高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量

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全国高中数学竞赛专题-三角函数

全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。

首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。

在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。

接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。

首先是奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。

其次是周期性。

正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。

最后是相关公式。

三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。

在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。

很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。

这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。

此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。

例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。

对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。

最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。

在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。

比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。

三角函数与向量基本概念

三角函数与向量基本概念第一章：三角函数 §1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设22r x y =+）sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π 3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式TMA O Pxy（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二: ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x 1-1y=sinx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo y x图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos = x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1] [-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()s i n y x ϕ=+ （左加右减）横坐标不变()s i n y A xϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍平移ϕω个单位()s i n y A xωϕ=+ （左加右减）平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.第二章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：α αsinαcos αtan12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，变形： 12sin cos sin 2ααα=.2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=.变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 第三章：解三角形 1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数

比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。

全国高中数学竞赛专题-三角函数

全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。

本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。

首先，我们来了解一下基本概念。

在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。

其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。

它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。

在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。

其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。

比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。

此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。

熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。

然后，我们要了解一些三角函数的性质。

三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。

另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。

最后，我们来谈一谈解题方法。

在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。

常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。

我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。

除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。

通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。

因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。

高三冲刺课程第4讲三角函数与平面向量(学生版)

三角函数与平面向量一、要点归纳三角函数部分一．三角函数定义1．定义---在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r =>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan yxα=； 2．三角函数定义域与值域3二．三角函数基本公式 1．同角三角函数关系平方关系：22sin cos 1αα+=，商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式（1）sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=±=±=±（2）sin()sin ,cos()cos ,tan()tan πααπααπαα±=±=-±=±（3）333sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=-±=±±=± 3．和、差、倍角公式（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，sin 22sin cos ααα=（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=，22cos 2cos sin ααα=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=，22tan tan 21tan ααα=-三．三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， y tanx =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，A 叫振幅，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用

高中数学的归纳三角函数与向量的综合应用在高中数学学科中，归纳是一种重要的思维方法，它帮助我们总结和推广已有的数学知识，使之更加系统和全面。

而三角函数和向量是数学中的重要工具和概念，在解决实际问题时发挥着重要的作用。

本文将探讨高中数学中归纳、三角函数与向量的综合应用。

1. 归纳推理在三角函数中的应用三角函数是描述角度和长度关系的数学工具，常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。

在归纳推理中，我们可以通过观察、总结和推广已有的数学关系，来求解一些特殊情况下的三角函数值。

以正弦函数为例，我们知道在单位圆上，正弦值是以角度为自变量的函数。

通过观察正弦函数的图像和数值表，我们可以总结出正弦函数的周期性特征和取值范围。

进一步地，我们可以利用这些结论来解决三角函数相关的问题。

2. 向量与三角函数的综合应用在物理学、几何学等领域，向量是一种非常基础且重要的概念。

向量具有大小和方向两个属性，可以用来表示物体的位移、速度、加速度等物理量。

在解决实际问题时，我们常常需要使用向量来分析和求解。

与三角函数的综合应用相结合，向量可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

例如，在平面几何中，我们可以利用向量和三角函数来求解两条直线的夹角、判断线段是否相交等问题。

在物理学中，我们可以通过向量和三角函数来分析物体的受力情况、解决平衡条件等问题。

3. 综合应用的例题分析下面我们通过一个例题来进一步探讨归纳、三角函数和向量的综合应用。

例题：一架飞机从A点出发，向北飞行80km到达B点，然后改变航向向东飞行150km，到达C点。

求飞机从A点到达C点的位移和距离。

解析：首先我们可以将该问题转化为向量问题。

设A点为原点O(0, 0)，则B点的位置向量为\(\vec{OB}\) = 80\(\vec{i}\)，其中\(\vec{i}\)为x轴的单位向量。

同理，C点的位置向量为\(\vec{OC}\) = 80\(\vec{i}\) + 150\(\vec{j}\)，其中\(\vec{j}\)为y轴的单位向量。

高中数学竞赛讲义(六)三角函数

高中数学竞赛讲义（六）──三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα,co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。

