2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练7
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析一.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A ∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A． B． C． D．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B． C．D．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2xD．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数C．奇函数D．偶函数8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．2 C．D．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．（2，+∞）D．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B 两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A ∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若复数z满足（2+i）z=1+2i（i是虚数单位），则z的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．解答：解：由（2+i）z=1+2i，得，∴，则z的共轭复数所对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：从两个方向判断：一个是看能否得到△ABC为钝角三角形，另一个看△ABC为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件．解答：解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选A．点评：考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A． B． C． D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值，由裂项法求和即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤9，S=，i=2满足条件i≤9，S=+，i=3…满足条件i≤9，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值．由于S=++…+=（1﹣+﹣+﹣…+﹣）=×（1+）=．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求数列的和，综合性较强，属于基本知识的考查．5．不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（）A．B． C．D．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，通过零点分区间的方法，对x 的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，再解即可．解答：解：令f（x）=|x﹣1|+|x+2|，则f（x）=，∴当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4，∴﹣≤x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，有3≤4恒成立，当x≥1时，|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4，∴1≤x≤．综上所述，不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣，]．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数解决，也可以利用绝对值的几何意义解决，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A．B．C．y=sin2xD．考点：简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，∵m＞0，∴平移直线，则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大，此时z最大为2，由，解得，即B（1，1），则1+=2，解得m=2，则=sin（2x+），则的图象向右平移后，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，故选：C．点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键．7．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．增函数B．周期函数C．奇函数D．偶函数考点：函数的周期性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x）；从而说明周期是1即可．解答：解：由题意，f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=（x+1）﹣（[x]+1）=x﹣[x]=f（x）；故函数f（x）=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数，故选B．点评：本题考查了函数的周期性的判断，属于基础题．8．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A． B．2 C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：数形结合法；空间位置关系与距离．分析：根据题意，画出图形，求出该正方体的正视图面积的取值范围，定义ABCD选项判断即可．解答：解：根据题意，得；水平放置的正方体，如图所示；当正视图为正方形时，其面积最小=2；当正视图为对角面时，其面积最大为×=2．∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2，2]．∴B、C、D都有可能，A中﹣1＜2，∴A不可能．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．9．已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．（2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角，得到AF＞EF，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．解答：解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角，∴AF＞EF∵F为右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴AF=，∵EF=a+c∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0解得＞2或＜﹣1双曲线的离心率的范围是（2，+∞）故选：C．点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．10．已知函数，若|f（x）|≥2ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣2，1] C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：作出函数y=|f（x）|的图象如图：若a＞0，则|f（x）|≥2ax，若a=0，则|f（x）|≥2ax，成立，若a＜0，则|f（x）|≥2ax，成立，综上a≤0，故选：A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知x、y的取值如下表：x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则为﹣0.61 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：本题考查回归直线方程的求法．依据所给条件可以求得、，因为点（，）满足回归直线的方程，所以将点的坐标代入即可得到a的值．解答：解：依题意可得，==3.5，==4.5，则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61．故答案为：﹣0.61．点评：回归分析部分作为新课改新加内容，在高考中一直受到重视，从山东考题看，一般以选择题或填空题出现．本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．12．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的a，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．解答：解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x ﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．解答：解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180点评：本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．14．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．解答：解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B 两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．解答：解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，及已知等式，利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）根据已知等式求出a的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b+c，cosA的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，并判断其形状即可．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（cos2A，cos2），且•=1，∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1，∴cosA=或cosA=﹣1，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）由题意知a=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA），∴3=12﹣2bc（1+cos），∴bc=3，∴S△ABC=bcsinA=×3×=，由，得b=c=，∵a=，∴△ABC为等边三角形．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17．盒子里装有大小相同的8个球，其中3个1号球，3个2号球，2个3号球．（Ⅰ）若第一次从盒子中任取一个球，放回后第二次再任取一个球，求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率；（Ⅱ）若从盒子中一次取出2个球，记取到球的号码和为随机变量X，求X的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分别求出其概率值，列出分布列，求出数学期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A，则；（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，，，，，．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P∴，故所求的数学期望为．点评：本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望，熟练掌握公式是解题的关键，本题属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AA1=2，M是AB1上的动点，且AM=λAB1，N是CC1的中点．（Ⅰ）若，求证：MN⊥AA1；（Ⅱ）若直线MN与平面ABN所成角的大小为，试求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；综合题．分析：（I）结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC，进而可得AA1⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．（II）建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量，利用向量的基本运算，求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可．解答：解（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接ME，CE，则有ME 与NC平行且相等．∴四边形MNCE为平行四边形，MN∥CE∵AA1⊥面ABC，CE⊂面ABC∴AA1⊥CE，∴MN⊥AA1．（Ⅱ）以AB，AA1为x轴，z轴，在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量，则∴，令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则，化简得3λ2+5λ﹣2=0，λ=﹣2或由题意知λ＞0，∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l的方程为x=﹣4．AB是经过椭圆左焦点F的任一弦，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试探索k1，k2，k3之间有怎样的关系式？给出证明过程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设C方程为，利用顶点恰好经过抛物线的准线，求出b，根据椭圆经过点，求出a，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程代入，利用韦达定理，结合斜率公式，即可探索k1，k2，k3之间的关系式．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，∵抛物线的准线，∴…（1分）由点在椭圆上，∴，∴a2=4…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知，直线斜率存在．∵F（﹣1，0），∴设直线AB的方程为y=k（x+1），代入，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得．…（6分）由题意知M（﹣4，﹣3k），…（8分）∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），代人k1，k2得，∴…（10分）=…（12分）∴k1+k2=2k3…（13分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答出．21．已知函数，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x＞0，总有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范围；（2）证明：对于任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ），先求出导函数，再分情况①当a≤0时②当0＜a ＜1时③当a=1时④当a＞1时进行讨论（Ⅱ）（1）由题意得到即h（x）≥0恒成立，分离参数，利用导数函数最小值即可．（2）当时，，转化为，分别令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放缩法，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定义域为{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①当a≤0时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②当0＜a＜1时，令h′（x）＞0，则x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；…（3分）③当a=1时，恒成立；④当a＞1时，令h′（x）＞0，则x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；…（4分）综上：当a≤0时，h（x）的增区间为（1，+∞），h（x）的减区间为（0，1）；当0＜a＜1时，h（x）的增区间为（0，a）和（1，+∞），h（x）的减区间为（a，1）；当a=1时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞1时，h（x）的增区间为（0，1）和（a，+∞），h（x）的减区间为（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由题意，对任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，显然当a＞0时，h（1）＜0，此时对任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；…（8分）当a≤0时，，∴；综上：a的取值范围为．…（9分）（2）证明：由（1）知：当时，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，当且仅当x=1时等号成立．当x＞1时，可以变换为，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有==∴不等式恒成立．…（14分）点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，渗透了分类讨论的思想，属于难题．。
(通用版)2020高考数学二轮复习80分小题精准练1理
