定积分的发展史.docx
概述定积分的发展及应用
概述定积分的发展与应用摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的xy dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人理解到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.3 完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=n k k k k n x x xf s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=xx dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,所以,他把不定积分写成：C dt t f dx x f xx +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f xx -=⎰.至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.二 定积分在不同学科中的应用1 定积分在分析中的应用例1 求极限nn n n ⋅++++∞→ 321lim .解：因为∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 11321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b i a i +=-+=1ξ,nn a b x i 1=-=∆. 故：原式321lim 101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i n i n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(x x f -=在区间[]1,0上的一个和式的极限.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n n n n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→10102126|2arcsin 411)(41lim πx dx x n n i n i n . 2 定积分在几何中的应用(1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积.分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面积.解：解方程组⎩⎨⎧-==422x y x y 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景引言定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、经济学等领域中具有广泛应用。
在本文中，我们将探讨定积分的起源和背景，以便更好地理解这一概念的意义和应用。
定积分的概念定积分是对函数在一个区间上的积分进行定义和计算的过程。
它是微积分中的积分概念的一个重要分支，与不定积分和微分方程等同样重要。
定积分的定义在一个闭区间[a, b]上，将其等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
选择每个小区间中的一个代表点xi，并计算函数f(xi)在该小区间上的面积Δs。
将所有小区间上的面积Δs相加，并取极限得到区间[a, b]上的定积分值。
定积分的表示定积分的表示方法非常简洁。
代表区间[a, b]上的函数f(x)的定积分可以用下面的数学符号来表示：∫[a, b]f(x)dx其中∫代表积分符号，a和b为积分的上限和下限，f(x)为积分的被积函数，dx表示x的微小变化。
定积分的起源古代希腊定积分的起源可以追溯到古代希腊。
古希腊数学家阿基米德在研究物理问题时，使用了一种近似求和的方法，这种方法可以看作是定积分的雏形。
他通过将曲线分割为无限多个短小的线段，然后对这些线段的长度进行求和，得到了图形的面积近似值。
牛顿和莱布尼茨定积分的现代定义和形式是在17世纪由牛顿和莱布尼茨独立发现的。
他们发现了微积分的基本原理，并建立了定积分的数学理论体系。
牛顿和莱布尼茨的工作奠定了微积分的基础，为定积分的应用奠定了坚实的数学基础。
定积分的背景物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。
物理学家使用定积分来计算曲线下的面积和体积，从而解决各种物理问题。
例如，在动力学中，物体的位移可以通过计算速度-时间曲线下的定积分得到；在电磁学中，电场强度可以通过计算电荷分布下的定积分得到。
经济学中的应用经济学家也经常使用定积分来解决经济学中的各种问题。
定积分可以用来计算生产函数下的总产出，消费函数下的总消费等。
经济学家还可以使用定积分来计算收入和消费之间的差异以及产出的边际效益等。
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利× N的N积分奠定现代微积分的基础，计算度 = 9 卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积同等重要的是，分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
．由于名称的微积分，它允许牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
这个框架最终成为现代微积分符号积精确的分析在连续域的功能。
分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
年的时间。
在牛人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000牛顿和莱布尼茨建立顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此由此引起的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分及应用
第五章定积分本章知识结构导图定积分定积分的概念与意义定积分的性质定积分的计算定积分的应用平面区域的面积经济中的应用牛顿-莱布尼兹公式换元积分法分部积分法§5. 1 数学家的故事: 莱布尼兹简介莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716), 是德国最重要的数学家、物理学家、历史学家和哲学家, 一个举世罕见的科学天才, 和牛顿同为微积分的创建人. 生于莱比锡, 卒于汉诺威. 莱布尼兹的父亲在莱比锡大学教授伦理学, 在他六岁时就过世, 留下大量的人文书籍, 早慧的他自习拉丁文与希腊文, 广泛阅读. 1661年进入莱比锡大学学习法律, 又曾到耶拿大学学习几何, 1666年在纽伦堡阿尔多夫大学通过论文《论组合的艺术》, 获法学博士, 并成为教授, 该论文及后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人．1667年, 他投身外交界, 游历欧洲各国, 接触了许多数学界的名流并保持联系, 在巴黎受惠更斯的影响, 决心钻研数学．他的主要目标是寻求可获得知识和创造发明的一般方法, 这导致了他一生中的许多发明, 其中最突出的是微积分．与牛顿不同, 他主要是从代数的角度, 把微积分作为一种运算的过程与方法; 而牛顿则主要从几何和物理的角度来思考和推理, 把微积分作为研究力学的工具．莱布尼茨于1684年发表了第一篇微分学的论文《一种求极大极小和切线的新方法》．是世界上最早的关于微积分的文献, 虽仅6页, 推理也不清晰, 却含有现代的微分学的记号与法则．1686年, 他又发表了他的第一篇积分论文, 由于印刷困难, 未用现在积分记号“⎰”, 但在他1675年10月的手稿中用了拉长的S “⎰”, 作为积分记号, 同年11月的手稿上出现了微分记号dx ．有趣的是, 在莱布尼兹发表了他的第一篇微分学的论文不久, 牛顿公布了他的私人笔记, 并证明至少在莱布尼兹发表论文的10年之前已经运用了微积分的原理．牛顿还说: 在莱布尼兹发表真成果的不久前, 他曾在写给莱布兹的信中, 谈起过自己关于微积分的思想．但是, 事后证实, 在牛顿给莱布尼兹的信中有关微积分的几行文字, 几乎没有涉及到这一理论的重要之处．因此, 他们是各自独立地发明了微积分．莱布尼兹思考微积分的问题大约开始于1673年, 其思想和研究成果, 记录在从该年起的数百页笔记本中．其中他断言, 作为求和的过程的积分是微分的逆．正是由于牛顿在1665～1666年和莱布尼兹在1673～1676年独立建立了微积分学的一般方法, 他们被公认为是微积分学的两位创始人．