2.4线段、角的轴对称复习
苏科版数学八年级上册课件2.4线段、角的轴对称复习 (共20张PPT)
线段的垂直平分线
到线段两段距离相等的点在线段的垂直平分线上 B D 6.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一 16 . 点,已知线段PA=5,OB=3,则PB=__,△ ABP的周长__ 5 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
O
C
7. 已知∠AOB,求作∠AOB平分线.
巩固练习
3.如图,已知AB=AC,DE垂直平分AB交 AC、AB于E、D两点,若AB=12cm, BC=10cm,∠A=50 °. (1)求△BCE的周长 (2)∠ABE=_______ (3) 求∠EBC的度数
巩固练习
4.尺规作图:
(1)在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等; (2)在射线AP上找一点Q,使QB=QC.
证明:∵ D为BC的中点
∴BD=CD
1
2
在△ABD与△ACD中
AB AC BD CD AD AD ∴△ABD≌△ACD
∴∠1=∠2 ∴D在∠BAC平分线上
角的平分线上的点到角的两边距离相等 转化思想:
又∵ DE⊥AB,
DF⊥AC ∴DE=DF
证边等转化成证明角等
变式训练 如图,在△ABC中,AB=AC, D为BC上一点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 且DE=DF.求证: D为BC中点.
D
B
D
P
A
Q
E
C
拓展提高
已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角 板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反 向延长线)相交于点D、E. (1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:CD=CE, 请说明理由. (2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2这种情况下,上 述结论是否还成立?若成立,请给予证明.
2.4 线段、角的轴对称性 课件 苏科版数学八年级上册
例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B,要在铁路边建一货 场C,使A、B两个工厂到货场C的距离相等,试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方:连接AB,作出线段AB的垂直平分线即可. 解:连接AB,作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线,即辅助性的线 用虚线,所要画的线用实线,同时要注意保留 作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9,都与距离有关,条件PD⊥OA,PE⊥OB 都具备; (2)点在角的平分线上 性质 (角的内部的)点到角两边的 判定 距离相等.
4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边 的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线,线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据, 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相 等,不必再用三角形全等来证明,因此它为证明 线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE,分 别与AB边和AC边交于点D和点E,BC边的垂直平分
解题秘方:由线段垂直平分线的判定可知,证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端 点的距离相等即可.
解:线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明:如图2.4-4,连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠FAD. 在△AED和△AFD中,
AE=AF, ቐ∠EAD=∠FAD,∴△AED≌△AFD. ∴ DE=DF.
中考数学 2.4 线段、角的轴对称性复习教学案
(1) OD与OF相等吗?为什么?
(2) OE与OF相等吗?为什么?
(3) OD与OE相等吗?为什么?
(4) OC平分∠ACB吗?为什么?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.
四、提炼总结:
1.线段是轴对称图形,它有两条对称轴;分别是_________________
2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
当堂达标
1.如图,已知△ABC中,BC=4,AB的垂直平分线交AC于点D,若AC=6,则△BCD的周长=_____________
学习反思:
课题
2.4线段、角的轴对称性(2)
自主空间
学习目标
1.探索并掌握角平分线的性质;
2.了解角的平分线是具有特殊性值的点的集合;
3.在“操作--探究---归纳---说理”的过程中学会有条理地思考和表达,提高演绎推理能力。
4.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念;
学习重难点
(1)若BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.
(2)若BD:DC=3:2,点D到AB的距离为6,则BC的长是.
4.如图,直线a,b,c表示三条相互交叉的公路 ,
现要建一个货物中转站,要求它到三条公路
的距离相等,可供选择的地址有几处?如何选?
