四川省成都市2015届中考数学思维方法讲义：第3讲 反比例函数--性质与定义
四川省成都市棕北中学2015中考数学复习教案：反比例函数及其图象
反比例函数及其图象一、 教学目标：加深理解反比例函数的定义、图象及其性质，能根据所给信息确定反比例函数的表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
二、 教学重点：能根据所给信息确定反比例函数的表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
三、 教学难点：经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。
四、 教学过程：（一）知识要点梳理：1．概念：函数__y ＝kx(k ≠0)__叫做反比例函数．2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线． 3．性质：(1)当k ＞0时，其图象位于__第一、三象限__，在每个象限内，y 随x 的增大而__减小__；(2)当k ＜0时，其图象位于__第二、四象限__，在每个象限内，y 随x 的增大而__增大__；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．应用：如图，点A 和点C 是反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任意两点，画AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥y 轴于点D ，则有S △AOB ＝S △COD ＝|k|2；注意根据图象所在象限来确定k 的符号．（二）考点分类解析：考点1：反比例函数图象的确定【例1】 已知图中的曲线是反比例函数y ＝m －5x (m 为常数)图象的一支．(1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？(2)若该函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点B ，当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．解：(1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限，∵m －5＞0，∴m ＞5 (2)∵点A 在直线y ＝2x 上，∴设点A 的坐标为(x 0，2x 0)(x 0＞0)，则点B 的坐标为(x 0，0)．∵S△OAB＝4，∴12·x 0·2x 0＝4，x 0＝±2(舍去负值)，∴点A 的坐标为(2，4)，又∵点A 在双曲线y＝m －5x 上，∴4＝m －52，m －5＝8.∴反比例函数的解析式为y ＝8x【点评】 一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值，反过来由图象的性质，也可以确定系数的符号．要熟记函数的性质并灵活应用这些性质．对应训练1．(2014·芜湖模拟)若反比例函数y ＝kx 的图象过点(－2，1)，则一次函数y ＝kx －k 的图象过( A )A ．第一、二、四象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、三象限2.(2014·池州模拟)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k ，b 的取值范围是( C )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＞0C ．k ＜0，b ＜0D ．k ＞0，b ＜0考点2：待定系数法确定反比例函数解析式:【例2】 (2014·广安)如图，反比例函数y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)经过点A (1，3)．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x 轴正半轴上有一点B ，若△AOB 的面积为6，求直线AB 的解析式．解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k 为常数，且k ≠0)经过点A (1，3)，∴3＝k1，解得k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x(2)设B (a ，0)，则BO ＝a ，∵△AOB 的面积为6，∴12·a ·3＝6，解得a ＝4，∴B (4，0)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵经过A (1，3)B (4，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4【点评】 反比例函数解析式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．对应训练1．(2014·襄阳)如图，一次函数y 1＝－x ＋2的图象与反比例函数y 2＝kx 的图象相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C .已知tan ∠BOC ＝12，点B 的坐标为(m ，n )．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．解：(1)作BD ⊥x 轴于点D ，如图，在Rt △OBD 中，tan ∠BOC ＝BDOD ＝12，∴－n m ＝12，即m ＝－2n ，把点B (m ，n )代入y 1＝－x ＋2得n ＝－m ＋2，∴n ＝2n ＋2，解得n ＝－2，∴m ＝4，∴B 点坐标为(4，－2)，把B (4，－2)代入y 2＝kx 得k ＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y 2＝－8x(2)当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜－2考点3： 实际背景下的反比例函数的图象【例3】 (2014·蚌埠模拟)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值；(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时 (2)∵点B (12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k 12，∴解得k ＝216 (3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5，所以当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃【点评】 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系，而是二者的复合，则应分段讨论，并注意在实际问题中提炼出函数模型，往往要加自变量的取值范围．对应训练 1．(2014·宣城模拟)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，在8 min 时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y (℃)与时间x (min )成一次函数关系；锻造时，温度y (℃)与时间x (min )成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y 与x 的函数解析式，并且写出自变量x 的取值范围； (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？