莱布尼兹创立的微积分记号对微积分的传播和发展起了重要作用, 并沿用至今．莱布尼兹的其他著作包括哲学、法学、历史、语言、生物、地质、物理、外交、神学, 并于1671年制造了第一架可作乘法计算的计算机, 他的多才多艺在历史上少有人能与之相比．§5. 2 定积分的概念＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在上一章, 我们研究了积分学的第一类问题, 即求原函数的问题．本章, 我们将研究积分学中的第二类问题——定积分．定积分的概念最早是在研究平面图形的面积、变速直线运动物体的运动距离以及变力做功等问题中产生的．一、问题的引入问题1: 曲边梯形的面积设()y f x =在[],a b 上连续, 我们称由直线,x a x b ==及曲线()y f x =所围的图形为曲边梯形（如图5. 1）图5. 1 图5. 2下面我们研究曲边梯形面积的计算方法.（1）分割. 用满足012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=的1n +个分点k x 将区间[],a b 分割成n 个小区间[]1,k k x x -(1,2,,)k n =⋅⋅⋅并作垂线k x x =, 把整个曲边梯形分成几个小的曲边梯形（如图5. 2）, 每一个小曲边梯形的宽度记作1k k k x x x -=-.（2）求曲边梯形面积S 的近似值．在[]1,k k x x -上任取一点k ξ, 则()k k f x ξ⋅是第k 个小矩形的面积, 它与小曲边梯形的面积有一定的差别, 但是, 分割越细, 误差越小．当n 个区间分割都很细时, 我们把n 个小矩形的面积之和作为S 的近似值:1()nk k k S f x ξ=≈⋅∑．（3）求S 的实际值．由于k x 越小, 上式的近似程度就越好．于是我们规定: 若当0k x →时, 和式1()nkk k f x ξ=⋅∑的极限存在, 且与k ξ的取法及区间的分割无关, 则称此极限值为曲边梯形的面积, 即1lim ()nk k k S f x λξ→==⋅∑,式中{}12max ,,,n x x x λ=⋅⋅⋅.这样, 我们得到了和式极限形式的曲边梯形的面积． 问题2——总产量的变化率为变化时的总产量．我们知道, 当总产量对时间的变化率（即边际产量）为常量时, 总产量等于变化率乘以时间. 现在设总产量的变化率Q 是时间t 的函数()Q Q t =, 求时间t 从a 到b 的总产量Q ．（1）我们也将时间区间[],a b 分成几个小区间[]1,k k t t -(1,2,,)k n =⋅⋅⋅, 记其长度为1k k k t t t -=-, 在[]1,k k t t -上任取一点k ξ, 则()k k Q t ξ⋅∆为时间段[]1,k k t t -的生产量的近似值.（2）作和式1()nkk k Q t ξ=⋅∑, 当分割相对较细时, 它是实际产量的近似值．即1()nk k k Q Q t ξ=≈⋅∑当分割越细, 上式的近似程度就越好．（3）我们规定, 当0k t →时, 上述各式的极限存在, 且与区间的分割和k ξ的取法无关, 我们就称该极限值为a t b ≤≤中的总产量, 即1lim ()nk k k Q Q t λξ→=≈⋅∑．式中 {}1,2,max,n t t t λ=⋅⋅⋅．从上面两个问题看出, 虽然它们是两个截然不同的问题, 但解决问题的方法和计算形式都是想同的, 即都是一个和式的极限．其实, 还有许多问题的解决都有类似的方法．于是, 我们有必要在抽象的形式下去研究这一和式的极限, 这就引出了定积分的概念．二、定积分的定义【定义1】 设函数()y f x =在[],a b 上有定义且有界, 在,a b 之间任意插入1n -个分点12,,,n x x x ⋅⋅⋅, 把[],a b 分成n 个小区间, 即01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=记 1(1,2,,)k k k x x x k n -=-=⋅⋅⋅为第k 个小区间的长度, 在小区间[]1,k k x x -上任取一点k ξ, 作和式1()nkk k f x ξ=⋅∑．记{}12max ,,,n x x x λ=⋅⋅⋅, 若当0λ→时, 极限1lim ()nk k k f x λξ→=⋅∑存在, 且与分点k x 及k ξ的取法无关, 我们就称()f x 在区间[],a b 上是可积的, 并把该极限值称为()f x 在[],a b 上的定积分, 记作()baf x dx ⎰．即:1()lim ()nbk k ak f x dx f x λξ→==⋅∑⎰．其中, ()f x 称为被积函数, x 称为积分变量, ()f x dx 称为被积表达式, [],a b 为积分区间,a 为积分下限,b 为积分上限, ⎰称为积分号．注1. 定积分的结果是一个数值, 这个数值的大小只与被积函数()f x 及区间[],a b 有关, 与区间的分法及k ξ的取法无关.2. 定积分与积分变量用什么字母也无关, 即()()bbaaf x dx f u du =⎰⎰．3. 定积分存在的条件【定理1】（必要条件） 设()f x 在[],a b 上有定义, 若()f x 在[],a b 上可积, 则()f x 在[],a b 上一定有界．【定理2】（充分条件）设()f x 在[],a b 上有定义, 若下列条件之一成立, 则()f x 在[],a b 上可积:（1）()f x 在[],a b 上连续;（2）()f x 在[],a b 上只有有限间断点, 且有界; （3）()f x 在[],a b 上单调． 【例1】 计算120x dx ⎰【解】 因为2()f x x =在[]0,1上连续, 由定理2, ()f x 在[]0,1上可积. 将[]0,1分成n 等份, 于是各分点为0110,,,,,1k n k x x x x n n ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=, 各小区间的长度为1k x n=(1,2,,)k n =⋅⋅⋅, 取k knξ=（如图5. 3）, 从而211()nn k k kk k k f x x ξξ==⋅=⋅∑∑2231111()nn k k k k nn n ===⋅=∑∑2223311(1)(21)(123)6n n n n n n ++=+++⋅⋅⋅+=⋅ 111(1)(2)6n n=+⋅+. 此时 1n λ=, 所以, 由定义1 12001lim ()n k k k x dx f x λξ→==⋅∑⎰ 图5. 31111lim1263n n n →∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 三、定积分的几何意义与经济意义1. 定积分的几何意义由定义, 在[],a b 上当()f x 非负时,()baf x dx ⎰在几何上表示曲线()y f x =与直线x a =、x b =及x 轴所围曲边梯形的面积．而在[],a b 上, 当()0f x <时, ()y f x =在[],a b 上与x 轴围的图形在x 轴的下方, 定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在[],a b 上当()y f x =要变号时, 定积分()baf x dx ⎰的几何意义为: 介于x 轴, 曲线()y f x =及直线,x a x b ==之间的各部分面积的代数和（如图5. 4）．图5. 42. 定积分的经济意义我们已知, 某一经济总量函数的导数, 是该经济量的变化率（边际）, 而已知某一经济量的变化率求其总量函数, 用的是不定积分．如果已知某一经济量的变化率为()f x , 则其定积分()baf x dx ⎰表示的是x 在[],a b 这一阶段的经济总量．如设总收入R 关于产量x 的变化率为()R x , 则()baR x dx ⎰的意义是: 当产量从a 变化到b 时的总收入．四、定积分的性质根据定积分的定义, 我们不加证明也给出定积分的一些性质, 这些性质对加深定积分的理解及定积分的计算有比较重要的作用．以下我们总假设函数在所考虑的区间上可积．【性质1】()()ba abf x dx f x dx =-⎰⎰, 特别地有()0aaf x dx =⎰.即对调积分上下限, 其值要变号．【性质2】 两个函数代数和的定积分, 等于它们定积分的代数和, 即[]()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．【性质3】 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即()()bbaak f x dx k f x dx ⋅=⋅⎰⎰．【性质4】 设a c b <<, 则有()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．