学习反思:
2.同上题图,△ABC中AB的垂直平分线交AC与点D,已知AB=7,
△BCD的周长等于11,则△ABC的AC与点D,已知∠A=35°则∠BDC=___________°
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】:1.线段的轴对称性:① 线段是轴对称图形,对称轴有两条:一条是线段所在的直线,另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
【结论】:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2.角的轴对称性:①角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
【结论】:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图:在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少?2、如图,OP是∠AOB的平分线,C是OP上一点,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,CE=6㎝,CF= ㎝,理由是三、应用题1、已知∆ABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,交AC于E,已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中,AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
八年级第一学期期末复习教学案(2)------线段、角的轴对称性
八年级第一学期期末复习教学案(2)------线段、角的轴对称性一、知识点:1.线段的轴对称性:① 线段是轴对称图形,对称轴有两条;一条是线段所在的直线, 另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
结论:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2.角的轴对称性:①角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
结论:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合二、举例:例1:已知∆ABC 中,AB=AC=10,DE 垂直平分AB ,交AC 于E ,已知∆BEC 的周长是16。
求∆ABC 的周长.例2:如图,已知∠AOB 及点C 、D ,求作一点P ,使PC=PD ,并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。
例3:如图,已知直线l 及其两侧两点A 、B 。
(1) 在直线l 上求一点P ,使PA=PB ;(2)在直线l 上求一点Q ,使l 平分∠AQB 。
例4:如图,直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有几处?如何选?例5:已知:如图,在ΔABC 中,O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点,那么点O 在∠A 的平分线上吗?为什么?l A BMACDOP · C B O A · D O D CB AEl· ·A B cba例6:如图,已知:AD 和BC 相交于O ,∠1=∠2,∠3=∠4。
试判断AD 和BC 的关系,并说明理由。
例7:已知:如图,△ABC 中,BC 边中垂线ED 交BC 于E ,交BA 延长线于D ,过C 作CF ⊥BD 于F ,交DE 于G ,DF=21BC ,试说明∠FCB=21∠B例8:已知:在∠ABC 中,D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上,且DE=DF 。
八年级数学苏科版上册 第二单元《2.4线段、角的轴对称性》教学设计 教案
2.4 线段、角的轴对称性【教材分析】本节是苏科版教材八年级上册内容,学生在理解线段轴对称性的基础上,掌握线段垂直平分线的性质,并能灵活运用进行说理,为今后学习分析复杂的图形做好铺垫,发展学生的空间观念和想象力。
【学情分析】在前面的学习中学生已经认识了轴对称,学习了轴对称的概念,加强了对图形的理解和认识,初步探索并掌握线段的垂直平分线的性质,为接下来的学习奠定了基础。
【教学目标分析】1、知识与技能:理解线段的轴对称性,认识线段的对称轴;理解并掌握线段垂直平分线的性质。
2、过程与方法:经历探索线段的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的性质,发展空间观念。
3、情感、态度与价值观:通过学生动手、动脑、探究、讨论的过程培养学生的动手能力和探索精神,使学生在学习的过程中掌握知识,感受数学的魅力。
【教学重点难点分析】重点:掌握线段的垂直平分线的性质难点:线段的垂直平分线的性质的运用及说理【教法指导】鉴于教材特点及初二学生的年龄特点、心理特征和认知水平,本节课采用层层推进的提问启发学生深入思考,主动探究,主动获取知识。
同时注意与学生已有知识的联系,减少学生对新概念接受的困难,给学生充分的自主探索时间。
通过教师的引导,启发调动学生的积极性,让学生在课堂上多活动、多观察,主动参与到整个教学活动中来,组织学生参与“探究——讨论——交流——总结” 的学习活动过程,同时在教学中,还充分利用多媒体教学,通过演示,操作,观察,练习等师生的共同活动中启发学生,让每个学生动手、动口、动眼、动脑,培养学生直觉思维能力。
【学法指导】本堂课立足于学生的“学”,要求学生多动手,多观察,从而可以帮助学生形成分析、归纳的思想方法。
让学生在动手操作中学到知识。
提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。
因此在课堂上要采用积极引导学生主动参与,合作交流的方法组织教学,使学生真正成为教学的主体,体会参与的乐趣,成功的喜悦,感知数学的奇妙。
第1 页共3 页【教学过程】一、自主探究阅读教材P51~P52内容,回答下列问题:1.线段的轴对称性线段_______(填“是”或“不是”)轴对称图形,它的对称轴是_______________________.2.垂直平分线的性质①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_______.②如图,直线l垂直AB,垂足为点O,AO=BO,点P在直线MN 上,连接PA、PB,根据垂直平分线的性质填空:∵OP⊥AB,AC=BC,∴P是线段AB垂直平分线上一点,∴_______(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).二、合作交流例1 如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD。
2.4线段、角的轴对称性(2)
2.4线段、角的轴对称性(2)学习目标1.经历探索线段的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念;2.探索并掌握线段的垂直平分线的性质;3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合;4.在“操作--探究--归纳--说理”的过程中学会有条理地思考和表达,提高演绎推理能力.教学流程提纲:一、自主探究1.到线段两端距离相等的点在线段 上.2.线段的垂直平分线是到 的集合.3.如图1所示,ED 是BC 的垂直平分线,且BE =5, C D =8,那么CE = , BD = .图 1 图24.如图2,AB =AC =5,BC =4,AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ,求△DBC 的周长.二、合作探究1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.反过来,如果一个点到一条线段两端的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗?分两种情况来探究:(1)若点Q 在线段AB 上,且QA =QB ,你能说明点Q 在线段AB 的垂直平分线上吗? Q BA(2)若点Q 在线段AB 外,且QA =QB ,你能说明点Q 在线段AB 的垂直平分线上吗?BA Q综上所述,我们得到定理:到线段两端距离相等的点 .2.完成书本第53页作图AB ED C2.4线段、角的轴对称性(2)过关检测1.到三角形的三个顶点距离相等的点是 ( )A .三条角平分线的交点B .三条中线的交点C .三条高的交点D .三条边的垂直平分线的交点2.现有A 、B 、C 三村欲建一幼儿园,使其到三村的距离相等,用尺规作出幼儿园所在位置P .A .B .C .3.如图,在架设电线杆时,为了确保它与地面垂直,一般在它的某一处用两根同样长的绳子固定在地面上,只要使底部D 上在BC 的中点处,电线杆就与地面垂直了,你能说明理由吗?4.已知,如图,在△ABC 中,A B 、AC 的垂直平分线1l 、2l 相交于点O .求证:点O 在BC 的垂直平分线上.l 2l 1OC BAD B C A。
2.4线段、角的轴对称性(1)
线段垂直平分线的性质
由定义得到的性质: 线段的垂直平分线垂直于这条线段,并且平分这条线段;
性质:
l
1 2
直线l是AA '的 垂直平分线
A' O
A
AO A ' O 1 2 90
0
自主操作
在折痕上任意取一点P,连接PA,PB,再沿原 折痕重新折叠,你发现了什么?
