广东省肇庆市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

广东省肇庆市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设z1=﹣3+4i，z2=2﹣3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算和几何意义进行求解．解答：解：∵z1=﹣3+4i，z2=2﹣3i，∴z1+z2=﹣3+4i+2﹣3i=﹣1+i，对应的坐标为（﹣1，1）位于第二象限，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算是解决本题的关键．2．已知f（x）=e x+sinx，则f′（x）=( )A．lnx+cosx B．lnx﹣cosx C．e x+cosx D．e x﹣cosx考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可．解答：解：∵f（x）=e x+sinx，∴f'（x）=e x+cosx，故选：C．点评：本题考查了求导公式和法则的简单应用，是基础题．3．若复数（a2﹣2a﹣3）+（a+1）i是纯虚数，则实数a的值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1或3考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：复数为纯虚数，那么实部为0，且虚部不等于0．解答：解：因为复数（a2﹣2a﹣3）+（a+1）i是纯虚数，a是实数，所以a2﹣2a﹣3=0且a+1≠0，解得a=3．故选A．点评：本题考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0且b≠0．4．在曲线y=x3上切线的斜率为3的点是( )A．（0，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，1）或（﹣1，﹣1）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可．解答：解：曲线y=x3，可得y′=3x2，曲线y=x3上切线的斜率为3，可得3x2=3，解得x=±1，切点坐标为：（1，1）或（﹣1，﹣1）．故选：D．点评：本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，考查计算能力．5．否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为( )A．m，n，k都是奇数B．m，n，k都是偶数C．m，n，k中至少有两个偶数D．m，n，k都是偶数或至少有两个奇数考点：反证法．专题：推理和证明．分析：求得命题：“自然数m，n，k中恰有一个奇数”的否定，即可得出结论．解答：解：由于命题：“自然数m，n，k中恰有一个奇数”的否定为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”，故否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”，故选：D．点评：本题主要考查反证法，求一个命题的否定，属于基础题．6．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是( )A．f（x）=B．f（x）=x+C．f（x）=（x﹣1）2D．f（x）=ln（x+1）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件可得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，然后进行判断即可．解答：解：∵“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”，∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，则A．f（x）=满足条件．B．f（x）=x+在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，不满足条件．C．f（x）=（x﹣1）2在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，不满足条件．D．f（x）=ln（x+1）在（0，+∞）上为增函数，不满足条件．故选：A．点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质．7．复数的共轭复数是( )A．B．C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．解答：解：复数===﹣i，∴复数的共轭复数是+i，故选A．点评：本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．8．函数f（x）=lnx﹣的单调递增区间为( )A．（﹣∞，﹣1）与（1，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．解答：解：∵f（x）=lnx﹣，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣x=，当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1时，函数单调递增，∴函数f（x）=lnx﹣的单调递增区间为为（0，1）．故选：C．点评：本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是求导，属于基础题．9．=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A．B．3C．D．4考点：三角形的面积公式．专题：函数的性质及应用．分析：设两段分别为x和12﹣x，其中0＜x＜12，可得面积之和S=（2x2﹣24x+144），由二次函数区间的最值可得．解答：解：设两段分别为x和12﹣x，其中0＜x＜12，可得面积之和S=×（）2+×（）2=（2x2﹣24x+144），由二次函数可知当x=﹣=6时，上式取最小值2故选：A点评：本题考查最值问题，涉及二次函数区间的最值，属基础题．11．若不等式kx2+2kx+2＜0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )A．0＜k＜2 B．0≤k＜2 C．0≤k≤2 D．k＞2考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据题意，讨论k的取值，是否满足不等式kx2+2kx+2＜0的解集为空集即可．解答：解：当k=0时，满足题意；当k＞0时，△=4k2﹣8k≤0，解得0＜k≤2；∴实数k的取值范围是[0，2]．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，讨论字母系数的取值情况，从而得出正确的答案．12．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．解答：解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的运算法则化简即可．解答：解：化简可得（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）=1﹣i2﹣1+i=1+1﹣1+i=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．14．一物体的运动方程为s=3t2﹣2，则其在t=时的瞬时速度为1．考点：变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：求出位移的导函数，据位移的导数是瞬时速度，根据瞬时速度为1，代入即可求出时间t．