(优选)第十一讲多元线性回归模型
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
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.
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2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
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3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
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4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
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.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
经典多元线性回归模型PPT课件
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
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计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
28
第28页/共53页
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
11
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由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
《多元回归模型》课件
多元回归分析的基本概念
多元回归方程定义
通过多个自变量预测因变量
自变量与因变量
自变量，因变量和多元回归方 程之间的关系
多元回归方程中的常数项
常数项是一个偏移量，表示当 自变量全部为零时，因变量的 取值
多元回归方程的求解方法
1
最小二乘法
通过最小化预测值与实通过不断调整多元回归方程的系数来逐步接近最优值
3
其他优化算法
如牛顿法和拟牛顿法，也可以用于解决多元回归问题
多元回归模型的参数估计
1 模型评估和选择
模型合理性的评估和模型参数的选择非常重要
2 参数的显著性检验
使用F统计量或T统计量来检验参数是否具有统计显著性
3 参数的解释和实际意义
解释每个参数的实际含义和作用，以便更好地理解多元回归方程
多元回归模型的应用
多元回归模型PPT课件
多元回归模型是一种重要的数据分析工具，本课件为您深入讲解了多元回归 模型的概念、应用和参数估计等内容。
回归分析概述
什么是回归分析？
让自变量与因变量之间的关系更加清晰
回归分析的应用领域
社会科学，基础医学，经济学等
简单线性回归与多元回归的对比
多元回归可以同时分析多个自变量而不仅仅只有一个
多重共线性的问题
当多个自变量之间高度相关时，即存在多重 共线性，多元回归模型的可靠性会下降
样本量的要求
多元回归模型需要大量的数据样本来进行合 理的确定
数据样本的选取和处理
多元回归模型的结果受选取和处理数据样本 的方法的影响，数据的质量也非常重要
总结
1
多元回归分析的重要性和应用前景
多元回归模型是数据分析领域的重要工具，将会在广泛的领域得到应用
第八章：多元线性回归模型-PPT精选文档
表示： 各变量 X值固定（即给定）时 Y的平均响 应（即均值）。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变
量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的 均值E(Y)的变化; 或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的 “直接”或“净”（不含其他变量）影响。
用来估计总体回归函数的样本回归函数为：
§3.2 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘估计
*二、最大或然估计(Maximum Likelihood) *三、矩估计（Moment Method)
四、参数估计量的性质
* 五样本容量问题
六、估计实例
说 明
（注：参数有两类：结构参数和分布参数，分布参数是 指随机误差项的均值和方差） 估计方法： 3大类方法：OLS、ML或者MM – – 在经典模型中多应用OLS 在非经典模型中多应用ML或者MM
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X X i 0 1 1 i 2 2 i ki ki
ˆ ˆ ˆ ˆ X X X e 其随机表示式: Y i 0 1 1 i 2 2 i ki ki i
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是 总体回归模型中随机扰动项i的近似替代。
n
Q
ˆ ˆ ˆ ˆ ( Y ( X X X )) i 0 1 1 i 2 2 i k k i
i 1
n
2
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) SY S( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2 2i k ki ki i ki
多元线性回归模型
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4
例2： ：
Ct =β+βDt +βLt + ut 1 2 3
