,b)上,/"(X)<0恒成立，贝I」称函数函数/(兀)在(Q0)上为“凸函数已知当m<2时,/(兀)=-x3-—nu2 +无在6 2 (—1,2)上是“凸函数二则f(x)在(—1,2)上()A.既有极人值，也有极小值B.既有极人值，也有最小值C.有极大值，没有极小值D.没有极大值,也没有极小值己知两条曲线y = x2~l与）vi-F 在点兀。

【金版优课】高中数学人教B版选修1-1 模块综合测试2 Word版含解析

选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题．答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ． x 2－y 2＝2B ． x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ． (0,1) B ． (－∞，1) C ． (0，＋∞) D ． (0，12)解析：f ′(x )＝3x 2－6b ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴f ′(x )＝0在x ∈(0,1)时有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0.∴00，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值为( )A ． 12B ．－12C ． 6D ．－6解析：f (x )＝12x ＋3x ，f ′(x )＝3－12x 2，由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2(舍去)， ∴f (x )在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝12. 答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．[2014·贵州六校联盟高三联考]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：由条件可知当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．所以选C.答案：C10．[2014·聊城高二检测]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ． 1B ． 2C ．22D ． 3解析：由题意知，过点P 作与直线y ＝x －2平行的直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设切点P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P (1,1)，d ＝|1－1－2|2＝ 2.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ． 83B ． 163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．[2014·云南师大附中月考]对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程 f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的图象的对称中心为________．解析：由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，解得x ＝12，且f (12)＝1，所以此函数图象的对称中心为(12，1)．答案：(12，1)16．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )．但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件． (2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立，故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a (a ∈R )，g (x )＝x 2＋2x ＋m (x <0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝0，函数y ＝f (x )在A (2，f (2))处的切线与函数y ＝g (x )相切于B (x 0，g (x 0))，求实数m 的值．解：(1)f ′(x )＝1－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，＋∞)上单调递减．(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x . f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(2)＝12.∴函数f (x )在A (2，ln2)处的切线方程为y ＝12(x －2)＋ln2，易得函数g (x )在B (x 0，g (x 0))处的切线方程为y ＝(2x 0＋2)·(x －x 0)＋x 20＋2x 0＋m ，整理得：y ＝(2x 0＋2)x －x 20＋m . 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧12＝2(x 0＋1)ln2－1＝－x 20＋m ，解得x 0＝－34，m ＝－716＋ln2.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．解：(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0. 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )．由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0，则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)．代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·银川唐徕回民中学三模]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ， (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间；(2)设直线l 为函数f (x )的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一x 0，使直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解：(1)证明：(1)φ(x )＝ln x －x ＋1x －1，故φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2，显然当x >0且x ≠1时都有φ′(x )>0，故函数φ(x )在(0,1)和(1，＋∞)内均单调递增．(2)因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，设直线l 与曲线y ＝g (x )切于点(x 1，e x 1)，因为g ′(x )＝e x ，所以e x 1＝1x 0，从而x 1＝－ln x 0，所以直线l 的方程又为y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，故ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，从而有ln x 0＝x 0＋1x 0－1，由(1)知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)内单调递增，又因为φ(e)＝lne －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)>0，故φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(e ，e 2)内存在唯一的零点x 0，此时，直线l 与曲线y ＝g (x )相切．22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值．所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

人教版高中数学选修1-1第一章单元测试(一)-含答案

2018-2019学年选修1-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ，0y ，则0xy"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ，则AB ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ，则b B ，那么命题p 是（）A ．若a A ，则b B B ．若a A ，则b B C ．若bB ，则aAD ．若bB ，则aA5．命题“ｐ且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②22a b ；③2aa b ，其中可以作为a b 的必要非充分条件的命题是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ”是“B ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量,3x xR a，则“4x”是“5a”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（）A ．,x y 锐角，sin sin s )n (i x y x y B ．,x y 锐角，sin cos c )s (o x y x y C ．,x y 锐角，cos sin c )s (o x y x y D ．,x y锐角，cos cos s )n (i xy xy10．以下判断正确的是（）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x Z ，32xx ”的否定是“x Z ，32xx ”C ．“=2”是“函数()sin y x为偶函数”的充要条件D ．“0b”是“关于x 的二次函数2f xaxbx c 是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．已知命题p ：函数log 05()3f x x ．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k<0，则函数()k h x x 在(0,)上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ”且“q ”为假12．已知向量),(x y a ，co ()s ,sin b，其中x y R ，，，若4ab ，则2a b成立的一个必要不充分条件是（）A ．λ>3或λ＜－3B ．λ>1或λ＜－1C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令221:0p x ax x ，如果对xR ，p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21aa 的必要不充分条件________．16．给定下列结论：①已知命题p ：?x ∈R ，tanx ＝1；命题q ：?x ∈R ，210x x ．则命题“p q ”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋by ＋1＝0，则12l l 的充要条件是3a b；③若1sin 2，1sin3，则tan α＝5tan β；④圆224210xyx y与直线12yx ，所得弦长为2．其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：?非零向量a 、b 、c ，若0a b c，则bc ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210axax 恒成立；Q ：关于x的方程20xx a有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程22100ax x a有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a<－1．20．(12分)已知p：2290x x a，q：22430680x xx x，且p是q的充分条件，求实数a的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x ＋2)和Q(cosx，－1)，?x∈[0，π］，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠０，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b．2018-2019学年选修1-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x，0y，则0xy ”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy，则0x，0y ”，是假命题，所以否命题也是假命题，所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ．2．【答案】B 【解析】可设1,2A，1,2,3B，满足AB ，但A B ，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直?直线l 与平面α垂直，故选C ．4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ”．故选A ．5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题?p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题?p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ．6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断．7．【答案】B【解析】由于“A?B ，A /B ”等价于“A B ，A /B ”，故“A ”是“B ”的必要不充分条件．故选B ．8．【答案】A【解析】由“4x ”，得)3(4,a ，故5a；反之，由5a ，得4x ．所以“4x ”是“5a”的充分而不必要条件．故选A ．9．【答案】D 【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y ，而当,x y锐角时，0cos 1y ，sin 1x，所以cos cos cos sin sin cos s (in )xy x y x yxy ，故选项D 正确．10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为x Z ，320xx ；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确．11．【答案】 D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断．12．【答案】 B 【解析】由已知1b ，∴44a b，224xy．又∵22cos sinsin4sin 4x y xy a b ，由于2a b成立，则24，解得λ>2或λ＜－2，这是2a b 成立的充要条件，因此2a b成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ＜－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．14．【答案】1a【解析】由已知xR ，2210axx 恒成立．显然0a不合题意，所以0440aa?1a ．15．【答案】1a (不惟一)【解析】2()(0)21a a 的解集记为B ＝{1|a a且a ≠2}，所找的记为集合1Aa a ，则BA ，B /A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q 假，①正确；对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0；对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；对于④可求得弦长为455，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ：?非零向量a 、b 、c ，若0abc，使bc ．p 为真命题．否命题：?非零向量a 、b 、c ，若0a b c，则b c ．否命题为真命题．18．【答案】1,0,44．【解析】命题P ：对任意实数x 都有210axax恒成立，则“a ＝0”，或“a>0且240aa ”．解得0≤a<4．命题Q ：关于x 的方程20xx a 有实数根，则140a，得14a．因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题，故PQ 为真命题，或P Q 为真命题，则0414aa a或或0414a a，解得a<0或144a．所以实数a 的取值范围是1,0,44．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程22100axx a有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ，并且10a，从而a<0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a|a<0}的真子集，a<－1符合题意．所以结论得证．20．【答案】a ≤９．【解析】由2243068x x xx，得1324x x，即2<x<3．∴q ：2<x<3．设290|2Ax xx a ，B ＝{x|2<x<3}，∵p q ，∴q?p ．∴B?A ．∴2<x<3包含于集合A ，即2<x<3满足不等式2290xxa．∴2<x<3满足不等式292ax x ．∵当2<x<3时，222981819818192229,21616488xx xx x，即2819928x x，∴a ≤９．21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直，得cosx(2cosx ＋1)－(2cos2x ＋2)≠０，变形得：22cos cos 0xx ，所以cosx ≠０或1cos 2x．而当0,x时，cos 2，1cos32，故存在2x或3x，使向量OP OQ 成立，因而p 是假命题．22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴32332232111a bab a b a a a a aa323222133120aaaaaaa aa．充分性：∵33220abab ab，即22220a b a ab baab b，∴2210aab ba b ，又ab≠０，即a≠０且b≠０，∴22223024b ba ab b a，只有1a b．综上可知，当ab≠０时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b．。

