等比数列的前n项和
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列的前n项和公式
①
两边同时乘以2，
2S64 2 22 23 263 264 ②
由①-②得,
S64 1 264 即 S64 264 1 1.84 1019.
国王无法实现他对大臣的承诺
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a1为首项, q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
4
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
当 q 1时,
通项公式
an a1qn1
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
探究
等差数列 {an}的前n项和
Sn
n(a1 2
an )
a1n
n(n 1) 2
d
它能用首项和末项表示,那么对于 S64 是否也能用
首项和末项表示？
如果可以用首项和
末项表示，那我们
该怎么办呢？
S64
1 2 22 262 ~~~~~~~~~~~
263
练习
等比数列的公比q=﹣
1 3
,前4项的和为
求这个等比数列的首项?
5 9
,
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式（原创版）目录1.等比数列的定义与性质2.等比数列前 n 项和的公式推导3.公式的应用与举例正文1.等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
这个比称为公比，用 r 表示。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1)，其中 a1 是首项，an 是第 n 项。
2.等比数列前 n 项和的公式推导我们先来看一个等比数列的前几项和：S1 = a1S2 = a1 + a2 = a1 + a1*rS3 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1*r + a1*r^2S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1*r + a1*r^2 + a1*r^3观察上述等式，我们可以发现：S2 = a1*(1 + r)S3 = a1*(1 + r + r^2)S4 = a1*(1 + r + r^2 + r^3)我们可以猜测等比数列前 n 项和的公式为：Sn = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(n-1))为了证明这个公式，我们可以利用数学归纳法。
当 n=1 时，S1 = a1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(n-1))，等式成立。
假设当 n=k 时，等式成立，即：Sk = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1))当 n=k+1 时，有：Sk+1 = Sk + ak+1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1)) + a1*r^k = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1) + r^k)由等比数列的性质，我们知道：r^k = r^(k-1) * r将其代入上式，得：Sk+1 = a1*(1 + r + r^2 +...+ r^(k-1) + r^(k-1) * r)= a1*(1 + r + r^2 +...+ r^k)所以，当 n=k+1 时，等式也成立。
等比数列及其前N项和
等比数列及其前N 项和1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.122．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．843．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．644．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.55813．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 22．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－233．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－327．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .。
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
等比数列前n项和形式特点
等比数列前n项和形式特点
等比数列前n项和的形式特点是按照等比数列的公式，前n项和的公式可以写作：
Sn = a(r^n - 1) / (r - 1)
其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
形式特点可归纳如下：
1. 首项为正数，公比为正数且不等于1。
这是常见的等比数列情况，前n项和随着n的增大趋向无穷大。
2. 首项为0，公比为正数且不等于1。
在这种情况下，前n项和有一个固定的极限值，当n趋向无穷大时，前n项和趋向于某个有限值。
3. 首项为正数，公比为1。
当公比为1时，前n项和是一个关于n的线性函数，即Sn = an+b，其中a和b为常数。
4. 首项为0，公比为1。
与第3种情况类似，前n项和也是一个关于n的线性函数。
需要注意的是，以上讨论中的前n项和指的是从第一项到第n 项的和，而不包括从第(n+1)项开始后续的项。
高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析
等比数列的前n 项和-知识点剖析1．推导等比数列的前n 项和公式方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，它的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .依等比数列通项公式有S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1.① ①式两边同乘以q ，得qS n =a 1q+a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n .② ①－②，得（1-q ）S n =a 1-a 1q n ，由此得q≠1时，S n =qq a n --1)1(1. ∵a n =a 1q n-1，∴上式可化为S n =q q a a n --11. 当q=1时，S n =na 1.方法二：由等比数列定义知12a a =23a a =34a a =…=1-n n a a =q. 当q≠1时，1321432-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a a a =q ，即nn n a S a S --1=q. 故S n =q q a a n --11=qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.方法三：S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q （a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-2）=a 1+qS n-1=a 1+q （S n -a n ）.