SOR2_排队论
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
第十二章排队论
排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医 院看病常常要排队。
此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等） 的容量，也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。
这 种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢 纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无 形的排队现象。
由于顾客到达和服务时间的随机性，可以说排队现象几乎是不 可避免的。
如果增添服务设备，就要增加投资或发生空闲浪费；如果服务设备太少， 排队现象就会严重，对顾客个人和对社会都会带来不利影响。
因此，管理人员 必须考虑如何在这两者之间取得平衡，经常检查目前处理是否得当，研究今后 改进对策，以期提高服务质量，降低成本。
排队论（Queueing Theory ）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题 而发展的一门学科，它研究的内容有下列三部分：（ 1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是研究队长分布、 等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。
（ 2）最优化问题， 又分静态最优和动态最优， 前者指最优设计，后者指现 有排队系统的最优运营。
（ 3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型， 以便根据排队理论进行分析研究。
这里将介绍排队论的一些基本知识，绍排队系统的最优化问题。
排队论一、排队过程的一般表示图 12-1 就是排队过程的一般模型。
各个顾客由顾客源（总体）出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完了后就离开。
排队结构指队列的数目和排列方式，排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中 按怎分析几个常见的排队模型，最后将介第一节 基本概念样的规则、次序接受服务的。
我们所说的排队系统就指图中虚线所包括的部分。
在现实中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”，要作广泛地理解，它现可以是人，也可以是非生物；队列可以是具体地排列，也可以是无形的（例如向电话交换台要求通话的呼唤）；顾客可以走向服务机构，也可以相反（如送货上门）。
排队论
X/Y/Z/A/B/C
X—顾客相继到达的间隔时间的分布；
Y—服务时间的分布；
M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔朗分布。
Z—服务台个数；
A—系统容量限制（默认为∞）；
B—顾客源数目（默认为∞）；
C—服务规则 （默认为先到先服务FCFS)。
3、到达间隔时间与服务时间的分布
泊松分布
负指数分布
爱尔朗分布
统计数据的分布判断
排队系统的构成及应用前景
排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。
一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。
2、排队系统的衡量指标
队长Ls—系统中的顾客总数；
排队长Lq—队列中的顾客数；
逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间；
等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；
忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；
服务强度ρ
稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。
评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。
排队论的应用非交通系统、计算机、存贮系统、生产管理系统等发面应用得最多。排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响它今后的发展方向。
排队论(脱产)PPT课件
等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。
排队论知识点(一)
排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。
队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。
排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。
排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。
根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。
2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。
根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。
3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。
4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。