线段垂直平分线的性质
初中数学 八年级1)
初二数学质检组
学习目标
1、知道线段的轴对称性 2、掌握线段的垂直平分线的性质
自主操作
在一张薄纸上任意画一条线段AB,折纸,使两 个端点A与B重合,线段是轴对称图形吗?
A
B
结论: 轴对称 图形, 线段的垂直平分线 线段是________ ____________ 是它的对称轴;
解:不相等.
l Q 1 2 B P
如图,在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P,连接PA、PB,设PA交l于点Q, 连接QB. 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”,因为点Q在 AB的垂直平分线上,所以QA=QB. 于是PA=PQ+QA=PQ+QB.
A
O
因为三角形的两边之和大于第三边,
• 线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等。
∵l是AB的垂直平分线,
如何 证明
点P在l上
∴ PA=PB
做一做
1.利用网格线画线段PQ的垂直平分线.
P
Q
做一做
2.如图,要在公路旁设一个公交车的
停车站,停车站应设在什么地方,才 能使A、B两村到车站的距离相等? B村 A村
公路 P
讨论交流
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗? 为什么?请你画出图形,试着说明.
第2章 《轴对称图形》2.4 线段、角的轴对称性(1)(含答案)
第2章《轴对称图形》2.4 线段、角的轴对称性(1)选择题1.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,且PA平分∠BAC,则△APD与△APE 全等的理由是()A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA(第1题)(第2题)(第4题)2.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 3.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点4.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E.已知PE=3,则点P 到AB的距离是()A.3 B.4 C.5 D.65.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D 到AB的距离是()A.1 B.2 C.3 D.4(第5题)(第6题)(第7题)6.如图:将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(F在BC边上,不与B、C 重合)使得C点落在矩形ABCD内部的E处,FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α满足()A.90°<α<180°B.α=90°C.0°<α<90°D.α随着折痕位置的变化而变化7.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系是()A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定8.如图,已知AC平分∠PAQ,点B,B′分别在边AP,AQ上.下列条件中不能推出AB=AB′的是()A.BB′⊥AC B.BC=B′C C.∠ACB=∠ACB′D.∠ABC=∠AB′C(第8题)(第9题)(第11题)9.如图,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则供选择的地址有()A.1处 B.2处 C.3处 D.4处10.三角形中到三边的距离相等的点是()A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 12.如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB 于F,则下列结论中不正确的是()A.∠ACD=∠B B.CH=CE=EF C.AC=AF D.CH=HD(第12题)(第13题)(第15题)13.如图,∠AOP=∠BOP,PD⊥OB,PC⊥OA,则下列结论正确的是()A.PD=PC B.PD≠PC C.PD>PC D.PD与PC关系不确定14.在平面内,到三角形三边距离相等的点是()A.三角形两边垂直平分线的交点 B.三角形两内角平分线的交点C.三角形两边中线的交点 D.以上均不对15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB的周长为()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm16.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是()A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点( 第16题 ) ( 第17题 ) ( 第18题 ) 17.如图,△ABC 的三边AB ,BC ,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △A B O :S △B C O :S △C A O 等于( ) A .1:1:1 B .1:2:3 C .2:3:4D .3:4:5 18.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC ,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,DE⊥AB 于E .若△ADE 的周长为8cm ,则AB 的长为( )A .6cmB .8cmC .10cmD .12cm 19.如图,等腰△ABC 的周长为21,底边BC=5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ,交AC 于点E ,则△BEC 的周长为( )A .13B .14C .15D .16( 第19题 ) ( 第20题 ) ( 第21题 )20.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ,则CE 的长为( )A .32B .76C .256D .2 21.如图,AC=AD ,BC=BD ,则有( )A .AB 垂直平分CD B .CD 垂直平分ABC .AB 与CD 互相垂直平分 D .CD 平分∠ACB22.如图,在△ABC 中,BC=8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,则AC 的长等于( )A .6cmB .8cmC .10cmD .12cm( 第22题 ) ( 第23题 ) ( 第24题 )23.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()A.在AC,BC两边高线的交点处 B.在AC,BC两边中线的交点处C.在AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处24.如图,△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AE=3cm,△ADC 的周长为9cm,则△ABC的周长是()A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm25.和三角形三个顶点的距离相等的点是()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点26.如图,到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的()A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点C.三条高的交点 D.三边中线的交点(第26题)(第27题)(第29题)(第30题)27.