八上数学复习提纲
八年级数学上册期末复习资料
初二上册数学全册.第十一章全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASAAAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
. 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
知识点二：构造全等三角形 例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证：AE CF=。
知识点三：常见辅助线的作法..1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
2. 作垂线，利用角平分线的知识..例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的 平分线，它们交于点P 。
求证：BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
4. “截长补短”构造全等三角形.例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。
八年级上册数学总复习资料
八年级上册数学总复习资料初二数学上册总复习指导第一章勾股定理1、探索勾股定理① 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗① 如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数① 有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示② 无理数：无限不循环小数2、平方根① 算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做a的算数平方根② 特别地，我们规定：0的算数平方根是0③ 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。
那么这个数x就叫做a 的平方根，也叫做二次方根④ 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根⑤ 正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥ 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根① 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根，也叫三次方根② 每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0;负数的立方根是负数。
③ 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算① 估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数① 实数：有理数和无理数的统称② 实数也可以分为正实数、0、负实数③ 每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式① 含义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数② =(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b0)③ 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④ 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置① 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系① 含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系② 通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
(完整)八年级数学上册知识点复习总结(北师大版),推荐文档
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
数学八年级上册复习提纲
数学八年级上册复习提纲第一章相似与全等1.1 相似•相似定义•判断两个图形是否相似•相似比例•相似三角形的特点•求相似三角形的角度/边长•相似的应用1.2 全等•全等定义•判断两个图形是否全等•全等四边形的特点第二章平面图形2.1 平面图形的定义•点、线、面的概念及性质•多边形的定义及性质•正多边形的性质•圆的定义及性质2.2 平面图形的面积•面积的概念•面积的单位•牛顿莱布尼兹公式•求多边形面积•求圆面积2.3 平面图形的周长•周长的概念•三角形周长•矩形周长•圆周长第三章代数式3.1 代数式的定义•代数式的概念•一次代数式•二次代数式3.2 代数式的计算•代数式的加减乘除•同类项合并•因式分解及其应用3.3 代数式的应用•代数式的应用实例第四章一次方程与一元一次不等式4.1 一次方程•一次方程的定义•解一次方程•列方程4.2 一元一次不等式•不等式的定义•解一元一次不等式第五章平面直角坐标系5.1 直角坐标系•直角坐标系的定义•平面直角坐标系•极坐标系5.2 坐标系中的图形•点的坐标•线段的坐标•中点坐标•垂足坐标第六章数学中的图像6.1 图形的基本变换与轮廓•平移变换•旋转变换•对称变换•缩放变换6.2 图形的细节分析•图形的相似、全等等性质•图形的边、角、面的性质第七章数据的收集与统计7.1 数据的收集•调查的设计•调查方式•调查方法7.2 数据的整理、统计与分析•数据的分类与整理•数据的频数、频率•数据的绘制与分析复习这些章节，能够巩固每一个知识点，并提升对于数学概念的理解与应用。
八年级上册数学期中复习提纲
八年级上册数学期中复习提纲爱好是做好的老师，想要学好初中数学首先就要对它有浓厚的爱好，调整好自己的状态，下面给大家分享一些（八班级）上册数学期中复习提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!八班级上册数学期中复习提纲全等三角形一.知识框架二.知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS”(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本（方法）步骤：①、确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系)，②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，老师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。
轴对称一.知识框架二.知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
八年级上册数学第三单元复习要点(精选9篇)
八年级上册数学第三单元复习要点〔精选9篇〕篇1：八年级上册数学第三单元复习要点平移：在平面内，将一个图形沿某个方向挪动一定间隔，这样的图形运动称为平移。
平移的根本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状一样；旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的间隔相等；对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。
篇2：八年级上册数学第三单元复习要点一次函数的表达式是y=kx+b〔k≠b，k、b是常数〕，其中是x自变量，y 是因变量，读作y是x的一次函数，当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应，假如有两个或两个以上的值与x对应，那么这个函数就不是一次函数。
一次函数表达式求解：一次函数也叫做线性函数，一般在X，Y坐标轴中用一条直线来表示，当一次函数中的一个变量的值确定的情况下，可以用一元一次方程来解答出另一个变量的值。
