动手操作型专题答案

35题答案1、解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长（2分）又∵在Rt △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC ＝30，∴BC ＝5cm ， ∴平移的距离为5cm ．（2分）（2）∵∠130A FA =，∴∠60GFD =，∠D ＝30°． ∴∠90FGD =．（1分）在Rt EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝1分）∵2FC =．（2分） （3）△AHE 与△1DHB 中，∵130FAB EDF ∠=∠=，（1分） ∵FD FA =，1EF FB FB ==，∴1FD FB FA FE -=-，即1AE DB =．（1分）又∵1AHE DHB ∠=∠，∴△AHE ≌△1DHB （AAS ）（1分）． ∴AH DH =．（1分）2、解：⑵ ∵AP ＝13AD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴S △ABP ＝13S △ABD ．又∵PD ＝AD －AP ＝23AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴S △CDP ＝23S △CDA ．∴S △PBC ＝S 四边形ABCD －S △ABP －S △CDP＝S 四边形ABCD －13S △ABD －23S △CDA＝S 四边形ABCD －13(S 四边形ABCD －S △DBC )－23(S 四边形ABCD －S △ABC )＝13S △DBC ＋23S △ABC ．∴S △PBC ＝13S △DBC ＋23S △ABC ．⑶ S △PBC ＝16S △DBC ＋56S △ABC ；⑷ S △PBC ＝1nS △DBC ＋1n n-S △ABC ；∵AP ＝1nAD ，△ABP 和△ABD 的高相等，∴S △ABP ＝1nS △ABD ．又∵PD ＝AD －AP ＝1n n-AD ，△CDP 和△CDA 的高相等，∴S △CDP ＝1n n-S △CDA ．∴S △PBC ＝S 四边形ABCD －S △ABP －S △CDP＝S 四边形ABCD －1n S △ABD －1n n -S △CDA＝S 四边形ABCD －1n (S 四边形ABCD －S △DBC )－1n n-(S 四边形ABCD －S △ABC )＝1n S △DBC ＋1n n-S △ABC ． ∴S △PBC ＝1n S △DBC ＋1n n-S △ABC ．问题解决： S △PBC ＝mnS △DBC ＋n m n -S △ABC ．3、解：（1）△BMP 是等边三角形． 证明：连结AN∵EF 垂直平分AB ∴AN ＝ BN由折叠知 AB ＝ BN∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN 为等边三角形 ∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30°又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90° ∴∠BPN ＝60°∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60° ∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60° ∴△BMP 为等边三角形 ．（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP在Rt △BNP 中， BN ＝ BA ＝a ，∠PBN ＝30° ∴BP ＝cos30a∴b ≥cos30a ∴a ≤23b ．∴当a ≤23b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP ． （3）∵∠M ′BC ＝60° ∴∠ABM ′ ＝90°－60°＝30°在Rt △ABM ′中，tan ∠ABM ′ ＝AM AB ' ∴tan 30°＝2AM ' ∴AM ′∴M′(23，2). 代入y＝kx中，得k＝23＝3设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A'过A'作A'H ⊥BC交BC于H．∵△A'BM′≌△ABM′∴A BM''∠＝ABM'∠＝30°，A'B＝AB ＝2 ∴A BH M BH''∠=∠－A BM''∠＝30°．在Rt△A'BH中，A'H ＝12A'B＝1 ，BH＝3∴()3,1A'∴A'落在EF上.(图2) (图3)4．略5．（1）AB1∥CB，证略（2）AB1与CB平行（3）图略，（1）（2）中的结论仍然成立6．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，AF＝23，∠D＝90°根据轴对称的性质，得EF＝AF＝23，∴DF＝•AD－AF＝13，在Rt△DEF中，DE＝2221()()33-＝3（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO＝EO，•取AD的中点M，连接MO，则MO＝12DE，MO∥DC，设DE＝x，则MO＝12x，在矩形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，∴AE 为△AED 的外接圆的直径，O 为圆心． 延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ， ∴∠DNM ＝180°－•∠C ＝90°， ∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形， ∴MN ＝CD ＝AB ＝2，∴ON ＝MN －MO ＝2－12x ， ∵△AED 的外接圆与BC 相切， ∴ON 是△AED 的外接圆的半径， ∴OE ＝ON ＝2－12x ，AE ＝2ON ＝4－x ．• 在Rt •△AED 中，AD 2＋DE 2＝AE 2，∴12＋x 2＝（4－x ）2． 解这个方程，得x ＝158，∴DE ＝158，OE ＝2－12x ＝1716．•根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴∠FOE ＝∠D ＝90°．又∵∠FEO ＝∠AED ，∴△FEO ∽△AED ，∴,FO OE OEFO AD DE DE=∴=·AD ． 可得FO ＝1730，又AB ∥CD ，∴∠EFO ＝∠AGO ，∠FEO ＝∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO ，∴FO ＝GO ，∴FG ＝•2FO ＝1715， ∴折痕FG 的长是1715． 7．解：（1）(52)，，()e c d +，，()c e a d +-，． 2分（2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111A B C D ，，，， 分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1DF CC ⊥于点F ． 