解：(1)停止加热时，设y ＝k x (k ≠0)，由题意得600＝k8，解得k ＝4800，当y ＝800时，4800x＝800，解得x ＝6，∴点B 的坐标为(6，800)，材料加热时，设y ＝ax ＋32(a ≠0)，由题意得800＝6a ＋32，解得a ＝128，∴材料加热时，y 与x 的函数关系式为y ＝128x ＋32(0≤x ≤6)．∴停止加热进行操作时y 与x 的函数关系式为y ＝4800x (x＞6) (2)把y ＝480代入y ＝4800x ，得x ＝10，10－6＝4(分)，故锻造的操作时间有4分钟考点4：反比例函数与几何图形的结合【例4】 (2014·德州)如图，双曲线y ＝kx (x ＞0)经过△OAB的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(2，3)．(1)确定k 的值；(2)若点D (3，m )在双曲线上，求直线AD 的解析式； (3)计算△OAB 的面积．解：(1)将点A (2，3)代入解析式y ＝k x ，得k ＝6 (2)将D (3，m )代入反比例解析式y ＝6x ，得m ＝63＝2，∴点D 坐标为(3，2)，设直线AD 解析式为y ＝kx ＋b ，将A (2，3)与D (3，2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，3k ＋b ＝2，解得k ＝－1，b ＝5，则直线AD 解析式为y ＝－x ＋5(3)过点C 作CN ⊥y 轴，垂足为点N ，延长BA ，交y 轴于点M ，∵AB ∥x 轴，∴BM ⊥y 轴，∴MB ∥CN ，∴△OCN ∽△OBM ，∵C 为OB 的中点，即OC OB ＝12，∴S △OCN S △OBM ＝(12)2，∵A ，C 都在双曲线y ＝6x 上，∴S △OCN ＝S △AOM ＝3，由33＋S △AOB ＝14，得到S △AOB ＝9，则△AOB 面积为9【点评】 本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．对应训练：1.(2014·深圳)如图，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB ＝23，与BC 交于点D ，S △BOD ＝21，求k ＝__8__．2.(2014·玉林)如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y ＝k 1x 和y ＝k 2x 的一支上，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为点M 和N ，则有以下的结论：①AM CN ＝|k 1||k 2|；②阴影部分面积是12(k 1＋k 2)；③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|；④若四边形OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 其中正确的是__①④__．(把所有正确的结论的序号都填上)基础过关：1．(2014·株洲)已知反比例函数y ＝kx 的图象经过点(2，3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( B )A ．(－6，1)B ．(1，6)C ．(2，－3)D ．(3，－2)2．(2014·宁夏)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在函数y ＝5x 的图象上，当x 1＞x 2＞0时，下列结论正确的是( B )A ．0＜y 1＜y 2B ．0＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜0D ．y 2＜y 1＜03．(2014·随州)关于反比例函数y ＝2x的图象，下列说法正确的是( D )A ．图象经过点(1，1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小4．(2014·安徽)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记P A ＝x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( B )5．(2014·聊城)如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (1，2)，B (－2，－1)两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是( D )A ．x ＜1B ．x ＜－2C ．－2＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜16. 如图，已知函数y ＝kx（x>0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为 (1，2)．过点A 作AC∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作BE⊥CD，垂足E 在线段CD 上，连接OC ，OD ． (1)求△OCD 的面积； (2)当BE ＝12AC 时，求CE 的长．.解：（1）反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点A （1，2），∴ k =2． ∵ AC ∥y 轴，AC =1，∴ 点C 的坐标为（1，1）． ∵ CD ∥x 轴，点D 在函数图象上，∴ 点D 的坐标为（2，1）．∴ CD 的长为1.∴ 1111.22OCD S =⨯⨯=△ （2）∵ BE =12AC ，AC =1，∴12BE =．∵ BE ⊥CD ，∴ 点B 的纵坐标是32．设3,2B a （），把点3,2B a （）代入y =2x中，得324==.23a a ，∴ 即点B 的横坐标是43，∴ 点E 的横坐标是43，CE 的长等于点E 的横坐标减去点C 的横坐标.∴ CE =41133-=． 7.（2014·成都中考）如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数8y x=-的图象交于()2,A b -，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.解：（1）根据题意，把点A (-2,b )的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式中，得2582b k b =-+⎧⎪⎨=-⎪-⎩，，解得412b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以一次函数的表达式为y＝12x ＋5. （2）向下平移m 个单位长度后，直线AB 的表达式为152y x m =+-，根据题意，得8152y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，， 消去y ，可化为21(5)802x m x +-+=， Δ＝（5－m ）2－4×1802⨯=，解得m ＝1或9.第3题图能力拓展1. (2014·重庆中考) 如图，反比例函数6yx=-在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为－1、－3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为（ C ）A.8B.10C.12D.24第1题图 第2题图2. 如图所示，过点C(1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=-x+6于A 、B 两点，若反比例函数y=错误！未找到引用源。
