2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十二章第1讲随机抽样 Word版含解析]

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高考新创新一轮复习理数江苏专版教师用书：第十二章+选修4系列

第十二章选修4系列(1)[a 11 a 12] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，则MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2．矩阵的变换 (1)矩阵变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)，或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(2)几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．[例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1，计算AB ，AC . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1，计算AB .(3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.[解] (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. (3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.[方法技巧]矩阵运算的规律(1)一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵的乘法不满足消去律．矩阵的变换[例2] (2017·南京、盐城二模)设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．[解] 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1. 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0. 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.[方法技巧] 1．变换的复合在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．2．矩阵乘法MN 的几何意义对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，β＝⎣⎢⎦⎥－3，求M (2α＋4β)．解：2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，则M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26. 2.[考点二]曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，则有(x －2y 2)＋y 2＝1，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1，即x 2－4xy ＋6y 2＝1.3.[考点二](2018·徐州市高三期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，若直线y ＝kx ＋1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点P (2,6)，求实数k 的值．解：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－12 12，所以A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，将点(2,2)代入直线y ＝kx ＋1得k ＝12.4.[考点一、二]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 230⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫x ′22＋⎝⎛⎭⎫y ′32＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．二阶行列式我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝ad －bc .3．特征值与特征向量(1)设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．[例1] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 6，求矩阵A －1B .[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [方法技巧]1．求逆矩阵的三种常用方法：(1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA －1＝A －1A ＝E (E 为单位矩阵)．(2)公式法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，记为det A ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A ，当且仅当detA ＝ad －bc ≠0.(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵． 2．对于矩阵A 和B ，若都存在逆矩阵，则 (1)若A 是B 的逆矩阵，则B 也是A 的逆矩阵； (2)可逆矩阵的逆矩阵唯一； (3)(A －1)－1＝A ；(4)E －1＝E ；(5)(AB )－1＝B －1A －1；(6)若A 是可逆矩阵，B 、C 是任意矩阵，则由AB ＝AC 可得B ＝C .特征值与特征向量[例2] 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎦⎥12.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)因为矩阵A 是矩阵A－1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－13 23.(2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．[方法技巧]矩阵A 的特征值与特征向量的求解策略(1)求矩阵A 的特征值与特征向量先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．(2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据Aα＝λα构建关于a ，b ，c ，d 的方程求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤acb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.[考点二] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.3.[考点二] (2018·苏北四市期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．解：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6,由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4.[考点二]已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 130.1. (2018·苏北四市摸底)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，得x ＝－12， y ＝4.2. (2018·南京、盐城、连云港、徐州模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解： (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ′―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)．4．(2018·南京、盐城模拟)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：由题意，矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )·(λ－1)，因为矩阵M 有一个特征值为2，所以f (2)＝0，所以a ＝2.设曲线C 上任意一点坐标为(x ，y )，在矩阵M 变换下得到的点为(x ′，y ′)，所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 2x ＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ，代入方程x ′2＋y ′2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.5．(2017·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.6. (2018·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n 1的两个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2, 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 7. (2018·苏州期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36.突破点(一) 极坐标系(1)极坐标系如图所示，在平面上取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化3.1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． [解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. [易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2，由坐标变换公式得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1，即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22. 2.[考点一、二](2018·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 3.[考点二]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.[考点一、二](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点(二) 参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在这曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变数t 是参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).1.基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1. ∵t 2－1≥0， ∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1，当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，0≤y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1.第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·无锡联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0，故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0＜y ＜6，所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0＜y ＜6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2.[考点二](2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3.[考点二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4.[考点二](2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.突破点(三) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意选择极点、极轴的位置，注意“点和极坐标”的“一对多”特性.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用．圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切，当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切；当k ≠0时，d ＜1，直线l 与曲线C 1相交．(2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0. (2)因为直线l 与圆C 恒有公共点，所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞. 3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.1. (2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B ，求线段AB 的长．解：曲线C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3，0)为圆心，2为半径的圆，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ，所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝⎛⎭⎫322＝13.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3. (2018·南京模拟)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解：M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，故直角坐标为M (0,1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝－3sin 2θ－2sin θ＋5 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin θ＋132＋163，sin θ∈[－1,1]．所以当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223.所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫±423，－13.4．(2018·盐城模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －2)2＝4，它表示以(0,2)为圆心，半径是2的圆．由圆心到直线l 的距离d ＝|0－2－2|22＋12＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交． 5．(2018·泰州期中)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.7．(2018· 扬州期初)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1∶x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.突破点(一) 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 2．绝对值不等式的性质(1)性质1：|a |＋|b |≥|a ＋b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)性质2：|a |－|b |≤|a ＋b |. (3)性质3：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.(4)推论：|a －b |≤|a －c |＋|b －c |，当且仅当(a －c )(b －c )≤0时，等号成立.绝对值不等式的解法[例1] (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0. (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.(2)①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．证明绝对值不等式[例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例3] (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立时a 的取值范围． [解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 017，x ≥2 017，2 017，x ＜2 017.因为f (x )在[2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为[2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |＞2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min ＞2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |，所以|1＋a |＞2，解得a ＞1或a ＜－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞).能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[解：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，－(x －1)＋(x －5)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2。