5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。
排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。
M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。
2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。
到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。
3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。
到达过程仍然是泊松过程。
4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。
排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。
排队论的基本原理
排队论的基本原理排队论是一门研究排队系统的数学理论，它主要研究排队系统中顾客到达、排队、服务和离开等过程的规律性和性能指标。
排队论的基本原理包括到达过程、排队规则、服务机制和排队系统性能指标等内容，下面将逐一介绍。
首先，到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔和规律。
在排队论中，到达过程通常用到达率λ来描述，它表示单位时间内平均到达的顾客数。
到达过程的规律性对于排队系统的性能有着重要的影响，合理的到达过程模型可以帮助我们更好地设计和优化排队系统。
其次，排队规则是指顾客在排队系统中等待和被服务的规则。
常见的排队规则包括先来先服务（FCFS）、最短作业优先（SJF）、最短剩余服务时间优先（SRTF）等。
不同的排队规则对于系统的性能指标会产生不同的影响，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的排队规则。
服务机制是指顾客在排队系统中接受服务的方式和规则。
服务机制通常包括单一服务台、多个服务台、顾客限制、服务时间限制等内容。
合理的服务机制可以有效地提高系统的服务效率和顾客满意度，因此在设计排队系统时需要充分考虑服务机制的选择和优化。
最后，排队系统性能指标是评价排队系统性能优劣的重要指标。
常见的性能指标包括顾客平均等待时间、系统平均等待时间、系统繁忙度、系统利用率等。
这些指标可以帮助我们全面地了解排队系统的运行情况，从而进行合理的优化和改进。
在实际应用中，排队论的基本原理可以帮助我们更好地理解和分析排队系统，从而提高系统的效率和服务质量。
通过合理地设置到达过程、排队规则和服务机制，以及监控和优化系统性能指标，可以有效地改善排队系统的运行效果，满足顾客的需求，提升服务水平。
综上所述，排队论的基本原理是研究排队系统中各个环节的规律性和性能指标，通过合理地设置和优化这些环节，可以有效地提高排队系统的运行效率和服务质量，满足顾客的需求，实现经济效益和社会效益的双赢。
希望本文对排队论的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。
SPSS排队论模型
(2)服务机构 服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服 务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务， 在我们这儿介绍对顾客单独进行服务。设C为服务机构服务员个 数，当C=1时，为单服务系统，当C≥2，为多服务系统。和
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
时间所构成的序列 { n } 服从相互独立的且与某一随机 变量 有相同分布，其中 的概率分布是已知的可以 根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分 布(定长分布，一般独立分布等) (3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制， 消失制和混合制。所谓等待制(系统容量 D ) 就是当一个顾客到达时，若所有服务台均被占用时，该 顾客便排队等待服务；消失制也称即时制(系统容量D=C) 就是服务台被占用时顾客便即时离去；混合制也 称队长 有限制(系统容量D:C<D<k)就是一顾客到达若系统中顾客
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个 服务台的等待制排队模型。 “M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布， 单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达 排队 00…00
服务台
顾客离去
(2)多服务台的平衡系统
顾客到达 排队 00…00
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
(包括排队等待和正在接受服务的)数目小于k则他排队等 待，否则他即时离去，等待制服务的次序规则有先到先服 务随机服务，有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先 服务的系统。 3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计 服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否 合理，设计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目，它的期望值为 Ls ；排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数，其期望记为 Lq . 系统中的顾客数 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以 Lq (或Ls ) 越大，说明服务效率越低。
