华东师大初中数学七年级下册三角形的内角和与外角和关系(基础)巩固练习【推荐】.doc
华东师大版七年级数学下册：9.1.2三角形的内角和与外角和学案
9.1.2三角形的内角和与外角和学习目标：1.探讨三角形的外角的性质。
2.探讨三角形的外角和。
3.外角的灵活运用。
学习重点：三角形的外角的性质，三角形的外角和学习难点：三角形的外角的性质的推导。
学习过程：●阅读感知请阅读课本77页“现在我们讨论三角形的外角及外角和”至79页，并回答下列问题：①三角形的外角有什么性质？②三角形的外角和是多少？●合作研究探究：1、三角形外角的性质量一量：如图1所示，请你借助量角器测量∠A.∠C.∠1的度数，猜想∠1与∠A.∠C之间存在的数量关系，试着说明一下。
说明：因为∠1+∠ABC=1800( )所以∠1=______________________因为∠1+∠C+∠ABC=1800( )所以∠1+∠C=___________________所以∠1=____________________( 等量代换)方法2：此题还可过点B作B E∥AC，请同学们自己完成。
辩一辩：观察图2，用“＞”或“＜”填空：∠A=_______∠ACD ∠B_____∠ACD归一归：三角形的外角性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
温馨提示：学习三角形的外角性质时，要特别注意理解“不相邻”的含义，要避免断章取义，出现错误。
探究2：一个三角形每个顶点处有两个外角，则它共有六个外角，那么“三角形的外角和”指的是这六个外角的和吗？如果不是，“三角形的外角和”指的是什么？并证明。
●课中训练：1、如果一个三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是（）。
A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等边三角形2、如图3，已知：A C∥ED,∠C=260,∠CBE=370,则∠BED的度数是（）A .630 B.830 C.730 D.530.3、如图，已知A B∥CD，则（）A. ∠1=∠2+∠3B.∠1=2∠2+∠3C.∠1=2∠2-∠3D.∠1=1800-∠2-∠34、根据图中已知角的度数，求x的值。
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三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】（2016•莘县一模）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ．【答案】120°．解：∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．∴∠FBC=，∠FCB=．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°．∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°．类型三、三角形的内角、外角综合4. （2015秋•潮南区期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【思路点拨】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．【答案与解析】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．【总结升华】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。
华师版七年级数学下册作业课件(HS) 第九章 多边形 专题训练(七) 三角形内角和与外角的应用
类型之三 结合三角板或直尺计算角度
10．将一副学生用三角板(即分别含30°角、45°角的直角三角板)按如 图所示方式放置，则∠1＝_____1_0_5_°__．
11．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等 腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°， 那么∠BMD为___8_5度．
15. 一副三角板按如图方式摆放，若∠1＝33°，则∠2的度数 为____7_8_°_．
16 ． 现 有 两 块 大 小 相 同 的 直 角 三 角 板 △ ABC ， △ DEF ， ∠ ACB ＝ ∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°.将这两块三角板摆成如图所示的形式， 使点B，F，E，A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点 G，求∠AGD的度数．
5．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°) 按如图所示方式放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为( C )
A．105° B．110° C．115° D．120°
6．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE于点E，若∠A＝42°， 则∠D＝________．48°
7 ． 如 图 ， a∥b ， ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 75° ， 则 ∠ 3 ＋ ∠ 4 ＝ ____1_0_5_°__．
12．(永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板 的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__7_5_°___．
13．一副直角三角板如图放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上， AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，则∠CAF＝______1_5_°．
14．如图，一把直尺压在三角板上(忽略厚度)，直尺的一边 MN与三角板的两边AB，AC分别交于E，F，已知∠A＝30°， 则∠AEM＋∠AFN的度数是___2_1_0_°____．
华师大版七年级下册数学同步练习课件-9.1 第3课时 三角形的内角和与外角和
▪ 解答：因为2∠ACD＝76°， ▪ 所以∠ACD＝38°， ▪ 所以∠1＝∠A＋∠ACD＝76°＋38°＝114°. ▪ 因为∠2＝∠DBE＋∠1， ▪ 所以∠DBE＝∠2－∠1＝143°－114°＝29°.
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课时即练
▪ 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠AB的度数是
()
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15．一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90°，∠B、∠C 应分别是 21° 和 32°，现测得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
解：这个零件不合格．理由：如图，延长 CD 与 AB 相交于点 F.因为∠DFB＝ ∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°，所以∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°.因为实 际量得∠BDC＝148°，143°≠148°，所以这个零件不合格．
第9章 多边形
9.1 三角形
2 三角形的内角和与外角和(第三课时)
名师点睛
▪ 知识点1 三角形的内角和 ▪ 三角形的内角和等于180°. ▪ 注意：由三角形的内角和定理可知，任何一个三角形中，至
少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
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▪ 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BP平分 ∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
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▪ 知识点2 直角三角形的性质
▪ 直角三角形的两个锐角互余．
▪ 知识点3 三角形外角的性质
▪ (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
▪ (2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
▪ 提示：三角形的外角的性质是证三角形中角度之间的相等关 系和不等关系常用的依据．
▪ 知识点4 三角形的外角和
▪ 三角形的外角和等于360°.
最新华东师大初中数学七年级下册三角形的内角和与外角和关系(提高)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1. （2016•桐城市模拟）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC 上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．（2016春•邵阳县校级月考）将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α= ．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.（2016春•宜兴市校级月考）如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度？14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1.【答案】75°【解析】如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】A；6. 【答案】A；【解析】连接AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝70°+70°＝140°．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组： A-2B=702C-10180B A B C ∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C ∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC ＝90°+12∠A ； 9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为50°.10．【答案】75°；11.【答案】75°．【解析】由题意得，∠ACB=∠CBD=90°，∴AC ∥BD ，∴∠ACD=∠CDB=30°，∴α=45°+30°=75°，故答案为：75°．12.【答案】190n ︒-︒；∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C ，∠2=∠B+∠D ，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，∠F+∠2=180°﹣60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．14.【解析】解： (1)∠F＝12(∠B+∠D)．理由如下：∵∠D+∠1＝∠F+∠3，∠B+∠4＝∠F+∠2，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠D+∠B＝2∠F．(2)令∠B＝2k，∠D＝4k，∠F＝xk，由(1)知xk＝12(2k+4k)，所以x＝3．15.【解析】解：∠D＝∠4-∠2＝12(∠ACE-∠ABC)＝12∠A，∴∠D＝12∠A．16.【解析】解： (1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC．又∵∠BAC＝180°-(∠B+∠C)，∴∠1＝12[180°-(∠B+∠C)]＝90°-12(∠B+∠C)．∴∠EDF＝∠B+∠1＝∠B+90°-12(∠B+∠C)＝90°+12(∠B-∠C)．又∵ EF⊥BC，∴∠EFD＝90°．∴∠DEF＝90°-∠EDF＝90°-[90°+12(∠B-∠C)]＝12(∠C-∠B)．(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，(1)中探索所得的结论仍成立．。
2019华东师大初中数学七年级下册三角形的内角和与外角和关系(提高)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1. （2016•桐城市模拟）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．（2016春•邵阳县校级月考）将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α= ．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.（2016春•宜兴市校级月考）如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度？14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1.【答案】75°【解析】如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】A；6. 【答案】A；【解析】连接AA′，则∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A所以∠1+∠2＝∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A＝∠EAD+∠EA′D＝70°+70°＝140°．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组： A-2B=702C-10180B A B C ∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C ∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC ＝90°+12∠A ； 9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为50°.10．【答案】75°；11.【答案】75°．【解析】由题意得，∠ACB=∠CBD=90°，∴AC ∥BD ，∴∠ACD=∠CDB=30°，∴α=45°+30°=75°，故答案为：75°．12.【答案】190n ︒-︒；∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C ，∠2=∠B+∠D ，∵∠BOF=120°，∴∠3=180°﹣120°=60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，∠F+∠2=180°﹣60°=120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．14.【解析】解： (1)∠F＝12(∠B+∠D)．理由如下：∵∠D+∠1＝∠F+∠3，∠B+∠4＝∠F+∠2，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠D+∠B＝2∠F．(2)令∠B＝2k，∠D＝4k，∠F＝xk，由(1)知xk＝12(2k+4k)，所以x＝3．15.【解析】解：∠D＝∠4-∠2＝12(∠ACE-∠ABC)＝12∠A，∴∠D＝12∠A．16.【解析】解： (1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC．又∵∠BAC＝180°-(∠B+∠C)，∴∠1＝12[180°-(∠B+∠C)]＝90°-12(∠B+∠C)．∴∠EDF＝∠B+∠1＝∠B+90°-12(∠B+∠C)＝90°+12(∠B-∠C)．又∵ EF⊥BC，∴∠EFD＝90°．∴∠DEF＝90°-∠EDF＝90°-[90°+12(∠B-∠C)]＝12(∠C-∠B)．(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，(1)中探索所得的结论仍成立．。
数学华东师大版七年级下册三角形内角和与外角和前置性作业
前置性作业
一、温故而知新：（动手操作）
请同学们回忆小学学过的三角形内角和的关系并用不同的方法来证明
二、自主学习：（我自信、我最棒）
1、如图①所示，已知D 、E在ΔABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为。
2、如图②所示在ΔABC中，∠A=50°，∠ABC=70°,BD。
平分∠ABC，则∠BDC的角度是
3、如图③所示，AB∥CD,DE⊥CE，∠1=34°。
则∠DCE 的度数为。
4、如图④所示，已知∠ABC=60°，∠ACB=70°，CE、BD分别是AB、AC上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数为。
三、合作探究：（试一试，我能行）
请同学们结合自主学习总结直角三角形两个锐角关系，及三角形外角和的两条性质并给予说明。
四、知识拓展：
如图⑤为一个零件的形状，按规定∠A=90°∠B、∠C分别为32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，请运用三角形有关知识说说零件不合格的理由。
华师版数学七年级下册 三角形内角和与外角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B
C
B'C' ，使得 B'C'∥BC.
