1.5三角形全等的判定(4)
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》(第1课时)教案
浙教版数学八年级上册1.5《三角形全等的判定》（第1课时）教案一. 教材分析《三角形全等的判定》是浙教版数学八年级上册第1.5节的内容，本节课主要让学生了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否全等。
此内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对于图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能初次接触，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形全等的判定方法，掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.能够运用判定方法判断两个三角形是否全等。
3.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
四. 教学重难点1.教学重点：SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
2.教学难点：如何判断两个三角形是否全等，以及运用判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的图形实例，让学生观察、分析、总结三角形全等的判定方法。
2.动手操作法：让学生亲自动手操作，折叠、拼接等，增强直观感受。
3.小组讨论法：分组进行讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示图形实例和相关的练习题。
2.教具：三角板、直尺、剪刀等。
3.练习题：准备一些判断三角形全等的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的三角形图形，如自行车三角架、三角尺等，引导学生关注三角形的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过实例分析，引导学生观察、总结三角形全等的判定方法。
如：–SSS：三边分别相等的两个三角形全等。
–SAS：两边和夹角分别相等的两个三角形全等。
–ASA：两角和夹边分别相等的两个三角形全等。
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学上册
第5课 全等三角形的判定（4）
新课学习
知识点.全等三角形的判定（HL）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 中，
AB=DE BC=EF
∴△ABC≌△DEF（HL）.
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：Rt△ ABC≌Rt△ ABD. 证明：在 Rt△ ABC 和 Rt△ ABD 中，
∴Rt△AFB≌Rt△DEC（HL）. ∴∠B＝∠C. ∴AB∥CD．
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
重难易错
7. （例 3）如图，在△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D， E 为 AC 上一点，连接 BE 交 AD 于 F，且 AC=BF，DC=DF. 求证：BE⊥AC.
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
12. 如图，AD，BC 相交于点 O，AD=BC， ∠C=∠D=90°. （1）求证：△ ABC≌△BAD；
（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△BAD中，
证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°.
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL）. ∴∠DAC＝∠DBF.又∠AFE=∠BFD， ∴∠AEF＝∠BDF＝90°.∴BE⊥AC.
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
第5课 全等三角形的判定人教版八年级数学 上册
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）． ∴AF＝CE．
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：1.5三角形全等的判定【含答案】
1.5三角形全等的判定第1课时“边边边”知识点1.三角形全等的判定(SSS)1．如图1所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是(A)图1A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．下列三角形中，与图2中△ABC全等的是__③__．3．如图3所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明__△ADC__≌__△BCD__或__△ABD__≌__△BAC__．图3知识点2.三角形的稳定性4．[2018春·泉港区期末]如图4，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(C)图4A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等知识点3.三角形全等的判定与性质的综合5．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(C)A．110°B．40°C．30°D．20°6．如图5所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是(D)图5A．△ABC≌△DBCB．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线D．∠A＝∠BCD7．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连结AC，求证：∠ACD ＝∠CAB.图6证明：在△ADC 与△CBA 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，AD ＝CB ，AC ＝CA ，∴△ADC ≌△CBA (SSS )，∴∠ACD ＝∠CAB .8．雨伞的截面如图7所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？请说明理由．图7解：∠BAD ＝∠CAD .理由：∵AB ＝AC ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴AE ＝AF .在△AOE 和AOF 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，AE ＝AF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△AOF (SSS )，∴∠EAO ＝∠F AO ，即∠BAD ＝∠CAD . 知识点4.尺规作角平分线9．