常微分方程第六章考试卷
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
常微分方程第六章考试卷3
常微分第六章测验试卷（3）班级__________姓名__________学号________得分__________一、 填空题（30分）1． 如果向量函数g(t;y)在域上--------------------，则方程组')',';'();;(y y t t q y t g dtdy ==的解q 存在且唯一。
2． 如果方程组的零解x=0稳定,且存在这样的σ≥0，使得'x <σ时，满足初使条件x(t ’)=x ’的解x(t)均有--------时，则称x=0为渐进稳定。
3． -----------------------------------------称为相平面。
4． -----------------------------------------称为驻定方程组。
5． 满足-----------------------------------的点（x*,y*）,称为方程组的奇点。
6． 当方程组的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部-------时，零解是不稳定的，对应的齐点称为---------------------。
7． ---------------------------------------------------------积分曲线。
8． ---------------------------------------------------------称为轨线。
二、 求解并判断解的类型及稳定性（40分）1．;2;2y x dtdy y x dt dx +-=-=2．4,2-+=+-=y x dtdy y x dt dx三、 计算题（30分）判断三阶非线形微分方程组解的稳定性⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=)(222232z y e z y x dt dz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x常微分第六章测验试卷（3）参考答案 一．1连续且关于y 满足利普希茨条件 2 0)(lim =∞>-t x t 3把t 当作参数，仅考虑x,y 为坐标的空间。
(整理)《常微分方程》试题.
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
高数答案（全集）第六章参考答案
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
《常微分方程》试题A
） ）） ）） ））上）） 值分别为n λλλ,,,21 ，那么矩阵R t v e v e v e t n t t t n ∈=Φ],,,,[)(2121λλλ 是常系数线性微分方程组Ax x ='的一个基解矩阵. （ ）二．填空题（每小题2分，共10分）1.如果方程),(y x f dxdy=右端的函数),(y x f 在有界区域中连续，且在G 内关于y 满足局部李普希兹条件，那么方程),(y x f dxdy=通过G 内任何一点),(00y x 的解)(x y ϕ=可以延拓，直到点))(,(x x ϕ任意接近区域G 的 .2.微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当微分方程的充要条件是 （用(,),(,)M x y N x y 的偏导数形式表示）.3.(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只与x 有关的积分因子的充要条件是________________仅为x 的函数.4.若向量函数)(,),(),(21t x t x t x n 在区间b t a ≤≤上线性相关，则在b t a ≤≤上它们的朗斯基行列式)(t W 0. 5. 与初值问题00)(),,(y x y y x f dxdy==等价的积分方程为 . 三．选择题（每小题3分，共15分）1.方程xy dx2=满足初始条件：1,000==y x 的特解是（ ）. (A) 3x e y = (B) xe y = (C) 2x e y = (D) 221x ey =2. 微分方程0)2()2(=-+-dy x y dx y x 的通解为（ ）. (A)c y x =+22 (B)c y x =-22c y xy x =+-22 ）.0=+'y (C) 1=-'y y x (D)12='y x ( ).0)=dy y (B)0)4()3(2=---dy x y dx x y 0)4632=+dy y y x (D)0)(=+-xdy dx xy y 22cos xy x +=的阶数是（ ）. 2 （C ）3 （D ） 4 （每小题6分，共30分）.03.解方程432dy x y dx xy +=.4.解方程2223.t d x dxx e dt dt---=5.解方程2()(2)0x y dx x y dy ++-=.五．综合题（共25分）1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦,()0t e f t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，()0t t t e te t e ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦是Ax x ='的基)(t 满足1(0)1ϕ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的解()t ϕ.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4112 ，微分方程组.Ax x ='（1） 求Ax x ='满足η=的解);(t ϕ（2） 求基解矩阵.exp At3、（10分）设(),()A t f t 分别为在区间a t b ≤≤上连续的n n ⨯矩阵和n 维列向量.证明：非齐次线性微分方程组()()x A t x f t '=+,()a t b ≤≤存在且最多存在1n +个线性无关解.。
常微分方程第二版答案第6章6-
习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组 y t A dtdy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
（1）方程组的分量形式为：211y y dt dy += ，22y dtdy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为()0tt t e te t e ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭又 2det ()0t t e Φ=≠ 。