一次函数的表达方式一般都为y=kx+b的函数，叫做Y是X的一次函数，当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx 〔k≠0〕，这时的`常数k也叫比例系数。
常用来表示一次函数的方法有解析法，图像法和列表法。
一次函数的解析式一般分为点斜式，两点式，截距式。
解答一次函数的作法最简单的就是列表法，取一个满足一次函数表达式的两个点的坐标，来确定另一个未知数的值。
还有一个描点法。
一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
通常情况下y=kx+b〔k≠0〕的图象过〔0，b〕和〔―b/k，0〕两点即可画出。
一次函数与一次方程之间的关系：一次函数、方程和不等式是初中数学的主要内容之一，也是中考的必考知识点，新课程标准把三局部的关系提到了十清楚朗化的程度。
因此，应该重视这局部内容的教学在教学中，可以从以下几个知识点进展辨析。
八年级上册数学复习提纲整理
八年级上册数学复习提纲整理八年级上册数学复习提纲第一章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即。
2.勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。
3.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形。
满足的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1.平方根和算术平方根的概念及其性质：(1)概念：如果，那么是的平方根，记作：;其中叫做的算术平方根。
(2)性质：①当≥0时，≥0;当0时，无意义;②=;③。
2.立方根的概念及其性质：(1)概念：若，那么是的立方根，记作：;(2)性质：①;②;③=3.实数的概念及其分类：(1)概念：实数是有理数和无理数的统称;(2)分类：按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4.与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
5.算术平方根的运算律：(≥0，≥0);(≥0，0)。
第三章图形的平移与旋转1.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过平移，对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等，对应角相等。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置;经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度;任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;对应点到旋转中心的距离相等。
八年级上册数学期中复习提纲(人教版)
八年级上册数学期中复习提纲(人教版)一、知识点复1. 整数与分数- 整数的概念与运算- 分数的概念与运算2. 有理数的加减法- 有理数的相反数与绝对值- 有理数的加法运算- 有理数的减法运算3. 乘法与除法运算- 有理数的乘法运算- 有理数的除法运算4. 平方根与实数- 平方根的概念与计算- 实数的概念与性质5. 一元一次方程- 一元一次方程的定义与解法- 一元一次方程的实际问题应用二、技巧要点总结1. 整数与分数的相互转化- 整数转化为分数- 分数转化为整数- 分数的化简与约分2. 有理数的运算技巧- 加法与减法运算的技巧- 乘法与除法运算的技巧3. 解一元一次方程的方法- 通过逆运算解方程- 通过变形解方程三、典型题型演练1. 填空题- 对所学概念与计算进行填空练2. 计算题- 进行整数、分数、有理数的复杂计算练3. 应用题- 解决涉及一元一次方程的实际问题四、例题解析1. 针对重要知识点的例题进行解析与讲解- 解题思路的分析- 步骤和方法的讲解2. 困难与易错题的解析- 分析常见错误原因- 给出正确解决方法五、模拟测试1. 综合练题- 汇总各个知识点的综合题目- 模拟测试考察学生的综合应用能力2. 提供答案与解析- 给出模拟测试的答案与解析，帮助学生检查与复以上是八年级上册数学期中复习提纲的主要内容，通过系统的复习和练习，相信同学们能够更好地掌握数学知识，提升学习成绩。
希望大家认真备考，加油！。
苏教版八年级上册数学复习资料
苏教版八年级上册数学复习资料八年级数学怎么复习呢?下面整理了苏教版八年级上册数学复习资料，供你参考。
苏教版八年级上册数学复习提纲苏教版八年级上册数学复习提纲(三角形全等)1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关;②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等; ..③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边;最大角对最大角，最小角对最小角;②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：⑴已知两边：①找第三边(SSS);②找夹角(SAS);③找是否有直角(HL). ⑵已知一边一角：①找一角(AAS或ASA);②找夹边(SAS).⑶已知两角：①找夹边(ASA);②找其它边(AAS).苏教版八年级上册数学复习提纲(轴对称)1、轴对称图形相对一个图形的对称而言;轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、轴对称的性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;3、线段的垂直平分线：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
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第十一章：数的开方
知识点
内容
概念:如果一个数的平方等于 a，那
么这个数叫做 a 的平方根
算术平方根：正数 a 的正的平方根
平方根
立方根
实数
记作：√a
性质：正数有两个平方根，它们互
为相反数，0 的平方根是 0，负数
没有平方根
概念：如果一个数的立方等于 a,
那么这个数叫做 a 的立方根
= ( + )（ − ）
第十三章：全等三角形
知识点
全等三角形
内容
备注
性质：全等三角形的对应边和对应角相等
三角形全等的判定：
1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条
边都对应地相等，那么这两个三角形全等。
2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其
中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么
这两个命题叫做互逆命题
考点：判断一个命题或定理
的逆命题为真为假
五个基本的作图方法：
考点：综合考察，例如用尺
规作图画直角三角形，等腰
三角形等等
①作一条线段等于已知线段
②作一个角等于已知角③作已知角的平分线
④过一点作已知线段的垂线
⑤作已知线段的垂直平分线
D
A
性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰
对应地相等，那么这两个三角形全等。
3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都
对应地相等的话，那么这两个三角形全等。
4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对
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八年级数学上册复习提纲第11章数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。
a三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术a平方根（读作根号a）a即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的a a算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为3a根指数。