其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入 Lt=居民拥有的流动资产水平 β2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动 一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。 收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。 （间接影响：收入影响流动资产拥有量 影响消费额） 但在模型中这种间接影响应归因于流动资产，而不是收入 ，因而，β2只包括收入的直接影响。 在下面的模型中：
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10 亿美元（1个billion），食品消费支出增加1.12亿 元（0.112个 billion）。 0.112 billion 收入不变的情况下，价格指数每上升一个点， 食品消费支出减少7.39亿元（0.739个billion）
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12
要使残差平方和
ˆ ˆ ˆK S = ∑et = ∑ Yt − β0 −βX1t −... −β X Kt 1
2
(
)
2
为最小，则应有：
∂S = 0, ˆ ∂β
0
∂S = 0, ˆ ∂β
1
...,
∂S =0 ˆ ∂β
K
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
ˆ (β ′ X ′Y)′ = Y ′ X β
故
∧
′ ′ S = Y′Y − 2βX ′Y +βX ′X β
∧
∧
∧
令
∂(S) ∂β
∧
=0
用矩阵微分法，我们可得到
X ′X β X ′Y =
多元线性回归模型
多元线性回归模型在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。
而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。
例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。
这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。
多元回归分析预测法是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
多元回归分析可以达到以下目的。
(1)了解因变量和自变量之间的关系是否存在，以及这种关系的强度。
也就是以自变量所解释的因变量的变异部分是否显著，且因变量变异中有多大部分可以由自变量来解释。
(2)估计回归方程，求在自变量已知的情况下因变量的理论值或预测值，以达到预测目的。
(3)评价特定自变量对因变量的贡献，也就是在控制其他自变量不变的情况下，该处变量的变化所导致的因变量变化情况。
(4)比较各处变量在拟合的回归方程中相对作用大小，寻找最重要的和比较重要的自变量。
假定被解释变量Y与多个解释变量x1,x2,…,x k之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型，即：式中，Y为被解释变量；x j(j=1,2,…,k)为k个解释变量，β(j j=1,2,…,k)为k个未知参数，β0是常数项，β1,β2,…,βk是回归系数，β1是x2,x3,…,x k固定时，x1每增加一个单位对Y的效应，即x1对Y的偏回归系数，同理，β2是x2对Y的偏回归系数；μ为随机误差项。
被解释变量Y的期望值与解释变量x1,x2,…,x k的线性方程为：式(4.19)称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
对于n组观测值，其方程组形式为：多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发生作用，若要考察其中一个解释变量对被解释变量的影响就必须假设其他解释变量保持不变来进行分析。
多元线性回归模型资料讲解
多元线性回归模型资料讲解多元线性回归模型第三章多元线性回归模型基本要求：1、理解多元线性回归模型的定义2、理解多元线性回归模型的假定3、掌握参数估计的计算4、理解参数统计性质第一节多元线性回归模型及假定一、多元线性回归模型许多经济现象往往要受多个因素的影响，研究被解释变量受多个解释变量的影响，就要利用多元回归模型。
多元线性回归模型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增加到两个以上，被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间存在线性关系。
假定被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。
即k k X X X Y 22110(3-1)其中Y 为被解释变量，(1,2,,)j X j k L 为k 个解释变量，(0,1,2,,)j j k L 为1k 个未知参数，为随机误差项。
被解释变量Y 的期望值与解释变量k X X X ,,,21 的线性方程为：01122()k k E Y X X X L (3-2)称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
对于n 组观测值),,2,1(,,,,21n i X X X Y ki i i i ，其方程组形式为：01122,(1,2,,)i i i k ki i Y X X X i n L L(3-3) 即nkn k n n n k k k k X X X Y X X X Y X X X Y 2211022222121021121211101 其矩阵形式为n Y Y Y 21=kn n nk k X X X X X X X X X212221212111111k 210+n 21 即Y X βμ(3-4) 其中1n Y n Y Y Y 21为被解释变量的观测值向量； )1(k n Xkn n nk k X X X X X X X X X212221212111111为解释变量的观测值矩阵；(1)1k βk 210为总体回归参数向量；1nμn 21为随机误差项向量。