因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t t e te c e c y y 21210（2）方程的分量形式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-==1221y dtdy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。
这样就求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ⎛⎫Φ= ⎪-⎝⎭又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。
故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ① ②（3）程组的分量形式为：⎪⎩⎪⎨⎧='='='132231y y y y y y 解 ①+③得3131)(y y y y dtd +=+ 解 ①-③得 1313()d y y y y dt -=- 解之得 131132 t t y y ke y y k e --+=-=由④、⑤可得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=----tt t t t t t t e c e c e k e k y e c e c e k e k y 312.133******** 又由②得 t e c y 22=由此可求得方程组的一个解矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t t t t te e e e e t 0000)( 显然，[]0)(det ≠-=Φt ze t ，因此)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t e t e e c e c e e c y y y 00003213213．试证向量函数组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002x 在任意区间 b x a <<上线性相关，则存在不全为零的三个常数 321,,c c c 使得,000000012321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x c x c c 即 b x a x c x c c <<=++02321①而①式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与①式在b x a <<上恒等于零矛盾，从而得证。
常微分方程答案
《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。
（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
常微分方程第六章考试卷2
第六章测验试卷（2）班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分）1、 若向量函数()y t g ,在域R 上_______________,则方程组()()00,00;,,y y t t y t g dtdy==ϕ的解ϕ存在且唯一。
2、 如果方程组的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ<x 时，满足初始条件()00x t x =的解()t x 均有_________时，则称0=x 为渐进稳定3、 _______________________________称为驻定方程组4、 _______________________________称为相平面5、 满足_______________________的点(),,**y x 称为方程组的奇点6、 当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当_________时，零解是渐进稳定的，对应的奇点称为_________。
当_________时，零解是不稳定的，对应的奇点称为______________.7、 当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部___________时，零解是稳定的，对应的奇点称为_________。
8、 若特征方程()0d e t =-E A λ的根均具有负实部，则方程组Ax dtdx=的零解是___________。
9、 在相平面中方程组的解所描述的曲线称为________。
10、 如果对微分方程组()x f dtdx=可以找到一个正定函数()x V ，其通过()x f dt dx =的全导数dtdV为常负函数或恒为零，则方程组()x f dtdx=的零解是_________.二、 求解题：求方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性（40分）1、5,1--++=y x dtdyy x dt dx 2、52,1972+-=+-=y x dtdy y x dt dx 3、y x dtdy y x dt dx 32,+=-=4、x dtdyy x dt dx 3,4-=+-=三、 LRC 振荡电流中电流变化规律满足方程（10分）0122=++i C dt di R dti d L其中电感0>L ，电阻0≥R ，电容0>C ，讨论平衡状态的稳定性。
常微分方程期末考试试卷(6)
常微分方程期末考试试卷(6)学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求dxdy =f(x,y)满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)(),..(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。
8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（共6小题，每题10分）。
1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dtdy by ax dtdx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且ac ≠0。
第6章常微分方程单元自测题
(C) y axe2x b；
(D) y ae2x b.
分析：方程对应的齐次方程为y 5 y 6 y 0 特 征 方 程 为r 2 5r 6 0, 解得特征根r1 2, r2 3. 设f ( x) xe 2x , m 1, 2是单特征根，故设非齐 次方程的特解为：y (ax b)xe2x .
y。
dx
x
解 令u y ,即y x u, 则 dy u x du ,代入方 程得
分析：分离变量，得 1 dy 2xdx 1 y2
两边积分
1
1 y2 dy 2xdx
得 通 解 arcsin y x 2 C .
第六章 常微分方程自测题
2、 微 分 方程y'sin x y ln y满 足 初始 条 件y
的特解为
ln
y
1
cos
x .