则 ∠BAB=∠B ，∠CAC =∠C. 又 ∠BAB+∠BAC+∠CAC =180， 所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°.
由此得到： 三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2.
你还有其他 解法吗？
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
B2
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. F
E A
1
3
CD
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， E
你发现了 什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
A
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
51°
F
E
1
20° D 30°
= 51° + 20° + 30° = 101°. B 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二)C.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33.
七年级数学下册9.2三角形的内角和与外角和导学案华东师大版
三角形的内角和与外角和学习目的1、探索三角形的外角的两条性质和外角和定理。
2能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
难点：，添加辅助线来沟通证明思路的方法。
一、课前准备：1．如图示填空：（1）B A ACD ∠+∠∠_________（2）A ACD ∠∠______，B ACD ∠∠_______(3) =∠+∠+∠B A ACB2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢?二、探索交流： 1、如图示：思考∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?∵∠1＋______________=180°,∠2+_______________=180°,∠3+_______________=180°.三式相加可以得到∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1）又∵ ∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°， （2）∴∠1＋∠2＋∠3＝ °结论：三角形的外角和是例1、如图9.1.11，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），∴∠ADC ＝∠B ＋∠ ＝80°又 ∠B ＝∠BAD （已知），∴ ∠ ＝80°×21＝40°（等量代换）. （2）在△ABC 中，∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的内角和等于180°）， ∴ ∠C ＝180°－∠ －∠ （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°例2、如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.图9.1.11 OCB A例3、如图，△ABC 中，∠A=500,∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACE 平分线交于D ，求∠D的度数。
华东师大初中数学七年级下册三角形的内角和与外角和关系(基础)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1．（2016春•东平县期中）适合条件∠A=∠B=∠C 的三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形2．若△ABC 的∠A ＝60°，且∠B:∠C ＝2:1，那么∠B 的度数为( )A ．40°B ．80°C ．60°D ．120°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°，∠ACB ＝ 60°，那么∠BDC ＝( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°4．(安徽)如图所示，直线1l ∥2l ，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题7．如图，AD ⊥BC ，垂足是点D ，若∠A ＝32°，∠B ＝40°，则∠C ＝_______，∠BFD ＝_______，∠AEF ＝________．8．在△ABC 中，∠A+∠B ＝∠C ，则∠C ＝_______．9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．10．（2016春•丹阳市校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D= 度．11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB是________的外角．12.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2)若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形；(3)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．14．（2016春•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，BE、CD相交于点E，设∠A=2∠ACD=76°，∠2=143°，求∠1和∠DBE的度数．15．已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠B＝∠1．求证：∠2＝∠BAC．16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．【解析】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和定理，得x+x+3x=180，x=36．则∠C=108°．则该三角形是钝角三角形．故选B．2. 【答案】B；【解析】设∠B＝2x，则∠C＝x，由三角形的内角和定理可得，2x＋x＋60°＝180°，解得x＝40°，∠B＝2x＝80°．3. 【答案】D ；4. 【答案】C；【解析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质及三角形的内角和定理．5. 【答案】B；【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．6. 【答案】D；【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．二、填空题7. 【答案】58°，50°，98°；【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°．8. 【答案】90°；9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°；【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．10.【答案】70【解析】∵∠A=40°，∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°﹣∠1+180°﹣∠2=360°﹣（∠1+∠2）=360°﹣（180°﹣40°）=360°﹣140°=220°．由于CD、BD的平分线交于点D，则∠4+∠5=×220°=110°，根据三角形内角和定理，∠D=180°﹣110°=70°．11.【答案】8，△DBC，△ADE；【解析】考查三角形外角的定义．12.【答案】(1)30°， 60°， 90°，直角；(2)直角 (3)钝角；【解析】先根据已知条件求出最大角的度数，再判断三角形的形状．三、解答题13.【解析】解：连接AD，在△ADC中，∠1+∠CAD+∠CDA＝180°，在△ABD中，∠3+∠BAD+∠BDA＝180°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠CAD+∠BAD+∠3+∠CDA+∠BDA＝(∠1+∠CAD+∠CDA)+(∠3+∠BAD+∠BDA)＝180°+180°＝360°14.【解析】解：∵2∠ACD=76°，∴∠ACD=38°，在△ACD中，∠1=∠A+∠CD=76°+38°=114°；在△BDE中，∠DBE=∠2﹣∠1=143°﹣114°=29°．15.【解析】解：由∠2＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠1，又∵∠B＝∠1，∴∠2＝∠BAC．16.【解析】解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°，由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角．同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的．。
9.1.2 三角形的内角和与外角和 华东师大版数学七年级下册同步练习(含解析)
9.1.2 三角形的内角和与外角和基础过关全练知识点1 三角形的内角和1.(2021福建泉州永春月考)在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C的度数为( )A.100°B.80°C.60°D.40°2.(2022四川成都二十中期中)满足条件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.不确定3.(2022江苏无锡锡山期中)已知:如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的平分线,若∠DAC=30°,∠BAC=80°.(1)求∠EBC的度数;(2)求∠AOB的度数.知识点2 三角形的外角及其性质4.(2022海南海口期末)如图,∠A=65°,∠B=45°,则∠ACD=( )A.65°B.60°C.45°D.110°5.(2022河南信阳浉河期末)如图所示,下列结论正确的是( )A.∠1>∠B>∠2B.∠B>∠2>∠1C.∠2>∠1>∠BD.∠1>∠2>∠B6.(2022辽宁沈阳模拟)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC 交BC边于点D,若∠C=26°,则∠ADB的度数是( )A.61°B.64°C.71°D.109°7.(2022浙江台州期末)如图,下列关于∠A,∠B,∠C,∠1的关系中一定成立的是( )A.∠A+∠B=∠C+∠1B.∠A+∠1=∠B+∠CC.∠A+∠B+∠C=∠1D.∠A+∠B+∠C+∠1=360°8.(2021云南昆明五华期中)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E,若∠ABC=32°,∠BAC=118°,求∠ECD的度数.知识点3 三角形的外角和9.(2022山东济南长清期末)如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,则∠1+∠2+∠3的大小为( )A.90°B.180°C.270°D.360°10.【新独家原创】∠1和∠2是△ABC的外角,若∠A=90°,如图(1),则∠1+∠2的度数为 ;若∠A=60°,如图(2),则∠1+∠2的度数是 ;若∠A=α,如图(3),则∠1+∠2的度数为 .图(1) 图(2) 图(3)能力提升全练11.(2021江苏宿迁中考,5,)如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°12.