在平行四边形ABCD 中，CD BA =，又11BB CC ∥，180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠= ．EBA FCD ∴∠=∠．又90BEA CFD ∠=∠= ，BEA CFD ∴△≌△．AE DF a c ∴==-，BE CF d b ==-．设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-．由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，． （此问解法多种，可参照评分）（3）m a c e +=+，n b d f +=+或m c e a =+-，n d f b =+-．)x（4）若GS 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上， 则有274(53)(2)c c c c c =--⨯--，即20c c -=．10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -，． 若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，． 若GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，． 综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有1(27)P -，，2(32)P ，，3(12)P -，． 8、解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2分）（2）设ABC y ∠=，C x ∠=，过点B 的直线交边AC 于D ．在DBC △中， ①若C ∠是顶角，如图1，则90ADB ∠>，11(180)9022CBD CDB x x ∠=∠=-=- ，180A x y ∠=-- ．此时只能有A ABD ∠=∠，即1180902x y y x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭， 34540x y ∴+= ，即31354ABC C ∠=-∠ ．②若C ∠是底角，则有两种情况．第一种情况：如图2，当DB DC =时，则DBC x ∠=，ABD △中，2ADB x ∠=，ABD y x ∠=-．1．由AB AD =，得2x y x =-，此时有3y x =，即3ABC C ∠=∠．2．由AB BD =，得1802x y x --=，此时3180x y +=，即1803ABC C ∠=-∠．3 ．由AD BD =，得180x y y x --=- ，此时90y =，即90ABC ∠=，C ∠为小于45 的任意锐角．第二种情况，如图3，当BD BC =时，BDC x ∠=，18090ADB x ∠=->，此时只能ABC备用图① 67.5 67.5 22.522.5A BC备用图②22.522.545 45有AD BD =，从而12A ABD C C ∠=∠=∠<∠，这与题设C ∠是最小角矛盾． ∴当C ∠是底角时，BD BC =不成立．9、解：（1）直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12AD CS A D h = △，12BDC S BD h = △，12ABC S AB h = △， 所以，ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BDAB AD=．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线．（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212s s s ==，即 121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等， 所以有DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△． 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形． 又因为ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△．因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD的黄金分割线． 画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD的黄金分割线．图2图310、解：实践探究（1）a 2＋b 2；（2）剪拼方法如图3—图5．（每图2分）联想拓展 能；剪拼方法如图6（图中BG ＝DH ＝b ）．（注：图6用其它剪拼方法能拼接成面积为a 2＋b 2的正方形均给分）11、解：（1）PQ QE =． 2分 （2）①(03)，；②(66)，． ③画图，如图所示．解：方法一：设MN 与EP 交于点F ． 在Rt APE △中，PE =∵12PF PE ==∴390Q PF EPA ∠+∠=∵°，90AEP EPA ∠+∠=°， 3Q PF AEP ∠=∠∴．又390EAP Q FP ∠=∠=∵°， 3Q PF PEA ∴△∽△． 3Q P PFPE EA=∴． 315PE PFQ P EA==·∴． 3(1215)Q ∴，．方法二：过点E 作3EG Q P ⊥，垂足为G ，则四边形APGE 是矩形． 6GP =∴，12EG =．设3Q G x =，则336Q E Q P x ==+．在3Rt Q EG △中，22233EQ EG Q G =+∵． 222(6)12x x +=+∴．E A M （第27题答图1）E A M （第27题答图2）F 图3A B C(E ) DH G F图5AC DF图4A BC EH D G F图6ABC EDG H9x =∴． 3125Q P =∴． 3(1215)Q ∴，．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式：213(026)12y x x =+≤≤．12、解：（1）解法一：如图9－1延长BP 交直线AC 于点E∵ AC ∥BD ， ∴ ∠PEA ＝ ∠PBD ． ∵ ∠APB ＝ ∠PAE ＋ ∠PEA ， ∴ ∠APB ＝ ∠PAC ＋ ∠PBD ．解法二：如图9－2过点P 作FP ∥AC ， ∴ ∠PAC ＝ ∠APF . ∵ AC ∥BD ， ∴FP ∥BD .∴ ∠FPB ＝∠PBD .∴ ∠APB ＝∠APF ＋∠FPB ＝∠PAC ＋ ∠PBD ． 解法三：如图9－3，∵ AC ∥BD ， ∴ ∠CAB ＋∠ABD ＝ 180° 即 ∠PAC ＋∠PAB ＋∠PBA ＋∠PBD ＝ 180°． 又∠APB ＋∠PBA ＋∠PAB ＝ 180°， ∴ ∠APB ＝∠PAC ＋∠PBD . （2）不成立.（3）(a )当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．