该性质称之为积分的区间可加性．利用性质1, 可以证明: 无论,,a b c 的位置如何, 上式都成立．【性质5】 若在[],a b 上, ()0f x ≥, 则()0baf x dx ≥⎰．【推论1】 若在[],a b 上, 恒有()()f x g x ≤, 则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰上式称为定积分的比较性质．【性质6】 设()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m , 则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．上式称之为定积分的估计性质．【性质7】（定积分中值定理）若()f x 在[],a b 上连续, 则在[],a b 上至少有一点ξ, 使得下式成立:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰性质7 的几何意义如图5. 5所示图5. 5请读者对性质7作几何解释.【性质8】设()f x 在对称区间[],a a -上连续，则有① 如果()f x 为奇函数，则0aa f x dx -=⎰（）;② 如果()f x 为偶函数，则02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰（）（）.习题5. 2_______________________________________________________1. 填空题（1）设某产品关于产量的边际成本为()C x , 则()baC x dx ⎰的意义是 ;（2）1xdx =⎰;（3）22sin xdx ππ-=⎰ .2．选择题（1）下列各不等式成立的是（ ）A . 11200xdx x dx ≤⎰⎰B . 2312ln ln xdx xdx ≤⎰⎰ C . 11sin xdx xdx ≤⎰⎰ D . 211xx e dx e dx ≤⎰⎰（2）下列各式有意义的为（ ）A . 1-⎰ B . 31ln xdx -⎰ C . 2-⎰D .2-⎰3．解答题 （1）比较积分12x dx ⎰与 130x dx ⎰的大小;（2）利用定积分的几何意义, 求定积分R-⎰之值．§5. 3 定积分的基本定理（牛顿——莱布尼兹公式）＿＿＿ ＿＿＿＿从例1我们看到, 用定义去计算定积分是比较复杂的, 尽管被积函数很简单, 但求和式的极限却非常困难; 因此, 有必要寻求一种简便而有效的计算方法. 本节指出了定积分的计算可以归结为计算原函数的函数值, 从而揭示了不定积分与定积分的关系．一、变上限的定积分与原函数存在定理【定义2】 设()f x 在[],a b 上可积, 则对任意的[],x a b ∈, ()f x 在[],a x 上可积, 于是,()xaf x dx ⎰存在, 我们称此积分为变上限的定积分．由于任意给定一个[],x a b ∈, 有一个积分值与之对应, 该值是积分上限x 的函数, 所以, 可以记()()xax f x dx ϕ=⎰．式中积分变量与上限都可以x 表示, 但含义是不同的. 有时候为了区别起见, 把积分变量用t 表示, 即()()()x xaax f x dx f t dt ϕ==⎰⎰, [],t a x ∈.【定理3】（原函数存在定理）若()f x 在[],a x 上连续, 则()()()xa x f t dt f x ϕ'⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦⎰. 证明略．【例2】 求20sin xd t dt dx ⎰． 【解】 因为2sin t 在R 上连续, 由定理3有220sin sin x d t dt x dx=⎰． 定理3的结果回答了第四章中关于“连续函数必存在原函数”的结论, 并且, 其原函数就等于以本身为被积函数的变上限的定积分．【例3】 求2t xe dt ⎰关于x 的导数．【解】 因为20t xe dt ⎰=20xt e dt -⎰, 所以, 由2t e 的连续性及定理3, 有22200x t t x x e dt e dt e ''⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰．【例4】 求极限 02sin limxx tdt x→⎰.【解】 此式为的未确定型, 利用洛必塔法则: 原式 0200(sin )sin 1limlim()22xx x tdt x x x →→'==='⎰.二、牛顿——莱布尼兹公式【定理4】（定积分的基本定理）设()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 在[],a b 上的任一个原函数, 则有【证明】 取()()xax f t dt ϕ=⎰, 则()x ϕ是也是()f x 在[],a b 上的一个原函数, 它与()F x 最多差一个常数, 即()()x F x C ϕ=+,或()()xaf t dt F x C =+⎰,在上式中, 令x a =, 有0()F a C =+ , 即 ()C F a =-, （1）又令x b =, 有()()baf t dt F b C =+⎰, （2）结合(1)、（2）两式有()()()baf t dt F b F a =-⎰,即()()()baf x dx F b F a =-⎰．这个定理将积分学中的两个重要概念不定积分与定积分联系到了一起, 并把求定积分的过程大大简化了, 所以, 称之为微积分基本定理. 同时, 它是由牛顿和莱布尼兹各自单独创立的, 故又称牛顿—莱布尼兹公式．【例5】 求120x dx ⎰．【解】 因2()f x x =在[]0,1上连续, 且31()3F x x =是它的一个原函数, 所以 1230111100333x dx x ==-=⎰． 【例6】 求312x dx --⎰【解】 因为 2(12)22(23)xx x x x --≤≤⎧-=⎨-<≤⎩,所以, 原式2312(2)(2)x dx x dx -=-+-⎰⎰=2223112251222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 在利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分时, 一定要注意被积函数在积分区间中是否满足可积条件．【例7】 讨论 21()f x x =在[]1,1-上的可积性． 【解】 如果直接利用牛顿——莱布尼兹公式, 有1211111121dx x x -=-=--=--⎰; 显然这是错误的, 因为根据性质, 在[]1,1-上有210x≥, 则12110dx x -≥⎰, 这显然与用牛顿—莱布尼兹公式计算的结果相矛盾．原因出在21x在[]1,1-上不连续且无界, 所以, 它不满足牛顿—莱布尼兹公式的条件, 从而也就不能利用牛顿—莱布尼兹公式计算．【例8】 计算曲线sin y x =在[]0,π上与x 轴所围图形的面积S ． 【解】 由图5.6及定积分的几何意义, 有sin cos 112S xdx xππ==-=+=⎰图5. 6【例9】 求 21201x dx x +⎰． 【解】 原式2112201111(1)(tan )10114x dx dx x arc x x x π+-==-=-=-++⎰⎰． 【例10】 求1x xe dx ⎰．【解】 因为x x x x xe dx xde xe e C ==-+⎰⎰, 利用牛顿—莱布尼兹公式，即原式100()01x x xe e e =-=+=.习题5.3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿1．填空题 （1）221x dx =⎰;（2）设某产品利润关于产量的变化率为()l x , 则()200100l x dx ⎰的意义是 ;（3）0tan xd arc tdt dx=⎰ ． 2．选择题（1）下列函数在[]1,1-上满足牛顿——莱布尼兹公式条件的是（ ）;A . 1()f x x= B . ()f x =C .21()(1)f x x =+ D . ()f x =（2）设1()cos xf x tdt =⎰, 则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭=（ ）．A . 0B . 1C . 1-D .2π3．求下列函数的导数: （1）xt te dt ⎰（2）12ln(1)xt dt +⎰4．求下列极限（1）231limsin xx t dt x →⎰（2）0()limxt t x e e dt x-→-⎰5．用牛顿——莱布尼兹公式求下列定积分: （1）1321()x x dx --⎰ （2）271⎰（3）21x dx -⎰(4) 20cos xdx π⎰（5）2()f x dx ⎰, 其中20()10xx f x x x >⎧=⎨+≤⎩.§5. 