高中人教B版数学选修1-1练习：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列语句中是命题的有()①空集是任何集合的真子集.②3x-2>0.③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④把门关上.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A2.下列命题中的假命题是()A.∃x∈R,lg(x-1)=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,(x-1)3>0D.∀x∈R,3x>0答案:C3.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为()A.(3,9)B.(-3,9)答案:C4.若命题“如果p,那么q”为真,则()A.q⇒pB.p⇒qC.q⇒pD.q⇒p答案:C5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:抛物线y2=8x的焦点是F(2,0),准线方程是x=-2,如图所示,|P A|=4,|AB|=2,所以|PB|=|PF|=6,故选B.答案:B6.若f(x a>b>e,则有()A.f(a)>f(b)B.f(a)<f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)f(b)>1解析:f'(x x>0).令f'(x)<0,即1-ln x<0,解得x>e.则f(x)在(e,+∞)上是减函数,又a>b>e,所以f(a)<f(b).答案:B7.若双曲A.16x±9y=0B.9x±16y=0C.4x±3y=0D.3x±4y=0解析:由离心率e c2=a2+b2,y=3x±4y=0.答案:D8.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()解析:由题意a=2b,故c e答案:D9.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0解析:当a=0时,x=A,D;当a=1时,x=-1,可排除选项B.从而选C.答案:C10.已知F1,F2为椭a>b>0)的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e解析:因为△AF1B的周长为4a=16,所以a=4.又e c=故b2=a2-c2=4,所以椭圆的方程.答案:D11.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=().1C.2D.0解析:由切线方程知,函数y=f(x)在点P(5,f(5))处切线斜率为-1,即f'(5)=-1.将x=5代入切线方程y=-x+8得y=3,所以f(5)=3,故f(5)+f'(5)=2.答案:C12.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f'(0)=6,则k的值为()A.0B.-1C.3D.-6解析:令g(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k),则f(x)=xg(x).故f'(x)=g(x)+xg'(x).又因为f'(0)=6,所以g(0)=-6k3=6,解得k=-1.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.抛物线y.答案:(0,1)14.已知命题p:∀x∈R,x2<0,则p:.答案:∃x∈R,x2≥015.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处有极值0,则m=,n=.解析:f'(x)=3x2+6mx+n.由题意解经检验知m=1,n=3时不符合题意.答案:2916.下列命题中:①若p,q为两个命题,则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;②若p为:∃x∈R,x2+2x+2≤0,则p为:∀x∈R,x2+2x+2>0;③若椭F1,F2,且弦AB过点F1,则△ABF2的周长为16;④若a<0,-1<b<0,则ab>ab2>a.所有正确命题的序号为.解析:若p且q为真,则p,q都真,故p或q为真;若p或q为真,则p,q可能只有一个为真,故p 且q可能为假.所以“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件.①为假命题.由存在性命题的否定形式知,②是真命题.由椭圆定义及已知条件得△ABF2的周长=4a=4×5=20.故③是假命题.因为a<0,-1<b<0,所以ab>0,ab2<0,则ab>ab2.因为-1<b<0,所以b2<1.又因为a<0,所以ab2>a.故④是真命题.答案:②④三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)求满足下列条件的抛物线方程:(1)过点(-2,3);(2)焦点在x轴上,此抛物线上的点A(4,m)到准线的距离为6.分析:(1)分焦点在x轴和y轴两种情况设抛物线方程,将点的坐标代入即可;(2)设其方程为y2=2px(p>0),通过此抛物线上的点到准线的距离6=p即可.解:(1)当抛物线的焦点在x轴上时,设其方程为y2=mx.∵抛物线过点(-2,3),∴32=-2m,解得m=故所求方程为y2=当抛物线的焦点在y轴上时,设其方程为x2=my.∵抛物线过点(-2,3),∴(-2)2=3m,解得m故所求方程为x(2)∵抛物线的焦点在x轴上且过A(4,m),∴可设其方程为y2=2px(p>0).由题意得6=p=4.故所求方程为y2=8x.18.(12分)已知命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.分析:写出命题p和q,分别求出其对应的解集A和B.根据p是q的必要不充分条件,可知B⫋A,然后求出a即可.解:p:(4x-3)2>1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0.解(4x-3)2>1,得x>1或x解x2-(2a+1)x+a(a+1)>0,得x>a+1或x<a.∵p是q的必要不充分条件,,解得0≤a≤故a的取值范围19.(12分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.分析:利用用导数求函数单调区间和最值的方法求解.解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)<0,即-3x2+6x+9<0,得x>3或x<-1,故f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).(2)令f'(x)=0,即-3x2+6x+9=0,解得x=-1或x=3(舍).当-2<x<-1时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,-1)内单调递减;当-1<x<2时,f'(x)>0,故f(x)在(-1,2)上单调递增.f(x)的最大值在区间端点值处取得,最小值在x=-1处取得.∵f(-2)=2+a<f(2)=22+a,∴22+a=20,∴a=-2.∴f(-1)=-(-1)3+3(-1)2+9×(-1)-2=-7.故f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.20.(12分)求以坐标轴为对称轴,一焦点坐标为(0y=3x-2所得弦的中点的横坐标.分析:根据焦点坐标可设椭圆方程a>b>0),然后利用设而不求的方法解题.解:根据已知条件可设椭圆方程a>b>0).设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程将②代入①化简整理,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.由根与系数的关系,得x1+x又弦的中点的横坐标③由焦点坐标为(0c=故a2=b2+2.④③与④联立,解得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程.21.(12分)已知函数f(x)=+bx+c,(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.分析:(1)f(x)在(-∞,+∞)上是增函数⇔方程f'(x)=0的判别式Δ≤0.然后解不等式即可.(2)由f(x)在x=1处取得极值知,x=1是f'(x)=0的根,可求得b的值;由x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立⇔f(x)在[-1,2]上的最大值小于c2,可求得c的范围.解:(1)由f(x)=+bx+c得,f'(x)=3x2-x+b.∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴Δ=1-12b≤0,解得b≥故b的取值范围(2)∵f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=2+b=0,∴b=-2.故f(x)=x-2x+c,f'(x)=3x2-x-2.由f'(x)=0,解得x=x=1.当x<,f'(x)>0,,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在x=x∈[-1,2]时,f(-1f(2)=2+c.此时,f(x)max=f(2)=2+c.由题意得,2+c<c2,解得c>2或c<-1.故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).22.(14分)设F1,F2为椭圆E:x0<b<1)的左,右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求|AB|;(2)若直线l的斜率为1,求b的值.分析:(1)△ABC的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4.|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列⇒2|AB|=|AF2|+|BF2|.联立可求得|AB|.(2)用设而不求的方法解题.解:(1)由椭圆的定义知|AB|+|AF2|+|BF2|=4.①因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|, ②①②联立解得|AB|(2)设F1的坐标为(-c,0),则直线l的方程为y=x+c,其中c2=1-b2,c>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x x1x因为直线AB的斜率为1,所以|AB|2-x1|,2-x1|.+x2)2-4x1x2b1所以b的值.。