(b )当动点P 在射线BA 上，结论是∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ．或∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB 或 ∠APB ＝ 0°，∠PAC ＝∠PBD （任写一个即可）．(c ) 当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠PAC ＝∠APB ＋∠PBD ．选择(a ) 证明：如图9－4，连接PA ，连接PB 交AC 于M ∵ AC ∥BD ，∴ ∠PMC ＝∠PBD ．又∵∠PMC ＝∠PAM ＋∠APM ， ∴ ∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB ． 选择(b ) 证明：如图9－5∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB ＝ 0°． ∵ AC ∥BD ， ∴∠PBD ＝∠PAC ． ∴ ∠PBD ＝∠PAC ＋∠APB 或∠PAC ＝∠PBD ＋∠APB或∠APB ＝ 0°，∠PAC ＝∠PBD . 选择(c ) 证明：如图9－6，连接PA ，连接PB 交AC 于F ∵ AC ∥BD ， ∴∠PFA ＝∠PBD ． ∵ ∠PAC ＝∠APF ＋∠PFA ， ∴ ∠PAC ＝∠APB ＋∠PBD ．13．（1）①BE ＝DF ＋EF ，②BE ＝DF －EF ，③EF ＝BE ＋DF ．（2）•证明略．14．分析与解答 （1）∵抛物线过O (0，0)、A （1，－3）、B （－1，5）三点，∴⎧⎪⎨⎪⎩c=0a+b+c=-3a-b+c=5，解得140a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为24y x x =-．（2）抛物线24y x x =-与x 轴的另一个交点坐标为C （4，0），连结EM ．∴⊙M 的半径是2，即OM ＝DM ＝2．∵ED 、EO 都是的切线，∴EO ＝ED ．∴△EOM ≌△EDM ．∴12222OME EOMD S S OM OE m ∆==⨯= 四边形（3）设D 点的坐标为（0x ，0y ），则0012222OME EOMD S S OM y y ∆==⨯⨯=四边形．当DON EOMD S S ∆=四边形时，即022m y =，0m y =，故ED ∥x 轴，又∵ED 为切线，∴D 点的坐标为（2，3），∵点P 在直线ED 上，故设点P 的坐标为（x ，2），又P 在抛物线上，∴224x x =-．∴1222x x ==-(22)P或(22)P 为所求15．解： 函数(0my x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，， 4m ∴=．设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，，1a > ，DB a ∴=，44AE a=-．由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1DE =，1a > ，易得4EC a=，1BE a =-， 111BE a a DE -∴==-，4414AE a a CEa-==-． BE AEDE CE ∴=． DC AB ∴∥．（3）解：DC AB ∥，∴当AD BC =时，有两种情况： ①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形，由（2）得，1BE AEa DE CE==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形，则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+． 16．（2） 若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积． 解：⑴ 解法一：设2(0)y ax bx c a =++ ，任取x ，y 的三组值代入，求出解析式2142y x x =+-， 令y ＝0，求出124,2x x =-=；令x ＝0，得y ＝－4，∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2，0)，B (－4，0)，C (0，－4) ．解法二：由抛物线P 过点(1，－52)，(－3，52-)可知，抛物线P 的对称轴方程为x ＝－1，又∵ 抛物线P 过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0)，B (－4，0)，C (0，－4) ．⑵ 由题意，AD DGAO OC=，而AO ＝2，OC ＝4，AD ＝2－m ，故DG ＝4－2m ， 又 BE EF BO OC =，EF ＝DG ，得BE ＝4－2m ，∴ DE ＝3m ， ∴S DEFG ＝DG ·DE ＝(4－2m ) 3m ＝12m －6m 2 (0＜m ＜2) ．⑶ ∵S DEFG ＝12m －6m 2 (0＜m ＜2)，∴m ＝1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 ． 当矩形面积最大时，其顶点为D (1，0)，G (1，－2)，F (－2，－2)，E (－2，0)，设直线DF 的解析式为y ＝kx ＋b ，易知，k ＝23，b ＝－23，∴2233y x =-，又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-，令2233x -＝2142x x +-，可求出x. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，则N 的横，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN HE DF DE =＝233--， 点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 kk ＞0．若选择另一问题：⑵ ∵AD DG AO OC =，而AD ＝1，AO ＝2，OC ＝4，则DG ＝2， 又∵FG CP AB OC =， 而AB ＝6，CP ＝2，OC ＝4，则FG ＝3， ∴S DEFG ＝DG ·FG ＝6．17．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）． 四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， 所以BCF CBG △≌△．BOAD E CF图1G所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠， BEC ABE A ∠=∠+∠， 所以BDF BEC ∠=∠． 可证BDF CEG △≌△． 所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BE 于F 点． 因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， 所以BDC CFB △≌△．