中考考点反比例函数的定义反比例函数像的性质与变化规律
中考考点反比例函数的定义反比例函数像的性质与变化规律反比例函数是数学中的一个重要概念，也是中考数学考试的一个重要考点。
它具有独特的定义和性质，同时在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对反比例函数的定义、性质以及变化规律进行详细阐述。
一、反比例函数的定义反比例函数是指具有形如y=k/x的函数关系的数学函数。
其中，k 是一个常数，并且x≠0。
例如，y=3/x就是一个简单的反比例函数。
当x取不同的值时，y的值会产生相应的变化。
在反比例函数中，x的值为0时，y的值无定义。
这是因为在数学中，除数不能为0。
因此，反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
二、反比例函数的性质反比例函数具有以下几个重要的性质：1. 过原点：反比例函数的图像一定经过坐标原点(0,0)。
这是因为当x取0时，y的值无论为何都是无意义的。
2. 零点：反比例函数在定义域中，存在一个特殊的点使得函数值为0。
该点称为反比例函数的零点。
对于y=k/x的反比例函数来说，当x=k时，y=0。
3. 单调性：反比例函数在其定义域内是单调的。
当x1<x2时，对应的y1和y2之间存在着y1>y2的关系。
4. 变化趋势：反比例函数的图像可以是一个倾斜的曲线。
当x的值增大时，y的值会逐渐减小；当x的值减小时，y的值会逐渐增大。
5. 图像形态：反比例函数的图像一般是一个双曲线。
它在坐标平面上的形态取决于k的正负和绝对值大小。
三、反比例函数的变化规律反比例函数在实际问题中具有一定的变化规律。
以“速度与时间的关系”为例，假设一个运动物体在匀速直线运动中，其行驶距离与时间的关系可以表示为y=d/t，其中，d为距离，t为时间。
可以看出，该关系符合反比例函数的形式。
根据反比例函数的特性，在运动过程中，当时间逐渐增加时，物体所行驶的距离会逐渐减小，即速度会逐渐减小。
反之，当时间逐渐减小时，物体所行驶的距离会逐渐增加，即速度会逐渐增大。
这与我们常规的观察和经验是一致的。
2015届四川中考数学总复习课件：3.3反比例函数及其应用
k2 例3 已知k1>0>k2，则函数y＝k1x和 y x 的图象在同一平面直角坐标系中大致是（ ）
C
k 【思路点拨】根据反比例函数 y （k≠0）， x
当k＜0时，图象分布在第二、四象限和一次函数 图象与系数的关系进行判断.
【解析】∵k1＞0＞k2，∴函数y=k1x的图象在第 k2 一、三象限，反比例函数 y 的图象分布在 x 第二、四象限．故选C．
上 ，列方程组求解.
【解析】本题考查相似三角形和反比例函数的综
合运用.如解图，过点C、D作x轴的垂线，垂足分
别为M、N. ∵△OAB是边长为5的等边三角形， ∴∠AOB=∠ABO=60°，∴△COM∽△DBN.
∵OC=3BD,∴CM=3DN.设DN=a，那么 CM=3a,∴OM=
3 a，BN=
∴C（ 3 a，3a），D（5－
图象：反比例函数的图象由两条曲线
反 组成，它是双曲线 比 k 例 函 数 图象 及 其 应 用 性 质
增碱性
k>0
k<0
所在象限 第一、三象限
二、四 象限 第_______
在每个象限内， 在每个象限内， y随x的增大而 y随x的增大而 减小 增大 _______ _______ 关于直线y=x，y=-x成轴对称；关 于原点成中心对称
3 a， 3 3 a， a） . 3
∵点C、D都在反比例函数y=kx的图象上， ∴根据题意列方程组：
k 3a 3a k a 3 5 a 3
组：
解得
9 3 k 4 3 a 2
对于一次函数与反比例函数综合题，常涉及以 下几个方面：
1. 求交点坐标：如图①，当已知函数y = ax+b
k 及y x
九年级反比例函数知识点总结讲解
九年级反比例函数知识点总结讲解【导言】反比例函数是数学中比较重要的一种函数类型。
在九年级的数学课程中，学生们会接触到反比例函数的概念、性质和应用。
本文将对九年级反比例函数的知识点进行总结和讲解。
【1. 反比例函数的定义】反比例函数是指当自变量增大时，因变量以相反的比例减小，或当自变量减小时，因变量以相反的比例增大的函数。
反比例函数通常可以表示为y = \(\frac{a}{x}\)，其中a为常数。
【2. 反比例函数的性质】反比例函数有以下几个重要的性质：1) 定义域和值域：对于反比例函数y = \(\frac{a}{x}\)，其定义域为除了x = 0以外的所有实数，其值域为除了y = 0以外的所有实数。
2) 对称中心和对称轴：反比例函数的对称中心为原点(0, 0)，对称轴为y轴。
3) 渐近线：反比例函数的图像以x轴和y轴为渐近线，即当x 趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于0；当y趋近于正无穷或负无穷时，x趋近于0。
4) 变化趋势：反比例函数在定义域内是递减的，在值域内是递增的。
【3. 反比例函数的图像特点】反比例函数的图像具有以下几个特点：1) 形状：反比例函数的图像呈现出一条由左上向右下倾斜的直线。
2) 渐近线：除了x轴和y轴外，反比例函数的图像没有其他渐近线。
3) 均匀变化：反比例函数图像上的任意两点，其纵坐标之积为常数。
4) 原点截距：反比例函数图像与坐标轴的交点为原点(0, 0)。
5) 比例关系：反比例函数图像上的任意点坐标(x, y)，有xy = a 成立。
【4. 反比例函数的应用】反比例函数在实际问题中有广泛的应用，下面分别介绍几个常见的应用场景：1) 电阻和电流关系：根据欧姆定律，电阻R与电流I之间存在反比关系，即R = \(\frac{U}{I}\)，其中U为电压常数。
当电流变大时，电阻减小；当电流变小时，电阻增大。
2) 速度和时间关系：在匀速运动过程中，速度v与时间t之间存在反比关系，即v = \(\frac{s}{t}\)，其中s为位移常数。
【中考数学考点复习】第三节反比例函数的图象与性质课件
∴点C的坐标为(m，12m)，
∴PC＝|m8 －12m|，
∴S△POC＝12PC·xP，
第9题图
即3＝12×|m8 －12m|·m，(7分) 整理为|8－12m2|＝6， 解得m＝±2或±2 7， ∵点P在第一象限， ∴m＞0， ∴P(2，4)或(2 7，477)．(10分)
第9题图
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝mx (x>0)的图象经过点 A(3， 4)，过点 A 的直线 y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点．
(5)【思维教练】通过作辅助线将△PAB分为两个三角形，利用分割法 及三角形面积公式求解；
解：如解图②，过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴，交直线 AB 于点 Q， 则点 Q(52，32)，
∴S △PAB(xB－xQ)·PQ＋12(xQ－xA)·PQ
Q
∟
＝12(xB－xA)·PQ＝12×2×32 ＝3；
y＝－8，
联立
x y＝1x＋5－m
整理得 ，
12x
2＋(5－m)x
＋8＝0，
2
Δ＝(5－m)2－16＝0，解得 m＝1 或 m＝9.(9 分) ∴m 的值为 1 或 9.(10 分)
第8题图
9．图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y＝1x 的图象与反比 2
例函数 y＝k的图象交于 A(a，－2)，B 两点． x
∴不等式kx＜－x＋4 的解集为 x＜0 或 1＜x＜3；
(3)连接 OA，OB，求△AOB 的面积；
第 7 题图②
(3)【思维教练】先求得直线与x轴的交点坐标，再利用和差法及三角形 面积公式求解；
解：如解图①，设直线 AB 与 x 轴交于点 C，