高中数学人教B版选修1-1 模块综合测试1 含解析

选修1－1 模块综合测试(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x ∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0或x >1B ． x <－1或0<x <1C ． x >－1D ． x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x >0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·西安模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤bD ．若a ＋1b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A ． ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B ． ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC ．函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD ．若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值范围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值范围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．y 24－x 22＝1D ．y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a>2. 答案：C8．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 的定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ． m ≥12B ． m >12C ． m <12D ． m <－12解析：∵f (x )＝mx 2＋ln x －2x ∴f ′(x )＝2mx ＋1x－2由题意知f ′(x )＝2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立．即2m ≥2x －1x 2在(0，＋∞)上恒成立．设t ＝－1x 2＋2x ＝－(1x －1)2＋1故当x ＝1时，t 有最大值1. 即2m ≥1，所以m ≥12.答案：A9．[2014·山东高考]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ． x ±2y ＝0 B ． 2x ±y ＝0 C ． x ±2y ＝0D ． 2x ±y ＝0解析：椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案：A10．[2014·哈师大附中二模]当a >0时，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的大致图象是( )解析：由题f ′(x )＝(x 2－2ax )′e x ＋(x 2－2ax )(e x )′＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝e x [x 2＋(2－2a )x －2a ]，因为e x >0(x ∈R )，令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ＝0，其判别式Δ＝(2－2a )2－4(－2a )＝4(a 2＋1)>0，因为二次项系数1>0，故g (x )>0的解的区间为(a ＋1＋a 2－1，＋∞)或(－∞，a －1－1＋a 2)，则f ′(x )>0的解的区间为(a ＋1＋a 2－1，＋∞)或(－∞，a －1－1＋a 2)，即f (x )先递增后递减再递增，可以排除A ，D ；容易判断f (x )＝(x 2－2ax )e x 不为奇函数，其图象不关于原点对称，故排除C ，综上选B.答案：B11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·浙江高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ． 32D ．62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2 ②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2 ③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2014·康杰等四校一联]曲线y ＝x (2ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是________．解析：求导函数，可得y ′＝2ln x ＋3，当x ＝1时，y ′＝3，所以曲线y ＝x (2ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 答案：y ＝3x －214．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x －a )(x ＋a )(a >0)，列表为：极大值且f (x )极小值＝f (a )＝－2a 3＋a <0，解得a >22. 答案：22，＋∞) 16．[2013·河北省邢台一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2. 18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x 为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．解：由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·开封摸底]已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数g (x )＝－ax ＋f (x )的单调区间；(2)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对x >1恒成立，求k 的最大值．解：(1)g ′(x )＝－a ＋1＋ln x ，x >0，由g ′(x )>0得x >e a －1，由g ′(x )<0得0<x <e a －1，∴(0，e a －1)为g (x )的减区间，(e a －1，＋∞)为g (x )的增区间．(2)f (x )＋x －k (x －1)>0对x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对x >1恒成立，记h (x )＝x ln x ＋x x －1(x >1)，则h ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，记u (x )＝x －ln x －2，则u ′(x )＝1－1x ，当x >1时，u ′(x )>0，∴u (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∵u (3)＝1－ln3<0，u (4)＝2－ln4>0， ∴存在x 0∈(3,4)使得u (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0，ln x 0＝x 0－2.当1<x <x 0时，u (x )<0，h ′(x )<0；当x >x 0时，u (x )>0，h ′(x )>0；当x ＝x 0时，u (x )＝0，h ′(x )＝0，此时h (x )有最小值，且[h (x )]min ＝h (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0(x 0－2)＋x 0x 0－1＝x 0，只需k <[h (x )]min ＝x 0∈(3,4)， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为3.20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|P A |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|P A |＋|PF 1|＝6＋|P A |－|PF 2|.求|P A |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|P A |－|PF 2|的最大值问题，即求|P A |－|PF 2|的最大值问题，如图在△P AF 2中，两边之差小于第三边，即|P A |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时，此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值，易求|AF 2|＝2，这样|P A |－|PF 2|的最大值为2，故|P A |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1.2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时， l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 22．(12分)[2014·辽宁五校联考]定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； ②f ′(x )是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x －mx ，若存在实数x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0. ① 由f ′(x )是偶函数得：b ＝0.②又f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直， ∴f ′(0)＝c ＝－1.③由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.(2)由已知得：存在实数x ∈[1，e]，使ln x －mx<x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >x ln x －x 3＋x .使M (x )＝x ln x －x 3＋x ，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝ln x －3x 2＋2，设H (x )＝ln x －3x 2＋2，x ∈[1，e]，则H ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈[1，e]，∴H ′(x )<0，即H (x )在[1，e]上单调递减，于是，H (x )≤H (1)，即H (x )≤－1<0，即M ′(x )<0， ∴M (x )在[1，e]上单调递减， ∴M (x )≥M (e)＝2e －e 3，于是有m >2e －e 3为所求．。

2018学年高中数学人教B版选修1-1章末综合测评1 含解析

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．存在性命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()【导学号：25650037】A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD ．若2x ＋1能被3整除，则x ∈Z【解析】易知逆命题为：若2x ＋1是整数，则x ∈Z .【答案】 A5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q【解析】命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选A.【答案】 A6．(2016·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )A ．全等三角形的面积不一定都相等B ．不全等三角形的面积不一定都相等C ．存在两个不全等三角形的面积相等D ．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈pDq 等价于綈qD p .故p 是綈q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5 【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎨⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎨⎧m ＞－1，n ＜5.【答案】 A11．(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β【解析】由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2＞cb 2，且b 2＞0，∴a ＞c .而a ＞c 时，若b 2＝0，则ab 2＞cb 2不成立，由此知“ab 2＞cb 2”是“a ＞c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2＜0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件； ③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.” 【导学号：25650038】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则綈p 是綈q 的________条件．【解析】綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.綈p ⇒綈q ，但綈qD綈p .∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要 14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎨⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝±1；(3)不等式x 2－x －12>0的解集是{x |x >4或x <－3}．【解】 (1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：36是6的倍数；q ：36是18的倍数．(2)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝1；q ：方程x 2＋3x －4＝0的根是x ＝－1.(3)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：不等式x 2－x －12>0的解集是{x |x >4}；q ：不等式x 2－x －12>0的解集是{x |x <－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数. 【导学号：25650039】【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；否定：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．【解】由x20－ax0＋1＝0有实根，得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧ －2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)，所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)，所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。