《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法

第 3 讲数学归纳法A 级基础演练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．用数学归纳法证明不等式 1 1 11271＋＋＋＋ n －1＞64 (n ∈N *)成立，其初始值至2 4 2少应取()．A ．7B ．8C ．9D ．101剖析左侧＝ 1＋1＋1＋＋ 1＝n1，代入考据可知的最小1－2 ＝－n2 42n －11 2 2n －11－2值是 8.答案B2．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除”，在第二步时，正确的证法是()．A ．假设 n ＝k(k ∈ N ＋ )，证明 n ＝k ＋1 命题成立B ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋1 命题成立＝＋ ∈ N ＋)，证明 n ＝k ＋ 1 命题成立C ．假设 n 2k 1(kD ．假设 n ＝k(k 是正奇数 )，证明 n ＝k ＋2 命题成立剖析 A 、B 、C 中， k ＋1 不用然表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k ＋2 为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明 1＋1－1＋＋1 － 1 ＝ 1 ＋1＋＋ 1 ，则 1－234 2n － 1 2n n ＋1 n ＋22n当 n ＝k ＋ 1 时，左端应在 n ＝k 的基础上加上( )．11A.2k ＋ 2 B ．－2k ＋ 2 1 11 1C.2k ＋ 1－ 2k ＋2D.2k ＋1＋2k ＋2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1－ 1＋ 1－1＋＋1 － 1，当＝＋时，23 42k － 12k n k 1左侧＝ 1－1＋1－1＋＋ 1 － 1 ＋1 － 1 .2 3 42k －12k2k ＋12k ＋ 2答案C4．对于不等式n 2＋n<n ＋ 1(n ∈ N * )，某同学用数学归纳法的证明过程以下：(1)当 n ＝1 时， 12 ＋1<1＋ 1，不等式成立．*2(2)假设当 n ＝ k(k ∈ N 且 k ≥ 1)时，不等式成立，即 k ＋ k<k ＋1，则当 n ＝ k ＋1)＋1，因此当 n ＝k ＋1 时，不等式成立，则上述证法( )．A ．过程所有正确B ．n ＝1 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝ k ＋1 的推理不正确剖析在 n ＝ k ＋1 时，没有应用 n ＝ k 时的假设，故推理错误．答案 D二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明不等式 1 ＋1 ＋＋ 1＞13的过程中，由 n ＝k 推导 5 n ＋1 n ＋2 n ＋n 24n ＝k ＋1 时，不等式的左侧增加的式子是 ________．剖析不等式的左侧增加的式子是1 ＋ 1 － 1＝ 1，故2k ＋1 2k ＋2 k ＋1 2k ＋1 2k ＋21 填.2k ＋1 2k ＋21答案2k ＋1 2k ＋26．以以下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n ∈ N *)行，在这些数中非1 的数字之和是 ________________．11 11 2 113 3 114641剖析所有数字之和 S n ＝ 0＋＋ 2 2＋＋ n －1＝ n －，除掉1 的和为 n －1 2 22 2 12－ (2n －1)＝ 2n －2n.答案2n－2n三、解答题 (共 25 分 )．分已知 S n＝1＋1＋1＋＋ 1， ∈ * ) ，求证：＋n≥ ， ∈ * ．7 (12 )23n (n>1n NS 2n >1 2(n 2 n N )证明1 1 1 252＝时命题成立； (1)当 n ＝2 时， S 2n ＝ 4＝＋＋＋＝＋，即 nS1 2 3 4 12>12 2*1 1 1k(2)假设当 n ＝ k(k ≥ 2， k ∈N )时命题成立，即 S 2k ＝1＋2＋3＋＋ 2k >1＋2，1 1 1 1 1 k1 ＋则当 n ＝k ＋1 时， S 2k ＋1＝1＋＋＋＋ k ＋＋＋ >1＋＋2 322k＋ 12k ＋12 2k＋ 11＋＋ 1 >1＋ k ＋ 2k＝ 1＋ k ＋ 1＝ 1＋ k ＋1，2k＋22k ＋12 2k＋2k2 22故当 n ＝k ＋1 时，命题成立．*n由(1)和(2)可知，对 n ≥ 2，n ∈N .不等式 S 2n >1＋ 2都成立．8．(13 分)已知数列 { a n } ：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝ r ，a n ＋ 3＝a n ＋ 2(n ∈ N * )，与数列 { b n } ：b 1＝ 1，b 2＝ 0，b 3＝－ 1，b 4＝0，b n ＋ 4＝b n (n ∈N * )．记 T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋＋ b n a n .(1)若 a 1＋ a 2＋a 3＋＋ a 12＝64，求 r 的值；(2)求证： T 12n ＝－ 4n(n ∈N *)．(1) 解 a 1＋ a 2 ＋ a 3＋＋ a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋ 2)＋5＋6＋ (r ＋ 4)＋ 7＋ 8＋ (r ＋ 6)＝48＋ 4r .∵48＋4r ＝64，∴ r ＝4.(2)证明用数学归纳法证明：当 n ∈N * 时， T 12n ＝－ 4n.①当 n ＝1 时， T 12＝a 1－a 3＋a 5－ a 7＋a 9－a 11＝－ 4，故等式成立．②假设 n ＝k 时等式成立，即 T 12k ＝－ 4k ，那么当 n ＝k ＋1 时，T 12(k ＋ 1) ＝T 12k ＋ a 12k ＋ 1－a 12k ＋ 3＋ a 12k ＋ 5－ a 12k ＋7＋ a 12k ＋ 9－ a 12k ＋11＝－ 4k ＋ (8k ＋ 1)－ (8k ＋r)＋ (8k ＋ 4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－ (8k ＋ 8)＝－ 4k － 4＝－ 4(k ＋1)，等式也成立．依照①和②可以判断：当 n ∈ N * 时， T 12n ＝－ 4n.B 级能力打破(时间： 30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )．用数学归纳法证明 4＋n 22＝n，则当 n ＝k ＋1 时左端应在 n ＝k11＋2＋3＋＋ n2的基础上加上 ()．A ．k 2＋ 1B ．(k ＋ 1)2k ＋ 1 4＋ k ＋ 1 2C.2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ (k 2＋3)＋＋ (k ＋ 1)2剖析 ∵当n ＝k 时，左侧＝ 1＋ 2＋ 3＋＋k 2，当 n ＝＋时，左侧＝＋＋k 1 1 2 3＋＋k 2＋(k 2＋1)＋＋(k ＋1)2∴当n ＝k ＋1 时，左端应在 n ＝ k 的基础上加上 (k 2＋1)＋ (k 2＋2)＋(k 2＋ 3)＋＋(k ＋1)2.答案 D2＋4＋33＋＋ n ×3n － 1＝3n－ b) ＋ c 对 2．(2013 ·广州一模 )已知 1＋2×3＋3×3 (na所有 n ∈N * 都成立，则 a 、b 、c 的值为 ( )．1 1 1A ．a ＝2，b ＝c ＝4B ．a ＝b ＝c ＝41C ．a ＝0，b ＝c ＝4D ．不存在这样的 a 、b 、c解析∵等式对所有n ∈N * 均成立， ∴n ＝ 1,2,3 时等式成立，即1＝3 a －b ＋c ，1＋2×3＝322a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋ c ，3a － 3b ＋c ＝1，整理得 18a －9b ＋ c ＝ 7，81a －27b ＋c ＝34，11解得 a ＝2，b ＝c ＝ 4.答案A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．已知整数对的序列以下： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)， (2,4)，，则第 60 个数对是 ________．剖析本题规律： 2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；；一个整数 n 所拥有数对为 (n－1)对．n－ 1 n设 1＋ 2＋ 3＋＋(n－ 1)＝60，∴＝60，2∴n＝ 11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12，12＝ 1＋ 11＝2＋10＝ 3＋ 9＝ 4＋ 8＝ 5＋ 7，∴第60 个数对为 (5,7)．答案(5,7)1 *4．已知数列 {a n} 的通项公式 a n＝n＋12(n∈N )， f(n)＝ (1－a1)(1 －a2) (1－a n )，试经过计算 f(1)，f(2)， f(3)的值，推测出 f(n)的值是 ________．剖析1 3－－ 2 ＝1 3 82 4 f(1)＝1－a1＝－＝，＝(11f(1)1－＝×＝＝，1 4 4 f(2) a )(1 a ) · 9 4 9 3 6f(3) ＝ (1 － a1) ·(1－ a2)(1－ a3)＝ f(2) 1－1＝2×15 5f(n)＝·16 3 16＝8，由此猜想，n＋ 2(n∈N* )．2 n＋1答案n＋ 2 *2 n＋1 (n∈N )三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分 )设数列 { a n} 满足 a1＝ 3， a n＋1＝a2n－ 2na n＋2，n＝1,2,3，(1)求 a2， a3，a4的值，并猜想数列 {a n} 的通项公式 (不需证明 )；(2)记 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，试求使得 S n<2n成立的最小正整数n，并给出证明．解 (1)a2＝ 5， a3＝7，a4＝9，猜想 a n＝ 2n＋1.n 3＋2n＋ 12n(2)S n＝＝n＋2n，使得S n<2成立的最小正整数n＝6.下证： n≥6(n∈N* )时都有 2n>n2＋2n.6 2①n＝6 时， 2 >6 ＋2×6，即 64>48 成立；《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法②假设 n＝k(k≥6，k∈N* )时， 2k>k2＋2k 成立，那么 2k＋1＝2·2k>2(k2＋ 2k)＝ k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝ (k＋1)2＋ 2(k＋ 1)，即 n＝k＋1 时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的 n≥6(n∈N*)都有 2n>n2＋2n 成立．6．(13 分 )(2012 安·徽 )数列 { x n} 满足 x1＝0， x n＋1＝－ x2n＋x n＋c(n∈N* )．(1)证明： { x n} 是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求 c 的取值范围，使 { x n} 是递加数列．(1)证明先证充分性，若c<0，因为 x n＋1＝－ x2n＋ x n＋c≤ x n＋c<x n，故 { x n} 是递减数列；再证必要性，若 { x n} 是递减数列，则由x2<x1可得 c<0.(2)解①假设{ x n}是递加数列．由 x1＝0，得 x2＝c， x3＝－ c2＋ 2c.由 x1<x2<x3，得 0<c<1.由 x n<x n＋1＝－ x2n＋x n＋c 知，对任意n≥ 1 都有x n< c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－ c＋c＝(1－c－x n)( c－x n)，②由①式和②式可得1－c－ x n>0，即 x n<1－ c.由②式和 x n≥0 还可得，对任意n≥1 都有c－ x n＋1≤(1－c)( c－x n)．③屡次运用③式，得c－x n≤(1－c)n－1( c－x1)<(1－c)n－1，x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知2 c－1<(1－c)n－1对任意 n≥1 成立．依照指数函数 y＝(1－c)n的性质，得1 12c－1≤0，c≤4，故 0<c≤4.1②若 0<c≤4，要证数列 { x n} 为递加数列，即 x n＋1－x n＝－ x n2＋c>0，即证 x n<c对任意 n≥ 1 成立．1下面用数学归纳法证明当0<c≤4时， x n<c对任意 n≥1 成立．1(i) 当 n＝1 时， x1＝ 0< c≤2，结论成立．《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】第十二篇第3讲数学归纳法(ii)假设当 n＝k(k∈N*) 时，结论成立，即 x n< c.因为函数 f(x)＝－ x2＋x＋c 在区间－∞， 1 内单调递加，因此 x k＋1＝f(x k)<f( c)2＝c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立．故 x n< c对任意 n≥1 成立．2因此， x n＋1＝x n－ x n＋c>x n，即 { x n} 是递加数列．1由①②知，使得数列 { x n} 单调递加的 c 的范围是 0，4 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

