人教A版选修1-1教案:1.1变化率问题、1.2 导数的概念(含答案)

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2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析

2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景;2.会求函数在某一点附近的平均变化率;3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算授课提示:对应学生用书第1页[基础认识]知识点一函数的平均变化率预习教材P2-3,思考并完成以下问题假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系,A是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).(1)若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少?提示:自变量x的改变量为x2-x1,记作Δx,函数的改变量为y2-y1,记作Δy.(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?提示:对山路AB来说,用ΔyΔx=y2-y1x2-x1可近似地刻画其陡峭程度.知识梳理函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式:ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.(2)实质:函数值的增量与自变量的增量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x 1,x 2]上变化的快慢.(4)几何意义:已知P 1(x 1,f (x 1)),P 2(x 2,f (x 2))是函数y =f (x )的图象上两点,则平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1表示割线P 1P 2的斜率. 知识点二 瞬时速度预习教材P 4-6,思考并完成以下问题1.物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )=5t 2.试求物体在[1,1+Δt ]这段时间内的平均速度. 提示:Δs =5(1+Δt )2-5=10Δt +5(Δt )2, v =ΔsΔt=10+5Δt .2.当Δt 趋近于0时,思考1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度? 提示:当Δt 趋近于0时,ΔsΔt 趋近于10,这时的平均速度即为当t =1时的瞬时速度.知识梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt =s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时,ΔsΔt无限趋近于某个常数v ,我们就说当Δt 趋近于0时,Δs Δt 的极限是v ,这时v 就是物体在时刻t =t 0时的瞬时速度,即瞬时速度v =lim Δt →0 ΔsΔt =lim Δt →0 s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数知识梳理 一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx. 思考:1.函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率的大小与曲线y =f (x )在区间[x 1,x 2]上的“陡峭”程度有什么关系?提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y =f (x )在区间[x 1,x 2]上越“陡峭”,反之亦然. 2.函数的平均变化率是固定不变的吗?提示:不一定,在平均变化率中,当x 1取定值后,Δx 取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx 取定值后,x 1取不同的数值时,函数的平圴变化率也不一定相同.事实上,曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等,根据平均变化率的几何意义可知,函数的平均变化率一般情况下是不相同的.3.瞬时速度与平均速度有什么区别和联系?提示:区别:瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态,而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态,与该段时间内的某一时刻无关.联系:瞬时速度是平均速度的趋近值. 4.如何理解Δx →0?提示:(1)“Δx →0”的意义:|Δx -0|可以小于给定的任意小的正数,但始终有Δx ≠0. (2)当Δx →0时,存在一个常数与f (x 0+Δx )-f (x0)Δx无限接近.[自我检测]1.质点运动规律s =t 2+3,则在时间(3,3+Δt )中,质点的平均速度等于( ) A .6+ΔtB .6+Δt +9ΔtC .3+ΔtD .9+Δt解析:平均速度为v =(3+Δt )2+3-(32+3)3+Δt -3=6+Δt .故选A.答案:A2.如果质点M 按照规律s =3t 2运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A .6B .18C .54D .81解析:Δs Δt =3(3+Δt )2-3×32Δt=18+3Δt ,s ′=lim Δt →0 ΔsΔt =lim Δt →0(18+3Δt )=18.故选B. 答案:B3.已知函数f (x )=1x,则f ′(1)=________. 解析:f ′(1)=lim Δx →0 f (1+Δx )-f (1)Δx =lim Δx →0 11+Δx-1Δx =lim Δx →0 -11+Δx (1+1+Δx )=-12.答案:-12授课提示:对应学生用书第2页探究一 求函数的平均变化率[例1] (1)已知函数y =3x -x 2在x 0=2处的增量为Δx =0.1,则ΔyΔx 的值为( )A .-0.11B .-1.1C .3.89D .0.29(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图,在时间段[t 0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]上的平均速度分别为v 1,v 2,v 3,则三者的大小关系为________.(3)球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为________.[解析] (1)∵Δy =f (2+0.1)-f (2)=3×2.1-2.12-6+4=-0.11,∴ΔyΔx =-1.1.(2)v 1=k OA ,v 2=k AB ,v 3=k BC ,由图象可知,k OA <k AB <k BC . (3)∵Δy =43π×23-43π×13=28π3,∴Δy Δx =28π32-1=28π3. [答案] (1)B (2)v 1<v 2<v 3 (3)28π3方法技巧 求函数y =f (x )从x 0到x 的平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量Δx =x -x 0.(2)求函数的增量Δy =y -y 0=f (x )-f (x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0). (3)求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.提醒:Δx ,Δy 的值可正,可负,但Δx ≠0,Δy 可为零,若函数f (x )为常值函数,则Δy =0.跟踪探究 1.一运动物体的运动路程s (x )与时间x 的函数关系为s (x )=-x 2+2x . (1)求运动物体从2到2+Δx 这段时间内的平均速度v ; (2)若v =-3,求Δx ; (3)若v >-5,求Δx 的范围. 解析:(1)因为s (2)=-22+2×2=0,s (2+Δx )=-(2+Δx )2+2(2+Δx )=-2Δx -(Δx )2, 所以v =s (2+Δx )-s (2)2+Δx -2=-2-Δx .(2)由(1),令-2-Δx =-3,解得Δx =1. (3)由(1),令-2-Δx >-5,解得Δx <3. 即Δx 的范围为(-∞,3). 探究二 求瞬时速度[例2] 如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s =2(1+t 2)(s 的单位为m ,t 的单位为s),求此物体在1.2 s 末的瞬时速度.[解析] Δs =2[1+(1.2+Δt )2]-2(1+1.22) =4.8Δt +2(Δt )2, lim Δt →0ΔsΔt =lim Δt →0(4.8+2Δt )=4.8,即s ′|t =1.2=4.8.故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 延伸探究 1.试求该物体在t 0时的瞬时速度.解析:∵Δs =2[1+(t 0+Δt )2]-2(1+t 20)=4Δt ·t 0+2(Δt )2,∴s ′|t =t 0=lim Δt →0ΔsΔt =lim Δt →0(4t 0+2Δt )=4t 0.∴此物体在t 0时的瞬时速度为4t 0 m/s. 2.物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s? 解析:∵s ′|t =t 0=lim Δt →0 ΔsΔt =lim Δt →0(4t 0+2Δt )=4t 0, ∴由4t 0=12得t 0=3,∴此物体在3 s 时的瞬时速度为12 m/s. 方法技巧 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0). (2)求平均速度v =Δs Δt.(3)求瞬时速度,当Δt 无限趋近于0时,ΔsΔt 无限趋近于常数v ,即为瞬时速度.2.求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中,可把Δx 作为一个数来参与运算.(2)求出ΔyΔx的表达式后,Δx 无限趋近于0,可令Δx =0,求出结果即可.跟踪探究 2.已知自由下落物体的运动方程是s =12gt 2(s 的单位是m ,t 的单位是s),求:(1)物体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度; (2)物体在t 0时的瞬时速度;(3)物体在t 0=2 s 到t 1=2.1 s 这段时间内的平均速度; (4)物体在t =2 s 时的瞬时速度. 解析:(1)平均速度为Δs Δt =12g (t 0+Δt )2-12gt 20Δt =gt 0+12gΔt . (2)瞬时速度为lim Δt →0Δs Δt=lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫gt 0+12gΔt =gt 0. (3)由(1)得物体在t 0=2 s 到t 1=2.1 s 这段时间内的平均速度为g ×2+12g ×0.1=4120g .(4)由(2)得物体在t =2 s 时的瞬时速度为g ×2=2g . 探究三 求函数在某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y =x 2+1x +5在x =2处的导数.[解析] 当x =2时,Δy =(2+Δx )2+12+Δx +5-⎝⎛⎭⎫22+12+5=4Δx +(Δx )2+-Δx 2(2+Δx ). 所以Δy Δx =4+Δx -14+2Δx.所以y ′|x =2=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4+Δx -14+2Δx =4+0-14+2×0=154.延伸探究 本例中若已知该函数在x =a 处的导数为0,试求a 的值. 解析:当x =a 时,Δy =(a +Δx )2+1a +Δx +5-⎝⎛⎭⎫a 2+1a +5=2aΔx +(Δx )2+-Δx a (a +Δx ), 所以Δy Δx =2a +Δx -1a 2+aΔx,所以lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +Δx -1a 2+aΔx =2a -1a 2, 所以2a -1a 2=0,a =342.方法技巧 用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤 (1)求函数值的改变量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0). (2)求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .(3)取极限,得导数f ′(x 0)=lim Δx →0 ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限.跟踪探究 3.已知函数y =f (x )=2x 2+4x . (1)求函数在x =3处的导数;(2)若函数在x 0处的导数是12,求x 0的值.解析:(1)Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=12Δx +2(Δx )2+4Δx =2(Δx )2+16Δx .所以Δy Δx =2(Δx )2+16Δx Δx=2Δx +16,所以y ′|x =3=lim Δx →0ΔyΔx =lim Δx →0(2Δx +16)=16. (2)根据导数的定义f ′(x 0)=lim Δx →0 ΔyΔx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0=2(x 0+Δx )2+4(x 0+Δx )-(2x 20+4x 0)Δx =lim Δx →0 4x 0·Δx +2(Δx )2+4Δx Δx =lim Δx →0 (4x 0+2Δx +4) =4x 0+4,所以f ′(x 0)=4x 0+4=12,解得x 0=2.授课提示:对应学生用书第3页[课后小结](1)理解平均变化率要注意以下几点:①平均变化率f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1表示点(x 1,f (x 1))与点(x 2,f (x 2))连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”.②为求点x 0附近的平均变化率,上述表述式常写为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx的形式.③函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势,自变量的改变量Δx 取值越小,越能准确体现函数的变化情况.(2)利用导数定义求导数:①取极限前,要注意化简ΔyΔx ,保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关,与Δx 无关. ③导数可以描述事物的瞬时变化率,应用非常广泛.[素养培优]对导数的定义理解不清致错设f (x )为可导函数,且f ′(2)=12,则lim h →0 f (2-h )-f (2+h )h 的值为( ) A .1B .-1 C.12D .-12易错分析:本题考查函数的定义.f ′(x 0)=lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,容易错误地认为lim h →0 f (2-h )-f (2+h )2h =f ′(2)而丢分,考查学生的定义掌握,数学运算等学科素养.自我纠正:lim h →0 f (2-h )-f (2+h )h =-2lim h →0 f (2-h )-f (2+h )-2h =-2f ′(2)=-2×12=-1.答案:B。

