方孔的菲涅尔衍射
工程光学下篇：第13.2节 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
(x1, y1)
(x, y)
用菲涅耳衍射公式进行推导：
z
以振幅型正弦光栅为例
光栅的振幅透射系数为：t(x1,
y1)
1 2
1
cos
2
d
x1
采用单位振幅的平面波垂直照明
刚刚透过光栅的光场：E~1(x1, y1) t(x1, y1)（被调制 衍射）
在菲涅耳衍射区内距离为z处：
深圳大学光电工程学院
§13.2 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
当用单色平面波垂直照明具有周期结构的衍射屏时，将 会在衍射屏后菲涅尔衍射区内的某个距离上出现该物体 的几何像
z
不用透镜即可对周期性物体成像的方法称为泰伯效应或 泰伯自成像（Self-imaging）
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§13.2 菲涅耳衍射
2
e e d i z e e
i
2 d
(
x
)
i k 2 2z
i
2 d
x
iz
1 d
2
E~(x,
y)
eikz 2
1
e
iz
1 d
2
cos
2
d
x （常数相位深因圳子大学可光电省工略程学）院
§13.2 菲涅耳衍射
泰伯效应（Talbot）
用菲涅耳衍射公式进行推导：
(x1, y1)
(x, y)
第j个波带在P0的振幅：
|
E~j
|
C
Aj rj
1K(co) s
2
j rj ，cos
| E~1 || E~2 || E~3 |
振幅随j增大而减小
物理光学课件：3_2菲涅耳衍射
E j1
2
E j1
E(P0 )
E1 2
En 2
(n为奇数取正，偶数为负）
P点的光强可由从 P 点看衍射孔分为几个半波带 来决定：若是奇数个半波带，则为亮点；偶数个半 波带，则为暗点。逐渐开大或缩小圆孔可看到明暗 交替的变化。
自由空间传播的球面波即圆孔非常大时 En 0
E
E1 2
,
I I1 / 4
n
或E(P) E2 j nE1 2nE j 1
I 2n2 I
n 10, I 100I
菲涅耳透镜的焦距
P
Σ
R ρj
R
h A0
rj
r0
P0
j2 rj2 (r0 h)2 rj2 r02 2r0h h2
rj2 r02 jr0
h j r0
R r0 2
j2
j
r0 R R r0
定义：f
r0
j2 j
j2 j
r0 R R r0
R
r0
有限远点源的成像公式
Q
ρj
S
l
f
P0
S’
l
1 1 1 l l f l 和 l 分别为物距和像距。
普通透镜 菲涅耳透镜
入射平行光汇聚于焦点 焦点处光强大大增强
泊松点
（2）菲涅耳透镜的缺陷
① 多焦点、多象点、虚焦点 ② 波带片的焦距与波长成反比，色差极大 ③ 象点的光强较弱
球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的 合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半，强 度为1/4。
菲涅耳半波带的应用
园环形波带片：把一个屏的偶数或奇数 带挡住，只让奇数或偶数带通过。 此时各点到达 P 点时所引起光振动的位相相 同，相互加强。
菲涅尔衍射.ppt
当波长、P点的位置r0、 圆孔位置R给定后，由
N
2 N
(1
1)
r0 R
N与圆孔的大小ρN有关，孔大，露出的的波带多， 衍射效应不显著，孔小，露出的的波带少，衍射效
应显著；
当孔趋于无限大- -即 没有光阑时，
播到任一点P时的振幅，只要把球面波相对于P分成半
波带，将第一个和最后一个（第N个）带所发出的次
波的振幅相加或相减即可。
12/28/2019
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(3) N与ρN间的关系
D
图示O为点光源，DD’ 为光阑，其上有一半径 为ρN的圆孔，S为通过
圆孔的波面－球冠(球 冠的高为h)，P为圆孔
对称由上任意一点。
半波带与观察点P的位置、圆孔的大小、波长等有关。
12/28/2019
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S BnN
(2) 合振幅的计算
Rh
rN
O R B0
r0
P
N个半波带的发次波在P点叠加
的合振幅AN
AN a1 a2 a3 a4 a5 ... (1) N 1 aN
aN：第N个半波带所发在P点的次波振幅 “－”：相邻两个半波带所发次波到达P点相位差为
(4)轴外点Q的衍射
12/28/2019
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(1)r0对衍射现象的影 响
当波长、圆孔位置R、大 小ρh给定后，由
N
2 N
(1
1)
r0 R
P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观察屏，P
点出现明暗交替变化；
随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著；
当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N不 变化，且为
菲涅耳衍射1
Y
园屏衍射
1、装置：如右图示 2、合振幅 设：园屏遮挡了前K个半 波带，则从第K+1个起所 有半波带所发次波均能到 达P点