高三苏教数学理一轮复习创新能力提升第十二章第讲随机抽样含解析

第十二章统计第1讲随机抽样分层训练B级创新能力提升1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．解析由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．答案分层抽样、简单随机抽样2．(2012·徐州检测)某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.解析设二年级女生的人数为x，则由x2 000＝0.19，得x＝380，即二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.答案163．(2012·连云港调研)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．解析由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.答案114．(2013·南京模拟)一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案765．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解(1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有x·40%＋3xb4x＝47.5%，x·10%＋3xc4x＝10%，解得b＝50%，c＝10%，则a＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人数为200×34×10%＝15(人)．6．(2010·广东卷)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)．(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝610＝35.。

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十五章第1讲几何证明选讲 Word版含解析]

第十五章系列4选考部分第1讲几何证明选讲分层训练B级创新能力提升1.(2012·常州市期末考试)如图，圆O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH＝DE.证明连结CE，CH.因为H为△ABC的垂心，所以∠ECD＝∠BAD＝90°－∠ABC，∠HCD＝90°－∠ABC，所以∠ECD＝∠HCD.又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC，所以DH＝DE.2.(2013·泰州调研一)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝33，求AD的长．(1)证明∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠EAC＝120°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝33，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.3.(2013·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝P A·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.4. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．(1)证明∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.即点F是BD的中点．(2)证明连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵F是BD的中点，∴∠CBF＝∠FCB.∵∠CBF＝∠BAC，∠BAC＝∠ACO，∴∠FCB＝∠ACO.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠BCF＋∠OCB＝90°.∴∠OCF＝90°.∴CG是⊙O的切线．(3)解由FC＝FB＝FE，得∠FCE＝∠FEC.∵∠G＋∠GCH＝90°，∠F AG＋∠FEC＝90°，∴∠F AG＝∠G.∴F A＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG.由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG＝2BG2.①在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG－12＝0.解得FG＝6或FG＝－2(舍去)．∴AB＝BG＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.5.(2013·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD.从而OP⊥l.因为点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.6.(2012·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵P A、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.。

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十四章第2讲基本算法语句 Word版含解析]

第2讲基本算法语句分层训练B级创新能力提升1．(2012·盐城调研)如图所示的伪代码运行的结果为________．解析a＝1＋1＝2，b＝2＋1＝3，c＝2＋3＝5；a＝2＋3＝5，b＝5＋3＝8，c＝5＋8＝13；a＝5＋8＝13，b＝13＋8＝21，c＝13＋21＝34.答案34(第1题图) (第2题图)2．(2013·高邮模拟)根据如图所示伪代码，可知输出结果S＝________，I＝________.解析S＝2×7＋3＝17，I＝7＋2＝9.答案1793．(2012·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．a ←1b ←2I ←2While I ≤6 a ←a ＋b b ←a ＋b I ←I ＋2End While Print b解析流程图的执行如下：当I ＝答案 344．(2012·南京调研)写出下列伪代码的运行结果．(1)图1的运行结果为________； (2)图2的运行结果为________．解析 (1)图1的伪代码是先执行S ←S ＋i ，后执行i ←i ＋1∴S ＝0＋1＋2＋…＋(i －1)＝(i －1)i2>20，∴i 的最小值为7.(2)图2的伪代码是先执行i ←i ＋1，后执行S ←S ＋i ， ∴S ＝0＋1＋2＋…＋i ＝i (i ＋1)2>20.∴i 的最小值为6.答案 (1)7 (2)65．(2013·常州调研)根据下列伪代码画出相应的流程图，并写出相应的算法．S ←1n ←1While S <1 000 S ←S ×n n ←n ＋1End While Print n解流程图如图：算法如下： S1 S ←1； S2 n ←1；S3 如果S <1 000，那么S ←S ×n ，n ←n ＋1，重复S3； S4 输出n .6．(2012·苏北四市调研)设计算法，求1－3＋5－7＋…－99＋101的值，用伪代码表示．解用“For”语句表示， S ←1a ←1For I From 3 To 101 Step 2 a ←a ×(－1) S ←S ＋a ×I End For Print S用“While”语句表示， S ←1I ←3a ←1While I ≤101 a ←a ×(－1) S ←S ＋a ×I I ←I ＋2End While Print S。