80分小题精准练(一)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩B ＝( ) A ．B ．[－2,2)C ．(2,3]D ．(3，＋∞)C [A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝(2,3]，故选C.]2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i(其中i 为虚数单位)，则下列结论正确的是( ) A ．|z |＝2 B ．z 的虚部为i C ．z 2＝2D ．z 的共轭复数为1－iD [由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，∴|z |＝2，z 的虚部为1，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为1－i.故选D.]3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1，x ≤1lg x ，x ＞1，则f (f (10))＝( )A ．9B ．1C ．110D ．0B [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1，x ≤1lg x ，x ＞1，∴f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝101－1＝1.故选B.]4．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3 D ．2＋ 3D[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D.]5．为计算T ＝13×24×35×46×…×1719×1820，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A．W＝W×i B．W＝W×(i＋1)C．W＝W×(i＋2) D．W＝W×(i＋3)C[每个分式的分母比分子多2，即W＝W×(i＋2)，故选C.]6．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 B．4 2C．6 D．210C[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过点C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝|AC|2－22＝40－4＝6.故选C.]7．已知函数f(x)＝e x－1＋e1－x，则满足f(x－1)＜e＋e－1的x的取值范围是( )A．1＜x＜3 B．0＜x＜2C．0＜x＜e D．1＜x＜eA[函数f(x)＝e x－1＋e1－x，则f(x－1)＝e x－2＋e2－x，令g(x)＝f(x－1)－(e＋e－1)＝e x－2＋e2－x－(e＋e－1)，g′(x)＝e x－2－e2－x，令g′(x)＝0，解得x＝2.所以函数g(x)在(－∞，2)上单调递减，(2，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(2)＝2－(e＋e－1)＜0，又g(1)＝g(3)＝0，∴1＜x＜3.故选A.]8.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)＝sin x和余弦曲线g(x)＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2π B.1＋22π C.1πD.12πB [y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域，其面积为⎠⎜⎜⎛π4π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sinx )⎪⎪⎪⎪ππ4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－22＝1＋ 2 .又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π，故选B .] 9.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为( )A ．1 B. 2 C. 3D.233C [∵正方体的棱长为2，∴正方体底面对角线为22， 正方体的体对角线长为23，而正方体旋转的新位置的最大高度为23， 且水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大液面高度为 3.故选C.]10.如图，直线2x ＋2y －3＝0经过函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)图象的最高点M 和最低点N ，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π，φ＝0C ．ω＝π2，φ＝－π4D ．ω＝π，φ＝π2A [因为M ，N 分别是图象的最高点和最低点，得M 、N 的纵坐标为1和－1，代入直线2x ＋2y －3＝0得M 、N 横坐标为12和52，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1 . 得T 2＝52－12＝2，故T ＝4＝2πω，故ω＝π2. M 代入f (x )得1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2×12＋φ，故π2×12＋φ＝2k π＋π2，所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z . 因为|φ|＜π，所以φ＝π4，故选A.]11．已知双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 交C的左、右支分别于A ，B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．32C [由双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b ＞0)可得a ＝4，设|AF 1|＝|BF 1|＝m ，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝2a ＋m ， |BF 2| ＝|BF 1|－2a ＝m －2a ，可得|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2a ＋m －(m －2a )＝4a ＝16.故选C. ]12．设函数f (x )＝a e x－2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a 的值为( ) A.2e π4B.2e π4C.2e π2D.2e π2B [函数f (x )＝a e x－2sin x ，x ∈[0，π]有且仅有一个零点等价于a ＝2sin x e x，x ∈[0，π]有且仅有一个解，即直线y ＝a 与g (x )＝2sin xe x，x ∈[0，π]的图象只有一个交点，设g (x )＝2sin xex，x ∈[0，π]， 则g ′(x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4ex， 当0≤x ＜π4时， g ′(x )＞0，当π4＜x ≤π时，g ′(x )＜0，即g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π为减函数，又g (0)＝0，g (π)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2e π4， 则实数a 的值为2e π4，故选B.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 5 [因为向量a ＝(2,1)，所以|a |＝22＋12＝ 5. 因为a ·b ＝10，所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝5＋2×10＋|b |2＝(52)2， 所以|b |2＝25，则|b |＝5.]14．甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为________．512[甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语， 甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为：P ＝34×23×34×13＋34×23×14×23＋34×13×34×23＋14×23×34×23＝512.]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，则∑2 019i ＝1S i ＝________. 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141 010 [当n ＝1时，S 1＝－S 1＋12，解得S 1＝14. 当n ≥2时，S n ＝(－1)n a n ＋12n ＝(－1)n(S n －S n －1)＋12n ，①n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即S n －1＝12n ，即S 2k －1＝122k .②n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，S n ＝－S n ＋S n －1＋12n ，S n ＝12S n －1＋12n ＋1，即S 2k ＋1＝12S 2k ＋122k ＋2，122k ＋2＝12S 2k ＋122k ＋2， 即S 2k ＝0.即∑2 019i ＝1S i ＝(S 1＋S 3＋…＋S 2 019)＋(S 2＋S 4＋…＋S 2 018) ＝14＋142＋…＋141 010 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141 0101－14＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－141 010.]16.如图，一张矩形白纸ABCD 中，AB ＝10，AD ＝102，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A 、C 在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ；③当A 、C 重合于点P 时，PG ⊥PD ；④当A 、C 重合于点P 时，三棱锥P DEF 的外接球的表面积为150π. ①④ [在△ABE 中，tan∠ABE ＝22，在△ACD 中，tan∠CAD ＝22，所以∠ABE ＝∠DAC ，由题意，将△ABE ，△DCF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BEDF 同侧，此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ，平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG ∥CH ，显然AG ＝CH ，所以四边形AGHC 为平行四边形，所以AC ∥GH ，进而可得AC ∥平面BFDE ，故①正确；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，故②不正确；当A 、C 重合于点P 时，可得PG ＝1033，PD ＝10，又GD ＝10，∴PG 2＋PD 2≠GD 2，所以PG 与PD 不垂直，故③不正确；当A ，C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF 中，△EFD 与△FCD 均为直角三角形，所以DF 为三棱锥P DEF 的外接球的直径，即R ＝DF 2＝562，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5622＝150π，故④正确．综上，正确命题的序号为①④.]。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题七及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C． D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A． B． C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F 关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序1 2 3 4 5 6 7号i数学成60 65 70 75 85 87 90绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 52619．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF ⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C． D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1=••x2n﹣5r，令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6π B．8+6π C．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A． B． C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F 关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为+=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c 的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序1 2 3 4 5 6 7号i数学成60 65 70 75 85 87 90绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时，=0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln （x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF ⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2016年10月6日。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析二.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣105．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．16．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或07．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．48．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．29．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= ．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数z，然后求出复数的模即可．解答：解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2．设函数，则其导函数f′（x）是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：函数=﹣cos2x，利用导数的运算法则、函数的奇偶性周期性即可得出．解答：解：∵函数=﹣cos2x，则其导函数f′（x）=2sin2x，∴T==π，f′（﹣x）=﹣2sin2x=﹣f′（x），∴其导函数f′（x）是最小正周期为π的奇函数．故选：D．点评：本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性周期性、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1，直线l：x=1；则：“”是“C 上恰有不同四点到l的距离为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，可得，即可判断出．解答：解：如图所示，⊙C与直线l．若C上恰有不同四点到l的距离为，则，∴“”是“C上恰有不同四点到l的距离为”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充要条件的判定方法、直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想方法，属于基础题．4．如果等差数列{a n}中，a1=﹣11，，则S11=（）A．﹣11 B．10 C．11 D．﹣10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的前n项和S n，可知，结合求得公差，然后再由求得答案．解答：解：由，得，由，得=2，∵a1=﹣11，解得d=2，∴=﹣11+5×2=﹣1，∴S11=﹣11，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的求和公式．属基础题．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6．执行如图的程序框图，则输出的λ是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．﹣2或0考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据框图给出的向量和向量的坐标及λ的值，运用向量的数乘及坐标的加法运算求出的坐标，再求数量积，数量积为0，则两向量垂直，算法结束，输出λ的值，否则，执行λ=λ+1，再判断执行，直至数量积为0结束．解答：解：由，当λ=﹣4时，，此时4×0+（﹣2）×10=﹣20≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣4+1=﹣3，，此时4×1+（﹣2）×7=﹣10≠0，所以与不垂直，故执行λ=﹣3+1=﹣2，，此时4×2+（﹣2）×4=0，与垂直，算法结束，输出λ的值为﹣2．故选B．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，考查了运用向量数量积判断两向量是否垂直，若非零向量，则⇔x1x2+y2y2=0，此题是中低档题．7．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．4考点：基本不等式．专题：不等式．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．点评：本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．8．函数f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A．B．1 C．D．2考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简已知函数换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，由导数法判单调性可得当t=时，y取最大值，代值计算可得．解答：解：化简可得f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，换元可得y=t3﹣t2﹣t+1，t∈[﹣1，1]，求导数可得y′=3t2﹣2t﹣1=（3t+1）（t﹣1），令y′=（3t+1）（t﹣1）＜0可解得﹣＜t＜1，令y′=（3t+1）（t﹣1）＞0可解得t＜﹣或t＞1，∴函数y=t3﹣t2﹣t+1在（﹣1，﹣）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴当t=时，y取最大值故选：C点评：本题考查三角函数的最值，换元后由导数法判单调性是解决问题的关键，属中档题．9．已知M=+++…++，则M=（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由二项式定理得到，两边求定积分得答案．解答：解：由，得：=，∴，即=+++…++，∴M=+++…++=，故选：A．点评：本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．10．