高中数学(人教B版选修1-1)模块综合测评 Word版含答案

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设，是实数，则“>”是“>”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】设＝，＝－，则有>，但<，故>>；设＝－，＝，显然>，但<，即>>.故“>”是“>”的既不充分也不必要条件．【答案】．过点(，－)的抛物线的标准方程为( )．＝或＝－．＝．＝－或＝．＝－或＝【解析】(，－)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为＝(＞)或＝－(＞)，代入(，－)得＝或＝－.故选.【答案】．下列命题中，正确命题的个数是( )①命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题为“若≠，则－＋≠”；②“∨为真”是“∧为真”的充分不必要条件；③若∧为假命题，则，均为假命题；④对命题：∃∈，使得＋＋<，则綈：∀∈，均有＋＋≥.．．．．【解析】①正确；②由∨为真可知，，至少有一个是真命题即可，所以∧不一定是真命题；反之，∧是真命题，，均为真命题，所以∨一定是真命题，②不正确；③若∧为假命题，则，至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】．函数()＝＋′()，则(－)与()的大小关系为( )．(－)<()．(－)＝()．无法确定．(－)>()【解析】′()＝＋′()，令＝，得′()＝＋′()，∴′()＝－.∴()＝＋·′()＝－，()＝－，(－)＝.∴(－)>()．【答案】．命题“∀∈[，＋∞)，＋≥”的否定是( )．∀∈(－∞，)，＋<．∀∈(－∞，)，＋≥．∃∈[，＋∞)，＋<．∃∈[，＋∞)，＋≥【解析】故原命题的否定为：∃∈[，＋∞)，＋<.故选.【答案】．已知中心在原点的椭圆的右焦点为()，离心率等于，则的方程是( )＋＝＋＝＋＝＋＝【解析】右焦点为()说明两层含义：椭圆的焦点在轴上；＝.又离心率为＝，故＝，＝－＝－＝，故椭圆的方程为＋＝，故选.【答案】．已知双曲线－＝(＞，＞)的两条渐近线与抛物线＝(＞)的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，△的面积为，则＝( ) 【导学号：】．．．【解析】因为双曲线的离心率＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±，与抛物线的准线＝－相交于，，所以△的面积为××＝，又＞，所以＝.。

高中数学人教B版选修1-1：第1-3章 1-1 综合能力检测

选修1－1综合能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013～2014学年度福建四地六校高二联考)命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋3≤0B ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋3<0C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＋3≤0D ．∃x ∈R ，x 2＋x ＋3<0[答案] C[解析] 将“∀”改为“∃”，将“x 2＋x ＋3>0”改为“x 2＋x ＋3≤0”即可． 2．(2013～2014学年度安徽铜陵市第五中学高二月考)已知命题p ：x ∈A ∪B ，则非p 是( )A ．x 不属于A ∩BB ．x 不属于A 或x 不属于BC ．x 不属于A 且x 不属于BD ．x ∈A ∩B [答案] C[解析] 命题p ：x ∈A ∪B ，即x ∈A 或x ∈B ，其否定为：x ∉A 且x ∉B ，故选C. 3．(2013～2014学年度山东济宁邹城二中高二期中测试)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(0，－1)D ．(－1,0)[答案] A[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴的正半轴上，又2p ＝4，∴p ＝2，∴焦点坐标为(p2，0)，即(1,0)．4．(2013～2014学年度新疆兵团第二师华山中学高二期中测试)“x <2”是“1<x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] x <2⇒/ 1<x <2，而1<x <2⇒x <2，故选B.5．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0 [答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0.6．(2013～2014学年度重庆杨家坪中学高二期中)下列说法错误的是( ) A ．如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0” C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－3<0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0 D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件[答案] D[解析] sin θ＝12⇒/ θ＝30°，反之θ＝30°⇒sin θ＝12，故“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4[答案] A[解析] 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.由c 2＝2a 2，得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞) [答案] D[解析] 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆上或在椭圆内部，∴m ≥1. 又方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m ≠5，故m ≥1且m ≠5.10．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e[答案] A[解析] y ′＝a ＋e x ，由e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，x ＝ln(－a )．可知x ＝ln(－a )为函数的极值点． ∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1. ∴a <－1.11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2 [答案] A[解析] 如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上．∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④[答案] B[解析] 二次函数为导函数，③中x <0时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是____________． [答案] m ＝4或0[解析] 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2⇔|1＋1＋m |2＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0.14．已知p ：x 2－x ≥6，q ：|x －2|≤3，且p ∧q 与¬q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为____________．[答案] －1≤x <3[解析] p ：由x 2－x －6≥0，得x ≤－2或x ≥3. q ：由|x －2|≤3，得－1≤x ≤5， ∵¬q 为假命题，∴q 为真命题．又∵p ∧q 为假，∴p 为假命题．又p 假：－2<x <3，故所求实数x 的取值范围是－1≤x <3.15．△ABC 的三边a 、b 、c ，已知a >c >b ，且成等差数列，若A (－1,0)、B (1,0)，则动点C 的轨迹方程为____________________．[答案] x 24＋y 23＝1(y ≠0，且x <0)[解析] 由题意得a ＋b ＝2c ＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a >c >b ，所以是椭圆的一部分．16．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于____________．[答案] 83[解析] 由图可知f (1)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝08＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3c ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2. 由图可知x 1、x 2为f (x )的极值点， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知p ：5x 2－4x －1>0，q ：1x 2＋4x －5>0，试判断¬p 是¬q 的什么条件？[解析] 由5x 2－4x －1>0，得x <－15或x >1，即p x <－15或x >1；由1x 2＋4x －5>0，得x <－5或x >1，即q x <－5或x >1，容易判断p 是q 的必要不充分条件，从而¬p 是¬q 的充分不必要条件．18．(本题满分12分)已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)y ′＝2x ＋1，直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，(－223，0)，所以，所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 19．(本题满分12分)已知命题p ：方程x 22＋y 2m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：f (x )＝43x 3－2mx 2＋(4m －3)x －m 在(－∞，＋∞)上单调递增．若(¬p )∧q 为真，求m 的取值范围． [解析] p 真时，m >2.q 真时，f ′(x )＝4x 2－4mx ＋4m －3≥0在R 上恒成立． Δ＝16m 2－16(4m －3)≤0，∴1≤m ≤3. ∵(¬p )∧q 为真，∴p 假，q 真．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21≤m ≤3，即1≤m ≤2. ∴所求m 的取值范围为[1,2]．20．(本题满分12分)已知x ∈R ，求证：cos x ≥1－12x 2.[证明] 令F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x ，当x ≥0时令g (x )＝F ′(x )＝－sin x ＋x ，则g ′(x )＝1－cos x ≥0恒成立， ∴g (x )≥g ′(x )＝0.即F ′(x )≥0， ∴F (x )在[0，＋∞)上是增函数，又F (0)＝0，即x ∈[0，＋∞)时，恒有F (x )≥0，即cos x ≥1－x 22.又F (－x )＝cos(－x )－1＋(－x )22＝cos x －1＋x 22＝F (x )，∴F (x )是R 上的偶函数，∴当x <0时，恒有F (x )≥0，即cos x ≥1－x 22，综上所述，对一切x ∈R ，都有cos x ≥1－x 22.21．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22c ＝2a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 2.b ＝2∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m，消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m 3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴4m 29＋m 29＝1，∴m 2＝95，∴m ＝±355. 22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a 、b 、c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010，解得m ＝±1. ∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.f (x ), f ′(x )随x 的变化情况如下表：在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.。

【金版优课】高中数学人教B版选修1-1课时作业：2.2.3双曲线的几何性质(1)(含答案解析)

