2016-2017学年陕西省西安市西工大附中高一(下)期末数学试卷及答案

2016-2017学年陕西省西安市西工大附中高一（下）期末数学试卷一.选择题：（本大题共12小题，每小题3分．共36分）1．（3分）在△ABC中，a＝2，b＝，∠A＝，则∠B＝（）A．B．C．或D．或2．（3分）已知数列{a n}为等差数列，若a2+a3+a4＝π，则cos（a1+a5）的值为（）A．B．C．D．3．（3分）不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．[﹣1，0）∪（0，1]4．（3分）设实数x，y满足，则z＝2x﹣3y的最大值为（）A．﹣B．﹣C．2D．35．（3分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π6．（3分）已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．87．（3分）若a2+b2﹣c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．（3分）已知数列{a n}的前n项和（n≥2，n∈N*），a1＝1，则a n＝（）A．B．C．D．9．（3分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝，A＝，则b+c的最大值为（）A．4B．3C．2D．210．（3分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A．12πB．4πC．3πD．12π11．（3分）已知实数x，y满足，则z＝的取值范围为（）A．[0，]B．（﹣∞，0]∪[，+∞）C．[2，]D．（﹣∞，2]∪[，+∞）12．（3分）在等差数列{a n}中，给出以下结论．①恒有a2+a8＝a10．②数列{a n}的前n项和公式不可能是S n＝n．③若a1＝12，S6＝S14，则必有a9＝0．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）绘制一块菜地的平面图形使用斜二测得画法得到的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，DC⊥AD，DC⊥BC，AD＝DC＝2，BC＝4，则这块菜地的面积为．14．（3分）若数列{a n}满足：a1＝19，a n+1＝a n﹣3（n∈N*），则数列{a n}的前n项和最大时，n的值为．15．（3分）已知等比数列{a n}的前n项和为，则r＝．16．（3分）若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是．17．（3分）已知f（x）＝3x2+2ax+b，若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式f（x）≤0恒成立，则的最大值为．18．（3分）数列{a n}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都满足，则数列{a n a n+1}的前10项和为．三、解答题（本大题共5小题，共46分）19．（8分）正四棱台的两底面边长分别为1cm和2cm，它的侧面积是，求该正四棱台的体积．20．（8分）已知一三棱台ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示．（1）画出该三棱台的直观图．（2）求这三棱台的体积．21．（10分）在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．22．（10分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润＝累计收入+销售收入﹣总支出）23．（10分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．四．附加题：（本小题计5分，但总分不超过100分）24．已知数列{a n}中，a2＝6，当n∈N*时，，求数列{a n}的通项．2016-2017学年陕西省西安市西工大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题3分．共36分）1．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：由正弦定理可知＝∴sin B＝•b＝×＝∵b＜a∴B＜A∴B＝故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形问题中，利用正弦值来求角的值的时候，注意跟进边的问题对所求得的值进行取舍．2．【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：由等差数列的性质可知a2+a3+a4＝3a3＝π，∴a3＝，∴cos（a1+a5）＝cos2a3＝cos＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的性质、特殊角的三角函数值的应用，属于基础试题．3．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：∵，∴≤0，解得：x≤﹣1或0＜x≤1，故不等式的解集是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]，故选：A．【点评】本题考查了解分式不等式问题，是一道基础题．4．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z＝2x﹣3y为直线方程的斜截式y＝x﹣．由图可知，当直线y＝x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，可得，即A（1，0），z＝2×1﹣2×0＝2．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是＝4，∴圆锥的侧面积是π×2×4＝8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4＝20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．6．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选：B．【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值7．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∵0＜∠C＜π，∴可解得：∠C＝．又∵2cos A sin B＝sin C，∴由正弦定理可得：2cos Ab＝c，根据余弦定理即有：cos A＝＝，∴整理可得：b2＝a2，即有：b＝a，∴结合∠C＝，从而有a＝b＝c．故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基本知识的考查．8．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（n≥2，n∈N*），a1＝1，∴n≥3时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，化为：＝．n＝2时，1+a2＝4a2，解得a2＝，上式也成立．∴a n＝•…••a1＝•…••1＝．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系、累乘求积方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：由正弦定理可得：＝＝＝2，∴b+c＝2sin B+2sin C＝2sin B+2sin＝2sin B+2cos B+＝3sin B+cos B＝2sin≤2，当且仅当B＝时取等号．∴b+c的最大值为2．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【考点】L!：由三视图求面积、体积；LR：球内接多面体．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r＝．∴S球＝4πr2＝4π×＝3π．故选：C．【点评】本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．11．