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_7

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用  3.1 变化率与导数  3.1.2 导数的概念》优质课教案_7

教案(理论教学首页)二、教学方法和手段1、通过导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,从特殊到一般的思维方法。

2、提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3、在探索“平均变化率”的过程中,体会数学的严谨与理性,感受数学中的美感,激发学生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度。

4、接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

三.教学过程1.创设情境,引入新课(1)平均速度与瞬时速度(8分钟)【创设情景,引入课题】播放一段视频林跃在2008年北京奥运会10米跳台夺冠的视频。

(1分钟)【教师提问】假如在比赛过程中,林跃相对水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在这样一个函数关系:10+6.5t +4.9t -=)t (h 2.请同学们思考一下在 0t t =时刻时林跃的瞬时速度是多少? 【学生活动】通过讨论,找到突破口:要求瞬时速度,就是通过研究0t t =时它附近的平均速度变化,如图(1)。

【教师提问】所谓的0t t =时的附近的平均速度速度又要怎么刻画呢?瞬时速度和平均速度有什么关系呢?【教师总结】先求出0t 时刻到0t t +∆时刻的平均速度00()()h t t h t v t+∆-=∆,那么瞬时速度可以用平均速度来约等于,当时间变化量t ∆越小时,平均速度就越接近于瞬时速度,于是我们得到00000()()()lim limt t h t t h t v t v t∆→∆→+∆-==∆。

(2)曲线的切线斜率(5分钟)(1)为什么求曲线的切线的历史原因,17世纪数学家遇到的三类问题。

(2)任意曲线在任意一点的切线定义:割线的极限位置即为切线位置。

【教师提问】那么00(,)M x y 点的切线斜率,按照切线的定义怎么求呢?如下图(2)。

【学生活动】学生按照上述例子瞬时速度的总结,讨论归纳出00(,)M x y 点切线斜率。

即:割线MN 的斜率为平均变化率,当自变量的该变量0x x x ∆=-趋于零时的平均变化率即为M 点的瞬时速度。

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_11

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3.1.2导数的概念教学内容:导数的概念以及求函数在其定义域内某点处的导数的方法步骤教学目标:知识与技能目标:1.了解导数概念的实际背景,了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会用定义求函数在某点的导数过程与方法目标:1.通过实例分析,引导学生用平均速度去求瞬时速度,体验由已知探究未知的数学方法,让学生亲自计算,在计算过程中感受逼近的趋势,并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程。

2.引导学生以瞬时速度为基点,从特殊到一般,经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,理解导数就是瞬时变化率3.通过问题的探究,培养学生的探究意识和探究方法.情感、态度与价值观目标:通过了解导数产生的历史及它在实际生活、生产和科研中的广泛应用及巨大作用,认识学习导数的必要性,从而激发学生学习导数的兴趣.教学重点:导数概念的形成过程及导数概念的内涵,用定义求函数在某点的导数教学难点:对导数概念的理解.教学准备:准备学案,投影仪,计算器教学方法:引导探究法:设疑——点拨——引导——探究。

教学设计:教学环节教学内容设计思想师生活动创设情景引入新课1.复习提问平均变化率的求解步棸:函数)(xfy=从1x到2x平均变化率为21()()f x f xyx x-∆=∆∆,函数从x到x x+∆的平均变化率如何表示呢?2.在10米高台跳水运动中,运动员相对水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.计算运动员在时间段[]2,2t+∆里的平均速度.教师给出:我们求出了运动员在这段时间的平均速度,但平均速度并不能反映运动员在某一时刻的速度,那么我们如何求运动员在某一时刻的速度呢?这一节课我们就来解决这样一个问题。

板书课题 3.1.2导数的概念1.让学生回忆上一节课的内容,在上一节课的基础上进入本节课的学习。

2.从实际问题出发,使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,为了能更精确刻画物体的运动状态,有必要研究某个时刻的速度,这样能激发学生求知的欲望,从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。

人教a版数学【选修1-1】作业:3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)

人教a版数学【选修1-1】作业:3.1.1  3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)