【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课数列求和备考练习苏教版

习题课数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，13n －1·3n ＋2，…的前n 项和为________．2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是________．3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为________．4．若1＋3＋5＋…＋2x －111·2＋12·3＋13·4＋…＋1x x ＋1＝132 (x ∈N *)，则x ＝________.5．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是________．6．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升9．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 1.n 6n ＋4 2.12n (n ＋5) 3.10 4．11 5.－76 6.1 473 7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.8．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．2n－110.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥211．2＋ln n12．解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．13．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意；因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.。

2014届高考(苏教版)生物大一轮课件：第12讲减数分裂和有性生殖 (共122张PPT)

考点一
核心突破
命题探究
技法提炼
突破考点·提炼技法
【命题探究】 1.如图表示雄果蝇进行某种细胞分裂时，处于四个不同阶段的细胞(Ⅰ～ Ⅳ)中遗传物质或其载体(①～③)的数量。判断下列有关图示信息表述的正误： (1)能发生Ⅰ→Ⅱ或Ⅲ→Ⅳ的变化，期间易发生基因突变 ( × ) (2)在Ⅱ阶段的细胞内，①的数量始终都只是 4 (3)在Ⅳ阶段的细胞内，可能发生基因重组 (4)在Ⅱ、Ⅳ阶段的细胞内，都可能含有两条 Y 染色体 (5)Ⅱ代表初级精母细胞 (6)②代表染色体 (7)Ⅰ～Ⅳ中③的数量变化是 1∶2∶2∶4
2N→N(减半)
着丝粒分裂，姐妹染色单体
分开
无
精细胞、卵细胞(第二极体)
考点一
核心突破
命题探究
技法提炼
突破考点·提炼技法
考点一
核心突破
命题探究
技法提炼
突破考点·提炼技法
2.减数分裂过程中染色体、核 DNA 和染色单体的数量变化柱形图如下(以二倍体生物的精子形成过程为例)：
考点一
核心突破
命题探究
考点一
核心突破
命题探究
技法提炼
突破考点·提炼技法
易错警示
注意
关于减数分裂的几个概念辨析
同源染色体也有大小不同的，如男性体细胞中的 X 染色
体和 Y 染色体，X 染色体较大，Y 染色体较小。大小相同的染色体不一定是同源染色体，如着丝粒断裂后形成的两条染色体，因不是一条来自父方，一条来自母方，所以不叫同源染色体；但只要是联会的两条染色体，不管大小、形状是否相同，都叫同源染色体；同源染色体既可以是复制之前不含染色单体的也可以是复制之后含染色单体的。
1.有性生殖 (1)概念