中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
3a六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a a3a aa；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。
a3a2、注意和中的a的取值范围的应用。
a3a如：若有意义，则x取值范围是。
（∵x-3≥0，∴x≥3）x3（填：x ≥3）若有意义，则x 取值范围是 。
人教版八年级数学上册知识点归纳
精心整理第十一章全等三角形11.1全等三角形（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；（8）全等表示方法：用“ ”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）（9）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；11.2三角形全等的判定（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）（3）证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；（4）经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；（5）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释）11.3角的平分线的性质（1）角的平分线的作法：课本第19页；（2）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（3）证明一个几何中的命题，一般步骤：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；（4）性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）（5）三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；第十二章轴对称12.1轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
浙教版八年级数学上册知识点梳理
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯第一章 三角形初步[定义与命题]定义：规定某一名称或术语的意义的句子。
命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题一般由条件和结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”的形式。
正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题。
基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确的，不需要再加证明的命题。
定理：用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。
注意：基本事实和定理一定是真命题。
[证明]在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。
[三角形]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 [三角形按边分类]三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形[三角形按内角分类]三角形 锐角三角形：三个内角都是锐角直角三角形：有一个内角是直角钝角三角形：有一个内角是钝角 [三角形的性质]三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形三内角和等于180°。
三角形的一个外角等于与它不相邻的的两个内角之和。
[三角形的三种线]顶角的角平分线：三条，交于一点 三角形的中线：三条，交于一点 三角形的高线：三条，交于一点。
思考：锐角、直角、钝角三角形高线的交点分别在什么位置[全等形]能够完全重合的两个图形叫做全等形. [全等三角形]能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. [全等三角形的性质]全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
还有其它推出来的性质：全等三角形的周长相等、面积相等。
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
[三角形全等的证明]边边边：三边对应相等的两个三角形全等．（SSS）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（ASA）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
八年级上数学复习资料--广东省
八年级上数学期末复习讲义第一章 勾股定理[复习要求](1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；(2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。
格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 的平方=a 2 +b 2 =82 +152=64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。
（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）。
[基础训练]1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 2．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，103．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．A C160m图1－1因而 c 2＝ ＋ ．化简后即为 c 2＝ ．5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？［本章小专题］专题一：勾股定理的应用例1、 如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD的长。
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
统编教材部编版人教版八年级数学知识点体系复习学习资料上下册
八年级数学上册期末知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()n n n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
八年级数学上册前两章复习指南
第1章轴对称与轴对称图形复习总体要求：复习首先要熟悉课本，认真的看几遍课本后，一定要做到，合上课本，能知道本章共几节，每节都有哪些定理和定义。
1.1 我们身边的轴对称图形复习要求：1.知道轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的定义；2.知道上述两定义的联系和区别；3.能判断一个图形是否是轴对称图形本节关键：1.常见图形中的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、长方形、菱形、正多边形和圆，其中线段有两条对称轴，分别是它的垂直平分线（也称中垂线）和它本身所在的直线；角有一条对称轴，是它的角平分线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，正n边形有n条对称轴；圆有无数条对称轴。
2.注意课本7页第4题的图（1）中的两幅图案并不关于直线l成轴对称。
