补充材料2杂数列求和

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人教版初中数学-拓展二数列求和常用的方法(精练)(解析版)

拓展二数列求和常用的方法（精练）【题组一裂项相消法】1．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知数列{}n a ，其前n 项和记为n S ，满足2410a a +=，12n n n a S S ++=-.（1)求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）因为112n n n n S a S a ++-==+，所以12n n a a +-=，即{}n a 是等差数列，且公差2d =，又2412410a a a d +=+=，11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-，即21n a n =- （2）因为1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以111111(1)23352121n T n n =-+-++--+ 11(1)22121nn n =-=++，即21n nT n =+. 2．（2021·江西上高二中高二月考）设数列{}n a 前n 项和为n S ，若0n a >，且2243n n n a a S +=+(1)求{}n a 的通项公式 (2)设11n n n b a a +=，求{}n b 前n 项的和n T . 【答案】(1)21n a n =+；(2)69n nT n =+. 【解析】(1)因为0n a >，且2243n n n a a S +=+ ①当1n =时，112320a a --=，得13a =或11a =-(舍)；当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+ ②由①-②得，11()(2)0n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以10n n a a ->+，可得12n n a a --=(2)n ≥，所以{}n a 是以3为首项，公差为2的等差数列，所以()32121n a n n =+-=+. (2)由(1)中结论得，()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以121111111235572123n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪++⎝⎭111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 3．（2021·辽宁阜新·高二期末）在等差数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知24a =，420S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .（在①14n n n b a a +=；②()1nn n b a =-⋅两个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）【答案】（1）2n a n =；（2）答案见解析.【解析】（1）等差数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知24a =，420S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以114434202a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，故2n a n =. （2）由（1）得：选条件①时，()14411411n n n b a a n n n n +===-++，故1111111...1223111n n T nn n n ；选条件②时，()()112nnn n b a n =-⋅=-⋅，当n 为偶数时，()()()2468 (21222)n nT n n n =-++-+++--+=⋅=⎡⎤⎣⎦；当n 为奇数时，()()()()()2468...22212121n T n n n n n n =-++-+++--+--=--=--⎡⎤⎣⎦，所以()(),1,n n n T n n ⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数. 4．（2021·全国高二单元测试）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2a 1+3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6，等差数列{}n b 满足b 2＝5，b 6+b 8＝30．（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）1,213nn n a b n ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）23(23)n n S n =+. 【解析】（Ⅰ）依题意()1122511111231911330n n a a q a q a q a q a q a a q +=⎧⎪=⋅⎪⎛⎫⇒==⇒=⎨⎪⎝⎭>⎪⎪>⎩. 1111532157302n b d b b n b d b d d +==⎧⎧⇒⇒=+⎨⎨+++==⎩⎩ （Ⅱ）()()1221121232123n n b b n n n n +==-⋅++++，()21111111221323323135573n S nn n n n -+=-+-++-==+++. 5．（2021·全国高二专题练习）已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足215327a a a +=，S 7＝63.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .【答案】（1）a n ＝2n ＋1；（2）3111()4212n n -+++ 【解析】（1）设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，a n >0，则2111124(2),772163,a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⎪+=⎩解得13,2.a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝3＋（n －1）×2＝2n ＋1. （2）∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1，且a n ＝2n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3.当n ≥2时，b n ＝（b n －b n －1）＋（b n －1－b n －2）＋…＋（b 2－b 1）＋b 1 ＝（2n ＋1）＋（2n －1）＋…＋5＋3＝n （n ＋2），当n ＝1时，b 1＝3满足上式，b n ＝n （n ＋2）. ∴11111()(2)22n b n n n n ==-++ ∴T n ＝1211111...n nb b b b -++++ 1111111111[(1)()+()...()()]232435112n n n n =-+--++-+--++ 11113111[1]()22124212n n n n =+--=-+++++ 6．（2021·河南信阳高中高二月考）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为4，其前n 项和为,n S 且22a 为23,S S 的等比中项（1）求{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）求证：1132n T ≤<.【答案】（1）42n a n =-；（2）21nn +；（3）证明见解析. 【解析】（1）因为数列{}n a 是公差为4的等差数列，所以()()2121311324,22,34342a a S a S a a ⨯=+=+=+⨯=+. 又22234a S S =，所以()()()211144624a a a +=++，即()()11420+-=a a ，解得12a =或14a =-（舍去），所以24(1)42n a n n =+-=-. （2）因为14411(42)(42)4242n n n b a a n n n n +===--+-+，所以121n n n T b b b b -=++++111111112661046424242n n n n =-+-++-+----+11242n =-+21nn =+.（3）121n n n T b b b b -=++++11242n =-+， 121n n n T b b b b -=++++单调递增，n =1时，121n n n T b b b b -=++++最小为13，因为1042n >+，所以1112422n -<+ 所以1132n T ≤<.【题组二错位相减法】1．