计量经济学课件：第三章 多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型第一节 多元线性回归模型及基本假定问题：只有一个解释变量的线性回归模型能否满足分析经济问题的需要？简单线性回归模型的主要缺陷是：把被解释变量Y 看成是解释变量X 的函数是前提是，在其它条件不变的情况下，并且，所有其它影响Y 的因素都应与X 不相关，但这在实际情况中很难满足。
怎样在一元线性回归的基础上引入多元变量的回归？ 看教科书第72—73页关于汽车销售量的影响因素的讨论。
一、多元线性回归模型的意义1、建立多元线性回归模型的意义，即一元线性回归模型的缺陷，多个主要影响因素的缺失对模型的不利影响。
在一元线性回归模型中，如果总体回归函数的设定是正确的，那么，根据样本数据得到的样本回归模型就应该有较好的拟合效果，这时，可决系数就应该较大。
相反，如果在模型设定时忽略了影响被解释变量的某些重要因素，拟合效果可能就会较差，此时可决系数会偏低，并且由于忽略了一些重要变量而对误差项的影响会加大，这时误差项会表现出一些违背假定的情况。
2、从一个解释变量到多个解释变量的演变。
一个生产函数的例子，一个商品需求函数的例子，（教材第74页）。
二、多元线性回归模型及其矩阵表示1、一般线性回归模型的数学表达式。
设 12233i ii k k ii Y XXXu ββββ=+++++i=1，2，3，…，n在模型表达式里，1β仍是截距项，它反映的是当所有解释变量取值为零时，被解释变量Y 的取值；j β（j=2，3，…，k ）为斜率系数，它的经济含义：在其它变量不变的情况下，第j 个解释变量每变动一个单位，Y 平均增加（或减少）j β个单位，这就是所谓的运用边际分析法对多元变量意义下回归参数的解释。
因此，称j β为偏回归系数，它反映了第j 个解释变量对Y 的边际影响程度。
4、2、总体回归函数，即12233(|)i i i k ki E Y X X X X ββββ=++++3、样本回归函数，即12233ˆˆˆˆˆi i k k iY X X Xββββ=++++ 4、将n 个样本观测值代入上述表达式，可得到从形式上看，像似方程组的形式。
多元线性回归模型案例
多元线性回归模型案例多元线性回归模型是统计学中常用的一种回归分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响。
在实际应用中，多元线性回归模型可以帮助我们理解和预测各种复杂的现象，比如销售额和广告投入、学生成绩和学习时间等等。
接下来，我们将通过一个实际的案例来详细介绍多元线性回归模型的应用。
案例背景：假设我们是一家电子产品公司的市场营销团队，我们想要了解广告投入、产品定价和促销活动对销售额的影响。
为了实现这个目标，我们收集了一段时间内的销售数据，并且记录了每个月的广告投入、产品定价和促销活动的情况。
现在，我们希望利用这些数据来建立一个多元线性回归模型，从而分析这些因素对销售额的影响。
数据收集：首先，我们需要收集相关的数据。
在这个案例中，我们收集了一段时间内的销售额、广告投入、产品定价和促销活动的数据。
这些数据可以帮助我们建立多元线性回归模型，并且进行相关的分析。
建立模型：接下来，我们将利用收集到的数据来建立多元线性回归模型。
在多元线性回归模型中，我们将销售额作为因变量，而广告投入、产品定价和促销活动作为自变量。
通过建立这个模型，我们可以分析这些因素对销售额的影响，并且进行预测。
模型分析：一旦建立了多元线性回归模型，我们就可以进行相关的分析。
通过分析模型的系数、拟合优度等指标，我们可以了解每个自变量对销售额的影响程度，以及整个模型的拟合情况。
这些分析结果可以帮助我们更好地理解销售额的变化规律，以及各个因素之间的关系。
模型预测：除了分析模型的影响，多元线性回归模型还可以用来进行预测。
通过输入不同的自变量数值，我们可以预测对应的销售额。
这样的预测结果可以帮助我们制定更加合理的市场营销策略，从而提高销售业绩。
模型评估：最后，我们需要对建立的多元线性回归模型进行评估。
通过对模型的残差、预测误差等进行分析，我们可以了解模型的准确性和可靠性。
如果模型的预测效果不理想，我们还可以通过改进模型结构、增加自变量等方式来提高模型的预测能力。
第11章 多元线性回归
E( y ) = b0+ b1 x1 + b2 x2 +…+ bk xk
b1，b2，，bk称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一
个单位时，y 的平均变动值
11 - 10
统计学
STATISTICS (第二版)
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型
(multiple regression model)
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量的回归
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
3. 涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为
bb b b y 0 1 x 1 2 x 2 k x k
11 - 30
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性及其产生的问题
11 - 31
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性
(multicollinearity)
1. 回归模型中两个或两个以上的自变量彼此 相关
2. 多重共线性带来的问题有
可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分 析引入歧途
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性
(例题分析)
1. t2(25-2)=2.069，所有统计量t >t2(25-2)=2.069，所 以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显著 的相关关系