3. 轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的区别：轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某条直线成轴对称是指两个图形的特殊的形状和位置关系。
联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
1.2 线段的垂直平分线一.复习要求：1.知道什么是线段的垂直平分线；2.能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.二.本节关键：(一). 线段垂直平分线的性质定理的应用格式:PD ABPA PB =∴垂直平分(二). 线段垂直平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图1,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AB +BC ＝13,AB 边的垂直平分线MN 交AC 于点D ,求△BCD 的周长.分析:第一步:我们首先来看本题的已知条件: AB ＝AC ,AB +BC ＝13, MN 垂直平分AB ,由其中的“MN 垂直平分AB ”,我们还可以立刻得到DA ＝DB ;第二步:然后来看一下本题的未知,即要求解的东西: △BCD 的周长,即BC +CD +BD第三步:找已知和未知的联系:本题未知和已知的联系比较直接, △BCD 的周长＝BC +CD +BD = BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13.解:MN 垂直平分MN ∴DA ＝DB ∴于是△BCD 的周长＝BC +CD +AD = BC +AC= BC + AB ＝13. 反思:本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和整体思想,例如将BD 转化为AD ,然后将CD +AD 转化为AC ,再将AC 转化为 图1B N M DC AAB,进一步将BC+AC转化为BC + AB,最终求得结果.收获: (1)通过本题,我们知道,对线段垂直平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)再一个,看到已知条件应立刻想到可以推得的结论,这样利于我们找到已知和未知之间的联系,至少可以让已知和未知离的更近一些;(3)本题所体现的转化思想我们也应该认真体会领悟,很多题目就是在这样不断转化当中得到答案的;(4)本题的解答中还运用了整体思想,求解△BCD的周长,我们并没有一条边一条边的去求解,而是将整个三角形的周长当做一个整体一起求,这也应该当做一个经验储存起来,以后碰到类似的问题也可以采用相同的方法.相应练习:①.如图,已知ABC∆的周长为8cm,∆中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,已知BCE且AC=BC+2cm,求AB,BC的长.②.如图,已知ABC∆的∆中,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E,若ABC周长为28,BC=8,求BCE∆的周长.①分析:第一步:已知条件:AB=AC,DE垂直平分AB, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm, AC=BC+2cm,由“DE垂直平分AB”可立刻推得AE=BE.第二步:未知结论: AB,BC的长第三步:找已知和未知联系:由AB=AC可知,要求AB,只需求出AC即可;故本题可转化为求AC,BC;因为AC=BC+2cm,所以我们需要找出AC和BC之间另外的关系,这样我们就可以得到关于AC,BC的二元一次方程组,进而求出AC,BC.看来我们需要再看一下本题的另外两个条件, BCE∆的周长=BE+CE+BC=8 cm,在这个等式中有BC,我们可以看一下BE和CE是否和AC有关系,不难发现,BE+CE= AE+CE=AC,即AC+BC=8 cm.解答:B A ,8DE AB AD BDAE BE BE CE BC AE CE BC AC BC ⊥==++=++=+=∴∴联立AC =BC +2可得:825cm,3cmAC BC AC BC AC BC +=⎧⎨=+⎩==解得： 反思: 本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想(所谓方程思想,就是通过设未知数,寻找已知和未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化的一种思想方法),当然构造方程的目的其实还是方便进行转化.收获:我们看到,很多时候解决和几何图形有关的问题时,需要借助于方程思想,本题本身就有一个方程AC =BC +2,但只这一个不够,这使我们想到去构造另一个方程以和它组成方程组.以后在解决类似的问题时,我们也可以考虑用方程思想;当然,本题也反复应用了转化思想.② BCE ∆的周长=18(自己分析解答)先分析,再解答,完了之后进行反思,并争取有所收获.2.用来作图①（1）如图，用尺规分别作出线段AB 与BC 的垂直平分线；（2）在（1）中，如果线段AB 与BC 的垂直平分线 交于点P ，那么P A 与PC 相等吗？为什么？②如图，要在任庄A ，李村B ，菜屯C 三个村庄之间修一座变电站O ，使它到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点O 的位置吗？解答:只需连接AC ,AB ,然后作它们的中垂线12,l l ,两条中垂线的交点既是点O 的位置.(三)易混淆知识点1.三角形三边垂直平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能 解答:此题最容易选A 选项,实际上应该选D.反思:对于涉及几何图形的题目,当题目不给出图形时,我们就应该自己画出所有可能的图形,然后针对每种图形进行分析解答,像本题,没有明确指出(画出)三角形到底是什么样的三角形,我们至少应该画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个,并分别画出它们三边的垂直平分线,然后看看到底交点在哪里.这实际上是在运用分类讨论的思想(分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.)解决问题.收获:当以后再碰到没有几何图形的几何题目时,我们也应该考虑分类讨论.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个顶点的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题很容易选成D,实际上选C.反思:在学习角平分线性质定理之前,这个题倒不容易做错,学了之后就容易做错,三角形三边垂直平分线的交点是到三角形各顶点的距离相等,而三角形各内角平分线的交点是到三角形各边的距离相等.其实,这个题也容易做对,你只需要将两幅图形画在一起,认真的进行对比,找出它们在形式上的不同(其实差别还是很多的),然后再搞清它们实质上的区别即可(一个是利用了线段的垂直平分线性质定理,一个是利用了角平分线的性质定理).收获:对数学上的一些相似的定理,要放在一起对比学习一下,这样有利于分清它们各自的条件和结论,可以有效避免这个定理的条件推出那个定理的结论,俗话说的“不怕不识货，就怕货比货”,我们在数学上不妨拿来用一下.3.平面上到三点A 、B 、C 距离相等的点（ ）A.只有一个B.有两个C.三个或三个以上D.有一个或者一个都没有 解答:这个题容易选A,实际上应选D.反思:这里还是分类讨论的问题,这里没说三个点是否在同一条直线上,我们就应该分三个点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况解答.收获:永远记住,没有几何图形的几何问题,一般需要分类讨论.实际上1题和3题还告诉我们一个道理,那就是考虑问题要全面一些.