[数学(理)]2015届山东省实验中学第三次诊断考试理科数学试题及答案
山东省实验中学2015届第一次诊断性考试试题数学理
山东省实验中学2015届第一次诊断性考试试题数学理第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a = A. 2-B.2C. 12-D. 122.已知集合{}{}1,,2A y y x x R B x x ==-∈=≥，则下列结论正确的是 A. 3A -∈B. 3B ∉C. A B B ⋂=D. A B B ⋃=3.已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4,n a a a a -++=则A. 342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B. 243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C. 1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D. 1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5.右图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是 A. 10i >B. 10i <C. 11i >D. 11i <6.函数()21log f x x x=-的零点所在的区间为 A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,47.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A.3πB.C.D. 以上全错8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A. 2x y =B. 2x y =C. 28x y =D. 216x y =9.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP OA λ=+uu u r uu r (sin sin AB ACAB B AC C+uu u r uuu ruu u r uuu r)(()0λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的 A.内心 B.外心 C.垂心D.重心10.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f = A.0 B.4-C.8-D.16-第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题包括5小题，共25分）11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m12.在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是________13.观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为_______.14.若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:516C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为_________.15.已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b +的最小值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知向量()()()sin ,cos ,cos 0a x x b x x ωωωωω==>r r ，函数()f x a b =⋅-r r 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）如果△ABC 的三边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C，且满足()222b c a f A +=，求的值.17.（本小题满分12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为12，乙投篮命中的概率为23. （I ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；（II ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1-分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，AC=AB=1，1111111,//,2AC A B BC B C BC B C BC ===. （I ）求证：111//AB AC C 面；（II ）求二面角11C AC B --的余弦值的大小.19.（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==；数列{}n b 的前n 项和为,2n n n S S b +=且. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）若()nn n na c n N Tb +=∈，为数学{}nc 的前n 项和，求n T .20.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（I ）求椭圆的方程；（II ）过点()1,0Q -的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线4x =-于点E ，.AQ QB AE EB λμ==uuu r uu u r uu u r uuu r，判断λμ+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数()22211ax a f x x +-=+，其中a R ∈.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）若()[)0f x +∞在，上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.山东省实验中学2012级第一次诊断性考试理科数学参考答案16.（I ）()23cos 3cos sin 232-+=-⋅=x x x b a x f ωωω x x ωω2cos 232sin 21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πωx ………………………3分 ∵()x f 的最小正周期为π，且ω＞0。
山东省实验中学高三上学期第三次诊断考试数学(理)试题
山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试数学试题(理科)2017．12说明：本试卷满分150分。
分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I 卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x x B x x =--≤=≥，则集合A B ⋂= A ．[]2,3-B ．[]2,2-C ．(]0,3D ．[]2,32．设向量()(),1,4,,//a x b x a b ==且，则实数x 的值是 A ．0B ．2-C ．2D ．±23．己知实数,x y 满足约束条件2212y x x y z x y x ⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A ．32B ．52C ．3D ．44．设,αβ是两个不同的平面，直线m α⊂．则“//m β”是“//αβ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45624,48a a S +==，则公差d 的值为： A ．1B ．2C ．4D ．86．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b -=⊥-=满足且，则 AB ．2C.D ．47．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升；则下列判断正确的是A ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且507a = B ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D ．,,a b c 够次成公比为12的等比数列，且507c =8．函数()()sin ln 2xf x x =+的图象可能是9．如图是函数()5sin ,0,0,0266y x x R A πππωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+∈>><<- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y =sin x 的图象A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移至3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,AC BC AC BC PA ⊥===，外接球的表面积为AB ．5πC ．20πD ．72π11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为A. 1⎛+⎝⎭米 B.2米C. (1+米D. (2+米12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,63⎛-+ ⎝C ．1,63⎛-- ⎝D ．163⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________． 14．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．15．已知函数()()sin 01f x x x a b π=<<≠，若，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为_____________. 16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若， 数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()222cos 1,f x x x x R +-∈．(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(II)在ABC ∆中，A ，B ，C的对边分别为(),,1,sin 2sin a b c c f C B A ===，已知，求,a b 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n n S a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (II)令2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示其中一个数字被污损．(I)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率；(II)节目的播出极大激发了观众对成语知识的学习与积累的热情。
2015届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题
山东省实验中学2012级第二次诊断性考试数学试题（理科）2014.11说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第4页。
试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题的答案无效。
考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.集合{}{}2,1,0,1xA y R yB =∈==-，则下列结论正确的是A.{}0,1A B ⋂=B.{}0,A B ⋃=+∞C.()(),0R C A B ⋃=-∞D.(){}1,0R C A B ⋂=-2.“22ab>”是“ln ln a b >”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知()10,sin cos 2απαα∈+=，且，则cos 2α的值为A.4±B.4C. 4-D.34-4.已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.65.设函数()sin cos2f x x x =图象的一条对称轴方程是 A. 4x π=-B.0x =C.4x π=D. 2x π=6.若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、7.要得到一个奇函数，只需将函数()sin 2f x x x =的图象 A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向右平移4π个单位 D.向左平移3π个单位 8.定义在R上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为 A.2B.1C.0D.2-9.在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是 A.等边三角形B.不含60o的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形10.函数()f x =①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞； ④方程()()1ff x =+.上述关于函数()f x 的描述正确的是A.①③B.③④C.②③D.②④第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上. 11.定积分()12xx e dx +⎰____________.12.如果()2tan sin 5sin cos f x x x x =-⋅，那么()2f =_________.13.函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.14.已知ABC ∆的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为____________.15.设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有；④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos sin f x x x x x =-. （I ）求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭及()f x 的单调递增区间；（II ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值.17.（本小题满分12分）设命题p ：函数()31f x x ax =--在区间[]1,1-上单调递减；命题q ：函数()2ln 1y x ax =++的值域是R.如果命题p q 或为真命题，p q 且为假命题，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知23c C π==，.（I ）若ABC ∆,a b ； （II ）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求,a b .19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，()*143n n a a n n N ++=-∈.（I ）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （II ）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；20.（本小题满分13分）已知函数()432f x ax bx cx dx e =++++的图像关于y 轴对称，其图像过点()0,1A -，且在x =18.（I ）求()f x 的解析式；（II ）对任意的x R ∈，不等式()20f x tx t --≤恒成立，求t 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数()()3221103f x x x ax =+++-在，上有两个极值点12x x ，且12x x <.（I ）求实数a 的取值范围；（II ）证明：()21112f x >.。
