湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期(一模)数学(文)试卷(含答案)

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湖南省长郡中学2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题

湖南省长郡中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为 A.16B.23C.310D.254. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若右支上有点M 满是221,cos 3OM OF MOF =∠=，则双曲线的离心率为5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题(解析版)

长郡中学2019届第一次适应性考试数学(文科)试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学(文)试题Word版含答案

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( ) A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（） A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（） A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒ D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为E 的焦距的取值范围是（） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C．)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,51x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin C ==，又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD = 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影，设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =，得1122BCD S ∆===，在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 602OCD S ∆=︒=，所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即112133d =，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为2619.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元，当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元，当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-，化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++，据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+，于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =，故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得10x =<，21x =>，则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意，综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数，故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h eλ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ，综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<，所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-，∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->， ∴()()()f ab f a f b >-.。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题含答案

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2019届长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷及答案

- 1 - / 142019届长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.满分150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i=-++是纯虚数，则复数32a i i--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫-⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫--⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222lo g 34,3200Ax y x x B xx m x mm ==--=-+<>，B A⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为 A. 16B.23C.310 D.254. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若右支上有点M 满是221,c o s 3O M O F M O F =∠=，则双曲线的离心率为5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、。

2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试(一模)数学(文)试题

2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题数学(文科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.满分150分，时量120分钟.第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为 A.16B.23C.310D.254. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若右支上有点M 满是221,cos 3OM OF MOF =∠=，则双曲线的离心率为5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次。

邓清：三喜第二，建业第三；武琳：梅红第二，邓清第四；三喜：邓清第一，武琳第五；建业：梅红第三，武琳第四；梅红：建业第二，三喜第五张老师说：每人的两句话都是一真一假已知张老帅的话是真的，则五个人从一到五的排名次序为A.邓清、武琳、三喜、建业、梅红B.邓清、梅红、建业、武琳、三喜C.三喜、邓清、武琳、梅红、建业D.梅红、邓清、建业、武琳、三喜 6.执行如图所示的程序框图，若输入0,0,1x y n ===，则输出的,x y 的值满足A. 109y x -=B. 169xy =C.19y x -=D. 2xy =7.已知在等比数列{}2224155320190,9002,9n n a a a a a a a a a >+=-=中，，则的个位数字是 A. 6B. 7C. 8D. 98.函数()()t a n0,02fx x πωϕϕω⎛⎫=+<<>⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别变于点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为A.56πB.2π C.512π D.4π 9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面M ，N 上取三点A ，B ，P ，其中P 为侧面M 的对角线上一点(与对角线端点不重合)，A ，B 为侧面N 的一条对角线的两个端点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，则m 的最小值为A.4B.C.2D.10.已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于点D ，过点F 作直线交抛物线E 于A 、B 两点，若,4,AB AD BF AF p ⊥=+且则的值为 A. 1B. 2C. 4D. 811.小明站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨如图所示.设小明从点A 开始随动点P 变化的视角为AOP θ=∠，练车时间为t ，则函数()f t θ=的图象大致为12.定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值A.一定大于12B.一定小于14C.一定等于14D.一定小于14第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是CD 的中点，记,,,BE a AC b a b ==用表示AB ，则AB =_________.14.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()()222222401111x y x x y x y ⎧+≤⎪⎪≤+-≤⎨⎪++≥⎪⎩或来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.15.已知()()()()()()222222111222:220,:110,C x y r r C x y r r -+-=>+++=>12C C 与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12r r 为_________.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为(),,2sin sin cos 2a b c A B B C <-+，若，,,a b c 则必须满足_________.三、解答题(共70分。

2019届长沙市高三统一检测长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学试题及参考答案及评分标准

2
D． f x ex ex
2
4．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时
间不多于 5 分钟的概率为
A． 1 20
B． 1 12
C． 1 6
D． 1 5
5．设 a,b, c 表示不同直线，, 表示不同平面，下列命题：
①若 a / /c，b / /c ，则 a / /b ； ②若 a / /b，b / / ，则 a / / ；
成角的取值范围是________．
16． ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ．已知 a bcosC csinB ，且 b 2 ，则 ABC 面积的最大值是__________．
文科数学试卷第 2 页（共 7 页）
三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
1．若集合 M x R 3 x 1 ， N x Z 1≤ x ≤ 2 ，则 M I N
A． 0 C． 1, 0 ,1
B． 1, 0 D． 2 , 1, 0 ,1, 2
2．在复平面内表示复数 i ( m R,i 为虚数单位)的点位于第二象限，则实数 m 的取
4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
姓名准考证号
绝密★启用前
长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试
高考湘军
文科数学
长沙市教科院组织名优教师联合命制本试题卷共 7 页，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