X
S
(∵ a∞ ≈ 0)
P
ak +1 a∞ ak +1 ∴ 合振幅 A = ± = 2 2 2
3、 无论园屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，园屏几何 影子的中心永远有光进入。
菲涅耳衍射
1.菲涅耳近似 2.菲涅耳积分和科纽曲线 3.直边菲涅耳衍射 4.菲涅尔波带法
一、菲涅耳近似
在K2、K3及其前后的范围内的衍射现象称为近场衍 射或菲涅尔衍射。在这个区域内，随着距离的变化， 衍射光强分布的大小范围和形式都发生变化。
1.傍轴近似：
y1
Q O
y x1 r z1 P x P0 E
谢谢！
当
k [( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 ]2 max << π 8 z13
时பைடு நூலகம்
1 (x−x1)2 +(y−y1)2 x2 +y2 xx1 +yy1 x12 +y12 r =z1{ + [ 1 ]}=z1 + − + 2 z12 2z1 z1 2z1
这一近似称为菲涅尔近似，在这个区域内观察到的衍射现象 叫菲涅尔衍射。
菲涅耳衍射（园孔和园屏） 菲涅耳衍射（园孔和园屏）
一、园孔衍射 1、装置：如右图示：点光源O 、装置： 所发球面波照射到小园孔 CC‘上，在P处光屏上可观察到 衍射花样。 2、半波带数： 、半波带数： 设：通过小园孔的波面对P点恰好可 分为k个整数半波带，则： ρ k2 = rk2 − (r0 + h )2 = rk2 − r02 − 2 r0 h − h 2
菲涅耳原理菲涅耳衍射
菲涅耳衍射
光源—障碍物 —接收屏
距离为有限远。
光源
障碍物
夫琅和费衍射
光源—障碍物
—接收屏
S
距离为无限远。 光源
障碍物
接收屏 接收屏
§2.2惠更斯——菲涅耳原理
一.惠更斯原理：1678年荷兰物理学家惠更斯的 主要贡 献是提出次波源和次波的要领：在 某时刻，波阵面（等相面）上每点，可看作 次级波源，各自发射球面次波，这些次波面 的包络面，就构成在该时刻新的波阵面。
光的衍射主要内容
１．光的衍射现象：近场衍射 远场衍 射衍射的实质 惠更斯-菲涅耳原理
２．菲涅耳衍射：圆孔衍射 园屏衍射 波带片 菲涅耳衍射的分析与计算
３．夫琅禾费圆孔衍射与助视光学仪器 的分辨本领 圆孔衍射的原理 实验 装置 爱里斑分析 放大镜 显微镜 望远镜等助视光学仪器的分辨 本领
４．夫琅禾费单缝衍射：单缝衍射的实 验原理 装置 衍射的规律特点 单 缝衍射方程式 衍射光强的分析和计 算
⑴所有次波都有相同的初相位
∵波面是等位相面，∴波面上各点发射的 球面次波，具有相同的初位相，各次波 彼此是相干的，衍射的本质即次波的干 涉。
⑵波阵面面元 ds 发射的次波在空间p点 产生的光振动的元振幅dA与面元ds成正 比，与面元ds 到P点的距离r成反比
⑶波阵面每一面元发射的球面次波的元振幅 在各个方向是不同的，dA还与倾斜因 子K（θ）有关。倾角θ越大，次波元振幅 越小，元振幅dA与K（θ)有关。
r
E
dE
c
K
(
) A(
r
)
cos(kr
t )ds
惠——菲原理的数学表达式重点理解它的物理意
菲涅尔衍射
y x
P0
讨论：
Σ
K
E
1、圆屏较小时，轴上点P0总是亮点；
2、随P点离开P0点逐渐向外，其光强将时大时小变化，由于系统的 对称性，距离P0相同的点P有相同的光强。故衍射图样为同心圆。
3、圆屏较大时，P0点的光强度接近于0。
6
二、菲涅尔透镜
1、菲涅尔透镜
已知菲涅尔圆孔衍射P0点复振幅为：
E~ E~1 E~2 E~3 E~4 1n E~n
ei
k 2z
2
d
iz
e e 1
2
i 2
1 d
x
iz
1 d
2
e i 2
1 d
x ei
k 2z
2
d
iz
e e 1
2
i
2
1 d
x
iz
1 d
2
代入原式得：
E~(x, y
)
1
e
iz
1 d
2
cos 2
x
d
15
z
定义：不用透镜可对周期性物体成像的方法成为泰伯效应或泰伯 自成像（Selfimaging）。
12
说明： （以振幅型正弦光栅为例）
设光栅的振幅透射系数为
x1,y1
2
t(x1, y1) 1 cos d x1
z
若单位平面波垂直照射，刚刚透过光栅的光场为： E~(x1, y1) t(x1, y1)
13
被光栅调制的光场 E~(x1, y1) 传播到菲涅尔衍射区到达距离z
时的复振幅分布为：
E~x, y eikz iz
《物理光学》菲 涅 耳 衍 射
变化， 且为
N
Nm
2 N
R
该波带数称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔衍射效应的很重要 的参量。此后，随着r0的增大，P0点光强不再出现明暗交替的 变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。而当r0很小时，N很大，衍 射效应不明显。当r0小到一定程度时，可视光为直线传播。
(2) N对衍射现象的影响
R和r0一定时，圆孔对P0露出的波带数N与圆孔半径有关， N∝ρ2 N 。 于是，孔大，露出的波带数多，衍射效应不显著； 孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。当孔趋于无限大时，
它的一个优点是，适应波段范围广。比如用金属薄片制作的 波带片，由于透明环带没有任何材料，可以在从紫外到软X射 线的波段内作透镜用，而普通的玻璃透镜只能在可见光区内 使用。 此外， 还可制作成声波和微波的波带片。