（2021·辽宁阜新·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32n n S a =-. （1）求证：{}n a 是等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；（2）()29933nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【解析】（1）证明：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32n n S a =-，①，当1n =时，整理得：11a =；当2n ≥时，1132n n S a --=-，②， ①－②得：122n n n a a a -=-+，整理得：123n n a a -=（常数），故数列{}n a 是以1为首项，23为公比的等比数列；（2）由（1）得：123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以123n n n b na n -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，所以01122212...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，12222212...3333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， ①－②得：112221...3333n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以：2112323313nnn T n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅ ⎪⎝⎭-，整理得：()29933nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.故：()29933nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.2．（2021·全国高二课时练习）已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0，1).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【答案】（1） a n ＝12n ；（2） S n ＝2－(n ＋2)12⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0，1)，所以q ＝12，所以a n ＝1111222n n-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭. （2）根据题意得b n ＝na n ＝2nn， 23123 (2222)n n nS =++++ ① 23411123 (22222)n n nS +=++++ ② 两式相减得：234111111 (222222)n n nS +=++++-，1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，()11122n n +=-+，所以()1222n nS n =-+. 3．（2021·全国高二专题练习）已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，求证：S n <2.【答案】（1）a n ＝12n ＋1；（2）证明见解析.【解析】（1）方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，因为{a n }是递增的等差数列，所以a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.（2）证明：设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，由(1)知2n n a ＝122n n ++，则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++，12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++. 两式相减得12S n ＝34＋341111()222n ++++－222n n ++＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++. 所以S n ＝2－142n n ++. 因为1402n n ++>，所以S n <2.4．（2021·全国高二专题练习）数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. （1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设b n ＝3n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】（1）证明见解析；（2）S n =1(21)334n n +-⨯+.【解析】（1）证明：由已知可得11n a n ++＝n a n ＋1，即11n a n ++－n an ＝1. 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得，na n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ×3n .S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ×3n ＋1，＝3(13)13⨯--－n ×3n ＋1＝1(12)332n n +-⨯-.所以S n ＝1(21)334n n +-⨯+.5．（2021·全国高二专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n 1-. （1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）设b n =（2n 1-）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）证明见解析；（2）T n =（2n 3-）×2n +3. 【解析】（1）证明：当n =1时，a 1=S 1=2a 11-，所以a 1=1，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（2a n －1）－（2a n －1－1），所以a n =2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，a n =2n －1，所以b n =（2n －1）×2n －1，所以T n =1+3×2+5×22+…+（2n －3）×2n －2+（2n －1）×2n －1，① 2T n =1×2+3×22++（2n －3）×2n －1+（2n －1）×2n，② ①－②，得－T n =1+2×（21+22++2n －1）－（2n －1）×2n=1+2×122212n --⨯-－（2n －1）×2n=（3－2n ）×2n －3，所以T n =（2n －3）×2n +3.6．（2021·全国高二专题练习）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且231n n S a =-.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =nna ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】（1）a n =3n -1；（2）T n =969443nn +-⨯.【解析】（1）由231n n S a =-，① 得11231n n S a --=-（n ≥2），② ①－②，得1233n n n a a a -=-，∴13(2)n n a a n，又1112312S a a =-=，∴a 1=1，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n =3n -1.（2）由（1）得，b n =13n n-， ∴T n =0121123···3333n n -++++， 13T n =123123···3333n n ++++，两式相减，得23T n =01211111···33333n n n-++++- 113233=1322313n n n n n -+-=-⨯-， ∴T n =969443nn +-⨯.【题组三分组求和法】1．（2021·全国高二专题练习）数列{}(1)nn -⋅的前n 项和为n S ，则2020S =（）A ．1010B ．－1010C ．2020D ．－2020【答案】A【解析】由题意，数列{}(1)nn -⋅，即(1)n na n ，则()()()2020123420192020123420192020S =-+-+--+=-++-+++-+2020110102=⨯=. 故选：A.2．（2021·全国高二专题练习）设coscos(30)nnan=-，n S为数列的前n项和，求59S的值是（）A B．0 C．59 D．592【答案】A【解析】令()59cos1cos2cos59cos29cos28cos29S︒︒︒=++⋯+︒︒-︒①则()()59cos59cos58cos1cos29cos28cos29S︒︒︒=++⋯+-︒-︒︒②①+②可得：59cos1cos59cos2cos58cos1cos592cos29cos28cos29S︒+︒︒+︒︒+︒=++⋯+︒︒︒，()()1cos1cos1cos1cos601cos1cos59cos29cos301︒+︒+︒︒+︒-︒︒+︒===︒︒-︒592S∴=59S∴=故选：A3．（2021·全国）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1＝2a n＋n－2(n∈N*)．（1）求证：数列{a n＋n－1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n.