2015年高考数学(课标通用)二轮复习专题训练：集合与函数(9)

集合与函数（10）
1、对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有
，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．2、函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式的取值范围是
A． B． C． D．
3、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为
7、已知集合,有下列命题
①若则；②若则；③若则
的图象关于原点对称；
④若则对于任意不等的实数，总有成立.其中所有正确命题的序号是
8、对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，；
当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合
N N中元素的个数是 .
10、对于任意实数表示不超过的最大整数，例如：，。

那么
11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为
12、已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是。

15、若，则定义为曲线的线．已知
，，则的线为．
16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过
个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数：①；②
③④，
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④
B.①③④
C.①④
D.④
20、函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
26、已知函数，则（）
A．8 B．9 C．11 D．10
28、已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数.若点A(1,(1))、B(2,)、
C(3,)，ΔABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有( )
A.15个
B.20个
C. 25个
D. 30个
29、.已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的
切线斜率均为．有以下命题：①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；
③的最大值为，最小值为，则；④若对，恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为
A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个
32、若函数满足,当时,,若在区间
上,有两个零点,则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
33、若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中（）A．只有一个小于1 B．至少有一个小于1C．都小于1 D．可能都大于1 34、若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则A．B．C．D．
35、方程的解的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
37、(本大题满分13分)若存在常数k和b(k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知
， (其中e为自然对数的底数)．(1)求的极值；(2)函数
和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数，曲线C n：y＝在其上一点P n(x n，y n)的切线l n总经过定点(－a,0)(n∈N*).
(1)求证：点列：P1，P2，…，P n在同一直线上；(2)求证： (n∈N*).
39、（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式
都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数
为自然对数的底，为常数）.
(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.
40、已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足
，证明：当时，．
1、解：（1）对于函数，当时，．当或时，
恒成立，故是“平底型”函数．对于函数，当时，；当时，．所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．
（Ⅱ）若对一切R恒成立，则．所以
．又，则．则，解得．故实数的范围是．
（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间
和常数，
使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．当时，．当时，，当
时恒成立．此时，是区间上的“平底型”函数．当
时，．当时，，当时，．
此时，不是区间上的“平底型”函数．综上分析，m＝1，n＝1为所求．
2、B
3、 7、②③ 8、 10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、D 28、B29、B
32、D33、分析：因为有两个零点，所以，
，故与
中至少有1个小于1．
34、B 35、C
37、(1)解：∵，∴当
时，
∵当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．
(2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即
由，可得当时恒成立由
得下面证明当时恒成立．令
，则，当
时，．∵当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为0．从而，即
恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．
38、.证法一：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)C n：y＝在点P n(x n，y n)处的切线l n的斜率k n＝f′(x n)＝·，∴l n的方程为y－y n＝·(x－x n).(2分)
∵l n经过点(－a,0)，∴y n＝－·(－a－x n)＝·(a＋x n).又∵P n在曲线C n上，∴y n＝＝·(a＋x n)，
∴x n＝a，∴y n＝，∴P n(a，)总在直线x＝a上，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a上.(4分)
(2)由(1)可知y n＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，
.(9分)
设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，∴F′(x)＝－＝＝
>0(x∈(0,1))，
∴F(x)在[0,1]上为增函数，即当0<x<1时F(x)>F(0)＝0，故当0<x<1时>ln(x＋1)恒成立.(11分)取x ＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－ln i，即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－ln n，
综上所述有 (n∈N*).(13分)
证法二：(1)设切线l n的斜率为k n，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝k n(x＋a)，则方程组
的解为.(1分)由方程组用代入法消去y化简得k x2＋(2ak－n)x＋
k a2＝0，(*)有Δ＝(2ak－n)2－4k·k a2＝－4ank＋n2＝0，∴k＝.(2分)代入方程(*)，得x2＋(2a·－n)x＋·a2＝0，即x2－2a·x＋a2＝0，
∴x＝a，即有x n＝a，y n＝＝，即P1，P2，…，P n在同一直线x＝a上.(4分)(2)先证：0<x<1时
>x>ln(x＋1)，以下类似给分.
39、（本小题满分14分）
解：（1），当时，，即，
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数
当时，，函数是区间上的增函数当时，
即，函数在区间上是增函数，在区间
上是减函数.…7分
（2）若存在，则恒成立，
令，则，所以，因此：恒成立，即恒成立，
由得到：，现在只要判断是否恒成立，设，因为：，当时，，，当时，
，，
所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”.
40、解：（1）设函数图像与轴的交点坐标为（，0），∵点（，0）也在函数的图像上，∴．而，∴．
（2）由题意可知当时，,∴
,
即：当时，即．又
,当时，
∴<0,∴,综上可知，
．。