4 定积分的计算＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿由牛顿—莱布尼兹公式知道, 求定积分可利用被积函数的原函数来进行. 所以, 计算定积分 的关健是要找一个原函数, 而原函数问题在上一章已解决, 但为今后计算上的方便, 在此,引进定积分的换元法和分部积分法.一、换元积分法【定理5】 设()y f x =在[],a b 上连续, 令()x t ϕ=, 若满足（1）()c a ϕ=, ()d b ϕ=, 且()a t b ϕ≤≤, 对任意[],t c d ∈（或[],t d c ∈）成立; （2）()t ϕ在[],c d （或[],d c ）中有连续的导数()t ϕ', 且单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰.证明略. 【例11】 求80⎰【解】令3x t =, 有23dx t dt =, 且当0x =时0t =, 当8x =时2t =, 于是282222000011113331111t t dt dt t dt t t t -+⎛⎫=⋅==-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2213ln(1)3ln 302t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭． 【例12】 求⎰(0)a >．【解】令sin x a t =, 有cos dx a tdt =与cos a t =, 且当0x =时0t =,当x a =时2t π=, 所以2222222200001111cos cos 2sin 222224a a tdt a t dt t t a ππππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．【例13 】 求21x xe dx ⎰．【解】 令2t x =,即x =, 2dt xdx =, 且当0x =时0t =, 当1x =时1t =, 所以()21100111110222x t t xe dx e dt e e ===-⎰⎰． 【例14】 求11ln exdx x⎰． 【解法1】令tx e =（或ln t x =）, 则tdx e dt =, 且当1x =时0t =, 当x e =时1t =, 所以11210011111ln 022ett xdx t e dt tdt t x e =⋅⋅===⎰⎰⎰．【解法2】 按照不定积分中第一类换元法的思路,原式()ln 121101111ln ln ln 022t x ee xdx x d x tdt t x ===⋅===⎰⎰⎰令．【解法3】 还是按解法2的思路,原式()222111111ln ln ln =ln (ln ln 1)1222ee e xdx xd x x e x ===-=⎰⎰．【解法4】 先求1ln x x 的原函数, ()()211ln ln ln ln 2xdx xd x x C x ==+⎰⎰,所以 ()21111ln ln 122eexdx x x ==⎰．请读者体会以上各种解法的步骤, 并比较它们的优劣, 在计算中采用何种方法, 完全按函数的特点和解题的习性而定．请思考:sin 20cos xxedx π⎰, 1x ⎰.【例15】 试证明: 若()f x 为连续的奇函数, 则()0aaf x dx -=⎰．【证明】 因为()f x 为奇函数, 则有 ()()f x f x -=-, 且00()()()aaaaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰对于()af x dx -⎰, 令x t =-, 则dx dt =-, 且当x a =-时t a =, 当0x =时0t =, 所以00()()()()aaaf x dx f t dt f t dt -=--=-⎰⎰⎰，从而00()()()()()0aa a aaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx --=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰．类似地可以证明: 若()f x 为偶函数, 则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰．这就是定积分的性质8.【例16】 求1221sin 3tan x x x dx -⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭⎰． 【解】 因为2sin3tan x x ⋅都是奇函数, 所以原式11122310122sin 3tan 200033x xdx x dx x --=++=++=⎰⎰⎰．【例17】 若()f x 在[]0,1连续, 证明()()220sin cos f x dx f x dx ππ=⎰⎰．【证明】 设2x t π=-, 则dx dt =-, 且当0x =时2t π=, 当2x π=时0t =, 所以左边()02sin()2f t dt ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()222000(cos )(cos )(cos )f t dt f t dt f x dx πππ=--===⎰⎰⎰右边．二、分部积分法【定理6】 设函数()u x , ()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有定积分的分部积分公式:()()()()()()bbaab u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 证明略．【例18】 求 1x xe dx ⎰．【解】 原式111110x xx xxde xee dx e e==-=-=⎰⎰．定积分的分部积分公式与不定积分的分部积分公式, 在形式上完全是一样的, 不同的是定积分中多了积分上下限; 另外, 用分部积分公式计算定积分的函数特点与不定积分中的特点也是完全相同的．【例19】 求220sin x xdx π⎰．【解】222200sin (cos )x xdx x d x ππ=-⎰⎰（取2,cos u x v x ==-）22220cos 2cos 02sin x xx xdx xd x πππ=-+=+⎰⎰ (再取,sin u x v x ==)22202sin 2sin 22(cos )22x xxdx x πππππ=-=⋅-⋅-=-⎰.【例20】 设 1ln 1bxdx =⎰, 求b .【解】11111ln (ln )ln ln ln ln 1bbbb bxdx x x xd x b b dx b b x b b b =-=⋅-=⋅-=⋅-+⎰⎰⎰.由已知条件得, ln 11b b b ⋅-+= , 即(ln 1)0b b -=. 因0b ≠, 从而有ln 1b =, 即b e =.习题5. 41．填空题 （1）121sin x xdx -⋅=⎰;（2）若11(2)2x k dx -+=⎰, 则常数 k = ．2．选择题（1）对定积分1120xedx x ⎰, 利用换元法求解的换元是令（ ）; A . 21t x = B . 1t x= C . 1t x =- D . 21t x =-（2）下列可用分部积分计算的定积分是（ ）．A . 120cos(1)x x x dx +⎰ B . 1ln exdx x⎰C . 2111cos dx x xπ⎰D . 1xdx ⎰ 3．求下列各定积分:（1）1()x x e dx +⎰（2）0⎰（3）20cos 2xdx π⎰（4）320x e dx ⎰（5）11ln exdx x +⎰ （6）41⎰ （7）2120t te dt ⎰ （8）cos 0sin x x e dx π⋅⎰（9）1x xe dx -⎰（10）1ln ex xdx ⎰（11）20sin x xdx π⎰（12）1⎰4. 解答题: （1）设1(21)6ax dx +=⎰, 试确定a 的值;（2）设(21)xf x xe +=, 求53()f x dx ⎰．5. 设()f x 是奇函数, 证明0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．§5. 5 定积分的应用定积分的概念是在解决实际问题中产生发展起来的, 随着社会的发展, 其应用越来广泛．在本节, 我们重点介绍定积分在求平面区域的面积和经济方面的应用．一、平面图形的面积由定积分的几何意义知道,()baf x dx ⎰是曲线()y f x =介于x a =, x b =, x 轴上、下相应的梯形面积的代数和, 我们将从特殊到一般讨论其面积的计算方法．1．曲线()y f x =在[],a b 内与x 轴所围图形的面积（图5. 