第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.1.函数的变化率 定义实例平均 变化率函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率为________________,简记作:ΔyΔx .①平均速度; ②曲线割线的斜率.瞬时 变化率函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0+Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限,即_______________=0lim x →ΔyΔx①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;②切线斜率.2.导数的概念:一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx=____________,我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的 ,记为 或即f ′(x 0) =0lim x →ΔyΔx一、选择题1.当自变量从x 0变到x 1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化率 D.以上都不对2.已知函数f (x )=2x 2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx ,f (1+Δx )),则ΔyΔx等于( )A .4B .4+2ΔxC .4+2(Δx )2D .4x3.如图,函数y =f (x )在A ,B 两点间的平均变化率是 ( )A .1B .-1C .2D .-24.设f(x)在x =x 0处可导,则0lim x →f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx 等于 ( )A .-f ′(x 0)B .f ′(-x 0)C .f ′(x 0)D .2f ′(x 0)5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( )A .3B .-3C .2D .-26.一物体的运动方程是s =12at 2(a 为常数),则该物体在t =t 0时的瞬时速度是( )A .at 0B .-at 0 C.12at 0 D .2at 0题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.已知函数y =f (x )=x 2+1,在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为________. 8.过曲线y =2x 上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________.9.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v (t )=t 2+2t +2,则在时间间隔[1,1+Δt ]内的平均加速度是________,在t =1时的瞬时加速度是________.三、解答题10.已知函数f (x )=x 2-2x ,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.11.用导数的定义,求函数y =f (x )=1x在x =1处的导数.能力提升 12.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,对于任意实数x ,有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值为________. 13.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a =5×105 m/s 2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s .求枪弹射出枪口时的瞬时速度.1.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s =s (t )描述,设Δt 为时间改变量,在t 0+Δt 这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0),那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ,即v =Δs Δt =s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt.2.由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法):(1)求函数的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率Δy Δx ;0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念答案知识梳理 1.f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx2.lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x =x 0lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx 作业设计 1.A2.B [∵Δy =f (1+Δx )-f (1)=2(1+Δx )2-1-2×12+1=4Δx +2(Δx )2, ∴Δy Δx =4Δx +2(Δx )2Δx =4+2Δx .] 3.B [Δy Δx =f (3)-f (1)3-1=1-32=-1.]4.A [lim Δx →0f (x 0-Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0-f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =-lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =-f ′(x 0).]5.B [∵Δy Δx =f ⎝⎛⎭⎫32+Δx -f ⎝⎛⎭⎫32Δx =-Δx -3,∴lim Δx →0Δy Δx =-3.] 6.A [∵Δs Δt =s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt =12a Δt +at 0,∴lim Δt →0 Δs Δt =at 0.] 7.0.41 8.1解析 由平均变化率的几何意义知k =2-11-0=1.9.4+Δt 4解析 在[1,1+Δt ]内的平均加速度为Δv Δt =v (1+Δt )-v (1)Δt=Δt +4,t =1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt =li m Δt →0(Δt +4)=4.10.解 函数f (x )在[-3,-1]上的平均变化率为: f (-1)-f (-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2×(-1)]-[(-3)2-2×(-3)]2=-6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为: f (4)-f (2)4-2=(42-2×4)-(22-2×2)2=4.11.解 ∵Δy =f (1+Δx )-f (1)=11+Δx -11=1-1+Δx1+Δx=-Δx 1+Δx ·(1+1+Δx ), ∴Δy Δx =-11+Δx ·(1+1+Δx ), ∴lim Δx→0 ΔyΔx =lim Δx →0-11+Δx ·(1+1+Δx )=-11+0·(1+1+0)=-12,∴y ′|x =1=f ′(1)=-12.12.2解析 由导数的定义, 得 f ′(0) =lim Δx →0 f (Δx )-f (0)Δx=lim Δx →0 a (Δx )2+b (Δx )+c -cΔx=lim Δx →[a ·(Δx )+b ]=b . 又⎩⎨⎧Δ=b 2-4ac ≤0a >0,∴ac ≥b 24,∴c >0.∴f (1)f ′(0)=a +b +c b ≥b +2ac b ≥2bb =2.13.解 运动方程为s =12at 2.因为Δs =12a (t 0+Δt )2-12at 20=at 0Δt +12a (Δt )2,所以Δs Δt =at 0+12a Δt .所以0 Δv Δt =li m Δt →0 ΔsΔt =at 0.由题意知,a =5×105 m/s 2,t 0=1.6×10-3s , 所以at 0=8×102=800 (m/s).即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句.一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的,与它的逆否命题的真假性相同,两个命题是等价的;原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题.例1判断下列命题的真假.(1)若x∈A∪B,则x∈B的逆命题与逆否命题;(2)若0<x<5,则|x-2|<3的否命题与逆否命题;(3)设a、b为非零向量,如果a⊥b,则a·b=0的逆命题和否命题.知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容,综合考察数学各部分知识,是高考的热点,判断方法有以下几种:(1)定义法(2)传递法:对于较复杂的关系,常用推出符号进行传递,根据这些符号所组成的图示就可以得出结论.互为逆否的两个命题具有等价性,运用这一原理,可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断.(3)等价命题法:对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断,往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化.(4)集合法:与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系,这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系.例2 若p :-2<a <0,0<b <1;q :关于x 的方程x 2+ax +b =0有两个小于1的正根,则p 是q 的什么条件?例3 设p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,a <0. q :实数x 满足x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题,根据逻辑联结词的含义,利用真值表判定真假. 利用含逻辑联结词命题的真假,判定字母的取值范围是各类考试的热点之一. 例4 判断下列命题的真假.(1)对于任意x ,若x -3=0,则x -3≤0; (2)若x =3或x =5,则(x -3)(x -6)=0.例5 设命题p :函数f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫ax 2-x +116a 的定义域为R ;命题q :不等式2x +1<1+ax 对一切正实数均成立.如果命题p 或q 为真命题,命题p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点,多以客观题出现.全称命题要对一个范围内的所有对象成立,要否定一个全称命题,只要找到一个反例就行.特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可.全称命题的否定是特称命题,应含存在量词. 特称命题的否定是全称命题,应含全称量词. 例6 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)3=2; (2)5>4;(3)对任意实数x ,x >0; (4)有些质数是奇数.例7 已知函数f (x )=x 2-2x +5.(1)是否存在实数m ,使不等式m +f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x 0,使不等式m -f (x 0)>0成立,求实数m 的取值范围.章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ,则x ∈B 是假命题,故其逆否命题为假,逆命题为若x ∈B ,则x ∈A ∪B ,为真命题.(2)∵0<x <5,∴-2<x -2<3, ∴0≤|x -2|<3.原命题为真,故其逆否命题为真. 否命题:若x ≤0或x ≥5,则|x -2|≥3.例如当x =-12,⎪⎪⎪⎪-12-2=52<3. 故否命题为假.(3)原命题:a ,b 为非零向量,a ⊥b ⇒a·b =0为真命题. 逆命题:若a ,b 为非零向量,a·b =0⇒a ⊥b 为真命题.否命题:设a ,b 为非零向量,a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真.例2 解 若a =-1,b =12,则Δ=a 2-4b <0,关于x 的方程x 2+ax +b =0无实根,故p ⇒q .若关于x 的方程x 2+ax +b =0有两个小于1的正根,不妨设这两个根为x 1、x 2,且0<x 1≤x 2<1,则x 1+x 2=-a ,x 1x 2=b . 于是0<-a <2,0<b <1, 即-2<a <0,0<b <1,故q ⇒p . 所以,p 是q 的必要不充分条件.例3 解 设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2<0,a <0}={x |3a <x <a ,a <0}. B ={x |q }={x |x 2-x -6≤0或x 2+2x -8>0} ={x |x <-4或x ≥-2}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件, ∴q 是p 的必要不充分条件. ∴AB ,∴⎩⎨⎧ a ≤-4a <0或⎩⎨⎧3a ≥-2a <0,解得-23≤a <0或a ≤-4.故实数a 的取值范围为(-∞,-4]∪⎣⎡⎭⎫-23,0. 例4 解 (1)∵x -3=0,有x -3≤0,∴命题为真; (2)∵当x =5时,(x -3)(x -6)≠0, ∴命题为假.例5 解 p :由ax 2-x +116a >0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ=1-4×a ×a 16<0,∴a >2. q :由2x +1<1+ax 对一切正实数均成立, 令t =2x +1>1,则x =t 2-12,∴t <1+a ·t 2-12,∴2(t -1)<a (t 2-1)对一切t >1均成立.∴2<a (t +1),∴a >2t +1,∴a ≥1.∵p 或q 为真,p 且q 为假,∴p 与q 一真一假. 若p 真q 假,a >2且a <1不存在. 若p 假q 真,则a ≤2且a ≥1,∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2. 例6 解 (1)3≠2,真命题; (2)5≤4,假命题;(3)存在一个实数x ,x ≤0,真命题; (4)所有质数都不是奇数,假命题.例7 解 (1)不等式m +f (x )>0可化为m >-f (x ), 即m >-x 2+2x -5=-(x -1)2-4.要使m >-(x -1)2-4对于任意x ∈R 恒成立, 只需m >-4即可.故存在实数m ,使不等式m +f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立,此时,只需m >-4. (2)不等式m -f (x 0)>0可化为m >f (x 0),若存在一个实数x 0,使不等式m >f (x 0)成立, 只需m >f (x )min .又f (x )=(x -1)2+4,∴f (x )min =4,∴m >4.所以,所求实数m 的取值范围是(4,+∞).。

高中数学:导数教案 新人教A版选修1-1 教案

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导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一,是一种思想方法,这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上,阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材的区别是从平均变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法:①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生把握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点:导数概念的形成,导数内涵的理解难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点四、教学设想(具体如下表)教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?首先回顾上节课留下的思考题:在学生相互讨论,交流结果的基础上,提出:大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”,但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢?引起学生的好奇,意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态,为了能更精确地刻画物体运动,我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

高中数学(人教A版选修1-1)课件3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念

高中数学(人教A版选修1-1)课件3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念
第三章 导数及其应用
课 标 研 读
1.考纲要求 (1)了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内 涵. (2)通过函数图像直观地理解导数的几何意义. (3)能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y= 1 x ,y= x,y= x的导数.
3
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数. (5)会使用导数公式表.
2.设物体的运动方程为S=S(t),如果一个物体在时刻t0 时位于S(t0),在时刻t0+Δt这段时间内,物体的位置增量是 ΔS=S(t0+Δt)-S(t0).那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比, St0+Δt-St0 就是这段时间内物体的________,即 v = . Δt
当这段时间很短,即 Δt 很小时,这个平均速度就接近时 刻 t0 的速度.Δt 越小, v 就越接近于时刻 t0 的速度,当 Δt→0 St0+Δt-St0 ΔS 时,这个平均速度的极限 v=lim Δt =lim 就 Δt Δt→0 Δt→0 是物体在时刻 t0 的速度即为________.
(6)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究 函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. (7)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以 及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值. (8)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题, 体会导数在解决实际问题中的作用.
(3)要有意识解答一些导数与解析几何、函数单调性、函 数极值、最值、方程、不等式、代数不等式的证明等知识交 汇的综合题,提高综合解题的能力.
3. 1
变化率与导数
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A