2. 由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著
(Significance-F＝1.03539E-06<=0.05)。而回归系数
第11章多元线性回归-PPT课件
si bi bi ＝ bi SS sy 总
lij
四、复相关系数
在多元线性回归分析中，直接建立Y 与 全部自变量之间的线性回归模型通常是 不可取的，因为不能说这些自变量对建 立回归模型都是必要的。因此，在建立 回归方程的过程中有必要考虑对变量进 行筛选，从许多自变量中挑选出对Y 有 影响的自变量，有利于提高回归方程的 质量。
value)，表示当给定各自变量的值时，因 变量Y 的估计值； b0 为截距，在回归方程中又称为常数项， 表示各自变量均为0 时Y 的估计值； bi 称为偏回归系数(partial regression coefficient)，简称为回归系数，表示其它 自变量不变时，Xi 每改变一个单位，Y 的 平均变化量。
原始资料作多元线性回归分析， 理论上应满足的条件有：
1)线性(linear)，因变量与自变量的关系是 线性的； 2)独立性(independence)，随机误差项在 不同样本点之间是独立的，无自相关； 3)正态性(normality)，随机误差项服从均 数为零、方差为σ2的正态分布；
4) 方差齐性(equal variance ，or homogeneity)，随机误差项在不同 样本点的方差相等。
二、多元回归方程统计学意义的假设检验
假设检验包括多元回归方程的假设检验与偏回归系数 的假设检验。 多元回归方程的假设检验常用方差分析：
M S回归 F MS 误差
变异来源 Regression Residual Total ANOVA（方差分析表） Sum of squares df Mean Square F P 33.65 2 16.82 11.31 0.0008 25.28 17 1.49 58.93 19
例11.1 同样身高的20名健康男子的收缩压、年 龄和体重的测量结果见表。试建立收缩压与年 龄和体重之间的多元线性回归方程。
数学建模多元回归分析
单击添加副标题
多元线性回归模型
PART ONE
多元线性回归模型 （概念要点）
一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 的方程称为多元线性回归模型 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
1
2
3
4
5
本章小结
结 束
H0：12p=0 线性关系不显著 H1：1，2，，p至少有一个不等于0
01
计算检验统计量F
02
确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F
03
作出决策：若FF ，拒绝H0；若F<F，接受H0
04
回归系数的显著性检验 （要点）
如果F检验已经表明了回归模型总体上是显著的，那么回归系数的检验就是用来确定每一个单个的自变量 xi 对因变量 y 的影响是否显著
01
02
参数的最小二乘估计
PART TWO
参数的最小二乘法 （要点） 根据最小二乘法的要求，可得求解各回归参数 的标准方程如下 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即
回归方程的显著性检验
PART THREE
多重样本决定系数 （多重判定系数 R2 ） 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差 等于多重相关系数的平方，即R2=(R)2
对每一个自变量都要单独进行检验
应用 t 检验
在多元线性回归中，回归方程的显著性检验不再等价于回归系数的显著性检验
回归系数的显著性检验 （步骤）
(优选)多元回归模型
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，
即X满秩。 假设2，
E (μ)
E
1
E(1
)
0
n E( n )
E (μμ )
E
1
1
n
E
12
1 n
n
n
1
2 n
var(1 )
cov(1, n ) 2 0
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
其中
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi ) 2
i 1
i 1
n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i 1
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
样本容量问题
⒈ 最小样本容量
所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。
模型中解释变量的数目为（k+1）
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki i
也被称为总体回归函数的随机表达形式。它 的 非随机表达式为:
E(Yi | X1i , X 2i , X ki ) 0 1 X1i 2 X 2i k X ki
方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
第十一讲 回归分析和卡方检验
二、多样本的2检验
适用于检验不同样本的分配比率之间的差异。
小练习
• 1、练习数据1，以前测成绩为自变量，后测 成绩为因变量，进行一元回归分析，并列出 回归方程。 • 2、练习数据1，以前测成绩、动机总分和策 略总分为自变量，后测成绩为因变量进行逐 步回归，报告每个自变量的标准化回归系数。 • 3、练习数据2：某高校希望教师当中教授为 20%，副教授为50%，讲师为20%，助教为 10%。抽查了一部分教师的职称情况，请检 验其与校方的期望是否一致。
一、单样本的2检验
适用于检验单样本数据与期望分布之间 是否存在差异。
注意：Expected Values
