人教课标版高中数学必修5《正弦定理》基础训练

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人教课标版高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》练习课参考学案

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用定理；已知两角和一边，用定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝b＝，解此三角形．二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a＝，b＝； ③ A ＝6π，a ＝50，b＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（）.A. 13B. 23C. 43D. 53 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。

高中数学必修5 第1章解三角形配套练习第2课时——正弦定理(2)(配套作业)

第1页共1页第2课时正弦定理（2）分层训练1．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B 。

等腰或直角三角形 C 。

等腰直角三角形 D 。

等腰三角形 2．在△ABC 中，已知∠B=045，334b 22==，c ,则∠A 的值是（）A ．015B 。

075C 。

0105D 。

075或015 3．在△ABC 中，A=450，B=600，则=+-ba ba 4．在△ABC中，c a b +=2，则1cos cos cos cos sin sin 3A C A C A C +-+＝5．已知 A 、B 、C 是一条直路上的三点，且AB=BC=1km ，从A 点看塔M 在北450东，B 点看塔M 在正东方向，在C 点看塔M 在南600东，求塔M 到这段路的最短距离。

6．在△ABC 中，已知cos 2(2π－A)+cosA=45，且b+c=3a ，求cos 2CB -7．在△ABC 中，a ab + =AB Bsin sin sin -且cos2C+cosC=1－cos(A －B)，试判别其形状。

8．在△ABC 中，)sin()sin(B A B A +-=cbc 22-，求cos2CB +。

拓展延伸9．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，S=35，求c 的长度。

本节学习疑点：。

人教A版高中数学必修五第一章1.1.1正弦定理【练习】(教师版).docx

1.1.1正弦定理一、选择题：1. 在中，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】 D【解析】根据正弦定理得，故选D.2. 在△ABC 中，若2,23a b ==, 030A = , 则B 等于（）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得2233sin sin 30sin 2B B B=∴=∴=60或 120 3. 在ABC △中，角 A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，若522a b A B ==，，则cos B =（） A ．53 B ．54 C ．55 D ．56【答案】B 【解析】由已知52a b =，根据正弦定理变形有5sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，ABC △45 60 10A B a =︒=︒=，，b =52102106356sin sin a bA B=310sin 256sin 22a Bb A ⨯===则5sin sin 22B B =，即5sin 2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以5cos 4B =，故选B. 4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（）A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =，C C cos sin =，又∵B ，C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ，故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b s in 2s in s in s in s in 2s in s in ==++=++，故B 正确；在ABC ∆，设外接圆的半径为R ，若sin sin A B >，则B R A R sin 2sin 2>，由正弦定理可得b a >，即A B >；若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确；∵sin 2sin 2A B =，∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0c o s=+B A 或()0sin =-B A ，∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选：D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（）A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得：3 23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+- 3()12222sinB cosB sinB =++3323()236sinB cosB sin B π=+=+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选：C. 二、填空题： 7. 在中，若则【答案】【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BAb a B b A a ,故填：8. 在ABC ∆中，6=AC ,2=BC ,060=B ,则=C ．【答案】075【解析】在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC BCB A =，即62sin 32B=，得2sin 2B =，且AC BC >，则45B =，180456075C =--=，故答案为075.9. 在三角形ABC 中若030,23,2B AB AC ===．则满足条件的三角形的个数为 .【答案】2【解析】由正弦定理得3,sin sin sin 2c b C C B ==，由于c b >所以有两种可能，故填2. 10. 已知ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，1a =，3c =，30A ∠=，则b 等于__________. 【答案】1或2 【解析】由正弦弦定理得313,sin sin sin 302C C ==，又因为c a >，所以0120C =或060C =，则030B =523523或090B =，则1b =或2b =.。