江苏省2014届高考数学一轮复习试题选编14 等差与等比数列综合苏教版

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题1 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,则{}n a 的通项公式是______.【答案】22n a n n =-+2 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】145 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知数列}{n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ▲ ．【答案】2-或1266 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *,31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-7 ．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】19518 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =⋅⋅⋅时,数列{}n b 也是等比数列;类比上述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.【答案】nc c c n+++ 219 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为___________.【答案】7- 10．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______. 【答案】()e n n ，11．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<1125的最小整数n 是______.【答案】7 解答题12．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,⋅⋅⋅,n d ,⋅⋅⋅,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.【答案】13．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）设等差数列}{n a 的公差0≠d ,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a = (1)求数列}{n b 的公比q ;(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242 1=q 不合题意,故311142=--q q ,解得22=q 2±=∴q(2)由m n b a =得1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2a d =∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2112)1(1+-±=+m m n*1N n ∈+ 0)(1>±∴-m 1221-=∴+m n m 为奇数，且(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:1221-=+m n m 为奇数，且令)(12*N k k m ∈-=,则11122)2(---•=•=k k m a a ba c n n 12-=∴若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q ,又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p又r p ≠ ,211222r p r p +-->+∴又xy 2=在R 上增,2r p q +>∴.与题设2rp q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意数学附加题14．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1517a a +=.(1)若{}n a 为等差数列, 且856S =.①求该等差数列的公差d ;②设数列{}n b 满足3n n n b a =⋅,则当n 为何值时,n b 最大?请说明理由;(2)若{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列;②2416a a =;③对任意的正整数k ,存在自然数m ,使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.【答案】解: (1)①由题意,得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得1d =-4分②由①知1212a =,所以232n a n =-,则2333()2n n n n b a n =⋅=⋅-因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=⋅--⋅-21233[3()()]23[10]22n n n n n =⋅---=⨯⋅-所以1110b b =,且当10n ≤时,{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,故当10n =或11n =时,nb 最大(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩从而12n n a -=或1(2)n n a -=-或1116()2n n a -=⨯或1116()2n n a -=⨯-. 又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,所以2111(1)(1)(1)2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m kq q -=+ (*)当12n n a -=时, (*)式不成立; 当1(2)n n a -=-时,解得1m k =+;当1116()2n n a -=⨯时, (*)式不成立;当1116()2n n a -=⨯-时, (*)式不成立. 综上所述,满足条件的1(2)n n a -=-15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.【答案】解:(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以,最大的3a =16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知数列*122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足(1)若{}n a 是等差数列,且345,{}n b a a =求的值及的通项公式;(2)若{}n a 的等比数列,求{}n b 的前n 项和.n S【答案】解 (1)因为{}n a 是等差数列,1d a =-,1(1)n a n a =+-,[12(1)][14(1)]45a a +-+-=,解得3a =或74a -=(舍去), 21n a n =-(2)因为{}n a 是等比数列,q a =,1n n a a -=,2n n b a = 当1a =时,1n b =,n S n =;当1a ≠时, 222(1)1n n a a S a -=-17．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列;数列{}n b 的前n 项和为3nn S t =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1nn c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ;(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立(其中2≥k , *∈N k ), 试求实数的取值范围.【答案】解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩(2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =-对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-, 令1*32n n c N -=+∈,则116(23)12n n cn a b -+=+-=,所以命题成立数列{}n c 的前n 项和13112321322n n n T n n -=+=⨯+-- (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n nn nd d n t n t ++-=+---38[(2)]32nn t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得 12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,5975977444t ---+≤≤<,②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=综上所述,59759744t ---+≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥ 18．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ,其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数,数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,对于任意的正整数n ,a n +S n =()k f n . (1)若k =0,求证:数列{a n }是等比数列;(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列.【答案】【证】(1)若0k =,则()k f n 即0()f n 为常数,不妨设0()f n c =(c 为常数). 因为()n n k a S f n +=恒成立,所以11a S c +=,即122c a ==. 而且当2n ≥时,2n n a S +=, ①112n n a S --+=, ②①-②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥.若a n =0,则1=0n a -,,a 1=0,与已知矛盾,所以*0()n a n ≠∈N . 故数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.【解】(2)(i) 若k =0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k =1,设1()f n bn c =+(b ,c 为常数), 当2n ≥时,n n a S bn c +=+, ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+, ④③-④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥.要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有n a b d =-(常数),而a 1=1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n =1()*n ∈N ,故当k =1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n =1()*n ∈N ,此时1()1f n n =+. (iii) 若k =2,设22()f n an bn c =++(0a ≠,a ,b ,c 是常数), 当2n ≥时,2n n a S an bn c +=++, ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+, ⑥ ⑤-⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥, 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有 2n a an b a d =+--,且d =2a ,考虑到a 1=1,所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N .故当k =2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ,此时22()(1)12f n an a n a =+++-(a 为非零常数). (iv) 当3k ≥时,若数列{a n }能成等差数列,则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2,故数列{a n }不能成等差数列.综上得,当且仅当k =1或2时,数列{a n }能成等差数列.19．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132nS n=,求n 的值; ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a.【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （, 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且 2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++, 所以22320132nS n n==+,所以1005n = ⑵因为1(1)n nnS a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为11q a=+,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,所以11n n a a q+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-,此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立,所以11q a =+.由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a20．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ,数列{}2na 的前n 项的和为nT ,且()2*234,n n S T n N -+=∈.⑴证明数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;⑵若20n n S T λ-<对*n N ∈恒成立,求λ的最小值; ⑶若12,2,2x yn n n a a a ++成等差数列,求正整数,x y 的值.【答案】(1)因为2(2)34n n S T -+=,其中n S 是数列}{n a 的前n 项和,n T 是数列}{2n a 的前n 项和,且0>n a ,当1=n 时,由2211(2)34a a -+=,解得11a =, 当2n =时,由2222(12)3(1)4a a +-++=,解得212a =; 4分由43)2(2=+-n n T S ,知43)2(121=+-++n n T S ,两式相减得03)4)((2111=+-+-+++n n n n n a S S S S ,即03)4(11=+-+++n n n a S S ,亦即221=-+n n S S ,从而122,(2)n n S S n --=≥,再次相减得11,(2)2n n a a n +=≥,又1221a a =,所以11,(1)2n n a n a +=≥所以数列}{n a 是首项为1,公比为12的等比数列, 其通项公式为121-=n n a *n ∈N(2)由(1)可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211,11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-, 若02<-n n T S λ对*N n ∈恒成立,只需126321121132+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>n n nnnT Sλ对*N n ∈恒成立,因为31263<+-n对*N n ∈恒成立,所以3λ≥,即λ的最小值为3; (3)若212,2,++n yn xn a a a 成等差数列,其中y x ,为正整数,则1122,22,21+-n yn x n 成等差数列,整理得2212-+=y x ,当2>y 时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的y x ,值为2,1==y x21．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N . (1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;(2)设n n n a b -⋅=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.(3)设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n c c >+1成立.【答案】解:(1)由已知,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ), 即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+(2) ∵1n a n =+,∴nn n b 21)1(⋅+= 21231111123(1) (1)22221111123(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=⨯+⨯++⋅++⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++23111111(1)(2)1(1)22222n n n T n +-=++++-+⋅得：∴ n T n n 233+-= 代入不等式得:01232233<-+>+-n n n n ，即设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f , ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，, 所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且(3)1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立,11343(1)20n n n λ-+∴⨯-->恒成立,∴11(1)2n n λ---<恒成立,(i)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,1λ∴<.(ii)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-, 2λ∴>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-综上所述:存在1λ=-,使得对任意的n *∈N ,都有1n n c c +>22．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n项和为S n ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.【答案】23．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈);(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证能力.证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n ad n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.24．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】解:(Ⅰ)依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a ,1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，(Ⅱ)13-=n nna b ,113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅=25．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足23132a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,依题意,有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a由 )1(得 0232=+-q q ,解得1=q 或2=q.当1=q 时,不合题意舍;当2=q时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=⋅=-(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则方法1: 211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+,得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =,或2n a n =-.故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =, 或2n a n =-方法2:令1n =,214a =,得12a =±,令2n =,得2212240a a a +⋅-=,①当12a =时,得24a =或26a =-,若24a =,则2d =,2n a n =,(1)n S n n =+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =-,则8d =-,314a =-,318S =-,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+. ②当12a =-时,得24a =-或26a =,若24a =-,则2d =-,2n a n =-,(1)n S n n =-+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =,则8d =,314a =,318S =,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+.综上所述,存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =,或2n a n =- 26．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n a S An Bn +=++(0A ≠).(1)若132a =,294a =,求证数列{}n a n -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)已知数列{}n a 是等差数列,求1B A-的值.【答案】27．（2012年江苏理）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,(1)设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列; (2)设nnn a b b •=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值. 【答案】解:(1)∵n n n a b b +=+11,∴1n a +=∴11n n b a ++=()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列.(2)∵00n n a >b >，,∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++.∴11n <a +=≤﹡)设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q 若1,q >则212=a a <a q≤1log q n >时,11n n a a q +=与(﹡)矛盾. 若01,<q <则212=1a a >a >q ,∴当11log q n >a 时,111n n a a q <+=,与(﹡)矛盾. ∴综上所述,=1q .∴()1*n a a n N =∈,∴11<a ≤又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈,∴{}n b1.若1a ≠,11,于是123b <b <b . 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =,得11n b a -.∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b矛盾.∴1a .∴1n b -∴ 12=a b。

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十四章第5讲数学归纳法 Word版含解析]

第5讲数学归纳法分层训练B 级创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)4．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×(1＋1)2 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×(2＋1)2 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×(3＋1)2当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×(4＋1)2 ∴猜想S n ＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n (n ＋1)2 5．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n－2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a nα(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2013·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n 的大小，并证明你的结论．(1)证明由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n .因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1.故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n (n ≥2)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n .。