排队论的基本原理
排队论的基本原理：
排队论（Queuing Theory）是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，其基本原理主要包括以下几个方面：
1.排队系统的组成：排队系统通常由输入过程、排队规则和服务机构三个部分组成。
输入过程是指顾客到达服务系统的随机方式，排队规则是指顾客到达后按照怎样的规则排队等待服务，服务机构则是指服务的提供方式。
2.概率论和随机过程：排队论中需要用到概率论和随机过程的数学知识，如概率分布、
期望、方差等。
这些知识用于描述顾客到达和服务时间的统计规律。
3.状态分析：排队论中的状态分析主要是指对排队系统的状态进行描述和分类，如空
闲状态、忙状态等。
通过对状态的分析，可以确定系统的各种性能指标，如等待时间、队长等。
4.最优化原理：排队论中的最优化原理是指通过调整系统参数，如服务时间、服务速
率等，使得系统的性能指标达到最优。
最优化原理的目的是在满足一定约束条件下，使系统的某种性能指标达到最优。
5.可靠性理论：可靠性理论是排队论中的一个重要组成部分，它研究的是系统可靠性
的概念、指标和计算方法。
可靠性理论可以帮助我们分析系统的可靠性、故障率和可用性等方面的问题，为系统的设计和优化提供依据。
排队论(QueuingTheory)
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。 pn 稳态的物理意义见右图，系
统的稳态一般很快都能达到， 但实际中达不到稳态的现象 也存在。值得注意的是求稳 态概率Pn并不一定求t→∞ 的极限,而只需求Pn’(t)=0 即可。
Hale Waihona Puke P (t , t t ) o(t )
n2 n
P0+P1+P≥2=1
由此知，在(t，t+Δ t)区间内没有顾客到达的概率为：
P 0 (t , t t ) 1 t o(t )
令t1=0,t2=t,则P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)
过渡状态
稳定状态
t
14
图3 排队系统状态变化示意图
2019/2/7 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论主要知识点
排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 稳态概率Pn的计算 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型 [M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时 间，它的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的 时间，它的期望值记作Wq； 等待时间 服务时间
逗留时间
=
+
2019/2/7
管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239
排队论的基本原理
排队论的基本原理排队论是一门研究等待线性和服务系统的学科，它的基本原理是通过数学模型和概率统计来分析和优化排队系统，以提高效率和降低成本。
排队论在工程、管理、运筹学等领域有着广泛的应用，对于优化资源利用、提高服务质量和满足客户需求具有重要意义。
在排队论中，排队系统通常由输入过程、排队规则、服务机构和性能指标组成。
输入过程描述了顾客到达的规律，排队规则决定了顾客的排队方式，服务机构指明了服务的方式和效率，性能指标则用来评价系统的性能。
通过对这些因素的分析和建模，可以得出一些重要的结论和决策，从而优化排队系统。
排队论的基本原理可以总结为以下几点：1. 输入过程的特征对排队系统有重要影响。
输入过程通常由到达间隔时间分布和顾客到达的规律组成。
通过对输入过程的分析，可以确定系统的负荷情况，从而决定服务设施的规模和性能。
2. 排队规则对系统的性能有显著影响。
不同的排队规则会导致不同的等待时间和系统效率。
常见的排队规则包括先来先服务、最短任务优先、优先级队列等，选择合适的排队规则可以有效提高系统的服务质量。
3. 服务机构的性能决定了系统的效率和成本。
服务机构包括服务台的数量、服务人员的能力和服务时间的分布等因素，通过合理设计和管理服务机构，可以提高系统的服务水平和降低成本。
4. 性能指标是评价排队系统性能的重要指标。
常见的性能指标包括顾客的平均等待时间、系统的平均服务时间、系统的利用率、系统的平均排队长度等，通过对这些指标的分析和优化，可以改善系统的运行效果。
综上所述，排队论的基本原理是通过对排队系统的输入过程、排队规则、服务机构和性能指标的分析和优化，来提高系统的效率和服务质量。
在实际应用中，排队论可以帮助企业和组织优化资源配置、提高服务水平，满足客户需求，从而实现经济效益和社会效益的双赢。
排队论的研究和应用将在未来得到更广泛的发展和应用。
运筹学 排队论
运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。
排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。
本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。
什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。
排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。
•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。
排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。
常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。
到达过程的特征决定了顾客到达的规律。