(四)线段的垂直平分线的性质定理深入研究思考题:如图,PD AB 垂直平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,,,,,ADP BDP ADP BDPPA PB AD BD A B ADP BDP APD BPD S S C C ∆∆∆=∆==∠=∠∠=∠∠=∠= (1) ,90PD ABAD BD ADP BDP ∴=∠=∠=︒垂直平分 (2)PD AB PA PB =∴垂直平分大家都看到了,,,AD BD ADP BDP PA PB =∠=∠=很容易证明,而且,ADP BDP ADP BDP S S C C ∆∆∆=∆=也容易证明,但,A B ∠=∠APD BPD ∠=∠该如何证明呢?(3)分析:要证明,A B ∠=∠只需证明PA PB =即可.证明: PD ABPA PB A B=∠=∠∴∴垂直平分(4)分析:要证明APD BPD ∠=∠,我们可以先证明,A B ∠=∠,ADP BDP ∠=∠然后利用内角和证明.证明: 180,180180,18090PD ABPD ABPA PB A BA ADP APDB BDP BPD APD A ADP BPD B BDPAPD BPDADP BDP ⊥∴=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∴∴∴∠=∠=︒垂直平分 这里,大家想一想,还有没有其他的方法来证明APD BPD ∠=∠?这里我再提供一种思路:证明: ,PD ABPA PBPA PB PD AB APD BPD==⊥∠=∠∴∴垂直平分大家可以想一想,这是运用了什么定理?收获:通过对垂直平分线性质定理的的深入研究,我们不难发现,数学中的定理是彼此有着千丝万缕的联系的,这不正像这个我们生活着的大千世界吗?这也是学习数学的乐趣之一,当你能够通过认真思考,总结将所学的知识融会贯通之时,你就更能游刃有余的解决那些所谓的难题,谁能说这里面没有无穷的乐趣呢? APD BPD ∠=∠的证明还告诉我们,解决同一个问题,可以有不同的方法,希望同学们致力于一题多解,这样可以开阔你们的思路,帮助你们更好的熟悉定理,锻炼数学思维,当你只有一种武器对付敌人时,你是受限制的,当你有两种或更多的武器对付敌人时,你已经进入了自由的毫无拘束的世界!1.2 角的平分线一.复习要求：1.知道角平分线性质定理的内容；2.能熟练运用角平分线的性质定理:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.二.本节关键：(一). 角平分线的性质定理的应用格式:,OP AOBPA OA PB OB PA PB∠⊥⊥=∴平分注意: (1)在角平分线性质定理的应用格式中,“,PA OA PB OB ⊥⊥”是必不可少的,因为“,PA OA PB OB ⊥⊥”可以表明,PA PB 是垂线段,而点P 到直线,OA OB 的距离正好是指P 到直线,OA OB 的垂线段的长度;(2)另一方面,只是OP AOB ∠平分并不足以说明PA PB =,如下图:OP AOB ∠平分,但PA PB ≠(3)当然,只有,PA OA PB OB ⊥⊥也不足以证明PA PB =,如下图:,PA OA PB OB ⊥⊥,但PA PB ≠(4)上一节课学的线段的垂直平分线的性质定理也有同样的问题:正确的应用格式如下:PD ABPA PB =∴垂直平分①只是PD AB ⊥不足以证明PA PB =,如下图:PD AB ⊥,但PA PB ≠②只是PD 平分AB 也不足以证明PA PB =,如下图:PD 平分AB ,但PA PB ≠(二). 角平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图,△ABC 中,BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,求△BCD 的面积.分析:我们首先来看本题的已知条件: BD 平分,90,6,15ABC A AD BC ∠∠=︒==,由BD 平分ABC ∠,我们立刻可以想到点D 到ABC ∠两边的距离相等,这样就可以得到BC 边上的高等于AD ,即等于6,又BC 已知,这样就可以求出△BCD 的面积了. 解:如下图,作DE BC ⊥于点E,6111564522BDC BD ABCDA BA DE BCDE DA S BC DE ∆∠⊥⊥===⋅⋅=⨯⨯=∴∴平分 反思:本题的解决所用到的知识点主要是角平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想.收获: (1)通过本题,我们知道,角平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)本题的辅助线需要用虚线作出来,而且在证明的第一步就需要将作了什么辅助线说出来.相应练习:①.如图,在△ABC 中,AD 平分,5,3,BAC AB AC ∠==则_____.ABD ACD S S ∆∆=分析:三角形的面积等于底乘以高的一半,故要求面积比,需先确定底边和高,因为,AB AC 已知,不妨将它们确定为底边,这样就需要将它们上面的高作出来,如下图,,DE DF 即分别为,AB AC 上的高,从而有:11555221133322ABDACD AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯.解答:作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点,11555221133322ABD ACD AD BACDE AB DF ACDE DF AB DE DE S DE S DF AC DF DF ∆∆∠⊥⊥=⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯∴∴平分 反思:本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,以后碰到类似的问题,我们也应该想到去作高,然后结合角平分线性质定理和三角形面积公式来解决.另外“作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点”还是要列在解答过程中.追问: ____BD CD= 请同学们思考上述问题,我只是把图画在下面,请同学们根据图的提示自己解答.②.如图,已知BD 平分,,36,18,12,ABC ABC DE AB S AB BC ∆∠⊥===则___.DE =分析:先看已知,由BD 平分ABC ∠,我们不难想到这个题很可能要过点D 向BC 作垂线以得到一条垂线段(如下图,不妨设为DF ),并且本题很可能会用到DE DF =;由36ABC S ∆=可知整个三角形的面积为36,结合DE DF =,我们不妨将ABC S ∆分解为()()111111181236222222ABD CBD S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE ∆∆+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+=从而求得125DE =解答:作DF BC F ⊥于点()(),111122221118123622125ABC ABD CBD BD ABCDE AB DF BCDE DFS S S AB DE BC DF AB DE BC DE DE AB BC DE DE ∆∆∆∠⊥⊥==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+==∴∴∴平分 反思:解答本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将DF 转化为DE ,将ABC S ∆转化为ABD CBD S S ∆∆+等都是转化,DE 的求出则是借助于建立了方程.收获:自己想想通过解这个题,你都是得到了那些经验,好好总结一下,每做完一个题,都反思一下本题用到了哪些知识点,用到了什么思想方法,以及你是怎么想到用这些知识点的,你又怎么想到了用这样的思想方法,久而久之,你自然就会成为解题高手,而不是那个腋下只有一个玉米的狗熊.③.如图,在△ABC 中,AD 平分,//,//,BAC PE AB PF AC ∠请问点D 到,PE PF 的距离相等吗?解答:如下图,作,DM PE M DN PF N ⊥⊥于点与点AD 平分BAC ∠12//13//243434,PE ABPF ACDM PE DN PF DMDN ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠⊥⊥=∴∴∴∴∴注意:在本题的证明中,必须作出,DM DN ,因为没有它们,根本谈不上点D 到,PE PF 的距离;另外34∠=∠的证明也必须严格按照上面的过程证明,绝对不可以像下面这样证明:,//,//AD BAC PE AB PF ACPD EPF ∠∠∴平分平分首先没有这样的定理,其次,虽然道理上讲是对的,但跨度太大,省略了太大步骤,就好比一个人是没办法从一楼直接上三楼一样.