福建省华桥大学附中2014年高考数学一轮复习单元测试 计数原理 Word版含答案]

华桥大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为4，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18
【答案】B
2．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A ．34种 B ．48种
C ．96种
D ．144种
【答案】C
3．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A ．12种 B.18种 C.24种 D.36种 【答案】A
4．某种实验中，先后要实施个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( ) A ．24种 B ．48种
C ．96种
D ．144种
【答案】C
5．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种
C ．120种
D ．240种
【答案】B
6．若(ax 2
－1x
)9的展开式中常数项为84，其中a 为常数，则其展开式中各项系数之和为( )
A ． 1
B ． 512
C ． -512
D ． 0
【答案】D
7．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( ) A ．24种 B ．48种
C ．96种
D ．120种
【答案】B
8．直线x m =，x y =将圆面2
24x
y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，每块只
涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m 的取值范围是( )
A ． (
B ．(2,2)-
C ．(2,(2,2)-
D ．(,2)(2,)-∞-+∞
【答案】A
9．4名同学争夺三项冠军，冠军获得者的可能种数有( )
A ．43
B ．3
4
C ．3
4A
D ．1
3A
【答案】A
10．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法
共( )种。

A ． 27 B ． 48
C ． 21
D ． 24
【答案】B
11．二项式30
的展开式的常数项为第( )项 A ． 17 B ． 18 C ． 19 D ． 20
【答案】B 12．
()612-x 展开式中2x 的系数为( )
A ．15
B ．60
C ．120
D ．240
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三人争夺四个体育比赛项目，则冠军的结果有____________种。

【答案】81
14．甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不
同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有____________种．(用数字作答)
【答案】72
15．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 。

（用数字作答） 【答案】108
16．七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有 种.(用数字作答) 【答案】3120
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在二项式12()m n ax bx + (a>0，b>0，m ，n ≠0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项。

(1）求它是第几项； (2）求
b
a
的范围。

【答案】（1）设T r+1=()
()()1212121212r
r
m r nr
r
m n r r r C ax bx C a b x --+-⋅=为常数项，则有m(12－r)+nr=0
即m(12－r)＋nr=0 所以=4，即它是第5项 (2）因为 第5项是系数最大的项
484393
12
1248457512128493
1211109121110432328594858954
C a b C a b C a b C a b
a b a b a b a b a b a ⎧≥∴⎨≥⎩⨯⨯⨯⨯⨯⎧≥⎪⨯⨯⨯∴⎨
⎪≥
⎩⎧≤⎪∴⎨
⎪≥⎩∴≤≤
18．已知()(1)(1)()m n f x x x m n *=+++∈N ，的展开式中x 的系数为19，求()f x 的展开式中2
x 的系数的最小值．
【答案】122
122
()11m m n n
m m m n n n f x C x C x C x C x C x C x =+++
+++++
+
1122
22()()m n m n C C x C C x =+++++
．
由题意19m n +=，m n *∈N ，．
2
x ∴项的系数为2
2
2(1)(1)1919172224m n
m m n n C C m --⨯⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝
⎭．
∵m n *∈N ，，根据二次函数知识，当9m =或10时，上式有最小值，也就是当9m =，10
n =或10m =，9n =时，2x 项的系数取得最小值，最小值为81． 19．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ 【答案】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有35A 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有14A 种）,十位和百位从余下的数字中选
（有24A 种），于是有1
24
4A A ·个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1
24
4A A ·个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：312125
4444156A A A A A ++=··个． (2）符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有4
5A 个；个
位数上的数字是5的五位数有1344A A ·个．故满足条件的五位数的个数共有413
5
44216A A A +=·个．
(3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共1
345A A ·个；
第二类：形如14□□，15□□，共有1224A A ·个；
第三类：形如134□，135□，共有1123
A A ·个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：
131211452423270A A A A A A ++=···个
20．已知二项式n x
x )2(2-
（n ∈N *
）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是56：3 . (1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项 【答案】（1）10=n (2）180 21．已知x x p =)(，
n n x x f )1()(+=．
(1）若567()(1)()(2)()(3)()g x p f x p f x p f x =++，求)(x g 的展开式中5
x 的系数； (2）证明：1
1212
1)1(32++-++++++=++++m n m m
n m m
m m
m m
m C m n m nC C C C ,(*∈N n m ,) ．
【答案】（1）由已知得)
(x g 765)1(3)1(2)1(x x x +++++=
)(x g 的展开式中5x 的系数为5
7
565532C C C ++=76 (2）由（1）知m
n m m m m m m
m
nC C C C 12132-+++++++ 应当为函数
121)1()1(3)1(2)1()(-+++++++++++=n m m m m x n x x x x h 展开式中m x 的系数
又n m m m m x n x x x x h x ++++++++++++=+)1()1(3)1(2)
1()()1(321
两式相减得
121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++
++-+
(1)[1(1)]
(1)1(1)
m n m n x x n x x ++-+=-+-+
所以n m n m m x nx x x x h x
+++++-+=)1()1()1()(2
所以)(x h 展开式中m
x 的系数等于)(2
x h x 展开式中2m x +的系数
因为此系数为1
1
2
2
1)1(+++++++++=
+-m n m m n m m n m C m n m nC C
所以11212
1)1(32++-++++++=
++++m n m m
n m m m m m m m C m n m nC C C C ,(*∈N n m ,) 22．已知圆的方程)0()()(2
22>=-+-r r b y a x ，从0， 3，4，5，6，7，8，9，10这九个
数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。

问： (1）可以作多少个不同的圆？ (2）经过原点的圆有多少个？
(3）圆心在直线上010=-+y x 的圆有多少个？
【答案】（1）可分两步完成：第一步，先选r 有1
8A 中选法，第二步再选a,b 有2
8A 中选法 所以由分步计数原理可得有1
8A .2
8A =448个不同的圆
(2）圆经过原点满足 1086543,,,222
两组，，与，，共有满足题意的r b a r b a ∴=+
所以符合题意的圆有422
2=A 8分 (3） 圆心在直线010=-+y x 上，所以圆心),(b a 有三组：0，10；3，7；4，6。

所以满足题意的圆共有382.1
6221
72
2=+A A A A 个4。