如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为()A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm 28.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的()A.形内B.形外C.斜边的中点D.不能确实29.如图,在△ABC中,DE为AC边的垂直平分线,AB=12cm,BC=10cm,则△BCE 的周长为()A.22cm B.16cm C.26cm D.25cm30.如图,DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则△EBC 的周长为()厘米.A.16 B.28 C.26 D.18答案:选择题1.故选B.考点:直角三角形全等的判定;角平分线的性质.分析:根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法,本题中有两角及一角的对边对应相等,所以应选择AAS,比较简单.解答:解:由已知得,AP=AP,∠DAP=∠EAP,∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定.故选B.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.结合已知条件在图形上的位置选择判定方法.2.故选D.考点:角平分线的性质.分析:本题要从已知条件OP平分∠AOB入手,利用角平分线的性质,对各选项逐个验证,选项D是错误的,虽然垂直,但不一定平分OP.解答:解:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB∴PA=PB∴△OPA≌△OPB∴∠APO=∠BPO,OA=OB∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE∴△AOE≌△BOE∴∠AEO=∠BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立.故选D.点评:本题主要考查平分线的性质,由已知能够注意到△OPA≌△OPB,进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键.3.故选D.考点:角平分线的性质.专题:压轴题.分析:因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.解答:解:因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.故选D.点评:该题考查的是角平分线的性质,因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等,所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点,易错选项为C.4.故选A.考点:角平分线的性质.分析:已知条件给出了角平分线还有PE⊥AC于点E等条件,利用角平分线上的点到角的两边的距离相等,即可求解.解答:解:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3.故选A.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质.做题时从已知开始思考,想到角平分线的性质可以顺利地解答本题.5.故选B.考点:角平分线的性质.分析:根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=2.解答:解:由角平分线的性质,得点D到AB的距离=CD=2.故选B.点评:本题主要考查平分线的性质,由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键.6.故选B.考点:角平分线的性质;翻折变换(折叠问题).专题:计算题.分析:利用角平分线的性质计算.解答:解:由题意可得,∠CFG=∠EFG又有∠EFH=∠BFH∴∠GFE+∠EFH=90°即∠GFH的α度数是90°.故选B.点评:此题主要考查角平分线的性质和展开与折叠的知识,得出∠CFG=∠EFG是关键.7.故选B.考点:角平分线的性质.分析:本题条件有角平分线,有两垂直,可直接利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等判断即可.解答:解:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD.故选B.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质,得出结论一定要与选项进行比对.8.故选B.考点:角平分线的性质.分析:根据已知条件结合三角形全等的判定方法,验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可.解答:解:如图:∵AC平分∠PAQ,点B,B′分别在边AP,AQ上,A:若BB′⊥AC,在△ABC与△AB′C中,∠BAC=∠B′AC,AC=AC,∠ACB=∠ACB′,∴△ABC≌△AB′C,AB=AB′;B:若BC=B′C,不能证明△ABC≌△AB′C,即不能证明AB=AB′;C:若∠ACB=∠ACB′,则在△ABC与△AB'C中,∠BAC=∠B′AC,AC=AC,△ABC≌△AB′C,AB=AB′;D:若∠ABC=∠AB′C,则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC,AC=AC,△ABC≌△AB′C,AB=AB′.故选B.点评:本题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定;做题时要结合已知条件在图形上的位置对选项逐个验证.9.故选D.考点:角平分线的性质.专题:应用题.分析:到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点.把三条公路的中心部位看作三角形,那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.解答:解:满足条件的有:(1)三角形两个内角平分线的交点,共一处;(2)三个外角两两平分线的交点,共三处.故选D.点评:本题考查了角平分线的性质;这是一道生活联系实际的问题,解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线,很容易漏掉外角平分线,解答时一定要注意,不要漏解.10.故选D.考点:角平分线的性质.分析:题目要求到三边的距离相等,观察四个选项看哪一个能够满足此要求,利用角的平分线的性质判断即可选项D是可选的.解答:解:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知:三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.故选D.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质;要对选项逐个验证.11.故选B.考点:角平分线的性质.专题:压轴题.分析:要求AE+DE,现知道AC=3cm,即AE+CE=3cm,只要CE=DE则问题可以解决,而应用其它条件利用角平分线的性质正好可求出CE=DE.解答:解:∵∠ACB=90°,∴EC⊥CB,又BE平分∠ABC,DE⊥AB,∴CE=DE,∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm.故选B.点评:此题主要考查角平分线性质:角平分线上的任意一点到角的两边距离相等;做题时要认真观察各已知条件在图形上的位置,根据位置结合相应的知识进行思考是一种很好的方法.12.故选D.考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.分析:根据角的平分线的性质,得CE=EF,两直线平行,内错角相等,得∠AEF=∠CHE,用AAS判定△ACE≌△AEF,由全等三角形的性质,得∠CEH=∠AEF,用等角对等边判定边相等.