棱柱棱锥球体
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 PPT课件 人教课标版
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积
与底面积之和.
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
a'
h h'
a
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长 为c’，则其侧面积的计算公式就是
S侧=c’·l.
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
h h'
a
二.正棱锥的表面积
h h' a
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
解：正棱锥的高PO，斜 高PE，底面边心距OE 组成直角三角形。
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
P
C
O
E
B
所以斜高 PE OE 2 4
sin30 0.5
因此S侧=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R，正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R，斜高为0.6R；
空间几何体(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球)中职
2．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长为2．求正四棱锥的侧
面积和体积．
3．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2．求该三棱锥的
表面积和体积；
练习
3
3
3
7.2旋转体—圆柱
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 已知圆柱底面直径为6，高为10，求圆柱的表面积与
体积．
解 由题可知： = 3，高ℎ = 10，
∴ S底 = r 2 = 32 =9 cm 2 ，
S侧 =2 rh 2 3 10 60 cm 2 ，
例3 如图所示，正四棱锥锥 − 的底面边长是4，斜高锥
= 2 5 ，求该正四棱锥的表面积和体积．
解 ∵ 正四棱锥 − 的底面边长是4，
∴ 底 = 4 × 4 = 16(2 )，
又∵
∴
斜高 = 2 5 ．
1
1
S侧 = c PE 16 2 5 16 5 cm2 ，
概念辨析
判断下列几何体的类型：
6
2
1
4
3
5
多
面
体
多面体由点、线、面组成；
围成多面体的各个多边形叫做多边形的面；
两个面的交线叫做多面体的棱，棱与棱的交
点叫做多面体的顶点。
观察以下多面体，可以分成几类？
2
1
3
4
5
6
观察以下多面体，可以分成几类？
棱柱
棱锥
棱
柱
：
记作：
ABC-A'B'C'
ABCD-A'B'C'D'
（2）侧面都是全等的矩形；
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
A
C
D
B
O
四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm，高是1.5cm,求三棱台的侧面积。
A1 O1 B1 D1
C1
A
C O E
27 3 cm 2 2
D
B
五、课堂练习
练习 2. 已知正四棱锥底面正方形的边长 4cm, 高与 斜高的夹角是30°，求正四棱锥的侧面积.
P
答案:32(cm2)
其中c为底面周长，h为高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱锥的侧面展开图是什么？如何计 算它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S正棱锥侧
1 ch 2
其中c为底面周长, h 为 斜高,即侧面三角形的 高。
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
二、提出问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成 的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
三、概念形成
概念1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧 ch
S圆柱侧 2 rh
1 S圆锥侧 cl rl 2 1 S圆台侧 (c c)l 2
l
r
O
三、概念形成
概念3.球的表面积
怎样求球的表面积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面 图形，怎样求球的表面积呢？
构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。
区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。
这也是我们研究几何体的方向和内容。
（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。
（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。
我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。
我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。
学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
课件7：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周 长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r， 母线长为 l， 则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)， 其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
例 2 如图所示是一个容器的盖子，它是用一 个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径 为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R， 斜高为 0.6R： (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示，焊接处对面积的影响忽略 不计); (2)若 R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2，计 算为 100 个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面 展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表 面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【知识梳理】
1．直棱柱的侧面积公式 S＝ ch ，其中 c 为底面多边形的周长， h 为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积 ． 2．正棱锥的侧面积公式 S＝ 12nah′＝ 12ch′，其中底面边长为 a，c 为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为 正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 .