x
2
e
sin x
分析：分 离 变 量 ， 得 1 dy 1 dx y ln y sin x
两 边 积 分
y
1 ln
dy y
1 sin
x
dx,
即
1d ln y
(ln
y
)Hale Waihona Puke cscxdx得 通 解ln ln
y
ln csc x
cot
x
C1 ,整 理 得ln
y
C
1 cos x sin x
,
将y
x
e代 入 上 式 ， 解 得C 1，故特解为ln y 1 cos x . sin x
2
第六章 常微分方程自测题
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
丁同仁常微分方程教程第六章习题解答
习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。
这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。
而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。
因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。
又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。
这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。
这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。
3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。
（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。
由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。
常微分方程第六、八章习题答案
第六章 线性微分方程组、习题6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dt dy)(=的通解，其中分别为：)(t A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧=⇒==⇒=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t C t C C C t t C t t y y y t t ty y y t y t C t C y y y tC y t C y y y y y dt d t t t y t dy t y dt dy t t t t 212121212121212211211121110000.00,0,0.,00;0,00)(A .12211或通解为则方程组的基解矩阵为或取故通解为解：由）（ .0.0)(,,0.,1011,1011)(A .2212112221212121C e te e y e te e t ey te y y e y eC y y y y y y y y dt d t t t t t tt t t t t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=⇒=+=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=或通解为则方程组的基解矩阵为取解：由）（φCt t t t y t t t t t ty t y t y t y C y y dy y dy y y y dy dy y y y y y y dt d t dt dy dt dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧====+⇒=+⇒-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=sin cos cos sin .sin cos cos sin )(,sin cos ,cos sin ,1.C 0.,0110;0110)(A .3212122212211122112212121故通解为则方程组的奇解矩阵为并令取解：由）（φ.0000.021000,,1,0,0,,0C ()()(..)()(,001010100,001010100)(A .4321212121313123212223213311133111223321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==±=⇒=⇒=+=⇒=⇒=⇒⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---==⇒=---=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------t t t t t t t t t t t t t t ttt t t tttt t t t t t t ttt t t dt dy tdt dy dtdy e e e C e e C e e C y e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e y C y C e y e y e y e y y y y y C y y dy y dy y y y dy dy b a b y eC y y a y y dt dy t 故通解为线性无关即为方程祖的三个解。
常微分方程试题库试卷库
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t L 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠L５、11110n n nn n n n d y d dy x a a a y dx dx dx ---++++=L６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。
第六章常微分方程
第六章常微分⽅程第六章常微分⽅程1．⼀阶⽅程1）可分离变量)()(y g x f y =′2）齐次 )(x y f y =′，令 u xy =。
3）线性 )()(x Q y x P y =+′通解：+∫∫=∫C dx e x Q e y dx x p dx x p )()()(4）伯努利 )1()()(≠=+′ααy x Q y x P y ，令.1u y =?α5）全微分 .0),(),(=+dy y x Q dx y x Pa) 判定:xQ y P ??=??b) 解法:1) 偏积分 2) 凑微分3) 线积分∫∫+=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 2．可降阶⽅程:（数三不要求）1) )(x f y =′′2) ),(y x f y ′=′′令dxdP y P y =′′=′, 3) ),(y y f y ′=′′令dy dP Py P y =′′=′, 3．⾼阶线性⽅程:1) 变系数: )()()(x f y x q y x p y =+′+′′⾮齐次0)()(=+′+′′y x q y x p y 齐次解的结构: a) 齐次通解2211y c y c +=,其中21,y y 为齐次两线性⽆关特解 b) ⾮齐次通解 = 齐次通解 + ⾮齐次特解c) ⾮齐次特解I — ⾮齐次特解II = 齐次特解2)常系数:a) 齐次 021=+′+′′y a y a y特征⽅程 0212=++a a ρρ设21,ρρ是特征⽅程两个根1）不等实根：21ρρ≠， x x e C e C y 2121ρρ+=；2）相等实根：ρρρ==21， )(21x C C e y x +=ρ；3）共轭复根：βαρi ±=2,1， )sin cos (21x C x C e y x ββα+=；b) ⾮齐次：)(21x f y a y a y =+′+′′uxn e x P x f )()(,1=o令ux n k e x Q x y )(=? k 等于u 作为特征⽅程根的重数. []x x P x x P e x f m l x ββαsin )(cos )()(,2+=o令[]},max{.sin )(cos )(m l n x x W x x Q e x y n n x k =+=?ββα3）欧拉⽅程（仅数⼀要求）)(1)1(11)(x f y a y x a y x a y x n n n n n n =+′+++令t e x =， y k D D D y x k k )1()1()(+=4．差分⽅程（仅数三要求）1。
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常微第六章测验试卷（1）
姓名 班级 学号 得分
一、填空题（30分）
1、 若向量函数()y t g ;在域R 上（），则方程组
()0000),;(,;y y t t y t g dt dy ==ϕ的 解ϕ存在且唯一。
2、 如果方程组的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当δ<0x 时满足初始条件()00x t x =的解)(t x 均有（）时，则称0=x 为渐进稳定。
3、 （）称为相平面。
4、 （）称为驻定方程组。
5、 满足（）的点),(**y x ，称为方程组的奇点。
6、 当方程组的特征方程有两个同号相异的特征根时，则当（）时，零解是渐进稳定的，对应的奇点称为（）。
当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。
7、 当方程组的特征方程的特征根为纯虚根时，则其结点称为（），在这种情况下零解是（）。
二、求解题： 求方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性（20分）
1、
.32,y x dt
dy y dt dx --== 2、.32,1y x dt dy y x dt dx --=--= 三、求出方程组的奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态（20分）
.