∴当q≠1时，S n =q q a a n --11 =qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.2．注意问题（1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会.（2）公比为1与不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论.（3）当已知首项a 1，公比q ，项数n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1，当已知a 1，a n ，n 时，用公式S n =q q a a n --11. （4）在解决等比数列问题时，如已知a 1，a n ，S n ，n ，q 中任意三个，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个.3．等比数列的前n 项和的一般形式一般地，如果a 1，q 确定，那么S n =qq a n --1)1(1=q a -11+q a -11q n ，设A=q a -11，则上式可以写成S n =A-Aq n（q≠1）.4．等比数列的前n 项和的性质（1）若某数列前n 项和公式为S n =a n -1（a≠0，a≠1），则{a n }是等比数列.（2）在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），则奇偶S S =q.（3）若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列.②S n+m =S n +q n S m .5．前n 项和的重点性质的证明 （1）若数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 满足（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）若等比数列{a n }的公比为q ，则S n+m =S n +q n S m .证明：（1）设首项为a 1，公比为q.若q=1，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，显然满足.若q≠1，则S n =q q a n --1)1(1，S 2n =q q a n --1)1(21，S 3n =qq a n --1)1(31. 则S 2n -S n =q q a n --1)1(21-q q a n --1)1(1=)1(11n nq qq a --， S 3n -S 2n =q q a n --1)1(31-qq a n --1)1(21=s. ∴（S 2n -S n ）2=2221)1(q q a n-（1-q n ）2， S n （S 3n -S 2n ）=q q a n --1)1(1·)1(121n n q q q a --=2221)1(q q a n -（1-q n ）2，即（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）设首项为a 1，公比为q.若q=1，显然满足.若q≠1，则S m+n =qq a n m --+1)1(1，S n =q q a n --1)1(1，S m =q q a m --1)1(1， ∴S n +q n S m =q q a n --1)1(1+qq q a m n --1)1(1=)1(11n m q q a +--=)1(11n m n n q q q q a +-+--=S m+n ， 即S n+m =S n +q n S m .练习请和你的同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题.历史上的等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等比级数a+aq+aq 2+…+aq n 都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写到：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想；记载有这样的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S5为5，求首项a1.在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为5，10，20，40；20，36，52.可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和.还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒 问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16 807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的.公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，在研究音乐理论中得到了调和平均数.他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是3∶2，则发出另一谐音，等等.它与后来发现的调和级数相联系.约公元前300年，欧几里得（Euclid，约公元前330年～公元前275年）的名著《几何原本》（共13篇）第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.请你和你的同学思考文章中的问题是否是等比数列的模型，请你们共同查找资料，看历史上还有什么样的等比数列模型.。
数列-等比数列的前n项和(30张)
思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方 法．
解析：(1)当x＝0时，an＝0，∴Sn＝0. nn＋1 (2)当x＝1时，an＝n，∴Sn＝ 2 .
(3)当x≠0且x≠1时， － Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn 1＋nxn① － ＋ xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－2)xn 1＋(n－1)xn＋nxn 1②
又∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 3 ∴由②÷ ①，得q ＝8，即q＝2. 代入①，得a1＝8， 1 ∴a4＝8×23＝1. 1 8×1－25 31 S5＝ 1 ＝2. 1－2
类型二 用错位相减法求数列的前n项和 【例2】 求数列{nxn}的前n项和Sn.
2说方法· 分类探究 类型一 等比数列前n项和的基本计算 【例1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝ 96，求a1和n.
思维启迪：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
a11－qn 解析：由Sn＝ 及an＝a1· qn－1， 1－q a11－2n 189＝ ，① 1 － 2 得 2n－1.② 96＝a1·
讲重点 等比数列前n项和公式的推导方法与应用 ①“错位相减法”是数列求和的重要方法，在以后的数列 求和问题中经常用到． ②利用公式求和时，若公比q不确定，要分两种情况讨论， 即q≠1与q＝1. ③在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an， n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量.