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，P点和M点关于原点对称，点Q在y轴上，从而设出P，M，A，B，Q的坐标：P（x，y），M （﹣x，﹣y），A（a，0），B（﹣a，0），Q（0，﹣），从而根据|PO|=|a|，便得到，根据两点间距离公式从而求出的范围，从而得出||范围．解答：解：如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系；=2，∴Q点在y轴上；设P（x，y），M（﹣x，﹣y），A（a，0），Q（0，）；△PAB为Rt△；∴|PO|=|a|，又0≤；∴；∴；=；∴；∴；∴的取值范围为．故选：C．点评：考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题、几何问题的方法，中垂线上的点到线段两端的距离相等，关于原点对称的点的坐标的关系，以及两点间距离公式．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.68，则P（X＞4）= 0.16 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题目中：“正态分布N（3，1）”，画出其正态密度曲线图：根据对称性，由（2≤X≤4）的概率可求出P（X＞4）．解答：解：P（3≤X≤4）=P（2≤X≤4）=0.34，观察图得，∴P（X＞4）=0.5﹣P（3≤X≤4）=0.5﹣0.34=0.16．故答案为：0.16．点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．12．一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积为（8+2）cm ．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：首先根据三视图把几何体的立体图复原出来进一步利用表面积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体为底面是直角边长为2cm和1cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱则：S表=S侧+2S底=8+2故答案为：（8+2）cm点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体的关系，几何体的表面积公式的应用．主要考查学生的应用能力和空间想象能力．13．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是49 ．考点：计数原理的应用；棱柱的结构特征．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，结合正方体的结构特征，分3种情况讨论：①、三点都在正方体的棱上，②、以6个面的中心为中点，③、以正方体的中心为中点，分别求出每种情况下三点共线的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，在所给的正方体的27个点中，三点共线的情况有3种：①、三点都在正方体的棱上，正方体有12条棱，即有12种情况；②、以6个面的中心为中点，正方体有6个面，每个面有4种情况，共有4×6=24种情况，③、以正方体的中心为中点，共有26÷2=13种情况，则共有12+24+13=49种，即共线的三点组的个数是49；故答案为：49．点评：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于掌握正方体的结构特点并判断三点共线的情况．14．已知曲线Γ：ρ=，θ∈R与曲线C：，t∈R相交于A，B两点，又原点O（0，0），则|OA|•|OB|= ．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步把参数方程转化为直角坐标方程，建立方程组求出交点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：曲线Γ：ρ=，θ∈R转化成：，转化成直角坐标方程为：，整理得：3x2+4y2﹣6x﹣9=0，曲线C：，t∈R转化为直角坐标方程为：y=，所以：，解得：或所以：|OA|=2，则：|OA||OB|=．故答案为：．点评：本题考查的知识要点：极坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，解方程组问题的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的应用能力．15．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别是a，b，c，有如下下列命题：①若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；②若，则△ABC为等边三角形；③若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．其中正确的命题为①②④（写出所有正确命题的序号）考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：①已知不等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；②已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断；③已知等式利用正弦函数的性质化简，整理得到结果，即可做出判断；④已知等式整理后，利用两角和与差的正切函数公式化简，求出C的度数，即可做出判断；⑤由A，B，C为三角形内角，得到tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故本选项错误．解答：解：①∵A＞B＞C，∴a＞b＞c，又===2R，∴sinA=，sinB=，sinC=，2R为定值，∴sinA＞sinB＞sinC，此选项正确；②∵==，由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，得==，∴==，即tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形，本选项正确；③∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，本选项错误；④∵（1+tanA）（1+tanB）=2，即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，∴tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=，即C=，则△ABC为钝角三角形，本选项正确；⑤若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角，∵A+B=π﹣C，∴tan（A+B）=tan（π﹣C），即=﹣tanC，则tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，即⑤错误，故答案为：①②④点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间．（Ⅱ）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域．解答：解：（I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x=，x∈R令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（k∈Z）（II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域．主要考查学生的应用能力．17．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下的发芽成功的概率为，于是该学习团队分两个小组进行验证性实验．（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验．直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次．求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件．专题：计算题．分析：（I）本题是一个独立重复的实验，利用n次对立重复实验恰好发生k次的概率公式与互斥事件的概率求出他们的实验至少有3次成功的概率；（II）依题意判断出随机变量ξ可取的值及取每一个值的概率值，列出分布列，根据期望的公式求出这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：（4分）（Ⅱ）依题意有：ξ1 2 3 4 5P（4分）点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2，CD=1，M，N分别是PD、PB的中点．（1）证明：直线NC∥平面PAD；（2）求平面MNC与地面ABCD所成的锐二面角的余弦值．（3）求三菱锥P﹣MNC的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知想到取PA中点Q，连接NQ，DQ，然后利用三角形的中位线定理证明NC∥DQ，再由线面平行的判断得答案；（2）找出平面MNC与底面ABCD的交线，然后利用三垂线定理得到平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，再通过解直角三角形得答案；（3）利用等积法求出A到平面PMN的距离，得到C到平面PMN 的距离，再求出平面PMN的面积，得到三棱锥C﹣PMN的体积，即三菱锥P﹣MNC的体积V．解答：（1）证明：如图，取PA中点Q，连接NQ，DQ，∵N、Q分别为PB、PA的中点，∴NQ∥AB，NQ=，又DC∥AB，DC=，∴NQ∥DC，NQ=DC，则四边形DCNQ为平行四边形，∴NC∥DQ，DQ⊂面PAD，NC⊄面PAD，∴直线NC∥平面PAD；（2）解：连接BD，∵M、N分别为PD、PB中点，∴MN∥BD，过C作l∥BD，则MN∥l，∴平面MNC∩平面ABCD=l，取AD中点S，连接CS，∴CS⊥l，连接MC，则∠MCS为平面MNC与底面ABCD所成的锐二面角，∵PA=AD=AB=2，CD=1，∴MS=1，SC=，则MC=，∴cos；（3）解：设SC∩BD=R，由题意可得：SR=CR，∴C与S到平面PMN的距离相等，又S为AD的中点，∴S到平面PMN的距离等于A到平面PMN距离的一半，设A到平面PMN距离为h，由PA⊥AB⊥AD，PA=AD=AB=2，则由等积法得：h，解得h=，∴C到平面PMN的距离为，又三角形PMN为边长是的正三角形，∴，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．已知函数，（x≥0），又数列{a n}中，a n＞0，a1=2，该数列的前n项和记为S n，对所有大于1的自然数n都有S n=f（S n﹣1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，{b n}其前n项和为T n，证明：T n＜n+1．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由，S n=f（S n﹣1）知：，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用递推式即可得出a n．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和”即可得出．解答：（Ⅰ）解：由，S n=f（S n﹣1）知：，又a n＞0，a1=2，S n＞0，∴，即：是以为首项，为公差的等差数列，∴，，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣2，当n=1时也成立，∴a n=4n﹣2．（Ⅱ）证明：=，T n=＜n+1．点评：本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C 在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平行向量与共线向量；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（I）由题意设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．解答：解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，．从而．由于，即．又已知，所以从而椭圆的方程是．（Ⅱ）因为的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．由解得．不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为﹣k，因此PC和QC的方程分别为y=k（x﹣1）+1，y=﹣k（x﹣1），其中消去y并整理得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0（*）．∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根．从而，同理，从而直线PQ的斜率为．又知A（2，0），B（﹣1，﹣1），所以，∴向量与共线．点评：（I）此问考查了设处点的坐标，把已知的向量关系的等式建立成坐标之间的关系式，还考查了椭圆的基本性质及求解时运用的方程的思想；（II）此问考查了设出直线把椭圆方程与直线方程进行联立，利用根与系数的关系求出P与Q的坐标，还考查了直线的斜率公式．21．设函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=f（x+1），若对任意的x≥0，都有g（x）≥mx 成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若0＜a＜b，证明：0＜f（a）+f（b）﹣2f（）＜（b ﹣a）ln2．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）对函数求导，然后令导数为零，再判断导数为零的点左右两侧的导数符号，确定极大值或极小值；（Ⅱ）这是一个不等式恒成立问题，所以可将问题转化为函数的最值问题求解；（Ⅲ）证明此类不等式问题，可以根据要证的式子特点构造函数，然后利用函数的单调性、最值解决问题．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=1+lnx，（x＞0）．令f'（x）=0，解得：，且当时，f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，因此：f（x）的极小值为；（Ⅱ）g（x）=f（x+1）=（x+1）ln（x+1），令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣mx，则h'（x）=ln（x+1）+1﹣m，注意到：h（0）=0，若要h（x）≥0，必须要求h'（0）≥0，即1﹣m≥0，亦即m≤1；另一方面：当m≤1时，h'（x）=ln（x+1）+1﹣m≥0恒成立；故实数m的取值范围为：m≤1；（Ⅲ）构造函数，x＞a，又∵x＞a，∴0＜a+x＜2x，F'（x）＞0，F（x）在（a，+∞）上是单调递增的；故F（b）＞F（a）=0，即：．另一方面，构造函数，G（x）在（a，+∞）上是单调递减的，故G（b）＜G（a）=0即：，综上，．点评：本题考查了导数在研究函数的单调性、极值、最值问题中的应用，要注意恒成立问题转化为函数最值问题来解的典范思路，注意体会和总结．。
2020高考理科数学第二轮复习综合测试及答案
2020高考理科数学第二轮复习综合测试及答案本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为（）2．复数1cos45sin45zi=-o o的共轭复数是（）A．i2121+B22C22i D．i+13．已知m,n是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β且m,n,αα⊂⊂则α∥β；②若n,mαβI=∥n，则m∥α且m∥β；③若m,α⊥m∥β则αβ⊥；④若α∥β，且m,n,γαγβI I==则m∥n．其中的正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．圆心在抛物线24x y =上的动圆过点（0,1），且与定直线l 相切，则直线l 的方程为（ ）A ．1x =B ． 116x =C ．116y =-D ． 1y =-5．若sin(cos ),cos(sin )a x b x ππ==，且3,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则 （ ）A ．221a b +=B ．a b <C ．a b >D ．a b =6．设函数()ln(f x x x =+，则对于任意的实数a 和b ，0a b +<是()()0f a f b +< 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件7．若函数1()2ax f x x +=+（a 为常数），在()2,2-内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦8．已知点P 是椭圆C ：22184x y +=上的动点，12,F F 分别为左、右焦点，O 是坐标原点，则12PF PF PO-的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．[]0,2C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎡⎣9．已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A —BCD 的中截面B为M ，则O 到平面M 的距离为 （ ）A ．4aBCD 10．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的个数最多是 （ ）A ．30B ．60C ．120D ．24011．在算式“4×□+1×△=30”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□, △）应为（ ）A ．（4, 14）B ．（6, 6）C ．（3, 18）D ．（5, 10）12．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水2t 2升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供 （ ）A ．3人洗浴B ．4人洗浴C ．5人洗浴D ．6人洗浴第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.13．如右图是由三个相同的正方形相接，在ABC ∆中，锐角α=∠ACB ，则=αtan _______.14．若,x y R ∈，且2186x y xy ==，则_____.x y += 15．有４个不等式：2,<<3<<．其中不正确的个数是___ ___.16．若连续且不恒等于的零的函数()f x 满足'()()0f x f x +=，试写出一个符合题意的函数()______.f x =三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数()sin()cos f x x x ϕ=+的图像关于原点(0,0)O 对称，试求函数()f x 的解析式．18．（本小题满分12分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。
2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练5