人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习

正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。

人教A版高中数学必修五正弦定理同步练习第课时

新课程同步课时练习——正弦定理 (1)【基础练习】1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有（）A ．A=B B ．A ≠BC ．A=B 或A=C －BD ．A+B=2π 2．在△ABC 中，三个式子AB AC ⋅≤0，BA BC ⋅≤0，CA CB ⋅≤0中（）A ．A 至少有一个成立B ．至多有一个成立C ．都不成立D ．可以同时成立3．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，若A>B ，则的（）A ．sin A ＜sinB B ．sinA=sinBC ．sinA>sinBD ．sinA 与sinB 大小不确定【巩固练习】1．在△ABC 中，b=2asinB ，则B+C 等于（）A ．300B ．1500C ．300或1500D ．600或15002．在△ABC 中，b =，，C=600，则A 等于（） A ．1500 B ．750C ．1050D ．750或10503．△ABC 中，(b+c):(a+c):(a+b)=4:5:6，则sinA:sinB:sinC 等于（）A ．6:5:4B ．3:5:7C ．4:5:6D ．7:5:34．已知△ABC 中，b=3，B=300，则a=___________.5．已知△ABC 中，A=600，C=4，那么sinC=_____________.6．在△ABC 中，a+b=12，A=600，B=450，则a 、b 的值分别等于___________.7．已知△ABC 中，解三角形：(1) c=10，A=450，C=300；A=450，B=600；，B=450.8．已知△ABC的面积为1，tanB=12，tanC=－2，求△ABC的边长以及△ABC外接圆的面积.9．已知△ABC中，AB=L，∠C=500，则∠B为多少时，BC的长度取得最大值新课程同步课时练习——正弦定理 (1)参考答案【基础练习】1.A2.B3.B4.C【巩固练习】1.C2.C3.D4.6或35.552 6.36－26 或126－24 7. (1)210=a 105=B )26(5+=c (2) 75=C , a=3-3,b=2)26(3- (3) ,60 =A 75=C 226+=c 或,120 =A 15=C ，226-=c 8.a=3 ,b=315,c=3152,s=1225π 9. 40。

人教版高中数学必修五练习第一章 1.1.1正弦定理(二)

1．1．1 正弦定理(二)一、基础过关1．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135° 3．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解4．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于( )A.3＋1B.3－1C.3＋2D.3－25．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.34或326．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________． 7．在△ABC 中，已知23a sin B ＝3b ，且cos B ＝cos C ，试判断△ABC 的形状．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S . 二、能力提升9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 210．在△ABC 中，若acos A 2＝b cos B 2＝c cosC 2，则△ABC 的形状是________．11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝______，c ＝______.12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 内切圆的半径．三、探究与拓展13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．答案1．B 2.C 3.D 4.A 5.D 6.2 7．解 ∵23a sin B ＝3b ，∴23·(2R sin A )·sin B ＝3(2R sin B )， ∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°. ∵cos B ＝cos C ，∴B ＝C .当A ＝60°时，△ABC 是等边三角形；当A ＝120°时，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形． 8．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.9．D 10.等边三角形 11.12 6 12．解由正弦定理知sin B sin A ＝ba，∴cos A cos B ＝sin Bsin A.∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝2.13．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2，∴C 为钝角． ∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝55·⎝⎛⎭⎫－55＋255·255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆的面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。

人教新课标版数学高二-数学必修5训练 1.1.1正弦定理

数学·必修5(人教A版)本章概述课标导读1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.要点点击1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变．2.注意使用三角形内角和为180°.3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理．4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.网络构建1.1正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理►基础达标1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°，故选C.答案：C2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶1解析：设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由A ＋B ＋C ＝180°，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2. C 答案：C4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：∵b sin B ＝a32，∴sin A ＝32，∵△ABC 是钝角三角形，∴A＝π3. 答案：D5．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________.解析：∵B ＝30°，C ＝135°， ∴A ＝180°－30°－135°＝15°. 由正弦定理，a sin A ＝b sin B 得：a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝4sin 15°.又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝64－24， ∴a ＝6－ 2. 答案：6－ 2►巩固提高6．在△ABC 中，如果B ＝31°，a ＝20，b ＝10，则此三角形( ) A ．有两解 B ．有一解C ．无解D ．有无穷多解解析：∵a sin B ＞b ，∴无解．答案：C7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝b sin Aa ＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.答案：π28．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， ∴C ＝60°或120°，①当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；②当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或29．已知：在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，解此三角形．解析：c sin C ＝a sin A ⇒sin C ＝c sin A a ＝6×24＝32，当C ＝60°时，B ＝75°，∴b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝120°时，B ＝15°，∴b ＝a sin Bsin A ＝3－1.10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解析：由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，由a cos A＝b cos B得，sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.即A＝B或A＋B＝π，2∴△ABC为等腰或直角三角形．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有当A为锐角且b sin A ＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．特别强调：把a＝2R sin A，b＝2R sin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．。