山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试数学试题（理科）
⼭东省实验中学2015级⾼三第三次诊断性考试数学试题（理科）⼭东省实验中学2015级⾼三第三次诊断性考试数学试题(理科)第I卷(共60分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题。
每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．)1. 设集合，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，根据集合的交集的概念得到集合。
故得到答案为：D。
2. 设向量，则实数x的值是A. 0B.C. 2D. ±2【答案】D【解析】向量因为，由向量平⾏的坐标运算得到故答案为：D。
3. ⼰知实数满⾜约束条件的最⼤值为A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据不等式组画出可⾏域，可得可⾏域是⼀个封闭的三⾓形区域，记和交于点A（1，1），⽬标函数化为，根据图像可知，当⽬标函数过点A时，有最⼤值，代⼊得到3.故答案为：C。
4. 设是两个不同的平⾯，直线．则“”是“”的A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平⾯与不平⾏，所以充分性不成⽴；必要性：若，则平⾯内的任意直线都与平⾏，则必要性成⽴，所以是必要不充分条件。
故选B。
5. 已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由等差数列的概念及前n项和公式得到故答案为：C。
6. 已知不共线的两个向量满⾜A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】向量，两边平⽅得到化简得到联⽴两式得到。
故答案为：B。
7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样⼀个问题：今有⽜、马、⽺⾷⼈苗，苗主责之粟五⽃，⽺主⽈：“我⽺⾷半马．”马主⽈：“我马⾷半⽜．”今欲衰偿之，问各出⼏何?此问题的译⽂是：今有⽜、马、⽺吃了别⼈的⽲苗，⽲苗主⼈要求赔偿5⽃粟．⽺主⼈说：“我⽺所吃的⽲苗只有马的⼀半.”马主⼈说：“我马所吃的⽲苗只有⽜的⼀半.”打算按此⽐例偿还，他们各应偿还多少?已知⽜、马、⽺的主⼈应偿还升，b升，c升，1⽃为10升；则下列判断正确的是A. 依次成公⽐为2的等⽐数列，且B. 依次成公⽐为2的等⽐数列，且C. 依次成公⽐为的等⽐数列，且D. 够次成公⽐为的等⽐数列，且【答案】D【解析】由条件知，，依次成公⽐为的等⽐数列，三者之和为52升，根据等⽐数列的前N项和，即故答案为D。
山东省2025届高三上学期第一次诊断考试 数学含答案
山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。
试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省淄博市六中2015届高三上学期第三次诊断考试理科数学试题Word版含答案
淄博六中2015届高三第三次诊断考试（期中）数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或3}x >，2{|340}B x x x =--≤，则集合A B =（ ）A ．{}|24x x -≤≤B ．{}|13x x -≤≤C ．{}|21x x -≤≤-D ．{}|34x x ≤≤2、“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知命题:p 函数12x y a +=-恒过()1,2点；命题:q 若函数()1f x -为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真没命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝4、等差数列{}n a 中，若75913a a =，则139S S =（ ） A ．1 B ．139 C ．913D ．2 5、若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=（ ） A ．79- B ．13- C ．13 D ．79 6、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12π B． C ．3π D．7、设,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）A ．当c α⊥时，若c β⊥，则//αβB ．当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C ．当b α⊂，且c 是a 内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂，且c α⊄时，//c α，则//b c8、在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=，则BC =( )A．9、设函数()2x f x =，则如图所示的函数图象对应的函数是（ ）A ．()y f x =B ．()y f x =-C ．()y f x =--D ．()y f x =-10、定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()()f x x f x '⋅<且()20f =，则()0f x x <的解集为（ ）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞C ．()2,+∞D ．φ第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省实验中学高三第三次诊断考试数学(理)试题
山东省实验中学2015届高三第三次诊断考试数学理试题2014.12说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共5页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.已知{}134,0,,2x M x x N x x Z M N x -⎧⎫=-<=<∈⋂=⎨⎬+⎩⎭A. B. C. D.2.幂函数的图象过点12⎛ ⎝⎭，则A. B.1 C. D.23.已知向量，若垂直，则m 的值为A. B. C. D.4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2B.1：3C.1：4D.1：55.等比数列，前三项和，则公比q 的值为A.1B.C.D.6.复数（是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是A. B. C. D.8.若函数()()1x x f x k a a -=--（）在R 上既是奇函数，又是减函数，则的图象是9.设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示， KLM 为等腰直角三角形，,的值为A. B. C. D.10.已知函数()()()()21,021,0xx f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和A.45B.55C.90D.110第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.）11.由1,1,2,1y x x y x====所围成的封闭图形的面积为______________. 12.已知不等式组,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，点在所给平面区域内，则的最大值为_____________.13.已知离心率为的双曲线C ：的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,25n a a n d ==+，则的最小值等于___________. 15.定义函数()()1,,1,0,x Q d x f x gx x Q ∈⎧==⎨∉⎩那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.①函数为偶函数；②函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；③方程有两个不同的根.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本题满分12分） 已知向量sin ,cos ,cos ,3cos 3333x x x x a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数. （I ）求函数的单调递增区间；（II ）如果的三边满足，且边b 所对的角为，试求的范围及函数的值域.17. （本题满分12分）如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.（I ）建立适当基底，利用，把表示出来（即求的解析式）；（II ）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式.18.（本题满分12分）已知直线.（I ）若以点为圆心的圆与直线相切于点P ，且点P 在轴上，求该圆的方程；（II ）若直线关于轴对称的直线与抛物线C ：相切，求直线的方程和抛物线C 的方程.19. （本题满分12分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（I ）求数列的通项公式；（II ）设数列的前项和为，求证：.20. （本题满分13分）已知函数.（I ）求函数的单调区间；（II ）若函数在区间上不是单调函数，求实数t 的取值范围；（III ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21. （本题满分14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的长轴长是4，椭圆()22222:10y x C m n m n+=>>短轴长是1，点分别是椭圆的左焦点与右焦点. （I ）求椭圆的方程；（II ）过的直线交椭圆于点M ，N ，求面积的最大值.。
2024届山东省实验中学高三上学期第三次诊断考试数学及答案
山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.125. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的.的A.B.C.D. 6. 如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. y =±C. y =D. y =7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞- B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（ ）A. 1012k a = B. 10111012a m a << C. m k≥ D. 212s s =10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一一组点,P Q ，使得AP PQ⊥.的D. 1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色小正方体的概率为124279=.故选：C5. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC======所以11111cos,sin3A OC A OC∠==∠=11cos A OC A OC∠==∠=又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC∠为钝角，所以sinα的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6. 如图，1F､2F是双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的左､右焦点，过2F的直线与双曲线C交于A､B两点.若A是2BF中点且12BF BF⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±B. y=±C. y =D. y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-， 222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，得到 ()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，则 ()g x 在R 上递增，当1x ≤时， ()()22g x a x =-+，则20a +<，即 2a <-成立；当1x >时， ()322213112326g x x ax a x =-+-，则 ()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得 12a ≤；当312a >，即23a >时， 231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，23BG BE ==AG∴===，又4ABC ABD ACD BCDS S S S=====，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABDV V V V V-----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDVRS S S S-=+++，又13A BCDV-==，R∴==，AO AG GO=-==，12AO AG R r r r=--=-=-，又1AHO AFO，可得11AO O HAO OF=即r=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a⋯<<<⋯<，记其中位数为k，均值为m，标准差为1s，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a+++⋯+的标准差为2s，下列结论正确的是（）A. 1012k a= B.10111012a m a<< C. m k≥ D. 212s s=【答案】AD【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因1232023a a a a<<<<，样本数据最中间项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,12022.n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024iii i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s ===，D 对.故选：AD 10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A. 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，的所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C 项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D. 1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，=212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B 正确；对A ， 3PA PB +=+=，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，的所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+()0,∞+恒成立，在即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e ex x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞. 