解答：解：∵s′=6t，令6t=1，解得t=故答案为：．点评：本题考查物体的位移的导数表示物体运动的瞬时速度．15．若复数z=2+（a+1）i，且|z|＜2，则实数a的取值范围是（﹣3，1）．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义以及复数的模长公式进行化简即可．解答：解：∵z=2+（a+1）i，且|z|＜2，∴＜2，即4+（a+1）2＜8，即（a+1）2＜4，﹣2＜a+1＜2，解得﹣3＜a＜1，故答案为：（﹣3，1）点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础．16．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）试求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求直线l和曲线C的公共点的坐标．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；（II）由直线l与曲线C的方程组成方程组，求得公共点的坐标．解答：解：（I）∵直线l的参数方程为（t 为参数），消去参数t，∴直线l的普通方程为2x﹣y﹣2=0；又∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，∴曲线C的普通方程为y2=2x；（II）由直线l与曲线C组成方程组，解得，或；∴公共点的坐标为（2，2），（，﹣1）．点评：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标系方程来进行解答，是基础题．18．某产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x/百万元 2 4 5 6 8y/百万元30 40 60 50 70（1）求y与x之间的回归直线方程；（参考数据：22+42+52+62+82=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）把所给的广告费支出为1千万元时，代入线性回归方程，可估算出对应的销售额．解答：解：（1），，，，，，所以回归直线方程为．（2）当x=10时，（百万元），即当广告费用支出为1千万元时，销售额约是8.25千万元．点评：本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心．19．随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下2×2列联表：读营养说明不读营养说明合计男16 4 20女8 12 20合计24 16 40（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．考点：独立性检验．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）计算观测值，对照表中数据做出概率统计；（2）根据分层抽样原理，得出男、女生应抽取的人数各是多少；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率．解答：解：（1）因为，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”．（2）根据分层抽样原理，得男生应抽取的人数是：（人），女生抽取的人数是：（人）；（3）由（2）知，男生抽取的人数为2人，设为a，b；女生抽取的人数为1人，设为c；则所有基本事件数是：（a，b），（a，c），（b，c）共3种．其中满足条件的基本事件是：（a，c），（b，c）共2种，所以，恰有一男一女的概率为．点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目．20．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD．M是AD的中点，P是BM 的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：BC⊥CM；（2）证明：PQ∥平面BCD．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AD与平面BCD垂直，得到BC与AD垂直，进而得到BC与平面ACD垂直，即可得证；（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，利用中位线定理得到PE与DM平行，进而得到PE与AD平行，等于AD的四分之一，在三角形CAD 中，根据题意得到DF与AD平行，且DF等于AD的四分之一，得到PE与DF平行且相等，进而确定出四边形EDQP为平行四边形，得到PQ与EF平行，即可得证．解答：证明：（1）∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，且CD、AD⊂平面ACD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，∵CM⊂平面ACD∴BC⊥CM；（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，∵P、E分别是BM、BD的中点，∴PE为△BDM的中位线，∴PE∥DM，且PE=DM，即PE∥AD，且PE=AD，在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，∴QF∥AD，且QF=AD，∴PE∥QF，且PE=QF，∴四边形EFQP为平行四边形，∴PQ∥EF，∵EF⊂平面BCD，PQ⊄平面BCD，∴PQ∥平面BCD．点评：此题考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．22．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（1）当a=2时，对于任意的m∈[﹣1，1]，n∈[﹣1，1]求f（m）+f′（n）的最小值；（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0求a的取值范围．考点：函数最值的应用；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）欲求f（m）+f′（n）的最小值，就分别求f（m）、f′（n）的最小值（2）存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0即寻找f（x）max＞0是变量a的范围．解答：解：（1）由题意知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f′（x）=﹣3x2+4x令f′（x）=0，得x=0或当x在[﹣1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：X ﹣1 （﹣1，0）0 （0，1） 1f′（x）﹣7 ﹣0 + 1f（x）﹣1 ↓﹣4 ↑﹣3∴对于m∈[﹣1，1]，f（m）的最小值为f（0）=﹣4，∵f′（x）=﹣3x2+4x的对称轴为且抛物线开口向下∴对于n∈[﹣1，1]，f′（n）的最小值为f′（﹣1）=﹣7，∴f（m）+f′（n）的最小值为﹣11．（2）∵f′（x）=﹣3x（x﹣）①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=﹣4，则当x＞0时，f（x）＜﹣4∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0②若a＞0，则当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（）=根据题意，，即a3＞27，解得a＞3综上，a的取值范围是（3，+∞）点评：本题考查了三次函数、二次函数的最值问题，以及存在性问题．。