4.5.1 菲涅耳半波带法
下图绘出了一个单色点光源S照射圆孔衍射的情况， P0是圆孔中 垂线上的一点，在某时刻通过圆孔的波面为MOM′， 半径为R。
M
S
R
P0
M‘
现在以P0为中心，以r1, r2, …, rN为半径，在波面上作圆， 把MOM′分成N个环带， 所选取的半径为 ：
r1
r0
2
r2
r0
2
这样，相邻2个半波带（2，3），（8，9），（14，15）对场 点的贡献彼此抵消，只剩下1，7，13半波带，它们彼此的光程 差为3λ，在场点相干叠加增强，形成一个焦点。 菲涅耳波带片与普通透镜相比，还有另外一个差别：波带片的焦 距与波长密切相关，其数值与波长成反比，这就使得波带片的色 差比普通透镜大得多， 色差较大是波带片的主要缺点。
4.5.2菲涅耳波带片
在利用菲涅耳波带法讨论菲涅耳圆孔衍射时已经知道，由于相 邻波带的相位相反，它们对于观察点的作用相互抵消。因此， 当只露出一个波带时，光轴上P0点的光强是波前未被阻挡时的 四倍。对于一个露出 20 个波带的衍射孔，其作用结果是彼此 抵消，P0为暗点。现在如果让其中的1、3、5、……、19 等 10 个奇数波带通光， 而使 2、 4、 6、 ……、 20 等 10 个偶 数波带不通光， 则P0点的合振幅为
菲涅耳衍射资料
3.3.1 菲涅耳圆孔衍射- -菲涅耳波带法
1.菲涅耳波带法 2.菲涅耳圆孔衍射 3.菲涅耳圆屏衍射
3.3.2 菲涅耳直边衍射- -振幅矢量加法
1.振幅矢量加法 2.*菲涅耳直边衍射 3.*菲涅耳单缝衍射
7/17/2024
返回第3章 第3章 光的衍射
菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观察到的衍 射现象；
P点的振幅
设圆屏遮蔽了开始N个波带，从第N+1个波带起，其 余所有波带发出的光（次波）均能到达P点。故P点 的合振幅为
AP
aN 1
aN2
aN3
... 0
1 2
aN
1
可见，不管圆屏的大小、位置如何。圆屏几 何影子的中心都有光到达，即P是始终是亮点。
- - 泊松斑
7/17/2024
第3章 光的衍射
波动性。
若S不是理想的点光源－－扩展光源（实际光源）
光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间 是不相干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹 上，叠加后整个图样就模糊了。
这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之 一。
7/17/2024
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第3章 光的衍射
(4) 轴外点Q的衍射
对于轴外任意点Q的光强度，原则上也可以用同样的方
7/17/2024
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第3章 光的衍射
波的振幅相加或相减即可。
7/17/2024
返回
第3章 光的衍射
(3) N与ρN间的关系 D
图示O为点光源，DD’
为光阑，其上有一半径
为圆ρ孔N的的波圆面孔－，球S为冠通(球过 冠的高为h)，P为圆孔
中垂线上任意一点。
菲涅耳衍射
衍射区域的划分
光阑
近 场 区
远 场 区
几何投影区
菲涅耳衍射区
夫朗和费衍射区
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
2015/11/21
4.泰伯效应(1836) 1830年泰伯发现：用单色平面波垂直照射一个周期性物体, 在物体后面周期性距离上出现物体的像的现象. 一维周期性物体的复振幅透过率：
—菲涅耳衍射公式 该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳 衍射公式完全一样。
2015/11/21
由二项式近似可知，菲涅耳衍射成立的条件为
2 z 1 2 2 2 2 2 f x f y 1 8
因而
2 z 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 2 8 z z
r z 2 x y y0 2 z 1 2 z 2 z
----菲涅尔衍射近似条件 由上述近似条件，得到菲涅尔衍射公式：
U x, y
2015/11/21
1
k 2 k 2 2 2 U x, y exp jkz exp[ j ( x y )]F{U x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} j z 2z 2z
幅度变换 二次相位因子 二次相位因子
1
观察平面上频率取值与坐标的关系：
x y fx , f y z z
zT 2d 2 / ---泰伯距离
泰伯效应：不用透镜对周期性物体实现成像的现象。
2015/11/21
3.4 菲涅尔衍射
泊松亮点: 泊松亮点:1818年,巴黎科学院 年 巴黎科学院
举行了一次解释衍射的有奖竞赛, 举行了一次解释衍射的有奖竞赛 评委中许多著名科学家,如毕奥 如毕奥,拉 评委中许多著名科学家 如毕奥 拉 普拉斯,泊松等 泊松等,都是光的微粒学说 普拉斯 泊松等 都是光的微粒学说 的忠实拥护者。 的忠实拥护者。 年轻的菲涅耳报 告了“ 告了“应用子波叠加原理解释衍射 现象”的论文。会后， 现象”的论文。会后，泊松仔细审 阅了菲涅耳的论文，导出了“ 阅了菲涅耳的论文，导出了“园屏 衍射中心会出现一个亮点” 衍射中心会出现一个亮点”这一看 似离奇的结论， 似离奇的结论，使菲涅耳原理又面 临新的考验。不久， 临新的考验。不久，阿喇果在实验 中果然观察到了这一惊人现象（ 中果然观察到了这一惊人现象（又 阿喇果亮斑） 称为阿喇果亮斑）。这一发现对光 的波动学说提供了有力的支持。