(2022河南郑州期末,4,)一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )A.90°B.100°C.105°D.120°13.(2022重庆云阳期末,11,)如图,钝角△ABC 中,∠2为钝角,AD 为BC 边上的高,AE 为∠BAC 的平分线,则∠DAE 与∠1、∠2之间的等量关系为( )A.∠DAE =∠2-∠1B.∠DAE =∠2―∠12C.∠DAE =∠22―∠1D.∠DAE =∠1+∠2214.【分类讨论思想】(2022黑龙江哈尔滨中考,17,)在△ABC 中,AD为边BC 上的高,∠ABC =30°,∠CAD =20°,则∠BAC 是 度.15.(2022山东济南济阳期末,16,)如图,△ABC 中,∠ABC 的三等分线与∠ACB 的平分线交于点O 1,O 2,若∠1=115°,∠2=135°,则∠A 的度数为 .16.(2021江苏徐州邳州期中,22,)如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC与∠ACD的平分线交于点E,若∠A=40°,求∠E的度数.17.【学科素养·推理能力】(2022广东佛山顺德期中,22,)如图,在△ABC中,BO,CO是∠ABC,∠ACB的平分线且BO,CO相交于点O.(1)若∠ACB=80°,∠ABC=40°,求∠BOC的度数;(2)若∠A=60°,求∠BOC的度数;(3)请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系,不需要说明理由.素养探究全练18.【推理能力】【跨学科·物理】(2022河南许昌建安期中)试验证明:平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.理解题意并解决问题.(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b 反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,求∠2及∠3的度数.解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4= ,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7= ,∴∠5=∠6= ,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5= .(2)在(1)中,①若∠1=55°,则∠3= ;②若∠1=40°,则∠3= .(3)由(1)(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行,请你写出推理过程.答案全解全析基础过关全练1.B 根据三角形内角和等于180°可知,∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(60°+40°)=80°.2.B ∵2∠A=2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=45°,∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选B.3.解析 (1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴△ADC是直角三角形,∵∠DAC=30°,∴∠C=90°-∠DAC=60°,∵∠BAC=80°,∴∠ABC=180°-∠ABC=20°.∠BAC-∠C=40°,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠EBC=12(2)∵∠BAC=80°,∠DAC=30°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=50°,由(1)可知∠EBC=20°,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABO=∠EBC=20°,在△AOB 中,∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=110°.4.D ∵∠A=65°,∠B=45°,∴∠ACD=∠A+∠B=110°,故选D.5.D 由题图知,∠1>∠2,∠2>∠B,∴∠1>∠2>∠B.故选D.6.C ∵∠BAC=90°,AD平分∠BAC,∴∠DAC=45°,∵∠C=26°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=45°+26°=71°,故选C.7.C 如图,延长AD交BC于点E,∵∠AEC=∠A+∠B,∠1=∠C+∠AEC,∴∠1=∠A+∠B+∠C,故选C.8.解析 ∵∠ABC =32°,∠BAC =118°,∴∠ACD =∠ABC +∠BAC =32°+118°=150°,∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,∴∠ECD =∠ACE =12∠ACD =12×150°=75°.9.D ∵∠1,∠2,∠3是△ABC 的三个外角,∴∠1+∠2+∠3=360°.故选D.10.答案 270°;240°;180°+α解析 题图(1)中∠A 的邻补角为90°,根据三角形的外角和知∠1+∠2+90°=360°,所以∠1+∠2=270°;题图(2)中∠A 的邻补角为120°,根据三角形的外角和知∠1+∠2+120°=360°,所以∠1+∠2=240°;题图(3)中∠A 的邻补角为180°-α,根据三角形的外角和知∠1+∠2+180°-α=360°,所以∠1+∠2=180°+α.能力提升全练11.B 在△ABC 中,∠A =70°,∠C =30°,∴∠ABC =180°-∠A -∠C =80°,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =12∠ABC =40°,∵DE ∥AB ,∴∠BDE =∠ABD =40°,故选B.12.C 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,∴∠A =90°-30°=60°,又∠AGE =∠BGD =90°-45°=45°,∴∠α=45°+60°=105°,故选C.13.B ∵AD 是BC 边上的高,∴∠D =90°,∴∠DAC =90°-∠1,∵∠BAC +∠2+∠1=180°,∴∠BAC =180°-∠1-∠2,∵AE 平分∠BAC ,∴∠CAE =12∠BAC =12(180°-∠1-∠2),∴∠DAE =∠DAC -∠CAE =90°-∠1-12(180°-∠1-∠2)=∠2―∠12,故选B.14. 答案 80或40解析 当△ABC 为锐角三角形时,如图(1),∠BAD =180°-∠B -∠ADB =180°-30°-90°=60°,∠BAC =∠BAD +∠CAD =60°+20°=80°;当△ABC 为钝角三角形时,如图(2),∠BAD =180°-∠B -∠ADB =180°-30°-90°=60°,∠BAC =∠BAD -∠CAD =60°-20°=40°.综上所述,∠BAC =80°或40°.故答案为80或40.图(1)图(2)15.答案 70°解析 ∵∠O 2BO 1=∠2-∠1=20°,∴∠ABC =3∠O 2BO 1=60°,∠O 1BC =∠O 2BO 1=20°,∴∠BCO 2=180°-20°-135°=25°,∴∠ACB =2∠BCO 2=50°,∴∠A =180°-∠ABC -∠ACB =70°.16.解析 由三角形的外角的性质可知,∠E =∠ECD -∠EBD ,∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点E ,∴∠EBD =12∠ABC ,∠ECD =12∠ACD ,∵∠ACD -∠ABC =∠A =40°,∴12∠ACD ―12∠ABC =20°,∴∠E =∠ECD -∠EBD =20°.17.解析 (1)∵BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,∠ACB =80°,∠ABC =40°,∴∠CBO =12∠ABC =20°,∠BCO =12∠ACB =40°,∴∠BOC =180°-∠CBO -∠BCO =120°.(2)∵∠A =60°,∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =120°,∵BO 平分∠ABC ,CO平分∠ACB ,∴∠CBO =12∠ABC ,∠BCO =12∠ACB ,∴∠CBO +∠BCO =12(∠ABC +∠ACB )=60°,∴∠BOC =180°-(∠CBO +∠BCO )=120°.(3)∠BOC =90°+12∠A.素养探究全练18.解析 (1)解:易知∠1=∠4,∠5=∠6,∴∠7=180°-∠1-∠4=180°-50°-50°=80°,∵m ∥n ,∴∠2+∠7=180°,∴∠2=180°-∠7=180°-80°=100°,∴∠5=∠6=180°―∠22=40°,根据三角形内角和为180°,知∠3=180°-∠4-∠5=180°-50°-40°=90°.(2)①∵∠1=55°,∴∠4=∠1=55°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-110°=70°.∵m ∥n ,∴∠2=180°-∠7=180°-70°=110°.∵∠5=∠6,∴∠5=12(180°-∠2)=12×70°=35°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-55°-35°=90°.②∵∠1=40°,∴∠4=∠1=40°,∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-80°=100°.(180°-∵m∥n,∴∠2=180°-∠7=180°-100°=80°.∵∠5=∠6,∴∠5=12×100°=50°.又∵∠3+∠4+∠5=180°,∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-∠2)=1240°-50°=90°.(3)根据平面镜反射光线的规律可知,∠1=∠4,∠5=∠6,∵m∥n,∴∠2+∠7=180°,∵∠1+∠4+∠7=180°,∠2+∠5+∠6=180°,∴2(∠5+∠4)+ (∠2+∠7)=360°,∴∠5+∠4=1×(360°-180°)=90°.∵∠3+∠4+∠5=180°,2∴∠3=180°-(∠4+∠5)=180°-90°=90°.∴当∠3=90°时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.。
七年级数学下册第9章多边形9.1三角形2三角形的内角和与外角和作业课件新版华东师大版
18．(导学号27094128)我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角 的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图①，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与 ∠DBC＋∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝ 130°，求∠2－∠C的值；
∴∠P＝180°－21(180°＋∠A)＝90°－12∠A.
(4)如图，延长 BA、CD 交于 Q，则由(3)可知∠P＝90°－21∠Q， ∴∠Q＝180°－2∠P，∴∠BAD＋∠CDA＝180°＋∠Q＝180 °＋180°－2∠P＝360°－2∠P.
10．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长 线于点E，试判断∠BAC、∠B、∠E之间的数量关系，并说明理由．
解：∠BAC＝∠ B＋2∠ E. 理由：∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠DCE＝∠ACE. 又∵∠DCE＝∠B＋∠E， ∴∠ACE＝∠B＋∠E. 又∵∠BAC＝∠E＋∠ACE， ∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E＝∠B＋2∠E.