小题专项训练5 三角函数与三角恒等变换一、选择题1．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－12B ．12C ．32D ．－32【答案】D【解析】因为点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在单位圆上，所以sin α＝cos 5π6＝－32. 2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( )A ．35B ．－35C ．－45D ．45【答案】B【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35.3．函数y ＝4sin x cos x －1的最小正周期T 和最大值M 分别为( ) A ．π，1 B ．2π，1 C ．π，2 D ．2π，2【答案】A【解析】y ＝4sin x cos x －1＝2sin 2x －1，故其最小正周期T ＝2π2＝π，最大值M ＝2－1＝1.4．(2019年河南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6，则tan 2α＝( ) A ．－43 B ．－32 C ．43 D ．32【答案】A【解析】由sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6，可得12sin α－32cos α＝－3⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α，则2sin α＝－3cos α，所以tan α＝－32.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.故选A ． 5．(2018年四川泸州模拟)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x＋φ)的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0.∴y ＝cos(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，则关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称．故选A ． 6．已知sin β＝35⎝⎛⎭⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2【答案】C【解析】∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsinβ＝cos α，∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.7．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】D【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π.故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 8．(2018年山西太原模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cosπx3的图象( ) A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤π3⎝⎛⎭⎫x －12，满足f (1)＞f (3)．故选C ． 9．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．74B ．34C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋378，于是sin θ＋cos θ＝3＋74.又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－378，所以sin θ－cos θ＝3－74.可得sin θ＝34.10．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )(ω＞0)的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫3π8，5π8 B ．⎣⎡⎭⎫3π8，5π8 C ．⎝⎛⎦⎤3π8，5π8 D ．⎣⎡⎦⎤3π8，5π8【答案】B【解析】f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2 ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4＋1.设g (x )＝2ωx －π4，g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4，f (x )的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8.故选B ． 11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB →·BC →＝－|AB →|2，则ω等于( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】A【解析】由三角函数的对称性知AB →·BC →＝AB →·2BD →＝2AB →·BD →＝2|AB →|2cos(π－∠ABD )＝－|AB →|2，所以cos ∠ABD ＝12，即∠ABD ＝π3.|AD |＝23tan π6＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝4.所以ω＝2π4＝π2.故选A ． 12．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0.若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，得|x 1－x 2|＝8.∴T＝2|x 1－x 2|＝16.∴2πω＝16，ω＝π8，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ.由f (2)＝0，得3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0.又－π2≤φ≤π2，∴φ＝－π4，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4.将f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度，得对应的函数g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π8x －⎝⎛⎭⎫π8t ＋π4.由题意得g (x )的图象关于y 轴对称，∴π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故正数t 的最小值为2.二、填空题13．(2018年山东日照二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝14，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x 的值为________． 【答案】116【解析】cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝116. 14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 【答案】±2【解析】由题意可得f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 15．(2019年广东中山模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间为________． 【答案】⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 【解析】y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 16．(2019年山西运城模拟)给出下列四个语句： ①函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－3π4，π4上为增函数； ②函数y ＝cos 2x 的最小正周期为2π； ③函数y ＝tan x 的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称；④若sin ⎝⎛⎭⎫2x 1－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π4，则x 1－x 2＝k π，其中k ∈Z . 以上四个语句中正确的有________(填写正确语句前面的序号)． 【答案】①③【解析】x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4时，x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故①正确．y ＝cos 2x ＝cos 2x ＋12的最小正周期为π，故②不正确．由正切函数y ＝tan x 的图象可得③正确．若sin ⎝⎛⎭⎫2x 1－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π4，则⎝⎛⎭⎫2x 1－π4－⎝⎛⎭⎫2x 2－π4＝2k π或⎝⎛⎭⎫2x 1－π4＋⎝⎛⎭⎫2x 2－π4＝2⎝⎛⎭⎫k π＋π2，即x 1－x 2＝k π或x 1＋x 2＝k π＋3π4(k ∈Z )，故④不正确．综上所述，正确的有①③.。
2020高考理科数学二轮分层特训卷：主观题专练 (7) Word版含解析
概率(7)1．[2019·山东日照期末]某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，女青年志愿者3人，记为b 1，b 2，b 3.现从这8人中随机选4人参加某项公益活动．(1)求男青年志愿者a 1或女青年志愿者b 1被选中的概率；(2)在男青年志愿者a 1被选中的情况下，求女青年志愿者b 1也被选中的概率．解析：(1)设“男青年志愿者a 1和女青年志愿者b 1都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 46C 48＝314，所以所求概率为1－P (C )＝1－314＝1114. (2)记“男青年志愿者a 1被选中”为事件A ，“女青年志愿者b 1被选中”为事件B ，所以P (A )＝C 37C 48＝12，P (AB )＝C 26C 48＝314，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝37.所以在男青年志愿者a 1被选中的情况下，女青年志愿者b 1也被选中的概率为37.2．[2019·重庆第一次质量调研抽测]自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得到他们10月份的用水量(单位：吨)，用水量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图如图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(1)求a 的值，并根据样本数据，估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值；(2)以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在[5，15]内的用户数为X ，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)由题意得，(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可知该镇居民10月份用水量的众数为20吨．50户居民10月份用水量的平均值x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(吨)．故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨．(2)利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15，X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫453＝64125；P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫452×15＝48125； P (X ＝2)＝C 23×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125；P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫153＝1125.∴X 的分布列为X0 1 2 3P 64125 48125 121251125∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.3．[2019·安徽五校联盟二检]在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x －和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分的人数估计有多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s 2＝204.75，204.75≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<z ≤μ＋2σ)≈0.954 5.解析：(1)由题意知，中点值 45 55 65 75 85 95 频率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1∴x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5， ∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．(2)依题意知μ＝x －＝70.5，σ2＝s 2＝204.75，σ≈14.31， ∴z 服从正态分布N (70.5，14.312)，而P (μ－σ<z ≤μ＋σ)＝P (56.19<z ≤84.81)≈0.682 7，∴P (z >84.81)≈1－0.682 72≈0.158 7.又0.158 7×4 000＝634.8≈635.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.(3)全市参赛考生的成绩不超过84.81分的概率P ≈1－0.158 7＝0.841 3.而ξ～B (4，0.841 3)，∴P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－C 44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.4．[2019·沈阳市教学质量检测]为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病 发病 总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计 50 50 100现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k 0) 0.05 0.01 0.0050.001 k 0 3.841 6.635 7.879 10.828解析：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P (E )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)K 2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．5．[2019·南宁市高三毕业班适应性测试]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110xi y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y ^对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解析：(1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又∑i ＝1n x 2i －n x －2＝720－10×82＝80，∑i ＝1n x i y i －n x － y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 6．[2019·江苏徐州抽测]在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A 点投篮一次，以后都在B 点投篮．方案乙：始终在B 点投篮．每次投篮相互独立，某选手在A 点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B 点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分．用随机变量ξ表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次．(1)若该选手选择方案甲，求测试结束后ξ的分布列和数学期望； (2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．解析：(1)在A 点的一次投篮中，投中记作A ，未投中记作A －；在B 点的一次投篮中，投中记作B ，未投中记作B －，则P (A )＝34，P (A －)＝1－34＝14，P (B )＝45，P (B －)＝1－45＝15，ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则P (ξ＝0)＝P (A －B －B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝14×15×15＝1100，P (ξ＝2)＝P (A －B B －)＋P (A －B －B )＝2×14×15×45＝225，P (ξ＝3)＝P (A )＝34，P (ξ＝4)＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝14×45×45＝425.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×1100＋2×225＋3×34＋4×425＝3.05.(2)选手选择方案甲，通过测试的概率P 1＝P (ξ≥3)＝34＋425＝0.91，选手选择方案乙，通过测试的概率P 2＝P (ξ≥3)＝2×15×45×45＋45×45＝112125＝0.896，因为P 2<P 1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大．。
通用2020版高考数学二轮复习分小题精准练一文