振幅矢量加法
• 基本思想： –先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波 带，然后将露出直边的各个条状波带在P点产 生的光场复振幅进行矢量相加。 • 具体方法：
–先将直边屏MM’拿 掉，如图3-32(a) 所示，以SM0P0为 中线，将柱面波 的波面分成许多 直条状半波带。
波带特点 P点的振幅
• 各波带在P点的光场复振幅， 当波带序数N的增大时，迅速 下降； –波带面积减小、到P点的距 离增大、倾角θ加大。 • 不能应用环形波带的有关公式 进行讨论。如何做？ • 微积分思想： –将每个直条波带按相邻波 带间相位差相等的原则，再 分成若干个波带元。 –先求出每个波带元在P点的 光场再合成求出整个波带在 P点的光场。
P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观 点的振幅与P点的位置r 有关， 察屏， 点出现明暗交替变化； 察屏，P点出现明暗交替变化； 增大， 减小，菲涅耳衍射效应显著； 随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著； 大到一定程度时， →∞，露出的波带数N 当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N 不变化， 不变化，且为
物理光学 菲涅耳衍射
P0
S4πR2 S2πRh
R h
(1)波带面积 SN
因为
N 2 R 2 ( R h ) 2 r N 2 ( r 0 h ) 2
所以
h rN2 r02 (68) 2(Rr0 )
MN
N rN=r0+N / 2
R N h
S
S
O O
r0
P0
(1)波带面积 SN
又由于 rN = r0 + N／2，故有
r1 r0 2
2 r2 r0 2
rN
r0
N 2
1. 菲涅耳波带法
r0+3/2 r0+
r0+/2
r0
P0
相邻两个环带上的相应两点到 P0 点的光程差为半个 波长,这样的环带叫菲涅耳半波带.
1. 菲涅耳波带法
设 a1、a2、……、aN 分别为第 1、第 2、……、第 N
个波带在 P0 点产生光场振幅的绝对值.
rN 2 r0N 2 2r0 2N r0N 2 4 2
h
Nr0
N 2 2
4
2(R r0 )
1. 菲涅耳波带法
一般情况下，均有 r0≫N，故
2 N
Nr0
R
Rr0
(77)
N 2N r0 N 2 4 22 r0N r 2 0 (R N r0 2 4 )2=R N R r0 r0N 4
AN
a1 aN 22
(76)
(78)
a 1 a 2 a 3 a N
(2) N 对衍射现象的影响
当 R 和 r0 一定时，圆孔对 P0 露出的波带数 N 与圆
孔半径有关，N N2 。于是，孔大，露出的波带数
多，衍射效应不显著；孔小，露出的波带数少，衍 射效应显著。
菲涅尔衍射积分 python
菲涅尔衍射是关于光的衍射现象的一个重要理论，它描述了光线通过边缘的几何扩散，形成交替的明暗条纹。
菲涅尔衍射理论的应用非常广泛，涉及光学、无线电、声学等多个领域。
在这里，我将重点介绍菲涅尔衍射在光学领域中的应用，并介绍如何使用Python进行菲涅尔衍射积分计算。
一、菲涅尔衍射理论简介1. 菲涅尔衍射是法国物理学家奥古斯丁·菲涅尔在19世纪提出的一种光的衍射现象理论。
2. 菲涅尔衍射理论描述了光波通过边缘时的衍射现象，即光在传播过程中会发生弯曲和扩散，形成明暗交替的衍射图样。
3. 菲涅尔衍射理论在光学领域中有着重要的应用，例如光学仪器设计、天文学观测、天体测量等领域。
二、菲涅尔衍射积分的基本原理1. 菲涅尔衍射积分是菲涅尔衍射理论的数值计算方法，主要用于模拟光波经过边缘时的复杂衍射现象。
2. 菲涅尔衍射积分的基本原理是通过将较复杂的菲涅尔衍射积分公式化简为一维或二维离散积分，然后使用数值计算方法求解。
3. 菲涅尔衍射积分的计算方法可以通过基于传统的数值计算方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
三、使用Python进行菲涅尔衍射积分计算的实现1. Python是一种功能强大的编程语言，拥有丰富的科学计算库和数值计算工具，非常适合菲涅尔衍射积分的计算和模拟。
2. 使用Python进行菲涅尔衍射积分计算，首先需要导入相关的科学计算库，如NumPy、SciPy等。
3. 编写菲涅尔衍射积分的数值计算算法，并结合Python的绘图库Matplotlib进行结果可视化，可以直观地观察到菲涅尔衍射图案的形成和变化规律。
四、结语菲涅尔衍射理论在光学领域有着重要的应用价值，菲涅尔衍射积分计算是实现菲涅尔衍射现象模拟和可视化的重要手段。
借助Python这一强大的科学计算工具，我们可以更方便地进行菲涅尔衍射积分的数值计算和模拟，有助于深入理解菲涅尔衍射理论，并促进其在实际光学应用中的进一步发展。
光学 菲涅耳衍射
sin u u
B'
dx
θ
b
x
B
θ
P0
P F
三、光强分布特点