)32(4
1),1(y x y dt dy y x x dt dx --=--= 四、用形如22),(by ax y x V +=的李雅普诺夫函数，确定下列方程组的稳定性（30分）
1、
.2,322y y x dt
dy xy x dt dx --=+-= 2、.2,223xy dt
dy y x dt dx -=+-= 3、.,22yx dt
dy xy dt dx -=-=
常微第六章测验试卷（1）参考答案
一、填空题
1、连续且关于y 满足利普希兹条件
2、0)(lim =+∞
→t t x
3、如果把时间t 当作参数，仅考虑y x ,为坐标的欧氏空间
4、⎪⎩⎪⎨⎧==)
,()
,(y x Y dt dy
y x X dt dx
5、0),(,0),(==y x Y y x X
6、0,21<λλ； 稳定结点；0,21>λλ；不稳定结点
7、中心；非渐进稳定的
二、求解题： 求方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性
1、解：求奇点：⎩⎨⎧=--=0320
y x y
得 ⎩⎨⎧==00
y x 故奇点为)0,0(
0220321
0≠=+=--=A 由0=-E A λ得0)2)(1(321
=++=----λλλλ
11-=λ， 21-=λ
得到两个同号相异负实跟根，所以奇点为结点，零解是渐进稳定的。
2、解：求奇点：⎩⎨⎧=--=--0320
1y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==2121
y x 故奇点为)21
,21
(
现将原方程组作2
1,21-=-=y Y x X 的替换 得⎪⎩⎪⎨⎧--=--=Y X dt
dY Y
X dt dX 3 故0231131
1≠-=-=----=A 由0=-E A λ得 02213112=-+=------λλλλ
得 31,3121--=+-=λλ
这样就得到两个异号实根，所以奇点为鞍点，零解是不稳定的。
三、求出方程组的奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态
1、解：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=*41432
122y xy y dt dy xy
x x dt dx 求奇点：⎪⎩⎪⎨⎧=--=--041432
1022y xy y xy x x 得⎩⎨⎧==0011y x ，⎩⎨⎧==2022y x ，⎩⎨⎧==013
3y x ()1 当奇点为⎩⎨⎧==0
011y x 时 所对应的线性方程的2
1001=A 由0=-E A λ得
0)21)(1(21001=--=--λλλλ 2
1,121==λλ 所以奇点()0,0为结点，零解是不稳定的。
()2 当奇点为()2,0时
先作变换 2,-==y Y x X 方程(*)变为：
⎪⎩⎪⎨⎧----=---=2241432123y xy y x dt
dy xy x x dt dx 所对应的线性方程的2
1001=A 02
12301≠---=A 由0=-E A λ得 0)21)(1(2
12301=----=-----λλλλ 2
1,121-=-=λλ 所以奇点()2,0为结点，零解是渐进稳定的 ()3 当奇点为)0,1(时
先作变换y Y x X =-=,1 方程(*)变为：
⎪⎩⎪⎨⎧-+=----=2241434
5y xy y dt dy xy x y x dt dx 04
5011≠--=A 由0=-E A λ得 0)45)(1(4501
1=---=----λλλλ 4
5,121=-=λλ 所以奇点()0,1为鞍点，零解是不稳定的
四、用形如22),(by ax y x V +=的李雅普诺夫函数，确定下列方程组的稳定性。
1、解：dt dy y V dt dx x V dt dV ∂∂+∂∂=)2(2)(2322y y x by xy x ax --++-= 4222222422by y bx y ax ax --+-=
取 21,1==b a 则 222
1y x V += 为定正的 0242<--=y x dt
dV 为定负的
所以零解稳定
2、dt
dy y V dt dx x V dt dV ∂∂+∂∂=)2(2)2(223xy by y x ax -++-= 332442bxy axy ax -+-= 取1,1==b a 则 22y x V += 为定正的 022≤-=x dt
dV 为常负的 所以零解稳定
3、dt
dy y V dt dx x V dt dV ∂∂+∂∂=)(2)(222y x by xy ax -+-= )(222b a y x +-=
取1,1==b a 则 22y x V += 为定正的 0422≤-=y x dt
dV 为常负的 所以零解稳定。