• All categories equal：每个观测值 的比率相等，如1：1或者1：1：1等。 • Values：自己定义比率，但需要注 意的是，数值的排列次序和数据文 件中各类别的取值排列次序应相 同，二者一一对应。
a. Pre dictors : (Const ant), 初 始工 资 b. Dependent Variable: 当 前工 资
七、几个参数的解释
• R：相关系数 • R square（R2）：决定系数（解释量） • Adjust R square（R2）：校正后的决 定系数 • R square change（ ∆ R2）：每个自变 量的决定系数 • B：回归系数 • Constant：常数项 • Beta：标准化的回归系数
• 缺点：检验效能低
卡方（2）检验
以2分布为基础的一种常用的 假设检验方法，主要用于分类变量， 根据样本数据推断总体的分布与期 望分布是否有显著差异，或推断两 个分类变量是否相互关联或相互独 立。
正常情况下，地球 上的男性和女性之间的 比例（性别比）应该为1： 1。2009年在某市的几个 医院分时段随机抽取了 529名新生儿，发现其中 男孩288人，女孩241人。 请问，这个地区的性别 新生儿性别比是否失调？ 据说现在的性别比是 1.2:1，那么该地区的性 别比是否符合这个比例？
多元线性回归模型
第三章多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数R2:又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程2 2-2 2 门度的统计量‘克服了R随解释变量的增加而增大的缺陷，与R的矢系为R2=1 -（1 -R2）-n — k —1 3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和矢于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为XX A XYo5、方程显著1•生检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性矢系在总体上是否显著成立作岀判断。
、单项选择题1、C ： F统计量的意义2、A： F统计量的定义22 Z ei3、B ：随机误差项方差的估计值:? ・n _k_14、A :书上P92和P93公式5、C： A参看导论部分内容；B在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99,比较F统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ： A截距项可以不管它；B不考虑betaO ；C相矢矢系与因果矢系的辨析9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、 D : AB不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD :概念性3、BCD :总体显著，则至少一个参数不为04、BC :参考可决系数和F统计量的公式5、AD :考虑极端情况，ESS=O,可发现CE错四、判断题、1 ' " 2、” 3 > X 4 > X：调整的可决系数5、”五、简答题1、答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相矢尖系”的假定：三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
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27.3 20.1 21.7 22.2 27.4 18.8 22.6 21.5 25.0 26.2 23.5 20.3 27.1
28.6 28.3 22.0 25.3 27.4];
x3=[0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1];
（1）残差的正态检验： 由jbtest检验，h=0表明残差服从正态分布 ， h=1表明残差不服从正态分布 （2）残差的异方差检验
（3）残差的自相关性检验 （后续课程介绍）
例1:根据下面的数据建立血压与年龄、体重 指数、吸烟习惯之间的回归模型
序 血 年 体重 吸烟 序 血 年 体重 吸烟 号 压 龄 指数 习惯 号 压 龄 指数 习惯 1 144 39 24.2 0 21 136 36 25.0 0 2 215 47 31.1 1 22 142 50 26.2 1 3 138 45 22.6 0 23 120 39 23.5 0 10 154 56 19.3 0 30 175 69 27.4 1
114 116 124 136 142 120 120 160
158 144 130 125 175];
x1=[39 47 45 47 65 46 67 42 67
56 64 56 59 34 42 48 45 18
20 19 36 50 39 21 44 53 63
29
25
69];
x2=[24.2 31.1 22.6 24.0 25.9 25.1 29.5 19.7 27.2 19.3 28.0 25.8
回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间
0
58.5101
[29.9064 87.1138]
1
0.4303
[0.1273 0.73328509 3.8389]
3
10.3065
[3.3878 17.2253]
这时R2置= 0信.84区62间F不=包44含.00零87点p，<0F.0统00计1 量s2 =增53大.66，04可决系 数从0.6855增大到0.8462 ， S2从169.7减少到53.6
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（优选）第十一讲多元线性回 归模型
Matlab实验（十一）
回归分析就是根据实验数据或历史数据，研究变量 之间的相关关系，建立起一个数学模型，进而将此 模型用于预测或控制.