故答案为：(],2e -∞16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b+=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b--+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故e =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一 根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，cos ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA ADCB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又224449cos 8a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得a =a =当a =时，32c =，则122DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11sin 22ABC S ab C ===△方法二 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有232a =，所以a =所以21πsin 23ABC S ab ===△18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PA SA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）PA SA =.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则0,,0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则0,,AP y z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，AS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得)1y a λ=-，z a =，即)1P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n = .设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，因为)112BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=- .因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60m n m n m n ⋅〈〉===︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得λ=，即PA SA =【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n ++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式n n a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n na n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n ++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n n n a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n na n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n ++=⋅∈N ，∴121n n a a n n +=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n n a n -=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】 ()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n =，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k k k k k k k b b k c k -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n nn T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n nn T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********n n n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||P M N P M N >21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01t g t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，的由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP NP FA MA ==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅， ∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB NF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。
山东省实验中学2015届高三第三次诊断性考试数学(文)试题
山东省实验中学2015届高三第三次诊断性考试数学（文）试题2014.12说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第3页至第5页。
试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一．．．个选项．．．符合题意） 1.如图，U 是全集,M U N U ⊆⊆，则阴影部分所表示的集合是A. M N ⋃B. ()U C M N ⋂C. ()U C N M ⋂D. ()U C M N ⋂2.已知命题()()()()122121:,,0p x x R f x f x x x p ∀∈--≥⌝，则是 A.()()()()122121,.0x x R f x f x x x ∃∈--≤B.()()()()122121,0x x R f x f x x x ∀∈--≤，C.()()()()122121,0x x R f x f x x x ∃∈--<，D.()()()()122121,0x x R f x f x x x ∀∈--<，3.设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 23π B. 83π- C. 82π- D. 283π- 4.在不等式组020x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若2z x y =+的最大值为6，则a 的值为A. 2-B.2C. 6-D.65.设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直6.函数()01xxa y a x=<<的图象的大致形状是7.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=，则向量a b 与的夹角为A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π8.对于不重合的两个平面αβ与，给定下列条件：①存在平面γ，使得αβ、都垂直于γ；②存在平面γ，使得αβ、都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线m l 、，使得1//,1//,//,//m m αβαβ，其中，可以判定αβ与平行的条件有A.1个B.2个C.3个D.4个9.在ABC ∆中，若()()()2222sin sin a b A B a b C +-=-，则ABC ∆是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 10.已知()()()()11,2f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0，1]内有且只有一个根12x =，则()0f x =在区间[]0,2014内根的个数为A.2014B.2013C.1007D.1006第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题包括5小题，共25分）11.设向量()()1,2,2,3a b ==，若向量a b λ+与向量()4,7c =--共线，则λ=_______；12.在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=_________；13. 45,=ABC a b B A ∆==∠=∠中，则_________； 14.设两圆2222430430x y x x y y +--=+--=和的交点为A 、B ，则线段AB 的长度为是__________；15.给出下列命题： ①函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数； ②函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为8x π=；③对于任意实数x ，有()()()(),,0f x f x g x g x x -=--=>且时，()()0,0f x g x ''>>则0x <时，()()f x g x ''>；④ 函数()2f x -与函数()2f x -的图象关于直线2x =对称；⑤若x >0，且1x ≠则1121gx gx+≥； 其中真命题的序号为____________.三、解答题（本题包括5小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,2cos ,3cos ,cos ,1m x x n x x f x m n ===⋅- （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（II ）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。
山东省实验中学高三第二次诊断性测试
山东省实验中学高三第二次诊断性测试standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive山东省实验中学高三第二次诊断性测试化学试题注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1～4页为选择题，第Ⅱ卷5～8页为非选择题。
考试时间90分钟，满分100分。
2．请将第Ⅰ卷选择题所选答案的标号（A、B、C、D）填涂在答题卡上可能用到的原子量: H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 Cu 64第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本题包括17小题，每小题只有一个选项符合题意。
1-11题每小题2分，12-17题每小题3分，共40分。
）1.下列物质及用途正确的是A．碳酸钡、钡餐（X光透视）B. 苯甲酸钠、食品防腐剂C．甲醛、食品漂白 D. 苏丹红、食品色素2. 久置空气中会发生颜色变化，但颜色变化不是由于跟氧气反应引起的物质是A.过氧化钠固体B. 亚硫酸钠固体 C 硫酸亚铁晶体 D 苯酚晶体3.短周期元素A、B、C原子序数依次递增，它们原子的最外层电子数之和为10。
A与C在周期表中同主族，B原子最外层电子数等于A原子次外层电子数，下列叙述正确的是A. 原子半径A＞B＞CB. A的氢化物的稳定性大于C的氢化物C. A的氧化物的熔点比C的氧化物高D. A与C可形成离子化合物4. 同温同压下，等体积的两容器内分别充满由14N、13C、18O三种原子构成的一氧化氮和一氧化碳，下列说法正确的是A．所含分子数和质量均不相同 B．含有相同的分子数和电子数C．含有相同的质子数和中子数 D．含有相同数目的中子、原子和分子5. 用NA表示阿伏加德罗常数，下列说法中正确的是A.1L1mol/L的醋酸溶液中离子总数为2NA4中含有阳离子的数量为 NA晶体中含有右图所示的结构单元的数量为D. 标准状况下，22.4L CH3Cl和CHCl3的混合物所含有分子数目为NA6.将60℃的硫酸铜饱和溶液100克,冷却到20℃,下列说法正确的是A.溶液质量不变B.溶剂质量发生变化C.溶液为饱和溶液,浓度不变D.有晶体析出,溶剂质量不变7. 下列药品：① 氯水；② 氢氧化钠溶液；③ 银氨溶液；④ 氨水；⑤ 氢硫酸；⑥ 与乙醛发生反应的氢氧化铜；⑦ 由工业酒精制取无水酒精时所用的生石灰。
山东省实验中学2015届高三第三次诊断考试数学理试题Word版含答案
--------2 / 98.假设函数f xk 1 a x a x 〔 a 0，且 a 1〕在R 上既是奇函数，又是减函数，那么g x log a x k 的图象是 9.设偶函数f x Asin x A 0, 0,0的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 , KL1，那么 f1 的值为33 B.113A.4C.D.44410.函数fx2x 1, x 0xf x1x 的偶数零点按从小f x2 1, x，把函数 g2到大的顺序排列成一个数列，该数列的前 n 项的和S n ，那么S 10= A.45B.55C.90D.110第 II 卷〔非选择题，共 100 分〕二、填空题：〔本大题共 5 个小题， 每题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x 1, x 2, y 1所围成的封闭图形的面积为 ______________.xy x12.不等式组yx ,表示的平面区域的面积为 9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C ： x 2y 21 a 0 的左焦点与抛物线y 2 mx 的焦点5a 24重合，那么实数 m ____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a 1 1,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有： 中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku的局部图象如下图，KLM 为等腰直角三角形，KML90 ,KL 1，那么 f1的值为33B.113A.4C. D.44410.函数f x 2x1,x0x f x1x 的偶数零点按从小f x21, x，把函数 g02到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n，那么S10=A.45B.55C.90D.110第 II卷〔非选择题，共100 分〕二、填空题：〔本大题共 5个小题，每题 5 分，共 25分.请将答案填在答题卡指定横线上.〕11.由y 1, x1, x2, y1所围成的封闭图形的面积为______________. xy x12.不等式组y x,表示的平面区域的面积为9，点P x, y 在所给平面区域内，那么x az 3x y 的最大值为_____________.13.离心率为35的双曲线C： x2y2 1 a0 的左焦点与抛物线y2mx 的焦点5a24重合，那么实数 m____________.14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，假设a11,a n25，那么n d 的最小值等于___________.所有：中华资源库ziyuanku。
2024-2025学年山东省济南市高一上学期学情诊断联合考试数学试题
