高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第五节椭圆(一) 文
高考数学总复习考点知识专题讲解49---椭圆(一)
A．1 C．4
B．2 3 D．4 3
[思路引导] (1)列出方程表示椭圆的条件→结合已知条 件列式→得解．
→→ (2)设 P(x0，y0)→根据PF，PA列式→根据 x0 的范围求解．
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭
圆．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
2．(2019·山西大学附属中学诊断)已知方程mx22＋m＋y2 2＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是( D )
(2)(2019·福建三明期中)已知 P 是椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点，
F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2 面积为( A )
A．3 3
B．2 3
C． 3
D．
3 3
[思路引导] (1)两圆内切的条件→|MC1|＋|MC2|为定值
→定义法求得点 M 的轨迹方程． (2)△F1PF2 为焦点三角形→利用椭圆定义和余弦定理进
行边角转化→求面积．
[解析] (1)设圆 M 的半径为 r，则
|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， 又|C1C2|＝8<16，∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦 点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，则 a＝8，c＝4， ∴b2＝48，故所求的轨迹方程为6x42 ＋4y82 ＝1.
2020年高考数学一轮复习第七章解析几何第5讲椭圆课件理
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的概念
在平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距.
答案：D
答案：A
【规律方法】讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点. 求离心率的常用方法有以下两种：①求得 a，c 的值，直接代入
用b2＝a2－c2消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解.
思想与方法 ⊙ 利用函数与方程的思想求椭圆的方程
F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
答案：12
图 D53
考点 2 椭圆的标准方程
答案：A
答案：C
【规律方法】(1) 求曲线的方程时，应从“定形”“定 焦”“定式”“定量”四个方面去思考.“定形”是指首先要 清楚所求曲线是椭圆还是双曲线；“定焦”是指要清楚焦点在 x 轴上还是在 y 轴上；“定式”是指设出相应的方程；“定量” 是指计算出相应的参数.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0， c＞0，且a，c为常数.
(1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
图形
性 范围
质 对称性
－a≤x≤a
－b≤x≤b
从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补， 所以∠OMA＝∠OMB. 综上所得，∠OMA＝∠OMB.
高三复习椭圆知识点讲解
高三复习椭圆知识点讲解椭圆，作为平面解析几何的一部分，是高三数学的重要知识点之一。
在高三学习阶段，对于椭圆的理解和熟练运用显得尤为重要。
本文将对高三复习椭圆的知识点进行讲解，帮助同学们加深对椭圆的理解，提升解题的能力。
一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
在椭圆中，常数2a称为长轴，定点F1和F2称为焦点，连结两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
椭圆还有一些重要的性质，如：离心率、焦距、短半轴等。
二、椭圆的方程在平面直角坐标系中，椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程：椭圆的一般方程为：$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，其中$A,B,C,D,E$为常数。
三、椭圆的基本性质1. 离心率：椭圆的离心率定义为$\varepsilon = \dfrac{c}{a}$，其中$c$为焦点到中心的距离，$a$为长半轴长。
离心率用来衡量椭圆的扁平程度，范围在0到1之间。
2. 焦距：椭圆的焦距定义为$2ae$，其中$a$为长半轴长，$e$为离心率。
3. 短半轴：椭圆的短半轴$b$满足$b = a\sqrt{1 - \varepsilon^2}$，其中$a$为长半轴长，$\varepsilon$为离心率。
四、椭圆的图像特点1. 椭圆的图像是一个闭合曲线，对称于$x$轴和$y$轴，且关于原点对称。
2. 当$a > b$时，椭圆的图像在$x$轴上开口，称为纵椭圆；当$a < b$时，椭圆的图像在$y$轴上开口，称为横椭圆。
3. 当离心率$\varepsilon = 0$时，椭圆退化为一个圆。
五、常用公式及运用1. 椭圆上一点P的坐标$(x, y)$，可由参数方程表示为：$x =a\cos\theta, y = b\sin\theta$。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结第一篇：椭圆的定义及基本性质一、椭圆的定义椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