④.如图,四边形ABCD 中,90,//,,A AD BC DP ADC CP BCD ∠=︒∠∠平分平分,请问点P 是边AB 的中点吗?为什么?解答:如下图,作PE DC E ⊥于点,//1801801809090,DP ADCPA DA PE DCPA PEAD BCB A B A CP BCDPB DB PE CDPB PEPA PB∠⊥⊥=∠+∠=︒∠=︒-∠=︒-︒=︒∠⊥⊥==∴∴∴∴∴平分平分注意:在本题的证明中,90∠=︒的证明,只能用“两直线平行,同旁内角互补”来证B明,不可错用“两直线平行,内错角相等”或“两直线平行,同位角相等”来证明,因为,A B∠∠根本不是内错角,也不是同位角.2.用来作图①.如图,某校学生开运动会,要选一起点C,两名运动员先从C点出发分别到E,F 两处取物品,然后负重回到C,再分别将物品送到OA,OB的路上,你能找到一个公平的点C吗？两运动员又应沿怎样的路线走？与的交点解答:只需连接EF,并作它的垂直平分线m,然后作AOB∠的平分线,n m n即为C.②如图,直线n,,表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条k,m公路的距离相等,则可供选择的地址有（）处.A.一处B.两处C.三处D.四处解答:如下图,有四处点,,,A B C D处都可以做为中转站.③如图所示, 在△ABC 中,20,30,40,AB BC CA O ===为其三条角平分线的交点,则________.AOB AOCS S ∆∆=分析:如下图,由点O 为其三条角平分线的交点可知,其道三角形各边的距离相等,从而其面积比可以转化为边长比.即:112122AOB AOC AB OD S AB S AC AC OF ∆∆⋅⋅===⋅⋅(三)易混淆知识点1.三角形三个内角平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能解答:此题选A 选项,不要误选D.反思:这个题目容易同“三角形三边垂直平分线交点”相混淆,注意辨别.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个边的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题选D,不要误选为C.(四)角平分线性质定理的深入研究思考题:如图,,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,90,,,AOP BOP OAP OBP PA PB OPA OPB OA OB ∠=∠∠=∠=︒=∠=∠=(1),90,AOP BOP OAP OBP PA PB ∠=∠∠=∠=︒=都非常容易证明;(2)OPA OPB ∠=∠的证明可以用三角形的内角和定理:180,180180,180,90AOP OAP OPA BOP OBP OPB OPA AOP OAP OPB BOP OBPAOP BOP OAP OBP OPA OPB∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∠=∠=︒∠=∠∴∴(3)如何证明OA OB =呢?可以运用角平分线的性质定理:如下三幅图,我们对原题逐步进行改造(按图1,图2,图3)之后就可以证明了:12,OA PA OB PB OA OB∠=∠⊥⊥=∴追问: 如图,原题的条件为,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,现在再连接AB ,则:(1)PAB PBA ∠=∠吗?为什么?(2)OAB OBA ∠=∠吗?为什么?(3)OP 垂直平分AB 吗?为什么?(1)(2)问自己证明,(3)问的证明如下:(),,OP AOBPA OA PB OBPA PBPA PB OP AB AC BC OP AB∠⊥⊥==⊥=∴∴∴平分等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合垂直平分追问之对应练习:①.如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B ,下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP解答:选D,好好想想为什么.②.如图,在△ABC 中,90,,,,A AB AC BD ABC DE C ∠=︒=∠⊥平分证明△DEC 的周长等于BC 的长.解答:略,靠自己的力量解决.链接中考:1.如图,在四边形ABCD 中,AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线,AF DC ∥,连接,AC CF .求证:CA 是DCF ∠的平分线.分析:由AB BC =,BF 是ABC ∠的平分线可得BF 所在的直线垂直平分AC ,从而有FA FC =,从而有FAC FCA ∠=∠,又由AF DC ∥可得FAC ACD ∠=∠,从而有ACD FCA ∠=∠,即CA 是DCF ∠的平分线.2.如图,在△ABC 中,∠A ＝α.∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; ……;∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009,得∠A 2009 .则∠A 2009＝ .解答: 20092α希望同学们能认真系统的复习角平分线性质定理,我相信你们肯定能很好的掌握好角平分线性质定理.BA C DA 1A 2A D FB C1.4 等腰三角形一.复习要求：1.知道等腰三角形的对称轴;2.能熟练运用“等边对等角”解决问题;3.能熟练运用“三线合一”解决问题;4.充分意识到等腰三角形的“求角的度数”和“求边长周长”都容易出现两种情况(这实际上是在运用分类讨论思想解决问题),同时必须得意识到“求边长周长”时的两种情况中有时会有一种情况构不成三角形;5.意识到“面积法”是解决三角形问题的一种非常重要的方法;6.充分意识到等腰三角形有锐角等腰三角形、等腰直角三角形和钝角等腰三角形三种,不要一自己画图时,就只画一个锐角等腰三角形.7.会用等边三角形的每个内角都等于60︒解决问题.8.会利用几种基本作图作等腰三角形.二.本节关键：(一). 知道等腰三角形是轴对称图形:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边的垂直平分线.它的对称轴还可以描述为(1)顶角平分线所在的直线;(2)底边上的高所在的直线;(3)底边上的中线所在的直线.但以下的一些说法是错误的:(1)顶角的平分线(×) 因为顶角的平分线是一条射线,而对称轴必须是直线(2)高所在的直线(×) 因为这里的高有可能不是底边上的高(二).知道“等边对等角”、“三线合一”和“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:1.等边对等角的应用格式:AB AC B C=∠=∠∴ 2.三线合一的应用格式:(建议学习这个定理的应用格式之前,先看一下“动态演示三线合一”)(1)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BAC =∠平分那么AD BC ⊥吗?BD CD =吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BAC AD BC BD CD=∠⊥=∴平分 注意1:当然,有时候,我们只需要得到AD BC ⊥这个结论,这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACAD BC =∠⊥∴平分也有时候,我们只需要得到BD CD =(或者说“AD 是BC 边上的中线”、“点D 是BC 边的中点”)，这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACBD CD =∠=∴平分注意2:“,AD BC BD CD ⊥=”是我们通过“,AB AC AD BAC =∠平分”推出的结论,这个结论实际上表明了AD 垂直于BC 且平分了BC ,或者换句话说AD 是垂直平分BC 的.