80分小题精准练(一)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x ＋1＞0}，B ＝{x ∈Z |x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ≤1} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{0,1}D ．{1}C [由题知A ＝{x ∈R |x ＞－1}，B ＝{x ∈Z |x ≤1}，∴A ∩B ＝{x ∈Z |－1＜x ≤1}，∴A ∩B ＝{0,1}，故选C.]2．[一题多解](2019·石家庄模拟)若复数z ＝i1＋i (i 为虚数单位)，则z ·z ＝( )A.12i B ．－14 C.14 D.12D [法一：∵z ＝i 1＋i ＝i (1－i )2＝1＋i 2＝12＋i 2，∴z ＝12－i 2，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋i 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－i 2＝12，故选D.法二：∵z ＝i 1＋i ＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2，∴z ＝12－i 2，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－i 2＝12，故选D.法三：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z ＝|z |2＝12，故选D.]3．某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A.114 B.112 C.17 D.16D [由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240分钟，即4个小时，所以所求的概率为424＝16，故选D.]4．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行了统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )A ．x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛D [由茎叶图知，甲的平均成绩是72＋78＋79＋85＋86＋926＝82，乙的平均成绩是78＋86＋87＋87＋91＋936＝87，所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图可以看出乙比甲成绩稳定．故选D.]5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.13A [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3，故选A.]6．下列说法中正确的是( )A ．若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列又是等比数列B ．若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0C ．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件D ．若两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越大，x 与y 之间的相关性越强C [因为a n ＝0时，数列{a n }不是等比数列，所以选项A 错误；当奇函数f (x )的定义域中没有数值0时，f (0)没有意义，所以选项B 错误；在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，则sin A ＞sin B ，反之亦然，所以在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，所以选项C 正确；|r |越大，两个变量的相关性越强，|r |越接近0，两个变量的相关性越弱，所以选项D 错误．]7．[一题多解](2019·福州检测)已知非零向量a 与b 的夹角为2π3，且|b |＝1，|a ＋2b |＝2，则|a |＝( )A ．1B ．2 C. 3 D ．23B [法一：∵|a ＋2b |＝2，∴|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4，又a 与b 的夹角为2π3，|b |＝1，∴|a |2－2|a |＋4＝4，∴|a |2－2|a |＝0.又a ≠0，∴|a |＝2，故选B.法二：在如图所示的平行四边形中，∵|b |＝1，∴|2b |＝2，又a 与b 的夹角为2π3，|a ＋2b |＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a |＝2，故选B.]8．(2019·武汉调研)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－12C [∵f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又f (x )是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－1，故选C.]9．[一题多解]已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5 D.5D [法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵圆C 经过点(－1,0)和(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，∴a ＋b －2＝0 ①，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴|a |＝|b | ②，由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.法二：∵圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，∴圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C 到两坐标的距离相等，∴圆心C 在直线y ＝±x 上，∵直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，∴圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，∴圆C 的半径为5，故选D.]10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24D [∵函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，∴2cos φ＝3，即cos φ＝32，∴φ＝2k π±π6(k ∈Z )．∵|φ|＜π2，∴φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω＜0，又ω＞0，∴φ＜0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6.∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴cos (ω－1)π6＝0，∴(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，∴ω＝6m ＋4(m ∈Z )．∵ω＞0，πω＞π6，∴0＜ω＜6，∴ω＝4，∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6.∵x ＝π24时，f (x )＝2，∴x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D.]11．(2019·济南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22 C.14 D.32B [∵FP 的斜率为－bc ，FP ∥l ，∴直线l 的斜率为－b c.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1得y 21b 2－y 22b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－x 22a 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，∵AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴－b c ＝－2b 2a 2，∴a 2＝2bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率为22，故选B.] 12．(2019·石家庄模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＋S n ＝n 2－19n2(n ∈N *)，若a 10＜a 11，则S n 取最小值时n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 B [∵S n ＋1＋S n ＝n 2－19n2，∴a 2＋2a 1＝－9，又n ≥2时，S n ＋S n －1＝(n －1)2－19(n －1)2，∴a n＋1＋a n ＝n －10，∴a 4＋a 3＝－7，a 6＋a 5＝－5，a 8＋a 7＝－3，a 10＋a 9＝－1，a 12＋a 11＝1，∴n ≥11且n 为奇数时，a n ＋1＋a n ＞0，S 2＋a 1＞S 4＋a 1＞…＞S 10＋a 1，S 10＋a 1＜S 12＋a 1＜S 14＋a 1＜…，即S 2＞S 4＞…＞S 10，S 10＜S 12＜S 14＜….a 3＋a 2＝－8，a 5＋a 4＝－6，a 7＋a 6＝－4，a 9＋a 8＝－2，a 11＋a 10＝0，a 13＋a 12＝2，∴n ≥12且n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＞0，S 3－a 1＞S 5－a 1＞…＞S 9－a 1＝S 11－a 1，S 11－a 1＜S 13－a 1＜S 15－a 1＜…，即S 3＞S 5＞…＞S 9＝S 11，S 11＜S 13＜S 15＜….又a 11＋a 10＝0，a 10＜a 11，∴a 11＞0，∴S 11－S 10＝a 11＞0，∴S 11＞S 10，∴S n 取得最小值时的n ＝10.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ∈[0,10]，则x 满足不等式x 2－4x ＋3≤0的概率为________． 15[∵不等式x 2－4x ＋3≤0的解集为[1,3]，所以若x ∈[0,10]，则x 满足不等式x 2－4x＋3≤0的概率为15.]14．已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2,0)的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为________．y ＝±12(x －2) [∵双曲线C 的方程为x 2－4y 2＝1，∴a ＝1，b ＝12，∴渐近线方程为y ＝±12x .∵P (2,0)在双曲线内部且直线l 与双曲线有唯一公共点，∴直线l 与双曲线的渐近线平行，∴直线l 的斜率为±12，∴直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．]15．(2019·长春模拟)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，O ，O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，记四棱锥O 1ABCD 和O A 1B 1C 1D 1的公共部分的体积为V ，则体积V 的值为________．a 312[如图所示，四棱锥O A 1B 1C 1D 1和四棱锥O 1ABCD 的公共部分是同底等高的四棱锥O 1EFGH 和四棱锥O EFGH 的组合体，其中，四边形EFGH 是边长为a2的正方形，OO 1＝a ，所以公共部分的体积V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22×a 2＝a312.]16．(2019·昆明模拟)已知函数f (x )＝23ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2，a ∈R ，当x ∈[0,1]时 ，函数f (x )仅在x ＝1处取得最大值，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫310，＋∞ [∵f (x )＝23ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2，∴f ′(x )＝2ax 2＋(2a －1)x ，∵0≤x ≤1，∴a ≤0时，f ′(x )≤0，∴函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，∴x ＝1时，f (x )取得最小值，与题意不符，∴a ＞0.由f ′(x )＝2ax 2＋(2a －1)x ＝0得，x ＝0或x ＝12a －1.①当12a －1≤0，即a ≥12时，f ′(x )≥0(x ∈[0,1])，f (x )在区间[0,1]上单调递增，f (x )仅在x ＝1处取得最大值，符合题意．②当0＜12a －1＜1，即14＜a ＜12时，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12a －1，令f ′(x )＞0，得12a －1＜x ≤1，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a －1上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a －1，1上单调递增，要使f (x )仅在x ＝1处取得最大值，则f (1)＞f (0)，即53a －12＞0，所以310＜a ＜12.③当12a －1≥1，即0＜a ≤14时，f ′(x )≤0(x ∈[0,1])，f (x )在区间[0,1]上单调递减，∴x ＝1时，f (x )取得最小值，与题意不符．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫310，＋∞.]。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十九.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5} 2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物49 24642 32理成绩72 51 9 579 62223 29217 46 1学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物理成绩65453328292839344535353422939将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2 ∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e ﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）= 2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin（2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e= ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A （x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1，+=1，相减可得：+=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC 为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物理成绩7249512957496222632942 2137 4621学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物3222334333223理成绩65453 8 9 8 945 5 5 4 0 9 9将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x 1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l 1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S △RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 + g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x 0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．2016年9月22日。
2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练七(含答案解析)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
) D.第四象限
3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x＋1 与圆 x2＋y2=4 相交于 A，B
两点，则 cos∠AOB 等于( )
5 A.
10
5 B.－
10
9 C.
10
9 D.－
10
4.已知四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，且 PA=PB=PC=PD，若一个半径为 1 的
球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A.6
B.5
C.4.5
D.2.25
5.如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某几何体的正(主)视图和侧(左)视图，
8 且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )
3
6.在半径为 1 的圆 O 内任取一点 M，过点 M 且垂直于 OM 作直线 l 与圆 O 交于圆 A，B 两点，则
2
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π
1 以 为半径的圆内，根据几何概型概率公式可得，AB 长度大于
3的概率为
P=
4
1 =.
2
π4
7.答案为：A; x＋1，x＜0，
解析：程序框图的功能为求分段函数 y= 4x－x2，x≥0 如图可知 2∈[a，b]，
的函数值，
当 a=0，b=2 或 a=2，b=4 时符合题意，∴b－a≥2.故选 A.
15.已知抛物线 C：y2=4x，过焦点 F 且斜率为 3的直线与 C 相交于 P，Q 两点，且 P，Q 两点在准 线上的投影分别为 M，N 两点，则 S△MFN=________.
16.在正方形 ABCD 中，AB=AD=2，M，N 分别是边 BC，CD 上的动点，当A→M·A→N=4 时，|MN|的取值 范围为________.
通用2020版高考数学二轮复习分小题精准练七文