2024-2025学年山东省济南市高一上学期学情诊断联合考试数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合或，则（ ）{R,|3U M x x ==≤-}4x >U M =ðA. 或 B. {|3x x <-}4x >{}|34x x -<≤C.或 D.{|3x x ≤-x ≥4}{}|34x x -<<2. 已知命题，则命题的否定是（ ）2:R,2p x x ∀∈≥p A.B.2R,2x x ∀∈≤2R,2x x ∃∈≤C. D. 2R,2x x ∃∈<2R,2x x ∀∈<3. 下列各组函数中是同一个函数的是（）A. B.，()f x =()2g x =()211x f x x -=+()1g x x =-C.，D.，()()21N =-∈f n n n ()()21N g n n n =+∈()f t t=()g x =4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A .B. C.D. 1y x =+3y x=-1y x=||y x x =5. 已知 ，则下列结论错误的是（ ）12,35a b ≤≤≤≤A. 的取值范围为B. 的取值范围为a b +[]4,7b a -[]2,3C. 的取值范围为 D. 取值范围为ab []3,10a b 152,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数()f x R R x ∈()()241--=+f x f x x解析式为（ ）()f x A.B.()413=+f x x ()413=-f x x C. D.()113=-+f x x ()113=--f x x 7. 已知实数，则（ ）1a >2881a a a -+-A .无最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值4648. 已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有[2,2]-()f x [0,2]x ∈12x x ≠成立，若，则实数m 的取值范围为（ ）1212()()f x f x x x ->-(2)(2)f m f m +<A.B.C. D.2(1,)3--2[1,)3--(1,0)-2(,)3-∞-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的x 220x ax b -+>{}|x x a ≠b 数为（ ）A. B. C. D. 3-01310. 若，且，则下列说法正确的是（ ）0a b <<0a b +<A. B. 1ab<-110a b+<C. D. 22a b>(1)(1)0a b --<11. 下列说法不正确的是（ ）A. 若函数定义域为，则函数的定义域为()f x [1,3](21)f x +[0,1]B. 若定义域为R 的函数值域为，则函数的值域为()f x [1,5](21)f x +[0,2]C. 表示不超过的最大整数，例如，. 已知函数，则函数[]x x [0.5]1,[1.1]1-=-=()[]f x x =为奇函数()[]f x x =D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则()f x R (,0)x ∈-∞2()3f x x x =-+时，函数解析式为(0,)x ∈+∞2()3f x x x=-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设P ，Q 为两个非空实数集合，，，定义集合中的元素是2{}0,P =6{}1,Q =P Q ⨯，其中，，则集合的真子集个数是_________．a b ⨯a P ∈b Q ÎP Q ⨯13. 已知且，则的最小值为__________.0,0m n >>3m n +=36m n +14. 设函数，，若对任意的，存在，2()2f x x x =-()2g x mx =+1[1,2]x ∈-0[1,2]x ∈-使得，则实数的取值范围是___________．10()()g x f x =m 四､解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合，.11{|}A x a x a =-≤≤+2{|230}B x x x =--≤（1）当时，求；3a =A B （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 16. 二次函数满足，且．()f x ()()121f x f x x +-=-()04f =（1）求的解析式；()f x （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值[]1,2x ∈-()y f x =y x m =-+m 范围．17. 吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时，x ()g x；当产量大于50万盒时，.若每盒玩221018009000()x x g x x -+=2()603500g x x x =++具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；y x （2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．()24ax b f x x +=-()2,2-()213f =（1）求实数和的值；a b （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；()f x ()2,2-（3）若，求的取值范围．()()2110f t f t -+-<t 19. 定义在上的函数，对任意都有，且当R ()y f x =,R x y ∈()()()f x y f x f y +=+时，.x >0()0f x >（1）求证：为奇函数；()f x （2）求证：为上的增函数；()f x R （3）已知，解关于的不等式.(1)2f -=-x 2((()))2f ax f x f ax -<-。
山东省实验中学2017届高三上学期第二次诊断数学试卷(理科)含解析
2016-2017学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]4．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=07．“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]10．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=．12．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．13．设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．14．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．15．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．17．已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．18．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．19．已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．21．若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．2016-2017学年山东省实验中学高三（上）第二次诊断数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2]C．（1，2） D．（1，2]【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D2．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．3．函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（0，1） B．[0，1） C．（0，1]D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B4．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=﹣，代值计算可得．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A5．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=0【考点】函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用．【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣+2c，=，∵+f（x）=，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）=0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．7．“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选A．8．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．9．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D10．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．【考点】导数的运算；函数的值．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．12．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．13．设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．14．函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos[2（x﹣）+φ]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+）=的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值．【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y=cos[2（x﹣）+φ]=cos（2x+φ﹣π），而函数y=sin（2x+）=，由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x+）的图象重合，得2x+φ﹣π=，解得：φ=．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．15．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10．【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．17．已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．【解答】解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；（2）设切点为（），，∴切线方程为，∵切线经过原点，∴，∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．18．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．19．已知函数f（x）=cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）因为，所以所以，所以=20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）=+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a=﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为21．若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的零点．【分析】（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f （x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f （2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．2017年1月18日。
山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试文科数学试题 Word版含答案
山东省实验中学2012级第二次诊断性考试【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）【题文】1.设集合{}21212A x x B x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬⎩⎭，，则A B ⋃=A.{}12x x -≤<B.112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭ C.{}2x x <D.{}2x x 1≤<【知识点】集合及其运算A1【答案】A【过程】由题意得B={ x11x -≤≤}则A B ⋃={}12x x -≤<。
【方法】先求出集合B ，再求并集。
【题文】2.已知34,cos tan 254παππαα⎛⎫⎛⎫∈=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则等于 A.7B.17C.17-D.7-【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案】B【过程】由4cos 5∂=-，3(,)2ππ∂∈，tan ∂=34,则tan()4π-∂=17【方法】根据同角三角函数基本关系求出正切值，再求结果。
【题文】3.下列有关命题的叙述，①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②“5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件；③命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，使得210x x +-≥；④命题“若2320x x -+=，则12x x ==或”的逆否命题为“若12x x ≠≠或，则2320x x -+≠”。
其中错误的个数为A.1B.2C.3D.4 【知识点】命题及其关系A2 【答案】B【过程】若p q 为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。
(完整版)【烟台一模】山东省烟台市届高三3月诊断性测试数学理版含答案,推荐文档
ft 东省烟台市注意事项：2013 届高三 3 月诊断性测试数学（理）试题1. 本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