初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点初三数学中，反比例函数是一个非常重要的知识点。
它是函数的一种特殊形式，与正比例函数相对应。
反比例函数在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍反比例函数的定义、性质、图像和应用。
1. 反比例函数的定义反比例函数是指形如f(x) = k/x的函数，其中k是常数，x不等于0。
在反比例函数中，当x增大时，f(x)的值减小；当x减小时，f(x)的值增大。
可以看出，反比例函数是一个曲线，它的图像可以用一个双曲线表示。
2. 反比例函数的性质反比例函数有一些重要的性质值得我们关注。
2.1. 定义域和值域：反比例函数的定义域是除了0的所有实数，值域是除了0的所有实数。
2.2. 对称轴：反比例函数的对称轴是y轴。
2.3. 渐近线：反比例函数有两条渐近线，即x轴和y轴。
2.4. 单调性：反比例函数在定义域上是单调递减的。
2.5. 零点：当输入变量x等于0时，反比例函数的值为无穷大。
3. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线。
双曲线有两个分支，分别趋近于渐近线，与坐标轴的相交点是它的零点。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
4. 反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多重要的应用。
4.1. 比例定理：反比例函数可以用来描述许多与比例有关的问题。
比如，在购买商品时，如果商品的价格和数量成反比，那么我们可以使用反比例函数来计算购买不同数量商品时的总花费。
4.2. 速度和时间的关系：在汽车行驶过程中，速度和时间成反比例关系。
当速度增大时，时间减小；当速度减小时，时间增大。
反比例函数可以帮助我们计算汽车行驶的时间。
4.3. 电路中的电阻和电流关系：在电路中，电阻和电流成反比例关系。
当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。
反比例函数可以帮助我们计算电路中的电流。
4.4. 功率和电压关系：在电路中，功率和电压成反比例关系。
当电压增大时，功率减小；当电压减小时，功率增大。
反比例函数的意义及性质
#O5
#2022
在物理学中的应用
电流与电阻的关系
01
在电路中，电流与电阻成反比关系，即当电阻增大时，电流减小；反之，当电阻减小时，电流增大。这一规律在电子设备、电力系统和电路分析等领域有着广泛的应用。
声学中的声压级
02
在声学中，声压级与距离声源的距离成反比关系。这意味着随着距离声源的距离增加，声压级会减小。这一规律在噪声控制、音响设计和声音传播等领域具有实际意义。
反比例函数在现实生活中的应用
物理学中的电阻定律 当导体的长度和截面积一定时，其电阻与电阻率成反比，即 R = k/S，其中 R 是电阻，S 是截面积，k 是电阻率。 经济生活中的供需关系 在一定条件下，商品的需求量与价格成反比，即需求量 = k/价格，其中 k 是常数。 化学中的反应速率 在一定条件下，化学反应的速率与反应物的浓度成反比，即速率 = k/浓度，其中 k 是常数。
生物种群数量变化
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反比例函数的图像
#O2
#2022
反比例函数的图像特点
无限接近x轴和y轴
反比例函数的图像位于x轴和y轴的两侧，随着x的增大或减小，y的值会无限接近于0，但永远不会等于0。
双曲线形状
反比例函数的图像是双曲线，其形状取决于比例系数k的正负。当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
反比例函数图像的绘制方法
确定k的值 描点 连线 验证 首先需要确定比例系数k的值，根据k的正负确定图像所在的象限。 在坐标系上选取一些特定的x值，计算对应的y值，并描出对应的点。 使用平滑的曲线将这些点连接起来，形成反比例函数的图像。 通过代入一些已知的x值来验证所绘制的图像是否准确。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
初三反比例函数知识点
初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。
3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。
三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。
2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。
3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。
四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。
五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。
2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。
六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。
2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。
七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。
八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。
2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。
九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。
反比例函数的性质及解析方法
反比例函数的性质及解析方法反比例函数是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的特点是随着自变量的增大，函数值会随之减小，并且二者之间呈现一种相对的关系。
本文将探讨反比例函数的性质以及解析方法。
一、反比例函数的定义反比例函数可以用以下的形式进行表示：y = k/x，其中k为常数，x 不等于0。
该函数中，自变量x的值越大，函数值y就越小，反之亦然。
二、反比例函数的特性1. 零和不存在点：由于反比例函数中的自变量x不能等于0，因此该函数在x=0处不存在定义。
当自变量等于0时，函数值无法确定。
2. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了x=0以外的实数集，值域为除了y=0以外的实数集。
3. 关于x轴和y轴的对称性：反比例函数关于x轴对称，即(x, y)在函数曲线上，则(x, -y)也在函数曲线上。
4. 渐近线：除了x=0，反比例函数还存在一条水平渐近线y=0。
当x趋近于无穷大或无穷小时，函数值会趋近于0但不会等于0。
5. 单调性：反比例函数具有单调性，即在定义域内，随着x的增大，函数值y逐渐减小。
三、反比例函数的图像反比例函数在坐标平面上呈现一种特殊的曲线形状，该曲线称为反比例函数的图像。
由于反比例函数的特性，图像通常会表现出以下几个特点：1. 零点：函数曲线与x轴的交点，即(x, 0)。
2. 渐近线：函数曲线与y=0的水平渐近线。
3. 函数曲线的变化趋势：随着x的增大，函数曲线逐渐向y轴靠拢，形成一个由第一象限向第三象限延伸的曲线。
四、解析反比例函数解析反比例函数的过程可以通过以下几个步骤完成：1. 确定常数k的值：可以通过已知条件或函数图像来确定常数k的值。