服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。
常用的服务过程有指数分布、正态分布等。
服务过程的特征决定了服务的速度和效率。
排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。
常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。
这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。
性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。
排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。
M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
排队论的应用
排队论的应用引言排队论是一种用于研究排队系统行为的数学模型和方法。
排队论广泛应用于交通系统、生产线、客户服务等领域，以帮助分析和优化系统的性能。
本文将介绍排队论的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性和效果。
排队论的基本概念排队论是以排队系统为研究对象的数学理论。
排队系统由顾客、服务设备和队列组成。
顾客以一个特定的速率到达系统并等待服务。
服务设备以一定的速率为顾客提供服务。
排队论研究如何通过合理地分配服务设备和管理队列来达到最佳的系统效果。
排队论的基本概念包括：1.到达过程：描述顾客到达系统的规律，通常使用到达率来描述。
到达过程可以是常数过程、泊松过程或其他形式。
2.服务时间分布：描述服务设备为顾客提供服务所需要的时间，通常使用服务时间的均值和方差来描述。
服务时间可以是固定的、随机的或符合特定概率分布的。
3.服务台数：指的是系统中可同时提供服务的服务设备数量。
服务台数的多少直接影响到系统的性能。
排队论的原理排队论的基本原理是根据排队系统的参数，使用数学模型和方法来分析和优化系统的性能指标。
常见的性能指标包括顾客的平均等待时间、平均逗留时间和系统的利用率。
排队论的常用模型包括：1.M/M/1模型：该模型是最简单和最常用的排队论模型。
M/M/1模型假设到达过程和服务时间分布均符合指数分布，服务台数为1。
根据该模型，可以计算出系统的平均等待时间和平均逗留时间。
2.M/M/c模型：该模型是在M/M/1模型的基础上引入了多个服务台，用于分析多个服务设备对系统性能的影响。
通过该模型，可以评估并优化系统的利用率和服务设备的数量。
3.M/G/1模型：该模型适用于到达过程符合泊松分布、服务时间分布为一般概率分布的情况。
M/G/1模型的分析方法相对复杂，通常使用数值计算或仿真方法来求解。
排队论的应用领域排队论广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1.交通系统：排队论可用于分析城市交通系统中的拥堵问题。
运筹学中的排队论分析方法
运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支，被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。
排队论是运筹学的一个重要分支，它研究客户与服务设施之间的运作规律，以及对这些规律进行优化。
排队论可以应用于许多领域，例如生产线、银行、医院、交通、电信等。
排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息，解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。
运营商们也通过排队论找到了减少服务时间，减少成本和增加收益的方法。
排队论模型通常包括五个元素：客户、服务设施、等待行列、受服务的规则，以及长度测量方法。
客户需求量呈随机分布，服务设施数量有限且运营时间有限，等待时间呈指数分布。
排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。
排队论中最著名的模型是M/M/1模型，其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布，1表示只有一个服务设施的存在。
此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间，以及服务器的平均利用率等基本指标。
除此之外，排队论中还有其他经典模型，例如M/M/c模型，其中c表示有多个服务器可供选择。
排队论也适用于某些特殊情况的研究。
例如，当服务时间为几何分布时，M/G/1模型就成为了一种理想的情况。
在这个模型中，客户需求量和服务时间具有不同的分布。
G表示这些服务时间的分布可以是任意的。
另外，排队论也可以应用于网络中的传输分配模型，以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。
排队论模型可以被用于分析较小的网络，或者对于哪些带有网络化延迟的系统。
在实际应用中，排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。
通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施，以提高客户的体验和收益。
在医院中，排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程，减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。
总之，排队论是运筹学的重要分支，解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。
它在很多领域的帮助下，解决了大量的实践问题。
排队论 (2)
排队论概述排队论是研究排队系统的数学理论，排队系统是指在一定的输入流程下，有限数量的客户通过服务设备排队等待服务的过程。
排队论可以用来分析和优化各种服务系统，如银行、医院、机场等等。