[2018春·历城区期末]如图8，作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，作法：图8(1)在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；(3)作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是__SSS__．【易错点】证明两个三角形全等时，对于有公共部分的角或线段，错把不是对应的边或角当成三角形的对应边或对应角．10．如图9，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)图9A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第2课时“边角边”与线段的垂直平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(SAS)1．如图1中全等的三角形是(D)①②③④图1A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A．∠B＝∠C B．∠D＝∠EC．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC图2 图33．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.图4证明：∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC (SAS )．知识点2.利用“SAS ”判定三角形全等证明线段或角相等5．如图5，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD .图5证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS )，∴AC ＝BD .6．如图6，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .图6证明：∵AM ＝2MB ，∴AM ＝23AB ，同理，AN ＝23AC ， 又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN . ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND ，∴DM ＝DN .知识点3.利用“SAS ”判定三角形全等来解决实际问题7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．图7知识点4.线段的垂直平分线的性质8．[2017秋·浉河区期末]如图8，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8，AB ＝10，则△EBC 的周长是( C ) A ．13B ．16C ．18D ．20【解析】 ∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋BE ＋EA ＝BC ＋BA ＝18.图8 图99．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(C)A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.【易错点】“SSA”不能判定两个三角形全等．10．下列条件能够判断△ABC与△A′B′C全等的是(D)A．∠A＝∠A′B．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′C．AB＝A′B′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′【解析】A．已知条件为一组对应角相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；B．已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；C．已知条件为两条边对应相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；D．由边角边定理可证两个三角形全等，故此选项正确．第3课时“角边角”知识点三角形全等的判定(ASA)1．如图1，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(B)图1A．甲B．乙C．甲和乙都是D．都不是2．如图2所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__ASA__．图23．如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图3证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD (ASA )，∴AC ＝AD .4．[2018秋·延庆区期中]如图4，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，且∠B ＝∠C .求证：△ABE ≌△ACD .图4证明：在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABE ≌△ACD (ASA )．5．[2018秋·金坛区期中]如图5，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：△ABC ≌△ADE .图5证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．【易错点】错用判定三角形全等的判定方法．6．已知：如图6，∠AOD ＝∠BOC ，∠A ＝∠C ，O 是AC 的中点．求证：△AOB ≌△COD .图6证明：∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠AOD ＋∠DOB ＝∠BOC ＋∠BOD ， 即∠AOB ＝∠COD ，∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，在△AOB 与△COD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD .第4课时 “角角边”与角平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(AAS )1．如图1，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠C ＝∠D .求证：△ABC ≌△AED .图1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD . 又∵∠C ＝∠D ，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△AED (AAS )．2．如图2，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC .求证：AD ＝BC .图2证明：∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE . ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C . 