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：z＝＝2+，设k＝，则k的几何意义为区域内的点到D（0，﹣2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得，即A（3，2），则AD的斜率k＝，CD的斜率k＝，则k的取值范围是k≥或k≤﹣2，则k+2≥或k+2≤0，即z≥或z≤0，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决本题的关键．12．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：由等差数列{a n}和性质得：在①中，恒有a2+a8＝2a5≠a10，故①错误；在②中，∵数列{a n}的前n项和公式是S n＝n，∴a1＝S1＝1，a n＝S n﹣S n﹣1＝n﹣（n﹣1）＝1，∴a n＝1，成立，故②错误；在③中，∵a1＝12，S6＝S14，∴6+＝14+，解得d＝﹣，∴a9＝1+8×（﹣）＝．故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【考点】LB：平面图形的直观图．【解答】解：如图所示，直观图四边形的边BC在x′轴上，在原坐标系下在x轴上，长度不变，∴B′C′＝4；点A在y′轴上，在原图形中的y轴上，且A′B′长度为AB长的2倍，由AB＝＝2，∴A′B′＝4；又AD∥x轴，∴A′D′＝AD＝2；∴四边形A′B′C′D′为四边形ABCD的原图形，在直角梯形A′B′C′D′中，由A′B′＝4，A′D′＝2，B′C′＝4；∴直角梯形A′B′C′D′的面积为S＝×（2+4）×4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了水平放置的平面图形的直观图的画法问题，也考查了原图形和直观图面积之间的关系问题．14．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1＝19，a n+1＝a n﹣3（n∈N*），∴数列{a n}是首项为19，公差为﹣3的等差数列，∴S n＝＝﹣+＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝7时，S n取最大值S7＝70．∴数列{a n}的前n项和最大时，n的值为7．故答案为：7．【点评】本题考查等差数列的前n项和最大时，n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．【考点】89：等比数列的前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为，∴＝10﹣15r，a2＝S2﹣S1＝（1﹣2r）•33+3r+1﹣（10﹣15r）＝18﹣36r，a3＝S3﹣S2＝（1﹣2r）•34+3r+1﹣（18﹣36r）＝64﹣123r，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（18﹣36r）2＝（10﹣15r）（64﹣123r），解可得：r＝；故答案为：．【点评】本题考查三个数的和的求法，考查集合、复数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．16．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z＝0的斜率k＝﹣＞k AC＝﹣1，a＜2．当a＜0时，k＝﹣＜k AB＝2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．17．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵f（x）＝3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，∵f（﹣）＝﹣a+b+，设z＝f（﹣）＝﹣a+b+，画出目标函数b＝a﹣，平移目标函数，当经过点A（，0）时，z＝f（﹣）＝﹣a+b+有最大值，即为z＝f（﹣）＝﹣a+b+＝﹣+0+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了线性规划的应用问题和直线方程以及数形结的应用问题，是综合性题目．18．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：对于任意的n∈N*都满足，两边取倒数可得：＝+3，即﹣＝3，∴数列为等差数列，公差为3，首项为1．∴＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．∴a n＝．∴a n a n+1＝＝．则数列{a n a n+1}的前n项和＝+…+＝＝．∴则数列{a n a n+1}的前10项和＝．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共46分）19．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底的中心分别为O1，O．∵棱台的侧面积是，∴4××m＝3，（m为斜高），解得m＝，∴AA1＝＝，如图，A1O1＝，∴OO1＝，∴正四棱台的体积V＝＝．【点评】本题是基础题，考查棱台的有关知识，考查空间想象能力，计算能力，正确应用棱台的体积公式，常考题型．20．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：（1）由已知三视图得到几何体如图：（2）三棱台的体积为＝7．【点评】本题考查了由几何体的三视图还原几何体以及求几何体的体积；关键是正确还原几何体形状．21．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【解答】解：∵∠A＝，AB＝6，AC＝3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝90．∴BC＝3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sin B＝，∴cos B＝…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD＝BD得：cos∠DAE＝cos B，∴Rt△ADE中，AD＝＝＝…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．22．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9当且仅当x＝5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．23．【考点】8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3＝20，a2＝8．则，…（1分）∴2q2﹣5q+2＝0…（2分）∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．…（5分）（Ⅱ）解：∴S n＝∴…（7分）∴S n＝＝…（9分）∴对任意正整数n恒成立，设，易知f（n）单调递增．…（10分）n为奇数时，f（n）的最小值为，∴得，…（11分）n为偶数时，f（n）的最小值为，∴，…（12分）综上，，即实数a的取值范围是．…（13分）【点评】本题考查数列与函数相结合，数列求和，数列与不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．四．附加题：（本小题计5分，但总分不超过100分）24．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵，∴a n+1+a n﹣1＝n（a n+1﹣a n+1），∵a2＝6，∴6+a1﹣1＝6﹣a1+1，解得a1＝1．由a n+1+a n﹣1＝n（a n+1﹣a n+1），可得：（n﹣1）a n+1＝（n+1）a n﹣（n+1），∴na n+2＝（n+2）a n+1﹣（n+2），相减可得：na n+2＝（2n+1）a n+1﹣（n+1）a n﹣1，设a n+1﹣a n＝b n，上式化为：﹣＝，b1＝5．∴＝++…+++5＝+4，可得b n＝4n+1＝a n+1﹣a n，∴a n＝（4n﹣3）+（4n﹣7）+…+5+1＝＝2n2﹣n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。