解答:解:A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角,∴∠ACD=∠B,故正确;B、∵CD⊥AB,EF⊥AB,∴EF∥CD∴∠AEF=∠CHE,∴∠CEH=∠CHE∴CH=CE=EF,故正确;C、∵角平分线AE交CD于H,∴∠CAE=∠BAE,又∵∠ACB=∠AFE=90°,AE=AE,∴△ACE≌△AEF,∴CE=EF,∠CEA=∠AEF,AC=AF,故正确;D、点H不是CD的中点,故错误.故选D.点评:本题是一道综合性较强的题目,需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答.13.故选A.考点:角平分线的性质.分析:根据已知条件,利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质对各选项进行逐个验证,其中A是正确的,其它都是错误的.解答:解:A、正确;B、条件不够,不成立;C、不成立;D、不对;故选A.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质;做题时得到结论后要对选项逐个验证,不重不漏.14.故选B.考点:角平分线的性质.分析:要找到三角形三边距离相等的点,应该根据角平分线的性质,三角形内到三边的距离相等的点是三个内角平分线的交点.解答:解:三角形内到三边的距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点.故选B.点评:此题主要考查角平分线的性质,注意区别三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.15.故选B.考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.分析:先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC=AE,CD=DE;再对构成△DEB的几条边进行变换,可得到其周长等于AB的长.解答:解:∵AD平分∠CAB交BC于点D∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠AED=∠C=90∵AD=AD∴△ACD≌△AED.(AAS)∴AC=AE,CD=DE∵∠C=90°,AC=BC∴∠B=45°∴DE=BE∵AC=BC,AB=6cm,∴2BC2=AB2,即BC=AB22=622=3 2 ,∴BE=AB-AE=AB-AC=6-3 2 ,∴BC+BE=3 2 +6-3 2 =6cm,∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6(cm).另法:证明三角形全等后,∴AC=AE,CD=DE.∵AC=BC,∴BC=AE.∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6cm.故选B.点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、AAS、SAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.16.故选D.考点:角平分线的性质.分析:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点.解答:解:利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P.故选D.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质.做题时注意题目要求要满足两个条件①到角两边距离相等,②点在CD上,要同时满足.17.故选C.考点:角平分线的性质.专题:数形结合.分析:利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知三个三角形高相等,底分别是20,30,40,所以面积之比就是2:3:4.解答:解:利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.点评:本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做题时应用了三个三角形的高时相等的,这点式非常重要的.18.故选B.考点:角平分线的性质.分析:要求AB的长,只要求出AE+BE即可,由角平分线的性质可知BE=BC=AC=AD+CD=AD+DE,结果可得.解答:解:∠C=90°BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E利用角平分线的性质可知:CD=DE可知△CDB≌△EDB∵△ADE的周长为8cm即AD+AE+DE=8∵∠C=90°,AC=BC∴∠A=45°∴AE=DE∴AD+2CD=8=AC+CD∵AB=BE+AE=AC+CD=8.故选B.点评:本题考查了角平分线的性质;做题时主要利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质和边的和差关系来求解.19.故选A.考点:等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质.专题:计算题;压轴题.分析:要求△BEC的周长,现有BC=5,只要求得CE+BE即可,根据线段垂直平分线的性质得BE=AE,于是只要得到AC问题可解,由已知条件结合等腰三角形的周长不难求出AC的大小,答案可得.解答:解:∵△ABC为等腰三角形,∴AB=AC,∵BC=5,∴2AB=2AC=21-5=16,即AB=AC=8,而DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,故BE+EC=AE+EC=AC=8∴△BEC的周长=BC+BE+EC=5+8=13.故选A.点评:本题考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质.由题中DE是线段AB的垂直平分线这一条件时,一般要用到它的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.从而结合图形找到这对相等的线段是解决问题的关键.20.故选B.考点:线段垂直平分线的性质.专题:计算题;压轴题.分析:利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算.解答:解:∵∠ACB=90°,BC=3,AC=4,根据勾股定理得:AB=5,而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,∴∠BDE=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△EDB,∴BC:BD=AB:(BC+CE),又BC=3,AC=4,AB=5,从而得到CE=76.故选B.点评:本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想.21.故选A.考点:线段垂直平分线的性质.专题:压轴题.分析:由已知条件AC=AD,利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD 的垂直平分线上,同理,点B也在CD的垂直平分线上,于是A是符合题意的,是正确的,答案可得.解答:解:∵AC=AD,BC=BD,∴点A,B在线段CD的垂直平分线上.∴AB垂直平分CD.故选A.点评:本题考查的知识点为:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键.22.故选C.考点:线段垂直平分线的性质.专题:计算题.分析:AC=AE+EC=BE+EC,根据已知条件易求.解答:解:∵DE是边AB的垂直平分线,∴AE=BE.∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18.又∵BC=8,∴AC=10(cm).故选C.点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.23.故选C.考点:线段垂直平分线的性质.专题:应用题.