2. 使用答题纸时，必须使用 0．5 毫米的黑龟墨水签字笔书写，作图时，可用 2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．已知 i 是虚数单位，若 z （i+1）=i ，则|z|等于A ．1B ． 3C ． 2D ． 12 2 22．若集合 M={x ∈N *| x<6}，N={x || x -1|≤ 2}，则 M (ðR N ) =A ．（-∞，-1）B ． [1, 3)C ．（3,6）D ．{4,5}1 3.已知幂函数 y=f （x ）的图象过点（2 ），则 log f （2）的值为 , 2 2 21 1A ．B ．-C ．2D ．-224. 已知函数 f （x ）=e 2 x 2-1 ，若 2+)] = 1 ，则的值为A. k +4f [cos( 2 B. k - 4C. k +2 4 D. k- （其 4中 k ∈Z ） 4 4 245. 下列说法错误的是：A ．命题“若 x 2—4x+3=0，则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3，则 x 2－4x+3≠0”B ．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件C. 若 p ∧q 为假命题，则 p 、g 均为假命题D ．命题 P ：″ ∃x ∈ R ，使得 x 2+x+1<0”，则⌝P :"∀x ∈ R , x 2 + x +1 ≥ 0"6.若函数 f （x ）=2sin x (> 0) 在区间[- , ]上单调递增，则的最大值等于3 42 3A.B ．C ．2D ．3327. 若回归直线方程的斜率的估计值是 1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方2 23⎪⎩⎩ 程是 ^ ^A ． y =1．23x+4B ． y =1．23x+5C ． y =1．23x+0．08D ． y =0．08x+1．238. 如右图，某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形，则该几何体的体积是5 2A. B ．631 C.1D ．29. 若点 P 是以 A(- 10,0 、 B ( 10,0 为焦点，实轴长为2 的双曲线与圆 x 2+y 2 =10 的一个交点，则|PA|+ |PB|的值为 A. 2 B ． 4C ． 4D ． 6 10.函数 f （x ）=-（cosx ）1g|x|的部分图像是⎧x ≥ 111.实数 x ，y 满足⎨ y ≤ a (a > 1) ，若函数 z=x+y 取得垦大值 4，则实数 a 的值为⎪x - y ≤ 0 3 A ．2B ．3C ．4D ．2⎧2 x - 1, (x ≤ 0)12.已知函数 f （x ）= ⎨ f (x - 1) + 1, (x > 0)，把函数 g （x ）=f （x ）－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为n (n -1) A. a n = 2B. a n = n - 1C. a n = n (n - 1)D. a n = 2n - 2二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分．把正确答案填在答题卡的相应位置。
【全国百强校】山东省实验中学2015届高三上学期第一次(9月)诊断性考试数学(文)试题Word版含答案
第I 卷（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a = A. 2-B.2C. 12-D. 122.已知集合{}{}1,,2A y y x x R B x x ==-∈=≥，则下列结论正确的是 A. 3A -∈B. 3B ∉C. A B B ⋂=D. A B B ⋃=3.已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4,n a a a a -++=则A. 342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B. 243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C. 1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D. 1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5.右图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断横应填入的条件是 A. 10i > B. 10i <C. 11i >D. 11i <6.函数()21log f x x x=-的零点所在的区间为 A. ()0,1 B . ()1,2C. ()2,3 D . ()3,47.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为A.3πB.C.4D. 以上全错8.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A. 23x y =B. 23x y =C. 28x y =D. 216x y =9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足O P O A λ=+u u u r u u r (sin sin AB ACAB B AC C+uu u r uuu ruu u r uuu r)(()0λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的 A.内心B.外心C.垂心D.重心10.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图像关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f = A.0B.4-C.8-D.16-第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题包括5小题，共25分）11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m12.已知函数()()34f x x ax a R =-+-∈若函数()y f x =的图象在点()()1,1P f 处的切线的倾斜角为4a π=，则________13.观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为_______.14.若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:516C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为_________.15.已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.（本小题满分12分）已知向量()()()sin ,cos ,cos 0a x x b x x ωωωωω==>r r，函数()f x a b =⋅r r 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的单调增区间；（II ）如果△ABC 的三边a bc 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且满足()222b c a b cf A +=，求的值.17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）(I) 求x 、y;(II)若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率。
山东省实验中学2015届高三数学第三次诊断考试试题 理（含解析）新人教A版
山东省实验中学2015届高三第三次诊断考试数学（理）试题说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共5页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.【试卷综析】整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度适中，区分度明显。
客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，对高中数学知识、方法和思想的整体把握，综合训练使得相当一部学生的数学教与学的成效得到应有的体现，对教师和学生的教与学的积极性有一定的提高.使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，并自觉地应用于数学学习和问题解决的过程之中，不断提升数学学习的效益.第I 卷（共50分）【题文】一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意）【题文】1.已知{}134,0,,2x M x x N x x Z M N x -⎧⎫=-<=<∈⋂=⎨⎬+⎩⎭A. ∅B.{}0C. {}2D. {}27x x ≤≤【知识点】集合 A1【答案】【解析】B 解析：由题意可知{}{}{}|17,1,00M x x N M N =-<<=-∴⋂=所以B 为正确选项.【思路点拨】根据集合的运算可求出正确结果.【题文】2.幂函数()af x k x =⋅的图象过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则k α+= A.12B.1C.32D.2【知识点】幂函数的概念 B8【答案】【解析】C 解析：根据幂函数的概念可知1,k =所以()f x x α=代入点可得12α=，所以32k α+=【思路点拨】根据函数的概念可求出字母的值，再进行计算.【题文】3.已知向量()()1,3,2,a b m ==-，若2a a b +与垂直，则m 的值为 A. 1B. 1-C. 12-D.12【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】B 解析：由题意可知向量2a b +的坐标为()3,32m -+，因为2a a b +与垂直，所以2a a b +与数量积等于零，得1m =-，B 正确.【思路点拨】根据向量的坐标运算，再求向量的数量积可得结果.【题文】4.圆()2211x y -+=被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5 【知识点】直线与圆相交的性质 H4【答案】【解析】B 解析：圆的圆心为（1，0）到直线x ﹣y=0的距离为=∴弦长为2×=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形， 较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=∴较短弧长与较长弧长之比为1：3 故选B【思路点拨】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得． 【题文】5.等比数列{}36n a a =中，，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为A.1B. 12-C. 112--或 D. 112-或 【知识点】数列的概念；积分的运算. B13 D1【答案】【解析】 D 解析：由题意可计算318S =，()()33212361118,21011q a q q S q q q q--===∴--=-- 112q ∴=-或，D 为正确选项.【思路点拨】根据积分和运算可求出前三项和，再由等比数列前n 项和公式可求出公比. 【题文】6.复数212m iz i-=+（,m R i ∈是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【知识点】复数的运算 L4 【答案】【解析】A解析：可将复数化为()()()221242242200555512m i i m m m m Z i i ---+-+==-∴><-时，-，所以复数不可能在第一象限，所以选A【思路点拨】由复数的运算可以化简，再根据实部与虚部判定所在象限.【题文】7.直线1y x =-与双曲线()22210y x b b-=>有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是A. ()1,2B.()2,+∞C. ()1,+∞D. ()()1,22,⋃+∞【知识点】直线与双曲线的位置关系 H8【答案】【解析】D 解析：由题意可知当双曲线的渐近线斜率不等于1±时，即1ba±≠±时，即有两个不同的交点，所以12cb a≠∴≠，所以正确选项为D. 【思路点拨】由直线与双曲线的位置关系可求渐近线的斜率，再求出离心率.【题文】8.若函数()()1x x f x k a a -=--（01a a >≠，且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是【知识点】函数的图象 B8【答案】【解析】A 解析：由()()1x x f x k a a -=--（01a a >≠，且）在R 上既是奇函数，又是减函数，所以2k =,01a <<,再由对数的图象可知A 正确. 【思路点拨】根据函数图象的移动可直接找出图象.【题文】9.设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，∆KLM 为等腰直角三角形，90KML ∠=,113KL f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则的值为A. 34-B. 14-C.14D.34【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【答案】【解析】C 解析：因为f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1， 所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ =， ∴函数的解析式为：f （x ）=sin （πx+），所以111sin 32324f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C ． 【思路点拨】通过函数的图象，利用KL 以及∠KML=90°求出求出A ，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解【题文】10.已知函数()()()()21,021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45 B.55C.90D.110【知识点】数列的性质 B9 D2【答案】【解析】C 解析：当0＜x≤2时，有﹣2＜x ﹣2＜0，则f （x ）=f （x ﹣2）+1=2x ﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x ﹣2≤2，则f （x ）=f （x ﹣2）+1=2x ﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x ﹣2≤4，则f （x ）=f （x ﹣2）+1=2x ﹣6+2，当4＜x≤8时，有4＜x ﹣1≤6，则f （x ）=f （x ﹣2）+1=2x-8+3， 以此类推，当2n ＜x≤2n+2（其中n ∈N ）时，则f （x ）=f （x ﹣2）+1=2x ﹣2n ﹣2+n ，即方程()102f x x -=在(0,2]（2，4]，（4，6]，…（2n ，2n+2]上的根依次为0，2，4，6，8 综上所述方程()102f x x -=的偶数零点按从小到大的顺序0，2，4，，6，8 其通项公式为：a n =2n ﹣2，前n 项的和为()1022902n n n S S -=∴=,C 正确. 【思路点拨】根据函数的性质判断出零点，再由数列的特点求出通项与数列的和.第II 卷（非选择题，共100分） 【题文】二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.） 【题文】11.由1,1,2,1y x x y x====所围成的封闭图形的面积为______________. 【知识点】定积分的概念 B13【答案】【解析】1ln 2- 解析：因为函数1y x=在[]1,2上的积分为211ln 2dx x =⎰，所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x 轴围成的面积1ln 2-.【思路点拨】根据定积分与图形的关系可分割求出面积.【题文】12.已知不等式组,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，点(),P x y 在所给平面区域内，则3z x y =+的最大值为_____________. 【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】12 解析：由平面区域的面积为9，可知3a =，由图可知目标函数的最大值在()3,3点处取得，所以33312z =⨯+=【思路点拨】利用线性规划的概念求出取得最大值时的点，再代入目标函数求出最大值.【题文】13.的双曲线C ：()222104x y a a -=>的左焦点与抛物线2y mx =的焦点重合，则实数m =____________.【知识点】圆锥曲线的概念 H6 H7【答案】【解析】-12 解析：由题意可得3c a c a ====所以双曲线的左焦点为()3,0-，再根据抛物线的概念可知3,124mm =-∴=-【思路点拨】根据双曲线与抛物线的概念即可建立关系式，再求出m 的值.【题文】14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,25n a a n d ==+，则的最小值等于___________.