2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 专题跟踪训练15 三角恒等变换与解三角形 理

专题跟踪训练(十五) 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2018·广东七校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B.223 C ．－13 D.1
3
[解析] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，得32sin α＋12cos α＋cos α＝－33，即
32sin α＋32cos α＝－3
3
，
亦即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－α＝sin ⎝ ⎛α
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6－α＝
⎦⎥⎤⎭⎪⎫2α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2α＝－79.
＝3，B ＝π
3
，则A 等于( ) A.
π6 B.π4 C.3π4 D.π4或3π
4
[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以sin A ＝a sin B
b
＝
2×sin
π
3
3
＝
22，所以A ＝π4
或3π4.又a <b ，所以A <B ，所以A ＝π
4
. [答案] B
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B ＝2C,2b cos C －2c cos B ＝a ，则角A 的大小为( )
A.
π2 B.π3 C.π4 D.π6
[解析] 由正弦定理得2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin B cos C ＝3sin C cos B ，sin2C cos C ＝3sin C cos2C,2cos 2
C ＝3(cos 2
C －sin 2
C )，tan 2
C ＝13，∵B ＝2C ，∴C 为锐角，∴tan C ＝33，C ＝π6，B ＝π3，A ＝π
2
，故选A. [答案] A
5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝2
3
，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D. 6
[解析] b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×2
3
＝6，b ＝6，故选D.
[答案] D
6．(2018·山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，△ACD 为正三角形，则△BCD 面积的最大值为( )
B.
3＋1
2
D.3＋1
＝α，∠ACB ＝β，由余弦定理得：AC 2
＝12
＋22
－2×1×2cos α，∵△ACD 为正三角形，∴CD 2＝AC 2
＝5－4cos α，S △BCD ＝12·2·CD ·sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π3＋β＝CD ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＝32
CD ·cos β＋12CD ·sin β，在△ABC 中，由正弦定理得：1sin β＝
AC
sin α
，∴AC ·sin β＝sin α，∴CD ·sin β＝sin α，∴(CD ·cos β)2＝CD 2(1－sin 2β)＝CD
2
－sin 2
α＝5－4cos α－sin 2
α＝(2－cos α)2
，∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ·cos β＝2－
cos α，∴S △BCD ＝
32CD ·cos β＋12CD ·sin β＝32·(2－cos α)＋12
sin α＝3＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3，当α＝5π6时，(S △BCD )max ＝3＋1.
[答案] D 二、填空题
7．(2018·长春二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )sin C ，则A ＝________.
[解析] 由已知，根据正弦定理得2a 2
＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2
＝b 2
＋c 2
＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，故cos A ＝－12
，又A 为三角形的内角，故A ＝120°.
[答案] 120°
8．计算：4cos50°－tan40°＝________. [解析] 4cos50°－tan40°＝4sin40°－si n40°
cos40°
＝4cos40°sin40°－sin40°
cos40°
＝2sin80°－sin40°
cos40°
＝－－sin40°
cos40°
＝3cos40°＋sin40°－sin40°
cos40°
＝
3cos40°
cos40°
＝ 3.
[答案]
3
9．(2018·安徽合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝
22
3
，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________．
[解析] 已知b cos A ＋a cos B ＝2，由正弦定理可得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2(R 为△
ABC 的外接圆半径)．利用两角和的正弦公式得2R sin(A ＋B )＝2，则2R sin C ＝2，因为cos C
＝223，所以sin C ＝13
，所以R ＝3.故△ABC 的外接圆面积为9π.
[答案] 9π 三、解答题
10．(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55
.
(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．
[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4
3cos α.
因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2
α＝925，
所以cos2α＝2cos 2
α－1＝－725
.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又因为cos(α＋β)＝－
55
， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2
α＋β
＝255
，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2
α＝－24
7. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(αα－
α＋β＝－211
.
11．(2018·河北保定三模)在△分别为内角A ，B ，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a
S .
·cos B ＝sin B cos A ，即有54sin C cos B ＝sin A cos B ＋
C >0，∴cos B ＝4
5
.
(1)由cos B ＝45，得sin B ＝3
5，
∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝2
3.
又∵a ＋b ＝10，∴a ＝4.
(2)∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5，∴45＝25＋c 2
－8c ，即c 2
－8c －20＝0，解得c ＝10或c ＝－2(舍去)，
∴S ＝1
2
ac sin B ＝15.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B
cos A .
(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． [解] (1)证明：由题意知2⎝
⎛⎭⎪
⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B
，
化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B . 因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C . 从而sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理得a ＋b ＝2c . (2)由(1)知c ＝
a ＋b
2
，
所以cos C ＝
a 2＋
b 2
－c
2
2ab
＝a 2＋b 2－⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
2ab
＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12
， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 故cos C 的最小值为1
2
.。