所以BD CF =，BDC CFB ∠=∠．所以ADC CFE ∠=∠．因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，FEC A ABE ∠=∠+∠， 所以ADC FEC ∠=∠． 所以FEC CFE ∠=∠． 所以CF CE =． 所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．说明：当AB AC =时，BD CE =仍成立．只有此证法，只给1分．18．解：（1）如图2，点P 即为所画点．(答案不唯一．点P 不能画在AC 中点)（2）如图3，点P 即为所作点．(答案不唯一) （3）连结DB ，在△DCF 与△BCE 中， ∠DCF ＝∠BCE ， ∠CDF ＝∠CBE ， ∠ CF ＝CE ．∴△DCF ≌△BCE (AAS )， ∴CD ＝CB ，∴∠CDB ＝∠CBD ． ∴∠PDB ＝∠PBD ， ∴PD ＝PB ， ∵PA ≠PC∴点P 是四边形ABCD 的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；BOAD EC F 图2②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．19．解：（1）由已知，得 A （2，0），B （6，0），∵ 抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，则 221220,61660,6b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得4,32.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 则抛物线的解析式为 214263y x x =-+． 故 C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l 是 x ＝4． ∵ Q （8，m ）抛物线上，∴ m ＝2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴ AQ=又∵ B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴ PQ ＋PB 的最小值＝AQ＝．（3）如图②，连结EM 和CM ．由已知，得EM＝OC＝2．CE是⊙M的切线，∴∠DEM＝90º，则∠DEM＝∠DOC．又∵∠ODC＝∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD＝DE，CD＝MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40,2,k bb+=⎧⎨=⎩解得1,22,kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线CM的解析式为122y x=-+．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y＝12-x．20．解（1）两个三角形全等∵△AOB、△CBD都是等边三角形∴OBA＝∠CBD＝60°∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC即∠OBC＝∠ABD∵OB＝AB，BC＝BD△OBC≌△ABD（2）点E位置不变∵△OBC≌△ABD∴∠BAD＝∠BOC＝60°∠OAE＝180°－60°－60°＝60°在Rt△EOA中，EO＝OA·tan60或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE∴点E的坐标为（0（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1·m＝n·AG，即AG＝m n又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG·EF在Rt△EOA中，AE22＝（2－mn）（2＋n）即2n2＋n－2m－mn＝0解得m＝222n nn++．21解 （1）直线AB 解析式为：y ＝33-x ＋3．（2）方法一：设点C 坐标为（x ，33-x ＋3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x ＋3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ C （2，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ，OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA ＝3OB ，得∠BAO ＝30°，AD ＝3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD ＝1，OD ＝2．∴C （2，33）． （3）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO ＝30°，BP ＝3OB ＝3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO ＝30°，OP ＝33OB ＝1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P (如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ． 方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x ＋3），得OM ＝x ，PM ＝33-x ＋3 由∠BOP ＝∠BAO ，得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM ＝＝OMPM ＝x x 333+-，tan ∠ABOC ＝OBOA ＝3．∴33-x ＋3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）． ④若△POB ∽△OBA (如图)，则∠OBP ＝∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在x 轴上，不符合要求．综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）． 22解 （1）OA =∵AB AC ==(B ∴，C又在Rt AOD △中，AD =OA =3OD ==∴D ∴的坐标为(03)-， 又D C ，两点在抛物线上，23103c c =-⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴解得3b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为：21333y x x =--当x =0y =∴点(B 在抛物线上 （2）21333y x x =--∵21(43x =- ∴抛物线21333y x x =--的对称轴方程为x = 在抛物线的对称轴上存在点P ，使PBD △的周长最小．