二、椭圆的基本性质1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。
3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。
4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即e=√(a²-b²)/a。
5. 椭圆的面积为πab。
6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。
7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。
三、椭圆的求解椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的一般方程为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。
常用的求解方法有以下几种：1. 椭圆的标准方程变形法。
通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。
2. 半坐标轴法。
通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。
3. 矩阵法。
通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。
四、椭圆的应用椭圆在生活和工程中有广泛的应用。
例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。
此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。
椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。
高考文科椭圆知识点
高考文科椭圆知识点椭圆是高考文科数学中的一个重要知识点，其在平面几何和解析几何中都有广泛的应用。
椭圆的性质和公式是考试中常见的考点，下面我们将详细讲解椭圆的相关知识。
一、基本定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
定义中，F1和F2称为焦点，线段F1F2的长度为2c，2a为焦点到椭圆的任意点P的距离之和，a为椭圆的半长轴，c为椭圆的焦距。
二、标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1，其中(x0,y0)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的半长轴长度，b为椭圆的半短轴长度。
三、焦点及焦距的计算对于椭圆，焦点到椭圆上任意点P的距离之和等于2a。
根据焦点定义和距离公式，可以得到焦点F1的坐标为(x0-c,y0)，焦点F2的坐标为(x0+c,y0)，焦距等于2c。
四、离心率的计算离心率是一个衡量椭圆形状的参数，可以通过离心率e的计算公式e=c/a来求得。
离心率的范围是0到1，当e=0时，表示椭圆退化成一条线段；当e=1时，表示椭圆退化成一个抛物线。
五、常见性质1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过焦点并且垂直于长轴的直线段，短轴是通过焦点并且垂直于短轴的直线段。
2. 对称性：椭圆具有两个重要的对称轴，分别是长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心。
3. 离心率与形状：离心率越接近于0，椭圆的形状越扁平；离心率越接近于1，椭圆的形状越接近于圆形。
4. 弦长定理：椭圆上两点A、B之间的弦长等于焦半径之和。
5. 切线方程：椭圆上的切线方程可以通过代入标准方程和求导得到。
六、解析几何中的应用1. 椭圆的直径：椭圆上任意两点之间的线段称为椭圆的直径，直径的长度等于长轴的长度。
2. 焦点和直角：椭圆的焦点和椭圆上任意一点及其到直径的垂足构成的三角形是一个直角三角形。
3. 椭圆与直线的交点：椭圆与直线的交点可以通过将直线方程代入椭圆的方程组来求解。
高三知识点总结椭圆
高三知识点总结椭圆椭圆作为高中数学中的重要知识点之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
它具有独特的性质和特点，需要我们掌握其定义、基本性质以及相关公式和定理。
接下来，我将对椭圆的知识点进行总结。
1. 椭圆的定义和相关术语椭圆是一个平面上的几何图形，由到两个定点的距离之和等于常数的点的集合组成。
其中，两个定点称为焦点，常数称为焦距。
椭圆的中心是焦点连线的中垂线的交点，椭圆的长轴是焦点连线的延长线段，短轴是长轴上截取的一段等于焦距的线段。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心、长短轴和离心率。
3. 椭圆的离心率和焦距关系椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的重要指标。
离心率的计算公式为e = √(a²-b²)/a，其中a和b分别表示长轴和短轴的一半长度。
当离心率小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
4. 椭圆的焦点坐标和焦距的计算椭圆的焦点坐标可以通过中心坐标和离心率计算得到。
设横轴为x轴，纵轴为y轴，椭圆的焦点坐标为(F₁,0)和(-F₁,0)，其中F₁ = e * a。
椭圆的焦距为2F₁。
5. 椭圆的参数方程椭圆还可以通过参数方程来表示。
如果椭圆的焦点在原点上方，参数方程可表示为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。
6. 椭圆的性质和定理椭圆有许多重要的性质和定理，如椭圆离心率定理、椭圆三点共线定理、椭圆的切线方程等。
掌握这些性质和定理，对于解题和证明椭圆相关问题非常有帮助。
7. 椭圆的应用椭圆广泛应用于几何学、物理学、电子学等领域。
在几何学中，椭圆常用于描述行星的轨道、天体运动和地震波的传播等。
在物理学中，椭圆常用于描述光的偏振和电场的变化等。
高考数学一轮总复习 第七章 解析几何 第5讲 椭 圆(理)
－m)＝4，∴m＝8.