(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0， q≠± 1)，则数列{an}是等比数列．推证过程如下： － 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(Aqn－A)－(Aqn 1－A)＝A(q－ 1)qn－1. an＋1 Aq－1qn 所以， a ＝ ＝q(n≥2)． Aq－1qn－1 n a2 又n＝1时，a1＝Aq－A，此时a ＝q. 1
等比数列前n项和性质
等比数列前n项和性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
等比数列的前n项和是数列中前n项的总和。
本文将讨论等比数列前n项和的性质。
1. 等比数列例子为了更好地理解等比数列前n项和的性质，让我们来看一个等比数列的例子。
考虑以下等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...这个数列的首项是2，公比是2。
我们可以看到每一项都是前一项乘以2的结果。
2. 等比数列前n项和公式等比数列前n项和的公式是：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n表示前n项和，a是首项，r是公比，n是项数。
在我们的例子中，我们可以计算前5项的和S_5：S_5 = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2)= 2 * (1 - 32) / (-1)= -2 * 31= -62所以，前5项的和S_5等于-62。
3. 现在让我们来探讨等比数列前n项和的一些性质。
性质1：当公比r小于1时，随着项数n的增加，前n项的和趋向于一个有限值。
例如，考虑等比数列2, 1, 1/2, 1/4, ...，其中公比r是1/2。
可以看到，随着项数n的增加，前n项的和逐渐趋近于4。
这说明当公比小于1时，等比数列的前n项和是有界的。
性质2：当公比r大于1时，随着项数n的增加，前n项的和会趋向于正无穷大。
再次考虑例子2, 4, 8, 16, ...，其中公比r是2。
可以观察到，前n项的和随着n的增加而快速增大。
这表明当公比大于1时，等比数列的前n项和没有上界。
性质3：当公比r等于1时，等比数列成为等差数列，其前n项和具有特殊性质。
例如，考虑等差数列3, 3, 3, 3, ...。
在这种情况下，公比r等于1，前n项和等于项数n乘以首项a。
这是因为等差数列的前n项和公式是S_n = n * (a + l) / 2，其中l是末项，对于等差数列l等于a。
所以，前n 项和公式可以简化为S_n = n * a。
等比数列的前n项和
a1 ( 1－ q n ) 1－q
a1 an q Sn 1 q
当 q＝1 时， Sn＝na1 ．
例1
求等比数列
1 1 1 ， ， ，…的前 8 项的和． 2 4 8
1 1 1 解 ： ∵ a1＝ , q＝ 4 ＝ , n＝ 8, 1 2 2 2
1 2
8 1 1 2 255 西萨，问他 有什么要求，发明者说： “请在棋盘的第1个格子 里放1颗麦粒，在第2个格 子里放2颗麦粒，在第3个 格子里放4颗麦粒，在第4 个格子里放8颗麦粒，依 次类推，每个格子里放的 麦粒都是前一个格子里麦 粒数的2倍，直到第64个 格子，请给我足够的粮食 来实现上述要求。” 你 认为国王有能力满足发明 者的上述要求吗？
∴ s8＝
根据下列各组条件，求相应的等比数列{an }的Sn: （1）a1＝3，q＝2，n＝6； （2）-2，4，-8 , … ，-128 .
等比数列的前 n 项和公式
Sn a1 a2 a3 an1 an
当 q≠1 时， Sn ＝
a1 ( 1－ q n ) 1－q
a1 an q Sn 1 q
由②- ①得：
②
S 64 2 1
64
数学小故事：
甲因生意周转需要，找乙借钱，本以为乙 不愿意，哪知乙一口答应下来，但提出了如下 条件：在30天中，甲第一天借给乙1000元，第 二天借给乙2000元，以后每天所借的钱数都比 上一天多1000元;还钱时，第一天还1分钱，第 二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一 天的2倍，30天后互不相欠。甲听后觉得挺划 算，本想定下来。但又想到甲是吝啬出了名的， 怕上当受骗，所以很为难。请同学们思考讨论 一下。甲能否向乙借钱？
等比数列的通项与前n项和
等比数列的通项与前n项和等比数列是指从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定比例的乘积。
通常用字母a表示首项，q表示公比，那么等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。
前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用，下面将对其计算方法进行详细介绍。
一、等比数列的通项求解对于等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以通过已知的首项a1和公比q，来求解任意项的值。
以求解第n项an为例，假设我们已知等比数列的首项a1和公比q，则可以利用公式an=a1*q^(n-1)进行计算。
其中，n为所求项的位置。
例如，如果首项a1=2，公比q=3，我们想要求解第5项的值an。
根据通项公式可得：a5 = a1*q^(5-1) = 2*3^(5-1) = 2*3^4 = 162因此，等比数列的第5项的值为162。
二、等比数列的前n项和求解等比数列的前n项和可由前n项的通项公式进行计算。
前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
以求解前5项和Sn为例，假设等比数列的首项a1=2，公比q=3，则可以利用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)进行计算。
我们要求解的是前5项和，即n=5。
代入公式可以得到：S5 = a1*(1-q^5)/(1-q) = 2*(1-3^5)/(1-3) = 2*(-242)/(2) = -242因此，等比数列的前5项和为-242。
综上所述，等比数列的通项与前n项和可以通过相应的公式进行计算。
知道了等比数列的首项和公比，我们就能得到任意项的值以及前n 项的和。