sin 2 u 由 I P = I 0 2 可知 : 不同的θ对应着不同的观察点 也对应着不同的光强值 , . u dI P d sin 2 u 2 sin u (u cos u sin u ) = 0 时, I P取得极值,即 : 2 = =0 当: 3 u du du u πb ① λ sin θ 0 = 0 u0 = 0 sin u = 0 uk = kπ πb sin θ = kπ ② 时取得极值. k λ tgu = u ③
决定，在居间位置，光强介于最大值和最小值之间。对线光源，整个花样 为平行于缝、并以中央条纹为中心、对称展开的明暗相间的直线状条纹。 2 2、各级亮条纹（最大值）光强不等。中央亮条纹强度最强；其余亮 条纹 （次最大）光强远小于中央条纹，并随级数的增大而很快减小。
λ
P0
3、条纹宽度—角宽度θ
亮条纹宽度—相邻暗条纹间的间隔。
L2
MD N
dx
θ
b
x
B
θ
P0
P
dE 0 =
A0 dx cos ω t b
F
由惠—菲原理可知： BB‘上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形成了衍射花样。 现取一束与原入射方向成θ角（称为衍射角）的光束，并作辅助平面BD垂直于衍 射方向，则BD面上任一点到P点的光程相等。
∴ M , B 两点沿 θ 方向到 P 点的光程差 δ = M N = x sin θ 又 : N 点的振动表达式为 A dx 复数式为 : dE = 0 e b dE = A0 dx 2π x sin θ ω t cos b λ ~ A0 dx i , 复振幅 d E = e b
菲涅尔衍射-菲涅尔衍射课件
实验结果分析
分析衍射条纹的形状和分布规律， 理解光的波动性和衍射原理。
比较不同障碍物（如狭缝、圆孔） 对衍射条纹的影响，探究衍射现
象与障碍物形状的关系。
通过实验数据，计算出光的波长 等参数，进一步验证光的波动性。
04
菲涅尔衍射的应用实例
光栅的制造
菲涅尔衍射在光栅制造中的应用
光栅是一种重要的光学元件，用于分光和光谱分析。 在光栅制造过程中，菲涅尔衍射原理被用来控制光束 的衍射方向和模式，从而实现精确的光束分离和光谱 分析。
行性和性能指标。
全息摄影技术
菲涅尔衍射在全息摄影技术中的应用
全息摄影技术是一种记录和重现三维图像的技术。在全息摄影过程中，菲涅尔衍射原理被用来控制光的衍射和干 涉，从而实现三维图像的记录和再现。
全息摄影技术的过程
全息摄影技术通常包括记录和再现两个步骤。在记录步骤中，利用菲涅尔衍射原理和干涉原理，将三维物体发出 的光波分散并记录在感光材料上。在再现步骤中，通过特定的衍射结构将记录的光波重新组合并投影到空气中或 特定的观察屏幕上，以重现三维图像。
THANKS
感谢观看
菲涅尔衍射公式
菲涅尔衍射公式描述了光波在遇到边缘或障碍物时，衍射光强度的分布情况。 该公式基于波动理论，能够准确预测衍射现象。
菲涅尔半波带法
菲涅尔半波带法是一种分析衍射现象 的方法，通过将衍射区域划分为一系 列半波带，分析各半波带的贡献来解 释衍射现象。
该方法有助于直观理解衍射现象，简 化分析过程。
菲涅尔衍射的应用
光学仪器设计
菲涅尔衍射在光学仪器设计中具有重 要应用，如透镜、反射镜、光栅等光 学元件的设计，都需要考虑菲涅尔衍 射的影响。
干涉测量
光信息处理
菲涅耳衍射
z1 2d 2 / 2 (0.1)2 / 632.8 106 15.8mm
同理
z2 395mm
z3 1580mm
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泰伯距离为：
zT 2d 2 /
可见：可以通过上式测量波长、光栅常数。
2020/8/16
几个世纪以前,法国丝绸工人曾发现两块叠合在一起的薄绸子 在光线的照射下会产生绚丽的花纹,他们把这种自然现象称之 为“莫尔”现象。
x
x0
2
y
y0
2
则： U x, y U x0, y0 h x x0, x y0 ds
菲涅耳光衍射的物理意义：受入射光波加权的用二次曲面代 替球面的惠更斯子波的叠加结果 可见，菲涅耳近似下光传播过程具有空间平移不变性。
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U x, y exp jkz
j z
z
x2 0 max
y2 0 max
及
z
x2 max
y2 max
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因而
fx
cos
x x0 z
1,
fy
cos
y y0 z
1,
H (cos , cos ) exp jkz 1 cos2 cos2
二项式展开
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则
1
2
f
2 x
A( fx , f y , z) A( fx , f y , 0)H ( fx , f y )
对上式作傅里叶反变换有
U(x, y, z) F1{A( fx, fy , z)} F1{A( fx, fy ,0)} F1{H( fx, fy,)}
U (x0 , y0, 0) h(x0, y0, 0)
具有光栅结构方孔的菲涅耳衍射仿真与分析