分析:要求到三小区的距离相等,首先思考到A小区、B小区距离相等,根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上,同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上,于是到三个小区的距离相等的点应是其交点,答案可得.解答:解:根据线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.故选C.点评:本题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;此题是一道实际应用题,做题时,可分别考虑,先满足到两个小区的距离相等,再满足到另两个小区的距离相等,交点即可得到.24.故选C.考点:线段垂直平分线的性质.分析:要求△ABC的周长,知道AE=3cm,则AB=6cm,只要求得BC+AC即可,根据线段垂直平分线的性质得AD=BD,于是BC+AC等于△ADC的周长,答案可得.解答:解:∵AB的垂直平分AB,∴AE=BE,BD=AD∵AE=3cm,△ADC的周长为9cm∴△ABC的周长是9+2×3=15cm.故选C.点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.对线段进行等效转移时解答本题的关键.25.故选D.考点:线段垂直平分线的性质.分析:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.解答:解:根据线段垂直平分线的性质可得:三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点.故选D.点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.此点称为外心,也是这个三角形外接圆的圆心.),难度一般.26.故选A.考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据线段垂直平分线的性质(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等)可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.解答:解:△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.故选A.点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).27.故选C.考点:线段垂直平分线的性质.分析:利用线段垂直平分线的性质得AD=BD,再利用已知条件三角形的周长计算.解答:解:∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm(已知)又∵DE垂直平分AB∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)故BC+AD+CD=35cm∵AC=AD+DC=20(已知)∴BC=35-20=15cm.故选C.点评:本题主要考查了线段垂直平分线的性质.28.故选C.考点:线段垂直平分线的性质.分析:垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心,由此可得出此交点在斜边中点.解答:解:∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点可得直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点.故选C.点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.29.故选A .考点:线段垂直平分线的性质.分析:要求△BCE的周长,知道BC=10cm,只要求得BE+CE即可,根据线段垂直平分线的性质得AE=EC,于是BE+CE=BE+AE=AB,答案可得.解答:解:∵DE为AC边的垂直平分线∴AE=EC,∵AB=12cm,BC=10cm,∴△BCE的周长为AE+BE+BC=AB+BC=22cm.故选A点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.对线段进行等效转移时解答本题的关键.30.故选D.考点:线段垂直平分线的性质.专题:计算题.分析:利用线段垂直平分线的性质得AE=CE,再等量代换即可求得三角形的周长.解答:解:∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线∴AE=CE∴AE+BE=CE+BE=10∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18.故选D.点评:本题主要考查了线段垂直平分线的性质;利用线段进行等量代换,把线段进行等效转移是正确解答本题的关键.。
2.4线段、角的轴对称性(3)课件ppt
2.4 线段、角的对称性(3)
想一想
如图,在∠AOB的角平分线OC任意取一点P, PD⊥OA,PE⊥OB,PD与PE相等吗?为什么?
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.4 线段、角的对称性(3)
想一想
角内部一点到角两边的距离相等,那么这个点 在这个角的角平分线上吗?
初中数学
八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性(3)
AOB
2.4 线段、角的对称性(3)
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB,操作并思考: 它是轴对称图形吗? 为什么?
A O B
2.4 线段、角的对称性(3)
想一想
角是轴对称图形,它的对称轴在哪里?为什么?
A O
C
B
角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
如图,若点Q在∠AOB内部, QD⊥OA, QE⊥OB,且QD=QE,点Q在∠AOB的角平分线 A D 上吗?为什么?
O E Q
B
通过上述研究,你得到了什么结论?
2.4 线段、角的对称性(3)
说说你本节课你有什么收获?Байду номын сангаас
2.4 线段、角的对称性(3)
作业:
P58习题2.4,分析第7、8题的思路,任 选1题写出过程.
2.4 线段角的轴对称性复习 课件
角的对称性
实际问题1
南京市政府为了方便居民的生活, 计划在三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间 修建一个购物中心,试问,该购物 中心应建于何处,才能使得它到三 个 小 区 的 距 离 相 等 .
A
B
C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角的对称性
应用举例
如图,△ABC中,AB的垂直平分线分 别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线 分别交AC、BC于点F、G,要求△AEG的 周长,还需添加什么条件?
A D B
苏科版八年级数学上
F C
G E 苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
C A
苏科版八年级数学上
角的对称性
■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上 一定点,则当点P运动到何处时,△PBE 的周长最小?
A D
E
P
B
苏科版八年级数学上
C
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
角的对称性
已知:在ΔABC中,D是BC上一点,DF⊥AB于
A、1个 C、3个
B、2个 D、4个
E B D F C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角பைடு நூலகம்对称性
3.如图:在△ABC中,∠B=90°, BC=18cm,AD是角平分线,且BD: CD=1:2,则点D到AC的距离是 6 ______cm.