2. 确定定义域和值域：由于反比例函数的特性，定义域为除了0以外的实数集，值域为除了0以外的实数集。
3. 求解零点：当函数值为0时，解方程k/x=0，可以得到x=0。
4. 画出函数图像：根据常数k的值以及定义域和值域的特性，可以画出反比例函数的图像。
反比例函数的概念与性质
反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系：反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系，帮助分析 市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律：反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规 律，即随着消费量的增加，单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数，具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能位于x轴上 方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增，而二次函数在x<0时 单调递减，在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系：两者都是形如y=k/x（k为常数）的函数，具有反比例关 系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别：反比例函数的图像分布在第一、三象限，而幂函数的图 像根据幂次的不同分布在各象限；反比例函数的图像是关于原点对称的，而幂函数的图像则关 于：双曲 线，位于两轴之 间
图像位置：取决于 比例常数k，k>0 时位于一三象限， k<0时位于二四象 限
图像变化趋势： 随着x的增大或减 小，y值逐渐减小 或增大
图像与坐标轴的 交点：原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义：形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数 解析式：y = k/x (k为常数且k≠0) 图像：双曲线，位于x轴和y轴的两侧 性质：当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
初三数学 反比例函数讲义
一、反比例函数的定义函数kyx=（k为常数，0k≠）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx=与kyx=-（0k≠）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象是双曲线；当0k>时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k<时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx=（0k≠）的取值范围是0x≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k>时，双曲线kyx=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x≠，即0x>或0x<的缘故．如果笼统地叙述为0k<时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数的图象及性质四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.题型一 考察反比例函数的定义及解析式的确定【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【例2】 已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）A ． 正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．以上都不是【例3】 若函数||1a y x-=是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±【例4】 已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．【例5】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．【例6】 如图，点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上，且横坐标为2． 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．()50y x x=-> B ．()50y x x=> C ．()60y x x=->D ．()60y x x=> 【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．二、反比例函数的图象及性质1.反比例函数的图象分布及增减性【例8】 在下图中，反比例函数21k y x+=的图象大致是（ ）ABC【例9】 函数ky x=（0k >）的图象可能是（ ）A. B. C. D.【例10】 函数ky x=与y kx b =+在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）ABCD【例11】 函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）AD【例12】 函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）ABD【例13】 已知反比例函数12my x-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．【例14】 已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()()12,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ． 12y y =C ． 12y y <D ． 无法确定2.与反比例函数有关的面积不变性 【例15】 反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【例16】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例17】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 .【例18】 在平面直角坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．【例19】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． ⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．反比例函数与几何综合【例20】 已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【例21】 如图，点A (m ，1m +)，B (3m +，1m -)都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．【例22】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【例23】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例24】 如图，如果函数y x =-与4y x=-的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，求BOC ∆的面积.【例25】 如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()()143A B m ，，，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．。