4.(2011 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中
心为原点，焦点 F1F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 L 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为 _____1x_62_＋__y8_2_＝__1__.
解析：由椭圆定义知，△AF1B 的周长为 4a＝4 3，a＝ 3， 离心率为 e＝ac＝ 33，∴c＝1，b2＝a2－c2＝2.则 C 的方程为x32＋ y22＝1.
答案：A
(3)(2013年大纲)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦
点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，
则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1 C.x42＋y32＝1
B.x32＋y22＝1 D.x52＋y42＝1
解析：由ac＝ 22， 得 a＝4，c＝2 4a＝16，
∴1x62 ＋y82＝1 为所求.
2.从而 b2＝8.
考点 1 椭圆的定义及应用 例 1：(1)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶 点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上， 则△ABC 的周长是( )
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c
e＝ac∈(0,1)
c2＝a2－b2
1.椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为( D )
A.13
B.12
C.
3 3
D.
2 2
2.(2015 年广东)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为
F1(－4,0)，则 m＝( C )
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
高考数学复习考点知识讲解课件54 椭圆
)
A．1 B．3
C．5 D．9
答案：(1)B
y2
+ ＝1，易得椭圆长半轴的长为5，
25
5
x
2
2
解析：(1)对椭圆方程x ＋5y ＝25变形得，
2
由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10，
又因为|PF1|＝7，所以|PF2|＝10－7＝3.
x2
49
迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝ a2 − c 2 ＝4，故点P的轨迹方
x2
程为
25
+
y2
＝1.故A.
16
(三)易错易混
4．(忽视定义中2a＞|F1F2|)平面内一点M到两定点F1(－6，0)，F2(6，
线段F1F2
0)的距离之和等于12，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝12，但|F1F2|＝12，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以
b
a
b
)
(二)教材改编
x2
2．[选修2－1·P49T4 改编]椭圆
10−m
(
)
A．4
C．4或8
+
y2
＝1的焦距为4，则m等于
m−2
B．8
D．12
答案：C
解析：焦点在x轴上时，(10－m)－(m－2)＝4，解得m＝4；焦点在y轴上时，(m
－2)－(10－m)＝4，解得m＝8.综上可得m的取值为4或8.
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝ 5，所以b＝ a2 − c 2 ＝2.
2025年高考数学一轮知识点复习-第5课时-椭圆(一)【课件】
5．(1)(2024·吉林四平一中第三次月考)已知直线 3x－2y－6＝0 经过焦点 在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为_y9_2＋__x4_2_＝_1_．
解析 令 x＝0，可得 y＝－3；令 y＝0，可得 x＝2，则椭圆的两个顶点坐
标分别为(0，－3)，(2，0)．因为|－3|>2，所以椭圆的焦点在 y 轴上．设椭圆 的方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，则 a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为y92＋x42＝1.
A．长轴长为12
B．焦距为
3 4
C．短轴长为41
解析 把椭圆方程
√D．离心率为
3 2
16x2＋4y2＝1 化为标准方程可得
x2 1
＋y12＝1，所以
a＝12，
16 4
b＝14，c＝ 43，则长轴长 2a＝1，焦距 2c＝ 23，短轴长 2b＝21，离心率 e＝ac＝
23.故选 D.