选修 1-1 第二章 2.2 课时作业 16一、选择题1． [2013 福·建高考 ]双曲线 x 2－ y 2＝ 1 的极点到其渐近线的距离等于()12A ． 2B ． 2C ． 1D ．2分析：此题主要考察双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x 2－ y 2＝ 1 的渐近线2为 x ±y ＝0，极点坐标为 ( ±1,0)，故极点到渐近线的距离为2 ，应选 B.答案： B2．[2014 甘·肃省兰州一中期末考试 ]以直线3x ±y ＝0 为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是 ()x 2 22y 2A ． 3 － y ＝－ 1B ． x － 3 ＝ 122x－ y 2＝ 1D ． x 2－ y ＝－ 1C ． 3 3分析：此题主要考察双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为 (0,2)，说明双曲线的焦点在y 轴上．由于渐近线方程为3x ±y ＝ 0，因此可设双曲线方程为y 2－ 3x 22 2λy2＝ λ(λ>0)，即 y－ x 22＝－ 1，应选 D. ＝ 1,2 ＝λ＋＝ 4，解得 λ＝ 3，因此双曲线方程为x －λ λ333答案： D3 3．双曲线的渐近线为y ＝± x ，则双曲线的离心率是()45 A ． 4B ．2C ． 5或5D ． 5或 15432 3分析：若双曲线焦点在 x 轴上，∴ b ＝ 3.a 4 ∴ e ＝b 2 9 ＝ 25 ＝ 5 .1＋ 2＝ 1＋ 1616 4a 若双曲线的焦点在 y 轴上，∴ a ＝3， b ＝ 4.b 4 a 3∴ e ＝1＋ b 216 ＝25 5.2＝1＋ 99 ＝a3答案： C4．设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A ，B 两点，|AB |为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 ()A ． 2B ． 3C ． 2D ． 32222分析：设双曲线 C 的方程为 x2y 2x 2 y 2 ＝1 2a －b＝ 1，焦点 F(－ c,0)，将 x ＝－ c 代入 a －b 可得 yb4b2＝ 2，因此 |AB|＝ 2×＝ 2×2a.aa222222c∴ b ＝ 2a ，c ＝ a ＋ b ＝ 3a ，∴ e ＝a ＝ 3. 答案： B二、填空题2y25．[2014 北·京高考 ]设双曲线 C 经过点 (2,2)，且与 4 － x ＝ 1 拥有同样渐近线，则 C 的方程为 ________；渐近线方程为 ________．22分析：∵与双曲线y－ x 2 ＝1 有同样渐近线的双曲线方程为y－ x 2＝ k ，将点 (2,2)代入，44得 k ＝－ 3，∴双曲线 C 的方程为x 2－y 2＝ 1，其渐近线方程为 x 2 － y 2 ＝ 0，即 y ＝ ±2x.3123 1222答案： x－y＝ 1 y ＝ ±2x312x 2 y 26．已知点 (2,3)在双曲线 C ： a 2 －b 2＝ 1(a>0， b>0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________ ．分析：依据点(2,3)在双曲线上，能够很简单成立一个对于a ，b 的等式，即49a 2－b 2＝ 1.考虑到焦距为4，可获得一个对于 c 的等式， 2c ＝ 4，即 c ＝ 2.再加上 a 2＋ b 2＝ c 2，能够解出 a＝ 1， b ＝ 3，c ＝ 2，因此离心率 e ＝2.答案： 27．设椭圆 C 1 的离心率为5，焦点在 x 轴上且长轴长为26.若曲线 C 2 上的点到椭圆 C 113的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C 2 的标准方程为 ________．22分析：设椭圆 C 1 的方程为 x 2＋ y2＝ 1(a 1>b 1>0) ，a 1b 12a 1＝ 26，a 1 ＝ 13，由已知得c 1＝ 5 ，∴＝5.c 1e ＝ a 1 13∴焦距为 2c 1＝ 10.又∵ 8<10，∴曲线 C 2 是双曲线．设其方程为22x2－ y2＝ 1(a 2>0，b 2>0) ，a 2b 2则 a 2＝ 4， c 2＝ 5，∴ b 22 ＝52 －42＝ 32， ∴曲线 C 2 的方程为x22－ y＝ 1.169x 2 y 2答案： 16－ 9 ＝ 1 三、解答题8．依据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)一个极点是 (0,6)，且离心率是 1.5；2 2x － y＝ 1 有共同渐近线，且过点 (－ 3， 2 3)． (2)与双曲线 91622 解： (1)∵极点为 (0,6)，设所求双曲线方程为 y x＝1，a 2 －b 2 ∴ a ＝6.又∵ e ＝ 1.5，∴ c ＝ a ×e ＝ 6×1.5＝ 9，b 2＝c 2－ a 2＝ 45.2－ x2故所求的双曲线方程为y ＝ 1.36 45(2)解法一：双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 的渐近线为 49 16 y ＝ ± x ，34令 x ＝－ 3， y ＝ ±4，因 2 3<4，故点 (－ 3,2 3)在射线 y ＝－ 3x(x ≤ 0)及 x 轴负半轴之间∴双曲线焦点在 x 轴上．设双曲线方程为x 2y 2a 2－b 2＝ 1， (a>0，b>0) ，则b 49， a＝3，a 2＝－232 解之得4 －＝ 1，2＝ 4.22bab22∴双曲线方程为 x－ y＝ 1.9 4422解法二：设双曲线方程为x － y＝ λ(λ≠0)，916－ 232∴－＝λ.9 162 2∴ λ＝14，∴双曲线方程为 x 9 － y4 ＝ 1.4x 2 y 29．双曲线 a 2－b 2 ＝ 1(a>1，b>0) 的焦距为2c ，直线 l 过点 (a,0)和 (0，b)，且点 (1,0)到直线4l 的距离与点 (－ 1,0)到直线 l 的距离之和s ≥ c ，求双曲线离心率e 的取值范围．5解：设直线 l 的方程为 x a ＋ yb ＝ 1，即 bx ＋ ay － ab ＝0.由点到直线的距离公式，且 a>1，得点 (1,0)到直线 l 的距离d 1＝ba －，点 ( －1,0)到直线 l 的距离a 2＋b 2b a ＋2 .d 2＝2a ＋ b2ab2ab ∴s ＝d 1＋d 2＝a 2＋b 2＝c.42ab 422 2由 s ≥c ≥5a c － a ≥2c .5c ，得 5c ，即∵ e ＝ c，∴225 e － 1≥2e，a24∴ 25(e － 1) ≥4e ，即4e 4－ 25e 2 ＋25≤0，∴54≤e 2≤ 5(e>1) ．5∴ 2 ≤e ≤ 5，即 e 的取值范围为 [5， 5]．2。