单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。

高中数学竞赛向量

高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B。

2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。

又由sinx+siny=1，所以XXX。

将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。

高中数学的三角函数与向量总结

高中数学的三角函数与向量总结在高中数学学习中，三角函数与向量是两个重要的主题。

三角函数研究角的度量与各种三角关系，而向量则研究物体的位移与力的方向。

本文将总结高中数学中三角函数与向量的相关知识点，帮助读者更好地理解与应用这些概念。

一、三角函数1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用于研究角的正弦关系。

表示为sin(x)，其中x为角的度数。

正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。

在直角三角形中，正弦函数可表示为对边与斜边之比。

2. 余弦函数余弦函数是三角函数中另一个基本的函数，用于研究角的余弦关系。

表示为cos(x)，其中x为角的度数。

余弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。

在直角三角形中，余弦函数可表示为邻边与斜边之比。

3. 正切函数正切函数是三角函数中较为特殊的函数，用于研究角的切线关系。

表示为tan(x)，其中x为角的度数。

正切函数的定义域为全体实数，但在某些角度上不存在值，需要注意避免这些角度。

在直角三角形中，正切函数可表示为对边与邻边之比。

4. 三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。

例如，sin(x)与cos(x)互为倒数，即sin(x) = 1/cos(x)。

另外，tan(x) = sin(x)/cos(x)。

通过利用这些基本关系，可以简化求解三角函数的过程。

二、向量1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在平面几何中，向量可以表示为有序数对 (a, b)，其中 a 为横坐标的变化量，b 为纵坐标的变化量。

向量也可以用矩阵表示。

2. 向量的运算向量有多种运算，包括向量的加法、减法、数量乘法和点乘法。

其中，向量的加法和减法符合平行四边形法则，数量乘法可以改变向量的大小，而点乘法可以得到两个向量的数量积，用于求夹角等相关性质。

3. 向量的模和方向角向量的模表示向量的大小，可通过勾股定理计算得出。

向量的方向角表示向量与平行于坐标轴的正方向之间的夹角。

全国高中数学的竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

高中三角函数三角函数的解析几何与向量应用

高中三角函数三角函数的解析几何与向量应用高中三角函数的解析几何与向量应用在高中数学学科中，三角函数是一个重要的概念和工具，广泛应用于解析几何和向量的研究中。

三角函数的解析几何与向量应用可以帮助我们理解和解决涉及角度、距离和方向等问题。

本文将介绍三角函数的解析几何与向量应用，并探讨其实际应用和重要性。

一、三角函数在解析几何中的应用1. 角度的表示与转换在解析几何中，我们常常需要描述和计算两条直线（或线段）之间的夹角。

三角函数提供了一种便捷的方式来表示和计算角度。

以直角三角形为例，我们可以利用正弦、余弦和正切等三角函数来表示和计算角度的大小。

对于任意三角形，我们也可以通过相关的三角函数来计算其内角的大小以及边长的比例关系。

2. 直线与曲线的方程三角函数的一些特性使其成为描述直线与曲线的方程的重要工具。

例如，正弦函数可以用来描述一些波动的现象，而余弦函数则可以用来描述周期性变化的现象。

在解析几何中，我们可以用三角函数的方程来表示直线和曲线的形状、方向和位置等信息。

3. 三角方程的解解析几何中的三角方程是指包含了三角函数的方程。

解三角方程通常需要利用三角函数的性质和恒等式，通过求解方程来确定未知数的值。

这在解决一些几何问题中是非常有用的，例如确定两条直线的交点坐标、确定一个点到一条直线的距离等。

二、三角函数在向量应用中的重要性1. 向量的模和方向在向量的研究中，我们常常需要确定向量的模和方向。

三角函数提供了一种方便的方式来描述和计算向量的模和方向。

通过将向量投影到坐标轴上，我们可以利用三角函数来计算其模和方向。

例如，一个向量在x轴和y轴上的分量可以通过三角函数来确定，从而计算出向量的模和方向。

2. 向量的运动和速度在物理学等领域中，向量常常用来描述运动和速度等概念。

通过将运动轨迹分解为水平和垂直方向上的分量，我们可以利用三角函数来描绘和计算物体的运动轨迹、速度大小和方向等信息。

例如，在斜抛运动中，我们可以利用正弦函数和余弦函数来求解物体的飞行高度、飞行时间和最远距离等。

高中数学三角函数与向量

高中数学三角函数与向量在高中数学中，三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。

三角函数研究角的大小和周边长度的关系，而向量则研究物体在平面或空间中的位移和运动。

一、三角函数三角函数是描述角度大小和长度关系的数学函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

我们以角A为例来介绍这些函数。

1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与x轴正半轴之间的线段比值。

可以表示为sin(A)。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指在单位圆上，以角A 的终边与x轴正半轴之间的弦与单位圆的半径之间的比值。

可以表示为cos(A)。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指在单位圆上，以角A的终边与x轴正半轴之间的弦与角A的终边在x轴正半轴法线上的投影之间的比值。