BD ∵的长为定值 ∴要使PBD △周长最小只需PB PD +最小． 连结DC ，则DC 与对称轴的交点即为使PBD △周长最小的点． 设直线DC 的解析式为y mx n =+．由30n n =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得3m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线DC的解析式为33y x =-由33y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故点P的坐标为2)-（3）存在，设)Q t为抛物线对称轴x =M 在抛物线上要使四边形BCQM 为平行四边形，则BC QM ∥且BC QM =，点M 在对称轴的左侧．于是，过点Q 作直线L BC ∥与抛物线交于点()m M x t ， 由BC QM =得QM =从而m x =-12t =故在抛物线上存在点(M ，使得四边形BCQM 为平行四边形． 23解 （1）根据题意得到：E （3n ，0）， G （n ，－n ）当x ＝0时，y ＝kx ＋m ＝m ，∴点F 坐标为（0，m ） ∵Rt △AOF 中，AF 2＝m 2＋n 2， ∵FB ＝AF ，∴m 2＋n 2＝(－2n －m )2， 化简得：m ＝－0.75n ，对于y ＝kx ＋m ，当x ＝n 时，y ＝0， ∴0＝kn －0.75n ， ∴k ＝0.75（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点E 、F 、G ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=c c nb a n n c nb a n 75.039022解得：a ＝n 41，b ＝－21，c ＝－0.75n∴抛物线为y ＝n 41x 2－21x －0.75n解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nx y n x x n y 75.075.075.021412 得：x 1＝5n ，y 1＝3n ；x 2＝0，y 2＝－0.75n∴H 坐标是：（5n ，3n ），HM ＝－3n ，AM ＝n －5n ＝－4n ， ∴△AMH 的面积＝0.5×HM ×AM ＝6n 2；而矩形AOBC 的面积＝2n 2，∴△AMH 的面积∶矩形AOBC 的面积＝3：1，不随着点A 的位置的改变而改变．24．解：（1）相等理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形， 所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '= ………… （2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,55PC x MC x =-=所以12(5)25S PC MC x x ==- ，即21212(05)255S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =--+，所以当52x =时， S 有最大值3（3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝52或AE ＝3.6时，ABE ∆是等腰三角形．25．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ， 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-215466y x x ∴=-++（3）存在符合条件的点P 共有3设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+=在1Rt ANP △中，1PN ==== 152P ⎛∴ ⎝⎭， ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，22MP ====252P ⎛∴ ⎝⎭③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK =3(2.51)P ∴-，26． 解：（1）点 M 1分（2）经过t 秒时，NB t =，2OM t = 则3CN t =-，42AM t =- ∵BCA ∠＝MAQ ∠＝45∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ∴11(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+ △ 22t t =-++∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB ＝t ，OM ＝2t 则3CN t =-，42AM t =- ∴BCA ∠＝MAQ ∠＝45①若90AQM ∠=，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高 ∴PQ 是底边MA 的中线 ∴12PQ AP MA ==∴11(42)2t t +=- ∴12t =∴点M 的坐标为（1，0）②若90QMA ∠=，此时QM 与QP 重合 ∴QM QP MA ==∴142t t +=- ∴1t =∴点M 的坐标为（2，0）27．解：（1）由(1)2(m m -=+，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =，因此30BCE = ∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB = ∠． 当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ． 由于30DAF = ∠，设11(0)DF m m =>，则1AF =，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此11(1)()m -+-=解之得1m =10m =舍去），因此点63D ⎛ ⎝⎭，．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．图1图2如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ． 由于AC BC =，因此30CAB = ∠，从而150ACD = ∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足， 则60DCH = ∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m = 由点(10)C -，，得点22(1)D m -+，因此22(1)m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形．