【答案】（1）首项为1，公比为2的等比数列；（2）2n－222n n-+.【解析】（1）由已知得1222n na n a n++=+-，11110a+-=≠，所以11nna na n+++-＝2，所以数列{a n＋n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知：a n＋n－1＝2n－1，a n＝2n－1＋1－n，S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(1＋2＋…＋2n－1)－(1＋2＋…＋n－1)S n＝(2n－1)－12(n2－n)＝2n－222n n-+.4（2021·全国高二专题练习）求和：1357(1)(21)nnS n=-+-+-+--．【答案】(1)n n-⋅【解析】由题意知1357(1)(21)nnS n=-+-+-+--，当n 为偶数时，可得()()1357[(23)(21)]22nnS n n n=-++-+-+-++-=⨯=；当n为奇数时，1n-为偶数，可得()()1(1)(21)1357[(25)(23)](1)(21)nn n S S n n n n -=+--=-++-+-+-++---⨯-12(21)2n n n -=⨯--=- 综上可得，(1)nn S n =-⋅.5．（2021·全国高二专题练习）在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .【答案】（1）见解析；（2）当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝232n n +；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋11n q q --.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差是d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3， ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.（2）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1， ∴b n ＝3n －2＋q n －1，∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝(31)2n n -＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)，故当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝232n n+；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋11nq q --.6．（2021·全国高二专题练习）各项均为正数的等比数列{a n }，a 1＝1，a 2a 4＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝232n n+(n ∈N ＋)．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【答案】（1） a n ＝2n －1，b n ＝3n －1；（2）2n －1＋(31)2n n +. 【解析】（1）设公比为q ，∵a 1＝1，a 2a 4＝16， ∴q 4＝16，∵q ＞0，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∵S n ＝232n n +，∴当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝232n n +－23(1)(1)2n n -+-＝3n －1当n ＝1时，b 1＝S 1＝2满足上式，∴b n ＝3n －1；（2）c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1 ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(20＋21＋…＋2n －1)＋(2＋5＋…＋3n －1)＝1212n--＋[]2(31)2n n +-＝2n －1＋(31)2n n +． 7．（2021·全国高二课时练习）已知等比数列{}n a 中，1232a a a +=，且1a ，2a ，31a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）当数列{}n a 为正项数列时，若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）()1114n n a -=⨯-或12n na ；（2） 221n n +-．【解析】（1）记{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q +=，解得1q =-或2．又由()13212a a a +-=，得211112a a q a q +-=，解得()1211a q =-．当1q =-时，114a =，此时()1114n n a -=⨯-；当2q时，11a =，此时12n n a ．综上，数列{}n a 的通项公式()1114n n a -=⨯-或12n na ．（2）由已知，得12n n a ，则1212n n b n -=-+，所以()()21135211222n n S n -=++++-+++++⎡⎤⎣⎦()221211221212n n n n +--=+=+--．【题组四倒序相加法】1（2021·全国高二课时练习）设函数()221x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B【解析】()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.2．（2021·全国高二课时练习）已知函数()1e e xx f x =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，1831a =，则()()()()123365ln ln ln ln f a f a f a f a ++++=______．【答案】3652【解析】∵()e e 1xx f x =+，∴()()e e e e 1)e (e 1)2e e 1e 1e 1(e 1)(e (e 1)2e x x x x x x x xxx x x x x f x f x -------++++++-=+===++++++． ∵数列{}n a 是等比数列，∴2136523641831a a a a a ====，∴2136523643651183ln ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a a +=+==+==．设()()()36512365ln ln ln S f a f a f a =+++，① 则()()()3653653641ln ln ln S f a f a f a =+++，②①＋②，得()()()()()()()()()3651365236436512ln ln ln ln ln ln S f a f a f a f a f a f a =++++++365=，∴3653652S =．故答案为：36523．（2021·全国）已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．【答案】992【解析】因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 4（2021·全国高二课时练习）设()f x ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭22019f⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．【解析】()f x =∴(1)x xf x -===因此()(1)x xf x f x +-== 所以12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12018201920192019202201197f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭⎝⎭=5．（2021·全国高二专题练习）函数f (x )＝142x +(x ∈R )，若x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝______，若n ∈N *，则f (1n )＋f (2n )＋…＋f (1n n -)＋f (n n)＝__________.【答案】12 4n －112【解析】函数1()()42xf x x R =∈+， 111()42x f x ∴=+，1(1)6f =，又121x x +=，211x x =-，12(1)1()42x f x -∴=+111111112(1)1124241()()24242244424424x x x x x x x f x f x -++=+=+==+++++；由题得n S =121()()()()n nf f f f n n n n-++⋯++ 所以n S =1221()()()()()n n n f f f f f n nn n n--+++++两式相加得11(1)226n S n =-⨯+⨯，所以111226n n S -=+ 所以1412n n S =-. 故答案为：12；1412n -．。