7所示）在[],a c 和[],d b 上, 积分值为正, 其面积就是在上述区间的积分值; 而在[],c d 上, 由于积分值为负, 所以其面积为积分值的相反数, 故()()()()b c d baacdS f x dx f x dx f x dx f x dx ==-+⎰⎰⎰⎰．图5. 7 图5. 8【例21】 求曲线 sin y x =在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴所围图形的面积（如图5. 8）【解法1】 333222sin sin sin coscos 213S x dx xdx xdx xπππππππ==-=-+=+=⎰⎰⎰．【解法2】 32220sin 3sin 3(cos )3S x dx xdx x πππ===-=⎰⎰．2．在平面上, 由若干条曲线所围的封闭区域的面积其实, 在第一部分中, x a =、x b =、x 轴(0)y =是一些特殊的曲线, 求的是它们与曲线()y f x =所围图形的面积．现在, 我们不妨以两条曲线()y f x =与()y g x =在[],a b 中所围的区域进行讨论（图5. 9所示）.图5. 9 图5. 10由于在[],a c 和[],d b 上, ()()g x f x ≥, 而在[],c d 中, ()()f x g x ≥, 所以, 我们有(()())(()())(()())()()c d b bacdaS g x f x dx f x g x dx g x f x dx f x g x dx =-+-+-=-⎰⎰⎰⎰．【例22】 求曲线1y x=及直线y x =, 2x =所围图形的面积（图5. 10） 【解】曲线与直线之间的交点坐标分别是(1,1), 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,2), 于是2212113ln ln 2122S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.通过计算我们可以发现, 用定积分求平面区域的面积的主要步骤是:① 作图; ② 列出积分公式子; ③ 求定积分的值. 其中第二步最关键也是最难的．为此, 我们分两种情况给予特别说明． （1）关于x 求积分先确定积分限a 与b , 它们分别是x 在区域上的最小和最大值, 不妨称之为左端点和右端点; 为了确定被积函数, 在区间(,)a b 上任取一点0x , 则直线0x x =与区域的边界一般有上、下两个交点, 上方交点所在的曲线不妨称之为上边界曲线, 下方交点所在的曲线称之为下边界曲线, 那么, 我们可以把求面积S 的式子表示为以下形式:()S dx =-⎰右端点左端点上边界函数下边界函数 【例23】 求2y x y x ==与所围平面区域的面积（图5. 11）【解】 在区域中, x 的最小和最大取值分别是0和1, 在[]0,1上任作一条平行于y 轴的直线, 该直线与区域边界上、下交点分别在直线y x =和曲线2y x =上, 所以()12230111111023236S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰．图5. 11 图5. 12（2）关于y 求积分如果平行于y 轴的直线与区域边界的交点不止两个或边界的函数不统一的时候, 采用y 作为积分变量比较合适．先确定积分限c 与d , 它们分别是y 在区域上的最小和最大取值, 不妨称之为下端点和上端点; 在(,)c d 上任取一点0y , 作平行于x 轴的直线0y y =, 则该直线与区域的边界一般有左、右两个交点, 左交点所在的曲线不妨称之为左边界曲线1()x y ϕ=, 右交点所在的曲线称之为右边界曲线2()x y ϕ=, 那么, 我们可以把关于y 求面积的积分式子表示为:()S dy =-⎰上端点下端点右边界函数左边界函数．【例24】 求22y x =及直线4y x =-所围平面图形的面积（图5. 12）【解】 曲线之间交点坐标分别是(2,2)-和(8,4), 如果在(0,8)中, 作平行于y 轴的直线0x x =,则下边界有两条曲线y =4y x =-, 我们采用两种分法求解．方法一、（关于x 求积分）用直线2x =把原域分成左、右两块, 则由情况（1）的讨论, 有281202(4)]S S S dx x dx =+=+-⎰⎰)824x dx =++⎰3382222214182x x x x ⎫=+-+=⎪⎭;方法二、（关于y 求积分）我们可以把边界曲线表示成4x y =+和212x y =, 在区域上y 的最小、最大取值分别是2-和4, 左、右边界函数分别是212x y =和4x y =+, 于是 4422322111(4)418226S y y dy y y y --⎡⎤⎛⎫=+-=+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰．读者可以比较两种解法的优劣, 并考虑: 由曲线1,2xy y x y ===与所围图形的面积（图 5. 13所示）图5. 13二、定积分在经济中的应用由定积分的经济意义知道, 已知某一经济量的边际函数为()f x , 则定积分()baf x dx ⎰是关于x 在区间[],a b 上的该经济的总量．【例25】 某企业生产一种产品, 每天生产x 吨的边际成本为()0.412C x x '=+（万元）, 固定成本5万元, 求总成本函数及产量从开始到10吨时的总成本．【解】 总成本函数20()(0.412)0.212C x x dx x x C =+=++⎰, 由于固定成本为5万元, 即05C =, 所以, 2()0.2125C x x x =++（万元）;当产量从开始到10吨时的总成本为:102010(0.412)(0.212)201201400C x dx x x =+=+=+=⎰（万元）． 【例26】 已知生产某产品x 单位总收入的变化率为()20050xR x '=-（万元／单位）, 试求（1）生产x 单位时的总收入及平均单位收入; （2）求生产2000个单位时的总收入和平均单位收入．【解】（1）总收入函数 2()20020050100x x R x dx x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰, 由于(0)0R =, 所以2()200100x R x x =-, 此时的平均单位收入()()200100R x xR x x ==-; （2）当生产2000个单位产品时的总收入为:200020002012002004000004000036000050100x R dx x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰（万元）,此时平均单位收入为:(2000)360000180********R R ===（万元）． 【例27】 设生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x 时的边际成本()40 2.5C x x '=+, 边际收入()8010R x x '=-, 试求:（1）总利润函数; （2）总利润最大的产量．【解】（1）设总利润函数为()L x , 则()()()L x R x C x =-, 且'()'()'()(8010)(40 2.5)4012.5L x R x C x x x x =-=--+=-,于是, 总利润函数2()'()(4012.5)40 6.25L x L x dx x dx x x C ==-=-+⎰⎰,由于0x =时, 10L =-（固定成本）, 所以, 2()40 6.2510L x x x =--．（2）令'()4012.50L x x =-=, 得到 3.2x =且'()12.50L x =-<, 所以, 当产量为3.2个单位时, 利润最大, 此时, 最大利润为(3.2)54L =．习题5. 51．求下列各区域的面积（1）曲直线2,3y x x x ==及轴所围的平面区域; （2）由曲线22y x y x ==与所围的平面区域; （3）由曲线13x y y x x ⋅===与及所围的区域; （4）由1xy =, y x =及2y =所围的区域; （5）sin 2y x =在[]0,π上与x 轴所围的区域;（6）2y x =与22y x =-所围的区域．2．求k 的值, 使得由曲线22y x y kx ==与所围图形的面积为23． 3．某企业生产某产品的边际成本()0.210C x x '=-（元／件）, 固定成本1万元, 产品单价190元, 设产销平衡, 问产量多少时利润最大, 并求最大利润值．4．设某产品的边际成本()2C x x '=-（万元／台）其中x 为产量, 固定成本022C =万元; 边际收益()204R x x '=-（万元／台）, 求:（1）总成本和总收益函数; （2）当产量为何值时利润最大？（3）从最大利润时的产量开始, 又生产了5台, 求此时间段利润的总变量． 5． 