在△AFD 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AF ＝CE ，∴△AFD ≌△CEB (AAS )，∴AD ＝BC . 知识点2.三角形全等判定方法的选用3．如图3，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠DD ．BC ＝AD图3图44．如图4所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 边的中点，过点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是( D ) A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS知识点3.角平分线的性质5．如图5，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )图5A ．6B ．5C ．4D ．36．[2019·辽阳模拟]如图6，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则S △ABD ＝( C ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7图6第6题答图【解析】 如答图，作DH ⊥BA 于H .∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DH ⊥AB ， ∴DH ＝DE ＝4，∴S △ABD ＝12×7×4＝14，故选C.7．如图7，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM ＝PN .图7证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SAS )，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∵点P 在BD 上，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN .【易错点】对于全等三角形开放性问题，常常不能正确选用判定方法． 8. 如图8，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( D )图8A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【解析】 ∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF，故选D.。
三角形判定全等的方法
三角形判定全等的方法三角形的全等判定是用来判断两个三角形是否完全相等的方法。
全等的意思是两个三角形的对应的三个边和对应的三个角都相等。
一般来说，我们可以通过以下的判定方法来判断两个三角形是否全等：1. SSS 判定法（边-边-边）：SSS 判定法是指当两个三角形的三边分别相等时，可以判断它们是全等的。
2. SAS 判定法（边-角-边）：SAS 判定法是指当两个三角形的一个边和与其相邻的两个角分别相等，可以判断它们是全等的。
3. ASA 判定法（角-边-角）：ASA 判定法是指当两个三角形的两个角和它们的对边分别相等时，可以判断它们是全等的。
4. RHS 判定法（直角边-斜边-直角边）：RHS 判定法是指当两个三角形的一个直角和两个直角边分别相等时，可以判断它们是全等的。
下面我将详细解释每种判定法的原理和具体做法：1. SSS 判定法：当两个三角形的三个边分别相等时，可以判断它们是全等的。
该判定法的原理是根据三角形的性质，如果两个三角形的三个边分别相等，那么它们的对应的三个角也会相等，因此可以判断两个三角形是全等的。
2. SAS 判定法：当两个三角形的一个边和与其相邻的两个角分别相等时，可以判断它们是全等的。
该判定法的原理也是根据三角形的性质，如果两个三角形的一个边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们的对应的三个角也会相等，因此可以判断两个三角形是全等的。
3. ASA 判定法：当两个三角形的两个角和它们的对边分别相等时，可以判断它们是全等的。
该判定法的原理是根据三角形的性质，如果两个三角形的两个角和它们的对边分别相等，那么它们的第三个角也会相等，因此可以判断两个三角形是全等的。
4. RHS 判定法：当两个三角形的一个直角和两个直角边分别相等时，可以判断它们是全等的。
该判定法的原理是根据勾股定理，两个直角边分别对应两个直角三角形的两个直角，如果这两个直角边相等，那么两个直角三角形的第三条边也会相等，因此可以判断两个三角形是全等的。
三角形全等的判定(含答案)
1.5 三角形全等的判定专题一利用全等探究线段数量关系1.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论．2. 如图，已知AB＝DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥B C，交CD于F.⑴根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．⑵EF平分∠DEC吗？为什么？3. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．专题二综合探究题4.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．课时笔记【知识要点】1.全等三角形的判定三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）．2.三角形的稳定性当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性.3.线段的垂直平分线的概念与性质概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4.角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等.【温馨提示】1.线段的垂直平分线是一条直线，不是射线也不是线段.2.证明两个三角形全等，需写出所需的三组条件，并用大括号括在一起，注意对应位置.3. 书写证明过程要注意格式，即：①准备条件：把题中没有直接的条件证明出来；②指明范围：在哪两个三角形中；③摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的条件按顺序摆好；④得出结论：得出三角形全等的纵论．【方法技巧】1.要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决.2.要充分挖掘隐含条件，如公共边，当公共边是对应边时，它们是相等的．3. 需要抓住图形特征，有时需运用等式的性质创造对应边相等的条件，从而证两个三角形全等．参考答案：1.解：PC=PD．证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F．可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF．又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°，∴∠EPC =∠FPD．∴△CPE≌△DPF（ASA）．∴PC=PD．1.解：⑴可以直接证明△ABC≌△DCB．∵AB＝DC，AC＝BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．