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c=.解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

数列求和方法总结

数列求和方法总结数列是数学中常见的一个概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。

在数列中，常常需要求和，即将数列中的所有元素相加得到一个总和。

求和是数列中的一个重要问题，有着多种方法和技巧，本文将对数列求和方法进行总结。

首先，我们来介绍一些常见的数列求和公式。

1.等差数列求和公式：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d为公差，可以使用以下公式求和：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。

2.等比数列求和公式：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比，可以使用以下公式求和：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中Sn表示前n项和。

3.调和数列求和公式：调和数列是指an = 1/n，其中n为正整数。

调和数列没有一个简单的求和公式，但它满足以下性质：Sn=1+1/2+1/3+...+1/nSn = ln(n) + γ + O(1/n)接下来，我们将介绍一些常见的数列求和方法。

1.逐项相加法：这是最简单的求和方法，即将数列中的每一项逐个相加得到和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以逐项相加得到152.折半相加法：这是一种针对特定数列的求和方法。

对于一些具有对称性质的数列，可以将数列折半后再进行求和。

例如，对于数列1,2,3,4,5，可以将其折半为1,5,3，再相加得到93.和差法：这是一种将数列拆分为两个子数列，并利用数列之间的关系求和的方法。

例如，对于等差数列1,2,3,4,5，可以将其拆分为两个等差数列1,3,5和2,4，并利用等差数列求和公式求和后再相加。

4.差分法：对于一些特定数列，其前后项之间存在一定的差值关系。

通过求得这种差值关系，我们可以将数列转化为差分数列，并利用差分数列的性质进行求和。

例如，对于数列1,4,9,16,25，可以发现相邻项之间的差值为3,5,7，可以将其转化为差分数列3,5,7，并利用等差数列求和公式求和后再进行相加。

数列求和的八种方法及题型

数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。

例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。

由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。

2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。

例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。

3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。

例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。

将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。

4、数表法：把数列列成表，统计其和。

例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。

数列求和常用方法(含答案)

数列专题数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72，所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30．跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2，故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5，又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1，因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1．跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3．跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列，则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ，则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值．解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2，得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022，当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立，当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。

数列求和常见的7种方法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) n nn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个（找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；选择是难，更何况是心灵选择。

数列的求和公式的综合题目

三角等。
确定数列的通项公式
利用错位相减法求和
构造等比数列
整理结果并化简
解题思路：利用错位相减法求和
题目：求数列1，3，6，10， 15，... 的前n项和
解题步骤：先写出等差数列的前n项和公式，然后错位相减
答案：S_n = n*(n+1)/2
添加标题
适用范围：适用于等差数列和等比数列的混合数列求和
分组法在数列求和中有广泛应用，尤其适用于某些项数较少，但每项数值较大或难以直接求和的数列。
添加标题
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分组法的关键是选择合适的分组方式，使得分组后的数列易于求和。
分组法可以与其他求和方法结合使用，以简化数列求和的过程。
确定分组依据：根据题目要求，将数列按照一定的规律或性质进行分组。分别求和：对每组数列进行求和，得到每组的和。合并结果：将各组的和相加，得到整个数列的和。化简结果：对求和结果进行化简，得到最终答案。
等比数列的公比 r 不能等于 0，否则数列将无法定义。
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等公式：an=a1*q^(n-1)，其中an是第n项，a1是首项，q是公比推导：由等比数列的定义和性质推导得出应用：在数列求和、数列的通项公式等方面有广泛应用
定义：等比数列是一种常见的数列，其每一项与前一项的比值都相等
裂项相消法在解决一些复杂数列求和问题时具有很高的实用价值，是数学中常用的解题技巧之一。
确定数列的通项公式将通项公式进行裂项处理，使其变为易于求和的形式利用裂项后的数列求和公式进行求和整理求和结果，得出最终答案
● 题目：1/2+1/6+1/12+1/20+1/30

数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文

可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列求和问题

数列求和问题数列求和是数学中一个重要的概念，常用于计算一系列数字的总和。

以下将介绍数列求和的基本原理、常见数列的求和公式以及解决数列求和问题的方法。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。

等差数列求和的公式如下：Sn=(a1+an)×n/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。

例子：求等差数列1,3,5,7,9的前5项和。

解答：首先确定等差数列的首项a1为1，末项an为9，项数n为5。

代入求和公式计算即可：S5=(1+9)×5/2=10×5/2=25所以等差数列1,3,5,7,9的前5项和为25。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比都相等的数列。

等比数列求和的公式如下：Sn=a1×(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1为首项，r为公比，n为项数。

例子：求等比数列2,4,8,16的前4项和。

解答：首先确定等比数列的首项a1为2，公比r为2，项数n为4。

代入求和公式计算即可：S4=2×(1-2^4)/(1-2)=2×(1-16)/(1-2)=2×(-15)/(-1)=30所以等比数列2,4,8,16的前4项和为30。

三、其他常见数列求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些常见的数列求和公式：1.平方数列求和：Sn=n×(n+1)×(2n+1)/62.立方数列求和：Sn=[n×(n+1)/2]^23.斐波那契数列求和：Sn=F(n+2)-1，其中F(n)表示第n个斐波那契数四、解决数列求和问题的方法在解决数列求和问题时，我们需要注意以下几点：1.确定数列的类型：首先要确定数列是等差数列还是等比数列，或者其他类型的数列。

2.找到数列的通项公式：根据已知条件，找到数列的通项公式，以便进一步求解。

3.使用相应的求和公式：根据数列类型选择合适的求和公式，代入已知条件计算结果。

数列求和的方法总结

数列求和的方法总结
数列求和的方法总结
数列求和与三角函数在高考中轮番出现，一般分值在十分左右。

下面给大家整理了数列求和的`方法总结，欢迎阅读!
数列求和的方法总结
01裂项相消法：
将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的结果，如图。