可以表示为tan(A)。

二、向量向量是具有大小和方向的物理量。

在高中数学中，我们主要研究平面向量和空间向量。

1. 平面向量：平面向量由大小和方向确定。

我们可以用有向线段或坐标表示平面向量。

常见的运算有向量的加法、数乘和点乘。

2. 空间向量：空间向量也由大小和方向确定，但相比于平面向量，空间向量多了一个维度。

我们可以用有向线段或坐标表示空间向量。

空间向量的运算与平面向量类似，只是多了一个维度的考虑。

三、三角函数与向量的应用三角函数与向量在实际问题中有广泛的应用。

1. 几何问题：三角函数与向量可以用来解决几何问题，如平面上的三角形面积、角平分线等；空间中的直线及平面的交角，立体图形的体积等。

2. 物理问题：三角函数与向量在物理学中具有重要的应用，如力学中的合力分解、运动学中的速度和加速度等。

3. 工程问题：三角函数与向量也广泛应用于工程领域，如电路中的电流和电压，机械工程中的力和力矩等。

总结：高中数学中的三角函数与向量是解析几何和三角学的重要内容。

2025届高考数学二轮精讲三角与向量第2讲三角函数的图像与性质含解析

第2讲三角函数的图像与性质学问与方法本专题主要学问为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、相识性质,并要驾驭好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的探讨,教材实行先探讨某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法支配内容. 1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线探讨正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点探讨函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);（2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特殊留意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的多数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要留意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并驾驭函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.详细: : (0) (0)sin sin() || y x y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）留意,若周期变换在前,则一般公式为 sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要娴熟把握三角函数图使的形态特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满意1cos 2x 的解为33x ππ-,故所求函数的定义域为 {}|22,33x k x k k ππππ-++∈Z .图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应留意其中隐含的条件. 如解3tan 3x,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭Z【例2】函数()(1)cos f x x x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin6f x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭. 因为33x ππ-,所以662x πππ-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所求值域为[1,2]-.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要留意定义域的范围和A 的符号.【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,依据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到22111sin cos sin 212y x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭,最终利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3y x =-.函数()222212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121sin 1,sin 133x x ---.当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定sin x 的取値范围2sin 13x -是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413=>,冲突.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令sin cos x x t +=,则[4t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.对sin cos x x t +=平方,得212sin cos x x t +=,所以21sin cos 2t x x -=.所以2211(1)122t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着亲密的联系.如2222(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于视察,进行相互转化.本题在换元时,留意[t ∈. 【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,)2,sin()x y x ϕϕ+=+=其中tan y ϕ=-.由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33y.解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos xy x =+化为sin 0cos (2)x y x -=--,y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2yk x =+, 单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+的距离1d =, 可得2133,333k k-.解法3：(代数法)由22(2),1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214410k x k x k +++-=. 令()()4221641410k k k ∆=-+-,可得2133,333kk-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)因为()22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222x x x x xx y x x xx x x x x ====+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )要使函数sin 2cos xy x =+最大,则tan 02x >.从而22tan 2223233tantan 22tan 2xy xx x===++当且为当tan 2x =.故所求的解法5：由【解析】4得22tan 23tan 2xy x=+,将其化为2tan 2tan 3022x x y y -+=.当0y =时,tan 02x =,成立;当0y ≠时,tan 2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得213y .【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求：（1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【分析】本题探讨三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时留意,A ω的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.令222,232k x k k πππππ--+∈Z ,解得5,1212k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应留意ω>0,把x ωϕ+看作一个整体,依据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）A.12x π= B.6x π= C.512x π= D.3x π= 【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步探讨其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选 C. 【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令2()32x k k πππ-=+∈Z ,解得5()212k x k ππ=+∈Z .所以直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是干脆求出对称轴方程;另一种是依据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即12=+,解得a =解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则21(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得a解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3π对称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求求a 的值,过程比较困难.若换用特殊值点来求,小2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,留意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2a bx -=对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于随意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（）A.4πB.2πC.1D.2【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算实力和理解实力.【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和222T πω=的最小公倍数,但函数()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误会法.【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟识三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解法2：(先伸缩后平移)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为便利,但必需清晰它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要留意,在不同的变换中依次可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22T πω==,所以3sin(2)2y x ϕ=+.代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z .又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令222232k x k πππππ-++,得51212k x k ππππ-+.所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令3222232k x k πππππ+++,得71212k x k ππππ++.所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,留意,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =探讨sin()y A x ωϕ=+的性质. 【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【分析】由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,所以36Tππ-,故26ππω,所以12ω.又直线4x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故2432k πππωπ+=-,所以()1083k k ω=-∈Z . 结合012ω<知,143ω=. 【点睛】由三角函数的图象和性质确定参数的值,留意区间范围.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（） A.[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2D.[]2,4【分析】由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.解法2：考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.令21x t +=,则12t x -=. 考虑方程1sin 8t t -=在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发觉函数sin y t =和18t y -=的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.故选A.【点睛】将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.强化训练1.求函数lg(sin )y x =-.【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨⎩由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).2.在函数的一个周期[)0,2π内,满意以上两个条件的x 的范围是53,242xx ππππ<<<. 故定义域为5224xk x k ππππ⎧+<+⎨⎩∣或3222,2kx k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭Z2.已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b -=+=-, 解得1,12a b ==-. 当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b +=-=-,解得1,12a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满意条件. 综上所述,1,12a b ==-或1,12a b ==. 3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.【答案】4,09【解析】由223sin 2sin 2sin x y x +=得223sin sin sin 2y x x=-所以2222111sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+. 由于223sin sin sin 02y x x =-,由已知条件知sin 0x ,所以32sin 10,sin 0,23x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 故222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤+=--+∈⎢⎥⎣⎦4. 函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】令sin cos x x t -=,则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0x π<<,所以3444x πππ-<-<,sin 124x π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,则12t -<.对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以21sin cos 2tx x -=.所以()211212t t y t --==+,值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.5. 函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2yx y +=-. 由三角函数的有界性知,1212yy +-,整理得23830y y +-,解得133y-.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：(常数分别法)函数2sin 152sin 2sin 2x y x x +==+--.因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,111sin 23x ---,则133y -.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,故0ω>且23ππω,从而302ω<.解法2：由题意知0ω>.因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32,,,3422,42x ωππωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩即3,22,ωω⎧⎪⎨⎪⎩故302ω<. 7.若函数()sin ([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（）A.2πB.23πC.32πD.53π【答案】C【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,则()3,3322k k k ϕπππϕπ=+=+∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32πϕ=.故选C.8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4x π=,则()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得b a -=,所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】1972π【解析】至少须要1494个周期,即11972197491,442T ππωω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不行能是（）【答案】D【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T aππ=>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.故选D.11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度B.向左平移4π个单位长度C.向右平移12π个单位长度D.向左平移12π个单位长度【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,探讨两者图象间的变换问的.【解析】sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.先将函数名变为相同,3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再将其图象向右平移12π个单位长度即可.答案为 C.【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,留意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即ysin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应留意平移对象、函数名和平移量.12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】302ω-< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22ππωω⎛⎫-⎪⎝⎭,故23ππω-.于是302ω-<.13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.【答案】73π【解析】2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设123x x x <<,其中12,x x 关于直线6x π=对称,32x π=,所以12373x x x π++=.。