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高中数学第一章导数及其应用1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A版选修2-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章导数及其应用1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A版选修2-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

1.1 变化率问题 1。

1.2 导数的概念[学习目标]1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.[知识链接]很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?答气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是r(V)=错误!,(1)当V从0增加到1 L时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62 (dm),气球的平均膨胀率为错误!≈0.62(dm/L).(2)当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm),气球的平均膨胀率为r 2-r 12-1≈0.16(dm/L).可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了.[预习导引]1.函数的变化率定义实例平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为错误!,简记作:错误!①平均速度;②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即错误!错误!=错误!错误!.①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;②切线斜率2.0函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率错误!错误!=错误!错误!称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=错误!错误!=错误!错误!。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练:3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 Word版含解析

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练:3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 Word版含解析

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知某物体的自由落体运动方程为s (t )=12gt 2,若lim Δt →0s (1+Δt )-s (1)Δt =g =9.8(m/s),则下面说法正确的是( )A.9.8 m/s 是0~1 s 这段时间内的平均速度B.9.8 m/s 是从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的速度C.9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的速度D.9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的平均速度2.已知某物体的运动方程是s=3+t 2,则在t=2时的瞬时速度是( )B.4 C.7 D.5=3+(2+Δt )2-(3+22)Δt =(Δt )2+4Δt Δt =Δt +4,lim Δt →0Δs Δt =lim Δt →0(Δt +4)=4.故t=2时的瞬时速度为4.3.若将边长为8的正方形的边长增加Δa ,则面积的增量ΔS 为( )A.16(Δa )2B.64C.(Δa )2+8D.16Δa+(Δa )2S=(8+Δa )2-82=16Δa+(Δa )2.4.若函数y=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a 等于( )B.2 C.3 D.-2,可知Δy Δx =(2a +b )-(a +b )2-1=a =3.5.设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0+Δx )-f (x 0)=a Δx+b (Δx )2(a ,b 为常数),则( )A.f'(x )=aB.f'(x )=b =a D.f'(x 0)=b(x 0)·Δx )=a.=limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =lim Δx →0(a +b 6.已知函数y=f (x )的图象如图所示,则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 .7.若f'(x )=3,则lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =___________________.=lim x →0f (x +2Δx )-f (x )Δx =lim Δx →02·f (x +2Δx )-f (x )2Δx 2lim Δx →0f (x +2Δx )-f (x )2Δx =2f '(x )=6.8.已知曲线y =1x ‒1上两点A (2,-12),B 2.+Δx ,‒12+Δy ,当Δx =1时,割线AB 的斜率为____________.Δy =(12+Δx -1)‒(12-1)=2-(2+Δx )2(2+Δx )=-Δx 2(2+Δx ),∴Δx =‒12(2+Δx ),即所求斜率k =Δy Δx =‒12(2+Δx ).当Δx=1时,k=‒16.‒169.已知一个质点由定点A 开始运动,在时间t 的位移函数为y=f (t )=t 3+3.(1)当t 1=4,Δt=0.01时,求Δy 和ΔyΔt ;(2)求t 1=4时的导数.y=f (t 1+Δt )-f (t 1)=·Δt+3t 1·(Δt )2+(Δt )3,3t 21故当t 1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 2011.,ΔyΔt =48.120 (2·Δt+(Δt )2]=)lim Δt →0Δy Δt =lim Δt →0[3t 21+3t 13t 21=48,故函数y=t 3+3在t 1=4处的导数是48,即y '|t 1=4=48.二、能力提升1.如果一个物体的运动方程为s (t )=1-t+t 2,其中s 的单位是m,t 的单位是s,那么物体在t=3 s 时的瞬时速度是( )B.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s(3)=lim Δt →0s (3+Δt )-s (3)Δt =lim Δt →0[1-(3+Δt )+(3+Δt )2]-(1-3+32)Δt =lim Δt →0(5+Δt )=2.若f'(x 0)=2,则lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)2k 等于( )A.-1B.-2C.1D .12f'(x 0)=2,∴=lim f (x 0-k )-f (x 0)2k ‒12lim k →0f (x 0-k )-f (x 0)-k =‒12×2=‒1.3.若函数y=x 2在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0-Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A.k >k 2B.k 1<k 2C.k 1=k 2D.不确定k 1=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =(x 0+Δx )2-x 20Δx =2x 0+Δx , k 2=f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =x 20-(x 0-Δx )2Δx=2x 0‒Δx ,∴k 1‒k 2=2Δx .∵Δx 可正可负,∴k 1与k 2的大小关系不确定.4.已知函数y=f (x )=-4x 2+16x 在x=x 0处的导数为0,则x 0为( )B.2C.3D.4(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-4(x 0+Δx )2+16(x 0+Δx )+4x 20-16x 0ΔxΔx →0(‒8x 0‒4Δx +16)=‒8x 0+16.由-8x +16=0,得x 0=2.5.若将半径为R 的球加热,半径从R=1到R=m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3,则m 的值为_____________.,m=2.得43πm 3-43πm -1=28π3,解得6.若函数f (x )=-x 2+x 在[2,2+Δx ](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,则Δx 的取值范围是 .函数f (x )在[2,2+Δx ]上的平均变化率为Δy Δx =f (2+Δx )-f (2)Δx =-(2+Δx )2+(2+Δx )-(-4+2)Δx =-4Δx +Δx -(Δx )2Δx =‒3‒Δx ,∴由-3-Δx ≤-1,得Δx ≥-2.又Δx>0,∴Δx 的取值范围是(0,+∞).+∞)7.某物体做直线运动,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t-t 2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求此物体在t=0到t=2时的平均速度.∵s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3‒Δt ,∴v 0=3.lim Δt →0(3‒Δt )=3,即初速度(2)∵s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt =‒Δt ‒1,∴lim Δt →0(‒Δt ‒1)=‒1,即物体在t=2时的瞬时速度为-1.(3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1.★8.(1)求函数y =x +4在x =1处的导数;(2)求函数y =1x 2+2在x =2处的导数.∵Δy =1+Δx +4‒1+4=5+Δx ‒5=Δx 5+Δx +5,∴Δx =15+Δx +5,∴y'|x=1=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →015+Δx +5=125=510.(2)∵Δy =1(2+Δx )2+2‒14‒2=1(Δx )2+4Δx +4‒14=-(Δx )2-4Δx 4[(Δx )2+4Δx +4],∴Δy Δx =-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4],∴y'|x=2=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0-Δx -44[(Δx )2+4Δx +4]=-416=‒14.。

人教A版选修1-1教案11变化率问题12导数的概念含答案

人教A版选修1-1教案11变化率问题12导数的概念含答案

§3.1.1 变化率问题§3.1.2 导数的概念【学情分析】:本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次:1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义;借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨,以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】:知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】:理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】:理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图(1)引入变化率和瞬时速度1.瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时,物体在这段时间内运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:位移为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt称时间增量)为导数概念的引入做铺垫平均速度()()00s t t s tsvt t+-∆==根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt. 时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时,平均速度就越接近于瞬时速度,用极限表示瞬时速度瞬时速度()()0000lim limt ts t t s tv vt→→+-==所以当Δt→0时,平均速度的极限就是瞬时速度(2)例题讲解例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=21gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度.解:取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=21g(3+Δt)2-21g·32=2g(6+Δt)Δt,平均速度21=∆∆=tsv g(6+Δt) 瞬时速度为:m/s4.293)(21limlim==∆+==→∆→∆gttgvvtt由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4m/s例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),(1)当t=2,Δt=0.01时,求ts∆∆.(2)当t=2,Δt=0.001时,求ts∆∆.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.让学生进一步认识瞬时速度,为引入导数的概念做好铺垫.分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,ts∆∆即平均速度,当Δt越小,求出的ts∆∆越接近某时刻的速度.解:∵tttttt stt sts∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t+2Δt∴(1)当t=2,Δt=0.01时,ts∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s(2)当t=2,Δt=0.001时,ts∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s(3)v =00lim lim →∆→∆=∆∆t t t s (4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s(3) 导数的概念设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时,则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =,即 x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/注意:(1)函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中,x ∆趋近于0可正、可负、但不为0,而y ∆可能为0(3)x y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率.要让学生理解导数概念例3、求y =x 2在点x =1处的导数.分析:根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤,先求Δy ,再求x y ∆∆,最后求0lim →∆x xy ∆∆. 解:Δy =(1+Δx )2-12=2Δx +(Δx )2,xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意:(Δx )2括号别忘了写.学生自学教材P75 例1(4)课堂小结 (1)理解函数的概念。