02公式法：
用常用求和公式求和得到细解结果，也是数列求和的最基本最重要的方法，如图。

03倒序相加法：
是解决数列求和经典方法，在等差数列前n项和公式的推导过程中，使用了这种方法，如图。

数列求和的七种方法

数列求和的七种方法数列求和是数学中的一个基本问题，我们经常会在数学课上遇到。

在解决数列求和的问题时，我们可以使用多种方法来计算数列的和。

下面我将介绍七种常见的方法。

第一种方法是等差数列求和。

等差数列的特点是每一项与前一项的差值都相等，我们可以使用等差数列求和公式来计算其和。

如果一个等差数列的首项为a，公差为d，有n项，则等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。

通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的和。

第二种方法是等比数列求和。

等比数列的特点是每一项与前一项的比值都相等，我们可以使用等比数列求和公式来计算其和。

如果一个等比数列的首项为a，公比为r，有n项，则等比数列的和可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。

通过这个公式，我们可以方便地计算等比数列的和。

第三种方法是求和公式法。

对于一些特殊的数列，我们可以找到一个求和公式来计算其和。

例如，等差数列和等比数列都有对应的求和公式。

在解决数列求和的问题时，我们可以通过寻找求和公式来简化计算过程。

第四种方法是换元法。

有时候，我们可以通过将数列中的项进行变量替换来简化计算过程。

例如，我们可以将数列中的项表示为一个多项式，并对该多项式进行求和。

通过变量替换和多项式求和，我们可以迅速得出数列的和。

第五种方法是递推法。

对于一些没有明显规律的数列，我们可以使用递推法来计算其和。

递推法的思想是通过前几项的和来求解后一项的值。

通过不断累加并递推，我们可以得到数列的和。

第六种方法是分组求和法。

对于一些复杂的数列，我们可以将其划分为多个子数列，并分别计算每个子数列的和。

然后将所有子数列的和相加，即得到整个数列的和。

这个方法常常在解决难题时使用，可以将复杂问题化简为简单问题。

第七种方法是利用数学工具求和。

在现代数学中，我们有各种各样的数学工具可以用来辅助求和。

例如，我们可以使用微积分中的积分来计算一些复杂数列的和。

通过利用数学工具，我们可以更加高效地求解数列求和的问题。

数列求和方法总结例题

数列求和方法总结例题数列是数学中的一种重要的概念，它在各个学科中都有广泛的应用。

求和是数列研究中的重要问题之一，求和的方法有很多种，本文将对数列的求和方法进行总结，并通过例题加深理解。

首先，求和方法中最常见的就是等差数列求和公式。

对于一个等差数列，即每个元素与前一个元素之差都相等的数列，可以通过等差数列求和公式来求解。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n/ 2，其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a1为1，末项an为9，项数n为5，则前5项和为(1 + 9) * 5 / 2 = 25。

除了等差数列，还有一种常见的数列是等比数列。

在等比数列中，每个元素与前一个元素的比值都相等。

对于等比数列的求和，可以使用等比数列求和公式。

对于等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 -r^n) / (1 - r)，其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，首项a1为2，公比r为2，项数n为4，则前4项和为2 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 30。

除了等差数列和等比数列以外，还有一些特殊的数列，比如斐波那契数列。

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其每个元素都是前两个元素之和。

斐波那契数列的前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13，可以看出每个元素都是前两个元素之和。

对于斐波那契数列的求和，可以使用递推的方法来进行计算。

例如，对于前8项斐波那契数列的求和，可以将每个元素相加，即0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33。

除了上述三种常见的数列求和方法之外，还有一些其他的方法可以用来求解特殊的数列。

例如，对于一些数列中，可以找到递推关系式来求解。

在这种情况下，需要通过观察数列中元素间的关系来找到递推公式，然后可以通过递推公式来求解数列的和。

数列专题：数列求和的6种常用方法(原卷版)

数列专题：数列求和的6种常用方法一、几种数列求和的常用方法1、分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．4、倒序相加法：如果一个数列{}n a 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．二、公式法求和常用公式公式法主要适用于等差数列与等比数列.1、等差数列{}n a 的前n 项和11()(1)22++==+n n n a a n n S na d 2、等比数列{}n a 的前n 项和111(1)11，，=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩n n na q S a q q q 3、一些常见的数列的前n 项和：①112123(1)==++++=+∑nk k n n n ；122462(1)==++++=+∑nk k n n n ②21(21)135(21)=-=++++-=∑n k k n n ；③22222116123(1)(21)==++++=++∑nk k n n n n ；④3333321(1)2123[]=+=++++=∑nk n n k n 三、裂项相消法中常见的裂项技巧1、等差型裂项（1）111(1)1=-++n n n n （2）1111()()=-++n n k k n n k（3）21111()4122121=---+n n n （4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦n n n n n n n （5）211111()(1)(1)(1)2(1)(1)==---+-+n n n n n n n n n（6）22111414(21)(21)⎡⎤=+⎢⎥-+-⎣⎦n n n n （7）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦n n n n n n n n n n （8）2222211111)(()+=-++n n n n n （9）222211112)42)((⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦n n n n n 2、根式型裂项=1=-k12=(1)1111(1)1++=+-++n n n n n n 3、指数型裂项（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++---==-------n n n n n n n n n （2）113111()(31)(31)23131++=-----n nn n n （3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2-++-⎛⎫==-⋅=- ⎪+⋅+⋅+⋅+⋅⎝⎭n n n n nn n n n n n n n n n n （4）1111(41)31911333(2)2(2)22-+--⎛⎫⎡⎤-⋅=-⋅=- ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭n n n n n n n n n n n （5）11(21)(1)(1)(1)(1)++⋅---=-++n n n n n n n n （6）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++-++++-++-++==⋅⋅+⋅+⋅+⎡⎤⎣⎦n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1111(1)1111(1)(1)(1))22(1)2222(1)2++++⎡⎤⎡⎤---=+-+=-+⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦n n n n n n n n nn n n n n 4、对数型裂项11log log log ++=-n a n aa a n na a a 四、错位相减法求和步骤形如n n n A B C =⋅，其中{}n B 为等差数列，首项为1b ，公差为d ；{}n C 为等比数列，首项为1c ，公比为q .对数列{}n A 进行求和，首先列出n S ，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{}n C 的公比q ，即得n q S ⋅，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{}n A 的前n 项和。