知识点3：三角形的外角及外角的性质 5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角 形是( C ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 6．(2017·黔东南)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的 度数是( C ) A．120° B．90° C．100° D．30°
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交 于D点，∠A＝50°，则∠D的度数是( C )
A．15° B．20° C．25° D．30°
Hale Waihona Puke 4．(导学号27094126)(2017·枣庄)如图，将一副三角板和一张对边 平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角 的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点 在纸条的另一边上，则∠1的度数是( A )
华师大版初中数学七年级下册《9.1.2 三角形的内角和与外角和》同步练习卷
华师大新版七年级下学期《9.1.2 三角形的内角和与外角和》2019年同步练习卷一．选择题（共10小题）1．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（）A．130°B．180°C．230°D．260°3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．如果三角形三个内角的比为1：2：3，那么它是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形6．一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等边7．如图直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．115°B．135°C．120°D．都不对8．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．9．下图能说明∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．10．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°二．填空题（共21小题）11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．12．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12度，则这个三角形是三角形．13．一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，那么这个三角形是三角形．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将△ABC沿EF对折，点C落在C′处．如果∠1＝50°，那么∠2＝．16．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝．17．在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝45°，那么按角分类，△ABC是三角形．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝度．19．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝度．20．三角形的最小角不大于度，最大角不小于度．21．如图，已知∠A＝30°，∠B＝40°，∠C＝50°，那么∠AOB＝度．22．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，且∠1＝∠2，写出与∠B相等的角．23．△ABC中，点D是边BC延长线上一点，∠A＝70°，∠ACD＝110°，则∠B＝度．24．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上使三角板的两条直角边分别经过B、C，直角顶点D落在△ABC的内部，那么∠ABD+∠ACD＝度．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的度数是．26．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝60°，∠CEF＝20°，那么∠A＝度．27．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，已知∠ABC＝60°，∠ACB ＝40°，则∠AEB＝°．28．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝58°，∠C＝36°，∠EAD＝．29．如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是．30．如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO＝度．31．将一副三角板如图放置，则∠α＝．三．解答题（共19小题）32．如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA＝30°（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．33．（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP 和∠BCP的平分线，试探究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是．34．如图：AB∥CD，直线l交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM＝∠AEF，说明理由；（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由．35．如图，说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°的理由．36．如图，在△ABC中，已知∠B＝40°，∠C＝60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．37．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠C＝2∠1，∠2＝∠1，求∠B的度数．38．已知：图中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高．（1）∠BAC等于多少度？（2）∠DAF等于多少度？39．如图（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点．求∠P与∠A间的关系．（2）若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点．求∠P与∠A间的关系．40．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．求∠BOC的度数．41．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．42．如图，在△ABC中，D是边AB上的点，已知∠A＝40°，∠B＝30°，∠1：∠2＝1：2，试求∠ACB与∠ACD的度数．43．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠1＝（角平分线定义）．同理：∠2＝．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（），所以（等式性质）．即：∠D＝90°+∠A．（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．（3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由．44．阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝，（角平分线定义）又因为∠FPQ＝+∠AED，＝+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝（等式性质）（请完成以下说理过程）45．如图所示，已知AB与CD相交于点F，BE平分∠CBF，DE平分∠ADC，试说明∠A、∠E、∠C三者之间的数量关系．46．如图，已知△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝30°，点F是AB上一点，且∠BCF＝25°，点D在边CA的延长线上，AE平分∠BAD，说明CF∥AE的理由．解：因为点D在边CA的延长线上（已知），所以∠BAC+∠BAD＝180°（）．因为∠BAC＝70°（已知），所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性质）．因为AE平分∠BAD（已知），所以∠EAB＝∠BAD＝55°（）．因为∠AFC＝+＝55°（），所以＝（等量代换）．所以CF∥AE（）．47．已知∠B＝33°，∠BAC＝83°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．48．一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，李师傅量得∠DCB＝142°，就判断这个零件不合格，试用三角形的有关知识说明这种判断的理由．49．如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，（1）如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；（2）如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；（3）如图2，重复上述过程，∠A n﹣1BC、∠A n﹣1CM的角平分线BA n、CA n相交于点A n得到∠A n，设∠A1＝θ，请用θ表示∠A n（直接写出答案）解：（1）结论：∠A2＝度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（）．因为∠A1CM＝∠A1BC+∠，∠2＝∠1+∠（），（完成以下说理过程）50．在△ABC中，（1）如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；（2）如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；（3）如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：①∠1+∠2+∠3＝；②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．华师大新版七年级下学期《9.1.2 三角形的内角和与外角和》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】首先根据三角板可知：∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．【解答】解：∵∠CBA＝60°，∠BCD＝45°，∴∠α＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故选：A．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是根据三角板得到∠CBA与∠BCD的度数．2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（）A．130°B．180°C．230°D．260°【分析】根据三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，∴∠1+∠2＝∠A+∠ADE+∠A+∠AED＝∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）＝50°+180°＝230°．故选：C．【点评】考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】由条件可分别设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，根据三角形内角和定理可求得x，可求得三角形三个内角，可得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，根据三角形内角和定理可得x+x+2x＝180，解得x＝45，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，利用方程思想求得三个内角的大小是解题的关键．4．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】根据已知及三角形的内角和定理得出．【解答】解：设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），根据题意得∠1＝∠3﹣∠2，∴∠1+∠2＝∠3，又∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴2∠3＝180°，∴∠3＝90°．故选：B．【点评】本题考查三角形的内角和定理，解答的关键是沟通三个内角的关系．5．如果三角形三个内角的比为1：2：3，那么它是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，∴该三角形的最大角的度数为90°，即该三角形为直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更加简单．6．一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等边【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．【解答】解：三个内角的度数分别为2k，3k，4k．则2k+3k+4k＝180°，解得k＝20°，∴2k＝40°，3k＝60°，4k＝80°，∴这个三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】本题主要考查了内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．7．如图直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．115°B．135°C．120°D．都不对【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．【解答】解：如图：∵AO、BO是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理．三角形内角和是180度．8．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故本选项错误；B、若两条直线平行，则∠1＝∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项正确；C、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；D、∵已知三角形是直角三角形，∴由直角三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2．故选：C．【点评】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．9．下图能说明∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．【分析】根据两直线相交所形成的对顶角相等以及三角形外角和定理的推论判断即可．【解答】解：A、∠1＝∠2，对顶角相等；B、∠1和∠2的大小不确定；C、∠1＞∠2；D、∠1＝∠2，同角的余角相等．故选：C．【点评】用到的知识点为：对顶角相等；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．10．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角性质：三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了垂直的定义以及三角形内角和定理．二．填空题（共21小题）11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．12．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12度，则这个三角形是钝角三角形．【分析】设∠B为x，则∠A＝2x，∠C＝3x+12，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而解出即可得出答案．【解答】解：设∠B为x，则∠A＝2x，∠C＝3x+12，由题意得：x+2x+3x+12＝180°，解得：x＝28°，2x＝56°，3x+12＝96°，即三角形为钝角三角形．故答案为：钝角．【点评】本题考查三角形的内角和定义，难度不大，关键是运用方程思想进行解题．13．一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，那么这个三角形是锐角三角形．【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k°．则2k°+3k°+4k°＝180°，解得k°＝20°，∴2k°＝40°，3k°＝60°，4k°＝80°，所以这个三角形是锐角三角形．故答案是：锐角．【点评】本题主要考查了内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α＝2β，α＝100°，则β＝50°，180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．