人教A版高中数学必修五《1.1.1正弦定理》练习题.docx

& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷 §1.1.1 正弦定理一.知识与技能目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．二.课内检测1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（）. A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶2 C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ． 6（选作）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．三.课外作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．3. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．4. 在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．5.在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中，求和．6（选作）在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____.7.（选作）在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数答案：6（选作） 2<x<22 7.（选作） 300 或1500。

人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 1.1.1正弦定理

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理的简单应用1、6、12利用正弦定理解三角形3、4、5、7、9、10 判断三角形的形状2、8、11基础达标1.在△ABC中,下列式子与的值相等的是( C )(A)(B)(C) (D)解析:由正弦定理得=,所以=,故选C.2.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是( B )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形解析:由sin A=sin C得=,所以a=c.因此△ABC是等腰三角形,故选B.3.(2014临沂高二质量抽测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:最短边为b,由正弦定理得=,∴b==.故选C.4.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于( D )(A)30°或60°(B)45°或60°(C)120°或60°(D)30°或150°解析:由正弦定理及b=2asin B可得sin B=2sin A·sin B,又sin B≠0,∴可得2sin A=1,∴sin A=.又0°<A<180°,∴A=30°或150°.故选D.5.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=( B )(A)4(B)2(C) (D)解析:由正弦定理得=,∴AC===2.故选B.6.(2013年高考湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于.解析:由正弦定理得,2sin Asin B=sin B,sin A=,因为△ABC为锐角三角形,所以A=.答案:7.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C的大小为.解析:在△ABC中,由正弦定理得=,可得=,∴sin B=,又a>b,∴A>B.∴B=,∴∠C=π--=.答案:能力提升8.若a,b,c是△ABC的三边长,a=2csin A,且bcos C=(2a-c)cos B,则△ABC一定是( D )(A)钝角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)直角三角形解析:由正弦定理及bcos C=(2a-c)cos B可得sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B.∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos B.即sin(B+C)=2sin Acos B.又B+C=π-A,∴可得sin A=2sin Acos B,又sin A≠0,∴cos B=.∴B=60°.由正弦定理及a=2csin A可得,sin A=2sin Csin A.∵sin A≠0,∴sin C=.∴C=30°或150°(舍去)∴A=180°-B-C=90°,故△ABC为直角三角形.故选D.9.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .解析:∵cos A=,cos B=,∴sin A=,sin B=.∴sin C=sin(A+B)=×+×=,由正弦定理=,得=,解得c=.答案:10.△ABC中,其内角A、B、C所对的边a、b、c满足2b2=3ac,且B=60°,求A.解:∵B=60°,∴A+C=120°.由2b2=3ac及正弦定理得,2sin2B=3sin Asin C,∴sin Asin C=.又cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C=cos Acos C-=cos 120°=-,∴cos Acos C=0,∴cos A=0或cos C=0.∴A=90°或A=30°.11.在△ABC中,若=≠1,试判断该三角形的形状.解:由正弦定理及已知得==,∴sin Bcos B=sin Acos A,∴sin 2A=sin 2B,∵a≠b,∴A≠B,∴2A=π-2B,∴A+B=,∴C=,∴△ABC为直角三角形.探究创新12.(2014周口高二期末)在锐角△ABC中,|BC|=,B=2A,则|AC|的取值范围是.解析:由正弦定理得=,∴=,∴AC=cos A.又△ABC是锐角三角形.∴90°<A+B<180°,且B<90°, 又B=2A,∴30°<A<45°,∴<cos A<.答案:(,)。

人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习正弦定理(一)

第一章解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.123．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .二、能力提升9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π610．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，40311．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.12．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，求角C的大小．答案1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.5237．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°) ＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A ＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A ＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B ) ＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C＝2ab sin C ＝右边，∴等式成立．9．D 10.D 11.10212．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ， ∴tan A ＝33，∴A ＝30°.13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C ) ＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.。