当有的题目要求我们证明某条线垂直平分另一条线时,我们就经常采用证明“某条线”是等腰三角形的顶角的平分线,而“另一条线”则恰好是等腰三角形的底边的方法.(2)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC BD CD ==那么AD BC ⊥吗?,AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC BD CDAD BC AD BAC ==⊥∠∴平分(3)如果碰到这样的题目:如图, △ABC 中,,,AB AC AD BC =⊥那么BD CD =吗?AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BCBD CD AD BAC=⊥=∠∴平分注意: [1]在(1)(2)(3)三种情况中,条件“,AB AC AD BAC =∠平分”、“ ,AB AC BD CD ==”或“,AB AC AD BC =⊥”中都有“AB AC =”,这是必不可少的,因为一般的三角形是不具备“三线合一”的,只有等腰三角形具备“三线合一”,所以在条件中必须通过“AB AC =”表明等腰三角形的身份;[2]当然了,在条件“,AB AC AD BAC =∠平分”中,“AD BAC ∠平分”也是必不可少的; 在条件“ ,AB AC BD CD ==”中,“BD CD =”同样必不可少;在条件“,AB AC AD BC =⊥”中,“AD BC ⊥”同样必不可少.[3] “AB AC =”除了表明三角形是等腰三角形之外,还恰到好处的表明了,AB AC 就是等腰三角形的腰,互相重合的就应该是A ∠的平分线、BC 边上的高和BC 边上的高.因为等腰三角形底角的平分线和腰上的高、腰上的中线并不重合,如下图:所以在用“三线合一”证明问题时,必须在条件中以“AB AC =”这样的方式表明谁是腰,而不只是笼统的说“三角形是一个等腰三角形”,如下面的证明就是错误的证明,至少是不准确的证明:AB AC =,BD CD AD BC AD BACABC =⊥∠∴∴平分三角形是等腰三角形3.“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:60AB BC CA A B C ==∠=∠=∠=︒∴ 注意:有时我们可能只需要A ∠60=︒,这时我们可以这样写:60AB BC CA A ==∠=︒∴ (三). 等边对等角的应用:例题1 如图, △ABC 中,,,AB AC BC BD AD ===求△ABC 中各个角的度数.分析:根据题目中的已知条件“,AB AC BC BD AD ===”,我们可以得到很多对相等的角,从而可以比较的容易得到图形中各角之间的关系,我们不妨设其中的一个角为x ,将与其有关系的角用含x 的代数式表示出来,最后看是否能利用三角形的内角和定理得到关于x 的一个方程,从而将x 求出来,进而求出△ABC 中各个角的度数.解答:AB ACABC CBD BC BDC CBD ADABD A=∠=∠=∠=∠=∠=∠∴∴∴ 设A x ∠=,则ABD A x ∠=∠=,BDC ∠是△ABD 的外角 2BDC A ABD x x x ∠=∠+∠=+=∴22180221803636,272C BDC xABC C xA C ABC x x x x A ABC C x ∠=∠=∠=∠=∠+∠+∠=︒++=︒=︒∠=︒∠=∠==︒∴∴∴∴∴ 反思:本题的解决所用到的知识点主要是“等边对等角”、“三角形的内角和定理”、和“等边对等角”,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将等边转化为等角,将A ABD ∠+∠转化为BDC ∠,再将BDC ∠转化为C ∠,再将C ∠转化为ABC ∠,方程思想就不必说了.收获:在求角的题目中,“三角形的内角和定理”、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”、“等边对等角”是经常会用到的定理,另外像“两直线平行,同位角相等内错角相等以及同旁内角互补”、“同角的补角相等,同角的余角相等”、“垂直会推出直角”、“邻补角”、“n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,外角和为360︒”等定理或定义也经常用到,要熟悉这些定理或定义的内容,这样求角时才能做到游刃有余.当然了,求角的度数绕不开转化,甚至是不停的转化,有时可能还需要作平行线或连接两点的线段等辅助线.方程思想有时也是必不可少的.希望同学们在解题的同时多反思,不断积累经验.相应练习:1.①如图, △ABC 中,,,,___.AB AC BC BD AD DE EB A ====∠=则解答:45︒,自己解决.②如图,在△ABC 中,,,75,___.AB AC BD ABC BDC A =∠∠=︒∠=平分则。
青岛版八年级数学重点知识提纲
青岛版八年级数学重点知识提纲千里之行，始于足下。
学习数学要从数学最基础的知识学起，扎扎实实，踏实向前，一步一个脚印，下面小编给大家分享一些青岛版八年级数学重点知识提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!青岛版八年级数学重点知识提纲一、轴对称图形1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、(等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)五、(等边三角形)知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。
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AB6题图BCE AB D E CA BCDB AC D F EGAB CDE第11章 三角形复习提纲7.1.1与三角形有关的线段 类型一 三角形概念题型1 与三角形有关的一些概念 题型2 确定三角形的个数1.如图，图中有_____个三角形，把它们用符号分别表示为题型3 三角形的分类按边分类：等腰三角形、等边三角形、一般三角形 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 类型二 三角形三边的关系题型1 利用三边关系判断三角形的存在性1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A 、3,4,8 B 、5,6,11 C 、1,2,3 D 、5,6,102.有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由。
题型2 利用三边关系求范围1.三角形有两条边的长度分别是5和7，则其周长x 的取值范围是___________。
2.若三角形的两边长分别是3和6，第三边长是奇数，则第三边长为3.一个三角形的周长是偶数，其中两条边分别是5和9，则满足上述条件的三角形个数是 个题型3 应用三边关系化简与计算机相关的式子1.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|－|a －b －c|=_____________。
类型三 有关三角形边长的综合问题 题型1 有关边长的计算1.三角形的三边是三个连续的自然数，且周长为18，求三角形的三边长？题型2 等腰三角形中的相关问题1. 若等腰三角形的两边长a 、b 满足∣a-3∣+（b-8）2=0，则它的周长是 。
2. 等腰三角形的周长为56，其中两边的比为3：2，求该等腰三角形的三边长？7.1.2 三角形的高、中线与角平分线类型一 三角形的高、中线与角平分线的相关概念1.三角形一边上的高（ ）。
A 必在三角形内部B 必在三角形的边上C 必在三角形外部D 以上三种情况都有可能2.一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。