跟踪训练 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，
七年级数学 球体、圆柱、棱柱、圆锥、棱锥
球体(sphere)
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
圆柱(circular cylinde r)
圆柱是由一个矩形绕它的一条边旋转得到的．
如图矩形ABCD绕直线AB旋转一周得到的图形是一个圆柱．旋转轴AB叫圆柱的轴．
圆柱侧面上平行于轴的线段是圆柱的母线．
圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高．
棱柱(prism)
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱(pris m)．两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．
侧棱
侧面
圆锥(circul ar cone)
圆锥可以看作是由一个直角三角形旋转得到的，如图，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到的图形是圆锥．
旋转轴AC叫做圆锥的轴，A点叫圆锥的顶点，线段BC旋转所形成的面叫做圆柱的底面，线段BC叫做圆柱底面的半径．
棱锥(pyram id)
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形叫做棱锥的底面，其余各个面叫做棱锥的侧面．。
(完整版)棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c
'
c
h
'
S锥侧
1 2
ch '
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
r
h
矩形
宽＝h
长 ＝2r
S圆柱侧 S矩形＝2rh
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图 形?展开的图形与原图有什么关系？
扇形
l
h'
A
C
B
OD
OD
B
A 斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
注:只有正棱锥和正棱台才有斜高.
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 形？侧面积怎么求？
h' h'
S
正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图 形？侧1（c 2
c'
)h'
h'
h'
思考:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
B
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到 什么图形？侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S直棱柱侧＝（a b c) h ch
棱锥、棱台
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射
影是底面中心的棱锥.
正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截
P 面和底面之间的部分叫正棱台.
A1
C1
D1
B1 h' C
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
课件3：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)S圆柱侧＝___2_π_r_l __(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝___π_r_l___(r为底面圆半径，l为母线长)． (3)S圆台侧＝___π_(_R_＋__r_)l___(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)． (4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的_底__面__积___与_侧__面__积___的和，
命题方向1 直棱柱的表面积 例1 一个直棱柱的底面是菱形，直棱柱的对角线长是9cm和15cm， 高是5cm，求直棱柱的全面积． [解] 如图，BD1＝9cm，A1C＝15cm，AA1＝BB1＝5cm. 在 Rt△BD1D 中，BD2＝92－52＝56，
∴BD＝2 14cm. 在 Rt△AA1C 中，AC2＝152－52＝200， ∴AC＝10 2cm. 又底面是菱形， 所以 AB＝ (5 2)2＋( 14)2＝8(cm)． 棱柱的侧面积 S1＝4×8×5＝160(cm2)， 上、下底面积的和 S2＝2 14×10 2＝40 7(cm2)， 故棱柱的全面积 S＝S1＋S2＝160＋40 7(cm2)．
2．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面
面积为( )
A．8
8 B.π
4
2
C.π
D.π
[解析] 设围成圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝4，∴2r＝4π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝4π×2＝8π.或 2πr＝2，∴2r＝2π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝2π×4＝8π. [答案] B
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′， 斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：
常见几何体20个
常见几何体20个几何体是我们日常生活中经常接触到的物体，它们的形状各异，有的是平面的，有的是立体的。
在这篇文章中，我们将介绍20种常见的几何体，包括球体、立方体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体、正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体、长方体、正方体、六面体、五面体、四面体、三棱锥、四棱锥、五棱锥和六棱锥。