人教新课标版数学高二-人教数学必修五练习1.1.1正弦定理

课后巩固作业（一）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为( )（A ）（B ）（C ）（D ）2.已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C=3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c=( )(A)3∶2∶1 (B)3∶2∶1 (C)3∶2∶1 (D)2∶3∶13.（2011· 浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB ，则sinAcosA+cos 2B=( ) (A)12 (B)12(C)-1 (D)14.已知在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )(A)x>2 (B)x<2二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2011·新课标全国高考)在△ABC 中，B=60°，AB+2BC 的最大值为_______.6.在△ABC 中，若ab c A B C cos cos cos 222==，则△ABC 一定是______三角形. 三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知在△ABC 中，A=30°，求c.8.在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，且sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断三角形的形状.【挑战能力】（10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知A-C=90°，b ，求C.答案解析1.【解析】选C.设30°角所对的边长为x ，由正弦定理得4x sin45sin30=︒︒，得14x 2⨯== 2.【解析】选D.由A ∶B ∶C=3∶2∶1及A+B+C=180°，可解得A=90°，B=60°，C=30°，∴a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=1∶12,即a ∶b ∶c=2∶1.3.【解题提示】用正弦定理统一到角的关系上，再用同角三角函数的平方关系即可解决.【解析】选D.由acosA=bsinB 可得sinAcosA=sin 2B,所以sinAcosA+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.【解析】选C.由题设条件可知x>2且xsin45°<2，∴.5.【解题提示】利用三角函数知识化简AB+2BC ，统一角变量，然后求最大值.【解析】令AB=c,BC=a,由正弦定理得：a c AC 2,sinA sinC sinB 2==== ∴c=2sinC,a=2sinA ，且A+C=120°，∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=12sinC 4sinC 22++）sin(C+ϕ)(其中tan ϕ=2). ∴当C+ϕ=90°时，AB+2BC 取最大值为.答案：6.【解析】由正弦定理及ab c A B C cos cos cos 222==可得sinA sinB sinC==，A B Ccos cos cos222即A B C==，sin sin sin222又A，B，C为三角形内角,∴A=B=C，∴三角形为等边三角形.答案：等边【方法技巧】判断三角形的形状需注意的问题：利用正弦定理判断三角形的形状时，主要就是利用正弦定理的变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R为三角形外接圆的半径）把角化为边，再利用三角恒等变换的知识化简即可.7.【解题提示】先由正弦定理求出B，再根据三角形内角和定理求出C，从而求出c.【解析】由正弦定理得bsinA===sinBa又∵b>a，∴B＞A，所以B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，∴当B=120°时，C=A=30°，∴c=a=5，综上可知8.【解析】∵A、B、C是三角形的内角，∴A=π-(B+C)，∴sinA=sin(B+C)=sinBcos C+cosBsinC=2sinBcosC.∴sinBcosC-cosBsinC=0，∴sin(B-C)=0,又∵0<B<π,0<C<π，∴-π<B-C<π，∴B=C.又∵sin2A=sin2B+sin2C,且a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，(R为△ABC外接圆的半径)可得a2=b2+c2,∴A是直角，∴△ABC是等腰直角三角形.【误区警示】化简过程中，在利用两角和差的正弦公式时容易出现错误，需要引起注意.【挑战能力】【解题提示】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A-C=90°,得到sinA=cosC ，即可求解. 【解析】由A-C=90°，得A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，b 可变形为sinB，又∵sinA=cosC，∴sin(C+45°)，sin(C+45°sinB，又A、B、C是△ABC的内角，故C+45°=B或（C+45°)+B=180°(舍去)，所以A+B+C=（90°+C)+（C+45°)+C=180°.所以C=15°.。