【知识点】等差数列的概念 D2【答案】【解析】11 解析：()()1241,1241n a a n d n d d n =+-∴-=∴=-因为各项均为正整数，所以d 也为正整数，只能为24，12，8，6，4，3，2，1那么对应的n 为1，3，4，5，7，9，13，25，所以n d +的最小值为11【思路点拨】根据等差数列的定义可对关系式进行分析，在相应的值中求出最小值.【题文】15.定义函数()()1,,1,0,x Qd x f x gx x Q ∈⎧==⎨∉⎩那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.①函数()d x 为偶函数；②函数()d x 为周期函数，且任何非零实数均为其周期； ③方程()()d x f x =有两个不同的根. 【知识点】函数的性质 B4【答案】【解析】① 解析：由题意可知()()f x f x -=成立，所以函数()d x 为偶函数，①正确，②不是周期函数，所以错误，()()d x f x ==0时，1x =为有理数，所以在此处没有根，所以只有一个根，③错误【思路点拨】根据函数性质的定义，对各项进行分析，判定正误.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分. 【题文】16.（本题满分12分） 已知向量sin,cos ,cos ,3cos 3333x x x x a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）如果ABC ∆的三边a b c 、、满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数()f x 的值域.【知识点】平面向量数量积；三角函数中的恒等变换；正弦函数的单调性 C4 F3 【答案】【解析】(I)(II) （，1+] 解析：（1）∵向量=（sin ，cos ）=（cos ，cos ）， ∴函数f （x ）=•=sin （）+，令2kπ﹣≤≤2kπ+，解得．故函数f （x ）的单调递增区间为．（2）由已知b 2=ac ，cosx==≥=，∴≤cosx＜1，∴0＜x≤∴∴＜sin （）≤1，∴＜sin （）+≤1+∴f（x ）的值域为（，1+]【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数f （x ）的单调递增区间；（2）通过b 2=ac ，利用余弦定理求出cosx 的范围，然后求出x 的范围，进而可求三角函数的值域【题文】17. （本题满分12分）如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.（I ）建立适当基底，利用//NM MP ，把y x 用表示出（即求()y f x =的解析式）； （II ）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()()12n n S f S n -=≥，求数列{}n a 通项公式.【知识点】数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 D1 F2【答案】【解析】(I) f （x ）=（0＜x ＜1）(II) a n =解析：（1）∵，∴∵，∥，∴x﹣y （1+x ）=0，∴即函数的解析式为：f （x ）=（0＜x ＜1）； （2）当n≥2时，由S n =f （S n ﹣1）=，则又S 1=a 1=1，那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，则，即S n =，n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=；n=1时，a 1=1故a n =．【思路点拨】（1）用分别表示，，再利用向量共线的条件，即可得到结论；（2）当n≥2时，由S n =f （S n ﹣1）=，则，可得数列{}是首项和公差都为1的等差数列，由此即可求得数列的通项． 【题文】18. （本题满分12分） 已知直线:,l y x m m R =+∈.（I ）若以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线l '与抛物线C ：21x y m=相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系 H4 H8 【答案】【解析】(I) （x ﹣2）2+（y+1）2=2(II) 当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=2y ， 当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=﹣2y解析：（1）解法1：依题意得点P 的坐标为（﹣m ，0）． ∵以点M （2，﹣1）为圆心的圆与直线l 相切与点P ， ∴MP⊥l．，解得m=﹣1．∴点P 的坐标为（1，0）．设所求圆的半径r ，则r 2=|PM|2=1+1=2，∴所求圆的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=2． （2）解法1：将直线方程y=x+m 中的y 换成﹣y ，可得直线l'的方程为y=﹣x ﹣m ．由得mx 2+x+m=0，（m≠0）△=1﹣4m 2，∵直线l'与抛物线相切∴△=0，解得．当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=2y ，当时，直线l 的方程为，抛物线C 的方程为x 2=﹣2y ．【思路点拨】（1）：确定点P 的坐标，进而可求圆的半径，从而可求圆的方程； （2）：设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想； 【题文】19. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2722,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.【知识点】数列的求和；等差数列的性质 D2 D4【答案】【解析】(I) a n =4n+2(II)略 解析：（Ⅰ）∵数列{a n }是等差数列，且S 5=70，∴5a 1+10d=70，又a 2，a 7，a 22成等比数列，∴27222a a a =⋅，∴()()()2111621a d a d a d +=++，解得a 1=6，d=4，或a 1=14，d=0（舍），∴a n =4n+2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n 2+4n ，∴==，∴=．∵T n+1﹣T n =，∴数列{T n }是递增数列，∴13T 68n ≤< 【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出5a 1+10d=70，27222a a a =⋅，由此求出首项和公差，从而能求出数列{a n }的通项公式． （Ⅱ）由（Ⅰ）得=2n 2+4n ，从而得到=，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n 项和T n 的值．【题文】20. （本题满分13分） 已知函数()1ln xf x x+=. （I ）求函数()f x 的单调区间； （II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上不是单调函数，求实数t 的取值范围； （III ）如果当1x ≥时，不等式()1af x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围. 【知识点】导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数研究函数的极值 B9 B12 【答案】【解析】(I) f （x ）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减(II) ＜t ＜1(III) a≤2 解析：（1）因为f （x ）=，x ＞0，则，当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0；当x ＞1时，f ′（x ）＜0．所以f （x ）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f （x ）在x=1处取得极大值．（2）因为函数f （x ）在区间（t ，t+）（其中t ＞0）上存在极值，所以，解得＜t ＜1．（3）不等式f （x ）恒成立，即为≥a 恒成立，记g（x）=，所以=令h （x ）=x ﹣lnx ，则，∵x≥1，∴h′（x ）≥0，∴h（x ）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x ）]min =h （1）=1＞0，从而g′（x ）＞0， 故g （x ）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g （x ）]min =g （1）=2，所以a≤2． 【思路点拨】因为f （x ）=，x ＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x ）在区间（t ，t+）（其中t ＞0）上存在极值，能求出实数a 的取值范围．不等式f （x ）恒成立，即为≥a 恒成立，构造函数g （x ）=，利用导数知识能求出实数k 的取值范围．【题文】21. （本题满分14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的长轴长是4，椭圆()22222:10y x C m n m n+=>>短轴长是1，点12,F F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.（I ）求椭圆12C C ，的方程；（II ）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN ∆面积的最大值.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 H5 H8【答案】【解析】(I) 椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；(II)解析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m ，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN 的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN 的面积的最大值为．【思路点拨】（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；- 11 -。
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题(解析版)
山东省实验中学2024届高三第一次诊断考试数学试题2023.10第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码．2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．1.已知集合{}24x A x =<，{}1B =≤，则A B = （）A.()0,2 B.[)1,2 C.[]1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2.已知复数z 满足i 2i z =-，其中i 为虚数单位，则z 为（）A .12i-- B.12i + C.12i-+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】计算12i z =--，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()2i i 2i 12i i i i z -⨯--===--⨯-，则12i z =-+.故选：C3.“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立求出b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由R x ∀∈，210bx bx -+>成立，则当0b =时，10>恒成立，即0b =，当0b ≠时，2040b b b >⎧⎨-<⎩，解得04b <<，因此R x ∀∈，210bx bx -+>成立时，04b ≤<，因为(0,4)[0,4)，所以“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的充分不必要条件.故选：A4.设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()D Y =（）A.4 B.5 C.6D.7【答案】A 【解析】【分析】二项分布与n 次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出()D X ，再利用方差的性质求解即可．【详解】解：因为12,3X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则()11421339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又31Y X =-，所以()()()224313349D Y D X D X =-==⨯=．故选：A ．5.设数列{}n a 为等比数列，若2342a a a ++=，3454a a a ++=，则数列{}n a 的前6项和为（）A.18B.16C.9D.7【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()223412234511214a a a a q q q a a a a q q q ⎧++=++=⎪⎨++=++=⎪⎩，解得1172a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，数列{}n a 的前6项和为()61127912-=-.故选：C.6.已知函数()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()2,+∞ C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】∵()f x 满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，∴()f x 在R 上是减函数，()00120203a a a a a ⎧<<⎪∴-<⎨⎪-⨯+≤⎩，解得103a <≤，∴a 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：C ．7.已知函数()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，则（）A.()()20f x f x --+=B.()()1f x f x -=+C.()()22f x f x +=-D.()20230f =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，逐项分析、判定选项，即可求解.【详解】对于A 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，可得()()2f x f x +=-，又由()f x 为奇函数，则()()()()22,f x f x f x f x --=-+-=-，则有()()2f x f x --=--，所以()()2f x f x ---=-，即()()2=fx f x --，所以A 错误；对于B 中，函数()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x +=-，所以B 不正确；对于C 中，由()()()2+==f x f x f x --，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()22f x f x +=-，所以C 正确；对于D 中，由()f x 是周期为4的周期函数，可得()()()()150********f f f f =-+⨯=-=-，其中结果不一定为0，所以D 错误.故选：C.8.已知OA ，OB ，OC 均为单位向量，满足12OA OB ⋅= ，0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，OC xOA yOB =+ ，则3x y +的最小值为（）A.14-B.3-C.14-D.