(金版优课)高中数学人教b版高二选修1-1_第1章_单元综合检测2_word版含解析AwUlMw

第一章单元综合检测(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列语句中，不能成为命题的是( )A ．指数函数是增函数吗？B ．2010>2011C ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0D ．存在实数x 0，使得x 0<0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D 是命题，且是个特称命题．答案：A2．下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2解析：A 显然是真命题；对于B ，由x 2＝1，得x ＝±1，故B 是假命题；对于C ，令x ＝y ＝－1，则x ，y 无意义，故C 是假命题；对于D ，令x ＝－3，y ＝－1，则(－3)2>(－1)2，故D 是假命题．故选A. 答案：A3．命题“若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．∵它的逆命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1，是假命题，∴它的否命题也是假命题，故选B.答案：B4．下列命题：①至少有一个实数x 0使x 20－x 0＋1＝0成立；②对于任意的实数x 都有x 2－x ＋1＝0成立；③所有的实数x 都使x 2－x ＋1＝0不成立；④存在实数x 0使x 20－x 0＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由全称命题的定义知②③为全称命题．答案：B5．[2014·重庆高考]已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ． p ∧qB ． ¬p ∧¬qC ． ¬p ∧qD ． p ∧¬q解析：本题主要考查指数函数的性质、含逻辑联结词的命题的真假判断及充分、必要条件，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，而x>1D⇒/x>2，因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则¬q是真命题，p∧¬q是真命题，选D.答案：D6．已知条件p：m>3，条件q：点P(m,1)在圆x2＋y2＝4外，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对q：m2＋1>4，∴m2>3，即m>3或m<－3，∴p⇒q反之q p.答案：A7．设p：x2－x－2<0，q：1＋x|x|－2<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：x2－x－2<0⇔－1<x<2，q：1＋x|x|－2<0⇔x<－2或－1<x<2.显然p是q的充分不必要条件．答案：A8．[2014·人大附中月考]下列命题的否定为假命题的是()A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析：本题主要考查特称、全称命题的真假性判断，以及命题与其否定之间的真假关系．A中，当x ∈R时，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以A不是；B 中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题，所以B不是；C中，由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以C不是；D中，由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题，所以D是，故选D.答案：D9．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A．¬p B．(¬p)∨qC．(¬q)∧p D．q解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题和特称命题的真假性判断，以及指数函数．很明显命题p 为真命题，所以¬p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以¬q是真命题．所以(¬p)∨q为假命题，(¬q)∧p为真命题，故选C.答案：C10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，x 30>x 20”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数”的充要条件解析：“负数的平方是正数”即为“∀x <0，x 2>0”，是全称命题，所以A 不正确；因为全称命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定为“∃x 0∈N ，x 30≤x 20”，所以B 不正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，当最小正周期为π时，有2π|2a |＝π，则|a |＝1⇒a ＝±1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C 不正确，故选D.答案：D11．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a ＋b ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a ≥0，b ≥0反之亦可推，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案：C12．[2014·辽宁高考]已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |. 若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )A ． 12B ． 14C ． 12πD ． 18解析：不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否命题是________．解析：据否命题的定义知，命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0”．答案：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠014．[2014·江苏高考]已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：(－22，0) 15．[2013·人大附中月考]等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列{S n }为递增数列的充要条件是________．解析：本题考查数列问题中充要条件的判断．由S n ＋1>S n (n ∈N *)⇔(n ＋1)a ＋n (n ＋1)2d >na ＋n (n －1)2d (n ∈N *)⇔dn ＋a >0(n ∈N *)⇔d ≥0且d ＋a >0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a >0.答案：d ≥0且d ＋a >016．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x |x |＋ax ＋m 是奇函数的充要条件是m ＝0；②若函数f (x )＝lg(ax ＋1)的定义域是{x |x <1}，则a <－1；③若log a 2<log b 2，则a >b 一定成立；④圆：x 2＋y 2－10x ＋4y －5＝0上任一点M 关于直线ax －y －5a ＝2的对称点M ′也在该圆上．所有正确命题的序号是__________．解析：①f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔－x |－x |＋a (－x )＋m ＝－x |x |－ax －m⇔m ＝－m ⇔m ＝0.∴①正确．②由已知x <1时，ax ＋1>0恒成立．显然当a ≥0时，上式不成立．当a <0时，只需a ＋1>0，∴a >－1.∴－1<a <0，∴②不正确．③当0<a <10，log a 2<log b 2成立，但是a >b 不成立．∴③不正确．④∵圆的圆心为(5，－2)，直线ax －y －5a ＝2过定点(5，－2)．∴圆上任一点M 关于直线的对称点M ′仍在该圆上．∴④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0.逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1.否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0.逆否命题为真．18．(12分)某人投篮，设命题p ：第一次投中；q ：第二次投中．试用p ，q 及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：(1)两次都投中；(2)两次都没有投中；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中．解：(1)两次都投中：p ∧q .(2)两次都没有投中：(¬p )∧(¬q )．(3)恰有一次投中：(p ∧(¬q ))∨((¬p )∧q )．(4)至少有一次投中：p ∨q .19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2； (4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题；(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．20．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明：充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要是a ＋b ＋c ＝0.21．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且¬p 是¬q 的必要非充分条件，求a 的取值范围．证明：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)}＝{x |3a <x <a (a <0)}B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵¬p 是¬q 的必要非充分条件，∴¬q ⇒¬p ，且¬p ¬q .则{x |¬q }{x |¬p }，而{x |¬q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |¬p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0，即－23≤a <0或a ≤－4. 22．(12分)已知条件p ：5x －1>a 或5x －1<－a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p 即x <1－a 5或x >1＋a 5，条件q 即2x 2－3x ＋1>0， ∴x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．。