3.1.1_变化率问题_3.1.2导数的概念_教案(人教A版选修1-1)

3.1.1_变化率问题_3.1.2导数的概念_教案(人教A版选修1-1)

3.1 变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析,让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数.2.过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.●重点、难点重点:了解导数概念的形成,理解导数有内涵.难点:在平均变化率的基础上探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵.通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解,以化解重点;通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点.实例:(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加的会越来越慢.(2)从高空放下一件物体,随着时间的变化,物体下降的速度会越来越快.1.如何用数学的观点刻画物体运动的快慢?【提示】可以运用平均变化率来刻画.2.实例(2)中,当t1≈t2时刻时,平均变化率有什么样的特点?【提示】平均变化率接近t1或t2时刻的速度.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式:Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1.(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x 1,x 2]上变化的快慢. 2.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 (1)定义式:lim Δx →ΔyΔx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx. (2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率称为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=li mΔx →0 ΔyΔx =li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.求函数f (x )=x 2在x =1,2,3附近的平均变化率,取Δx 都为13,在哪一点附近平均变化率最大?【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少?(2)平均变化率怎么求?(3)哪一点附近的平均变化率大?【自主解答】 在x =1附近的平均变化率为 k 1=f (1+Δx )-f (1)=(1+Δx )2-1=2+Δx ;在x =2附近的平均变化率为k 2=f (2+Δx )-f (2)=(2+Δx )2-22=4+Δx ;在x =3附近的平均变化率为k 3=f (3+Δx )-f (3)Δx =(3+Δx )2-32Δx=6+Δx .若Δx =13,则k 1=2+13=73,k 2=4+13=133,k 3=6+13=193.由于k 1<k 2<k 3,故在x =3附近的平均变化率最大.1.解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy .2.求函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量:Δx =x 2-x 1. (2)求函数值的增量:Δy =f (x 2)-f (x 1). (3)作商求函数的平均变化率:Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1.求函数y =sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率,并比较它们的大小.【解】 函数y =sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6-sin 0π6-0=3π,在π3到π2之间的平均变化率为sin π2-sin π3π2-π3=3(2-3)π. ∵2-3<1,∴3π>3(2-3)π.∴函数y =sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π,在π3到π2之间的平均变化率为3(2-3)π,且在0到π6之间的平均变化率较大.s =⎩⎪⎨⎪⎧3t 2+2 (t ≥3)29+3(t -3)2(0≤t <3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度. (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式?(2)物体的初速度v 0的含义是什么?如何去求?【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时,s =3t 2+2,且时间增量Δt =5-3=2, 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs =3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt =482=24(m/s).(2)求物体的初速度v 0,即求物体在t =0时的瞬时速度. ∵物体在t =0附近的平均变化率为Δs =f (0+Δt )-f (0)=29+3[(0+Δt )-3]2-29-3(0-3)2=3Δt -18,∴物体在t =0处的瞬时变化率为li m Δt →0 ΔsΔt=li mΔt →0 (3Δt -18)=-18, 即物体的初速度为-18 m/s.1.解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率,而第(2)问实际上是求t =0时的瞬时速度(即瞬时变化率).2.求瞬时速度应先求平均速度v =Δs Δt ,再用公式v =li mΔt →0 ΔsΔt,求得瞬时速度. 3.如果物体的运动方程是s =s (t ),那么函数s =s (t ),在t =t 0处的导数,就是物体在t =t 0时的瞬时速度.一辆汽车按规律s =2t 2+3做直线运动,求这辆车在t =2时的瞬时速度(时间单位:s ,位移单位:m).【解】 设这辆车在t =2附近的时间变化量为Δt ,则位移的增量Δs =[2(2+Δt )2+3]-(2×22+3)=8Δt +2(Δt )2,Δs Δt =8+2Δt ,当Δx 趋于0时,平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以,这辆车在t =2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy =f (1+Δx )-f (1)=[3(1+Δx )2+a (1+Δx )+b ]-(3+a +b )=3(Δx )2+(6+a )Δx .Δy Δx =3(Δx )2+(6+a )Δx Δx=3Δx +6+a . li mΔx →0 ΔyΔx=li mΔx →0 (3Δx +6+a )=6+a . ∴f ′(1)=6+a .1.求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同,简称:一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y =f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时,要注意对Δy Δx 的变形与约分,变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在.(2)当对Δy Δx 取极限时,一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时,分母是一个非零常数的形式.已知函数f (x )=ax 2+c ,且f ′(1)=2,求a 的值.【解】 ∵Δy =f (1+Δx )-f (1)=a (1+Δx )2+c -(a +c )=2a ·Δx +(Δx )2,∴Δy Δx =2a ·Δx +(Δx )2Δx=2a +Δx . 因此f ′(1)=lim Δx →ΔyΔx =lim Δx →0(2a +Δx )=2a .∴2a =2,a =1.求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s (t )=3t -t 2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t =2时的瞬时速度; (3)求t =0到t =2时的平均速度.【思路点拨】 本题已知函数解析式,求初速度即t =0时的瞬时速度,t =2时的瞬时速度和t ∈[0,2]时的平均速度,可以用一差、二比、三极限的方法.【规范解答】 (1)当t =0时的速度为初速度. 在0时刻取一时间段[0,0+Δt ],即[0,Δt ],∴Δs =s (Δt )-s (0)=[3Δt -(Δt )2]-(3×0-02)=3Δt -(Δt )2,2分 Δs Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt ,3分 lim Δt →ΔsΔt =lim Δt →0(3-Δt )=3.4分 ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2+Δt ],∴Δs =s (2+Δt )-s (2)=[3(2+Δt )-(2+Δt )2]-(3×2-22)=-Δt -(Δt )2,6分 Δs Δt =-Δt -(Δt )2Δt=-1-Δt ,7分 lim Δt →ΔsΔt =lim Δt →0(-1-Δt )=-1,8分 ∴当t =2时,物体的瞬时速度为-1. (3)当t ∈[0,2]时,Δt =2-0=2.Δs =s (2)-s (0)=(3×2-22)-(3×0-02)=2 10分 v =Δs Δt =22=1.∴在0到2之间,物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵,其次在解题过程中要严格按规定步骤解答,切忌跨步,以免出错.1.平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,当Δx 趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.2.函数在一点处的导数,就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数.1.已知物体位移公式s =s (t ),从t 0到t 0+Δt 这段时间内,下列说法错误的是( ) A .Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt =s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度 C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误,应为t =t 0时的瞬时速度. 【答案】 D2.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43D .0.44【解析】 ∵x =2,Δx =0.1,∴Δy =f (2+0.1)-f (2)=2.12-22=0.41. 【答案】 B3.设函数f (x )在点x 0附近有定义,且有f (x 0+Δx )-f (x 0)=a Δx +b (Δx )2(a ,b 为常数),则( )A .f ′(x )=aB .f ′(x )=bC .f ′(x 0)=aD .f ′(x 0)=b【解析】Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =a +b ·Δx ,f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0(a +b ·Δx )=a . 【答案】 C4.一物体运动的方程是s =3+t 2,求物体在t =2时的瞬时速度.【解】 Δs =(2+Δt )2-4=4Δt +(Δt )2.∴ΔsΔt=4+Δt .∴当Δt →0时,瞬时速度为4.一、选择题1.已知函数y =x 2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy ),则ΔyΔx 等于( )A .2B .2xC .2+ΔxD .2+(Δx )2【解析】 Δy =(1+Δx )2+1-(12+1)=2Δx +(Δx )2.∴Δy Δx =2Δx +(Δx )2Δx=2+Δx . 【答案】 C2.自由落体运动的公式为s =s (t )=12gt 2(g =10 m/s 2),若v =s (1+Δt )-s (1)Δt ,则下列说法正确的是( )A .v 是在0~1 s 这段时间内的速度B .v 是1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的速度C .5Δt +10是物体在t =1 s 这一时刻的速度D .5Δt +10是物体从1 s 到(1+Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知:v =s (1+Δt )-s (1)Δt =5Δt +10.故应选D.【答案】 D3.(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动,其运动规律是s =t 2+3t (t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C .8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵ΔsΔt=(4+Δt )2+34+Δt -16-34Δt =(Δt )2+8Δt +-3Δt 4(4+Δt )Δt=Δt +8-316+4Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt =8-316=12516.【答案】 B4.函数f (x )=x 2在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0-Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1,k 2的大小关系是( )A .k 1<k 2B .k 1>k 2C .k 1=k 2D .无法确定【解析】 k 1=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+Δx ,k 2=f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =2x 0-Δx ,而Δx 可正可负,故k 1、k 2大小关系不确定.【答案】 D5.已知点P (x 0,y 0)是抛物线y =3x 2+6x +1上一点,且f ′(x 0)=0,则点P 的坐标为( ) A .(1,10) B .(-1,-2) C .(1,-2)D .(-1,10)【解析】 Δy =3(x 0+Δx )2+6(x 0+Δx )-3x 20-6x 0=6x 0·Δx +3(Δx )2+6Δx ,∴lim Δx →ΔyΔx =lim Δx →0(6x 0+3Δx +6)=6x 0+6=0. ∴x 0=-1,y 0=-2. 【答案】 B 二、填空题6.(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下,其运动方程是s (t )=t 2, (s 的单位:米,t 的单位:秒),则小球在t =5时的瞬时速度为________.【解析】 v ′(5)=lim Δt →s (5+Δt )-s (5)Δt =lim Δt →0(10+Δt )=10【答案】 10米/秒7.已知函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a =________. 【解析】 f ′(1)=lim Δx →a (1+Δx )+4-a -4Δx =lim Δx →0 a ΔxΔx=2,∴a =2.【答案】 28.若函数f (x )在x =a 处的导数为m ,那么lim Δx →f (a +Δx )-f (a -Δx )Δx=________.【解析】 ∵lim Δx →f (a +Δx )-f (a )Δx =m ,则lim Δx →0 f (a -Δx )-f (a )-Δx=m .∴lim Δx →f (a +Δx )-f (a -Δx )=lim Δx →0 f (a +Δx )-f (a )+f (a )-f (a -Δx )=lim Δx →f (a +Δx )-f (a )Δx +lim Δx →0 f (a -Δx )-f (a )-Δx=m +m =2m .【答案】 2m 三、解答题9.已知f (x )=(x -1)2,求f ′(x 0),f ′(0).【解】 ∵Δf =(x 0+Δx -1)2-(x 0-1)2=2x 0·Δx -2Δx +(Δx )2 ,∴Δf Δx =2x 0Δx -2Δx +(Δx )2Δx=2x 0-2+Δx , f ′(x 0)=lim Δx →ΔfΔx =lim Δx →0(2x 0-2+Δx )=2x 0-2, 把x 0=0代入上式,得f ′(0)=2×0-2==-2. 10.设质点做直线运动,已知路程s 是时间t 的函数: s =3t 2+2t +1.(1)求从t =2到t =2+Δt 的平均速度,并求当Δt =1,Δt =0.1时的平均速度; (2)求当t =2时的瞬时速度.【解】 (1)从t =2到t =2+Δt 内的平均速度为:Δs Δt =s (2+Δt )-s (2)Δt =3(2+Δt )2+2(2+Δt )+1-3×4-2×2-1Δt=14Δt +3(Δt )2Δt=14+3Δt .当Δt =1时,平均速度为14+3×1=17; 当Δt =0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3. (2)t =2时的瞬时速度为: v =lim Δt →ΔsΔt =lim Δt →0(14+3Δt )=14. 11.(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果枪弹的加速度是a =5×105 m/s 2,它从枪口射出所用的时间为t 1=1.6×10-3 s ,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.【解】 ∵s (t )=12at 2,∴Δs =s (t 1+Δt )-s (t 1)=12a (t 1+Δt )2-12at 21=at 1Δt +12a (Δt )2, Δs Δt =at 1Δt +12a (Δt )2Δt =at 1+12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为 v =lim Δt →Δs Δt =lim Δt →0 (at 1+12a Δt )=at 1. 由题意a =5×105 m/s 2,t 1=1.6×10-3s , ∴v =at 1=5×105×1.6×10-3=800(m/s),即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