九年级数学反比例函数知识点归纳总结
一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。
二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。
三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。
四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。
3.对称性：关于y轴对称。
4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。
五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。
六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。
2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。
初三反比例知识点总结数学
初三反比例知识点总结数学一、反比例的性质和规律1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个变量的变化导致另一个变量的变化与之成反比的函数。
通常表示为y=k/x，其中k是常数。
2. 反比例函数的图像特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的曲线，即双曲线。
当x无限增大时，y趋于0；当x无限接近于0时，y趋于无穷大。
3. 反比例函数的性质（1）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
（2）当x1>x2时，y1<y2；当x1<x2时，y1>y2。
4. 反比例函数与直线的关系反比例函数的图像在第一象限内有一条反比例函数的零点在原点的直线。
其斜率为常数k，而且直线关于原点对称。
二、反比例函数的应用1. 反比例函数在实际中的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，比如说人均时间和工作效率、工程材料的数量和造价、飞机的飞行时间和速度、光合作用的速率和光照强度等。
这些都可以用反比例函数来表示并解决实际问题。
2. 反比例函数的解决问题在解决实际问题中，可以使用反比例函数来理解和分析问题，比如说通过反比例函数计算出两个变量之间的关系，由此得出一个变量的值；或者通过反比例函数的特性分析出两个变量之间的变化规律。
三、反比例函数的解析式与图像的绘制1. 反比例函数的解析式反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k是比例系数。
在实际问题中，可以根据已知条件求出k，然后写出反比例函数的解析式。
2. 反比例函数的图像绘制绘制反比例函数的图像时，可以取三个以上的点，并将这些点连成光滑的曲线。
反比例函数的图像总是呈现出一种双曲线的形状，且与x轴和y轴都有渐近线。
四、反比例函数的解决问题1. 反比例函数的基本解法（1）一元一次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，代入已知条件，解出未知量的值。
（2）一元二次反比例函数问题的解法：可以通过列方程，利用二次函数的解法来求得未知量的值。
2. 反比例函数问题的实例分析通过反比例函数的性质、规律，可以应用到各种实际问题中，比如有关时间、速度、数量、工作效率等各种问题。
中考数学专题复习全攻略第三节 反比例函数的图象和性质
第三节 反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函数的概念（1）定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种 基本形式：①y ＝kx ；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k 为常数，且k ≠0) 反比例函数顺口溜：反比函数双曲线，经过 点。
K 正一三负二四，两轴是它渐近线。
K 正左高右边低，一三象限滑下山。
K 负左低右边高，二四象限如爬山。
变式练习：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．的 反比函数双曲线，经过 点。
K 正一三负二四，两轴是它渐近线。
K 正左高右边低，一三象限滑下山。
K 负左低右边高，二四象限如爬山。
注意：（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.变式练习1：已知k 1＜0＜k 2，则函数y ＝k 1x －1和y ＝xk2的图象大致是( )【解析】∵k 2＞0，∴反比例函数的图象在第一、三象限，∵k 1＜0，函数y ＝k 1x －1与y 轴的交点为(0，－1)，∴一次函数图象经过二、三、四象限，故选A.变式练习2：反比例函数y ＝2x 的图象在( B ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限变式练习3：已知反比例函数y ＝kx 的图象在每一个象限内y 都随x 的增大而增大，请写出一个符合条件的反比例函数解析式___y ＝－1x (答案不唯一)___．3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x 轴和y 轴，但都不会与x 轴和y 轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．（4）对称性：a 、同一条双曲线的两个分支关于原点成中心对称图； b 、k 互为相反数的两条双曲线关于坐标轴对称。
《反比例函数》 讲义
《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。
例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。
如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。
2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。
3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。
三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。
当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。
而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。
四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。
其对称中心是坐标原点（0，0）。
2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。
3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
反比例函数讲义
小注：
（1）这两支曲线通常称为双曲线.