1. 球体球体是一种立体几何体，它的表面是由无数个相等的点组成的。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中r为球体的半径。
2. 立方体立方体是一种六面体，每个面都是正方形。
立方体的体积公式为V=a³，其中a为立方体的边长。
3. 圆柱体圆柱体是一种由两个平行的圆面和一个侧面组成的几何体。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱体的高度。
4. 圆锥体圆锥体是一种由一个圆锥面和一个底面组成的几何体。
圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中r为圆锥体的底面半径，h为圆锥体的高度。
5. 棱柱体棱柱体是一种由两个平行的多边形和若干个侧面组成的几何体。
棱柱体的体积公式为V=Bh，其中B为棱柱体的底面积，h为棱柱体的高度。
6. 棱锥体棱锥体是一种由一个多边形锥面和一个底面组成的几何体。
棱锥体的体积公式为V=1/3Bh，其中B为棱锥体的底面积，h为棱锥体的高度。
7. 正四面体正四面体是一种四面体，每个面都是正三角形。
正四面体的体积公式为V=1/3a³，其中a为正四面体的边长。
8. 正八面体正八面体是一种八面体，每个面都是正正方形。
正八面体的体积公式为V=1/3a³，其中a为正八面体的边长。
9. 正十二面体正十二面体是一种十二面体，每个面都是正五边形。
正十二面体的体积公式为V=(15+7√5)/4a³，其中a为正十二面体的边长。
10. 正二十面体正二十面体是一种二十面体，每个面都是正三角形。
正二十面体的体积公式为V=(5+5√5)/12a³，其中a为正二十面体的边长。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱 锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高 棱锥 台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 提示 表面积变大了，体积不变. 知识点二 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一 柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解 如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ， 所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】 四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明 由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二 球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】 本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】 本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析 由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析 作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4， 即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析 如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。
棱柱和棱椎的外接球和内切球
简单几何体得外切球与内接球得计算一、棱柱与球1、正棱柱具备内切球得条件：侧棱长与底面边长有一定得运算关系。
分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长得比例。
其中正三棱柱得侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱得侧棱与底面连长得比值为1：1；正六棱柱得侧棱与底面连长得比值为、2、直棱柱得外接球球心位置：上下两底中心连线得中点。
[分析原因]注：长方体与正方体得外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线得中点。
例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球得表面积。
二、棱锥与球1、棱锥得内切球半径=[分析过程：等体积法]例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。
例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。
2、棱锥得外接球半径得计算。
1、利用外接球球心得意义求普通棱锥得外接球半径注：棱锥得外接球球心就就是确定一点，到棱锥所有顶点得距离都相等，并且该距离就就是半径。
[主要体现在折叠过程中找线段相等得条件]例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球得表面积。
分析：对角线AC得中点就就是外接球得球心。
2、正棱锥得外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。
例：已知正三棱锥得侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球得表面积之比。
[9：1]注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高得。