收稿日期:2008209206 修改日期:2008210217基金项目江苏省教育厅自然科学研究项目基金资助(K D )作者简介高玲,女,南京晓庄学院物理与电子工程学院副教授,主要从事光信息方面的研究2008年11月第6期南京晓庄学院学报JOURNAL OF NANJ I NG X I A OZ HUANG U N I V ERS ITY Nov .2008No .6具有光栅结构方孔的菲涅耳衍射仿真与分析高 玲,林继成,何龙庆(南京晓庄学院物理与电子工程学院,江苏南京210017)摘 要:运用数值计算方法对具有光栅结构的方孔的菲涅耳衍射场的光强分布进行分析和仿真,基于菲涅耳衍射积分和子波相干叠加概念设计了数值算法,给出了相应的MAT LAB 程序以及仿真结果.从数值分析结果可以直观而明确的看到,具有正弦振幅光栅结构的方孔的菲涅耳衍射花样是带有明显方孔衍射特征的光栅的像,像的清晰度以及与原光栅的相似度由方孔衍射的菲涅耳数以及光栅条纹数决定.与无穷大正弦振幅光栅的菲涅耳衍射类似,当满足一定的条件时也会出现像的频率加倍的现象.关键词:光学;光栅;菲涅耳衍射;数值模拟中图分类号:O436.1 文献标识码:A 文章编号:100927902(2008)06200112040 引言当衍射物的尺寸比光波长大得多时,标量衍射理论是有效的.在光学系统设计、光信息处理和传输等众多领域,标量衍射理论有着重要的应用.然而,基于惠更斯2菲涅耳原理的衍射积分的计算通常是很困难的,为此需要对衍射积分进行近似处理并采用数值计算方法.当所研究的衍射场局限在旁轴区域时,菲涅耳近似在大多数情况下可以达到满意的精度[1].近年来,在菲涅耳近似下的衍射场数值计算问题人们已经进行了大量的研究[227],但未见有对有限大小光栅衍射的仿真算法的介绍.本文以MAT LA B 为计算平台,以菲涅耳衍射积分为基础,采用子波叠加概念,针对带有正弦振幅光栅结构的菲涅耳衍射,设计了数值仿真算法并给出了相应的程序,并对仿真结果进行了分析.1 光栅衍射的标量理论波长λ单位振幅的单色平面波,垂直照射带有宽度为2L 方形孔径的衍射屏,孔径上贴有一片振幅型薄透射光栅,衍射屏位于xy 平面,坐标原点取在孔径中心,x 轴和y 轴分别与孔径两边平行,z 轴沿入射光方向,光栅的刻线与y 轴平行.当满足旁轴近似条件时,衍射场复振幅可由菲涅耳衍射积分确定[1].U (x O ,y O )=exp (jkz )j λz exp j k 2z (x 2O +y 2O )κ∞-∞t (x,y)exp j k 2z (x 2+y 2)exp -j k z(x O x +y O y )d x d y (1)其中,t (x,y )是衍射屏透过率函数t (x,y)=12[1+m cos (2πx /d)](-L ≤x ≤L,-L ≤y ≤L )(2)则衍射复场分布可表为U (x O ,y O )=e jkz j λz exp j k 2z (x 2O +y 2O )I x I y (3):07J 140122.:.其中I x =∫L-L 12[1+m cos (2πx /d )]e j k 2z (x 2-2x O x)d x I y =∫L -Le j k 2z (y 2-2y O y)d y(4)观察屏上衍射光强的分布为I(x O ,y O )=1λz 2|I x I y |2(5)2 仿真算法将光栅孔径沿平行于长度和高度方向分割成N ×N 个微小单元,当N 足够大时,每个单元可视为一个次级点源.所有点源在观察屏上P (x O ,y O )点合成复振幅可由(4)和(5)式将积分改为求和得到I x =2L N ∑N /2i =-N /212[1+m cos (2πx i /d )e jk(x 2i -2x O x i )/2z ]I y =2L N ∑N /2i =-N /2e jk(y 2i -2y O y i )/2z(6)其中x i =i 2LN ,y i =i 2LN (7)以MATLAB 为计算平台,在观察屏上取适当大小的正方形区域,并进行M ×M 采样,采样点阵的坐标用二维数组X O 和Y O 存储,由于Y O =X T O ,实际只需一个数组.用二维数组I x 和I y 存储输出面上各采样点对应的经由(7)式算得的I x 和I y 值.即I x =2L N ∑N /2i =-N /212[1+m cos (2πx i /d )e jk (x 2i -2x i X O )/2z ]I y =2L N ∑N /2i =-N /2e j k (y 2i -2y i X T O )/2z(8)3 仿真结果分析3.1 沿z 轴的衍射光强分布对于无穷大正弦振幅光栅,其菲涅耳衍射光强沿z 轴是呈正弦分布的[1],对于没有光栅结构的方孔菲涅耳衍射沿z 轴的光强分布如图1(a )所示,而方形正弦振幅光栅孔径的菲涅耳衍射光强沿z 轴的分布如图1(b )所示.图1(c )是图1(b )在靠近纵轴的局部放大图形,图1(d )是图1(c )前三个波形的进一步放大的图形.可见在距离衍射屏较近的区域内与无穷大正弦振幅光栅菲涅耳衍射的光强分布相似,只是在正弦分布之上叠加了频率逐渐减小的快速小幅波动,表明在该区域内以光栅衍射作用为主;右侧光强的分布规律,除了振荡幅度有所减小外与没有光栅结构的方孔菲涅耳衍射几乎完全相同,表明在该区域内以方孔衍射作用为主.3.2 与z 轴垂直平面上的衍射光强分布图2为取λ=7×10-7m ,L =1.4×10-2m ,孔径内光栅总线数α=30时的两幅衍射仿真图和沿x 轴光强分布图.由图2可见,方形正弦振幅光栅孔径的菲涅耳衍射场的光强分布是无穷大正弦振幅光栅光栅的衍射和方孔衍射的共同结果,衍射花样是带有明显方孔衍射特征的光栅的像.当菲涅耳数较大时,除了边缘部分之外,能够得到光栅的较清晰的像;菲涅耳数较小时像发生变形和模糊;菲涅耳数小于某一值时,光栅像将完全消失.对于无穷大正弦振幅光栅衍射,当满足一定的条件[1]时将得到光栅理想的像(Talbot 像).