高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十三章第3讲几何概型

第3讲几何概型分层训练B级创新能力提升1．(2012·淮阴中学检测)ABCD为长方形，AB＝2,BC＝1,O为AB 的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝错误!＝1－错误!.答案1－错误!2．（2012·扬州模拟）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4,所以所求概率为P＝错误!＝错误!。

答案错误!3．(2013·南京模拟）已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<错误!V S－ABC的概率是________．解析设三棱锥P－ABC的高为h，∵V P－ABC〈错误!V S－ABC，∴错误!S△ABC×h〈错误!×错误!S△ABC×3,∴h<错误!，即点P位于中截面以下，故所求概率为P＝1－错误!＝错误!。

答案错误!4．(2012·苏北四市调研三)若m∈（0，3)，则直线(m＋2)x＋（3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于错误!的概率为________．解析令x＝0得y＝33－m,令y＝0得x＝错误!，由于m∈(0，3),∴S ＝错误!·错误!·错误!＝错误!，由题意,得错误!<错误!，解得－1〈m<2，由于m∈(0，3），∴m∈(0，2),故所求的概率为P＝2 3。

答案错误!5．（2013·南京检测）已知集合A＝｛－2，0,2}，B＝｛－1,1}，设M＝{（x,y)|x∈A，y∈B｝，在集合M内随机取出一个元素（x，y)．(1）求以（x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；（2)求以（x，y）为坐标的点位于区域D：错误!内(含边界)的概率．解(1）记“以(x，y）为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6。

【创新设计】2014届高考数学(理)江苏专用一轮复习课件第十五章第1讲几何证明选择

[方法总结] (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
【训练4】如图所示，已知AP是⊙O的切线， P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、 C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC 的中点． (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
【助学·微博】复习时仍以圆与三角形的综合为主，难度中等． (1)要掌握好基础知识，如相似三角形的判定与性质定理、圆周角与弦切角定理、圆的内接四边形的判定与性质定理、与圆有关的比例线段，这些定理是进行几何证明的依据． (2)高考试题多以圆为载体，和三角形、四边形相结合来命题，这类试题往往要综合运用多个定理或添设一定的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添设辅助线的方法技巧．
证明如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB 异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B.所以∠E＝∠C.
即 AE·BD＝AD·AB.
(8 分)
结合(1)的结论，AC＝AE.
(10 分)
[点评] 本题考查平面几何中的相似三角形知识及弦切角知识，关键是要把握相似三角形的判定定理，分清各种情况的符合条件，看两个三角形已经具备哪些条件，还差哪个条件，再去考虑．
高考经典题组训练
1.(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D， E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD 并延长至点C，使BD＝DC，连结AC， AE，DE. 求证：∠E＝∠C.

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十四章第6讲数系的扩充与复数的引入 Word版含解析]

第6讲数系的扩充与复数的引入分层训练B 级创新能力提升1．(2012·盐城二模)若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z |的最大值为________．解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z |的最大值为2. 答案 22．(2011·南京模拟)在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为________．解析 |－3＋i －1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝2 5. 答案 2 53．(2013·启东模拟)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值________．解析由|z －2|＝3可得，|z －2|2＝(x －2)2＋y 2＝3.设yx ＝k ，即得直线方程为kx－y ＝0，∴圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝2|k |k 2＋1≤3，解得k ∈[－3，3]，即得yx 的最大值为 3. 答案34．(2010·苏中六校联考)给出下列四个命题： ①若z ∈C ，|z |2＝z 2，则z ∈R ； ②若z ∈C ，z ＝－z ，则z 是纯虚数； ③若z ∈C ，|z |2＝z i ，则z ＝0或z ＝i ； ④若z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0. 其中真命题的个数为________个．解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若|z |2＝a 2＋b 2＝z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝a 2－b 2，2ab ＝0.所以b ＝0，所以z ∈R ，①正确；若z ＝0，则z 不是纯虚数，②错；若a 2＋b 2＝－b ＋a i ，则a ＝0，b ＝0或b ＝－1，所以z ＝0或z ＝－i ，③错；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )．则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝(a －c )2＋(b －d )2，整理得：ac ＋bd ＝0，所以z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac －bd ＋(ad ＋bc )i ，不一定为零，④错．答案 15．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i.解 (1)由z ∈R ，得⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2)由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)由z 是纯虚数，得⎩⎨⎧m (m ＋2)＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(4)由z ＝12＋4i ，得m (m ＋2)m －1－(m 2＋2m －3)i ＝12＋4i ，所以⎩⎨⎧m (m ＋2)m －1＝12，－(m 2＋2m －3)＝4，即⎩⎨⎧2m 2＋3m ＋1＝0，m ≠1，m 2＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1.6．设z 是虚数，已知ω＝z ＋1z 是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．(1)解因为ω∈R ，所以ω＝ω，所以z ＋1z＝z ＋1z ，即(z －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1z z ＝0，因为z 为虚数，所以z ≠z . 所以z z ＝1，从而|z |2＝1，即|z |＝1. 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∵|z |＝1，∴a 2＋b 2＝1，∴ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝2a .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2a ＜2，∴－12＜a ＜1. 即z 的实部取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明 (1)因为z z ＝1，所以z ＝1z .所以u ＋u ＝1－z 1＋z ＋1－z 1＋z ＝1－z 1＋z＋1－1z1＋1z ＝1－z 1＋z ＋z －1z ＋1＝0，且u ≠0，所以u为纯虚数．(3)解由(2)可设u ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，则由1－z 1＋z ＝t i ，得z ＝1－t i 1＋t i，所以ω＝z ＋1z ＝1－t i 1＋t i ＋1＋t i 1－t i ＝2(1－t 2)1＋t2，u 2＝－t 2，所以ω－u 2＝2(1－t 2)1＋t 2＋t 2＝1＋t 2＋41＋t 2－3≥2(1＋t 2)·41＋t2－3＝1，当且仅当t 2＋1＝2，t ＝±1时等号成立，故ω－u 2的最小值为1.。

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十四章第4讲直接证明与间接证明 Word版含解析]

第4讲直接证明与间接证明分层训练B 级创新能力提升1．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析首先a ≥0，b ≥0且a 与b 不同为0.要使a a ＋b b ＞a b ＋b a ，只需(a a ＋b b )2＞(a b ＋b a )2，即a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，只需(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，只需a 2－ab ＋b 2＞ab ，即(a －b )2＞0，只需a ≠b .故a ，b 应满足a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b2．已知函数f (x )满足f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝________. 解析由f (p ＋q )＝f (p )f (q )，令p ＝q ＝n ，得f 2(n )＝f (2n )，原式＝2f 2(1)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2f (1)＋2f (1)f (3)f (3)＋2f (1)f (5)f (5)＋2f (1)f (7)f (7)＝8f (1)＝24.答案 243．(2011·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ； (3)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x. ①若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时， f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明设函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ，则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ，g ′(x )＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x <1a 时，g ′(x )>0，而g (0)＝0，∴g (x )>0，故当0<x <1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x . (3)证明由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点．∴a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0. 不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a <x 2.由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a －x 1> f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x 1＝f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a .由(1)知f ′(x 0)<0.。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章学案71