高中数学人教版选修1-1综合检测B卷带答案

选修1-1模块综合检测(B ）(时间:120分钟满分：1５0分)一、选择题（本大题1２小题，每小题５分，共60分)1.已知命题“p :x ≥4或x ≤０”,命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的ｘ为( )A ．{x ｜x ≥３或ｘ≤－1,x ∉Z }Ｂ．｛x |－1≤ｘ≤3，x ∉Z }Ｃ．{－１,0,1,2，３}D.{1,2,３｝2.“a >0”是“|a |>０”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知２ｘ+ｙ=0是双曲线ｘ2-λy ２=１的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ）A ．错误!B ．错误! C.错误! D ．2４.已知双曲线的离心率为2,焦点是（-4，0),（4,0),则双曲线方程为( )A.错误!－错误!＝1 Ｂ.错误!－错误!＝１Ｃ.＼f(x 2,1０）－错误!=1 Ｄ.错误!－错误!＝１5.已知△ＡBC 的顶点B 、C 在椭圆x 2３＋ｙ2＝１上，顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△AB Ｃ的周长是( ）A.2错误!B.6 C ．4错误! D ．1２6．过点(2,-２)与双曲线x 2－2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程为( ）A.错误!－错误!＝1B.错误!-错误!＝１C.错误!－错误!＝１Ｄ.错误!－错误!＝17.曲线y ＝x 3-3x ２+1在点（1，－1）处的切线方程为（ )A.y ＝3ｘ－４B.y ＝－3x ＋2Ｃ.y ＝-４ｘ＋3 D ．y =4ｘ－５8.函数f （ｘ）＝ｘ2-2ｌn x 的单调递减区间是( )A ．(0,1] Ｂ.［1，+∞)C ．（-∞，－1],(0,１) D.[－1,０)，(0，1]9．已知椭圆x 2+2ｙ2＝４,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．３错误!B ．2错误!C.错误!D.错误!错误!10．设曲线y ＝错误!在点(３,２)处的切线与直线ax ＋ｙ＋１＝0垂直，则a 等于（ )A.2B.１2C ．－错误! Ｄ．-2 1１．若函数y ＝f (x )的导函数在区间［a ,b ]上是增函数,则函数y ＝ｆ(x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( ）12．已知函数f (x )的导函数f ′（x )=4x 3-４x ,且f (x )的图象过点(0,-5），当函数f (ｘ)取得极小值-６时,x 的值应为( )A ．0B ．-1 Ｃ．±１ D.１二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共２０分)13.已知双曲线ｘ２-y 23＝1,那么它的焦点到渐近线的距离为＿＿______．１４.点Ｐ是曲线ｙ=ｘ2-ｌｎ x 上任意一点,则P 到直线y =ｘ－2的距离的最小值是___＿＿_＿_.1５．给出如下三种说法:①四个实数a ,b ,c ，ｄ依次成等比数列的必要而不充分条件是ａd ＝bc .②命题“若x ≥3且y ≥2,则x -y ≥1”为假命题．③若p ∧ｑ为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为＿_______.16.双曲线＼f(ｘ2,a 2)-＼f(y 2,ｂ２)=1 (a >0，b >0)的两个焦点F １、F 2，若P 为双曲线上一点，且|ＰF 1｜＝2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为＿_＿___＿_．三、解答题(本大题共6小题，共７0分)１7．(10分)命题p ：方程x 2+ｍx ＋１＝０有两个不等的负实数根,命题ｑ:方程4x 2+4(m -２)x +1＝0无实数根.若“p 或ｑ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求ｍ的取值范围．１８．(12分）F 1,F 2是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F １QF 2中的∠F １QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．１9.(1２分)若r (ｘ)：s ｉn x +ｃo ｓ x >m ，s (ｘ):x 2＋ｍx ＋1>０．已知∀x ∈Ｒ，r (ｘ）为假命题且ｓ（x ）为真命题,求实数m 的取值范围．20.(１2分)已知椭圆错误!＋错误!=1 (a >b >0)的一个顶点为A (0,1），离心率为错误!,过点Ｂ(0,－２）及左焦点F 1的直线交椭圆于Ｃ，D 两点,右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程;(2)求△ＣＤF 2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x３+ｂx2+cx+d的图象过点P(0,2），且在点M(－１，f(-1））处的切线方程为6x-y+7＝０．(１)求函数y=f(x)的解析式；(２)求函数y＝ｆ(x)的单调区间．22.(12分)已知ｆ(x)=错误!x３－2ａx2-3x (ａ∈Ｒ)，(1)若f(ｘ)在区间（-1,1)上为减函数，求实数a的取值范围;(２)试讨论y=f(ｘ)在（－1,1)内的极值点的个数．模块综合检测(B) 答案1．D2.Ａ [因为|a｜>0⇔a>０或a＜0，所以a>０⇒|ａ|＞0,但|a|>0 a＞0,所以“a＞０”是“|a|>0”的充分不必要条件．]３．C4．A ［由题意知c＝４,焦点在x轴上,又e=＼f(c,a）＝２,∴a＝2，∴ｂ２=ｃ2-ａ２=４2－22＝12,∴双曲线方程为错误!-错误!＝１.]5．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|+|BＦ|=2＼r（3),且|ＣＦ|+|AC｜＝2错误!,所以△ＡBC的周长=|BA|+|BＣ|＋|AC|=|ＢA|+|ＢF|＋|CF｜+|AC|＝4错误!.]6.D [与双曲线错误!－y2＝１有公共渐近线方程的双曲线方程可设为错误!－y２＝λ,由过点（2，-２),可解得λ=－2.所以所求的双曲线方程为错误!-错误!=１．]7.Ｂ [ｙ′＝3x２－6x，∴ｋ＝ｙ′|x＝1=－3，∴切线方程为ｙ＋1=-3(x－1)，∴y＝-３x+2.]8.A [由题意知x>0,若f ′(x )＝2x －错误!=错误!≤０,则0<x ≤1，即函数ｆ(x )的递减区间是(0，1].]９．C [令直线ｌ与椭圆交于A （ｘ１，ｙ１)，B (x 2,y 2），则错误!①－②得：（x 1＋x 2)(ｘ1－x 2)＋２(y 1+y 2)(ｙ１-ｙ2）=0,即2(ｘ1-ｘ２)+4（y 1-y 2)＝0，∴ｋl =-12,∴l 的方程：x ＋2y -3＝0, 由错误!，得6y 2-12y ＋5=０.∴y 1+y 2=２，ｙ１y ２＝错误!.∴|A Ｂ|=错误!＝错误!.]1０．D [y ＝错误!,∴y ′｜x =3=-错误!|x =3=-错误!.又∵-a ×错误!＝－1，∴a ＝-2．]11．Ａ [依题意，f ′(ｘ）在[ａ,b ]上是增函数,则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着ｘ的增大而增大，观察四个选项中的图象,只有A 满足．］１2.C [f (x )＝x ４-２x 2+c ．因为过点(０,－5),所以c ＝－5．由f ′（x )=4x （x 2－1),得ｆ(ｘ)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点,且f (1)＝f (-1)=－6.］1３.＼r （3)解析焦点(±２,０），渐近线：y ＝±错误!x ,焦点到渐近线的距离为错误!＝错误!.14.错误!解析先设出曲线上一点,求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标,再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k =2x 0－＼f(１,ｘ0),根据题意得,２x 0-错误!＝1，∴ｘ０=1或x 0=-错误!,又∵x ０>0，∴ｘ０＝1,此时ｙ0＝1，∴切点的坐标为(1,１),最小距离为＼f （｜1-１-2|,＼r(2))=错误!.15.①②解析对①,a ，ｂ，c ，d 成等比数列,则ad ＝b ｃ，反之不一定,故①正确;对②,令x =5，y =6，则ｘ-y =－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③,p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．1６.（1,3]解析设|PF 2|＝ｍ，则2ａ＝||PF 1｜-|P Ｆ2|｜=m ，2ｃ=|F １F 2|≤|PF 1|+|PF 2|＝3ｍ．∴e ＝错误!＝错误!≤３，又e >1,∴离心率的取值范围为(1，3］.1７.解命题p :方程x 2+m ｘ＋1=0有两个不等的负实根⇔错误!⇔m >２．命题q ：方程4x 2+4(m -2)ｘ+1＝0无实根⇔Δ′=16(m －２)2－１6=1６(m 2－4m ＋3)＜0⇔１＜m <3．∵“ｐ或q ”为真，“p 且q ”为假,∴p 为真、ｑ为假或p 为假、q 为真，则错误!或错误!，解得m ≥3或1<m ≤2.１８．解设椭圆的方程为＼f(x 2,a 2)＋错误!=1 (a >b >0),F 1，F ２是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点，Q Ｐ是△Ｆ1ＱＦ2中的∠Ｆ1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥ＱP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ,则P 是F 2H 的中点，且|F ２Q |＝|QH |，因此｜ＰO |＝＼f(１，2）|F 1Ｈ｜＝错误!（｜F 1Q ｜+|ＱH |）＝＼f(1，2)(｜F １Ｑ|＋|F ２Q |)=a ,∴点Ｐ的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与ｘ轴的交点).19．解由于sin ｘ+cos x ＝2sin 错误!∈[-错误!,错误!]，∀x ∈R ,ｒ(x )为假命题即sin x ＋co ｓｘ>m 恒不成立.∴ｍ≥ 2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴ｘ2+mx +1＞0对ｘ∈R 恒成立.则Δ=ｍ2－4<0,即－２<m ＜2． ②故∀x ∈Ｒ，r (x )为假命题，且s (x ）为真命题，应有错误!≤m <2.２0．解 (1)由题意知b =1,ｅ=＼f(c,a ）=＼f （2,２)，又∵a 2＝ｂ2+c 2,∴a 2＝2．∴椭圆方程为错误!＋y 2＝1.(２)∵F 1(－１,0）,∴直线B Ｆ1的方程为ｙ=－２x －2，由错误!，得９x 2+16x +6＝0.∵Δ=16２-4×9×６=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点,设为C (x １,y 1),Ｄ(ｘ2,ｙ2),则错误!，∴|CD ｜=错误!|x 1－x ２|＝5·（x 1+ｘ22-4x 1x 2)=错误!·错误!＝错误!错误!，又点Ｆ2到直线B Ｆ1的距离d =4＼r(5)5, 故Ｓ△C ＤF ２=12|ＣD |·ｄ=＼f(４，９)10. 21．解（1）由f (ｘ)的图象经过Ｐ(０,2)知ｄ＝2，∴f (ｘ)＝x 3+bx 2＋c ｘ＋2，f ′(x )＝3x 2+2b ｘ＋c .由在点M (－1,f （－1）)处的切线方程是6x －y ＋7=0，知-6－ｆ(－1)+7=0，即f (-1)＝1,f ′(－１)＝6．∴错误!即错误!解得ｂ=c ＝－3．故所求的解析式是f (ｘ)＝x 3-3x 2－3x +2.(2)f ′(ｘ)=3x ２－6x -3，令3x 2-6ｘ-3=0，即x 2－2x -１＝0.解得x １=１－错误!,x 2=1＋错误!.当x <1－＼ｒ(2)或x >1+＼r （2）时,f ′（x )>０.当1-错误!<x <１＋错误!时，f ′(x )＜0.故f(ｘ)=x3－３x２-3ｘ＋2在(-∞,１－＼r(2）)和（１＋错误!，＋∞）内是增函数，在（1－错误!,1＋错误!)内是减函数．22．解(１）∵f（x)=2３x3-2ax２-3x，∴f′(x)=2x2－4aｘ－3，∵ｆ（ｘ)在区间(－1,1)上为减函数，∴f′(x）≤0在(－１，1）上恒成立；∴错误!得-错误!≤a≤错误!.故ａ的取值范围是错误!．(2）当a>＼ｆ(1，4)时,∵错误!，∴存在x0∈(－1,1),使f′（x0)＝0，∵f′(x)=2x2－4ax-3开口向上，∴在(－1,x0）内，f′(x)＞0，在(x０，1）内,ｆ′（ｘ)<０，即ｆ(x)在(－1，x0）内单调递增,在(ｘ0,１)内单调递减，∴f(x)在(-1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点.当a<-＼f(1,４）时,∵错误!,∴存在x0∈(-1,1）使ｆ′(x0)=0.∵f′(x)=２x2-4ａx－3开口向上,∴在(－1，x0)内f′（x)<0，在(ｘ0,1)内f′(x)>0.即f（x)在（-1,x0)内单调递减,在(ｘ0,1）内单调递增，∴ｆ(x)在(-1,１)内有且仅有一个极值点,且为极小值点．当-错误!≤a≤错误!时，由(1)知f(x)在(-１,1)内递减,没有极值点．综上,当a>＼ｆ(1,4）或a<-＼ｆ(1,4)时,f(x)在(－1,1)内的极值点的个数为１，当－错误!≤ａ≤错误!时,f(x）在(-１，1)内的极值点的个数为0.。