人教A版高二数学选修二举一反三练习拓展二数列求和的方法(精练)(解析版)

拓展二数列求和的方法【题组一裂项相消】1．（ 2020·沭阳县修远中学高二月考）数列{}n a的通项公式n a =若前n 项的和为11,则n=________. 【答案】143.【详细解析】因为n a =所以n a所以+11n Sn +1=11143n ∴=,2．（ 2020·四川成都·高二期末）已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,313a b ==,15715a b ==,设11(1)n nn n n b c a a -+=-,则数列{}n c 的前2018项和为（） A ．20172018-B ．20172018C ．20182019-D ．20182019【答案】D【详细解析】设数列{}n a ,{}n b 的公差分别为a d ,b d , 则由已知得1531212a a a d -==,71612b b b d -==,所以1a d =,2b d =,所以3(3)n a a a n d n =+-=,1(1)21n b b b n d n =+-=+,所以121(1)(1)n n n c n n -+=-=+111(1)1n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭,所以数列{}nc 的前2018项和为201812201811111223S c c c ⎛⎫⎛⎫=+++=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭... 11113445⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1120172018⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ (1111201820182019120192019)⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,故选D. 3．（ 2020·河南高二月考）已知等差数列{}n a 中,13212a a +=,12421a a a +=+. （ 1）求数列{}n a 的通项公式;（ 2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:121112123n S S S n +++<+++. 【答案】（ 1）31n a n =-;（ 2）证明见详细解析. 【详细解析】（ 1）设数列{}n a 的公差为d , 由题意得()()111112212231a a d a a d a d ⎧++=⎪⎨++=++⎪⎩,解得12a =,3d =,故数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-.（ 2）由（ 1）知()2313222n n n n nS n -+=+=, 所以()231322n n n n nS n n +++=+=, 所以()122113131n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭,所以1211121111111232231n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2121313n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 4．（ 2020·江西省信丰中学月考）已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =,且2a ,4a ,8a 成等比数列. （ 1）求数列{}n a 的通项公式; （ 2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求使1415n S <的n 的最大值. 【答案】（ 1）n a n =;（ 2）13.【详细解析】（ 1）因为2a ,4a ,8a 成等比数列,所以2428a a a =⋅,因为数列{}n a 是等差数列,且22a =,所以224282a a a a =⎧⎨=⋅⎩,即()()1311123()7a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩,解得111a d =⎧⎨=⎩或120a d =⎧⎨=⎩（舍去）所以n a n =（ 2）因为n a n =,11n n n b a a +=, 所以11111n n n b a a n n +==-+,所以11411115n n S n n =-=<++,解得14n <, 所以当1415n S <时,n 的最大值为13. 5．（ 2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （ 1）求{}n a 的通项公式; （ 2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【答案】(1) 221n a n =-;(2)221n n +. 【详细解析】（ 1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （ 2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++ 6．（ 2020·江西其他）已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项（ 1）求数列{a n }通项公式;（ 2）求数列{()()1111n n n a a a ++++}的前n 项和T n. 【答案】（ 1）12n na ;（ 2）n T 2121n n -=+.【详细解析】（ 1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+, 所以34543428a a a a ++=+=, 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=, 因为1q >,所以2q .所以12n na（ 2）记()()()()1112112121nn n n n n n a b a a +-+==++++则()()1112211221212121n n n n n nb ---⋅==-++++（）所以 01122311111111122121212121212121n n nT -⎛⎫=-+-+-++-⎪++++++++⎝⎭1121222121n n n -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

数列求和的几种方法

数列求和的几种方法
数列求和是数学中常见的问题，学校里也会要求学生用不同的方法解决求和问题。

下面就介绍几种常见的数列求和的方法。

1、列表法。

可以将数列给出来，把每一项都累加起来。

这种方法不仅适合简单的数列，也适用于比较复杂的数列，但是当数列较长时，这种方法计算起来就比较复杂。

2、等差数列求和公式法。

对于一个等差数列，如果知道了首项和末项，可以通过求和公式法得出总和，从而不用一一相加，而是利用求和公式把总和表示出来，可以大大提高计算的效率。

3、分段法。

当数列和较大时，可以将数列分段，在每一段内，用列表法或公式法求出各部分和，最后将各段和相加即可求出整个数列的和。

这种方法也可以提高计算效率。

4、几何法。

如果数列有一定的规律，可以考虑用几何方法，即采取绘制图表进行求解。

也可以说，
绘制图形是一种加快数列求和的有效方法，但这种方法对于简单的数列来说效果并不明显。

5、矩形原理。

如果数列的项值符合矩形原理，也可以利用此原理进行求和，比如，一段数列的首项为a，末项为b，每一项相差为d，而数列的项数为n，那么，此段数列的和就是a + b + (n-1)×d。