（2）这两支曲线关于原点对称.
（3）反比例函数的图象与 轴、 轴没有公共点.
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图象
（双曲线）
x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
【作5】设有反比例函数 ， 、 为其图象上的两点，若 时， ，则 的取值范围是___________.
【作6】反比例函数 在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，
MP垂直 轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么 的值是.
【作7】 是 关于 的反比例函数，且图象在
第二、四象限，则 的值为.
【作8】 正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系内的图象为（ ）
A． B. C. 2 D. —2
【例4】已知 = ， 与 成正比例， 与 成反比例，并且当 =2时， =—4；当 =—1时， =5，求 与 的函数关系式.
知识点：反比例函数的图象与性质
【例5】已知 是反比例函数，则函数的图象在（ ）
A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限
【例6】 函数 与 （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
第2讲反比例函数
第一节知识要点
一：反比例函数的定义
一般地，如果两个变量 、 之间的关系可以表示成 为常数， 的形式，那么称 是 的反比例函数.
反比例函数的自变量 不能为零.
小注：
（1） 也可以写成 或 的形式；
（2）若 是反比例函数，则 、 、 均不为零；
二：反比例函数的图象与性质
反比例函数性质总结
反比例函数性质总结反比例函数是一种常见的数学函数，它在数学和实际问题中都有着重要的应用。
在学习反比例函数时，我们需要了解其性质，这样才能更好地理解和运用它。
下面我们就来总结一下反比例函数的性质。
首先，我们来看反比例函数的定义。
反比例函数是指一个函数，其定义域为实数集合中除去零的数，而值域为整个实数集合。
其函数表达式通常为y=k/x，其中k为比例系数。
其次，我们来讨论反比例函数的图像特点。
反比例函数的图像通常是一条经过原点的双曲线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于零；当x趋近于零时，y趋近于无穷大或负无穷大。
这表明反比例函数在图像上具有两个渐近线，分别为x轴和y轴。
接下来，我们来分析反比例函数的性质。
首先是定义域和值域。
由于反比例函数的定义域为实数集合中除去零的数，所以其定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)，而值域为整个实数集合。
其次是奇偶性。
反比例函数是一个奇函数，即f(-x)=-f(x)，这意味着其图像关于原点对称。
再者是单调性。
反比例函数在定义域内是单调递减的，即当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)。
最后是极限性质。
当x趋近于零时，反比例函数的极限为正无穷大或负无穷大；当x趋近于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的极限为零。
此外，我们还需要了解反比例函数在实际问题中的应用。
反比例函数常常出现在与比例关系相关的问题中，如工作效率与工人数量的关系、水槽的注水速度与水槽中水深的关系等。
通过建立反比例函数模型，我们可以更好地理解和解决这些实际问题。
总的来说，反比例函数是一种重要的数学函数，其性质包括定义域和值域、奇偶性、单调性和极限性质。
了解这些性质有助于我们更好地理解和运用反比例函数。
同时，反比例函数在实际问题中也有着重要的应用，通过建立反比例函数模型，我们可以更好地解决与比例关系相关的实际问题。
希望本文的总结能够帮助大家更好地理解反比例函数的性质和应用。
中考思维方法讲义：第3讲 反比例函数--性质与定义
§第3讲 反比例函数（1）【精彩知识】1．反比例函数的定义一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示为xk y =（或1-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。
自变量x 与的取值范围是 。
y 是x 的反比例函数⇔xky =⇔1-=kx y ⇔k xy =⇔y 与x 成反比例函数。
2.反比例函数的图象和性质 反比例函数xky =（0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。
①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。
3.反比例函数x ky =（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON的面积||||__S P MP N x y =⋅=⋅=；若连接PO ，则____==∆∆PO NPO MS S 。
【典例解析】考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知122)2(-++=m mx m m y（1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值；（2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。
【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。
求当5x =时y 的值。
变式训练1： 1.已知函数mm xm y 3123--+=是反比例函数，则m 的值为 ；2. 若y 与x 1成反比例函数，x 与z1成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质【例3】若M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ）A 、2y ＞3y ＞1yB 、2y ＞1y ＞3yC 、3y ＞1y ＞2y【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数xy 4=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是 。
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年级：九年级§第3讲 反比例函数（1）【精彩知识】1．反比例函数的定义一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示为xk y =（或1-=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。
自变量x 与的取值范围是 。
y 是x 的反比例函数⇔xky =⇔1-=kx y ⇔k xy =⇔y 与x 成反比例函数。
2.反比例函数的图象和性质反比例函数xky =（0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。
①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x的增大而 ；②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。
3.反比例函数x ky =（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON的面积||||__S P MP N x y =⋅=⋅=；若连接PO ，则____==∆∆PO NPO MS S 。
【典例解析】考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知122)2(-++=m m xm m y（1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值；（2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。
【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。
求当5x =时y 的值。