(金版优课)高中数学人教b版高二选修1-1_第2章_单元综合检测1_word版含解析

第二章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A ．53 B ．43 C ．54D ．32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝c a ＝32＋423＝53.答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1 B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1 D ．x 227－y 29＝1 解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.①由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知b a＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( ) A ． xy －2x －4y ＝0 B ． xy ＋2x ＋4y ＝0 C ． xy －2x ＋4y ＝0D ． xy ＋2x －4y ＝0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧x －m 2＋2y －n 2＝a x ＋m 2＋2y ＋n 2＝ak AB ·k PM ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m＝－x －2y －2⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π 解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2020年·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A ． 1＋ 3B ． 1－3C ． 1＋32D ． 1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．125B ．65C ．2D ．55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.答案：A9．[2014·湖南省雅礼中学期中考试]如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一条直线，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点解析：本题主要考查曲线的特征分析．由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC ⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC .由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A ． 72B ． 52C ． 3D ． 2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C11．[2014·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ． 3x ±4y ＝0B ． 3x ＋5y ＝0C ． 5x ±4y ＝0D ． 4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.答案：D12．[2014·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A ． (x ＋2)2＋y 2＝4 B ． x 2＋(y －2)2＝4 C ． (x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ． (x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋cc －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c2＝12＝22. 答案：2216．[2014·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为________．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p 2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )x 1＋x 22－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y 2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)，当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k 3，此时焦点为(0，±4k 3)，由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k 3，此时焦点为(±－4k3，0)，由题意得3＝－4k 2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1.∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2014·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2，2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线PA 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)， ① 直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)． ② ∵M (x ，y )是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，PA 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，PA 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)．经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如右图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－6x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22.(12分)[2014·江西高考]如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N . 证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a )．又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A (c ，c a )，k AB ＝c a －c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则|MF |2|NF |2＝2x 0－323y 0214＋32x 0－323y 02＝2x 0－329y 204＋94x 0－22＝43·2x 0－323y 20＋3x 0－22，因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·2x 0－32x 20－3＋3x 0－22＝43·2x 0－324x 20－12x 0＋9＝43，所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.。

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第一章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．答案：B2．下列命题是真命题的是()A．实数的绝对值是正数B．一切自然数都有倒数C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．偶数的平方是4的倍数解析：实数的绝对值是非负数，不是正数，A不正确；0没有倒数，B不正确；垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，C不正确．答案：D3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是()A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题；B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题；C．若x>1，则x>2；D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案：D4．已知命题s为“p∧q”是真命题，那么命题“p∨q”及命题¬s的真假是()A．真、真B．假、假C．真、假D．以上都不对解析：p∧q为真，则p、q均为真．所以p∨q为真，¬s为假．答案：C5．若“p∧q”与“(¬p)∨q”均为假命题，则()A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．p 与q 均真D ．p 与q 均假解析：“p ∧q ”为假，则p ，q 中至少有一假；“(¬p )∨q ”为假，则¬p ，q 均为假．∴p 真，q 假．答案：A6．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“a ＝1”时两直线垂直，两直线垂直时a ＝1，故为充要条件．答案：C7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A ． ∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立B ． ∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ． ∀x ∈R ，使得f (x )>0成立D ． ∀x ∈R ，f (x )≤0成立解析：本题主要考查特称命题．“关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)>0成立”，故选A.答案：A8．[2014·湖南高考]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( )A ． ①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③¬q 为真命题，则p ∧(¬q )为真命题，④¬p 为假命题，则(¬p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ． x <0B ． x ≥0C ． x ∈{－1,3,5}D ． x ≤－12或x ≥3 解析：∵2x 2－5x －3≥0的解集为{x |x ≥3或x ≤－12}， ∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件．答案：C10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ． (¬p )∨(¬q )B ． p ∨(¬q )C ． (¬p )∧(¬q )D ． p ∨q解析：¬p 表示甲没有降落在指定范围，¬q 表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.答案：A11．[2014·四川省成都七中月考]已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ． λ1＝λ2＝－1B ． λ1＝λ2＝1C ． λ1λ2＝1D ． λ1λ2＝－1解析：本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意，A ，B ，C 三点共线 ⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λλλ2＝1，故选C. 答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1x |，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．－12<a <0且c >0B ． a ≥－12且c <0 C ．－12<a <0且c ＝0 D ． a ≥－12且c ＝0 解析：本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t ＝f (x )，则方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0可转化为at 2＋t －2c ＝0.令g (t )＝at 2＋t －2c ，因为|x ＋1x|≥2且原方程有5个不同实数解，所以方程g (t )＝at 2＋t －2c ＝0应该有一个大于2的根与一个零根，则⎩⎪⎨⎪⎧ －12a >0，g ＝4a ＋2－2c >0，c ＝0，解得－12<a <0且c ＝0，故选C. 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________．解析：该命题为全称命题，“不大于”即“≤”．答案：∀x ≤0，x 3≤014．命题：“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是__________．解析：“都不为零”的否定是“至少一个是零”．答案：若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零15．“对顶角相等”的否定为__________，否命题为__________________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等16．已知命题p ：|x －1|<c (c >0)；命题q ：|x －5|>2，且p 是q 的既不充分也不必要条件，则c 的取值范围是__________．解析：由|x －1|<c ，得1－c <x <1＋c ，∴命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理命题q 对应的集合B ＝{x |x <3或x >7}，若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧7>1－c ，3<1＋c ，即c >2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0；(4)有些质数不是奇数．解：(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题．(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．19．(12分)如右图所示的电路图，设命题p ：开关K 闭合，命题q ：开关K 1闭合，命题s ：开关K 2闭合，命题t ：开关K 3闭合．(1)写出灯泡A 亮的充要条件；(2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件；(3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件．解：(1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”；(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“¬p ”，或“¬s ”；(3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p ，或t .20．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0，又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋3b 24≠0，只有a ＋b ＝1. 综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.21．(12分)已知p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真时：x 2－a ≥0即a ≤x 2.∵x ∈[1,2]时，上式恒成立，而x 2∈[1,4]，∴a ≤1.q 为真时：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题．∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．22．(12分)已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由p ：|1－x －13|≤2，解得－2≤x ≤10，∴“¬p ”：A ＝{x |x <－2或x >10}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴“¬q ”：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．由“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件可知：A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0<m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．。