4．对于实数 m，“1<m<2”是“方程mx－2 1－my－2 2＝1 表示椭圆”的(
)
A．充分不必要条件
√B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
m－1>0，
由
“
方
程
x2 m－1
－
y2 m－2
＝
1
表示椭圆”可得m－2<0，
解得
m－1≠2－m，
1<m<2 且 m≠32，所以“1<m<2”是“方程m－ x2 1－m－ y2 2＝1 表示椭圆”的必要不
充分条件．故选 B.
__(_±__a_，__0_)_，__(0_，__±__b_)___
__(_±__b_，__0_)，__(_0_，__±__a_)___
第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
高考数学总复习 第七章 第五节椭圆(一)课件 文
解析：(1)(法一)①当所求椭圆的焦点在 x 轴上时，设它的标
准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，依题意应有
13a22＋13b22＝1， －b212 2＝1，
解
a2＝51，
得
b2＝41，
因为 a>b，从而方程组无解；
第二十页，共41页。
②当所求椭圆的焦点在 y 轴上时，设它的标准方程为ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)，
A．4
B．2
C．8
D. 3
(2)设F1，F2是椭圆 4x2 y2=1的两个焦点，P是椭圆上的2点，且|P
F1|∶|P F2|=4∶3，则△P F419F+2的6 面积是______．
(3) 设A(-2,0)，B(2,0)，△ABC的周长为10，则动点C的轨迹 (guǐjì)方程为__________________．
由椭圆的定义知 2a＝|P F1|＋|P F2|＝2 5，即 a＝ 5，由 |P F1|＞|P F2|知 P F2 垂直于长轴．所以在 Rt△PF2F1 中，4c2
＝|P F1|2－|P F2|2＝690，所以 c2＝53，于是 b2＝a2－c2＝130.
又由于所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴 上，故所求的椭圆方程为x52＋31y02＝1 或31x02＋y52＝1.
第十二页，共41页。
思路点拨：涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常可以根 据定义进行转化，往往起到简化(jiǎnhuà)解题过程，降低难度的 效果．
解析：(1) 如图所示，设椭圆的另一个焦点为 F2，
由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10， 所以|MF2|＝10－|MF1|＝10－2＝8，
2019年《·高考总复习》数学：第七章 第5讲 椭 圆
范围
性 质
对称性பைடு நூலகம்
顶点
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴：坐标轴
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－b≤x≤b －a≤y≤a 对称中心：原点
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
4
(续表)
准方程、新课标Ⅲ第11题考查离心率
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
2
1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1 ，F2 的距离之和等于常数 2a( 大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0， c＞0，且 a，c 为常数.
第5讲 椭 圆
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
1
考纲要求
考点分布
考情风向标
2011年新课标第4题考查椭圆的概念及
离心率的计算；
椭圆作为解析几何知识的
1.掌握椭圆的定 2012年新课标第4题以求椭圆的离心率 一个重点，每年都是高考
义、几何图形、 为背景，考查椭圆的几何性质；
重点考查的内容.主要考
2.理解数形结合 2015年新课标Ⅰ第5题以求线段长度为 学思想方法——函数与方
的思想.