学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换导学目标: 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。

2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点)。

3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由错误!(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表错误!称为________，其中a,b，c，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A,B,C，…或（a ij）表示(其中i,j分别为元素a ij所在的行和列）．2．矩阵的乘法行矩阵［a11a12]与列矩阵错误!的乘法规则为［a11a12］错误!＝［a11b11＋a12b21］，二阶矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则为错误!错误!＝错误!.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换（1）恒等变换矩阵M＝错误!；（2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝_____________________________________________；（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝错误!；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝____________；（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝错误!,表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍,k1，k2均为(5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________,若沿y 轴平移｜kx |个单位，则对应矩阵M ＝错误!。

（其中k 为非零常数）．4．线性变换的基本性质设向量α＝错误!，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________;设向量α＝错误!，β＝错误!，规定向量α与β的和α＋β＝__________。

乐乐课堂苏教版高中数学第一轮复习

乐乐课堂苏教版高中数学第一轮复习高考对于每个高三学子来说都是一次考验，高三的学子要面对高考考场上紧张的心理压力、复杂多变的环境、残酷激烈的竞争以及最后一轮复习阶段对知识难度和知识消化程度的检验。

这三大方面，是决定考生成绩发挥水平的关键。

这就需要同学们在进行一轮复习时，找准自身薄弱环节并针对性地对其进行练习学习。

第一轮复习要找准自己薄弱环节。

首先要弄清楚自己目前在高中阶段所学知识内容是否都已掌握？知识点是否掌握在脑海中？基础牢固、思路清晰，能够顺利地从书本中学习到新知识……这些都是我们学习过程中容易忽略却又非常重要的部分。

如果我们把它们都记在脑子里，并熟练掌握，考试就能简单得多。

第二轮复习必须找准自己与其他同学之间或不同类型同学间的差距，了解自己的学习特点；第三轮复习也应该建立适合于自身水平的学习方法并能够灵活运用（特别是思维导图、思维训练等),从而实现事半功倍而又事半功倍。

1、基础知识对于数学基础知识，乐乐课堂苏教版有针对性地提出了“夯实基础”和“灵活应用”的策略。

“夯实基础”就是对中学数学知识进行全面系统地梳理总结，特别包括基础概念、基础公式和基础应用问题等。

在这个阶段，同学们要系统学习和巩固已学的知识与技能。

同时还应根据自己不同的水平和能力分类复习。

“灵活应用”则是以灵活的方法解决已学过的问题和难点。

在第二轮复习期间，同学们要将第一轮复习中已经学过的知识和方法再巩固一遍，并灵活运用。

“灵活应用”要强调“通性通法”，即对已学过的知识要融会贯通。

同时要注意总结出解决问题、解决方法、解题思路以及在解答问题时常见出现问题及现象。

“灵活应用”则要求同学们掌握解决问题及应用该方法后能熟练地将其应用到具体问题中去。

2、基本方法基本解题法，指通过对题目分析，得出结论或判断或推理，解决各种复杂问题（如解答过程和方法的总结）。

包括整体思维和分析推理。

整体思维：解决问题时，首先要先通览全局、明确主干。

然后对所学知识进行整合，从不同侧面（如空间、时间）加以分析得出结论或判断或推理。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第12章学案66

第12章算法初步、复数学案66 算法与流程图导学目标：1。

了解算法的含义，了解算法的思想。

2。

理解三种基本算法结构:顺序结构、选择结构、循环结构．自主梳理1．算法的含义一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．2．流程图流程图是由一些________和________组成的，其中________表示各种操作的类型，________中的文字和符号表示操作的内容，________表示操作的先后次序．3．流程图的三种基本结构：________、________、________。

其结构形式为①________②________③________________ ④直到型循环结构自我检测1．下列关于算法的说法正确的有________（填序号）．①求解某一类问题的算法是唯一的;②算法必须在有限步操作之后停止;③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后产生确定的结果．2．如图所示的是一个算法的流程图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．第2题图第3题图3．（2010·课标全国改编）如果执行如图所示的流程图，输入N＝5，则输出的数为________．4．(2011·北京改编)执行如图所示的流程图，输出的s值为________．第4题图第5题图5．(2011·山东）执行如图所示的流程图，输入l＝2，m＝3，n ＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1已知点P（x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P（x0，y0）到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．变式迁移1 阅读右面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是________________．探究点二算法的选择结构例2函数y＝错误!，写出求该函数的函数值的算法，并画出流程图．变式迁移2 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是__________________________________________________________ ___．探究点三算法的循环结构例3写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出流程图。

苏教版高中数学选修高考一轮理归纳法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

数学归纳法分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ②假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析 ①②③中，k ＋1不一定表示奇数，只有④中k 为奇数，k ＋2为奇数．答案 ④2．用数学归纳证明：对任意的n ∈N *,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1可变形为________．答案 34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n －7)3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立． (1)解由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0. 而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a ka k ＋1＋1a k ＋1>0，∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明．证明当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )．因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2. 因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2，所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.分层训练B 级创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋14．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×1＋12 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×2＋12 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×3＋12当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×4＋12∴猜想S n ＝(－1)n －1·n n ＋12.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋125．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时， a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。

高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升第十一章第2讲排列与组合

第2讲排列与组合分层训练B级创新能力提升1．（2012·苏锡常镇调研)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答)．解析当每个台阶上各站1人时有C错误!A错误!种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C2，3C错误!C错误!种站法,因此不同的站法种数有A错误!C错误!＋C错误!C错误!C错误!＝210＋126＝336(种)．答案3362．（2012·无锡调研）某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法（填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C错误!种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种,最后安排其他两辆车共有A错误!种方法，∴不同的调度方法为C错误!·C错误!·A错误!＝120(种)．答案1203．(2013·盐城模拟）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法种数是________．解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c,先排男生,若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空,排法如错误!甲□丙c乙共有4A错误!A错误!A错误!种,若男生甲排在中间,有两种排法，然后女生去插空，排法如错误!乙□甲错误!丙错误!共有2A错误!A错误!种排法．根据分类计数原理共有4A错误!A错误!A错误!＋2A错误!A错误!＝288（种）不同排法．答案2884．（2013·苏州期末调研）以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有________个．解析正五棱柱共有10个顶点,若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C错误!＝210(个)四面体．其中四点在同一平面内的有三类：（1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C错误!个．（2）五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C错误!个．（3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样共面的四点共有2C15个．所以C错误!－2C错误!－C错误!－2C错误!＝180(个）．答案1805．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…p m中，若1≤i＜j≤m时p i＞p j （即前面某数大于后面某数），则称p i与p j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n＋1)n(n －1)…321的逆序数为a n.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3,排列4 321的逆序数a3＝6。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章学案72