在实际生活中，我们常常会遇到排队等待的情况，如购物时的排队结账、乘坐公交车时的候车等。
排队论可以帮助我们理解和预测这些排队系统的性能，从而提供改进和优化的方案。
重要概念排队系统的元素排队系统由以下几个重要元素组成：1.顾客/客户: 排队系统中需要接受服务的个体，如顾客、乘客等。
2.独立到达过程: 顾客到达的时间间隔服从某种概率分布。
3.队列: 用来存放等待服务的顾客的序列。
4.服务设备: 用来提供服务的设备或人员，如收银员、服务员等。
5.服务过程: 顾客从进入服务设备开始到完成服务的整个过程，包括服务时间、等待时间等。
常用性能度量排队系统的性能可以通过以下度量指标进行评估：1.排队长度: 队列中等待服务的顾客数量。
2.平均等待时间: 顾客在队列中等待服务的平均时间。
3.平均逗留时间: 顾客在系统中的平均逗留时间，包括等待和服务的时间。
4.系统利用率: 服务设备的利用率，即服务设备的工作时间占总时间的比例。
常见排队模型排队系统可以根据不同的特征进行不同的建模，常见的排队模型包括以下几种：1.M/M/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
2.M/M/c模型: 多个并行服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
3.M/G/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合一般分布，顾客到达时间符合指数分布。
4.M/D/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合确定分布，顾客到达时间符合指数分布。
排队论的应用排队论可以应用于各种排队系统的优化和改进，以下是一些常见的应用场景：银行排队系统优化银行是我们常见的排队系统之一，银行的服务质量和效率直接关系到客户的满意度。
排队论可以帮助银行分析和优化服务系统，提高服务效率和客户满意度。
排队论
第9章 排队论排队论是我们每个人都很熟悉的现象。
因为人或物或是信息为了得到某种服务必须排队。
有一类排队是有形的，例如在售票处等待买票的排队，加油站前汽车等待加油的排队等；还有一类排队是无形的，例如电话交换机接到的电话呼叫信号的排队，等待计算机中心处理机处理的信息的排队等。
为了叙述的方便，排队者无论是人、物、或信息，以后统称为“顾客”。
服务者无论是人，或事物，例如一台电子计算机也可以是排队系统中的服务者，我们以后统称为“服务员”。
排队现象是我们不希望出现的现象，因为人的排队意味着至少是浪费时间；物的排队则说明了物资的积压。
但是排队现象却无法完全消失，这是一种随即现象。
由于顾客到达间隔时间的随机性和为顾客服务时间的随机性是排队现象产生的原因。
如果上述的两个时间是固定的，我们就可以通过妥善安排来完全消除排队现象。
排队论是研究排队系统在不同的条件下（最主要的是顾客到达的随机规律和服务时间的随机规律）产生的排队现象的随机规律性。
也就是要建立反映这种随机性的数学模型。
研究的最终目的是为了运用这些规律，对实际的排队系统的设计与运行做出最优的决策。
排队论中的数学模型是根据概率和随机过程的理论建立起来的，我们先来讨论泊松过程和生灭过程，然后,再此基础上研究排队系统的结构及其主要的数学模型，最后研究排队系统的优化问题。
9.1泊松过程和生灭过程9.1.1 泊松过程如果用表示在[0时间内顾客到达的总数，则对于每个给定的时刻，都是一个随机变量。
随即变量族()N t ,]t t ()N t {(称作是一个随机过程。
)[0,]}N t t T ∈若对，有12n n t t t t +<<<"1111122(()(),(),,()n n n P N N N N t i t i t i t ++==="n i =11(()())n n n P N N t i t ++==n i = (9-1)则称随即过程{(为马尔柯夫过程。
《排队论模型》课件
《排队论模型》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将介绍排队论模型的基本概念和应用场景，探讨排 队论在实际生活中的应用，并分享一些有趣的排队问题。
什么是排队论
排队论是一门研究人类排队行为的学科，它研究的是排队过程中顾客到达的 规律、服务时间的分布、等待时间的估算等问题。
排队论的应用场景非常广泛，包括银行、超市、机场、医院等各种服务行业。 其目的是提高服务效率、降低等待时间，并优化服务资源的利用。
多队列模型
M/M/m模型
在多队列排队模型中，存在多个 排队队列和多个服务员。M/M/m 模型是其中一种典型模型，描述 顾客以指数分布到达并分散到多 个队列中的情况。
M/D/m模型
在M/D/m模型中，顾客到达过程 仍然符合指数分布，服务时间固 定为确定值，而多个队列分散顾 客到达过程和服务时间
排队论研究中的两个基本概念，随机到达过程描述顾客到达的时间间隔和规律，服务时间描 述服务员为顾客提供服务所需的时间。
列队长度和等待时间
排队论中的列队长度指的是正在排队等待服务的顾客数量，等待时间则是顾客在队列中等待 的时间。
列队模型
排队论研究中使用的数学模型，以描述排队系统中各种因素之间的关系，包括到达过程、服 务时间、列队长度和等待时间等。
4 机场排队问题
如何优化机场的安检流程，减少旅客的等待 时间和排队长度？
总结
• 排队论模型具有广泛的应用价值，可以优化服务行业中的资源利用和顾客体验。 • 未来，随着人工智能和大数据的发展，排队论模型将进一步发展并扩展到更多领域。 • 学习和实践排队论模型可以提高我们处理排队问题的能力，为实际问题提供更优化的解决方案。
单队列模型
1
M/M/1模型
单队列排队模型中的一种典型模型，描述顾客以指数分布到达、服务时间也以指 数分布的情况下的排队系统。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
数学SOR2排队论
专门的教材
Zipkin, P. H., Foundations of Inventory Management, McGraw Hill, Boston, 2000.
