一轮复习文科数学第一篇 集合与常用逻辑用语(必修1、选修1-1) 第1节 集 合

考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是
()
(A)1
(B)3
(C)5
(D)9
解析:(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2; 当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1; 当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.故选C.
当
B≠

时,若
B⊆
A,则
m m

1 1

2m 7

1,
或
m 1 2m 1, 2m 1 2.
解之得
m≥6.
综上,实数 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).
答案:(1)C (2)(-∞,2]∪[6,+∞)
考点三 集合的基本运算
【例 3】 (1)(2018·安徽江南十校联考)设集合 A={x∈Z||x|≤2},B=｛x| 3 ≤1｝, 2x
4.已知集合A={x|-1<x<0},B={x|x≤a}.若A⊆B,则a的取值范围为( B ) (A)(-∞,0] (B)[0,+∞) (C)(-∞,0) (D)(0,+∞) 解析:在数轴上画出集合A,B,如图.
若A⊆B,则a≥0.故选B.
5.下面结论正确的是
(写出所有正确结论的序号).
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.
表示 子集 真子集
相等
空集
文字语言
集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属 于A
集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,集合 B 的每一 个元素也都是集合 A 的元素
空集是 任何 集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
符号表示
A⊆ B 或
若B⊆A,则实数m的取值范围为
.
解析:(2)A={x|x2-5x-14≤0}=[-2,7]. 当 B= 时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠ 时,若 B⊆ A,如图.
m 1 2, 则 2m 1 7,
m 1 2m 1, 解得 2<m≤4.
综上,m 的取值范围为(-∞,4].
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( )
(A) 9 2
(B) 9 8
(C)0
(D)0 或 9 8
解析:(2)若集合 A 中只有一个元素,则方程 ax2-3x+2=0 只有一个实根或两个相等实根.
当 a=0 时,x= 2 ,符合题意; 3
当 a≠0 时,由Δ=(-3)2-8a=0,得 a= 9 , 8
对点自测
1.(教材改编题)若集合 A={x∈N|x≤ 2018 },a=2 2 ,则下列结论正确的是( D )
(A){a}⊆A
(B)a⊆A
(C){a}∈A
(D)a∉A
解析:因为 a=2 2 不是自然数,而集合 A 是不大于 2018 的自然数构成的集合,所以 a∉A.故选 D.
2.(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于( C ) (A){3} (B){5} (C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}
所以 a 的取值为 0 或 9 .故选 D. 8
反思归纳
(1)例1第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个 元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形. (2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条 件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
答案:(2)(-∞,4]
反思归纳
(1)若 B⊆ A,应分 B= 和 两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元 素或区间端点间的关系.进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要 合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
【跟踪训练2】 (1)已知集合A={x∈N*|x2-3x<0}.则满足条件B⊆A的集合B的
(C)A∪B={x|x>1} (D)A∩B=
解析:(1)因为U={1,2,3,4,5},A={1,3}, 所以∁UA={2,4,5}.故选C. (2)因为3x<1,所以3x<30,所以x<0, 所以B={x|x<0}.又A={x|x<1}, 所以A∩B={x|x<0}.故选A.
则 A∩B 等于( )
(A){1,2}
(B){-1,2}
(C){-2,-1,2} (D){-2,-1,0,2}
解析:(1)易知 A={-2,-1,0,1,2}, B=｛x|x<0 或 x≥ 3 ｝,
2 所以 A∩B={-2,-1,2}.故选 C.
(2)(2017·天津卷)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则
个数为( )
(A)2
(B)3
(C)4
(D)8
(2)已知集合A={x|x<-2或x>7},B={x|m+1<x<2m-1}.若B⊆A,则m的取值范围
是
.
解析:(1)因为A={x∈N*|x2-3x<0}={x∈N*|0<x<3}={1,2}.又B⊆A.
所以集合B的个数为22=4.故选C.
(2)当 B= 时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2.
【跟踪训练 3】 (1)(2018·浙江卷)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA 等于( )
(A)
(B){1,3}
(C){2,4,5} (D){1,2,3,4,5}
(2)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
(A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R
(A∪B)∩
C等于( )
(A){2}
(B){1,2,4}
(C){1,2,4,6} (D){x∈R|-1≤x≤5}
(3)(2018·天津卷)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)等于 ()
(A){x|0<x≤1} (B){x|0<x<1}
(解C)析{x:|(12≤)Ax∪<2B}={1,(2D,)4{,x6|}0.<x<2}
反思归纳 (1)有关集合的运算要注意以下两点 ①要关注集合中的代表元素是什么. ②要对集合先化简再运算,并且特别注意是否含端点. (2)有关集合的运算常有以下技巧: ①离散的数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解; ②连续的数集的运算,常借助数轴求解; ③已知集合的运算结果求集合,借助数轴或Venn图求解; ④根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结 合求解.
第一篇 集合与常用逻辑用语(必修1、选修1-1)
六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图
命题特点
1.本篇在高考中一般考查1或2个小题,以选择题 为主,很少以填空题的形式出现,约占5或10分. 2.从考查内容来看,集合主要有两方面考查:一 是集合间的关系;二是集合的运算,包含集合的 交、并、补集运算.常用逻辑用语主要有四个方 面考查:命题及其关系、充分必要条件的判断、 逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词 与存在量词. 3.本篇一般不涉及解答题,在知识的交汇上往往 以函数的定义域、值域,不等式的解集,曲线的 点集为载体进行考查,难度不大.
第1节 集 合
[考纲展示]
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合 的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合 语言(列举法或描述法)描述不同的具 体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义, 能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的 含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含 义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补 集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间 的基本关系及集合的基本运算.
(1)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)= ,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
【重要结论】
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集 有(2n-2)个. 2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.
解析:(1)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线 y=x2+1上的点集. (2)错误.当x=1时,不满足互异性. (3)正确.(A∩B)⊆A⊆(A∪B). (4)错误.含有n个元素的集合有(2n-1)个真子集. 答案:(3)
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、 互异性 、 无序性 . (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法: 列举法 、 描述法 、图示法.