15．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将△ABC沿EF对折，点C落在C′处．如果∠1＝50°，那么∠2＝30°．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠CEF+∠CFE+C＝180°，∴∠CEF+∠CFE＝∠A+∠B＝80°+60°＝140°，由翻折的性质得，2（∠CEF+∠CFE）+∠1+∠2＝180°×2，∴2×140°+50°+∠2＝360°，解得∠2＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．16．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝120°．【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF＝∠ABC、∠BCF＝∠ACB，再根据内角和定理结合∠A＝60°即可求出∠BFC的度数．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．17．在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝45°，那么按角分类，△ABC是钝角三角形．【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣30°﹣45°＝105°，则三角形是钝角三角形．故答案为：钝角．【点评】考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE＝50度．【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【解答】解：∠A＝20°，CD为AB边上的高，∴∠ACD＝70°，∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝20°，∴∠DCE的度数为70°﹣20°＝50°．故答案为：50．【点评】此题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质．19．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α＝75度．【分析】根据三角形的内角和为180°，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案为75．【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．20．三角形的最小角不大于60度，最大角不小于60度．【分析】根据“三角形的内角和是180度”可知三角形的最小角不大于60度，最大角不小于60度．【解答】解：假设三角形的最小角大于60°，那么此三角形的内角和大于180度，与三角形的内角和是180度矛盾；假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．∴三角形的最小角不大于60度，最大角不小于60度．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．21．如图，已知∠A＝30°，∠B＝40°，∠C＝50°，那么∠AOB＝120度．【分析】延长BO交AC于D，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADO＝40°+50°＝90°，再根据三角形外角的性质可得∠AOB的度数．【解答】解：延长BO交AC于D，∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠ADO＝40°+50°＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝30°+90°＝120°，故答案为：120．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．22．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，且∠1＝∠2，写出与∠B相等的角∠ADE．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC＝∠B+∠1，再结合图形的角度关系即可得解．【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ADC＝∠B+∠1，又∵∠ADC＝∠ADE+∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠ADE，即与∠B相等的角是∠ADE．故答案为：∠ADE．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．23．△ABC中，点D是边BC延长线上一点，∠A＝70°，∠ACD＝110°，则∠B＝40度．【分析】作出草图，根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解即可．【解答】解：如图，∵∠A＝70°，∠ACD＝110°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝110°﹣70°＝40°．故答案为：40．【点评】本题考查了三角形的外角性质，作出图形并熟记“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．24．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上使三角板的两条直角边分别经过B、C，直角顶点D落在△ABC的内部，那么∠ABD+∠ACD＝50度．【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB ＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案是：50．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，那么∠AEB的度数是135°．【分析】由条件可求得∠A+∠B＝90°，由角平分线的定义可求得∠EAB+∠EBA＝45°，在△ABE中由三角形内角和定理可求得∠AEB的度数．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠A、∠B的平分线相交于点E，∴∠EAB+∠EBA＝（∠A+∠B）＝×90°＝45°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA＝180°，∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°．【点评】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．26．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝60°，∠CEF＝20°，那么∠A＝50度．【分析】先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF＝20°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵DF∥BC，∠B＝60°，∴∠ADF＝60°．∵△DEF由△DEA翻折而成，∴∠EDF＝∠ADF＝×60°＝30°，∠A＝∠F．∵∠CEF＝20°，∴∠DEC＝＝80°，∴∠DEF＝80°+20°＝100°，∴∠F＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝180°﹣30°﹣100°＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．27．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，已知∠ABC＝60°，∠ACB ＝40°，则∠AEB＝110°．【分析】先过点E作△ABC三边的垂线ED，EF，EG，根据∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，判定AE平分∠BAC，最后求得∠ABE＝30°，∠BAE＝40°，根据三角形内角和定理求得∠AEB的度数．【解答】解：如图，过点E作△ABC三边的垂线ED，EF，EG，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴ED＝EG＝EF，∵ED⊥AC，EF⊥AB，∴AE平分∠BAC，又∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝80°，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣30°﹣40°＝110°．故答案为：110【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于180°．28．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝58°，∠C＝36°，∠EAD＝11°．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE 的度数，由直角三角形的性质求出∠BAD的度数，根据∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝58°，∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣58°﹣36°＝86°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝×86°＝43°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣58°＝32°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝43°﹣32°＝11°．故答案为：11°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．29．如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是90°或36°．【分析】分顶角是底角的2倍、底角是顶角的2倍两种情况，根据三角形内角和定理列方程计算即可．【解答】解：当顶角是底角的2倍时，设顶角为x，则底角为x，由题意得，x+x+x＝180°，解得，x＝90°，当底角是顶角的2倍时，设顶角为x，则底角为2x，由题意得，x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，故答案为：90°或36°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．30．如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO＝35度．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，由于点O是∠BAC 的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，故OE＝OG＝OF，所以OB是∠ABC的平分线，由此即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，∵点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，∴OE＝OG，OF＝OG，∴OE＝OG＝OF，∴OB是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝∠ABC＝×70°＝35°．故答案为：35．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质进行解答即可．31．将一副三角板如图放置，则∠α＝75°．【分析】先根据直角三角板的性质得出∠A及∠DCE的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵图中是一副直角三角板，∴∠A＝60°，∠DEC＝30°，∴α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解答此题的关键．三．解答题（共19小题）32．如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA＝30°（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．【分析】（1）如图②中，延长CO到C′．利用翻折不变性求出∠A′O′C′即可解决问题；（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图②中，延长CO到C′．∵三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，∴∠A′OC′＝∠AOC′＝∠CON＝60°，∴∠A′ON＝180°﹣60°﹣60°＝60°．（2）设t秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC．由题意10t＝150或10t＝330，解得t＝15或33s，答：第15或秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；（3）①当OB，OA在OC的两旁时，∵∠AOB＝90°，∴120°﹣∠MOB+∠AOC＝90°，∴∠MOB﹣∠AOC＝30°．②当OB，OA在OC的同侧时，∠MOB+∠AOC＝120°﹣90°＝30°．【点评】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．33．（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP 和∠BCP的平分线，试探究：当点P在斜边AB上移动时，∠DCE的大小是否会发生变化，请说明你的理由．（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上，点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是∠BCN﹣∠ACM＝90°；当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝270°．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，那么，∠DCE ＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；（2）当点A和点B在直线MN的上方时，根据平角的定义易得∠ACM+∠BCN＝90；当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，可得∠BCN﹣∠ACM＝90°；当点A和点B都在直线MN的下方时，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，可得∠ACM+∠BCN＝270°．【解答】解：（1）如图1，∠DCE的大小不会发生变化，理由如下：∵CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线，∴∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；（2）当点A和点B在直线MN的上方时（如图2），∠ACM+∠BCN＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；当点A在直线MN的下方，点B仍然在直线MN的上方时（如图3），∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，∴∠BCN﹣∠ACM＝（180°﹣∠BCM）﹣（90°﹣∠BCM）＝90°；当点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，∴∠ACM+∠BCN＝（180°﹣∠BCM）+（90°+∠BCM）＝270°．故答案为90°，∠BCN﹣∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝270°．【点评】本题考查了角平分线定义，平角的定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．34．如图：AB∥CD，直线l交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM＝∠AEF，说明理由；（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由．【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补和三角形的内角和为180度，易得∠FMN+∠FNM＝∠AEF；。
七年级数学下册第9章多边形9.1三角形9.1.2三角形的内角和与外角和习题课件新版华东师大版
20．如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°， ∠C＝54°.
(1)求∠ADB和∠ADC的度数； (2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
解：(1)∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，又∵∠B＝66°， ∠C＝54°，∴∠BAC＝180°－66°－54°＝60°，∵AD平 分∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－66°－30° ＝84°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝96°
(2)∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，由(1)知∠DAC＝30°， ∴∠ADE＝90°－30°＝60°
21．如图，△ABC内一点O，∠1＝25°，∠2＝28°， ∠BAC＝55°.