Evan L. Porteus, Foundations of Stochastic Inventory Theory, Stanford University Press, Californa, 2002.
顾客源：所有可能（潜在）顾客的全体 有限、无限
2、到达过程
I. 顾客的到达时间 0 T0 T1 T2 ... Tn Tn1 ... 顾客的到达间隔时间 Tn Tn Tn1
确定性的：{ΔT1, ΔT2, ΔT3, …}是普通的序列 随机性的：{ΔT1, ΔT2, ΔT3, …}是随机的序列
第二章 排队论
2.1 引言
2
2.2 排队系统的组成与分类
3
2.3 排队系统中的问题
20
2.4 M/M/1系统的分析
30
2.5 M/M/K型系统的分析
41
2.6 M/G/1和G/M/1排队系统的分析
58
2.7 排队系统的优化设计
73
2.8 应用排队论时需要考虑的若干问题 83
Waiting is Part of Everyone’s Life
服务完成离去
服务台K
2. 多服务台，一个队列排队系统
顾客源
队列1 队列2
服务台1 服务台2
服务完成离去
队列K
服务台K
3. 多服务台，多队列排队系统
顾客源
服务台1
队列1
服务台K
队列K
排队论的供给和需求
排队论的供给和需求
在人们的日常生活中常常会碰到拥挤和排队现象。
去医院看病、在邮局营业窗口等候服务等，这是有形排队。
除了有形排队之外，还有无形的排队，比如，由于上网人数多，网速大大减慢，这也是因为在“排队”。
增加资源，如增加服务窗口，多设几条跑道，网站设备扩容等，可以减少顾客排队现象。
但当顾客比较少时，必然会造成资源闲置。
由此可见，增加服务机构，当然可以减少排队现象，但却增加了服务成本；反之，减少服务机构，固然提高了服务机构的利用率，降低了成本，但却增加了顾客的排队等待时间。
这是相互矛盾的。
我们把顾客和服务方构成的系统称为排队系统。
电信网络中的信息流和信道，上网人员和网站设施等，都是顾客和服务员的系统。
由于顾客到达和服务时间都是不确定的，绝大多数排队系统工作于随机状态。
因此，研究排队系统的复杂性也就在于它的随机性。
排队论利用概率论和随机过程理论，研究排队系统内的服务机构和顾客需求之间的关系，以便在所需的服务质量标准得到充分满足的条件下，服务机构的费用最为经济。
这就是排队论研究的目的。
排队论就是试图通过详细的数学分析来回答这些问题：“顾客必须等待多久？”，“队列中有多少顾客？”，“需要多少服务窗口才能消除排队现象？”等。
排队论的应用相当广泛，特别是在通信的应用中，最初排队论主要应用在话务理论上，随着通信网的发展，在分析网络的性能，如网络的时延、吞吐量、利用率等都要用到排队理论。
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内容：
排队论
马氏决策过程 存贮论 教材：胡奇英，《随机运筹学》，清华大学出版社，2012. 参考书：温斯顿(Winston, W.L.), 运筹学概率模型应 用范例与解法(第四版)，清华大学出版社, 2006.8
专门的教材
排队论及其在现代通信中的应用,盛友招, 人民邮电出 版社, 2007. 排队论：基础与分析技术 ,唐应辉，唐小我, 科学出版 社, 2006. (数学要求高) 胡奇英，刘建庸, 马尔可夫决策过程引论，西安：西安 电子科技大学出版社，2000。
8. 服务台的利用率
U 1 0 0.9091
服务台有91%的时间在忙
表：收费站各性能指标值
收费员的平均服务率 汽车的平均到达率 系统中没有汽车的概率 平均等待的汽车数 每辆汽车平均等待时间 每辆汽车平均滞留时间 系统中的平均汽车数 汽车需要等待的概率 收费窗口的利用率 λ ＝66 μ ＝60 P0=0.0909 Lq=9.0909 Wq=0.1515 W=0.1667 L=10 pw= 0.9091 U=0.9091