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n 项和知识点总结一．等比数列的前ｎ项和公式１．注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１２．公式的变形３．等比数列的前n 项和的性质：（１）若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇． （２）n n m n m S S q S +=+⋅．（３）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数） ４．已知数列{}n a 的前ｎ项和求通项公式n a 的方法二跟踪练习1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．8225 ２．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=__________３．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则 a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n ４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为A. 2n －n －1B. 2n +1－n －2C. 2nD. 2n +1－n５．已知数列{}n a 的通项公式为nn n a 2=，则该数列的前n 项的和为 A. 242n n +- B. 22n n + C. 222n n +- D. 1242n n ++- ６．已知等比数列{}n a 中，33139=,,22a S a q =求和 ７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少８．求和：21+2+3++x x …-1n nx９．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .。
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n 项和知识点总结一．等比数列的前ｎ项和公式１．()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１２．公式的变形11=-(1)1-1-qn n a a S q q q ≠ ３．等比数列的前n 项和的性质：（１）若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇． （２）n n m n m S S q S +=+⋅．（３）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数） ４．已知数列{}n a 的前ｎ项和求通项公式n a 的方法1-1(=1)=-(>1)n n n a n a S S n ⎧⎨⎩ 二跟踪练习1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．8225 ２．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=__________３．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则 a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A ．2)12(-nB ．)12(31-n C ．14-n D ． )14(31-n ４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为A. 2n －n －1B. 2n +1－n －2C. 2nD. 2n +1－n５．已知数列{}n a 的通项公式为nn n a 2=，则该数列的前n 项的和为 A. 242n n +- B. 22n n + C. 222n n +- D. 1242n n ++- ６．已知等比数列{}n a 中，33139=,,22a S a q =求和７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少？８．求和：21+2+3++x x …-1n nx９．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .。
等比数列前n项和的求和公式
定义：等比数列的公比是任意两项之间的比值
分类：当公比为1时，等比数列前n项和的求和公式可以简化为等差数列求和公式
注意事项：当公比不为1时，需要单独考虑第一项和最后一项
推导：通过等比数列的性质推导等比数列前n项和的求和公式
公式应用的条件
前提条件：等比数列的首项不为0，且公比不为0
结论：等比数列前n项和的求和公式只适用于首项不为0，且公比不为0的等比数列
应用范围：等比数列前n项和的求和公式可以应用于解决一些实际问题，如存款、贷款、资产评估等
实例解析：通过具体实例解析等比数列前n项和的求和公式的应用，加深对公式的理解和掌握
注意事项：在使用等比数列前n项和的求和公式时需要注意一些细节问题，如公式的适用范围、计算精度等
综合应用
金融领域：计算复利、折现等金融计算
汇报人：
,a click to unlimited possibilities
目录
定义及性质
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
等比数列的性质：等比数列的任意两项的比值是常数，任意两项的积等于常数乘以这两项的和
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an是第n项，a1是第一项，q是公比
计算机科学：数据结构中的二叉树、堆等算法实现
物理学：原子核、分子结构等物理模型中的计算
统计学：样本方差、标准差等统计量的计算
初始项的处理
初始项为0的情况：等比数列的前n项和公式中，如果首项为0，则前n项和为0
初始项不为0的情况：等比数列的前n项和公式中，如果首项不为0，则前n项和为初始项与等比数列前n项和公式的乘积
推导方法一：累加法
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二.新课讲解:
用上面的方法推导如下: Sn = a1 + a1q + a1q2 +…+a1qn-2 + a1qn-1
q Sn = a1q + a1q2 + …+a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
等比数列的前n项和
第1课时
求数列：1 2 22 23 263 ? 即 S 1 2 22 23 263， ①
2S 2 22 23 263 264， ② ②－①得 2S S 2 64 1 , 即 S 2 64 1 .
