非负数及其应用

(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
2
a − b − 2 3 + (a + b − 2 2 ) = 0
2
a−b−2 3=0 a= 3+ 2 ∴ 解得 a+b−2 2 =0 b=− 3+ 2 b − 3+ 2 ∴ = = − 3+ 2 3+ 2 a 3+ 2
x + y ≤ 199 .
3x + 5 y − 2 − m + 2 x + 3 y − m = 0
① ②
又 x + y = 199 . 两式相加， 得 2 x + 3 y = 201. ∴ m = 201.
① − ②，
得 .x + 2 y = 2
(1996年“五羊杯”数学竞赛初二试题） 年 五羊杯”数学竞赛初二试题）
[例5] 设a ≠ b， 化简根式 2 ab − a − b . 例
解: 由题设， 可知 a b ≥ 0 . 故 a与b同号. (1) 当 a ≥ 0，b ≥ 0时 ，
2 ab − a − b = − a
Q a ≠ b,
(2)
∴ − a − b ＜ 0. 故根式无意义 .
当a ≥ 0，b ≤ 0时，
逆定理
逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线 垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
轴 对 称 和 轴 对 称 图 形
轴对称
把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能与另 一个图形重合，那么就说 这两个图形关于这条直线 关于这条直线 轴对称） 轴对称 对称 （轴对称）。
解得 a = 0, b = 3, c = 11. Q a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 0 + 33 + 33 = 66
(1992年第二届”勤奋杯”数学邀请赛初三试 年第二届” 年第二届 勤奋杯”
[例8] 求方程下面的正实数解。 例 求方程下面的正实数解。
题)
3 (x + y )(z + 1) + ( y + z )(x + 2 ) + (z + x )( y + 3) = ( x + y + z ) 2 解:原方程化为
B m A A′
C
C′ B′ A
如果一个图形沿着一条 直线折叠，直线两旁的部分 轴对称图形 能够互相重合，那么这个图 形叫做轴对称图形，这条直 轴对称图形，这条直 轴对称图形 线就是它的对称轴。
轴对称是对两个图形说的。 轴对称是对两个图形说的。 是对两个图形说的 轴对称图形是对一个图形说的。 轴对称图形是对一个图形说的。 是对一个图形说的
3x + 5 y − 2 − m + 2x + 3y − m = x − 199 + y • 199− x − y.
求m的值。 的值。 的值
解 ： 由 x − 199 + y ≥ 0 ,
199 − x − y ≥ 0 .
得 x + y ≥ 199 , ∴ x + y = 199
∴
∴ 3 x + 5 y = 2 + m 2x + 3y = m
2 2 2
(x
2
+ 1 )( y
2
+ 1 )(z + 1 )
2
(x
2
+ 1)
3
= 1.
[ 例 10 ]设等式
a(x − a) +
a( y − a) =
x−a −
（练习册15页23题） 练习册 页 题
a− y
在实数范围内成立
， 其中 a 、、x、
是两两不等的实数
.
3 x 2 + xy − y 2 求： 2 的值 . 2 x − xy + y 解： 由 又由 x − a知 x − a ≥ 0, a ( x − a ) 知 a ( x − a ) ≥ 0, a ( y − a ) 知 a ( y − a ) ≥ 0, 知 − y. a = 0. x = ∴ a ≥ 0① ; ∴ a ≤ 0② ; ∴ y − a ≤ 0,
[例1]
x + y − 5 + 2 x + y − 4 = 0, 求y x的值。 已知 x + y − 5 + 2x + y − 4 = 0
X+y-5=0 2x+y-4=0 X=-1 Y=6
y
x
解：∵
∴ 得 ∴
= 6
−1
1 = 6
(第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第五届
[(x + y) − 2 (x + y)(z +1) + (z +1)]+ [(y + z) − 2 ( y + z)(x + 2) + (x + 2)] + [(z + x) − 2 (z + x)(y + 3) + ( y + 3)] = 0
即 ∴
( x + y − z + 1)2 + ( y + z − x + 2 )2 + ( z + x − y + 3)2 = 0. x + y = z + 1, y + z = x + 2, z + x = y + 3.
x + y = z + 1, ∴ y + z = x + 2, z + x = y + 3.
解得 x = 2, 经检验 ， x = 2,
3 y= , 2
5 z= . 2 3 5 y= , z = 是原方程的解 . 2 2
[例9]已知 例 已知 ( y − z)2 + (z − x)2 + (x − y)2 = ( y + z − 2x)2 + (z + x − 2 y)2 + (x + y − 2z)2 ,
(1994年北京市初二数学竞赛复赛试题） 年北京市初二数学竞赛复赛试题） 年北京市初二数学竞赛复赛试题
[例7] 设a、b、c是实数，若 例 是实数， 、 、 是实数
a + b + c = 2 a + 1 + 4 b + 1 + 6 c − 2 −14,
求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值。 的值。 的值 解： 由a + b + c = 2 a + 1 + 4 b + 1 + 6 c − 2 −14, 得
2 2
两边乘以2,并配方 得 两边乘以 并配方,得 并配方
( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = 0 ∴ x − y =0, y −z =0, z −x =0. ∴ x = y = z. 3 2 ( yz + 1 )(zx + 1 )( xy + 1 ) = (x + 1 ) ∴
由 a − y知 a − y ≥ 0, 又由 ∴ 由 ①、② ∴ x = − y.
y2 3 x 2 + xy − y 2 3y2 − y2 − y2 1 ∴ 2 = = = . 2 2 2 2 2 3 x − xy + y y + y + y 3y
轴
概念
对
称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直 关于这条直 线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的 线对称 对称点，这条直线叫做对称轴 对称轴。两个图形关于直线 对称点 对称轴 对称也叫做轴对称 轴对称。 轴对称 定理1 定理 关于某条直线对称的两个三角形是全等形。