80分小题精准练(七)(建议用时：50分钟)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( ) A ．[0,1] B ．[－1,1] C ．[0,1)D ．(0,1]A [因为M ＝[－1,1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }＝{y |0≤y ≤1}，所以M ∩N ＝[0,1]，故选A.] 2．(2019·武汉模拟)i 为虚数单位，复数z ＝1＋(1－i)2，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.5D [z ＝1＋(1－i)2＝1－2i ，则|z |＝12＋(－2)2＝5，故选D.] 3．已知p ：1x＜1，q ：2 019x＞2 019，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由1x ＜1得，1－x x ＜0，即x －1x＞0，得x ＜0或x ＞1，故p ：x ＜0或x ＞1；由2 019x＞2 019得，x ＞1，故q ：x ＞1.所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2019·济南模拟)某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x ，平均数为y .今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2yC [由数据100,200,300可得，前3年统计数据的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200.根据题意得第4年该村的经济收入的统计数据为600，则由数据100,200,300,600可得，这4年统计数据的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y ，故选C.]5．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，a·b ＝12，则α＝( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2B [由题意，得a·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos 2α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3，故选B.]6．已知点P (3，2)为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)上一点，则它的离心率为( )A.32 B.233C. 3 D ．23 B [由双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)可得b 2＝1.根据点P (3，2)在双曲线上可得9a 2－2＝1，得a 2＝3.e 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，得e ＝233，故选B.]7．(2019·贵阳模拟)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.17D [如图，记OP 交AB 于H ，OR 交BC 于G .当H 不为AB 的中点时，过O 分别作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，则∠OEH ＝∠OFG ＝90°，又O 正好是正方形ABCD 的中点，所以OE ＝OF ，∠EOF ＝90°，又∠GOH ＝90°，所以∠GOF ＝∠EOH ，所以△OEH 和△OFG 全等，所以阴影部分的面积与正方形OEBF 的面积相等，所以阴影部分的面积亦为标靶面积的17.当H 为AB 的中点时，阴影部分的面积为标靶面积的17.所以小华射中阴影部分的概率为17，故选D.]8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3D [如图，在长、宽、高分别为2,2，x 的长方体中还原该几何体，得该几何体为四棱锥，记为四棱锥S ABCD ，则四棱锥S ABCD 的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，得x ＝3，故选D.]9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0，则z ＝y 2－x 2xy的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，136A [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －3≥0，y －2≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (3,2)，C (1,2)．z ＝y 2－x 2xy ＝y x －x y ，令t ＝y x ，则z ＝t －1t ，因为t ＝yx表示可行域内任意一点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又z ＝t －1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递增函数，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，故选A.]10．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0D [由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.]11．(2019·四平模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5C [函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数即函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数．当x ＞0时，f (x )＝2πx －ln x ＋ln π2，则f ′(x )＝2π－1x ＝2x －ππx ，令f ′(x )＝0，则x＝π2.当0＜x ＜π2时，f ′(x )＜0；当x ＞π2时，f ′(x )＞0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值，且最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，函数y＝sin x 在x ＝π2处取得最大值1，所以当x ＞0时，f (x )的图象与y ＝sin x 的图象的交点有且只有一个，即⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.又f (x )和y ＝sin x 均为奇函数，所以根据对称性知当x ＜0时，两函数图象有且只有一个交点．又两函数图象均过原点，所以函数f (x )的图象与y ＝sin x 图象的交点个数为3，即函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点个数是3.]12．(2019·郑州模拟)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( ) A. 3 B. 6 C ．2 D ．4B [不妨设F 1位于x 轴负半轴，F 2位于x 轴正半轴，A (x 0，y 0)位于第一象限，如图所示．设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．作抛物线的准线l ，则l 过F 1，过A 作AD 垂直于准线l 于点D ，由抛物线的定义可得|AD |＝x 0＋p2＝|AF 2|＝52，所以y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6.因为点A 在抛物线上，所以y 20＝2px 0＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧2px 0＝6，x 0＋p 2＝52，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝32或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，x 0＝1，又∠AF 2F 1为钝角，所以p ＝2，所以F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，所以△AF 1F 2的面积S ＝12×2×6＝ 6.]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－ln x2x－2的定义域为________． {x |0＜x ≤e，且x ≠1} [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，2x－2≠0，解得0＜x ≤e，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |0＜x ≤e，且x ≠1}．]14．已知曲线y ＝1x ＋ln xa在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．25 [因为y ＝f (x )＝1x ＋ln x a ，所以f ′(x )＝－1x 2＋1ax ，所以曲线y ＝1x ＋ln x a 在x ＝1处的切线l 的斜率k ＝f ′(1)＝－1＋1a .直线2x ＋3y ＝0的斜率k ′＝－23.因为切线l 与直线2x＋3y ＝0垂直，所以⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝25.]15．(2019·洛阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＋cos A ＝2，c ＝2b ，|AB →＋2AC →|＝6，则边长a 的值为________．3 [由3sin A ＋cos A ＝2得，sin(A ＋30°)＝1，又0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.由|AB →＋2AC →|＝6，得(AB →＋2AC →)2＝36，即|AB →|2＋4AB →·AC →＋4|AC →|2＝36，又c ＝2b ，所以4b 2＋4×2b ×b ×cos 60°＋4b 2＝36，得b ＝3，则c ＝2 3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3＋12－2×3×23×12＝9，得a ＝3.]16．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，ED ∥PA ，且PA ＝3ED ＝3AB ，现将△CDE 以直线DE 为轴旋转一周，则直线BP 与动直线CE 所成角的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 [如图①，在多面体PABCDE 中，过点B 作BG ∥CE ，则∠PBG 即为PB 与动直线CE 所成的最小角．因为AB ＝1，AP ＝3，PA ⊥AB ，所以∠PBA ＝π3.易得AG＝DE ＝1，所以∠GBA ＝π4，所以∠PBG ＝π3－π4＝π12.△CDE 以直线DE 为轴旋转一周得到一个圆锥，如图②所示，其中CC ′为底面圆的直径．在图①中过点E 作EF ∥PB ，交CD 于F ，在图②中作同样的点F ，则∠CEF ＝π12，又DE ＝CD ＝1，所以∠CED ＝π4，所以∠CEC ′＝π2，则∠FEC ′为BP 与动直线CE 所成的最大角，∠FEC ′＝π2－π12＝5π12，故BP 与动直线CE 所成角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.① ②]。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析七.docx
全国十所重点中学高考数学二模试卷（理科）（四）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A ∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]【考点】：对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解析】：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．【点评】：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假．【解析】：解：复数z===1+i的四个命题：p1：|z|=≠2，因此是假命题；p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx ≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：令y=x﹣sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；由命题的逆否命题，先将体积、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断④．【解析】：解：对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x ﹣sinx≠0”，则②对；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．则④对．综上可得，其中正确的叙述共有3个．故选C．【点评】：本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．4．（5分）如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是（）A．π+24 B．π+20 C．2π+24 D．2π+20【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积．【解析】：解：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，s1=6×2×2﹣π×12=24﹣π，s2==2π，故s=s1+s2=π+24故选：A．【点评】：由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征．5．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7．（5分）对于函数f（x）=x3cos3（x+），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（）上递减B．f（x）是奇函数且在（）上递增C．f（x）是偶函数且在（）上递减D．f（x）是偶函数且在（）上递增【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：探究型．【分析】：由题设条件知，可先化简函数解析式，再研究函数的性质，根据得出的函数的性质选出正确选项【解析】：解：f（x）=x3cos3（x+）=x3cos（3x+）=﹣x3sin3x 由于f（﹣x）=﹣x3sin3x=f（x），可知此函数是偶函数，又x3与sin3x在（）上递增，可得f（x）=﹣x3sin3x在（）上递减，对照四个选项，C正确故选C【点评】：本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性的判断方法与函数单调性的判断方法，除了用定义法判断之外，掌握一些基本函数的单调性，利用基本函数的单调性判断一些由这些基本函数组合的函数的性质可以方便解题8．（5分）（2015•甘肃二模）定义：在数列{a n}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20152﹣1 B．4×20142﹣1 C．4×20132﹣1 D．4×20132【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：确定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出结论．【解析】：解：由题意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用叠乘法可得==4×20142﹣1，故选：B．【点评】：本题考查新定义，考查数列通项的求解，解题的关键是对新定义的理解．9．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，5] C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：函数在区间（1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；【解析】：解：∵f（x）=x4﹣x3﹣x2，∴f′（x）=x3﹣x2﹣3x，∴f″（x）=x2﹣mx﹣3，∵f（x）为区间（1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在区间（1，3）上恒成立，∴，解得m≥2故选：D．【点评】：本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．10．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．【解析】：解：Grace不参与该项任务，则有=30种；Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．【点评】：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C 的离心率的取值范围．【解析】：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+P1F1＞P1F2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）【点评】：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知实数a，b，c，d满足==1其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．18第Ⅱ卷【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由已知得点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x ﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．由此能求出（a ﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．【解析】：解：∵实数a，b，c，d满足==1，∴b=a ﹣2e a，d=2﹣c，∴点（a，b）在曲线y=x﹣2e x上，点（c，d）在曲线y=2﹣x上，（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方．考查曲线y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线，∵y′=1﹣2e x，求出y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线方程，∴令y′=1﹣2e x=﹣1，解得x=0，∴切点为（0，﹣2），该切点到直线y=2﹣x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离，故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为d2=8．故选：A．【点评】：本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m= ．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由投影的定义即得，所以得到，解出m 即可．【解析】：解：根据投影的概念：；∴．故答案为：．【点评】：考查投影的概念，两向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，根据向量坐标求其长度．14．（5分）已知a=2cos（x+）dx，则二项式（x2+）5的展开式中x的系数为﹣80 ．【考点】：定积分；二项式定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：根据定积分的运算法则求出a的值，再根据二项式定理的公式，求出一次项的系数；【解析】：解：∵a=2cos（x+）dx=2sin（x+）=2sin （）﹣2sin=﹣2，∴二项式（x2+）5=（x2﹣）5，∴T r+1==，令10﹣3r=1，可得r=3，∴二项式（x2+）5的展开式中x的系数=﹣80；故答案为：﹣80；【点评】：此题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，是一道综合题，比较简单；15．（5分）对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义：为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为．【考点】：三角函数的化简求值．【专题】：计算题；压轴题；新定义．