6、累加表格。

如果不知道原数列，而只知道数列和，可以用累加表格来表达，从而把总的计算和作为平方和的参数，利用平方和求出原来的数列。

通过以上介绍，给大家总结几种数列求和的方法：列表法、等差数列求和公式法、分段法、几何法、矩形原理和累加表格法。

根据实际情况可以依据需要选择性地使用这几种方法，正确有效地求解求和问题。

数列求和各种方法总结归纳

1 1 1 ＝ 2n－1－2n＋1， 2
1 1 1 1 1 1 ＋－＋…＋ ∴Sn＝ 1－3 2n－1－2n＋1 2 3 5
1 1 n ＝ 1－2n＋1＝ . 2 2n＋1
[理](2012· 西南大学附中月考)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈ R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*. (1)求证：数列{bn＋1}为等比数列； 2n 2 011 (2)令Cn＝，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn>2 012成立的 an·n＋1 a 最小的n值．
解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1， ∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1， ∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.
故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知，bn＋1＝2n－1，∴an＝2bn＋1＝2n－1. 2n 2n 1 1 故Cn＝＝ n ＝ n － n＋1 . an·n＋1 2 －12n＋1－1 2 －1 2 －1 a ∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn 1 1 1 1 1 ＝(1－3)＋(3－7)＋…＋( n － ) 2 －1 2n＋1－1 1 2 011 ＝1－ n＋1 .由Tn>2 012，得2n＋1>2 013，解得n≥10. 2 －1 ∴满足条件的n的最小值为10.
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项
相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
[例1] (2011· 山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一行第二行第一列第二列第三列 3 6 9 2 4 8 10 14 18

三类构造法求杂数列的和

和，求其通项公式，有求出了通项公式，析通项公式先只分
两边取倒数，得一：— ＋．
ａ＋ｉ Ⅱ
ｎ
＝
吉（１÷ 号＋－× ＝．ｎ
故有。．：
的形式，对其形式，择典型求和方法中的某一种加以求针选和．上所述，数列的通项公式的求解是关键．面列举综杂下几种常见类型加以阐述：
数学学习与研究
２１．３００２
个递推关系，括等差等比，不过等差等比的递推关系包只比较简单，学目标是要求学生熟练掌握和能够灵活运用．｛，ｎ已数ｎ｝Ｉ２一，满ｎ求ａ．
解
（）１
类型２递推关系式形如ａ＝ｐｑｑＰ为常数，ａ（，且
Ｐ≠ １ｑ≠０），．
同理，ａ＋一２＝ａ＋一２知数歹ａ＋由。＋。Ｕ｛一２｝。是一个常数列．故有ａ＋ｌ一２＝ａ —２ｌ＝３—４＝一１ａａ２．（２）由（）２），得ｎ１（可＝２一＋１．
．
．
｛＋１是以ａｎ｝＋１＝２为首项，２为公比的等比
ｎ＋ｌ：２．
数列．
’ ．
．
Ｂ】＝２－ｎ一１ｎ∈Ｎ）（．
点评
根据题设特征恰当地构造辅助数列，用基本利

杂数列求和

六.错位相减法: {an}是等差数列， {bn}是等比数列，求 an bn 的和．七.裂项相消法:
适用于通项为
1 an an1
=
1 1 1 (1) n(n 1) = n n 1 ; 1 1 1 1 (2) = k ( n n k ); n( n k ) 1 1 ( a b) ; (3) = a b a b 1 1 1 1 [ ] (4) (n 1)(n 2)(n 3) 2 (n 1)(n 2) (n 2)(n 3)
1 d
1 (a n
-
1 ). an 1
1 的前n项求和问题，如 an an1
常见的拆项方法有：
裂项相消法求和
例1
1 已知等比数列{an}的首项a1= ,公比q满 3
足q>0,且q≠1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列. (1)求数列{an}的通项；
1 1 (2)令bn=log3 ,试求数列{ b b }的前n项和Sn; an n n 1 1 1 1 1 3 (3)试比较 + + +…+ 与的大小. b1b3 b2b4 b3b5 bnbn 2 4
当 q 1 时，等比数列的前n 项和公式为： a1 an q a1 ( 1 q n ) Sn ，或 S n . 1 q 1 q 当 q 1 时， S n n a1 .
二.倒序相加法：即等差数列求和公式的推导. 三.拆项求和法：把数列的通项拆成几项求和。
四. 公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，
此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：
1 k 1 2 n nn 1 2 k 1
2 k 1 3 5 ( 2 n 1 ) n n n 1 n

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补充材料2:数列求和班级座号姓名等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和。