高中数学 1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念 导学案 新人教A版选修2-2

高中数学 1.1.1  变化率问题、§1.1.2  导数的概念 导学案 新人教A版选修2-2

§1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念学习目标:1、了解导数概念的实际背景;2、会增长函数在某一点附近的平均变化率;3、会利用导数的定义求函数在某点处的导数。

一、主要知识:1、对于函数()y f x =,当自变量x 从1x 变到2x 时,函数值从()1f x 变到()2f x ,则称式子 为()y f x =从1x 到2x 的平均变化率,简记作: 。

2、函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是函数()f x 从0x 到0x x +∆的平均变化率在0x ∆→时的极限,即 0lim x y x∆→∆=∆。

3、函数()y f x =在0x x =处的 称为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作 ,即()00lim x y f x x ∆→∆'==∆ 。

二、典例分析:〖例1〗:求函数()3f x x =在0x 到0x x +∆之间的平均变化率,并计算当011,2x x =∆=时平均变化率的值。

〖变式训练1〗:()2f x =在区间[]2,2x +∆内的平均变化率为 。

〖例2〗:求函数()224f x x x =+在3x =处的导数。

〖变式训练2〗:已知函数()2f x ax c =+,且()12f '=,求a 的值。

〖例3〗:若一物体运动方程为:()()()22323293303t t s t t ⎧+≥⎪=⎨+-≤<⎪⎩(位移:m ,时间:s )。

求:(1)物体在[]3,5t ∈内的平均速度;(2)物体的初速度0v ;(3)物体在1t =时的瞬时速度。

〖变式训练3〗:一个质量为10kg 的物体按照234s t t =++(位移:m ,时间:s )的规律作直线运动,物体的动能为212E mv =,求运动开始后第4s 时该物体的动能。

高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念教案 新人教A版选修2-2

高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念教案 新人教A版选修2-2

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念教学建议1.教材分析第一小节主要内容是平均变化率,是在气球膨胀率问题和高台跳水问题的基础上,归纳它们的共同特征,定义了一般的平均变化率,第二小节主要是利用极限的思想给出了导数的定义.重点是使学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.难点是体会由平均变化率研究瞬时变化率的过程中采用的逼近方法,从而理解导数的概念.2.主要问题及教学建议(1)气球膨胀率问题和高台跳水问题.建议教师借助这两个生活中的例子引导学生体会平均膨胀率和平均速度,为学习平均变化率做好铺垫.(2)平均速度与瞬时速度的关系.建议教师通过物体的运动说明平均速度是物体在一段时间内的速度,刻画了物体在该段时间运动的快慢,而瞬时速度是物体在某一瞬间的速度,刻画了物体在该时刻运动的快慢.(3)瞬时变化率与导数.建议教师多选配一些变化率问题,利用丰富的实例让学生辨别它们的共同特征,认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率,逐步建立起导数的概念.备选习题1.若函数f(x) =-x2+x在[2,2+Δx]上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围.解:因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为:===-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).2.路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点C处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y与人距路灯射影点C的距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯射影点C后,在0 s到10 s内身影的平均变化率.解:(1)如图所示,人从点C运动到B处的距离为x m,AB为身影的长度,AB的长度为y m,由于CD∥BE,则,即,所以y=x.(2)84 m/min=1.4 m/s,当从0 s到10 s时,身影长度增加了×1.4×10-×1.4×0=(m),身影的平均变化率为(m/s),即人离开路灯后,在0 s到10 s内身影的平均变化率为 m/s.3.求函数y=-在点x=4处的导数.解:∵Δy=-==.∴.∴=.∴y'|x=4=.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教A版高中数学选修1-1学案 变化率问题

人教A版高中数学选修1-1学案 变化率问题

第三章导数及其应用§3.1.1 变化率问题学习目标1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义;2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.学习过程一、课前准备(预习教材P78~ P80,找出疑惑之处)复习1:曲线与曲线的()A.长、短轴长相等B.焦距相等C.离心率相等D.准线相同复习2:当从到变化时,方程表示的曲线的形状怎样变化?二、新课导学※学习探究探究任务一:问题1:气球膨胀率,求平均膨胀率吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2:高台跳水,求平均速度新知:平均变化率:试试:设,是数轴上的一个定点,在数轴上另取一点,与的差记为,即= 或者= ,就表示从到的变化量或增量,相应地,函数的变化量或增量记为,即= ;如果它们的比值,则上式就表示为,此比值就称为平均变化率.反思:所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.※典型例题例1 过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.变式:已知函数的图象上一点及邻近一点,则=例2 已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:(1)[1,3];(2)[1,2];(3)[1,1.1];(4)[1,1.001]小结:※动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上及的平均变化率.(发现:在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?三、总结提升※学习小结1.函数的平均变化率是2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量(2)计算平均变化率※知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为().A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分:1. 在内的平均变化率为()A.3 B.2 C.1 D.02. 设函数,当自变量由改变到时,函数的改变量为()A.B.C.D.3. 质点运动动规律,则在时间中,相应的平均速度为()A.B.C.D.4.已知,从到的平均速度是_______5. 在附近的平均变化率是____课后作业1. 国家环保局对长期超标排污,污染严重而未进行治理的单位,规定出一定期限,强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业连续检测的结果(W表示排污量),哪个企业治理得比较好?为什么?2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器甲中水的体积(单位:),计算第一个10s内V的平均变化率.。