⑵∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB =∠DBC．又∵EF∥B C，∴∠ACB =∠FEC，∴∠DBC =∠DEF，即∠FEC =∠DEF．∴EF平分∠DEC．2.证明：（1）BH=AC.∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD.在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°−∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD.∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．3.解：（1）AF=BD.证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）.同理知，DC=CF，∠DCF=60°.∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠B CD=∠ACF.在△BCD和△ACF中，∴△BCD≌△ACF（SAS）.∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）.（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立.（3）Ⅰ．AF+BF′=AB.证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD.∴AF+BF′=BD+AD=AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′.证明如下：在△BCF′和△ACD中，∴△BCF′≌△ACD（SAS）.∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）.又由（2）知，AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．。
1.5三角形全等的判定
1.5三角形全等的判定在我们的数学世界中，三角形全等的判定是一个极其重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开解决众多几何问题的大门。
首先，咱们来聊聊什么是三角形全等。
简单说，就是两个三角形的形状和大小完全一样。
那怎么来判定两个三角形是不是全等呢？这就有几种方法啦。
第一种方法是“边边边”（SSS）判定定理。
如果两个三角形的三条边都分别相等，那么这两个三角形就全等。
比如说，有两个三角形，一个三角形的三条边分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，另一个三角形的三条边也是 3 厘米、4 厘米、5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
这就好像是我们做拼图，如果三块拼图的边都能完美地对上，那这三块拼图就是完全一样的。
接下来是“边角边”（SAS）判定定理。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
想象一下，一个三角形的两条边分别是 6 厘米和 8 厘米，它们的夹角是 60 度；另一个三角形也有两条边是 6 厘米和 8 厘米，夹角同样是 60 度，那这两个三角形就是一模一样的。
还有“角边角”（ASA）判定定理。
当两个三角形的两个角及其夹边分别相等时，它们全等。
比如一个三角形的两个角分别是 45 度和 90度，夹边是 7 厘米；另一个三角形也有两个角是 45 度和 90 度，夹边也是 7 厘米，那它们肯定全等。
再说说“角角边”（AAS）判定定理。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
打个比方，一个三角形有两个角分别是 30 度和 50 度，30 度角的对边是 5 厘米；另一个三角形也有两个角是 30 度和 50 度，30 度角的对边也是 5 厘米，那这两个三角形就是全等的。
这些判定定理在解决实际问题中非常有用。
比如说，在建筑工地上，工程师要确保两个钢梁组成的三角形结构完全一样，就可以用这些判定定理来进行测量和计算。
在数学考试中，关于三角形全等的判定也是经常出现的考点。
1.5三角形全等的判定(4)
1.5三角形全等的判断（4）义务教育教科书（浙教版）八年级下册衢州市兴华中学周永霞【授课目的】1.掌握三角形全等的判判定理及证明过程.2.掌握角均分线的性质定理及证明过程.3.会运用全等三角形的性质及角均分线的性质判断两条线段相等.4.领悟转变、数形结合等数学思想 .【授课重点和难点】1.两个三角形全等的判判定理（两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等）是本节授课重点 .2. 当图形中没有现成的全等三角形时，需要经过增加辅助线构造全等是本节授课难点.【授课过程】一．学习准备思虑：（ 1）我们已经学过哪几种判断三角形全等的方法？（2）要推出两个三角形全等需要几个条件?（3）若是给出三个条件推出全等，你能说出哪几种可能的情况？（4）请猜想还能够用来判断两个三角形全等的方法可能是什么？（设计妄图：经过复习三角形全等的判断方法，让学生猜想还有哪几种可能的方法，为新的方法埋下伏笔，从中浸透分类谈论的数学思想.）二．课本导学（一）阅读与思虑一『课前预习』三角形全等的判判定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.试一试写出证明过程.（设计妄图：本节课内容很多，45 分钟显得时间紧张，而判判定理的证明其实不难，学生经过预习基本能够掌握，课堂上只需交流证明方法，能够提升课堂效率.）『思虑一』1.根据已学的三角形全等的判定方法，证明这个命题的关键是求证____________=__________2.证明过程中用到了怎样的数学思想？3.三角形全等判判定理的几何语言怎样描述？『练习一』书本 35 页课内练习 1 改编1. 已知：如图，AD均分∠ BAC， _________.求证：BD=CD.（请在横线上增加一个条件，使得结论成立）（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.判断两个三角形全等有哪几种思路？2.判断两条线段相等的方法是什么？3.全等三角形还有怎样的应用？（设计妄图：组织学生分小组进行谈论交流，突出学生的主体地位，培养主动参加的意识，学生在交流的过程中能够扬长避短，一方面使自己的方法更加完满，另一方面能够及时复习三角形全等判断的各种不同样方法.）（二）阅读与思虑二『课前预习』先试一试自己完成课本34 页例 6，再看课本解答 .『思虑二』1.什么叫点到直线的距离？2.点 P 到角两边的距离指的是哪两条线段的长？3. 若是在角均分线上任意取一点，结论可否同样成立？若是点P 与点 A 重合呢？4.你能用一句话概括题中的结论吗？5.角均分线性质定理的几何语言怎样描述？（设计妄图：本例题有着双重作用，第一是对 AAS 判断全等方法的牢固，其次是为了得出角均分线的性质定理 .例题的证明其实不难，所以让学生课前预习；难点是角均分线性质定理的概括，所以设计了一系列的思虑题，让学生在问题的引领下概括结论，提升了学生的思维.）（三）阅读与思虑三『课内阅读』试一试独立完成书本35 页例 7『思虑三』1.从已知条件解析：（1）由AB∥CD，能够推出什么？（2）由AD⊥AB，能够推出什么？（3）点P是∠ABC的均分线上的点，那么 PA应等于什么？