例：正四棱锥P－ABCD得五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为23、共顶点得三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应得长方体中，它们所对应得外接球为同一个球，[棱锥得外接球]例：三棱锥P－ABC得三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥得顶点都在同一个球面上，则这个球面得表面积为（14）例：已知P、A、B、C、D就是球O得球面上得五点，正方形ABCD得连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球得体积为（32）三、圆锥得内切球以及内接圆柱得相关计算思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间得运算关系例：若圆锥得高等于其内切球半径长得3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）例：圆锥得高与底面半径相等，它得一个内接圆柱得高与圆柱底面半径也相等，求圆柱得表面积与圆锥得表面积得比值为（）四、若球与几何体得棱相切时，则对棱之间得距离就就是球得直径。
初中数学立体图形知识点归纳
初中数学立体图形知识点归纳立体图形是初中数学中的一个重要内容，它涉及到空间几何的知识点，对于学生来说是一项相对较难的内容。
在初中数学中，我们需要掌握立体图形的种类、性质以及相关计算方法。
下面将对初中数学中的立体图形知识点进行归纳总结。
首先，我们来了解一下立体图形的概念。
立体图形是指具有三个维度的图形，常见的立体图形包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球体等。
它们都有自己独特的性质和特点。
1. 圆柱：圆柱是由一个矩形和两个平行相等的圆组成的。
圆柱的侧面是一个矩形，顶面和底面是两个平行相等的圆。
圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r为底面圆的半径，h为棱柱的高。
2. 圆锥：圆锥是由一个扇形和一个顶点组成的。
圆锥的侧面是一个扇形，底面是一个圆。
圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r为底面圆的半径，h为圆锥的高。
3. 棱柱：棱柱是底面和顶面相等并且平行的多边形所围成的几何体。
棱柱的侧面是一条条平行的线段，底面和顶面是两个相同的多边形。
棱柱的体积公式为V=面积×高，其中面积为底面的面积，高为棱柱的高。
4. 棱锥：棱锥是底面为多边形，顶面为一个顶点的几何体。
棱锥的侧面是一条条从底面到顶点的线段，底面是一个多边形。
棱锥的体积公式为V=1/3×底面的面积×高，其中底面的面积为底面所围成的多边形的面积，高为棱锥的高。
5. 球体：球体是由无数个与同一点距离相等的点所围成的几何体。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中r为球体的半径。
此外，还有一些与立体图形有关的重要概念和性质需要掌握。
1. 图形的可视角：指我们能够在特定位置观察到的一个图形的全部或部分。
可视角是指从观察点所能看到的角度的大小。
在计算图形的体积和表面积时，通常需要确定观察者的位置。
2. 图形的投影：当一个立体图形在投影面上的影子称为图形的投影。
投影可以分为平行投影和中心投影两种。
平行投影是指从平行于某一方向的线上观察立体图形得到的投影，而中心投影是指从立体图形的中心垂直向下观察得到的投影。
15.4棱柱、棱锥、球的表面积
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
棱柱的表面积
正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
h
a
S侧 6ah ch(c为底面周长 ) S全 ch S底 2
直棱柱的表面积
由于直棱柱的侧面展开图为矩形，
若记c和h分别为底面的周长和直 棱柱的高
S全 ch S底 2
CHale Waihona Puke OB1又 ABC为正三角形 AA1 BC
四边形 BCC 1B1是矩形
S ABB1 A1 S ACC 1 A1 ab sin 45 , S
B
BCC 1B1
ab
A
S侧 ab 2ab
正棱锥的表面积
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
侧面展开
h'
由S圆D 48 圆D的半径 r 4 3
连接O C ，则O C 2O D ，
3 在RTDO C 中， 4 3 C D 3O D RR8 2
(二期课改)
一.柱、锥、台的表面积
棱柱的展开图
棱锥的展开图
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
例1.求棱长为a的正四面体的表面积.
例2 :已知长方体的表面积为22, 所有棱长之和 为24, 求长方体的对角线的长.
圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2 r 2 rl
2
2 r (r l )
略解：RtΔB1D1D中: 3 (2R) a ( 2a) ,得R a 2 2 2 S 4πR 3πa
2 2 2
A1
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
∴B1F＝ 82－22＝2 15，
∴h′＝B1F＝2 15，
图（1）
∴S 四棱台侧＝12×(8＋4)×4×2 15＝48 15 (cm2)．
方法二 如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点 P，过 P 作
PE⊥BC 交 BC 于 E，交 B1C1 于 E1，则 PE1⊥B1C1. 设 PB1＝x，则x＋x 8＝48，
10．如图所示是一个建筑物的三视图，现需要将其外壁 用油漆刷一遍，已知每平方米用油漆 0.2 kg，问共需 要油漆多少 kg？(尺寸如图所示，单位：m，π 取 3.14， 结果精确到 0.01 kg)
解 由图知建筑物为自上到下分别是圆锥和四棱柱的组 合体．并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，四棱 柱的高为 4 m，底面是边长为 3 m 的正方形．圆锥的表 面积为 πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝ 75.36 m2；四棱柱的一个底面积为 32＝9 m2.所以建筑物 的外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36 m2，所以需要油漆 114.36×0.2＝22.872≈22.87 kg.
棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
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1．棱柱、棱锥、棱台侧面积
(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧 面积计算公式：S ＝ 直棱柱侧 ch,即直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积． (2)设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S ＝ 正棱锥侧 12nah′
第三章基本几何体的投影
第三章 基本几何体的投影通常所说的基本几何体，包括棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体和环等。
前两种立体的表面都是平面，称为平面立体；其余四种的表面是回转面或回转面与平面，称为回转体。
本章主要研究这些基本几何体的投影特性及其作图方法。
§3－1 平面立体的投影一、棱柱体的投影图３－１是五棱柱体和它的投影图。
该五棱柱体的顶面和底面均处于水平位置，其水平投影反映实形，正面和侧面投影均积聚成水平直线。
棱柱的五个侧棱面中最后的棱面DEE１D１处于正平面的位置，其正面投影反映实形，是不可见的面，故DD１、EE１两条棱线的正面投影d′d′１、e′e′１画成虚线，该棱面的水平投影和侧面投影积聚成直线。
其余四个侧棱面均为铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，正面投影和侧面投影为比实形小的矩形（类似形）。
图３－１ 五棱柱体的投影画图时，一般先画反映底面实形的那个投影（即水平投影），然后再画正面和侧面投影，如图３－１ｂ所示。
在实际生产中所用的图纸都不必画出投影轴，如图３－１ｃ所示，但三个投影必须保持左右、上下、前后的对应关系，即V 、H 两面投影左右对正，V 、W 两面投影上下平齐，H 、W 两面投影前后相等。
二、棱锥体的投影图３－２是正三棱锥体和它的投影图。
该三棱锥体的底面处于水平位置，其水平面投影反映实形，正面和侧面投影积聚成水平直线。
三棱锥的右侧棱面SBC 为正垂面，其正面投影s ′b ′c ′积聚成直线，水平面投影sbc 和侧面投影s ″b ″c ″为类似形。
前棱面SAB 和后棱面SAC 均为一般位置平面，因而，它们的三面投影均为类似形（正面投影两个三角形重合）。
图３－２ 正三棱锥体的投影画图时，先画出底面三角形ABC 和锥顶S 的投影，然后顺次连接各棱线SA 、SB 、SC 的同面投影，如图３－２ｂ所示。
通过棱柱和棱锥体的投影分析，可归纳如下几点：１）由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的投影图就是先画出各棱线交点的投影，然后顺次连线，并注意区分可见性。
立体图形的知识点
立体图形的知识点在日常生活中，我们经常会接触到各种立体图形，比如球体、立方体、圆柱体等等。
这些立体图形在建筑、工程、艺术等领域有着广泛的应用。
为了更好地理解和应用这些图形，我们需要了解立体图形的基本概念、性质和公式。
一、基本概念1.立体图形立体图形是具有一定体积的图形，包括球体、立方体、圆柱体、圆锥体、棱锥体、棱柱体等。
2. 体积体积是立体图形所占的空间大小，用“立方米”等单位来表示。
立体图形的体积公式有很多，下面将分别介绍不同立体图形的体积公式。
3. 表面积表面积是立体图形外部的总面积，用“平方米”等单位表示。
同样，在下面将分别介绍不同立体图形的表面积公式。
二、性质和公式1. 球体球体的体积公式为V=4/3πr³，其表面积公式为S=4πr²。
这里，V表示体积，S表示表面积，r表示球的半径，π表示圆周率，约为3.1415。
2. 立方体立方体的体积公式为V=a³，其表面积公式为S=6a²。
这里，a 表示立方体的边长。
3. 圆柱体圆柱体的体积公式为V=πr²h，其表面积公式为S=2πrh+2πr²。
这里，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高。
4. 圆锥体圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其表面积公式为S=πr(r+√(r²+h²))。
这里，r表示底面圆的半径，h表示圆锥的高。
5. 棱锥体棱锥体的体积公式为V=1/3Sh，其中S表示底面的面积，h表示棱锥的高。
其表面积公式为S=B+L，其中B表示底面的面积，L表示侧面的面积。
6. 棱柱体棱柱体的体积公式为V=Bh，其中B表示底面的面积，h表示棱柱的高。
其表面积公式为S=2B+Ph，其中P表示侧面的周长。
总结通过了解不同立体图形的基本概念、性质和公式，我们可以更好地理解和应用在不同领域中。
在实际应用过程中，应根据具体情况选择合适的公式，进行计算和应用。
因此，了解这部分知识点对我们的学习和工作都有一定的帮助。
高一数学空间几何体讲义
空间几何体讲义知识总结：1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
棱柱、棱锥、球
棱柱、棱锥与球知识精要一、棱柱 1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．8．平行六面体、长方体的性质(1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和二、棱锥 1 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -．3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形三、球1．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22r R d =-为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆2．经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。