综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：63D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，或(1D或(2D -．28．解：（1）在矩形OABC 中，OA =100OB AC ∴===PT OB ⊥ ，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴==． 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=． 所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）． A P O B ∴⊥，12∠=∠．Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，图3（第28题答图2）OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，．设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，， 不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）． 过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE = 可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14． （ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4） 此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△． 若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t =<（舍去）． 由于288162525>=，17t ∴=>=． 而此时916t <≤，所以t =也不符合题意，故舍去． 所以，916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14．（第28题答图3）综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14． 29．解：（1）①2，60 ；2分 ②2；（2）12AO O △经过旋转相似变换)A ，得到ABI △，此时，线段12O O 变为线段BI ；C I B △经过旋转相似变换452C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得到2CAO △，此时，线段BI 变为线段1AO ．12=，454590+= ，122O O AO ∴=，122O O AO ⊥． 30．解：（1）令x ＝0，得y ＝－2 ∴C (0，一2)．∵ACB ＝90°，CO ⊥AB ，．∴ △AOC ∽△COB ，．∴OA ·OB ＝OC 2；∴OB ＝22241OC OA == ∴m ＝4．31．解：（1）60BAO = ∠．2分（2）点P 的运动速度为2个单位/秒．（3）(10)P t -（05t ≤≤）1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当92t =时，S 有最大值为1214，此时112P ⎛⎝⎭． （4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM = ∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个．②同理当点P 在BC边上运动时，可算得1217.8OQ =+=． 而构成直角时交y轴于0⎛ ⎝⎭20.217.8=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．32．解：（1）34PM =， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，第29题图①(1)3t a QM a-=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a < ≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66at a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．33．解（1） 抛物线2y x bx c =++过(20)A -，，24c b ∴=-点E 在抛物线上，112433y b c b b b ∴=++=+-+=-， ∴点E 的坐标为(133)b -，． （2）由（1）得33EF b =-，4560FAE ≤∠≤，3AF =，10b ∴≤．（3）BCE △的面积有最大值，2y x bx c =++ 的对称轴为2bx =-，(20)A -，，∴点B 的坐标为(20)b -，， 由（1）得(024)C b -，，而BCE EFB OCB OCEF S S S S =+-△△△梯形111()222OC EF OF EF FB OB OC =++- []111(42)(33)1(33)(1)(2)(42)222b b b b b b =-+-⨯+-----21(32)2b b =-+，21(32)2y b b =-+ 的对称轴是32b =，10b ≤∴当1b =时，BCE S △取最大值，其最大值为213(13(1222+⎡⎤--+=⎣⎦． 34．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解得⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．35．解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ．∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，∴A （0，4），B （6，4），C （8，0）（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 第34题图(批卷教师用图) O MN HA C EFDB↑→ －8(－6，－4)xy解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． 所求抛物线关系式为：213442y x x =-++． （3）∵OA ＝4，OC ＝8，∴AF ＝4－m ，OE ＝8－m ． ∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB ＋OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OAm m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（ 2882+-=m m （ 0＜m ＜4）∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． （4）当2m =-+GB ＝GF ，当2m =时，BE ＝BG ．。