下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）：将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得.例1 数列{}n a 中，160a =-，且13n n a a +=+，则这个数列的前30项的绝对值之和为（） A ．495 B ．765 C ．3105D ．120基本训练：1．（07湖南）在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（）A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-2．(07全国)已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 3、{}n a 是等差数列，11=a ，{}n b 是等比数列，23,12,3,321===+=c c c b a c n n n 则________9321=++++c c c c ；4、在数列{}n a 中，已知=++++=-=+2032111,420a a a a a a a n n 则，______.5、（08全国）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．解：二、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例2 求数列11111246248162n n ++ ，，，，，的前n 项和n S ．基本训练：1、数列 ,1614,813,412,211的前n 项和为（） A 、n n n 21)2(212-++ B 、1211)1(21--++n n nC 、n n n 21)2(212-+-D 、)211(2)1(21n n n -++2、自然数列中，前50个偶数的平方和与50个奇数的平方和的差是（） A 、0 B 、5050 C 、2525 D 、-50503.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- ，则n S ＝_______________________.4. 若数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++ （1）求该数列的通项公式（2）求该数列的前n 项和；5、求数列11111,2,3,4,392781的前n 项和三、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+基本训练：1．（07广东）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．1302、数列{}n a 的通项公式是)(11N n n n a n ∈++=，前n 项和为10，则项数是（）A 、11B 、99C 、120D 、121 3、求和：111112123123n++++=+++++++四、错位相减法：源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)nx x x n x ++++- 的和．基本训练：1．化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（）A ． 1222n n ++-- B ．122n n +-+C ．22nn --D ．122n n +--2、数列１＋3q +5q 2+7q 3+9q 4＝ _______. 3、求数列}21{nn ⨯前n 项和解：4、已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 的公式.解：五、倒序相加法：此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例5 求222222222222123101102938101++++++++ 的和．基本训练：1、（2002全国理，16）已知函数f （x ）=221x x +，那么f （1）+f （2）+f （21）+f （3）+f（31）+f （4）+f （41）=_____.补充材料2:数列求和等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和。

下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）：将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得.例1 数列{}n a 中，160a =-，且13n n a a +=+，则这个数列的前30项的绝对值之和为（B ） A ．495 B ．765 C ．3105D ．120基本训练：1．（07湖南）在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ B ）A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-2．(07全国)已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．3、{}n a 是等差数列，11=a ，{}n b 是等比数列，23,12,3,321===+=c c c b a c n n n 则________9321=++++c c c c ； 12834、在数列{}n a 中，已知=++++=-=+2032111,420a a a a a a a n n 则，______.4805、（08全国）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+．由361a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)dd d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．当0d =时，20420200S a ==．当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190=⨯+=二、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例2 求数列11111246248162n n ++ ，，，，，的前n 项和n S ．分析：此数列的通项公式是1122n n a n +=+，而数列{2}n 是一个等差数列，数列112n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等比数列，故采用分组求和法求解．解：23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++-⎪⎝⎭ ．小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和. 基本训练：1、数列 ,1614,813,412,211的前n 项和为（ A ） A 、n n n 21)2(212-++ B 、1211)1(21--++n n nC 、n n n 21)2(212-+-D 、)211(2)1(21n n n -++2、自然数列中，前50个偶数的平方和与50个奇数的平方和的差是（B ） A 、0 B 、5050 C 、2525 D 、-50503.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- ，则n S ＝_______________________.(1)nn -⋅ 4. 若数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++ （1）求该数列的通项公式（2）求该数列的前n 项和；（121;22nn n +---）5、求数列11111,2,3,4,392781 的前n 项和（. 211223nn n ++-⋅）三、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+31n n + 小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 基本训练：1．（07广东）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（B ）A ．1B ．56C ．16D ．1302、数列{}n a 的通项公式是)(11N n n n a n ∈++=，前n 项和为10，则项数是（C ）A 、11B 、99C 、120D 、1213、求和：111112123123n ++++=+++++++ .21n n + 四、错位相减法：源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)nx x x n x ++++- 的和．解：当1x ≠时，21122(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x-+--=+----；当1x =时，2n S n =．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.基本训练：1．化简()()2111222222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+⨯+的结果是（D ）A ． 1222n n ++-- B ．122n n +-+C ．22nn --D ．122n n +--2、数列１＋3q +5q 2+7q 3+9q 4＝ _______.6529111(1)(1)25(1)q q q q q q ⎧-++≠⎪-⎨⎪=⎩3、求数列}21{n n ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+4、已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 的公式.4、(1) 2n a n = (2)12(21)(1)2(1)2(1)(1)1n n n n n x S x x nx x x x ++=⎧⎪=-⎨-≠⎪--⎩五、倒序相加法：此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例5 求222222222222123101102938101++++++++ 的和．分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设222222222222123101102938101S =++++++++ 则222222222222109811012938101S =++++++++ ．两式相加，得 2111105S S =+++=∴= ，．小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.基本训练：1、55.（2002全国理，16）已知函数f （x ）=221x x +，那么f （1）+f （2）+f （21）+f （3）+f （31）+f （4）+f （41）=_____. 答案：27 解析：11111)()1(2222=+++=+x x xx x f x f ∴f （1）+［f （2）+f （21）］+［f （3）+f （31）］+［f （4）+f （41）］=111++1+1+1=27评述：在f （2）+f （21）=1的基础上判断f （x ）+f （x1）=1，问题便迎刃而解.。