设生产某产品x 个单位的边际收益为()abR x x b'=+, 求总收益和平均收益函数, 其中,a b 为常数．本章小结本章主要掌握定积分的概念、意义、性质以及会用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分. 一、定积分的概念、意义与性质1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:1()lim ()nbk k ak f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和;3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()baf x dx ⎰是x 在区间[],a b 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baa bf x dx f x dx =-⎰⎰;（2）[]()()()()bbba a af xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰;（3）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰;（5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.二、定积分的计算1．牛顿—莱布尼兹公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x dx F b F a =-⎰.2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bb aab u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 三、定积分的应用1. 求平面区域的面积, 一般有两类公式:关于x 积分: ()S dx =-⎰右端点左端点上边界函数下边界函数 关于y 积分: ()S dy =-⎰上端点下端点右边界函数左边界函数2. 定积分的经济应用, 重点是已知某经济量（如成本、收益、利润）的变化率, 求在生产阶段[],a b 的经济总量．综合练习一、填空题1．tan xd arc tdt dx =⎰（ ）;2．tan ba d arc xdx dx=⎰（ ）; 3．21-=⎰（ ）;4．若0(21)0k x dx k -==⎰，则（ ）;5．=⎰（ ）;6．02arcsin limxx tdt x →=⎰（ ）;7．由,1,2y x x x x ===与轴所围图形的面积为（ ）． 二、选择题1．下列积分为零的是（ ）;A .11sin x xdx -⎰B .11cos x xdx -⎰C .()1231xx dx -+⎰ D . 11x e dx --⎰2．由定积分的几何意义,定积分1-=⎰（ ）;A . 0B . πC . 2πD .2π 3．图中阴影部分的面积可按（ ）计算;A . ()baf x dx ⎰B .()baf x dx ⎰C .()baf x dx ⎰D . ()()()cdbacdf x dx f x dx f x dx ++⎰⎰⎰4．sin bad arc xdx dx =⎰（ ）． A . 0 B .C . 1D . sin arc x三、计算题1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t=+⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰求'()F π（3）22()1tx xte F x dt t =+⎰2．求下列各极限:（1）203sin limxx tdt x →⎰（2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰3．求下列各定积分: （1）1(1)x dx -⎰（2）120(3)x x dx +⎰（3）20cos 2xdx π⎰（4）1310x e dx -⎰（5）212x dx -⎰（6）0cos x dx π⎰（7）20a dx ⎰ （8）21201x dx x +⎰ （9）40⎰ （10）20a x ⎰ （11）101dx x +⎰ （12）21dx x⎰ （13）221x edx -⎰（14）0cos3xdx π⎰（15）20cos 2xdx π⎰ （16）212ln e x dx x +⎰（17）21x xe dx ⎰（18）120x ⎰（19）1201x x e dx e +⎰ （20）12⎰（21）1xxe dx -⎰（22）20sin x xdx π⎰（23）1ln(1)e x x dx -+⎰（24）1ln eex dx ⎰（25）220sin x xdx π⎰ （26）20cos 2x x π⎰（27）1ln et tdt ⎰（28）220cos x e xdx π⎰（29）cos xdx （30）1⎰四、解答题 1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;3．设(21)xf x e +=, 求53()f x dx ⎰;4．若1(2)2x k dx +=⎰, 试确定k 的值;5．若(21)3cx dx +=⎰, 试确定c 的值;6． 证明: 112211111xx dt dt t t =++⎰⎰（提示: 令1t u=）; 7．证明:42(4)(4)02x x x x e dx e dx --=⎰⎰;8．已知(0)1,(2)4,(2)2f f f '===, 求1(2)x f x dx ''⎰．五、求下列曲线所围的平面区域的面积: 1．24y x =-与0y =; 2．1,y y x x==及3x =; 3．22,4y x y x ==及1x =; 4．22,4y x y x ==及1y =; 5．2y x =与2x y =; 6．2=x y 与2y x =-． 六、经济应用题:1．某产品在时刻t 的变化率为2120.6t t +（单位／小时）, 求从2t =到4这两个小时的产量;2．已知生产某产品x 件时的边际收益()10020xR x '=-（元／件）, 求: （1）生产此产品1000件时的总收入;（2）产量从1000件到2000件时所增加的收入;3．设某产品总成本C （万元）的变化率是产量x （百台）的函数()44xC x '=+, 而边际收入()8R x x '=-, 求:（1）产量从100台到500台时, 总收入与总成本各增加多少？（2）已知固定成本为(0)1C =（万元）, 分别求出总成本, 总收益, 总利润与x 的关系; （3）当产量为多少时, 利润最大, 并求出最大利润值．。
高中数学412定积分概念形成的源头素材(北师大选修2-2)
定积分概念形成的源头
魏晋南北朝时期的数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。
其方法是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。
”也就是说：刘徽用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
如图，设圆面积为S ，半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ，周长为n L ，面积为
n S 。
将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别记为n l 2、n L 2、n S 2，则
22222222121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=
=n n n l r r l CD AC AD l ， r L CD AB n S n n ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=21212，
)(222n n n n S S S S S -+<<。
当n 无限增大时，n S 2便趋于圆的面积，祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576边形时，得到圆周率π的上下限：3.1415926<π<3.1415927。
这是当时世界在这一领域的最高水平。
刘徽割圆的逼近思想是以后极限思想的萌芽，为定积分概念的形成积累了素材。
定积分的背景-
y = f ( x)
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f ( x)
的如 面何 积求 曲 边 梯 形
y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f ( x)
25( m) 此时误差不超过： s1 s1
