高考数学总复习平面向量的概念与线性运算但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习 5-1 平面向量的概念与线性运算但因为测试 新人教B 版1.(文)(2011·宁波十校联考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) ＋PB →＝0 ＋P A →＝0 ＋PC →＝0 ＋PB →＋PC →＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →?P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.(理)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )＝OD → ＝2OD →＝3OD → D ．2AO →＝OD →[答案] A[解析] ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →.2．(文)(2011·皖南八校联考)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b 的”( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则存在实数λ，使a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故选A.(理)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形． 又(AB →－AD →)·AC →＝0，∴DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ， 因此四边形ABCD 是菱形，故选B.3．(文)如图所示，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )a ＋13b B ．－12a ＋14ba ＋14b D ．－13a ＋13b[答案] B[解析] ∵AE →＝3ED →，∴ED →＝14AD →，∵BD →＝12DC →，∴BD →＝13BC →，∴BE →＝BD →－ED →＝BD →－14AD →＝BD →－14(AB →＋BD →)＝34BD →－14AB →＝14BC →－14AB →＝14AC →－12AB →＝14b －12a .(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )a ＋12b a ＋23b a ＋14b a ＋13b [答案] D[解析] 由条件易知，DF →＝13DC →，∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.4．(2011·福建福州质量检查)如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a 、b 如图，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] 连接图中向量a 与b 的终点，并指向a 的终点的向量即为a －b ，∴a －b ＝e 1－3e 2.5．(文)(2011·厦门模拟)已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋12OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．0[答案] D[解析] ∵x ＋12＋13＝1，∴x ＝16.(理)(2011·惠州模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝λCA →＋μCB →，则μλ的值为( ) A ．1 C ．2 [答案] C[解析] CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →∴λ＝13，μ＝23，∴μλ＝2.6．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP ||PB |＝2，如图所示，则OP →＝( )e 1－23e 2e 1＋13e 2e 1＋23e 2e 1－13e 2[答案] C[解析] AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB →－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2.7.(2011·山东济南市调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．[答案]311[解析] (如图)因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.8．(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________. [答案] 13[解析] ∵OC →＝23OA →＋13OB →，23＋13＝1，∴A 、B 、C 三点共线，∵AC →＝OC →－OA →＝13OB →－13OA →＝13AB →，∴|AC →||AB →|＝13. (理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中， λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43[解析]如图，∵ABCD 是?，且E 、F 分别为CD 、BC 中点． ∴AC →＝AD →＋AB → ＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9．(2011·泰安模拟)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1. 10．(文)如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c 、d 表示AB →、AD →.[解析] 解法一：AD →＝AM →－DM →＝c －12AB →①AB →＝AN →－BN →＝d －12AD →②由①②得AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M 、N 分别为CD 、BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，于是有： ⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ，解得⎩⎨⎧a ＝23?2d －c ?b ＝23?2c －d ?，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．(理)如图，在△ABC 中，AM AB ＝13，AN AC ＝14，BN 与CM 交于P 点，且AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.[分析] 由已知条件可求AM →、AN →，∵BN 与CM 相交于点P ，∴B 、P 、N 共线，C 、P 、M 共线，因此，可以设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，利用同一向量的两种a ，b 的线性表示及a 、b 不共线求解；也可以设BP →＝λBN →，用a 、b ，λ来表示CP →与CM →，利用CP →与CM →共线及a 、b 不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．[解析] 由题意知：AM →＝12AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b .BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb .∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb ，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb ，而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a＋211b .[点评] ∵P 是CD 与BE 的交点，故可设DP →＝λDC →，利用B 、P 、E 共线，∴BP →与BE →共线，求出λ，从而AP →＝AD →＋DP →获解.11.(2011·山东青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012[答案] A[解析] 由题意知，a 1＋a 2010＝1， 又数列{a n }为等差数列，所以S 2010＝a 1＋a 20102×2010＝1005，故选A.12．(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足3P A →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△P AC 的面积为( )S S S S [答案] C [分析]由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3(P A →＋PB →)＋2(PB →＋PC →)＝0，故可先构造出P A →＋PB →与PB →＋PC →，假设P 为P ′点，取AB 、BC 中点M 、N ，则PM →＝12(P A →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，条件式即转化为PM →与PN →的关系．[解析] 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ， 则PM →＝12(P A →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，∵3P A →＋5PB →＋2PC →＝0， ∴3(P A →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)，∴3PM →＝－2PN →，即点P 在中位线MN 上， ∴△P AC 的面积为△ABC 面积的一半，故选C.(理)(2011·东北三校联考)在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )[答案] C[解析] ∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， ∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线， ∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →(0<x <1)， ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋(x 2－1)AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋(x 2－1)AC →＝t (－AC →＋13AB →)， ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C. 13．已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－2?1－y ?，解得x ＝－2，y ＝－1. 14．(文)(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示) [答案] －23e 1＋512e 2 [解析] ∵NC →＝14AC →＝14e 2，∴CN →＝－14e 2， ∵BM →＝12MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →＝e 2－e 1， ∴MC →＝23(e 2－e 1)，∴MN →＝MC →＋CN →＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2. (理)(2010·聊城市模拟)已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 如图，∵D 是BC 中点，将△ABC 补成平行四边形ABQC ，则Q 在AD 的延长线上，且|AQ |＝2|AD |＝2|DP |，∵P A →＋BP →＋CP →＝BA →＋CP →＝0，∴BA →＝PC →，又BA →＝QC →，∴P 与Q 重合，又∵AP →＝λPD →＝－2PD →，∴λ＝－2.15．(文)已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？[解析] (1)AB →＝(x,1)，CD →＝(4，x )．∵AB →∥CD →，∴x 2－4＝0，即x ＝±2.(2)当x ＝±2时，AB →∥CD →.当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2,1)，∴AB →∥BC →.此时A 、B 、C 三点共线，从而，当x ＝－2时，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上．但x ＝2时，A 、B 、C 、D 四点不共线．(理)(2011·济南模拟)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．[解析] 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ，得OP →－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP →＝λAD →，∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点(或△ABC 的重心)．1．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形[答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．(2011·银川模拟)已知a 、b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R)，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1 [答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在t ∈R ，使AB →＝tAC →，∴λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝ta ＋tμb ，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝tμ，即λμ＝1. 3．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解析] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →、BD →共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解：∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.4．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？(2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．(4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )．(1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <02＋3t >0.∴－23<t <－13. (3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )．若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝32＋3t ＝3，而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2＋3t ， ∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．。