(1)求证：∠BOC＞∠BAC； (2)求∠BOC的度数．
解：(1)连接AO并延长交BC于D点，∵∠BOD是△AOB的外 角，∴∠BOD＞∠3，同理∠COD＞∠4，∴∠BOD＋∠COD ＞∠3＋∠4，即∠BOC＞∠BAC
A．118° B．119° C．120° D．121°
14．在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A－∠B＝90°；
③∠A＝90°－∠B；④∠A＋∠B＝∠C；⑤∠A＝∠B＝
1 2
∠C中，能确定
△ABC是直角三角形的条件有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C －∠B，则∠B＝_6_0__度．
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于( C) A．45° B．60° C．75° D．90°
3．如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是 △ABC的角平分线，则∠CAD的度数为 40° ．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若 ∠B＝40°，则∠A＝ 50° ，∠1＝ 40° ． 5．如图，AD交BC于点O，∠A＝∠C＝90°，若∠B＝25°， 则∠D＝____度．25
华师大版初中数学七年级下册《9.1.2 三角形的内角和与外角和》同步练习卷(含答案解析
华师大新版七年级下学期《9.1.2 三角形的内角和与外角和》同步练习卷一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）2．在图中，点O为三角形的两条角平分线的交点，∠1+∠2=70°，求∠A的度数．3．如图，聪聪将一块直角三角形的两个锐角顶点A和B分别放在平面直角坐标系的x轴和y轴上，细心的他发现BC恰好是∠ABY的平分线，于是他将CB 反向延长与∠BAO的平分线相交得到点P，并计算得∠P=45°．如果点A、点B 为x轴、y轴上任意位置（不与原点重合），是否仍存在“两角平分线”的交角仍等于45°？若存在，请在备用图上作图，并写出过程；若不存在，说明理由．4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”智慧三角形）；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．6．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P 作PH⊥BM于点H．（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=°；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，①补全图形；②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系：．7．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为°；（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：；（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．8．如图，在△ABC中，∠1=110°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．9．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2=°；若∠A=55°，则∠1+∠2=°；若∠A=n°，则∠1+∠2=°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠l+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．10．已知：AE是△ABC的外角∠CAD的平分线．（1）若AE∥BC，如图1，试说明∠B=∠C；（2）若AE交BC的延长线于点E，如图2，直接写出反应∠B、∠ACB、∠AEC 之间关系的等式．11．已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如图1，求证∠BAC=∠B+2∠E；（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE=2∠CAF，∠B=2∠E，求∠BAC的度数．12．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）∠PBQ的度数是，∠PCQ的度数是；（2）若∠A=70°，求∠P和∠Q的度数；（3）若∠A=α，则∠P=，∠Q=（用含α的代数式表示）．13．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=度，∠P=度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．14．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC 的角平分线于点E．（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．15．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．16．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必说明理由）17．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C﹣∠B的数量关系．18．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF∥AD，交直线AE于点F．设∠B=α，∠ACB=β．（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数；（2）如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）；（3）如图3，若∠B＞∠ACB，直接写出∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）．19．如图，在△ABC中，∠B=90°（1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E=°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM 交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．20．如图1，在△ABC中，BD⊥AC于点D．（1）若∠C=∠ABC=2∠A，则∠DBC=°；（2）若∠A=2∠CBD，求证：∠ACB=∠ABC；（3）如图2，在（2）的条件下，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，连接BE、CF，使∠BEC=∠CFB，∠BCF=2∠ABE，求∠EBC的度数．21．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，且a，b满足+|b+4|=0（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的三等分线相交于N，其中∠EON=∠EOA，∠AFN=∠AFD，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的三等分线相交于点N，其中∠EON=∠EOA，∠AFN=∠AFD，若记∠ODF=α，请直接写出∠ONF的大小（用含有α的式子表示）．22．（一）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，（1）若∠A=80°，则∠BEC=；（2）若∠A=n°，则∠BEC=．（二）【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 和∠A有怎样的关系？请说明理由：23．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是；（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P=；（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；（4）如图4，如果∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，当∠A+∠B=n°时，试求∠M+∠N的度数．24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF ∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=度；（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．25．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=；②如图2，若∠B=90°，则∠E=；（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．26．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC 的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．27．如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE平分∠BAC．（1）求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，∠ACB=β，其它条件不变，请直接写出∠DAE与α、β的数量关系．28．已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB．（1）试说明∠ACB=90°；（2）如图2，若AE是角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF．29．如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．（1）若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．（2）若∠AOB=α°（0＜α＜180），∠ECD=∠ACD，∠CDF=∠CDO，则∠F=°．（用含α、n的代数式表示）30．如图1，△ABC中，∠A=n°，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O．（1）求∠BOC的度数（用n的代数式表示）；（2）如图2，过点O的直线EF分别交ACAB于点E、F，∠FEC与∠EFB的平分线交于点D，则∠BOC与∠EDF有怎样的数量关系，请说明理由．华师大新版七年级下学期《9.1.2 三角形的内角和与外角和》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=15°．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分线定义得∠EAC=∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，则∠DAE=（∠B﹣∠C），（1）把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=（∠B﹣∠B）中计算即可；（2）把∠B﹣∠C=30°代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；（3）把∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C）代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC，而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，∵∠DAC=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]=（∠B﹣∠C），（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°；（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°；（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE=α；故答案为15°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．2．在图中，点O为三角形的两条角平分线的交点，∠1+∠2=70°，求∠A的度数．【分析】先根据∠1+∠2=70°，以及角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵点O为三角形的两条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，又∵∠1+∠2=70°，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×70°=140°，∴△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，解题时注意：三角形的内角和是180°．3．如图，聪聪将一块直角三角形的两个锐角顶点A和B分别放在平面直角坐标系的x轴和y轴上，细心的他发现BC恰好是∠ABY的平分线，于是他将CB 反向延长与∠BAO的平分线相交得到点P，并计算得∠P=45°．如果点A、点B 为x轴、y轴上任意位置（不与原点重合），是否仍存在“两角平分线”的交角仍等于45°？若存在，请在备用图上作图，并写出过程；若不存在，说明理由．【分析】如图，结论：∠p=45°．．由∠CBA=（90°+∠BAO）=45°+∠BAO=45°+∠PAB，又∠CBA=∠P+∠PAB，可得∠P=∠CBA﹣∠PAB=45°．【解答】解：如图，结论：∠p=45°．理由：∵∠CBA=（90°+∠BAO）=45°+∠BAO=45°+∠PAB，又∵∠CBA=∠P+∠PAB，∴∠P=∠CBA﹣∠PAB=45°．【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为30°，△AOB是（填“是”或“不是”智慧三角形）；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“智慧三角形”，故答案为：30；是；（2）∠AOC=60°，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC，∴△AOC为“智慧三角形”；（3）∵△ABC为“智慧三角形”，①当点C在线段OB上时，∵∠ABO=30°，∴∠BAC+∠BCA=150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，Ⅰ、当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°，∴∠OAC=80°，Ⅱ、当∠ABC=3∠ACB时，∴∠ACB=10°∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA=3∠BAC时，∴∠BAC+3∠BAC=150°，∴∠BAC=37.5°，∴∠OAC=52.5°，Ⅳ、当∠BCA=3∠ABC时，∴∠BCA=90°，∴∠BAC=60°，∴∠OAC=90°﹣60°=30°，Ⅴ、当∠BAC=3∠ABC时，∴∠BAC=90°，∴此种情况不存在，Ⅵ、当∠BAC=3∠ACB时，∴3∠ACB+∠ACB=150°，∴∠ACB=37.5°，∴此种情况不存在，②当点C在线段OB的延长线上时，∵∠ACO=30°，∴∠ABC=150°，∴∠ACB+∠BAC=30°，Ⅰ、当∠ACB=3∠BAC时，∴3∠BAC+∠BAC=30°，∴∠BAC=7.5°，∴∠OAC=90°+∠BAC=97.5°，Ⅱ、当∠BAC=3∠BCA时，∴3∠BCA+∠BCA=150°，∴∠BCA=7.5°，∴∠BAC=3∠BCA=22.5°，∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠EAD=∠CAE﹣∠CAD求出即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠EAD=∠CAE﹣∠CAD求出即可．【解答】解：（1）∵∠B=20°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=40°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=40°﹣10°=30°；（2）结论：∴∠EAD=（∠C﹣∠B）．理由：∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B=（∠C﹣∠B）．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出∠CAE和∠CAD的度数，题目比较典型，求解过程类似．6．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P 作PH⊥BM于点H．（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=40°；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，①补全图形；②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系：∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB）．【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠HBC，然后求出∠HCB，再根据∠APH=∠ACB﹣∠HCB计算即可得解；（2）作射线AH，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠HBC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．【解答】解：（1）如图1中，∵∠ACB=110°，∠BAC=30°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠BCA=180°﹣110°﹣30°=40°，∵BM平分∠ABC，∴∠HBC=×40°=20°，∵PP⊥BM，∴∠HCB=90°﹣∠HBC=90°﹣20°=70°，∴∠APH=∠ACB﹣∠OCB=110°﹣70°=40°；故答案为40．（2）如图2中，作射线AH，则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，∵PH⊥BH，∴∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，即∠BAC+∠2+∠P=90°，∵BH平分∠ABC，∴∠2=∠ABC，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB，∴∠2=（180°﹣∠BAC﹣∠ACB），∴∠APH=90°﹣∠BAC﹣∠2=90°﹣∠BAC﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）=（∠ACB ﹣∠BAC）；（3）如图3中，结论：∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB）．∵BH平分∠ABC，∴∠ABH=（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）．∵PH⊥BH，∴∠APH=90°+（∠ABH+∠BAC）=90°+（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+∠BAC=180°+（∠BAC﹣∠ACB），即∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB）．故答案为∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难度中等，熟记性质并准确识图是解题的关键．7．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为45°；（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：∠APB=∠C；（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．【分析】（1）由三角形外角的性质可知∠APB+∠BAC=∠1=（∠BAC+∠C）=×150°=75°，然后求得即可；（2）根据测量结果直接得出即可；（3）根据三角形外角的性质可得结论．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠1=（∠BAC+∠C）=×150°=75°，∵∠1=∠APB+∠BAC，∴75°=∠APB+30°，∴∠APB=45°，故答案为45；（2）根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：∠APB=∠C；（3）证明：如图3，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠BAC．又∵BE平分∠ABD，∴∠1=∠ABD，∵∠APB=∠1﹣∠BAP，∴∠APB=∠ABD﹣∠BAC，∴∠APB=（∠ABD﹣∠BAC）．∴∠APB=∠C．【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．8．