-1【答案】B 【解析】【分析】首先确定向量,OA OB 的夹角，从而构建单位圆，确定向量,,OA OB OC的坐标，并利用三角函数表示3x y +，并利用三角函数求最小值.【详解】1cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅==，所以π,3OA OB =，根据0OA OC ⋅≥ ，0OB OC ⋅≥，则π,0,2OA OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ,π,0,2OB OC ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,如图，建立平面直角坐标系，设()1,0A，1,22B ⎛ ⎝⎭，()cos ,sin C θθ，ππ,62θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由OC xOA yOB =+，可知，cos 2sin 2y x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得cos sin 3x θθ=-，sin 3y θ=，()33cos sin cos 333x y θθθθθϕ⎛⎫+=-==+⎪⎪⎭，其中cos tan ϕϕϕ===，所以π0,6ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,62θϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，所以当π2θ=时，所以3x y +的最小值是33-.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.在研究成对数据的相关关系时，线性相关关系越强，相关系数r 越接近于1B.样本数据：27，30，37，39，40，50的第30百分位数与第50百分位数之和为68C.已知随机变量()2~,X N μσ，若()()151P X P X ≥-+≥=，则2μ=D.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12x x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】ABC 【解析】【分析】A 由相关系数的实际意义判断；B 由百分位数定义求出对应分位数判断；C 根据正态分布对称性判断；D 由分层抽样中样本、总体间的均值、方差关系判断.【详解】A ：由成对数据相关性中相关系数实际意义知：相关系数r 越接近于1，线性相关关系越强，反之也成立，对；B ：由630% 1.8,650%3⨯=⨯=，则第30百分位数与第50百分位数分别为373930,382+=，故和为68，对；C ：由()()()()151151P X P X P X P X ≥-+≥=≥-+-<=，故()()15P X P X ≥-=<，根据正态分布对称性：1522μ-+==，对；D ：由题意，总体均值为12x x x ==，若两层样本容量依次为,m n ，则()()2222222112212··m n m n s s x x s x x s m n m n m n m n ⎡⎤⎤⎡=+-++-=+⎢⎥⎥⎢++++⎦⎣⎣⎦，当且仅当m n =时()2221212s s s =+，错.故选：ABC 10.若110a b<<，则（）A.22a b < B.2ab b < C.()()ln ln a b ->- D.a b a b+>+【答案】AB 【解析】【分析】首先由条件得0b a <<，再根据不等式的性质，以及函数的单调性，即可判断选项.【详解】由110a b<<，得0b a <<，则0b a ->->，所以22b a >，故A 正确；0b a <<，0b <，则2b ab >，故B 正确；由0b a ->->，则()()ln ln b a ->-，故C 错误；由0b a <<，则a b a b +=+，故D 错误.故选：AB11.已知函数()1sin sin f x x x=-，则（）A.()y f x =的图象关于原点对称B.()f x 的最小正周期为πC.()y f x =的图象关于直线π2x =对称 D.()f x 的值域为R【答案】ACD【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，根据周期的定义即可判断B ，根据()()()πf x f x f x +=-=-即可判断C ，根据奇偶性以及单调性即可判断D.【详解】令sin 0π,Z x x k k ≠⇒≠∈,故()1sin sin f x x x=-的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，有()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-+=--为奇函数，A 正确，()()()()11πsin πsin sin πsin f x x x f x x x +=+-=-+≠+，π不是()f x 的周期，故B 错误，()()()11πsin πsin sin πsin f x x x x x +=+-=-++，由于()()()πf x f x f x +=-=-，故π2x =是()f x 的一条对称轴，故C 正确，令[)(]sin 1,00,1t x =∈- ，()1f t t t=-在(]0,1t ∈单调递增，故()1f t t t=-在(]0,1t ∈上的范围为(],0-∞，由于()1f t t t =-为奇函数，所以()1f t t t=-在[)1,0t ∈-上的范围为[)0,∞+，故()f x 的值域为R ，D 正确，故选：ACD12.在平面直角坐标系xOy 中，将函数()y f x =的图象绕坐标原点逆时针旋转()090αα︒<≤︒后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x 为“α旋转函数”，则（）A.存在“90°旋转函数”B.“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”C.若()1g x ax x=+为“45°旋转函数”，则1a =D.若()ex bxh x =为“45°旋转函数”，则2e 0b -≤≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，举例说明即可；对B ，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD ，将45︒旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可．【详解】对于A ，如y x =，旋转90°后为y x =-满足条件，故A 正确；对于B ，如倾斜角为10︒的直线是70︒旋转函数，不是80︒旋转函数，故B 错误；对与C ，若1()g x ax x=+为45︒旋转函数，则根据函数的性质可得，1()g x ax x=+逆时针旋转45︒后，不存在与x 轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点．故不存在倾斜角为45︒的直线与1()g x ax x=+的函数图象有两个交点．即(R)y x b b =+∈与1()g x ax x=+至多1个交点．联立1y ax x y x b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，可得2(1)10a x bx --+=．当1a =时，10bx -+=最多1个解，满足题意；当1a ≠时，2(1)10a x bx --+=的判别式24(1)b a ∆=--，对任意的a ，都存在b 使得判别式大于0，不满足题意，故1a =．故C 正确；对与D ，同C ，()e xbxh x =与(R)y x a a =+∈的交点个数小于等于1，即对任意的a ，e x bx a x =-至多1个解，故()e x bx g x x =-为单调函数，由()()()11,110e xb x g x g -=-=-'<'，故(1)()10exb x g x --'=≤恒成立，即e (1)xb x ≥--恒成立．即e x y =图象在(1)y b x =--上方，故0b -≥，即0b ≤．当e x y =与(1)y b x =--相切时，可设切点00(,e )x x ，对e xy =求导有e xy '=，故00e e 1x x x =-，解得02x =，此时02e e x b =-=-，故2e 0b -≤≤．故D 正确．故选：ACD．【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=______．【答案】79【解析】【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式即可求解.【详解】由π1cos 43θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2ππ17cos 22cos 1212499θθ⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故77sin 2sin 299θθ-=-⇒=，故答案为：7914.已知平面向量a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若2c a =+ ，则cos ,a c = ______．【答案】23【解析】【分析】代入向量数量积的夹角公式，即可求解.【详解】()2222a c a a a b ⋅=⋅+=+⋅=，3c == ，所以22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯.故答案为：2315.二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为______．【答案】6【解析】【分析】利用赋值法可得系数和为()20232023516+=，进而根据二项式定理展开式的特征可得余数.【详解】令1x =得()20232023516+=，由于()202320231223320232023202320236171C 7C 7C 77=-+=-+-+++ ，由于()202320231223320231223320232023202320232023202320236171C 7C 7C 7767C 7C 7C 77=-+=-+-+++=-+-+++ ，1223320232023202320237+C 7C 7C 77--+++ 均能被7整除，所以余数为6，故答案为：616.若函数()()2sin cos 1f x x ω=-在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是______．【答案】π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】利用三角函数的性质计算即可.【详解】在()0,2πx ∈时，[)cos 1,1x ∈-，此时cos y x =的图象关于直线πx =对称，若0ω>，则[)cos ,x ωωω∈-，易知()πcos 2πZ 6x k k ω=+∈或()5πcos 2πZ 6x k k ω=+∈时，()()2sin cos 10f x x ω=-=，因为恰有两个零点，故5ππ66ω>>，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；若0ω<，则(]cos ,x ωωω∈-，同上，有π5π66ω->>-，此时cos x ω只能取到π6，如下图所示，符合题意；综上π5π5ππ,,6666ω⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π5π5ππ,,6666⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .【点睛】本题关键在于对ω符号的讨论，还需要考虑到cos y x ω=的对称性，取零点时通过数形结合注意端点即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知120A =︒，1b =，2c =．（1）求sin B ；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积．【答案】（1）14（2）10【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解a ，即可由三边求解cos B ，进而可求正弦值，（2）根据面积公式即可求解.公众号：高中试卷君【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos 14221cos1207BC a b c bc A ==+-=+-⨯⨯⨯︒=，则BC =，222cos214a c b B ac +-===，()0,πB∈,所以sin14B===．【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin90241sin302ABDACDAB ADSS AC AD⨯⨯⨯︒==⨯⨯⨯︒△△，则11121sin12055210 ACD ABCS S⎛⎫==⨯⨯⨯⨯︒=⎪⎝⎭△△．18.已知数列{}n a的前n项和为n S，且2nS n n=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足2,2,nnana nbn⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b的前2n项和2n T．【答案】（1）2na n=（2）124423nn+-+【解析】【分析】（1）根据1n n na S S-=-即可求解，（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】当2n≥时，()()221112n n na S S n n n n n-=-=+----=，当1n=时，112a S==，因为1a也符合上式．所以2na n=．【小问2详解】由（1）可知2,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()246222610422222n n T n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()124142424422143n n n n n +-+--=+=+-．19.如图，某公园拟在长为8（百米）的道路OP 的一侧修建一条运动跑道，跑道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>，[]0,4x ∈的图象，且图象的最高点为(3,S ，跑道的后一部分为折线段MNP ．为保证跑步人员的安全，限定120MNP ∠=︒．（1）求A ，ω；（2）求折线段跑道MNP 长度的最大值．【答案】（1）A =6π=ω（2）3百米【解析】【分析】（1）由图象即可得A 和函数的周期，继而求得ω；（2）解法一，由（1）的函数解析式，即可求得M 点坐标，求出MP 的长，在MNP △中利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案；解法二，在MNP △中利用正弦定理求得NP MN +的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求得答案.【小问1详解】依题意，有A =34T =，则12T =，又2πT ω=，∴6π=ω；【小问2详解】由（1）知，π6y x =．当4x =时，2π33y ==，∴()4,3M ．又()8,0P ，∴5MP ==．解法一：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =，由余弦定理得2222cos MN NP MN NP MNP MP +-⋅⋅∠=．故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤，即3MN NP +≤，当且仅当3MN NP ==时等号成立．故折线段赛道MNP 最长为3百米．解法二：在MNP △中，120MNP ∠=︒，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒<<︒．由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MN θθ==︒︒-，∴sin 3NP θ=，()103sin 603MN θ=︒-．故()sin 6033NP MN θθ+=+︒-()1sin cos 603223θθθ⎛⎫=+=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭．∵060θ︒<<︒，∴当30θ=︒时，()sin 603θ+︒取到最大值3，即折线段赛道MNP 最长，故折线段赛道MNP 最长为1033百米．20.已知()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e x f x g x +=.（1）求()f x 的单调区间；（2）对任意实数x 均有()()230g x af x +-≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0∞-（2）(,-∞【解析】【分析】（1）对于()()e x f x g x +=将x 换成x -结合奇偶性求出()f x 、()g x 的解析式，在利用导数求出函数的单调区间；（2）设e e x xt -=+，则问题转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，参变分离可得82a t t ≤+，再利用基本不等式求出8t t +的最小值，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】因为()()e x f x g x +=①，()f x 、()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --=②，①②解得()()1e e 2x x f x -=+，()()1e e 2x x g x -=-，所以()()1e e 2x x f x -'=-，()()1e e 02x x g x -=+'>，所以()f x '（()g x ）在定义域R 上单调递增，又()()0010e e 02f '=-=，所以当0x >时()0f x ¢>，即()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0x <时()0f x '<，即()f x 的单调递减区间为(),0∞-.【小问2详解】公众号：高中试卷君设e e x x t -=+，因为e e 2-+≥=x x ，当且仅当0x =时取等号，所以2t ≥，不等式()()230g x af x +-≥恒成立，转化为243042t t a -+-⋅≥在2t ≥时恒成立，分离参数得82a t t ≤+在2t ≥时恒成立，由均值不等式8t t +≥=当且仅当t =时取等号，故8t t+的最小值为，所以2a a ≤⇒≤，故实数a 的取值范围为(,-∞.21.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．（1）求2P 的值，并探究数列{}n P 的通项公式；（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．【答案】（1）1942，1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）第二次，证明见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解2P ，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，（2）根据1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即可对n 分奇偶性求解.【小问1详解】记该顾客第()*N i i ∈次摸球抽中奖品为事件A ，依题意，127P =，()()()()()22121121212119||1737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．因为()11|3n n P A A -=，()11|2n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111||n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P -⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，又因为127P =，则131077P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，故1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明：当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅，则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．22.已知函数()ln a f x x x =+的最小值为1．（1）求a ；（2）若数列{}n x 满足()10,1x ∈，且()1n n x f x +=，证明：1322n n n x x x ++++>．【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性，并求函数的最小值，即可求实数a 的取值；（2）由（1）的结果可知，11n x +>，*N n ∈，并设()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，利用导数判断函数的单调性，根据()()21n n g x g x ++>，即可证明.【小问1详解】()221a x a f x x x x-'=-+=，0x >．①若0a ≤，()0f x ¢>恒成立，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 没有最小值，不符合题意；②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()min 1ln 1f x f a a ==+=，所以1a =．【小问2详解】证明：由（1）可得，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则有()()11f x f ≥=，因为()10,1x ∈，所以()211x f x =>，()()32111n n x f x x x f +>⋅⋅⋅=>=．令()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，()2222131240x x x g x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'==<，所以()g x 在区间[)1,+∞上单调递减，且()10g =，所以()()1110n n n g x f x x +++=-<，而()21n n x f x ++=，所以21n n x x ++<，所以()()21n n g x g x ++>，即()()2211n n n n f x x f x x ++++>--，即3221n n n n x x x x ++++->-，所以1322n n n x x x ++++>．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题，第二问是本题的难点，关键是构造函数()()1ln g x f x x x x x=-=+-，1x ≥，并结合()1n n x f x +=，即可求解.。
山东省实验中学2015届高三上学期第二次诊断性(期中)考试政治试题及答案
山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试政治试题一、选择题(本题包括25小题，每小题2分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意)1．2014年“十一”期间，刚领到4000元工资的小王在商场看中一件标价800元的服装，在和卖家讨价还价后最终以500元成交。
这里涉及的货币职能依次是A．价值尺度、支付手段、流通手段B．支付手段、流通手段、价值手段C．价值尺度、流通手段、支付手段D．支付手段、价值尺度、流通手段【答案】D【解析】由材料中的工资、标价、成交等词可知这里涉及的货币职能依次是支付手段、价值尺度、流通手段，故选D 工资对应支付手段，标价对应价值尺度，成交对应流通手段，故选D2．外币的汇率变动会带来商品进出口数量的变动。
2014年10月14日人民币对美元汇率中间价为6．1408元，2014年10月24日为6．1467元。
不考虑其他因素，这一变动给我国带来的影响与下列四幅图中所示状况对应正确的是【答案】C【解析】由材料知道，美元升值，人民币贬值,给我国带来的影响是利于出口，不利于进口，故可以排除ABD选项,选择C选项3．右图为某商场同一时期甲、乙两种商品的销量变化图，请你判断下列情况最可能的是A.甲、乙是互补商品，如果甲商品社会必要劳动时间减少，MM1会向下移B．甲、乙是互补商品，如果甲商品社会劳动生产率提高，MM1会向上移C.甲、乙是互为替代品，如果乙商品社会劳动生产率提高，LLl会向下移D．甲、乙是互为替代品，如果乙商品社会必要劳动时间减少，LLl会向上移【答案】C.【解析】甲、乙不可能是互补商品，因为如果互补，两条曲线走向是同升同降，材料则是一升一降，成反相关关系，故排除AB选项；D选项如果乙商品社会必要劳动时间减少，那么乙商品的价格可能下降，根据需求法则，对乙商品的需求一般会增加，销量也会随之增加，而甲商品与之是互为替代品，他的销量会减少，甲商品的曲线只会向下移动，不可能LLl会向上移，故排除，选C4．2014年是农历马年，随着众多版本的“马上体”走红网络，与马有关的吉祥物开始热销，这给玩具产业的发展带来了契机。
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山东省实验中学2012级第三次诊断性考试
数学试题（理科）
2014.12
说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共5页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
第I 卷（共50分）
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项．．．．．．符合题意） 1.已知{}
134,0,,2x M x x N x x Z M N x -⎧⎫
=-<=<∈⋂=⎨⎬+⎩⎭
A. ∅
B.{}0
C. {}2
D. {}
27x x ≤≤
2.幂函数()a
f x k x =⋅的图象过点1,22⎛ ⎝⎭
，则
k α+= A.
1
2
B.1
C.
32
D.2
3.已知向量()()1,3,2,a b m ==-，若2a a b +与垂直，则m 的值为 A. 1
B. 1-
C. 12
-
D.
12
4.圆()2
2
11x y -+=被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为
A.1：2
B.1：3
C.1：4
D.1：5
5.等比数列{}36n a a =中，，前三项和3
30
4S xdx =⎰
，则公比q 的值为
A.1
B. 12
-
C. 112
--
或 D. 112
-
或 6.复数212m i
z i
-=
+（,m R i ∈是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
7.直线1y x =-与双曲线()2
2
210y x b b
-=>有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范
围是
A. (
B.
)
+∞
C. ()1,+∞
D. (
)
⋃
+∞
8.若函数()()1x x f x k a a -=--（01a a >≠，且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是
9.设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，∆KLM 为等腰直角三角形，
90KML ∠=,113KL f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则的值为
A. 4
-
B. 14
-
C.
14
D.
4
10.已知函数()()()()
21,
021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从
小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45
B.55
C.90
D.110
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡指定横线上.） 11.由1
,1,2,1y x x y x
=
===所围成的封闭图形的面积为
______________.
12.已知不等式组,y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，点(),P x y 在所给平面区域内，
则3z x y =+的最大值为_____________.
13.
的双曲线C ：()222104x y a a -
=>的左焦点与抛物线2y mx =的焦点重合，则实数m =____________.
14.公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11,25n a a n d ==+，则的最小值等于___________.
15.定义函数()()1,,1,0,x Q
d x f x gx x Q ∈⎧==⎨∉⎩
那么下列命题中正确的序号是_________.
（把所有可能的图的序号都填上）.
①函数()d x 为偶函数；②函数()d x 为周期函数，且任何非零实数均为其周期； ③方程()()d x f x =有两个不同的根. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本题满分12分） 已知向量sin
,cos ,cos ,3cos 3333x x x x a b ⎛⎫⎛
⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，函数()f x a b =⋅. （I ）求函数()f x 的单调递增区间；
（II ）如果ABC ∆的三边a b c 、、满足2
b a
c =，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数()f x 的值域.
17. （本题满分12分） 如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.
（I ）建立适当基底，利用//NM MP ，把y x 用表示出来（即求()y f x =的解析式）；
（II ）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()()12n n S f S n -=≥，求数列{}n a 通项公式.
18. （本题满分12分） 已知直线:,l y x m m R =+∈.
（I ）若以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程； （II ）若直线l 关于x 轴对称的直线l '与抛物线C ：2
1
x y m
=相切，求直线l 的方程和抛
物线C 的方程.
19. （本题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若
570S =，且2722,,a a a 成等比数列.
（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n
T ，求证：13
68n T ≤<.
20. （本题满分13分） 已知函数()1ln x
f x x
+=
. （I ）求函数()f x 的单调区间； （II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫
+
> ⎪⎝⎭
上不是单调函数，求实数t 的取值范围；
（III ）如果当1x ≥时，不等式()1
a
f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.
21. （本题满分14分）
定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆1C 与椭圆2C 是
相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆()22
122:10x y C a b a b +=>>的长轴长是
4，椭圆()22
222:10y x C m n m n
+=>>短轴长是1，点12,F F 分别是椭圆1C 的左焦点与右
焦点.
（I ）求椭圆12C C ，的方程；
（II ）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN ∆面积的最大值.。