3.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A 三角形的角平分线B 三角形的中线C 三角形的高线D 以上都不对 4.如图，作图：（1）∠ACB 的角平分线；（2）边AC 的中线 （3）AB 边上的高 5.类型二 有关三角形的高、中线与角平分线的常见计算 题型1 根据高、中线等求线段的长1.如图，AB ⊥BD,AC ⊥CD,那么（1）△ADE 的边DE 上的高为 ，边AE 上的高为 ；2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 将△ABC 分成周长 差为2cm 的两个三角形，求△ABC 的各边长3.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ，(1) 求出△ABC 的面积及 CD 的长；（2）作出△ABC 的边AC 上的中线BE ，并求出△ABE 的面积；（3）作出△BCD 的边BC 边上的高DF ，当BD=11cm 时，试求出DF 的长。
题型2 根据高、中线等求面积1.如图，AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△CDE 的中线，FG 是△CEF 的中线。
（1）△ABD 与△ADC 的面积有何关系？理由？ （2）若△CFG 的面积是1，求△ABC 的面积2.如图，AD=1,CD=2,AB=4且△ABC 的面积是△CDE 的2倍，求BE ？7.1.3 三角形的稳定性 类型一 三角形的稳定性 题型1 三角形的特性1.右边图形具有稳定性的是（ ） A 梯形 B 菱形 C 三角形 D 正方形题型2 根据稳定性的实际应用ABDC A B1A D CC DA 1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是__________.2.自由滑动的伸缩门，在启动电源后，大门能左右压缩或伸长的原理是题型3 根据稳定性动手操作1. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条。
7.2.1 与三角形有关的内角类型一 与三角形有关的内角计算 题型1 求角度1. 已知，如图，AB ∥CD ，∠A=700，∠B=400，则∠ACD=（ ） A 、 550 B 、 700 C 、 400 D 、 11002. 如图 ，∠B=50°，∠C=60°，AD 为△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
3. 已知：如图，AE ∥BD ，∠B=28°，∠A=95°，求∠C 的度数。
4. 如图,在△ABC 中,AD ⊥BC,CE 是△ABC 的角平分线，AD 、CE 交于F 点. 若∠BAC=80°,∠B=40°,求∠AEC 和∠AFE 的度数.5.如图2，AB ∥CD ，AD 和BC 交于点O ，若∠A ＝42°，∠C ＝51°，则∠AOB ＝______度.6.如图，AB ∥CD ，∠ABD 、∠BDC 的平分线交于E ，试判断△BED 的形状？7.如图5，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于E ，∠A ＝60°，∠BDC ＝95°，求△BDE 各内角的度数.8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ，则∠AOC+∠DOB=题型2 根据角度对三角形进行分类1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ， ②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B －∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2.下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④在 ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形； A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个3.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。
正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个4.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1, ∠ACD=64°证明：AB ∥CD5.如图，AB ∥CD ，∠B = 72°，∠D = 32°，求∠F 的度数？6.已知，如图，在△ ABC 中，AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°. （1）求∠DAE 的度数。
（2）试写出 ∠DAE 与∠C-∠B 有何关系?（不必证明）7.⊿ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O 。
（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。
（2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。
（3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。
` （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。
（5）你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？ 类型二 三角形内角和的实际应用 题型1 方位角问题1.如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB 。
D第8题图 ACDA CDD C B A O 图2 D AE B 图5 ADCAA CDEMA BCOABOAD EBC7.2.2 三角形的外角类型一 与三角形有关的外角的计算1.三角形的三个外角中，钝角最多有 个2.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定 3.如图，AB ∥CD ，∠A=45°，∠C=80°,那么∠M= 4.如图,已知2BAC ∠=∠,，求证1B ∠=∠？类型二 角的不等问题 1.如图，O 是⊿ABC 中一点，试比较∠BOC 与∠A 的大小类型三 添加辅助线求角度的方法与技巧1.如图，已知∠A=70°，∠B=30，∠C=20°求∠B0C 的度数？类型四 常见的与角平分线相关的一类问题1.如图，BD 是⊿ABC 外角的角平分线，CD 也是⊿ABC 外角的角平分线，试探索∠A 与∠D 的大小关系？2.如图，在⊿ABC 中，∠ABC 的角平分线与⊿ABC 的外角∠ACD 的角平分线相交与点E ，试探索∠A 与∠E 的关系？类型六 等腰三角形中内、外角的转换1.等腰三角形的一个外角为100°，求这个等腰三角形的三个内角? 7.3.1 多边形类型一 多边形及相关概念1.过七边形的一个顶点，最多可以作 条对角线。
2.四边形有 条对角线，五边形有 条对角线，六边形有 条对角线，n 边形有 条对角线类型二 多边形在实际问题中的体现1.造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________。
2.五个人参加会议，要求每两个人之间要握一次手，那么这五人共握 次手。
7.3.2 多边形的内角和类型一 多边形的内角和与外角和题型1 多边形的内角和 =（n-2）×180°1.若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。
2.（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）。
A ： 180° B ： 360° C ：n ×180° D: n ×360°3.一个n 边形的内角和为1800°，则n= 题型2 多边形的外角和360°类型三 有关多边形内、外角和的综合应用 题型1 求边数1.一个n 边形的内角和与外角和的总度数为2160°，则n=2.已知n 边形的每个内角都相等，且一个内角等于与它相邻的外角的9倍，则n=3.一个正多边形的一个外角与相邻的内角的度数比为1:4，则它的内角和是 ，它共有 条对角线。
题型2 求角度1.已知正多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的内角和=7.4 镶嵌类型一 平面镶嵌的条件题型1 利用同一种多边形进行镶嵌1.下列正多边形地砖中不能铺满地面的正多边形是（ ）。