平均来说，有9辆汽车在排队等待收费
指标3,4 3.平均等待时间
Wq Lq
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平均来说，每辆汽车平均需要排队等待0.1515小时， 约9分5秒钟
0.1515
4. 在系统中的平均滞留时间 1 W Wq 0.1667
平均来说，每辆汽车在收费站的停留时间是0.1667小时， 约10分钟
III. 控制问题 控制: 根据系统的运行情况随时调整参数值。
到达控制(允许控制)。对所到达的顾客是否允
许进入系统排队进行控制
服务控制。对服务台的服务速率、服务台的数
量的控制
路径控制。控制顾客在排队网络中的转移路径
IV. 建立模型
要想考虑前述排队问题，首先需要考虑它是否是一个排队现
象。若是, 再建立其排队模型，即考虑
Waiting is Part of Everyone’s Life
2.1 引言
排队论(Queueing Theory)是运筹学的一个重要 分枝，在生产管理、服务管理、现代集成制造 系统、计算机、网络信息管理、通讯等等方面 有着重要的应用。 排队论也称随机服务系统理论。最早是100年 前丹麦学者Erlang在研究电话交换机时提出的。
表：各性能指标计算公式
n (1 ) n 系统中有n个顾客的概率 0 1 系统空的概率
Qiying Hu and Wuyi Yue, Markov Decision Processes
with Their Applications, New York: Springer, 2008. 摄动马尔可夫决策与哈密尔顿圈, 刘克, 2009, 中国科
学技术大学出版社
专门的教材
Zipkin, P. H., Foundations of Inventory Management, McGraw Hill, Boston, 2000. Evan L. Porteus, Foundations of Stochastic Inventory Theory, Stanford University Press, Californa, 2002.
问题？
排队系统中有哪些人？
应该考虑这些人所关心的问题？
I. 顾客方面的指标
顾客的平均等待时间Wq，平均逗留时间W， 等待概率pw
II. 与服务员相关的指标 忙期，闲期，服务员忙的概率（利用率）
III. 系统拥挤程度及效率相关的指标 平均等待队长(系统中等待的顾客数)：Lq
系统中的平均顾客数：L 损失概率(等待容量有限时)
2.4.1 系统的刻划 各性能指标间的关系？哪个是重要？ N(t): 系统在t时刻的队长 N(t)是个什么过程？参数如何？
λ λ λ λ λ
n-1
λ
λ
n+1
0
μ
1
μ
2
μ
…
μ
n
μ μ
…
μ
图. M/M/1系统的状态转移强度图
稳态概率分布
定义话务强度
稳态概率分布为
0 1 i (1 ) i ,
i0
2.4.2 求系统的性能指标值 例1.1 某高速公路收费站只有一个收费窗口,管理
人员需要分析和了解在高峰时现有系统的性能， 他已经知道这个系统满足M/M/1排队系统的四个条 件，现在他需要估计这个收费窗口处汽车的平均 到达率λ与收费员的平均服务率μ，根据已有数 据统计得到
λ =到达60辆汽车 / 小时 μ =收费66辆汽车 / 小时
约定：如略去后三项，即指 系统容量无限 顾客源数目无限 FCFS的情形 X / Y / K /∞/∞/ FCFS → 本课程研究
X/Y/K
M/M/1, M/M/K, M/M/K/N, M/M/K/N/N M/G/1, G/M/1
2.3 排队系统中的问题
2.3.1 排队系统性能指标
对一个排队系统，我们应该研究它的哪些
IV. 与费用相关的指标 系统运行时单位时间平均费用 使系统成本/效率比最大的服务台数
等待时间
0
瞬时阶段
t*
稳态阶段
t