如图，在△ABC中，∠1=110°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．【分析】根据三角形的外角求出∠3，求出∠2，求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABE，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：∵∠1=110°，∠C=80°，∴∠3=∠1﹣∠C=30°，∵∠2=∠3，∴∠2=10°，∴∠BAC=∠2+∠3=40，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠BAC=30°，∴∠4=∠ABE+∠2=30°+10°=40°．【点评】本题考查了角平分线定义、三角形内角和定理和三角形外角性质，能求出∠ABE的度数是解此题的关键．9．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2=80°；若∠A=55°，则∠1+∠2=110°；若∠A=n°，则∠1+∠2=2n°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠l+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2=2∠A知∠A=54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）=90°﹣∠A．利用∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∴∠ADE=（180°﹣∠1），∠AED=（180°﹣∠2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）=180°，整理得∠1+∠2=80°；同理∠A=55°，则∠1+∠2=110°；∠A=n°，则∠1+∠2=2n°；故答案为：80°；110°；2n°；（2）∠1+∠2=2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A；（3）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，∴∠A=54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．∴∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A=90°+×54°=117°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．10．已知：AE是△ABC的外角∠CAD的平分线．（1）若AE∥BC，如图1，试说明∠B=∠C；（2）若AE交BC的延长线于点E，如图2，直接写出反应∠B、∠ACB、∠AEC 之间关系的等式．【分析】（1）依据AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，可得∠DAE=∠CAE，依据AE∥BC，可得∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，进而得出∠B=∠C；（2）依据AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，可得∠DAC=2∠DAE，再根据∠DAE是△ABE的外角，∠DAC是△ABC的外角，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，∴∠DAE=∠CAE，又∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，∴∠B=∠C；（2）∠ACB=∠B+2∠AEC．理由：∵AE是△ABC的外角∠CAD的平分线，∴∠DAE=∠CAE，即∠DAC=2∠DAE，∵∠DAE是△ABE的外角，∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC=∠B+∠ACB，∠DAE=∠B+∠AEC，∴∠B+∠ACB=2（∠B+∠AEC），即∠ACB=∠B+2∠AEC．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11．已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如图1，求证∠BAC=∠B+2∠E；（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE=2∠CAF，∠B=2∠E，求∠BAC的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题．（2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α、∠ACF=90°﹣α，由∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°可得α=30°，据此知∠ACE=60°=∠B+∠E，根据∠B=2∠E求得∠B、∠E，继而可得答案．【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∵∠DCE=∠B+∠E，∴∠ACE=∠B+∠E，∵∠BAC=∠ACE+∠E，∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．（2）设∠CAF=α，则∠ACE=∠DCE=2α，∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=90°﹣α，∵∠ACF+∠ACE+∠DCE=180°，∴90°﹣α+2α+2α=180°，解得：α=30°，∴∠ACE=60°=∠B+∠E，又∵∠B=2∠E，∴∠B=40°、∠E=20°，∴∠BAC=∠B+2∠E=80°．【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，属于中考常考题型．12．如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．（1）∠PBQ的度数是90°，∠PCQ的度数是90°；（2）若∠A=70°，求∠P和∠Q的度数；（3）若∠A=α，则∠P=90°+α，∠Q=90°﹣α（用含α的代数式表示）．【分析】（1）由角平分线知∠PBC=∠ABC、∠QBC=∠DBC，由∠ABC+∠DBC=180°知∠PBQ=∠PBC+∠QBC=（∠ABC+∠DBC）=90°，同理可得∠PCQ的度数；（2）由∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度数，由∠Q=180°﹣∠QBC﹣∠QCB=180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）可得∠Q度数；（3）与（2）同理可得．【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．∴∠PBC=∠ABC、∠QBC=∠DBC、∠PCB=∠ACB、∠QCB=∠BCE，∵∠ABC+∠DBC=180°、∠ACB+∠BCE=180°，∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=（∠ABC+∠DBC）=90°，∠PCQ=∠PCB+∠QCB=（∠ACB+∠BCE）=90°，故答案为：90°、90°；（2）∵∠PBC=∠ABC、∠PCB=∠ACB，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=180°﹣（180°﹣70°）=125°；∵∠QBC=∠ABC、∠QCB=∠ACB，∴∠Q=180°﹣∠QBC﹣∠QCB=180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=（180°﹣70°）=55°．（3）与（2）同理知∠P=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α，∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A=90°﹣α，故答案为：90°+α、90°﹣α．【点评】本题主要考查三角形外角性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角性质、三角形的内角和为180°及角平分线的性质．13．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=50度，∠P=115度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．【分析】（1）依据三角形内角和定理进行计算即可；（2）依据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；（3）依据∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，可得∠CBQ=90°﹣∠ABC，∠BCQ=90°﹣∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）．证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）．理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．14．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC 的角平分线于点E．（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；（2）根据角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∵DE∥BC，∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，∴∠ABE=∠DEB，∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．（2）∠ADE+2∠DEB=180°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE．∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，∴∠ABC=2∠DEB，∴∠ADE+2∠DEB=180°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．15．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．【分析】①根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM=∠MAD﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；②根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM﹣∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD﹣∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM﹣∠BCM=∠MAD ﹣∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系．【解答】解：①根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B，同理，∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M，∴∠M=（∠B+∠D）=（32°+38°）=35°；②根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM﹣∠BCM=∠M﹣∠B，同理，∠MAD﹣∠MCD=∠D﹣∠M，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M﹣∠B=∠D﹣∠M，∴∠M=（∠B+∠D）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．16．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必说明理由）【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠CAB，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，即可得出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠CAB，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠CAD，即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠BAC=50°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=50°，∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°；（2）∠DAE=（∠C﹣∠B），理由是：∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=50°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=[90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．【点评】本题考查了角平分线定义，三角形的高，三角形的内角和定理等知识点，能求出∠CAE和∠CAD的度数是解此题的关键，（1）（2）求解过程类似．17．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD 与∠C﹣∠B的数量关系．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAD，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAD，根据角平分线定义求出∠CAE，求出∠EAM，根据平行线的性质得出即可；（3）求出∠EAM，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠B=30°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=CAB=50°，∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠EFD=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°；∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=CAB=90°﹣（∠B+∠C），∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=90°﹣∠C，∴∠EFD=∠CAE﹣∠CAD=[90°﹣（∠B+∠C）]﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）；（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：过A作AM⊥BC于M，由（1）可知：∠EAM=（∠C﹣∠B），∵AM⊥BC，FD⊥BC，∴AM∥FD，∴∠EFD=∠EAM=（∠C﹣∠B）；（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由是：过A作AM⊥BC于M，由（1）可知：∠EAM=（∠C﹣∠B），∵AM⊥BC，FD⊥BC，∴AM∥FD，∴∠EFD=∠EAM=（∠C﹣∠B）．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形的高等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，求解过程类似．18．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF∥AD，交直线AE于点F．设∠B=α，∠ACB=β．（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数；（2）如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）；（3）如图3，若∠B＞∠ACB，直接写出∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAE，根据角平分线定义求出∠CAD，即可求出答案；（2）先根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形外角性质求出∠ADC，根据三角形内角和定理求出∠DAE，根据平行线的性质求出即可；（3）求出∠DAE度数，根据平行线的性质求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=CAB=40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=70°，∴∠EAC=180°﹣90°﹣70°=20°，∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=40°﹣20°=20°，∵CF∥AD，∴∠AFC=∠DAE=20°；（2）如图2，∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠ACB）=180°﹣（α+β），∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠BAC=90°﹣（α+β），∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°﹣（α+β）=90°﹣（β﹣α），∵AE⊥BC，∴∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=90°﹣∠ADE=（β﹣α），∵CF∥AD，∴∠DAE+∠AFC=180°，∴∠AFC=180°﹣（β﹣α）；（3）如图3，∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠ACB）=180°﹣（α+β），∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAC=90°﹣（α+β），∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=β，∴∠EAC=180°﹣90°﹣β=90°﹣β，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=（90°﹣β）﹣[90°﹣（α﹣β）]=（α﹣β）．【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．19．如图，在△ABC中，∠B=90°（1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E=45°；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM 交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【分析】（1）设∠CAG=x，∠ACE=y，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB+∠BAC=90°，可得x﹣y=45，由外角的性质得：∠E=∠CAG﹣∠ACE=x﹣y=45°；（2）根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；（3）先根据条件画图3，设∠FAH=α，根据三角形的内角和定理列式：∠E+∠EAF=。
华师大版七年级下册数学练习课件-第9章-9.1 2三角形的内角和与外角和
18
思维训练
4
基础过关
▪ 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则∠AB 的度数是
()
▪ A．66° B．36°
▪ C．56° D．46°
B
▪ 2．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三 角形一定是( )
▪ A．锐角三角形 B．直角三角形
▪ C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
5
▪ 3．【浙江衢州中考】如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C ＝A40°，则∠E等于( )
第9章 多边形
9.1 三角形
2 三角形的内角和与外角和(第三课时)
名师点睛
▪ 知识点1 三角形的内角和定理及其推论 ▪ (1)三角形的内角和等于180°. ▪ (2)直角三角形的两个锐角互余． ▪ 知识点2 三角形的外角和及三角形外角的性质 ▪ (1)三角形的外角和等于360°. ▪ 注意：三角形的外角和中每个顶点处取一个外角． ▪ (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ▪ (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． ▪ 提示：三角形的外角的性质是证明三角形中角度之间的相等
▪ 16．已知∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上， CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线 交于点F.