湖南省长郡中学近年届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(含解析)(最新整理)

湖南省长郡中学2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(含解析)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

已知集合,，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现根据题意，求出集合M，再利用交集的定义求出【详解】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于简单题.2。

设，则( ）A. 2 B。

3 C。

4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B。

【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。

3。

已知差数列1，，，3成等差数列，1,， 4成等比数列，则的值为（）A。

2 B。

C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可．【详解】因为1，a1，a2,3成等差数列，得a1+a2＝4,又因为1，b1，b2，b3，4成等比数列,可得b22＝4，且1，b2，4同号，所以b2＝2，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题．4.若,,则的值为（ )A. B。

C. D。

【答案】A【解析】∵,∴∈(，）, 又因为，∴故sinα=sin［（）—]=sin（)cos—cos（）sin== ，故选A。

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环,通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.5.下列命题中，错误命题是（）A。

“若,则”的逆命题为真B。

线性回归直线必过样本点的中心C。

在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D. 在锐角中，有【答案】C【解析】【分析】利用四种命题是真假判断选项A的正误;回归直线方程的性质判断B的正误；椭圆的定义判断C的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；【详解】选项A：“若，则”的逆命题为:若，则显然是真命题;选项B：线性回归直线必过样本点的中心，所以B正确;选项C：在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为线段，所以C不正确；选项D:在锐角中，有，，所以,可得，所以D正确;故选C.【点睛】本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查,属于基础题.6。

湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

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长郡中学2019届高考模拟文数答案

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2019届湖南省长沙市高考模拟一文科数学试卷【含答案及解析】

2019届湖南省长沙市高考模拟一文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合，，则（_________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A．___________ B． ______________ C．________ ________ D．3. 在等差数列中，，前7项和，则其公差是（_________ ） A．_________ ________ B．__________________________ C．___________________________ D．4. 若满足约束条件，则的最大值为（________ ）A． 2________________________ B．____________________________C． 3______________________________ D． 15. 已知，，向量与垂直，则实数的值为（）A．____________________ B．________________________ C．____________________________ D．6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．7. 函数的图象可能是（_________ ）8. 如图所示，三棱锥中，平面，为正三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（________ ）A．________________________ B．________________________ C．________________________ D．9. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（_________ ）A．____________________ B．____________________ C．____________________ D．10. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（_________ ）A． ____________________ B． ________________________C． ____________________________ D．11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（_________ ） A． 1 ______________ B． ___________ C． ______________ D．12. 函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（_________ ）A． _________ B．___________ C． ___________ D．二、填空题13. 某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为________________________ .14. 过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为______________________________ .15. 已知函数，正项等比数列满足，则______________________________ .16. 中，角所对的边分别为，下列命题正确的是______________________________ .①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小值小于．三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，边，求边的长及的值.四、填空题18. 某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×２列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？五、解答题19. 如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点到平面的距离；（2）如图：若的平分线交弧于一点，试判断是否与平面平行？并说明理由.20. 已知椭圆过点，离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，直线分别交直线于两点，线段的中点为 . 记直线的斜率为，求证：为定值.21. 已知函数 .（1）当时，讨论的单调区间；（2）设，且有两个极值点为，其中，求的最小值.22. 如图，是圆的一条切线，切点为，直线都是圆的割线，已知 .（1）若，求的值；（2）求证： .23. 已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.24. 已知函数 .（1）解不等式；（2）若，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