变式训练1： 1.已知函数mm xm y 3123--+=是反比例函数，则m 的值为 ；2. 若y 与x 1成反比例函数，x 与z1成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质【例3】若M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21y 、N ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,41y 、P ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ）A 、2y ＞3y ＞1yB 、2y ＞1y ＞3yC 、3y ＞1y ＞2y【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数xy 4=错误！未找到引用源。
的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论是 。
变式训练2：1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数ky x=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤9B . 2≤k ≤8C . 2≤k ≤5D . 5≤k ≤8G2. 如图，P 是函数xy 21=(x >0)的图象上的一点，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为 。
考点3: 反比例函数xky =（0≠k ）中的比例系数k 的几何意义与面积法的综合运用【例5】如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数(00)ky k x x=><，的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S =m (m 为常数，且0<m <4)时，则点R 的坐标是 。
(用含m 的代数式表示)变式训练3：1.如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分 别交函数x k 1y =（x ＞0）和xk2y =（x ＞0）的图象于点P 和Q ，连接OP 、 OQ ,则下列结论正确的是（ ）A .∠POQ 不可能等于900B .21K K QM PM =C .这两个函数的图象一定关于x 轴对称D . △POQ 的面积是）（|k ||k |2121+2.如图，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)ky x x=>上，且214x x -=，122y y -=；分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 ．考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）【例6】已知反比例函数xk y 2=与一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过（a ,b ）、（a +1,b +k ）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A 点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A 点的坐标；（3）利用（2）的结果，在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.变式训练4：如图，一次函数y kx b =+的图象 与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数my x=的图象在第二象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB =2，OD =4，△AOB 的面积为1，（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据两函数图象直接写出不等式0mkx b x+->的解集。
变式训练5：如图,直线4y kx =+与函数my x=（x ＞0，m ＞0）的图像交于A ，B 两点，且与,x y 轴分别交于C ，D 两点．（1）若直线y =kx +4与直线y =-x -2平行，且△AOD 面积为2，求m 的值；（2）若△COD 的面积是△AOB A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值； ②求k 与m 之间的函数关系式．（3）若点P 坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在,k m ，使得△APB 为直角三角形，且090APB ∠=．若存在，求出,k m 的值，若不存在，请说明理由．【课后测试】1．在同一坐标系内,表示函数b kx y +=与()0,0≠≠=b k xkby 的图像是下图中的（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．如图，直线6y x =-交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。
则AF BE⋅=( )A ．8B ．6C ．4 D．第2题图 第3题图 第4题图3．如上图中，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数)0(>=k xky 的图象交于点B ，若k 取1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…，20S ，则1S ＋2S ＋…＋20S = ； 4．两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 。
5.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数ky x=（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA =21．（1）求反比例函数的解析式和n 的值；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．6.如图，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ． （1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．【例4】根据题意可求得D （1，4 ），C （－4，－1），则F （1，0），∴△DEF 的面积是：14122⨯⨯=，△CEF 的面积是：14122⨯⨯=，∴△CEF 的面积=△DEF 的面积，故①正确；②即△CEF 和△DEF 以EF 为底，则两三角形EF 边上的高相等，故EF ∥CD ，△AOB ∽△FOE ，故②正确；DF =CE ，四边形CEFD 是等腰梯形，所以△DCE ≌△CDF ，③正确；⑤∵BD ∥EF ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形，∴BD =EF ，同理EF =AC ，∴AC =BD ，故④正确；正确的有4个．【例7】解：（1）∵双曲线kyx=经过点D（6，1），∴k16=，解得k=6。
（2）设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=12×6•h=12，解得h=4。
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。
∴63x=，解得x= －2。
∴点C的坐标为（－2，－3）。
设直线CD的解析式为y=kx＋b，则2k b36k b1-+=-⎧⎨+=⎩，解得1k2b2⎧=⎪⎨⎪=-⎩。
∴直线CD的解析式为1y x22=-。
（3）AB∥CD。
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。
设直线AB的解析式为y=mx+n，则2m n0n1-+=⎧⎨=⎩，解得1m2n1⎧=⎪⎨⎪=⎩。
∴直线AB的解析式为1y x12=+。
∵AB、CD的解析式k都等于12相等。
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。
【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。