▪ (1)当∠OCD＝50°时(如图1)，试求∠F的度数； ▪ (2)当点C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)(如
数学华东师大版七年级下册三角形的内角和与外交和
∠1=90° ∠1=85°
∠1=95°
2、如图所示：
则∠1＝_6_5_°__;
∠2=__1_0_2_; ∠3=_7_°8_°___ .
2 3 37° 1 115°
3、如图：∠1＝25°，∠2＝95°， ∠3＝30°，则∠4＝__3_0_°___
D C4
2 1
A
E
3 B
4、将一副三角板按如图方式放置，则两条 斜边所形成的钝角∠1＝______
过过bb点作beacacebdcbecbeebdebdaacbd如图d是abc的边bc上一点bbadadc80adc是abd的外角已知adcbbad80三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和又bbad已知190185195115376510278三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和abcceacd2三角形的外角性质
又∵ ∠B=∠BAD（已知）
B80140（ 等量代换） 2
（2）∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 ˚ （三角形的内角和为180 ˚ ）
∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC （等式的性质） = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚ =70 ˚
小试身手 1、求下列各图中∠1的度数.
9.1.2 三角形的内角和 与外角和
白果大地学校 刘 安
情景引入 小明在探究三角形内角和时，是这样做的：
A
1
B3
D
2
4
C
E
实验法得出：
三角形三个内角的和等于180°。
新知探究
Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。
A
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
华东师大初中数学七年级下册多边形内角和与外角和(基础)巩固练习
【巩固练习】一、选择题1．从n边形的一个顶点出发共有对角线( )A．(n-2)条 B．(n-3)条C．(n-1)条 D．(n-4)条2．如图，图中凸四边形有( )A．3个 B．5个 C．2个 D．6个3．下列图形中，是正多边形的是( )A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形C．四边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形4．（2015?孝感）已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A．正五边形B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形5．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( )A．12 B．13 C．14 D．156．当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和 ( )A．都不变B．内角和增加180°，外角和不变C．内角和增加180°，外角和减少180°D．都增加180°7．(湖南郴州)如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )A．135° B．240° C．270° D．300°二、填空题8．（2015?遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n= ．9．从n边形的一个顶点出发可作________条对角线，从n边形n个顶点出发可作________条对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线总数为________条．10．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线．11．若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是________．12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有_____条对角线．三、解答题13．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．14．（2015春?定陶县期末）如图∠A=40°，∠ABD=∠D=∠F=90°，AG ⊥GF于G ，求∠Ｅ的度数．15．如图，某学校一块草坪的形状是三角形(设其为△ABC)．李俊同学从BC 边上的一点D 出发，沿DC →CA →AB →BD 的方向走了一圈回到点D 处．问：李俊从出发到回到原处在途中身体转过的角度是多少?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】 B ；2. 【答案】A ；【解析】四边形ABOD 、ABCO 、ABCD 3. 【答案】 A ；【解析】正多边形：各边都相等，各角都相等4.【答案】B ．【解析】设所求正n 边形边数为n ，则60°?n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．5. 【答案】C ；【解析】由180(2)3602520n，解得：14n 6. 【答案】B ；【解析】当多边形的边数增加1时，内角和增加180°，外角和不变7. 【答案】C ；【解析】四边形的内角和为360°，又因为直角三角形的两个锐角互余，所以去除一个90°，还余下270°.二、填空题8.【答案】8．9.【答案】n-3 n(n-3)(3)2n n ；10.【答案】四， 2；【解析】多边形边数越多对角线条数也越多；多边形从三角形开始，但三角形没有对角线，所以对角线最少的是四边形.11．【答案】4；12.【答案】三十，405；【解析】根据多边形内角和公式计算可得多边形的边数，继而再用对角线条数公式计算.三、解答题13.【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意，有：n＝2(n-3)，解得n＝6，故这个多边形的边数为6．14.【答案】解：∵∠A=40°，AG⊥BF，∴∠ABG=50°，∵∠ABD=90°，∴∠DBF=40°，∵∠D=∠F=90°，∴∠E=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°．15.【解析】解：360°(提示；由任何多边形的外角和为360°，可知李俊从出发到回到原处在途中身体转过的角度是360°．)。
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【巩固练习】
一、选择题
1．（2016春•东平县期中）适合条件∠A=∠B=∠C 的三角形一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
2．若△ABC 的∠A ＝60°，且∠B:∠C ＝2:1，那么∠B 的度数为( )
A ．40°
B ．80°
C ．60°
D ．120°
3．(云南昆明)如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝80°，∠ACB ＝
60°，那么∠BDC ＝( )
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110°
4．(安徽)如图所示，直线1l ∥2l ，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )
A ．50°
B ．55°
C ．60°
D ．65°
5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
二、填空题
7．如图，AD ⊥BC ，垂足是点D ，若∠A ＝32°，∠B ＝40°，则∠C ＝_______，∠BFD ＝_______，∠AEF ＝________．
8．在△ABC 中，∠A+∠B ＝∠C ，则∠C ＝_______．
9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．
10．（2016春•丹阳市校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D= 度．
11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB是________的外角．
12.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；
(2)若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形；
(3)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．
三、解答题
13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
14．（2016春•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，BE、CD相交于点E，设∠A=2∠ACD=76°，∠2=143°，求∠1和∠DBE的度数．
15．已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠B＝∠1．求证：∠2＝∠BAC．
16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B．
【解析】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和定理，得
x+x+3x=180，x=36．则∠C=108°．则该三角形是钝角三角形．故选B．
2. 【答案】B；
【解析】设∠B＝2x，则∠C＝x，由三角形的内角和定理可得，
2x＋x＋60°＝180°，解得x＝40°，∠B＝2x＝80°．
3. 【答案】D ；
4. 【答案】C；
【解析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质及三角形的内角和定理．
5. 【答案】B；
【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．
6. 【答案】D；
【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．
二、填空题
7. 【答案】58°，50°，98°；
【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°．
8. 【答案】90°；
9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°；
【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．
10.【答案】70
【解析】∵∠A=40°，
∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°﹣∠1+180°﹣∠2
=360°﹣（∠1+∠2）
=360°﹣（180°﹣40°）
=360°﹣140°
=220°．
由于CD、BD的平分线交于点D，
则∠4+∠5=×220°=110°，
根据三角形内角和定理，
∠D=180°﹣110°=70°．
11.【答案】8，△DBC，△ADE；
【解析】考查三角形外角的定义．
12.【答案】(1)30°， 60°， 90°，直角；(2)直角 (3)钝角；
【解析】先根据已知条件求出最大角的度数，再判断三角形的形状．
三、解答题
13.【解析】
解：连接AD，在△ADC中，∠1+∠CAD+∠CDA＝180°，
在△ABD中，∠3+∠BAD+∠BDA＝180°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠CAD+∠BAD+∠3+∠CDA+∠BDA
＝(∠1+∠CAD+∠CDA)+(∠3+∠BAD+∠BDA)
＝180°+180°＝360°
14.【解析】
解：∵2∠ACD=76°，
∴∠ACD=38°，
在△ACD中，∠1=∠A+∠CD=76°+38°=114°；
在△BDE中，∠DBE=∠2﹣∠1=143°﹣114°=29°．
15.【解析】
解：由∠2＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠1，
又∵∠B＝∠1，
∴∠2＝∠BAC．
16.【解析】
解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°，
由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角．同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的．。