学案72矩阵与变换（二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量导学目标：1.理解逆矩阵的意义,理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并会求逆矩阵.2。

理解二阶矩阵特征与特征向量的意义,会求特征值及特征向量．自主梳理1．矩阵的逆矩阵（1）一般地，设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I,则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．(2）设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA＝AB ＝E，则称矩阵A________，或称矩阵A是____________，并且称B 是A的__________．（3)（性质1）设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的,则A的逆矩阵是________．A的逆矩阵记为________．(4)（性质2）设A，B是二阶矩阵,如果A，B都可逆，则AB也可逆,且(AB）－1＝__________。

（5)已知A，B,C为二阶矩阵，且AB＝AC,若矩阵A____________,则B＝C.（6）对于二阶可逆矩阵A＝错误!（ad－bc≠0），它的逆矩阵为A －1＝错误!.2．二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组错误!我们把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个________（或多项式)，记为det（A）＝错误!＝ad－bc。

若将方程组中行列式错误!记为D，错误!记为D x，错误!记为D y,则当D≠0时，方程组的解为错误!3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ,存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个________，α称为A的一个属于特征值λ的一个__________．（2）特征多项式设λ是二阶矩阵A＝错误!的一个特征值，它的一个特征向量为α＝错误!，则A错误!＝________________,即错误!也即错误!（*)定义：设A＝错误!是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝错误!＝__________________________称为A的特征多项式．(3）矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f（λ）＝0，此时,将λ代入二元一次方程组（＊）,就可得到一组非零解错误!，于是非零向量错误!即为A的属于λ的一个______________．自我检测1．矩阵错误!的逆矩阵是________．2．点P（2，3)经矩阵A＝错误!对应的变换作用下得到点P′,点P′再经过矩阵A－1对应的变换作用下得到点P″，则点P″的坐标是________．3．矩阵错误!的特征值是________．4．若A＝错误!，B＝错误!，则(AB)－1＝________.5．（2010·厦门模拟)利用逆矩阵知识解方程组错误!探究点一求矩阵的逆矩阵例1已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，求（AB）－1。

【创新设计】2014版高考数学一轮复习第一章第1讲集合的概念与运算配套限时规范训练理苏教版

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·某某统考)已知集合A ＝{3，2a }，B ＝{a ，b }，且A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析因为A ∩B ＝{2}，所以2a ＝2，所以a ＝1，又因为B ＝{a ，b }，所以b ＝2，所以A ∪B ＝{1，2，3}．答案 {1，2，3}2．(2012·某某调研)已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝________．解析A ∩B ＝{－1，0，1}∩{x |0<x <2}＝{1}．答案 {1}3．(2012·某某调研)已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |1≤2x ≤4}，则M ∩N ＝________．解析N ＝{x |0≤x ≤2}，M ∩N ＝{－1，1}∩{x |0≤x ≤2}＝{1}．答案 {1}4．(2012·某某卷改编)已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则{∁U A }∪B ＝________．解析因为∁U A ＝{0，4}，所以(∁U A )∪B ＝{0，2，4}．答案 {0，2，4}5．(2012·某某卷改编)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________．解析因为M ＝{x |x >1}，N ＝{x |－2≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1<x ≤2}．答案 {x |1<x ≤2}6．(2012·某某师大附中调研)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝sin n π3，n ∈Z ，则集合A 的子集的个数为________．解析因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，0，32，所以A 的子集个数为23＝8. 答案 8二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·某某调研)已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ≥1，B ＝{y |y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }． (1)求A ，B ；(2)求A ∪B ，A ∩∁R B .解 (1)由1x ≥1，得1x －1＝1－x x≥0，即x (x －1)≤0且x ≠0，解得0<x ≤1，所以A ＝(0，1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(0，＋∞)， A ∩(∁R B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 8．已知A ＝{x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，求a ，b 的值．解A ＝{x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}＝{x |x (x ＋1)(x ＋2)＞0}＝(－2，－1)∪(0，＋∞)．因为A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ＞－2}．所以B ＝[－1，2]，因此⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋2＝－a ，（－1）×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2.分层训练B 级创新能力提升1．(2012·某某二模)已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0，若A ∩B ≠∅，则实数b 的取值X 围是________．解析A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |(x －b )(x ＋2)<0}．如图，因为A ∩B ≠∅，所以b >－1.答案 (－1，＋∞)2．(2012·某某调研)设M ＝{a |a ＝(2，0)＋m (0，1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1，1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________．解析设a ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝m ；设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋n ，y ＝1－n ，即x ＋y ＝2，将x ＝2代入，得y ＝0，所以M ∩N ＝{(2，0)}．答案 {(2，0)}3．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，故共有6个．答案 6 {0，1，2，3}4．(2012·某某师大附中调研)若给定集合A ，对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合．给出如下四个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合；④若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊆R ，A 2⊆R ，则存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)．其中正确结论的序号是________．解析①4－(－4)＝8∉A ，所以①不正确；②设n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1±n 2＝3(k 1±k 2)，且k 1≠k 2∈Z ，所以②正确；③假设A 1＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，2∈A 1，3∈A 2，但是2＋3∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确；④取③中的集合A 1、A 2，可得④正确．答案 ②④5．(2012·某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0，3]，某某数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，某某数m 的取值X 围．解由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值X 围是{m |m ＞5，或m ＜－3}．6．(2011·某某卷改编)设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，某某数m 的取值X 围．解 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾； ②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意； ③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m ≤2＋ 2. 综上所述，m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.。

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第十二章
统计
第1讲随机抽样
分层训练B级创新能力提升
1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．
解析由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样法．在丙地区中20个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．
答案分层抽样、简单随机抽样
2．(2012·徐州检测)某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
解析设二年级女生的人数为x，则由
x
2 000＝0.19，得x＝380，即二年级的
女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年
级抽取的学生人数为64×2
8＝16.
答案16
3．(2012·连云港调研)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．
解析由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.
答案11
4．(2013·南京模拟)一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案76
5．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，
老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1
4，且该组中，青年人占50%，
中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解(1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人各占比例分别
为a、b、c，则有x·40%＋3xb
4x＝47.5%，
x·10%＋3xc
4x＝10%，解得b＝50%，c＝10%，则a＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×3
4×40%＝60(人)；
抽取的中年人数为200×3
4×50%＝75(人)；
抽取的老年人数为200×3
4×10%＝15(人)．
6．(2010·广东卷)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
(1)
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众
应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁
的概率．
解(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为27
45×5＝
3
5×5＝3(名)．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：
Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，
故所求概率为P(A)＝6
10＝
3
5.。

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