高二数学人教A必修5练习：1.1.1 正弦定理 Word版含解析.docx

课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA =bcosBB.ab=sinAsinBC.a sin B=b cos AD.a=b sin A 答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√3∶2∶1C.√3∶√2∶1D.2∶√3∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=π6,故A=π2,B=π3,C=π6.∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶√32∶12=2∶√3∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于() A.8√3 B.2√39C.28√3D.2√3答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+c sinA+sinB+sinC =asinA=3sin60°=32=2√3.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√2,b=√3,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sin A=√22,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√3,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√3,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴AB sin30°<BC<4.∴2<BC<4,故选B.7.在△ABC中,a=√3,b=√2,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=√32.∵a>b,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理asinA =bsinB,得b=asinB=5×sin120°=5√6.9.在△ABC中,已知a=2,c=√6,C=π3,求A,B,b.解:∵a=c,∴sin A=asinC=√2.∵c>a,∴C>A.∴A=π.∴B=5π12,b=csinBsinC=√6×sin5π12sinπ3=√3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵b cos C+c cos B=a sin A,∴由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A,即sin(B+C)=sin A sin A,可得sin A=1,故A=π2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c cos A,c=2b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2c cos A,根据正弦定理,得sin B=2sin C cos A,∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,代入上式,可得sin A cos C+cos A sin C=2sin C cos A,即sin A cos C-cos A sin C=sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵asinA =bsinB=csinC,∴acos A2=bcos B2=ccos C2,可化为sinAcos A2=sinBcos B2=sinCcos C2,即sin A2=sin B2=sin C2.∵A,B,C均为三角形的内角, ∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若A=30°,B=45°,BC=√2,则AC 等于( )A.2√33 B.2 C.1D.√32答案:B解析:由正弦定理可得AC sinB =BCsinA ,从而有AC=BCsinBsinA =√2×sin45°sin30°=2,故选B .2.在△ABC 中,已知a=5√2,c=10,A=30°,则B 等于 ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理csinC =asinA ,得10sinC=5√2sin30°,sin C=√22.∵a<c ,∴A<C ,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=b sin B ,则sin A cos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA =bsinB =2R 得,a=2R sin A ,b=2R sin B ,∴a cos A=b sin B 可化为sin A cos A=sin 2B. ∴sin A cos A+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.在△ABC 中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,C=2A ,cos A=34,则ca 的值为( ) A.2 B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosA sinA =2cos A=32. 5.在△ABC 中,b=2√2,a=2,且三角形有解,则A 的取值范围是( ) A.0°<A<30°B.0°<A ≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤√22.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√3,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,从而32=√3sinB,即sin B=12,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√3a sin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√3a sin B化为3sin B=2√3sin A sin B.∴sin A=√32.∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3.又∵cos B=cos C,0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.a sin B cos C+c sin B cos A=12b,且a>b,则B=.答案:π6解析:由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R,得2R sin A sin B cos C+2R sin C sin B cos A=12×2R sin B.由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=12,即sin(π-B)=sin B=12.因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=π6.9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.解:由已知得a 2sinBcosB =b2sinAcosA,由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B(R为△ABC的外接圆半径),∴4R 2sin 2AsinB cosB=4R 2sin 2BsinAcosA. ∴sin A cos A=sin B cos B. ∴sin2A=sin2B.又A ,B 为三角形的内角,∴2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,且b=6,a=2√3,A=30°,求ac 的值. 解:由正弦定理asinA=bsinB得 sin B=bsinA a=2√3=√32.由条件b=6,a=2√3,知b>a ,所以B>A.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在Rt △ABC 中,C=90°,a=2√3,b=6,则c=4√3,∴ac=2√3×4√3=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C ,则有a=c=2√3.∴ac=2√3×2√3=12.。

人教版数学高二人教B版必修5课后练习(一) 正弦定理作业

课时跟踪检测（一）正弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3B.33C.63D．－63解析：选B由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，所以sin A＝3sin B sin A，故sinB＝33.6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．解析：①中a＝b sin A，有一解；②中c sin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎫a2R2－⎝⎛⎭⎫b2R2＝⎝⎛⎭⎫c2R2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝b sin Csin B＝1×sin 30°sin 45°＝22.答案：2 29．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：选A ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C.3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633D ．2 3解析：选B 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝asin A ＝13sin 60°＝2393.4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝b sin 45°，所以32b ＝22a ， ① 又因为a ＋b ＝12， ②由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. 答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：01【基础】正弦定理