A
B D
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
2.4线段、角的轴对称性 复习
2.4线段、角的轴对称性 复习
【学习目标】
1、能综合运用线段和角的轴对称性解决实际问题
【学习过程】
例1:已知△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ,求证:点P 在∠C 的平分线上。
练习1、∠DBC 和∠BCE 的角平分线相交于点F ,求证,点F 在∠A 的平分线上。
例2、 已知:如图,AD 是△ABC 的角平分线,D E ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F 。
求证:AD 垂直平分EF 。
F
E D C B
A P
E
D C B A
E D
C
B A F
例3、已知:如图,AB=AC ,点D 、E 分别在AB 、AC 上,且AD=AE ,BE 、CD 相交于点O ,求证:点O 在线段BC 的垂直平分线上。
例4、已知:如图,∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ,D E ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F 。
求证:BE=CF
F
E D C B A O
D E C B A
2.4线段、角的轴对称性 当堂训练
班级 姓名
1、已知:如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在BC 上,D E ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E ,F ,且DE=DF 。
求证D 是BC 中点
2、如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,垂足为E ,△ABC 的面积为70,AB=16,BC=12。
求DE 的长。
F E
D
C B
A E D C B
A。
初中数学知识点精讲精析 线段、角的对称性
2.4 线段、角的对称性学习目标1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质;2.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合。
知识详解1. 线段的垂直平分线的性质及判定(1)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴。
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
作线段的垂直平分线①分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于C、D两点,②作直线CD。
CD就是线段AB的垂直平分线。
如图①,若PC是线段AB的垂直平分线(AC=BC,PC⊥AB),则PA=PB(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
如图②,若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。
2. 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上。
作角的平分线:已知:∠AOB(如图所示)求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC。
ACO B【典型例题】例1. 如图,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是()A.P是∠A与∠B两角平分线的交点B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC、AB两边上的高的交点D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】B【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等,∴点P在∠A的角平分线上;又∵PA=PB,∴点P 在线段AB的垂直平分线上.即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点.例2. 如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为()A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,∴PB=PA,而已知线段PA=5,∴PB=5.例3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC 于点E,则下列结论不正确的是()A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.∠CAE=∠B【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质,得AE=BE;根据等角对等边,得∠BAE=∠B=30°;根据直角三角形的两个锐角互余,得∠BAC=60°,则∠CAE=∠BAE=30°,根据角平分线的性质,得CE=DE.【误区警示】易错点1:理解角平分线的交点1.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点【答案】C【解析】∵凉亭到草坪三条边的距离相等,∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.易错点2:理解垂直平分2.如图,AC=AD,BC=BD,则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB【答案】A【解析】∵AC=AD,BC=BD,∴点A,B在线段CD的垂直平分线上.∴AB垂直平分CD.【综合提升】针对训练1. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°2. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AE平分∠BAC,那么下列关系式中不成立的是()A.∠B=∠CAEB.∠DEA=∠CEAC.∠B=∠BAED.AC=2EC3. 如图,在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,则△AEC的周长等于()A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b1.【答案】B【解析】∵ED是AC的垂直平分线,∴AE=CE∴∠EAC=∠C,又∵∠B=90°,∠BAE=10°,∴∠AEB=80°,又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=40°.2.【答案】D【解析】根据线段垂直平分线的性质,AE=BE,则∠B=∠CAE,再由AE平分∠BAC,得∠BAE=∠CAE.从而得出答案.3.【答案】A【解析】要求三角形的周长,知道AC=b,只要求得AE+EC即可,由DE是BC的垂直平分线,结合线段的垂直平分线的性质,知EC=BE,这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB,代入数值,答案可得.课外拓展数学教育的发展十八世纪的数学研究活动,大部分是与欧洲各国的科学院相联系,尤其是大陆国家的科学院。
苏科版八上2.4线段、角的轴对称性
苏科版八上2.4线段、角的轴对称性一、知识点梳理知识点一:线段的轴对称1.线段是图形,线段的是它的对称轴。
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离。
2.到线段两个端点距离相等的点在线段的上。
3.线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离的点的集合。
知识点二:角的轴对称1.角是图形,是它的对称轴。
2.角平分线上的点到角的两边距离。
3.到角的两边距离的点,在这个角平分线上。