一般：设Y是一个为因变量（内生变量、被解释
变量），X1, X2 , , Xp 为自变量（解释变量）如果
Y 0 1X1 2X2 pXp ， 其 中
是随机
误差，称上述表达式为多元线性回归模型.
利用多元回归模型解决实际问题有以下几个步骤： （1）作出各解释变量与因变量的散点图，根据散 点图的形状决定是否可以进行线性回归 ； （2）建立模型求解回归系数，并对其进行检验， 如果原始数据含有异常点，则应删除异常点或者引 入虚拟变量加以改进模型； （3）对模型的残差进行分析，如果存在异方差， 则应对模型进行调整； （4）对模型的残差进行自相关性的DW检验，如果 存在自相关，则通过广义差分变换消除自相关性；
plot(x1,y,'*') figure(2);
可见血压与年龄、血压与体重指数存在一定的线
plot(x2,y,'or') 性相关性，所以建立多元线性回归模型：
y与x1的散点图
y与x2的散点图
其次建立模型（继续输入）： Y=y'; X=[ones(30,1), x1',x2',x3']; %1与自变量组成的矩阵 [b,bint,r,rint,s]=regress(y',X); %多元线性回归
（5）对模型的结果给出合理的解释.
多元线性回归模型的Matlab实现
多元线性回归的命令 ： [b,bint,r,rint,s]=regress(y,X,alpha)
其中:输入 y：因变量(列向量), X：1与自变量组成的
矩阵，Alpha：显著性水平（缺省时设定为0.05）
输出:b=（ ˆ0, ˆ1, ），bint: b的置信区间， r:残差(列向量)，rint: r的置信区间
（完整数据详细见后面的程序中）
说明：体重指数 = 体重（kg）/身高（m）的平方 吸烟习惯: 0表示不吸烟，1表示吸烟
首先做出血压与年龄，血压与体重指数之间的散点图 散点图命令为：
y=[144 215 138 145 162 142 170 124 158
154 162 150 140 110 128 130 135
b,bint,s rcoplot(r,rint) %作出残差及其置信区间图形
输出结果：
回归系数 回归系数估计值（ b ） 回归系数置信区间（ bint ）
0
45.3636
[3.5537 87.1736]
1
0.3604
[-0.0758 0.7965 ]
2
3.0906
[1.0530 5.1281]
3
11.8246
[-0.1482 23.7973]
R2= 0.6855 F= 18.8906 p<0.0001 s2 =169.7917
第三模型的改进。1, 3 的置信区间包含零点，残差 与残差置信区间的图形（如下图）也有异常点，
利用索引向量删除第二与第十点。再次进行回归
命令如下： a=[1,3:9,11:30]; Y1=Y(a,:); X1=X(a,:); [b1,bint1,r1,rint1,s1]=regress(Y1,X1); b1,bint1,s1
s: 4个统计量：可决系数R2，F值, F(1,n-2)分布大于 F值的概率p，残差的误差平方和S2
R2，越接近1越好；p<时回归模型有效，S2越小越好
然后作出残差及其置信区间图形，命令为：
rcoplot(r,rint)
根据图形，如果有异常点（该点为红色），剔除异 常点后再次进行回归。
最后对模型进行检验：
最后得到回归模型为：
yˆ 58.5101 0.4303 x1 2.3449 x2 10.3065 x3
模型的检验（残差的正态检验 ） 输入命令：h=jbtest(r1) 结果：h=0表明残差服从正态分布
说明血压与吸烟习惯的相关性最大，与体重指数 的相关性次之，与年龄的相关性最小。