【分析】：先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解析】：解：因为集合相对a0的“正弦方差”，W======故答案为：．【点评】：本题主要考查了三角函数中二倍角，两角和公式的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．16．（5分）已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且PA=r（0＜r＜），记点P的轨迹长度为f（r）给出以下四个命题：①f（1）=π②f（）=π③f（）=π④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（，）上是减函数其中为真命题的是①④（写出所有真命题的序号）【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．【解析】：解：如图所示：①当0＜r≤1时，f（r）=3××r=r，f（）=，．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤＜5，②当1＜r≤时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=，∠EAF=﹣2∠DAF，∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2=，cos∠EAG=，∴f（r）=3rarccos+3rarccos；③当＜r≤时，∵CM=，∴，∴cos∠MAN==，∴f（r）=3rarccos，综上，当0＜r≤1时，f（r）=r，当1＜r≤时，f（r）=3rarccos+3rarccos；当＜r≤时，f（r）=3rarccos，故只有①④正确．故答案为：①④．【点评】：熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c 满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】：数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．【解析】：解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】：本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了l20份问巻．对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2x2列联表：（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由．附：独立性检验统计量K2=，其中n=a+b+c+d，独立性检验临界表：【考点】：独立性检验的应用．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）计算K2=≈3.03，可得结论．【解析】：解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下所以Eξ=0×+1×+2×+3×=；（2）K2=≈3.03因为2.706＜3.03＜3.840．所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即P=0.1．【点评】：本题考查随机变量ξ的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查学生分析解决问题的能力，知识综合．19．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC 所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF 就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点）①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD 面积的最小值．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）①设出直线方程，榴莲么抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；②运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值．【解析】：（1）解：由已知可得K（﹣，0），圆C：（x﹣2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1．设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|===，即有|CK|====3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）①证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4t=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=﹣18或2（舍去），即﹣4t=﹣18，解得t=．则有AB恒过定点Q（，0）；②解：由①可得|AB|=|y2﹣y1|=•，同理|GD|=|y2﹣y1|=•，则四边形AGBD面积S=|AB|•|GD|=•••=4，令m2+=μ（μ≥2），则S=4是关于μ的增函数，则当μ=2时，S取得最小值，且为88．当且仅当m=±1时，四边形AGBD面积的最小值为88．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，向量的数量积的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点（1）求常数b的值（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围（3）求证：对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得f′（0）=0，即可得到b=1；（2）求出f（x）的导数，对a讨论，①当a≤﹣时，②当a≥0时，③当﹣＜a＜0时，求出单调区间，求得最小值，即可得到a的范围；（3）对要证的不等式等价变形，可得ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②运用（2）中的结论，通过a的取值，即可得证．【解析】：（1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣b，根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0，解得b=1；（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，f′（x）=﹣aln（1+x）+﹣1f″（x）=﹣．①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f （0）=0．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（3）证明：要证对于任意的正整数n，不等式（1+）n．即证对于任意的正整数n，nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+）．即证ln（1+）＜＜（+1）ln（1+）．即证ln（1+）﹣＜0①，且（+1）ln（1+）﹣＞0②对于①相当于（2）中a=0，有f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．取x=，有ln（1+）﹣＜0；对于②相当于（2）中a=﹣1，有∀x∈[0，1]，f（x）≥0而且仅有f（0）=0．取x=，有（+1）ln（1+）﹣＞0成立．则有对于任意的正整数n，不等式（1+）n．【点评】：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和等价转化的思想方法是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解析】：（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（4分）（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．（10分）【点评】：本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解析】：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．【解析】：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练7
小题专项训练7 平面向量一、选择题1．(2019年福建厦门模拟)已知点A (－1,1)，B (0,2)，若向量AC →＝(－2,3)，则向量BC →＝( ) A ．(3，－2) B ．(2，－2) C ．(－3，－2) D ．(－3,2)【答案】D【解析】由A (－1,1)，B (0,2)，可得AB →＝(1,1)，所以BC →＝AC →－AB →＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故选D ．2．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形 【答案】C【解析】因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝DC →，四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，则四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．3．(2018年河北石家庄模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，m )，c ＝(2,4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( )A ．－310B ．310C ．110D ．－110【答案】B【解析】因为2a －5b ＝(4,2)－(5,5m )＝(－1,2－5m )．又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，即(－1,2－5m )·(2,4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310.4．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ．3B ．23C ．3D ．4 【答案】D【解析】因为a·(a －b )＝a·a －a·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.5．(2019年广东潮州模拟)已知向量a ，b 为单位向量，且a ＋b 在a 的方向上的投影为32＋1，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】A【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由a ，b 为单位向量可得|a|＝|b|＝1.a ＋b 在a 方向上的投影为(a ＋b )·a |a|＝a 2＋ab |a|＝|a|2＋|a||b|cos θ|a |＝1＋cos θ，所以1＋cos θ＝32＋1，得cos θ＝32.又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.故选A ．6．(2019年辽宁模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，则( )A ．AD →＝213AC →＋913AB →B ．AD →＝29AC →＋127AB →C ．AD →＝313AC →＋613AB →D ．AD →＝313AC →＋913AB →【答案】D【解析】由题图的特征及DF ＝2AF ，易得BD →＝13BE →，CE →＝13CF →，AF →＝13AD →，所以AD →＝AB→＋13BE →，BE →＝BC →＋13CF →，CF →＝CA →＋13AD →.所以AD →＝AB →＋13⎣⎡⎦⎤BC →＋13⎝⎛⎭⎫CA →＋13AD →.所以2627AD →＝AB →＋13BC →＋19CA →＝AB →＋13(AC →－AB →)－19AC →＝29AC →＋23AB →.所以AD →＝313AC →＋913AB →.故选D ． 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－2，12 B ．⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D ．[－2，＋∞)【答案】B【解析】当a ，b 共线时，2k －1＝0，解得k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0，得k >－2.又k ≠12，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B ． 8．(2018年安徽合肥校级联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( )A ．16B ．13C ．29D ．1318【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.9．已知向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1，3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( )A ．52B ．102C ．5D ．10【答案】C【解析】由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )．∵m ＋n ＝1(m >0，n >0)，∴n ＝1－m 且0<m <1.∴OC →＝(1＋2m,4m －3)，则|OC →|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0<m <1)．∴当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5. 10．(2019年湖南长沙模拟)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点D ，E 满足AD →＝λAB →，AE →＝(1－λ)AC →(λ∈R )，若BE →·CD →＝5，则λ＝( )A ．2B ．3C ．95D ．－13【答案】B【解析】由题意得BE →＝AE →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →＝λAB →－AC →，所以BE →·CD →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＋(1＋λ－λ2)A C →·AB →.又∠A ＝90°，则AC →·AB →＝0.而AB →＝1，AC →＝2，所以4(λ－1)－λ＝5，解得λ＝3.故选B ． 11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且向量a ，b 不共线，则下列说法错误的是( )A ．|a|＝|b|＝1B ．(a ＋b )⊥(a －b )C ．a 与b 的夹角等于α－βD ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等 【答案】C【解析】由夹角公式可得cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，当α－β∈[0，π]时，〈a ，b 〉＝α－β，当α－β∉[0，π]时，〈a ，b 〉≠α－β，C 错误．易得A ，B ，D 正确．故选C ．12．(2018年四川雅安模拟)如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动，若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－2，2]C ．⎣⎡⎦⎤－12，12D ．⎣⎡⎦⎤－22，22 【答案】A【解析】以A 为原点，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，P (cos α，sin α)(－90°≤α≤90°)，则AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－1,1)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12.∵AP →＝λED →＋μAF →，∴cos α＝－λ＋32μ，sin α＝λ＋12μ，解得λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cosα＋sin α)．∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)．∵－90°≤α≤90°，∴－2≤2sin(α－45°)≤1.故选A ．二、填空题13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n ＝________. 【答案】－3【解析】由a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，可得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.14．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b·(2a －b )的值为________．【答案】－18【解析】因为a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，所以a·b ＝－3，b·(2a －b )＝2a·b －b 2＝－18.15．已知A ，B ，C 为单位圆O 上任意三点，OC →·OB →＝0，OB →·OA →＝－12，OA →·OC →＝－32，若OA 的中点为E ，则CE →·CB →的值为________．【答案】3＋34【解析】由题意，设B (1,0)，C (0,1)，A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，∴OB →·OA →＝x ＝－12，OA →·OC→＝y ＝－32.∴A ⎝⎛⎭⎫－12，－32，OA 的中点为E ⎝⎛⎭⎫－14，－34.∴CE →·CB →＝⎝⎛⎭⎫－14，－34－1·(1，－1)＝－14＋34＋1＝3＋34.16．(2018年江苏南京模拟)O 是平面α上一定点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点，∠B ，∠C 分别是边AC ，AB 的对角，给出以下命题：①若点P 满足OP →＝OA →＋PB →＋PC →，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中； ②若点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③若点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C (λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④若点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C (λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中． 其中正确命题的序号是________． 【答案】②③④【解析】对于①，由OP →＝OA →＋PB →＋PC →，知P A →＋PB →＋PC →＝0，故点P 是△ABC 的重心，①错误；对于②，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，知AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∵AB →|AB →|与AC →|AC →|分别表示AB →与AC →方向上的单位向量，故AP 平分∠BAC ，∴△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，由OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C ，知AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C ，在△ABC 中，∵|AB →|sin B ，|AC →|sin C 都表示BC 边上的高h ，故AP →＝λh (AB →＋AC →)＝2λh AD →(其中D为BC 的中点)，即点P 在BC 边上的中线所在直线上，∴△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，由已知得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，则AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·BC →，得AP →·BC →＝0，即点P 在边BC 上的高线所在直线上，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确．综上，②③④正确．。