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_7

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用  3.1 变化率与导数  3.1.2 导数的概念》优质课教案_7

3.1.2导数的概念 教学设计预习目标:对“什么是瞬时速度,瞬时变化率。

怎样求瞬时变化率”先有个了解 预习内容:高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为:. (1) 求在这段时间里,运动员的平均速度.(2) 当t=1时的瞬时速度。

课 内 探 究【教学目标】1、 了解瞬时速度的概念;瞬时变化率的概念;2、 了解导数概念的形成,理解导数的内涵4、会运用导数的概念,求函数在点处的导数【学习重难点】1、导数概念的理解;2、导数的求解方法和过程;3、导数符号的灵活运用【教学过程】一、复习: 平均变化率二、引入:问题1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 问题2:预习内容(讲解)在跳水运动中,运动员相对于水面高度h (单位:m )与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)= - 4.9 t 2+6.5 t+10, 计算运动员在0≤t ≤ 这段时间 里的平均速度:v=______,思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题?三、新课:1.瞬时变化率的概念及导数的概念:函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或即 注意:(1)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可以为(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上点()及点)的割线斜(4)导数是函数h t 2() 4.9 6.510h t t t =-++12t ≤≤)(x f y =0x ()y f x =0x x =0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆()y f x =0x x =0()f x '0|x x y ='000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0x x ∆y ∆xy ∆∆)(x f y =x x ∆)(x f y =)(,00x f x )(,(00x x f x x ∆+∆+xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/在点四、典型例题(1)求函数.11)(处的导数在==x x x f (2)求函数.21)(处的导数在=+=x x x x f 五、小结:利用导数的定义求导步骤:第一步,求函数的增量;第二步:求平均变化率; 第三步:取极限得导数. 一差、二比、三极限六、练习练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是(位移单位:m ,时间单位:s),求小球在课后练习与提高1. 高台跳水运动中,时运动员相对于水面的高度是:(单位: m), 求运动员在时的瞬时速度.2. 一直线运动的物体,从时间到时,物体的位移为,那么为( )A.从时间到时,物体的平均速度;B.在时刻时该物体的瞬时速度;C.当时间为时物体的速度;D.从时间到3. 在 =1处的导数为( )A .2B .2C .D .14. 在中,不可能( ) A .大于0 B .小于0C .等于0D .大于0或小于05.如果质点A 按规律运动,则在时的瞬时速度为6. 若,则等于 )(x f y =0x 00()()y f x x f x ∆=+∆-0()f x x y x x+∆∆=∆∆00()limx y f x x ∆→∆'=∆2()s t t =5t =ts 2() 4.9 6.510h t t t =-++1t s =t t t +∆s ∆0lim t s t∆→∆∆t t t +∆t t ∆t t t +∆2y x =x x 2x +∆0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆x ∆23s t =3t =0()2f x '=-0001[]()2lim k f x k f x k→--。

2020-2021学年人教A版数学选修1-1学案:3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念含解析

2020-2021学年人教A版数学选修1-1学案:3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念含解析

3.1变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2导数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.利用数学抽象 提升逻辑推理[基础认识]知识点一函数的平均变化率预习教材P 72-73,思考并完成以下问题丰富多彩的变化率问题随处可见.导数研究的问题就是变化率问题,那么,变化率和导数是怎样定义呢?(1)气球膨胀率气球的体积V (单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是V (r )=43πr 3⇒r (V )=33V 4π.当空气容量V 从0增加到1L 时,气球半径增加了 r (1)-r (0)≈0.62(dm),气球的平均膨胀率为r (1)-r (0)1-0≈0.62(dm/L).类似地,当空气容量V 从1L 增加到2L 时,气球半径增加了r (2)-r (1)≈0.16 (dm), 气球的平均膨胀率为r (2)-r (1)2-1≈0.16 (dm/L).当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 提示:r (V 2)-r (V 1)V 2-V 1(2)高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函数关系h (t )=-4.9t 2+6.5t +10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态,那么:求0≤t ≤0.5和1≤t ≤2这段时间内的v .提示:在0≤t ≤0.5这段时间里,v =h (0.5)-h (0)0.5-0=4.05 (m/s);在1≤t ≤2这段时间里, v =h (2)-h (1)2-1=-8.2 (m/s).知识梳理函数的平均变化率对于函数y =f (x ),给定自变量的两个值x 1和x 2,当自变量x 从x 1变为x 2时,函数值从f (x 1)变为f (x 2),我们把式子f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1称为函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率.习惯上用Δx 表示x 2-x 1,即Δx =x 2-x 1,可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”,可用x 1+Δx 代替x 2;类似地,Δy =f (x 2)-f (x 1).于是,平均变化率可表示为ΔyΔx.思考:观察函数y =f (x )的图象(如图),平均变化率 Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1表示什么? 提示:过曲线上两点的割线的斜率. 知识点二函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 预习教材P 74-75,思考并完成以下问题在高台跳水运动中,计算运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 提示:(1)运动员在这段时间里不是静止的.(2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态. 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 h (t )=-4.9t 2+6.5t +10,求从2s 到(2+Δt )s 这段时间内平均速度 v =h (2+Δt )-h (2)Δt=-13.1-4.9Δt .我们发现,当Δt 趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.从物理的角度看,时间间隔|Δt |无限变小时,平均速度v 就无限趋近于t =2时的瞬时速度.因此,运动员在t =2时的瞬时速度是-13.1m/s.为了表述方便,我们用li m Δt →0h (2+Δt )-h (2)Δt=-13.1表示“当t =2,Δt 趋近于0时,平均速度v 趋近于确定值-13.1”. 知识梳理瞬时变化率 把式子:li m Δx →0ΔyΔx =li m Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx叫做函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率. 注:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值,它刻画函数在某一点处变化的快慢.知识点三导数的概念知识梳理一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:li m Δx →0ΔyΔx =li m Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=li m Δx →0ΔyΔx=li m Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx.[自我检测]1.如果质点M 按规律s =3+t 2运动,则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A .4 B .4.1 C .0.41 D .3答案:B2.如图,函数y =f (x )在A ,B 两点间的平均变化率是( ) A .-1 B .1 C .2 D .-2 答案:A3.设函数f (x )在点x 0附近有意义,且有f (x 0+Δx )-f (x 0)=aΔx +b (Δx )2(a ,b 为常数),则( ) A .f ′(x )=a B .f ′(x )=b C .f ′(x 0)=a D .f ′(x 0)=b 答案:C授课提示:对应学生用书第51页 探究一求函数的平均变化率[教材P 75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时,原油的温度(单位:℃)为y =f (x )=x 2-7x +15(0≤x ≤8).计算从2h 到6h 时,原油温度的平均变化率.解析:Δy =f (6)-f (2)=62-7×6+15-22+7×2-15=4, Δx =6-2=4,∴Δy Δx =44=1, ∴从2h 到6h 原油温度的平均变化率为1. [例1]已知函数f (x )=2x 2+3x -5.(1)求当x 1=4且Δx =1时,函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx; (2)求当x 1=4且Δx =0.1时,函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ;(3)若设x 2=x 1+Δx ,分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义.[解析](1)Δy =f (x 1+Δx )-f (x 1)=2(x 1+Δx )2+3(x 1+Δx )-5-2x 21-3x 1+5=4x 1Δx +2(Δx )2+3Δx .当x 1=4且Δx =1时,Δy =4×4×1+2+3=21, 所以平均变化率Δy Δx =211=21.(2)当x 1=4且Δx =0.1时,Δy =4×4×0.1+0.02+0.3=1.92,所以平均变化率Δy Δx =1.920.1=19.2.(3)在(1)中,Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=f (5)-f (4)5-4,它表示曲线上点P 0(4,39)与P 1(5,60)连线所在直线的斜率;在(2)中,Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=f (4.1)-f (4)4.1-4,它表示曲线上点P 0(4,39)与P 2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率.方法技巧求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy =f (x 2)-f (x 1). (2)再计算自变量的改变量Δx =x 2-x 1. (3)得平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1.跟踪探究1.求函数f (x )=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx ]上的平均变化率,并求当x 0=2,Δx =0.1时平均变化率的值.解析:函数f (x )=3x 2+2在区间[x 0,x 0+Δx ]上的平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)(x 0+Δx )-x 0=[3(x 0+Δx )2+2]-(3x 20+2)Δx=6x 0·Δx +3(Δx )2Δx=6x 0+3Δx .当x 0=2,Δx =0.1时,函数y =3x 2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3. 探究二物体运动的瞬时速度[教材P 79习题3.1A 组2题]在高台跳水运动中,t s 时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h (t )=-4.9t 2+6.5t +10,求运动员在t =1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.解析:Δh Δt =h (1+Δt )-h (1)Δt =-4.9Δt -3.3,所以h ′(1)=-3.3.这说明运动员在t =1s 附近以每秒3.3m 的速度下降.[例2]某物体的运动路程s (单位:m)与时间t (单位:s)的关系可用函数s (t )=t 2+t +1表示,则物体在t =1s 时的瞬时速度为________m/s.[解析]∵Δs Δt =s (1+Δt )-s (1)Δt=(1+Δt )2+(1+Δt )+1-(12+1+1)Δt=3+Δt ,∴lim Δt →0Δs Δt =lim Δt →0(3+Δt )=3. ∴物体在t =1处的瞬时变化率为3, 即物体在t =1s 时的瞬时速度为3m/s. [答案]3方法技巧求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0). (2)求平均速度v =Δs Δt.(3)求瞬时速度,当Δt 无限趋近于0时,ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度.延伸探究 (1)若本例中的条件不变,试求物体的初速度. (2)若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解析:(1)求物体的初速度,即求物体在t =0时的瞬时速度, ∵Δs Δt =s (0+Δt )-s (0)Δt=(0+Δt )2+(0+Δt )+1-1Δt=1+Δt ,∴li m Δt →0Δs Δt =li m Δt →0(1+Δt )=1. ∴物体在t =0处的瞬时变化率为1, 即物体的初速度为1m/s.(2)设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s , Δs Δt =s (t 0+Δt )-s (t 0)Δt =(2t 0+1)+Δt ,li m Δt →0Δs Δt =li m Δt →0 (2t 0+1+Δt )=2t 0+1, 则2t 0+1=9,∴t 0=4.则物体在4s 时的瞬时速度为9m/s.跟踪探究2.一质点M 按运动方程s (t )=at 2+1做直线运动(位移单位:m ,时间单位:s),若质点M 在t =2s 时的瞬时速度为8m/s ,则常数a =________.解析:质点M 在t =2时的瞬时速度即为函数在t =2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t =2附近的平均变化率Δs Δt =s (2+Δt )-s (2)Δt =a (2+Δt )2-4a Δt=4a +aΔt ,∴li m Δt →0Δs Δt =4a =8,即a =2. 答案:2探究三求函数在某一点处的导数[例3] (1)求函数f (x )=3x 2-2x 在x =1处的导数. [解析]∵Δy =3(1+Δx )2-2(1+Δx )-(3×12-2×1) =3(Δx )2+4Δx ,∴Δy Δx =3(Δx )2+4Δx Δx=3Δx +4,∴y ′|x =1=li m Δx →0ΔyΔx=li m Δx →0 (3Δx +4)=4. (2)已知函数y =ax -1x 在x =1处的导数为2,求a 的值.[解析]∵Δy =a (1+Δx )-11+Δx -⎝⎛⎭⎫a -11=aΔx +Δx 1+Δx, ∴ΔyΔx=aΔx +Δx1+Δx Δx =a +11+Δx,∴li m Δx →0Δy Δx =li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫a +11+Δx =a +1=2, 从而a =1.方法技巧求函数y =f (x )在点x 0处的导数的三个步骤 简称:一差,二比,三极限.跟踪探究3.求函数f (x )=x 在x =1处的导数. 解析:∵Δy =f (1+Δx )-f (1)=1+Δx -1,∴ΔyΔx=1+Δx -1Δx=11+Δx +1,∴f ′(1)=li m Δx →0ΔyΔx=li m Δx →011+Δx +1=12. 4.已知f (x )=3x 2,f ′(x 0)=6,求x 0. 解析:∵f ′(x 0)=li m Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=li m Δx →03(x 0+Δx )2-3x 20Δx =li m Δx →0(6x 0+3Δx )=6x 0, 又f ′(x 0)=6,∴6x 0=6,即x 0=1. 授课提示:对应学生用书第52页[课后小结](1)本节课的重点是函数y =f (x )在x =x 0处的导数的定义. (2)本节课需要重点掌握的规律方法:①平均变化率的求法;②瞬时速度的求法;③利用定义求函数在某一点处的导数的方法.(3)本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错.注意:在导数的定义中,增量Δx的形式是多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.。