图. 排队系统中等待时间的变化
Little公式
L: 系统中的期望顾客数 Lq:队列中的期望顾客数 W: 一个顾客在系统中的期望逗留时间 Wq:一个顾客在队列中的期望排队时间
以上四个指标之间有何关系？
3. 排队过程 K：服务台或者通道的数量 4. 系统容量： N
5. 顾客源的数量： L
6. 服务规则：
先到先服务FCFS、后到先服务LCFS
排队系统的记号
英国数学家Kendall在1953年提出了一种目前在 排队论中被广泛采用的记号： X/Y/K/N/L/Z X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 K：服务台的个数 N：系统容量 L：顾客源数量 Z：服务规则
到达过程
服 服务规则 务 排 队 机 排队规则 构 排队系统
离去
1、顾客源
顾客源：所有可能（潜在）顾客的全体 有限、无限
2、到达过程
I. 顾客的到达时间 0 T0 T1 T2 ... Tn Tn1 ... 顾客的到达间隔时间 Tn Tn Tn1
确定性的：{ΔT1, ΔT2, ΔT3, …}是普通的序列
随机性的：{ΔT1, ΔT2, ΔT3, …}是随机的序列
我们假定：ΔT1, ΔT2, ΔT3, …独立同分布
特例：1) 指数分布， 2) Erlang分布
最简单的到达过程：ΔT1 , ΔT2 , ΔT3 , …独立同指数分布 即Poisson过程
II. 每次到达时的顾客数量
•
•
每次到达一个
服务完成离去
1.单服务台排队系统
服务台1 服务台2
顾客源 队列
服务完成离去
服务台K
2. 多服务台，一个队列排队系统
队列1 顾客源 队列2
服务台1 服务台2 服务台K
服务完成离去
队列K
3. 多服务台，多队列排队系统
顾客源
队列1
服务台1
队列K
服务台K
服务完成离去
4. 串联排队系统
排队系统的组成
顾客源
指标1,2
系统的话务强度为 / 60 / 66 0.9091 1.系统中没有顾客的概率 0 1 0.0909
大约只有9%的时间，到达的汽车无须等待
2.平均等待队长
2 Lq (i 1) i (i 1)(1 ) i 9.0909 1 i 1 i 1
指标5,6 5. 在系统中的平均汽车数 L W 10
平均来说在收费站有10辆汽车
6. 到达汽车需要等待的概率
pw 1 0 0.9091
在91%的时间里，到达的汽车需要排队等待收费
指标7,8 7.系统中有n辆汽车的概率
n (1 ) ,
n
n0
n
n
… 0 1 2 3 0.9090 0.0826 0.0751 0.0683 …
1. 排队论
排队论(Queueing Theory)，也称随机服务系统 理论 它研究各类服务系统的拥挤状况与使用率，包括 服务系统的分析、设计与控制。 针对服务系统，包括服务业中各种服务系统，也 包括如制造、通信中的网络系统。这种系统常常 围绕着我们，使得我们的工作、生活都离不开它。
2. 存贮论
2.2 排队系统的组成
你所记忆深刻的一次排队经历
一些排队系统
到达的顾客 病人 到达空港飞机 要求服务内容 诊断(动手术) 降落 服务机构 医生(手术台) 跑道
驶入港口货船
提货单 不能运转机器 汽车
装(卸)货
提取存货 修理 过十字路口
码头
仓库管理员 修理工 绿灯
常见排队系统结构
顾客源 队列
服务台
W=Wq+1/μ L = λW Lq= λWq L = Lq+λ/μ
Little 公式
2.3.2 四类基本问题
涉及到“系统”及其实施，通常有4个方面 的问题
设计
分析 控制 建模
I. 分析问题 顾客 服务员 系统
在对这些问题的回答的基础上，他们可以进行 决策，如经理考虑是否雇用更多的员工，增加 服务台以提高服务质量？还是增加队列等待空 间？等。
到达过程是否可用Poisson过程来描述？如果 是，到达率是多少？ 服务时间的分布函数怎样？其参数如何得到？ 是单通道的，还是多通道的？