由于方孔衍射作用不可忽略,这里不可能产生光栅理想的像.对仿真结果的分析发现,只有当d 2/8λ<z <2αd 2/λ时才有可能出现光栅的像,这恰对应图()的区域当孔径内光栅条纹总数给定时,像的清晰度和与原光栅的相似度由方孔衍射菲涅耳数决定,通常菲涅耳数越大像越清晰相似度越高1c ..图1 正弦振幅光栅菲涅耳衍射场沿z轴的光强分布图2 仿真图和沿x 轴的光强分布图,α=30,L =0.014m对于无穷大正弦振幅光栅的衍射,当满足条件zλ/d 2=n -1/2时,光栅像的频率是原光栅频率的两倍[1].对于方形光栅孔径的衍射,计算发现当满足下式N F =α24n -2 (n =1,2,……).(9)时,也会出现像的频率加倍的现象.图3是取光栅条纹总数α=30,N F =450时的仿真图和相应的光强分布图.因满足条件(9),将其与图2(a )比较即可看出,像的频率是原光栅频率的两倍,而像的可见度明显降低. 结论通过对大量仿真结果的分析,发现具有正弦振幅光栅透射率的方孔的菲涅耳衍射场的光强分布是无穷4图3 当满足条件(12)时像的频率加倍且亮度和对比度降低大正弦振幅光栅的衍射和方孔衍射的共同结果,衍射花样是带有明显方孔衍射特征的光栅的像,而不能产生光栅的理想的像,光栅像的清晰度以及与原光栅的相似度由方孔衍射的菲涅耳数以及孔径内光栅条纹数决定.当满足条件(9)时会出现像的频率加倍的现象.本文给出的算法不仅能够对具有正弦振幅光栅透射率函数的方孔的菲涅耳衍射进行仿真,而且适用于具有任何透射率函数的矩形孔衍射计算和分析,只要该透射率函数可表为分离变量形式.参考文献:[1]G ood man J W.Introduc ti on t o Fourie r Opti c s(s econd editi on)[M].M cGraw2Hill Co mpanies,1998,57281.[2]侯红方,钟丽云.矩孔菲涅耳衍射的一种数值计算方法[J].光电技术应用,2006,21(6):59261.[3]柴晓冬,韦穗.菲涅耳衍射光场分布的数值计算与数字重构[J].量子电子学报,2003,20(4):4352438.[4]喻力华,赵维义.圆孔衍射光强分布的数值计算[J].大学物理,2001,20(1):16219.[5]钱晓凡,胡涛,张晔.基于MAT LAB的衍射场模拟计算[J].昆明理工大学报(理工版),2004,29(3):1322134.[6]陈聪,李定国.基于快速傅里叶变换的衍射现象的数值仿真[J].大学物理,2004,23(9):46249.[7]吕百达,季小玲,陶向阳,赵光普,肖希.硬边衍射光束的计算模拟[J].红外与激光工程,2005,34(03):3012305.[8]Kraus H G.Huygens2Fresne l2Kirchhoff wave2front diffracti on for m ulati on:s pherical waves[J].J Op t Soc Am A,1989,6(8):119621205.(责任编辑:王海军) Num er i ca l S im ul a ti on of Fr esnel D i ffra cti on bya Squa r e Aper tur e with Gra ti ng Str uctur eGAO Ling,L I N J i2cheng,HE Long2qing(School of Physi c s and El ec tronic Engineering,Nanjing Xi aozhuangUnive rsity,N anjing210017,China)Abstrac t:The intensity distribution of the Fr e snel diffrac ti on field f or square aperture with grating structure is ana2 lyzed and si m ulated by a nume rical m ethod.A n algorithm of nu m erica l ca lcula tions of Fr e snel diffraction by a square a pe rture with grating structure is presented alongw ith the corres pondingMA T LA B p r ogr a m s and si mulations. The results indica te that the F r e snel diffrac tion pattern of a square apertur e with sinus oida l amplitude gr a ting struc2 ture is an i mage of gr a ting w ith fea tur e s of diffraction by squa r e apertur e,and the i mage definition is decided by F resnel num ber and the number of s patial peri ods of the grating contained in the ape rture.Si m ilar t o the F r e snel diffraction by a boundle ss sinusoidal a mp litude gr ating,the i m age has t wice the fr equency that the original gr a ting doe s and ha s reduced the contrast when certain conditi ons a r e sa tisfied.Key wor ds:optics;gr a ting;F r e snel diffracti on;nu m erica l si m ulati on。
菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射 PPT
k( 2 2 )max 2
• 那么(2)式中积分号下的二次相位因子在整个孔径上近似等于1,而 观察的场就能够从孔径上的场分布本身的傅里叶变换直截了当求 出,因此在夫琅禾费衍射区内,
• 如前所述,在光学频段,夫琅禾费近似成立所要求的条件能够是相 当苛刻的。例如,当波长为0、6(红光)、孔径宽度为2、5cm(一英 寸)时,观察距离Z必须满足Z>>1600m。
3、 夫琅禾费衍射
• 考虑另一个条件更苛刻的近似,这个近似假如成立的话,将会对计
算有极大的简化。在菲涅耳衍射区内,观察到的场 U(x能, y)够通过
对孔径上的场分布
U (与,)二次相位函数
exp j(k / 2z)(的2 乘2)
积做傅里叶变换求出。假如除菲涅耳近似外还满足更强的(夫琅禾
费)近似 Z>>
jkz
e x y h(x, y)
j
z
exp
jk 2z
(
2
2
)
•
假如将因子
exp
jk 2z
(x2
y
2
)
提到积分号外,可得到另外一种形式:
•
(2)
• (2)式是除了一个相乘因子外,它是紧靠孔径右方的复场与一个二
次相位因子的乘积的傅立叶变换。
• 我们把结果形式(1)与(2)都叫做菲涅耳衍射积分,当这个近似成立 时,我们就说处于菲涅耳衍射区,或等效地是在孔径的近场。菲涅 耳衍射的作用相当于一个空不变线性系统,必具有传递函数:
个是从孔径到观察点的距离比波长大得多的假设,即
。
衍射的几何关系示意图:
1、3、 屏幕的振幅透射比
一个屏幕的振幅透射比
定义为紧贴屏幕后的
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1 2i
e ikz [C( 2 ) C(1 )] i[S( 2 ) S(1 ) ]
*
1 1
(b x0) 2 (b y0) 2
2 2 kຫໍສະໝຸດ z(b x0) 2 (b y0) 2
k z
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
1 - 1
k z
2 2
(b y0) 2
k z
（X轴和Y轴正方向b=∞）
y0
（Y轴负方向b=0）
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
U 0(x 0 ,y 0 )
e ikz 2i
Information Optics & Holographic Technology
菲涅尔积分
C（） S（）
0
cos （ t ） dt 2
2
0
sin（ t ） dt 2
2
U 0(x 0 ,y 0 )
[C( ) C( )] i[S( ) S( ) ]
2 1 2 1
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
1 0
y
0
0
1 e ikz 1 e ikz U 0(x 0 ,y 0 ) （1 i） （1 i） MC e i [ C (1 )] i[ S(1 )] 2i 2 2i 2
1 0
y
0
0
1 e ikz 1 e ikz U 0(x 0 ,y 0 ) （1 i） （1 i） LC e i [ C (1 )] i[ S(1 )] 2i 2 2i 2
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
方孔的菲涅尔衍射
U 0(x 0 ,y 0 )
1
iz
1
e ikz e ikz
b/2
U 1(x 1 ,y 1 ) e e
i
i
2 k 2 2 x 0 x 1 y 0 y 1 2z
考纽螺线图
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
●自由空间的传播（b=∞）
1 1 -
2 2
1 ikz U 0(x 0 ,y 0 ) e （1 i） (1 i ) e ikz 2i
●直边的衍射
e ikz （x 0）（y 0）
e e
i 2kz ( x 0 x 1 )2
（x 0） （y 0）
b
b /2
/2
dx 1 dy 1
b
b /2
i 2kz ( y 0 y 1 )2
/2
菲涅尔积分（代数变形）
U 0(x 0 ,y 0 )
考纽螺线图（几何分析）
第2章 标量衍射理论
dx 1dy 1
2 k 2 2 x 0 x 1 y 0 y 1 2z
iz
b / 2
dx 1dy 1
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
U 0(x 0 ,y 0 )
1
iz
1 （ 1 i） [1 C ( )] i [ S(1 ) ] 1 2 2
第2章 标量衍射理论
Information Optics & Holographic Technology
1 0 e ikz 1 1 2 U 0(x 0 ,y 0 ) （1 i） e ikz 2i 2 2