若将 5 秒平分成10份，则得到过剩估计值为 s 2 ：
s2 [v(0) v(0.5) v(1) v(4) v(4.5)] 0.5 48.125(m)
s 2 v( 0.5) v(1) v(1.5) v( 2) v(5) 0.5 35.625( m)
如图(3)所示。 y
(3)
o
1
x
为减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则 所求面积的过剩估计值为
S 2 (0.12 0.2 2 12 ) 0.1 0.385
不足估计值为
s2 (0 2 0.12 0.2 2 0.9 2 ) 0.1 0.285
逼近所求面积 结束
s1 v(0) v(1) v(2) v(3) v(4) 1 55(m)
v( 2)， v( 3) ， v( 4 ) ， v(5) 近似代替汽车在0~1、 用 v(1)， 1~2、2~3、3~4、4~5s内的平均速度，则滑行距离的 ： 不足估计值为 s1
v(1) v(2) v(3) v(4) v(5) 1 30(m) s1
—— 以直代曲,无限逼近
y
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分发展史
是微分，‘无限求和’就是积分。
与微分学相比，积分学的起源要早 很多。其概念是由求某些面积、体积 创立阶段
和弧长引起的。
准备阶段
公元前5世纪
一、准备阶段
积分学发展的准备阶段主要包括 17 世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者 们大量的探索 、积累工作. 这个时期随 着古希腊灿烂文化的发展 ,数学也开始散 发出它不可抵挡的魅力. 积分学发展史的 准备阶段大致分为三个时期 ……
此外，柯西给出了原函数的准确定义，证明了在某些条 件成立时，函数原函数的存在性，指出一个确定的函数的原 函数彼此只相差一个常数, 在此基础上给出了原函数的具体 表达式，并由此推导出牛顿——莱布尼兹公式。
四、发展阶段
然而，柯西的积分理论是对于闭区间 上连续函数来定义的，若闭区间上具有无 限多不连续点，柯西积分就不适用了。狄 利克雷、黎曼等针对柯西方法对积分的不 足之处，开始考虑重建积分的定义……
三、完成阶段
19世纪的前20年, 微积分的逻辑基础仍然不 够完善, 如一般的函数概念尚未建立, 微积分的 许多基本概念, 如无穷小、无穷大、导数、微分、 积分仍无精确定义等. 从19世纪20年代至19世纪末, 经过波尔查诺、 柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力, 微积分的理论基础基本完成。
首个用极限思想真正解决导数与积 分问题的科学家波尔查诺，他通过极限给 出了积分的定义 , 指出‚∫‛不能理解 为一个和式，而是一个和式的极限值。因 此他认为，人们在应用定积分之前 , 必 须首先确定积分的存在性，即在积分定义 下的这个极限值的存在性。 然而波尔查诺仍然没有清楚地将极 限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基 本概念解释清楚。
天津机电职业技术学院 赵文雯
微积分
Calculus
定积分的发展史
定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。
此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
定积分的发展史和应用
定积分的发展史和应用
积分作为古老的一项重要的管理学术原理，已有延续了很久的发展史，主要应
用于高校和高等教育机构。
首先，积分系统最早出现在美国，其发展最为成熟，理念来源于威廉·科技森
博士的“学分制度”理论，秉持“能力驱动”的思路，按照毕业所需学分进行考核，以检验学生是否能够达到毕业要求，在美国以及日本等国家引入了学分制度。
其次，积分在高校和高等教育中的应用也演变得越来越广泛。
另一种学分制度
称为“学术学分”，它是学校把正式课程分为“核心课程”和“选修课”来计算学生所获取的学分，学习达到规定的要求时可以获得学分，让学生的学习更具有灵活性。
此外，一些大学和高等教育机构也采用积分制，可以根据不同专业制定不同学分，同时依据学生在课堂和实践中的成绩以及活动参与情况，给予不同学分以改善学习评估，重视学习能力和实践经验，以更好地考量学生的表现。
总之，积分作为古老重要的管理学术原理，从设立学分制度、学术学分以及不
同专业等方面在高校和高等教育中得以不断发展和应用，为学生的学习和毕业提供了便利。
定积分的建立过程
定积分的建立过程嘿，咱今天就来说说定积分的建立过程。
你知道吗，这就好像搭积木一样，一块一块慢慢堆起来的。
想象一下，我们要计算一个图形的面积，比如一个不规则的形状。
一开始，咱啥办法也没有呀，就干瞪眼。
但聪明的数学家们可不会就这么罢休。
他们开始把这个图形切成一小块一小块的，就像切蛋糕似的。
这每一小块虽然也不规则，但相对来说好处理多啦。
然后呢，他们给这些小块分别估算一个大概的面积。
这就好比你去估算一堆糖果有多少颗，虽然不能精确到每一颗，但能有个差不多的数呀。
随着切的小块越来越多，估算就越来越准。
这就像你拼图，碎片越多，拼出来的图就越完整嘛。
这些小块的面积加起来，就慢慢接近这个图形的真正面积啦。
这可不是一下子就成的哦，是经过了好多好多的计算和努力呢。
你说这神奇不神奇？就靠着这么一点点的分割、估算，最后就能得出一个比较准确的结果。
这就跟我们过日子似的，每天积累一点小幸福，最后就有了满满的大幸福呀。
而且哦，这定积分的建立可不是一帆风顺的。
数学家们得绞尽脑汁，想各种办法，不断尝试和改进。
这过程中肯定也有失败呀，有困惑呀，但他们就是不放弃。
就像我们学习一样，遇到难题了，可不能轻易说不行。
得像那些数学家一样，咬咬牙坚持下去。
说不定哪天，突然就恍然大悟啦。
你再想想，要是没有定积分，那我们好多问题都没法解决呀。
比如计算曲线围成的面积，计算物体运动的路程啥的。
那得多不方便呀！所以说呀，定积分的建立那可真是太重要啦！它就像一把神奇的钥匙，打开了好多知识的大门呢。
咱可得好好感谢那些聪明的数学家们，是他们的努力和智慧，才有了这么厉害的定积分呀！现在，你是不是对定积分的建立过程有了更深的理解呢？是不是觉得数学也挺有意思的呀？反正我是这么觉得的，嘿嘿！。
定积分的起源和背景
定积分的起源和背景一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线下面的面积进行计算的一种方法。
在数学上，定积分是对一个函数在某个区间内的面积进行求解，通常用符号∫来表示。
二、定积分的起源和背景1. 希腊数学家亚历克西斯·斯图菲特（Alexis Clairaut）提出了曲线下方面积的概念，并将其称为“fluxion”，这是定积分的最早形式。
2. 后来，德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和勒贝格（Joseph Louis François Bertrand）独立地发明了现代意义上的定积分。
3. 在17世纪末期，牛顿和莱布尼茨独立地发明了微积分，并将其应用于物理学、工程学等领域中。
三、定积分的定义与性质1. 定义：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的定积分为∫abf(x)dx。
其中dx表示自变量x所取得小量。
2. 性质：（1）可加性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，则∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx。
（2）线性性：若f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，c为任意常数，则∫ab[c·f(x)]dx=c·∫abf(x)dx。
（3）区间可加性：若f(x)在区间[a,c]和[c,b]上连续，则∫abf(x)dx=∫cf(x)dx+∫bf(x)dx。
四、定积分的计算方法1. 几何法：将曲线下方的面积分割成若干个小面积，然后将这些小面积相加得到整个曲线下方的面积。
2. 牛顿-莱布尼茨公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，即定积分等于原函数在区间端点处的差值。
3. 分部积分法：设u=u(x)，v=v(x)，则有∫uv'dx=uv-∫u'vdx。
五、定积分的应用1. 几何应用：可以计算曲线下方的面积、曲线长度、曲线旋转体体积等几何量。
第四节 定积分的概念与性质
1 n
n1 n
1e n
n 1 n 1 n
-e
1 n
e -1
当 = max{xi}0 + 时，即 n + 有 1 lim n 1.
n
e -1
1 n
于是有
e xdx lim
1 0
0
f (x )x e - 1.