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14．1＋ 5
15．
72 25
16．a3＋b3－c3＜0
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）∵ 2S n 是 an 与 an＋1 的等比中项， ∴ 2Sn an an 1 an an ，
2
当 n＝1 时，2a1 a1 a1 ，∴a1＝1． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）
3 3 1 x 3 x x x 3 x 3 1 2 ， 2 3 令 hx x 1 1 x 1 ， h x 2 2 3 1 x 1 x
（Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为 7500 元，按调整起征点前应纳个税为 1500×3％＋2500×10％＝295 元； · · · · · · · · · · · · · · （ ·10 分）按调整起征点后应纳个税为 2500×3％＝75 元，由此可知，调整起征点后应纳个税少交 220 元，即个人的实际收入增加了 220 元，所以小红的实际收入增加了 220 元． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （12 分） 19．解：（Ⅰ）过点 P 作 PO⊥AD，垂足为 O． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分） P
D O A B
C
由于点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好在 AD 上， ∴PO⊥平面 ABCD． ∴PO⊥AB． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分） ∵四边形 ABCD 为矩形，∴AB⊥AD．又 AD PO＝O，∴AB⊥平面 PAD， ∴AB⊥PD． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （3 分）又由 AB＝3，PB＝3 2 ，可得 PA＝3，同理 PD＝3． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （4 分）又 AD＝3 2 ， ∴PA2＋PD2＝AD2， ∴PA⊥PD，且 PA AB＝A， ∴PD⊥平面 PAB． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （5 分）（Ⅱ）设点 E 到底面 QBC 的距离为 h， P E D Q A B C
n 1

2n 1 1 n 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （9 分） 1 ， nn 1 n n 1
∴T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝（1＋
1 1 1 1 1 1 ）－（＋）＋（＋）－…＋（＋ 2 2 3 3 4 2n 1
高三一模数学（文科）参考答案
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1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （7 分） S QBC h ． 3 1 BE 2 由 PE PB ，可知， 3 BP 3
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2 分）调整后 y 关于 x 的表达式为 y＝
0, x 5000 ． · · · · · · · · · · （4 分） x 5000 0 . 03 , 5000 x 8000
又 S QBC
∴ VQ EBC
20．（Ⅰ）设 F2 M x ，则 F1F2 M 内，
14 由余弦定理得 2 x 2 2 x cos 120 ， 5
2 2
2
化简得 x

6 16 6 x 0 ，解得 x ， 5 5 5
故 2a MF1 MF2 4 ， ∴ a 2 ，得 b a c 3 ，
2 2 2
所以椭圆 C 的标准方程为
x2 y2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9
数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 A 9 D 10 B 11 D 12 C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．－
2 1 a＋ b 3 3
6m y1 y2 2 3m 4 把代入③， 9 y y 1 2 3m 2 4
x2 3 my1 1my2 1 3 m 2 y1 y2 m y1 y2 1 x2 4 y1 y2 4 y1 y2
高三一模数学（文科）参考答案第 1 页
B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，共 21 种情况，其中不在同一收入人群的有：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，共 12 种，所以所求概率为 P＝
12 4 ＝． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （8 分） 21 7
2
当 n≥2 时， 2an 2Sn 2Sn1 an an an1 an1 ，
2 2
整理得 an a n1 an an1 1 0 ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （3 分）又 an＞0，∴ an an1 1n 2 ，即数列 an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴ an a1 n 1d 1 n 1 n ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （6 分）（Ⅱ） bn 1
f x
1 3 x x ln x 1 x 2 , x 0, 时， 9

1 2 2 x 1 1 x 1 1 2 1 3 ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1 分） f x x 1 2 3 1 x 1 x2
得
9 6m ， m2 2 m 2 1 3 1 3m 4 3m 4 9 4 3 2 3m 4
得到 x＝4，故点 T 在定直线 x＝4 上． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （12 分） 21．解：（Ⅰ）因为 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以只需考虑 x∈（0，＋∞）上的极值点个数，
（Ⅱ）已知 A（－2，0），B（2，0），设 T（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），由 kTA k PA
y y 1 ，① x 2 x1 2
kTB kQB
y y2 ，② x 2 x2 2
两式相除得
x2 y x 2 1 2 ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （6 分） x 2 x1 2 y2
（Ⅱ）由频数分布表可知从［3000，5000）及［5000，7000）的人群中按分层抽样抽取 7 人，其中［3000，5000）中占 3 人，分别记为 A，B，C，［5000，7000）中占 4 人，分别记为 1，2，3，4，再从这 7 人中选 2 人的所有组合有：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，
1 1 1 1 ）－（＋）＝1－＜1． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （12 分） 2n 2 n 2n 1 2n 1
0, x 3500 18．解：（Ⅰ）调整前 y 关于 x 的表达式为 y＝ x 3500 0.03,3500 x 5000 ， 45 x 5000 0.1,5000 x 8000
y1 y y2 又 1 21 x1 2 x1 2 x1 4
故

3 2 x1 4 3 4 ， 2 x1 4 4

y1 3 x 2 1 ， x1 2 4 y1