正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识 1.ABC ∆中（1）一般约定：ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ；（2）0180A B C ++=；（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >⇔>；等边对等角，等角对等边，即B C b c =⇔=；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<. 2.Rt ABC ∆中，090C ∠=，（1）090B A +=，（2）222a b c += （3）sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =； cos b A c =，cos aB c=，cos 0C =要点二、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sin sin sin a b cA B C==直角三角形中的正弦定理的推导证明：sin a A c =， s i n b B c =， s i n 1C =，即：sin a c A =，sin b c B =，sin cc C =，∴sin sin sin a b c A B C==．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当ABC ∆为锐角三角形时过A 作单位向量j 垂直于AC ，则AC +CB = 两边同乘以单位向量，得j ⋅(+)=j ⋅，即j AC j CB j AB ⋅+⋅=⋅∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ⋅+⋅-=⋅-，∵0j AC ⋅=，||1j =，||CB a =，||AB c =，cos(90)sin C C -=，cos(90)sin A A -=∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a cA C=，同理：若过C 作垂直于得：sin sin b cB C=∴sin sin sin a b c A B C==，（2）当ABC ∆为钝角三角形时设90A ∠>，过A 作单位向量j 垂直于向量AC ，同样可证得：sin sin sin a b cA B C==．法二：圆转化法（1）当ABC ∆为锐角三角形时如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，∴sin sin 2c C D R==， ∴2sin cR C=（R 为ABC ∆的外接圆半径）同理：2sin a R A =，2sin bR B =故：2sin sin sin a b c R A B C ===（2）当ABC ∆为钝角三角形时如图，sin sin sin 2a A E F R===. 法三：面积法任意斜ABC ∆中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A =111sin sin 222ABC S AB CH AB AC A bc A ∆=⋅=⋅= 同理：1sin 2ABC S ab C ∆=，1sin 2ABC S ac B ∆=故111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b cA B C==要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。

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《正弦定理》基础训练一、选择题 1．在中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos a bA B=，则角B 的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．在中，::4:1:1A B C =，则::a b c = （）A ．4:1:1B ．2:1:1C ．2:1:1D ．3:1:1 3．在中，下列关系中一定成立的是 ( )A ．a bsinA >B ．a bsinA =C ．a bsinA ≤D ．a bsinA ≥ 4．在中，30,2sin sin sin a c bB b AC Bο+-===+-,则（）A ．2B ．3C 2D ．325．在中，45,30,2,A B b a ︒︒===则的值为（）A ．4B ．22C ．3D ．2 6．在中，若15,10,60,sin a b A B ︒====则（）A ．33 B ．63 C ．22 D ．327．的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos A bB a==，则角C 的大小为（） A ．60︒ B ．75︒ C ．90︒ D ．120︒ 8．在中，3,3,60,a b A B ︒===那么角等于（）A ．30︒B ．60︒C ．300︒︒或15D ．600︒︒或12 9．已知中，43,2,30,b c C ︒===那么此三角形（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．解的个数不确定 10．设中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos ,a B bC A c -=则是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定二、填空题 11．在中，若13,cos 2a A ==-，则的外接圆半径为。

12．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设在中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则2sin 2sin sin a b cA B C ++= 。

13．在中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若63,2,cos ,=3a B A Ab ===则。

14．在中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21,3,,=3b c C a π===则。

15．在中，角sin 120,5,7,sin BA AB BC C︒===则的值为。

16．已知中，,2,45,a x b B ︒===若三角形有两个解，则x 的取值范围是。

17．在中，()lg sin sin 2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则此三角形的形状是。

三、解答题 18．设中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,,sin()2sin ,3c C A C A a π==+=若求的值。