4.角平分线是到角两边距离的点的集合.二、基础过关1.线段是轴对称图形,它的对称轴是( ).A.线段本身B.线段的垂直平分线C.线段的垂直平分线和这条线段所在的直线D.线段所在的直线2.在联合会上,有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的()A. 三边中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三边中垂线的交点D. 三边上高的交点3.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A. 65° B. 60°C. 55°D. 45°4.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的()A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高线的交点D.三条边的垂直平分线的交点5.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论:(1)BD平分∠ABC;(2)AD=BD=BC;(3)△BDC的周长等于AB+BC;(4)D是AC的中点.其中正确结论的个数有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB 于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP 交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是().A. 15B. 30C. 45D. 607.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD= .8.如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,已知△ABC与△ABD 的周长分别为18cm和12cm,求线段AE的长为 .9.如图,点P在∠AOB的平分线上,PE垂直OA于E,PF垂直OB于F,若PE=3,则PF=10.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是.11.如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE= cm.12.如图,已知△ABC的周长是20,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 .13.已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求填空:(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D;(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.(3)由(1)、(2)可得:线段EF与线段BD的关系为.14.已知:如图,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,若两平行线间的距离为6,求OE的长.15.作图题:已知∠BAC=60°,点E、F分别位于∠BAC的两边上.试用刻度的直尺和量角器,在∠BAC的内部寻找一点O,使点O到点E、F的距离相等,且到∠BAC的两边的距离相等.16.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.17.如图,A,B,C是新建的三个居民小区.我们要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校,试确定学校的位置.三、提优训练1.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的()A、内部B、外部C、斜边的中点D、不能确实2.下列说法:①若直线PE是线段AB的垂直平分线,则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于点E,连接DE,则四边形ABED的周长为 ( )A. 17B. 18C. 19D. 204.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A. PA=PBB. PO平分∠APBC. OA=OBD. AB垂直平分OP5.如图所示,已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分别为M、N,那么PM与PN的关系是()A. PM>PNB. PM=PNC. PM<PND. 无法确定6.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°7.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.若BC=4cm,则△AEG的周长是 cm.8.如图,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8.若S△ABC=28,则DE= .9.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接EF,则EF与AD的关系是.10.如图,M为矩形纸片ABCD的边AD的中点,将纸片沿BM、CM折叠,使点A落在A1处,点D落在D1处.若∠A1MD1=40°,则∠BMC的度数为.11.如图,已知直线l及其两侧两点A、B.(1)在直线l上求一点P,使PA=PB;(2)在直线l上求一点Q,使l平分∠AQB.12.如图,AB=CD,AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于E.求证:∠ABE=∠CDE.13.如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论.。
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线段、角的轴对称性复习 主备人:金岳华
1.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
2.到三角形的三条边距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
3.如图所示,AB//CD ,O 为∠A 、∠C 的平分线的交点,OE ⊥AC 于E ,且OE=2,则AB 与CD 之间的距离等于______________。
4、如图,△ABC 中,∠C=900,DE 是AB 的垂直平分线,且∠BAD :∠CAD=3:1,则∠B =_______.
第3题图 5. 如图,分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2,连结P 1P 2, 分别交OA 、OB 于点M 、N ,若P 1P 2=5cm ,则△PMN 的周长为__________________.
6. 已知直线l 及其两侧两点A 、B ,如图.
(1)在直线l 上求一点P ,使PA=PB ,并说明理由;
(2)在直线l 上求一点Q ,使l 平分∠AQB ,并说明理由。
(3)已知:有一块三角形空地,若想在空地中找到一个点,使这个点到三边的距离相等,试找出该点.(保留画图痕迹)
C B A A B
O
E C D 第5题图
第4题图
D E C A B O P A B
E D C B A M N
C B A O M B
A 7.已知△ABC ,M 、N 为AC 、BC 上的点,在A
B 上找点P 使△PMN 的周长最小。
8. 如图,⊿ABC 中,AB=AC ,DE 是AB 的垂直平分线
(1)若AB=8,BC=12,求⊿ACE 周长
(2)若∠B=35,求∠CAE
9.已知∠AOB=400,OM 平分∠AOB ,MA ⊥OA 于A ,MB ⊥OB 于B ,则∠MAB 的度数为多少?
10.如图,已知在三角形ABC 中,角BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ
相交于点P ,过点P 分别作PN 垂直于AB 于点N ,PM 垂直于AC 于点M ,求证:BN=CM
E D B C A
D C B O A B R
P S Q A C 线段、角的轴对称性复习 达 标 自 测
班级 学号 姓名
检测内容
1.如图,在△ABC 中,P 、Q 分别是BC 、AC 上的点,作PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别为R 、S ,若AQ =PQ ,PR =PS ,①PA 平分∠BAC ;②AS =AR ;③QP ∥AR ;④△BRP ≌△CSP 。
则这四个结论中正确的有 .
2.如图所示,已知△ABC 的周长是21,OB ,OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ,OD ⊥BC 于D ,且
OD =3,则△ABC 的面积是 .
3、如图,求作一点P ,使PC=PD , 并且点P 到∠AOB 两边的距离相等
4.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,S △ABC =7,DE=2,AB=4,求:AC 。
5.如图,直线l 1、l 2相交于点O ,点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 1、P 2
(1)若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB =65°,则∠P
1OP 2是多少?
(2)若OP =4,P 1P 2=7,则△P 1OP 2的周长为?
P O M
D C
B A O
E D C B
A 6、△ABC 中, BC=12, △ANE 的周长为20,A
B 的垂直平分线交B
C 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. 求:EN 的长.
7.如图,锐角△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ,且OB=OC 。
(1)求证:△ABC 是等腰三角形;
(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上,并说明理由。
8.已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线。
(1)把三角尺的直角顶点落在OM 的任意一点P 上,使三角尺的两条直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ,则PC 与PD 相等吗?为什么?
(2)把三角尺绕点P 旋转,如图所示,PE 与PF 相等吗?为什么?
N E M D A
B C。