三角函数和向量知识点

三角函数和向量知识点
一、三角函数的定义
三角函数，即三角函数，是以角度和弧度为参数的函数。

三角函数可
以用来求出直角三角形中的各个边和角的大小。

它可以分为正弦函数，余
弦函数和正切函数。

二、三角函数的基本公式
三角函数的基本公式可以从三角形的基本定理和三角形的相关公式推出。

1、正弦函数的基本公式：sinθ=Opposite/Hypotenuse
2、余弦函数的基本公式：cosθ＝Adjacent/Hypotenuse
3、正切函数的基本公式：tanθ＝Opposite/Adjacent
三、三角函数的应用
三角函数在数学中有着广泛的应用，如绘制三角形、求解三角形的面
积和周长等。

它还可以用于计算机编程中三角函数的求值，因此在许多领
域有着重要的应用，比如地理、天文学、建筑等。

四、向量的定义
向量是由大小和方向所确定的矢量，它具有大小和方向性，也可以视
为其中一点移动的一种矢量表示。

在数学中，一个向量实际上是一个矢量，它是一组数（矢量的分量）的有序集合，这些数的每一个均表示矢量在其
中一坐标轴上的大小及其方向。

五、向量的计算
向量可以用来计算点积、叉积、矢量差、向量加法和减法等等。

1、点积：点积是两个向量的数量积，它表达了两个向量的内积。

2、叉积：叉积是两个向量的向量乘积。

三角函数和向量课件

第一章三角函数一、基础知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y rα=，cos x rα=，()tan 0y x xα=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．二、三角函数伸缩平移变换函数 sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习1、要得到函数y=2cos （x+）sin （﹣x ）﹣1的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x 的图象（） A 、向左平移个单位B 、向右平移个单位C 、向右平移个单位D 、向左平移个单位2、把函数y=（cos3x ﹣sin3x ）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x 的图象，这个变化可以是（）A 、沿x 轴方向向右平移B 、沿x 轴方向向左平移C 、沿x 轴方向向右平移D 、沿x 轴方向向左平移3、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（）A 、向右平移个单位长度B 、向右平移个单位长度C 、向左平移个单位长度D 、向左平移个单位长度4、把函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A 、B 、C 、D 、答案：1、D 2、D ． 3、A ． 4、D14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ； ②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()s i n y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为m in y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()m ax m in 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭补充知识点：三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⑶22tan tan 21tan ααα=-第二章平面向量基本概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．一、提出课题：向量是否能进行运算？1．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC2．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 3．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：−→−AB +−→−BC =−→−AC 4．船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：−→−AB +−→−BC =−→−AC提出课题：向量的加法1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

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