背景，考查椭圆、抛物线的几何性质；程、数形结合、转化与化
3.了解椭圆的简 2016年新课标Ⅰ第5题考查椭圆的概念 归 等.考查解析几何的本
单应用
及离心率的计算；
2021届高考复习基础讲义 第七章 第五节椭圆(一) 文
第五节 椭 圆 (一)1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理 一、椭圆的定义平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长2a ()2a >||F 1F 2的点的轨迹叫做________，即点集M ＝{P ||PF 1|＋|PF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}是椭圆．其中两定点F 1，F 2叫做____________，定点间的距离叫做____________(注意：2a ＝||F 1F 2时，点的轨迹为线段F 1F 2,2a <||F 1F 2时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．四、椭圆的标准方程、性质 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形中心 (0,0) (0,0)焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 (±a ,0)，(0，±b )(±b,0)，(0，±a )轴长 长轴|A 1A 2|的长2a ，短轴|B 1B 2|的长2b ，|B 2O |＝b ，|OF 2|＝c ，|B 2F 2|＝a离心率 e ＝ca(0<e <1) 范围 |x |≤a ，|y |≤b|y |≤a ，|x |≤b对称性 对称轴方程为x ＝0，y ＝0；对称中心为O (0,0)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2一、椭圆 焦点 焦距三、1.x 20a 2＋y 20b 2>1 2.x 20a 2＋y 20b 2＝1 3.x 20a 2＋y 20b2<1基础自测1．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32B.34C.22D.23解析：先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.所以离心率e ＝c a ＝32.故选A.答案：A2．(2013·大纲全国卷) 已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3, 则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b 2a ，因为c ＝1，所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a,2a 2－3a －2＝0，a >0， 解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选C.答案：C3．(2013·扬州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：64．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________________.解析：方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1，a 2＝3k>1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k －1＝2，解得k ＝1.答案：11．(2013·广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1解析：依题意c ＝1，因为离心率e ＝12，所以a ＝2，从而b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选D.答案：D2．(2013·江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝c a， 故c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34， 所以a ＝2b ，再由a ＋b ＝3得a ＝2，b ＝1, ∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点， 则BP 方程为y ＝k (x －2) ⎝⎛⎭⎫k ≠0且k ≠±12.① 将①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 又直线AD 的方程为y ＝12x ＋1，②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1，由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线可解得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0，所以MN 的分斜率为m ＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值) .1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为______．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10， |PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|. 易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15. 答案：152．(2013·梅州二模)已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且交圆C 所得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E 上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围．解析：(1)因为直线4x －3y －16＝0交圆C 所得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离等于42－⎝⎛⎭⎫1652＝125，即|4×4－3×m －16|5＝125，∴m ＝4或m ＝－4(舍去)．又因为直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点， 所以右焦点坐标为F 2(4,0)．则左焦点F 1的坐标为(－4,0)，因为椭圆E 过A 点， 所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a .所以2a ＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 故椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2)AC →＝(1,3)，设Q (x ，y )． 则AQ →＝(x －3，y －1)．设x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1，x ＋3y ＝n .消x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0.由于直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点， 所以Δ＝(6n )2－4×18×(n 2－18)≥0， 所以－6≤n ≤6，故AC →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．。
1高考数学理基础知识总复习精讲课件：第章 第节 椭圆 一
又因为 ON 为△MF1F2 的中位线，
所以|ON|＝12|MF2|＝4.故选 A.
高考总复习•数学（理科）
(2)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝7， 且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
ay22＋bx22＝1(a>b>0)，依题意应有
a1322＋b3122＝1， －a122 2＝1，
a2＝14， 解得b2＝15，
所以所求椭圆的标准方程为y12＋x12＝1. 45
高考总复习•数学（理科）
(法二)设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且 m≠n)，
19m＋19n＝1， 依题意得41n＝1，
自主解答：
高考总复习•数学（理科）
解析：(1)(法一)①当所求椭圆的焦点在 x 轴上时，设它的标 准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，依题意应有
a1322＋b1322＝1， －b122 2＝1，
a2＝15， 解得b2＝14，
因为 a>b，从而方程组无解；
高考总复习•数学（理科） ②当所求椭圆的焦点在 y 轴上时，设它的标准方程为
故椭圆上存在满足条件的点 P，直线 AP 的方程为 y＝0 或 3 x－4y＋4＝0.
高考总复习•数学（理科） 利用椭圆定义求点的轨迹方程
【例3】 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2： (x－3)2＋y2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程是____________．
解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1； O2(3,0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得 |MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.
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第五节 椭 圆 (一)
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2.理解数形结合的思想.