人教A版选修1-1教案:变化率问题、 导数的概念(含答案)

人教A版选修1-1教案:变化率问题、 导数的概念(含答案)

§3.1.1 變化率問題
§3.1.2 導數的概念
【學情分析】:
本節的中心任務是形成導數的概念.概念形成劃分為兩個層次:
1、借助氣球膨脹率問題,瞭解變化率的含義;借助高臺跳水問題,明確瞬時速度的含義.
2、以速度模型為出發點,結合其他實例抽象出導數概念,使學生認識到導數就是暫態變化率,瞭解導數內涵.
學生對導數概念的理解會有些困難,所以要對課本上的兩個問題進行深入的探討,以便順利地使學生形成導數的概念。

【教學目標】:
知道了物體的運動規律,用極限來定義物體的瞬時速度,學會求物體的瞬時速度掌握導數的定義.
【教學重點】:
理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義.
【教學難點】:
理解掌握物體的瞬時速度的意義和導數的定義. ()()00s t t s t s t t
+-∆= 根據對瞬時速度的直觀描述,當位移足夠小,現在位移
來表示,也就是說時間足夠短時,平均速度就等於
到t 0+Δt ,這段時間是Δt . 時間無限趨近於0. 當Δt →0時,平均速度就越接近於瞬
時速度,用極限表示瞬時速度
)()000lim lim t t t s t v t
→→+-=。

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.2 导数的概念》优质课教案_3

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用  3.1 变化率与导数  3.1.2 导数的概念》优质课教案_3

《导数的概念》教学设计一、教学内容解析导数是微积分学的核心概念之一,不仅是数学知识,也是一种数学思想,也蕴含着函数思想和极限的思想方法,本节内容的核心是用平均变化率的极限来刻划瞬时变化率,从而引出导数的概念。

从教材的编写看,淡化了极限的形式化定义,直接通过实例来反映导数的思想和本质。

导数属于事实型知识(函数的瞬时变化率是客观存在的),导数是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具。

因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、效率最高、用料最省等实际问题的最有力的工具。

在天文、地理等各方面都有广泛的应用,教材中也是有实例引出导数概念,再由实际问题来巩固导数的概念。

让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法,领悟“无限趋近”思想,进一步体会数学的本质。

二、学生学情分析学生已较好地掌握了函数的平均变化率及高一物理中的平均速度、瞬时速度,并积累了一定量的关于函数变化率的经验;高二年级的学生思维较活跃,并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力;对导数这一新鲜的概念,具有较强的求知欲和渴望探究的积极情感态度。

由于瞬时变化率就是导数,又是用平均变化率“无限接近”进行研究,而“无限”是非常抽象的,是学生首次接触,要求学生既要具备一定的直观感悟能力,又要具有较高的抽象思维能力。

从平均速度、瞬时速度到平均变化率、瞬时变化率,是将实例抽象为数学模型,是本节认识的一次飞跃,借助几何画板的动态演示学生能初步感悟,但是对“是无限趋近于0,但始终不能为0”,学生不能自主或合作顺利完成,需要教师在此充分发挥作用进行点拨.综上分析确定本节的难点是:对极限思想的感悟及用平均变化率的极限刻划瞬时变化率的科学性。

突破策略为:用几何画板动态直观演示以降低思维难度;多利用实例以降低抽象程度,强化对过程的感悟;给足时间让学生充分合作交流;教师恰当精讲点拨。

三、教学目标1、掌握导数的概念;会依据定义求简单函数在某点处的导数,能初步按定义归纳求函数在某点处导数的基本步骤。

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§3.1.1 变化率问题
§3.1.2 导数的概念
【学情分析】:
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次:
1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义;借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨,以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】:
知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】:
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】:
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.。

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