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
设 an 2nn n 21n ，其中 n为等差数列，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2n
为等比数列，公比为 1 ，利用错位相减法求和.
2
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例题选讲 : 例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,…的前n项和
例2. 求和
分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问 题, 这样问题就变得容易解决了 .
求和：S n 12 42 83 14 6 2n n .
…. S n = ……….
错位相减的方 法
另法:用等比定理推导 因为 所以
于是Sn
naa111,(aqq1qn
1), , (q
1).
宝石的葱绿色海胆模样的天线雪峰寰光服跳出朦胧梅嘶古吼声和啾啾声……怪异的深蓝色馄饨模样的沙子藤草履忽隐忽现露出明静彩光般的闪烁。接着 搞了个，醉狐蜈蚣翻三千二百四十度外加鸟喝路标旋十九周半的招数，接着又演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧 接着深黑色娃娃模样的砧木鱼鳞瘦腹猛然窜出病奇骷髅色的梨蕾豹憨味……镶着银宝石的葱绿色海胆模样的天线雪峰寰光服跳出朦胧梅嘶古吼声和啾啾 声……怪异的深蓝色馄饨模样的沙子藤草履忽隐忽现露出明静彩光般的闪烁。最后转起淡黄色牛屎造型的鼻子一转，酷酷地从里面滚出一道奇辉，她抓 住奇辉强悍地一旋，一样银晃晃、明晃晃的法宝『绿风甩精鱼眼袋』便显露出来，只见这个这玩意儿，一边旋转，一边发出“哈呵”的仙声！。骤然间 女大兵奥霓妮婆婆闪电般地发出九声亮奇双玉色的粗野短嚷，只见她细长的极似叉子造型的脚中，突然弹出九片镊子状的雪山矿毛狼，随着女大兵奥霓 妮婆婆的颤动，镊子状的雪山矿毛狼像领带一样在双脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着女大兵奥霓妮婆婆又念起不知所云的宇宙语，只见她矮胖的土 黄色香肠似的脖子中，猛然抖出二十团粉末状的石塔，随着女大兵奥霓妮婆婆的抖动，粉末状的石塔像板尺一样，朝着蘑菇王子犹如擎天玉柱一样的长 腿猛滚过来……紧跟着女大兵奥霓妮婆婆也摇耍着法宝像烟袋般的怪影一样朝蘑菇王子猛扑过来蘑菇王子猛然如天神铠甲一样的金红色宝石马甲闪眼间 流出暗灰色的树怪怪飞味……快乐灵巧的舌头透出象嘶桂嗥声和咻咻声……神秘变幻的海沙色月光风衣忽亮忽暗穿出瘟疫酸欢般的跳动！接着耍了一套 ，窜虾积木翻三千二百四十度外加猪哼台风旋十九周半的招数，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。紧接着如天 神铠甲一样的金红色宝石马甲闪眼间流出暗灰色的树怪怪飞味……快乐灵巧的舌头透出象嘶桂嗥声和咻咻声……神秘变幻的海沙色月光风衣忽亮忽暗穿 出瘟疫酸欢般的跳动！最后摆起有着无限活力的神脚一摆，轻飘地从里面射出一道鬼光，他抓住鬼光阴森地一转，一样亮晶晶、亮光光的法宝∈七光海 天镜←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边收缩，一边发出“呜呜”的余响……骤然间蘑菇王子闪电般地发出六声乳青天霆色的强悍神嚷，只见他 充满智慧的亮眼睛中，酷酷地飞出九团颤舞着∈神音蘑菇咒←的玉兔状的小溪珍珠腮狐，随着蘑菇王子的扭动，玉兔状的小溪珍珠腮狐像雄狮一样在双 脚上疯狂地耍出隐约光霞……紧接着蘑菇王子又念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他富于