i 1 i i
n
例2
利用定积分的定义计算
y B
y = f
曲线 y = f (x) 是连续的， 所以，当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时， 则相应的高 f (x) 也就变 化不大. 基于这种想法， 可以用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形， 只要分割得较细， 每个小曲边梯形很窄， 则 其 高 f (x) 的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形 上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形，
解： f ( x ) x 2在[0,1]连续,
f ( x )可 积
1
x dx
y f(x)=x2
2
0
(1)把区间 a, b]n等分, [
则 每 个 小 区 间 的 长 度相 等 均
O x
1 i , 取x i 即 x i n n
i 21 (2)取近似 Ai f (xi )x ( ) n n
定理2 若函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上有界，
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
根据定积分的定义，上面两个例子都可以表 示为定积分：
(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间 [a, b]上的定积分，即
定积分的发展历史及应用
定积分的发展史及应用杨鸣摘要：文章比较简要的介绍了定积分在数学、物理学的基本应用，并充分使用了“微元法”这一基本思路，它是我们解决许多实际问题的核心。
关键字：定积分，历史，应用一．发展史很多人都以为导数概念的产生历史悠久，却不晓得定积分的思想比它还要早，甚至可以追溯到古希腊时代。
古希腊人在丈量形状不规则的土地面积时，先尽可能地用规则图形，如矩形和三角形，把丈量的土地分割成若干小块，忽略那些零碎的不规则的小块，计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到了土地面积的近似值。
因此，阿基米德在公元前240年左右，就曾用这个方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
这就是分割与逼近思想的萌芽。
我国古代数学家祖冲之的儿子在公元六世纪前后提出的祖恒原理。
在公元 263 年我国刘徽也提出了割圆术。
这些是我国数学家用定积分思想计算体积的典范。
而到了文艺复兴时期之后，人类需要进一步认识和征服自然。
在确立日心说和探索宇宙的过程中，积分的产生成为必然。
开普勒三大定律中有关行星扫过面积的计算，Newton有关天体之间的引力的计算直至万有引力定律的诞生，更加直接地推动了积分学核心思想的产生。
到了Newton那个年代，数学家们已经建立了定积分的概念，并能够计算许多简单的函数的积分了。
但是，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，直到Newton，Leibniz之后的两百年，严格的现代积分学理论才逐步诞生。
严格的积分定义始Cauchy。
但是Cauchy对于积分的的定义仅限于连续函数。
1854年Riemann指出了可积函数不一定是连续的或者分段连续的，从而推广了积分学。
而现代教科书中有关定积分的定义是由Riemann给出的，人们都称之为Riemann积分。
当然，我们现在所学到的积分学则是由Lebesgue等人更进一步建立的现代积分理论。
二．应用纵观积分学的发展过程，我们会发现，定积分的发展其实就是其在实际生活中应用方面的发展。
定积分的发展史和应用
定积分的发展史和应用思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。
最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。
關键词：定积分；极限；几何；物理1 历史背景赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。
微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。
现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。
在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。
1.1 定积分问题的提出积分起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。
这是积分思想最初的样子。
1.2 建立极限与积分的联系（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。
（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。
直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。
（3）1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论，后人为纪念他，将这个虽然存在不少缺陷，但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。
1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念，这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。
定积分的发展史范文
定积分的发展史范文定积分是微积分中的一个重要概念，它的历史可以追溯到古代希腊和中国。
在古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积，并提出了一些零碎的结果。
但是直到17世纪，定积分的概念才真正被建立起来。
在公元前5世纪的古希腊，人们已经开始研究形状的面积和体积。
阿基米德就以解决形状的问题而闻名，他使用了一种称为“穷举法”的方法，通过将形状分解成无穷小的小部分来计算其面积。
他的方法被视为是面积和体积积分的起源。
在中国，约在公元5世纪左右，刘徽（3-6世纪著名数学家）率先提出了求圆的面积。
在他的《九章算术》一书中，他用割圆术证明了圆的面积公式，并用多边形逼近圆的面积，这是一种类似于现代定积分的方法。
随着时间的推移，数学家们不断改进和推广这些方法，将它们应用于更广泛的问题。
在17世纪初，莱布尼茨和牛顿几乎同时发现了微积分的基本原理，并独立地开发了微积分的基本概念。
他们的工作奠定了微积分的基础，并正式建立了定积分的概念。
莱布尼茨是第一个明确定义定积分的数学家。
他用一种称为“积分法”的方法，将曲线的面积表示为无穷小的长方形的和。
他还引入了积分符号“∫”，表示求和的过程。
莱布尼茨的方法为定积分提供了一种通用的框架，并成为了微积分的基础。
在莱布尼茨的工作基础上，欧拉和拉格朗日等数学家进一步推广和应用了定积分的概念。
他们发展了计算定积分的方法，如换元积分法、分部积分法等，提出了一系列求积分的技巧和公式。
这些方法和公式为解决各种实际问题提供了有力的工具。
19世纪，数学家们对定积分的理论进行了深入研究。
黎曼提出了著名的黎曼积分理论，对定积分进行了更为抽象和一般的定义。
他的理论在分析学中起到了重要的作用，为后来的测度论和积分论提供了基础。
20世纪，勒贝格和黎曼-施蒂尔杰斯等数学家进一步发展了黎曼积分理论，提出了广义黎曼积分和勒贝格积分等概念。
这些新的积分理论在处理广义函数和非可测集合等问题时更加有效。
此外，计算机的发展也为定积分的计算和应用提供了强大的工具。
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定积分的发展史
起源
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如古希腊时期阿基米德在公
元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。
在历史上，积分观念的
形成比微分要早。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，
直到牛顿 -- 莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立
发展起来。
未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16 世纪。
此时的卡瓦列利与
他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9×N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。
17世纪初巴罗提
供的第一个证明微积分基本定理。
牛顿和莱布尼茨
在一体化的重大进展是在 17 世纪独立发现的牛顿 ?? 和莱布尼茨的微积分
基本定理。
定理演示了一个整合和分化之间的连接。
这方面，分化比较容易
地结合起来，可以利用来计算积分。
特别是微积分基本定理，允许一个要解决
的问题更广泛的类。
同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学
框架。
由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。
这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。
正式积分
定积分概念的理论基础是极限。
人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000 年的时间。
在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。
因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。
经过十八、十九世纪
一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有
了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。
现代教科书
中有关定积分的定义是由黎曼给出的。
术语和符号
艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。
或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。
1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母S（“总结”或“总”）。
∫符号表示的整合 ; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合 ;
f是积，x 在区间 [a ，b] 上的变化进行评估;
从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加
权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。
黎曼的间隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。
因此，符号
是指在分区函数值μ 测量的重量被分配到每个值，加
权总和。
在这里，A表示一体化的地区。
定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。
定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。
定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及
人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线
运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以
直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建
立起来。
可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想
方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近
连续，以直代曲，局部线性化等。
定积分的概念及微积分基本公式，不仅是
数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。