知识梳理 一、椭圆的定义
平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长2a ()2a >||F 1F 2的点的轨迹叫做________，即点集M ＝{P ||PF 1|＋|PF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}是椭圆．其中两定点F 1，F 2叫做____________，定点间的距离叫做____________(注意：2a ＝||F 1F 2时，点的轨迹为线段F 1F 2,2a <||F 1F 2时，无轨迹)．
二、椭圆的标准方程
焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)；
焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
四、椭圆的标准方程、性质
一、椭圆 焦点 焦距
三、1.x 20a 2＋y 20b 2>1 2.x 20a 2＋y 20b 2＝1 3.x 2
0a 2＋y 20
b
2<1
基础自测
1．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.
3
2
B.3
4
C.
2
2
D.23
解析：先将x 2
＋4y 2
＝1化为标准方程x 21＋y 2
1
4＝1，
则a ＝1，b ＝1
2
，c ＝
a 2－
b 2＝
32
. 所以离心率e ＝c a ＝3
2
.故选A.
答案：A
2．(2013·大纲全国卷) 已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3, 则C 的方程为( )
A.x 22＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
2＝1 C.x 24＋y 2
3
＝1
D.x 25＋y 2
4
＝1 解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
与直线x ＝1联立得y ＝±b 2
a ，
因为c ＝1，所以2b 2＝3a ，
即2(a 2－1)＝3a,2a 2－3a －2＝0，a >0， 解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3， 故所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.故选C.
答案：C
3．(2013·扬州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2
9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，
B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．
解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16， 故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：6
4．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________________. 解析：方程3x 2
＋ky 2
＝3可化为x 2
＋y 2
3k
＝1，
a 2＝3
k >1＝b 2，
c 2＝a 2－b 2＝3
k －1＝2，解得k ＝1. 答案：1
1．(2013·广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2
，则C 的
方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
2
＝1
D.x 24＋y 2
3
＝1 解析：依题意c ＝1，因为离心率e ＝1
2，
所以a ＝2，从而b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.故选D.
答案：D
2．(2013·江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2，a ＋b ＝3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x
轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．
解析：(1)因为e ＝
32＝c a
， 故c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝1－
b 2a 2＝34
， 所以a ＝2b ，再由a ＋b ＝3得a ＝2，b ＝1, ∴椭圆C 的方程为：x 24
＋y 2
＝1.
(2)因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点， 则BP 方程为y ＝k (x －2) ⎝
⎛⎭⎫k ≠0且k ≠±
12.① 将①代入x 24＋y 2
＝1，解得P ⎝
⎛⎭
⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1
. 又直线AD 的方程为y ＝1
2
x ＋1，②
①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4k ＋22k －1，4k 2k －1， 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2
＋1， N (x,0)三点共线可解得N ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4k －22k ＋1，0， 所以MN 的分斜率为m ＝2k ＋1
4，
则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2
(定值) .
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16
＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为
(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为______．
解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10， |PF 1|＝10－|PF 2|，
|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|. 易知点M 在椭圆外，
连接MF 2并延长交椭圆于点P ， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为 10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.
答案：15
2．(2013·梅州二模)已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过
椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且交圆C 所得的弦长为32
5
，点A (3,1)在椭圆E 上．
(1)求m 的值及椭圆E 的方程；
(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC →·AQ →的取值范围． 解析：(1)因为直线4x －3y －16＝0交圆C 所得的弦长为325，
所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离等于42－⎝⎛⎭⎫1652＝12
5，
即
|4×4－3×m －16|5＝12
5
，∴m ＝4或m ＝－4(舍去)．
又因为直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点， 所以右焦点坐标为F 2(4,0)．
则左焦点F 1的坐标为(－4,0)，因为椭圆E 过A 点， 所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a .
所以2a ＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 故椭圆E 的方程为：x 218＋y 2
2＝1.
(2)AC →
＝(1, 3)，设Q (x ，y )． 则AQ →
＝(x －3，y －1)．
设x ＋3y ＝n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
18＋y 2
2＝1，
x ＋3y ＝n .
消x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0.
由于直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点， 所以Δ＝(6n )2－4×18×(n 2－18)≥0， 所以－6≤n ≤6，
故AC →·AQ →
＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0]．。