2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及参考答案七(精品试题).docx
高三二模理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合}9log |{},0124|{312>=<-+=x x B x x x A ，则B A ⋂等于A 、)2,31(- B 、（-2，3） C 、（-2，2） D 、（-6，-2） 2、已知复数iaiZ 21510--=的实部与虚部之和为4，则复数Z 在复平面上对应的点在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知)6cos()42(cos 2ππ+=+x x ，则x cos 等于A 、33 B 、33- C 、31D 、31-4、已知向量a 与b 的夹角为︒60，5||,2||==b a ，则a b a 在-2方向上的投影为A 、23B 、2C 、25 D 、35、如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-0102201x y x y x ，则y x Z 3221+-=的最大值为A 、1B 、43C 、0D 、74 6、已知435522105)1()1()1()21(a a x a x a x a a x ++++++++=-，则Λ等于A 、0B 、-240C 、-480开始S=0，i=1 S=S+2i-1i=i+1D 、9607、执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的 A 、5),4,2(的值为输出i a ∈∀ B 、5),5,4(的值为输出i a ∈∃ C 、5),4,3(的值为输出i a ∈∀ D 、5),4,2(的值为输出i a ∈∃8、已知函数)3sin(sin 2)(ϕ+=x x x f 是奇函数，其中)2,0(πϕ∈，则函数)2cos()(ϕ-=x x g 的图像A 、对称关于点)0,12(πB 、可由函数)(x f 的图像向右平移3π个单位得到C 、可由函数)(x f 的图像向左平移6π个单位得到 D 、可由函数)(x f 的图像向左平移3π个单位得到 9、已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意1)1(1)()(,212121=->--<f x x x f x f x x ，且有，则不等式|13|log 2|)13|(log 22--<-x x f 的解集为A 、)0,(-∞B 、)1,(-∞C 、)3,0()0,1(⋃-D 、)1,0()0,(⋃-∞10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 、314 B 、5 C 、316D 、6 11、已知点A 是抛物线2222)4(:)0(2:a y x C p px y M =-+>=与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a 。
2020届高考数学(理)二轮复习模拟卷：7 Word版含答案
2020届高考数学(理)二轮复习模拟卷71、已知集合{|2,0}x A y y x ==>,2{|log (2)}B x y x ==-,则R ()A B ⋂=ð( ) A.[0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,)+∞2、已知:2,2p x x =-=则p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知{}n a 为等差数列，若3562a a +=，则6103a a +=（ ） A.18B.24C.30D.324、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为( )A. 22136108x y -=B. 221927x y -=C. 22110836x y -=D. 221279x y -=5、下列结论正确的是( ) A.当0x >且1x ≠，1ln 2ln x x+≥ B. 当0x >时，ln x x > C.当2x ≥时，1x x -无最小值 D.当2x ≥时，12x x+≥ 6、若6(ax展开式的常数项为60，则a 的值为( ).A.4B.4±C.2D.2±7、已知定义在R 上的函数()f x 在(,4)-∞-上是减函数,若()(4)g x f x =-是奇函数,且(4)0g =,则不等式()0f x ≤的解集是( )A.(](],84,0-∞-⋃-B.[)[)8,40,--⋃+∞C.[][)8,40,--⋃+∞D.[]8,0-8、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2cos cos cos ,2,b B a C c A b =+=则ABC △面积的最大值是（ ）A.1 C.4 D.69、如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -,,其三视图如图所示，则异面直线1B A 与1A C 所成角的余弦值为()A.4510、若将函数π()cos(2)12f x x =+的图像向左平移π8个单位长度,得到函数()g x 的图像,则下列说法正确的是( ) A.()g x 的最小正周期为4π B.()g x 在区间π[0,]2上单调递减.C.()g x 图像的一条对称轴为直线π12x = D.()g x 图像的一个对称中心为7π(,0)1211、抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 在直线1y x =-上，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，则OPQ △的面积( ) A. 1B. 2C. 3D. 412、已知函数()()()131e 4e ,x f x x mx m +=++≥-若有且仅有两个整数使得()0,f x ≤则实数m 的取值范围是( ) A. 5,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 258,2e 3e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 218,23e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 54e,2e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭13、设变量 ,x y 满足约束条件10240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =-的最大值为_____. 14、执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ．15、已知数列{}n a 的首项11,a =函数31π()(cos)2n n n f x x a a +=+--为奇函数,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2019S 的值为___________.16、设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点,E F 在棱11A B 上，动点,P Q 分别在棱,AD CD 上，若11,,,,,0()EF A E x DQ y DP z x y z ====>，则下列结论中正确的是 .①//EF 平面DPQ ;②三棱锥P EFQ -的体积与y 的变化有关，与x z ,的变化无关： ③异面直线EQ 和1AD 所成角的大小与x y z ,,的变化无关.17、在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222b c a bc +=+. (1)求角A 的大小；(2)若sin 2sin cos A B C =，试判断ABC △的形状并给出证明.18、如图所示，等腰梯形ABCD 的底角60BAD ACD ∠=∠=，直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，且90EDA ∠=，222ED AD AF AB ====.1.证明：平面ABE 平面EBD；2.点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦.19、基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验。
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其中正确命题的序号是________．
【答案】②③④
O→P O→A P→B P→C P→A P→B P→C 【解析】对于①，由 ＝ ＋ ＋ ，知 ＋ ＋ ＝0，故点 P 是△ABC 的重心，
( ) O→P O→A
A→B A→C ＋
|A→B| |A→C|
( ) A→B A→C ＋ A→P |A→B| |A→C|
＝(－3,2)．故选 D．
A→B C→D
A→B A→D A→C
2．平面四边形 ABCD 中， ＋ ＝0，( － )· ＝0，则四边形 ABCD 是( )
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．梯形
【答案】C
【解析】因为A→B＋C→D＝0，所以A→B＝D→C，四边形 ABCD 是平行四边形．又(A→B－A→D)· A→C D→B A→C
B→C＋1 3
C→A＋1A→D 3
.所以2267A→D＝
A→B＋13B→C＋19C→A＝A→B＋13(A→C－A→B)－19A→C＝29A→C＋23A→B.所以A→D＝133A→C＋193A→B.故选 D．
7．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的取值范围是( )
点，∠B，∠C 分别是边 AC，AB 的对角，给出以下命题： O→P O→A P→B P→C
①若点 P 满足 ＝ ＋ ＋ ，则△ABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
( ) O→P O→A
A→B A→C ＋
|A→B| |A→C|
②若点 P 满足 ＝ ＋λ
(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集
【答案】D
( ) ( ) 3
1
0，
－ ，0
【解析】如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得 A 2 ，D 6 ，E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ，0 6
，∴A→D＝
1 － ，－
6
3 2
，A→E＝
1 ，－ 6
3 2
，∴A→D·A→E＝
1 － ，－
6
3 2
·
1 ，－ 6
3 2
1 3 13 ＝－36＋4＝18.
2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得 m＝2，n＝5，故 m－n＝－3.
17π 14．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2 3，a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 3 ，则 b·(2a－b)
的值为________．
【答案】－18
【解析】因为 a 与 b 的夹角的余弦值为 sin
17π 3 3 ＝－ 2 ，所以 a·b＝－3，b·(2a－b)
∴－ 2≤ 2sin(α－45°)≤1.故选 A．
二、填空题
13．已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 m
a＋n
b＝(9，－8)(m，n∈R)，则
m－n＝________.
【答案】－3
【解析】由 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得 m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则
C．a 与 b 的夹角等于 α－β
D．a 与 b 在 a＋b 方向上的投影相等
【答案】C a·b
【解析】由夹角公式可得 cos〈a，b〉＝|a|·|b|＝a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， 当 α－β∈[0，π]时，〈a，b〉＝α－β，当 α－β∉[0，π]时，〈a，b〉≠α－β，C 错误．易得
( )1
O→ C
O→ C
0<m<1.∴ ＝(1＋2m,4m－3)，则| |＝
1＋2m2＋4m－32＝
20 m－ 2＋5 2 (0<m<1)．∴
当 m＝12时，|O→C|min＝ 5. 10．(2019 年湖南长沙模拟)在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点 D，E 满足
A→D A→B A→E
( )1
－2， A． 2
( ) ( ) 1 1
－2，
，＋∞
B． 2 ∪ 2
C．(－2，＋∞)
D．[－2，＋∞)
【答案】B
1
【解析】当 a，b 共线时，2k－1＝0，解得 k＝2，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，所以
1
要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0 且 a，b 不共线．由 a·b＝2＋k>0，得 k>－2.又 k≠2，
1 4＋2|b|×2＝8，解得|b|＝4.
5．(2019 年广东潮州模拟)已知向量 a，b 为单位向量，且 a＋b 在 a 的方向上的投影为
3 2 ＋1，则向量 a 与 b 的夹角为( )
π A．6
π C．3
π B．4
π D．2
【答案】A
【解析】设向量 a，b 的夹角为 θ，由 a，b 为单位向量可得|a|＝|b|＝1.a＋b 在 a 方向上
9．已知向量O→A＝(3,1)，O→B＝(－1，3)，O→C＝mO→A－nO→B (m>0，n>0)，若 m＋n＝1，则| O→ C
|的最小值为( )
5
10
A． 2 C． 5
B． 2 D． 10
【答案】C
【解析】由O→A＝(3,1)，O→B＝(－1,3)，得 O→C O→A O→B
＝m －n ＝(3m＋n，m－3n)．∵m＋n＝1(m>0，n>0)，∴n＝1－m 且
A→C
B→E C→D
＝λ ， ＝(1－λ) (λ∈R)，若 · ＝5，则 λ＝( )
A．2
B．3
9
1
C．5
D．－3
【答案】B
B→E A→E A→B
A→C A→B C→D A→D A→C A→B A→C
B→E
【解析】由题意得 ＝ － ＝(1－λ) － ， ＝ － ＝λ － ，所以 ·
C→D＝(λ－1)A→C2－λA→B2＋(1＋λ－λ2)A→C ·A→B.
A，B，D 正确．故选 C．
12．(2018 年四川雅安模拟)如图，在四边形 ABCD 中，
AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F 分别为 AB，BC 的中点，点 P 在以 A 为圆 A→P E→D A→F
心，AD 为半径的圆弧 DEM 上变动，若 ＝λ ＋μ ，其中 λ，μ∈R，则 2λ－μ 的取值范 围是( )
＝ · ＝0，则四边形对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 是菱形．
3．(2018 年河北石家庄模拟)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，m)，c＝(2,4)，且(2a－5b)⊥c，
则实数 m＝( )
3 A．－10
3 B．10
1 C．10
1 D．－10
【答案】B
【解析】因为 2a－5b＝(4,2)－(5,5m)＝(－1,2－5m)．又(2a－5b)⊥c，所以
小题专项训练 7B→C
1．(2019 年福建厦门模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量 ＝(－2,3)，则向量 ＝( )
A．(3，－2)
B．(2，－2)
C．(－3，－2)
D．(－3,2)
【答案】D
【解析】由 A(－1,1)，B(0,2)，可得A→B＝(1,1)，所以B→C＝A→C－A→B＝(－2,3)－(1,1)
( ) ( ) ( ) O→C ＝y＝－
3 2 .∴A
1 － ，－
2
3 2
，OA
的中点为
E
1 － ，－
4
3 4
C→E C→B .∴ · ＝
1 － ，－
4
3 －1 4
·(1，－1)
1 3 3＋ 3 ＝－4＋ 4 ＋1＝ 4 .
16．(2018 年江苏南京模拟)O 是平面 α 上一定点，A，B，C 是平面 α 上△ABC 的三个顶
A→C
＋ A→P |A→B|sin B |A→C|sin C
②正确；对于③，由 ＝ ＋λ
，知 ＝λ
，
A→B 在△ABC 中，∵| |sin
A→C B，| |sin
C 都表示 BC 边上的高 h，故A→P＝hλ(A→B＋A→C)＝2hλA→D(其中
D 为 BC 的中点)，即点 P 在 BC 边上的中线所在直线上，∴△ABC 的重心一定在满足条件的
3
(2a－5b)·c＝0，即(－1,2－5m)·(2,4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得 m＝10.
2π
4．已知平面向量 a，b 的夹角为 3 ，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为 a·(a－b)＝a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以
A→B A→C |A→B| |A→C|
①错误；对于②，由 ＝ ＋λ
，知 ＝λ
，∵ 与 分别表示
A→B A→C 与 方向上的单位向量，故 AP 平分∠BAC，∴△ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合
中，
( ) O→P O→A
A→B
A→C
＋ |A→B|sin B |A→C|sin C
( ) A→B
B．A→D＝29A→C＋217A→B
C．A→D＝133A→C＋163A→B
D．A→D＝133A→C＋193A→B
【答案】D
【解析】由题图的特征及 DF＝2AF，易得B→D＝13B→E，C→E＝13C→F，A→F＝13A→D，所以A→D＝
[ ( )] A→B＋13B→E，B→E＝B→C＋13C→F，C→F＝C→A＋13A→D.所以A→D＝A→B＋13
＝2a·b－b2＝－18.
15．已知 A，B，C 为单位圆 O 上任意三点，