19．在中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量2cos ,sin ,cos ,2sin , 1.2222A A A A m n m n ⎛⎫⎛⎫==-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有（1）cos A 求的值；（2）若23,2,a b c ==求的值. 20．已知在中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()4,0,a b x x ==>30A ︒=，当x 分别为何值时，三角形有两解？有一解？无解？参考答案1. B 由sin sin a b A B =及sin cos a b A B =，可得sin cos B B =，∵0<B <π，∴ 4B π=.2. D ∵A +B +C =180º，A ：B ：C =4：1：1，∴A = 120°，B = 30°，C = 30°. 由正弦定理得311::sin :sin :sin sin120:sin30:sin30::22a b c A B C ====.3. D ∵sin B ≤1， sin A >0， ∴ sin A sin B ≤sin A .由正弦定理，得a =2R sin A ，b =2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径， ∴sin 2a A R =，sin 2b B R=，即a ≥b sin A .4. A 在△ABC中，2sin sin sin a b cR A B C ===，R 为△ABC 外接圆半径，则由等比性质，得2sin sin sin sin sin 30a cb b A C B B +-===+-5. B由sin sin a b A B =得2sin 45sin 30a =，解得a = B.6. A 由sin sin a b A B =得10sin 2sin 153b A B a === 7. C 由正弦定理得sin sin bB a A =∴cos cos s sin inA B B A=，∴sin2sin 2A B =，∴A =B 或A +B =90º，∵,90bA B C a=≠∴=.8. Asin 13,60,sin 2b A a b A B a ===∴==，a >b ，. A >B ，∴B =30º.9. C由正弦定理和已知条件得2sin sin 30B =，sin B ∴= 31>，∴此三角形无解.10. B 设△ABC 外接圆半径为R ，由2sin sin sin a b cR A B C===得sin cos sin cos sin A B B A C -= ，即sin()sin A B C -= ， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴ A -B =C ，即A =B +C = 90º，则△ABC 为直角三角形.故选B. 11.解析：由1cos 2A =-，得sin 2A ==，设△ABC 外接圆半径为R，由正弦定理，有2sin aR A== 即△ABC12. 答案 7解析 △ABC 的外接圆直径为2R =2，R 为△ABC 外接圆半径， ∴22sin sin sin a b c R A B C ====，∴22147sin 2sin sin a b cA B C ++=++= 13. 答案解析cos sin A A =∴=，∵B =2A ，∴ sin B =sin 2A =2sin A cos A= 3，又,sin sin b ab B A =∴= 14. 答案 1解析由21,3b c π===及正弦定理12sin sin sin sin 3b c B C B π==得， 1sin =2B ∴2C ,366B B A πππ=∴∴==，为锐角，故1a b ==. 15. 答案 35解析120,5,7A AB BC === ，∴由正弦定理得sin C =，sin 3sin sin()14sin 11cos ,514B B A C CC ∴=+∴===16. 答案 2x <<解析要使三角形有两解，则a >b ，且sin 1A < 由sin sin sin sin a ba B A x A Bb ===得， 2,214x x x >⎧∴∴<<<⎪⎩ 17. 答案直角三角形解析由题意得2sin lg(sin sin )lgsin sin BA C C A+=-， 222sin sin sin C A B ∴-=，结合正弦定理得222c a b =+ ∴△ABC 为直角三角形.18. 解析2C ,sin()2sin ,sin()2sin 33A C A AAππ=+=∴+= 1sin 2sin ,tan =223 6cos A A A A A π∴+∴==整理，得由sin sin a c A C=，得13sin sin c A a C ⨯=== 19. 解析 (1)cos ,cos (2sin ),(sin )2222,1,2A A A m n m n A==⋅-=-， 22cos 22sin 122A A ∴-=- 12cos 1,cos 2A A ∴=-=-(2)由(1)知1cos 2A =-，0,23A A ππ<<∴=2123,2\,sin sin 2sin 3a b B B ===∴=0,B A,6B B ππ<<<∴=,26C A B B c b ππ∴=--==∴==20. 解析当4x ≤时，由大边对大角知B 为锐角，sin 1sin 2x A B a =≤，此时△ABC 有一解.当4<x <8时，由sin sin x A B a =，得1sin 12B << ，此时B 不一定为锐角，所以B 有两种结果，此时△ABC 有两解.当x =8时，sin B =1，B = 90°，此时△ABC 有一解. 当x >8时，sin sin 1x AB a=>，B 无解，所以△ABC 无解.综上可知，当x≤4或x=8时，△ABC有一解；当4<x<8时，△ABC有两解；当x>8时，无解.。