我们能够怎样添辅助线？（4）点P是∠DCB的均分线上的点，那么 PD应等于什么？3.当图形中没有现成的全等三角形时，怎么办？（设计妄图：本例题是本节课的难点，宜用综合法来进行解析，即从已知条件出发，利用已经学过的定义、定理以及基本事实，渐渐向前推进，直到问题解决.本例题采用师生共同交流的形式，一步步引领学生打破难点.同时让学生掌握当图形中没有现成的全等三角形时，要经过增加辅助线构造全等. ）『练习二』书本 35 页课内练习22.已知：如图， AD垂直均分 BC， D为垂足. DM⊥AC， DN⊥AB， M， N分别为垂足 . 求证：DM=DN.（先独立完成，尔后小组交流）『概括』1.证明两条线段相等有哪些方法？当题中出现全等三角形的时候，能够利用___________________________________;当题中出现角均分线的时候，能够利用____________________________________;当题中拥有面积相等的三角形时，能够_____________________________________.2.碰到几何题，我们能够怎样进行解析？从_________和 __________ 两个角度进行解析 .（设计妄图：两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，很多其他问题最后都化归为两条线段相等来证明，经过练习.让学生概括出证明两条线段相等最常用的方法就是搜寻全等，其他角均分线的性质，线段中垂线的性质等经常用到. ）三．盘点收获经过这节课的学习，谈谈收获和迷惑.（设计妄图：学生先谈收获，教师再有条理地进行总结，再次把本节课的重点内容清楚地体现在学生眼前 .）四．部署作业必做题：作业实情应作业选做题：书本35 页第 5 题很多其他问题最后都化归为两条线段相等是几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系，两条线段相等来证明，。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、概述在几何学中，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题。
判定三角形全等的方法有多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL等。
本文将介绍这些方法，并给出相应的判定条件和证明过程。
二、SSS法则SSS法则是指当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的三边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，并且满足AB = DE，AC = DF和BC = EF，则可判定这两个三角形全等。
三、SAS法则SAS法则是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的边和夹角分别为AB、AC、∠BAC和DE、DF、∠EDF，并且满足AB = DE，AC = DF和∠BAC = ∠EDF，则可判定这两个三角形全等。
四、ASA法则ASA法则是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的角和夹边分别为∠BAC，∠BCA，AC和∠EDF，∠EFD，DF，并且满足∠BAC = ∠EDF，∠BCA = ∠EFD和AC = DF，则可判定这两个三角形全等。
五、AAS法则AAS法则是指当两个三角形的两个角和一个非夹边的长度分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的两个角和非夹边的长度分别为∠BAC, ∠BCA, AB和∠EDF, ∠EFD, DE，并且满足∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠EFD和AB = DE，则可判定这两个三角形全等。
六、HL法则HL法则是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别为AC, BC和DF, EF，并且满足AC = DF和BC = EF，则可判定这两个直角三角形全等。
七、其他注意事项•在判定三角形全等时，两个三角形的对应边和对应角必须一一对应。
•如果两个三角形的边和角都相等，则这两个三角形必定全等。
三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．【变式1】如图，AB ＝AD ，∠1，DA 平分∠BDE ．求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∵DA 平分∠BDE ．∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC和△ADE中，{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4，则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式1】已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式2】如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD ＝CE .【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，在河岸BM 上截取BC ＝CD ，作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ，垂足为点D ．（DE ≠CD ）（1）线段 的长度就是A 、B 两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离；故答案为：DE ；（2）∵AB ⊥BC ，DE ⊥BD∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°又∵∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝CD∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AB ＝DE ．【变式4】如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN【变式6】如图，已知224m ABC S =△，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，则ADC S =△________2m ．【答案】12【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，90ADB ADE ∠=∠=︒．∵AD AD ＝，∴()ADB ADE ASA ≌．∴BD DE =．∴ABD AED S S =△△，BCD ECD S S =． ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△．即12ADC ABC S S =．∵224m ABC S =△，∴212m ADC S =△．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE ∥CF ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）若AE ＝13，AF ＝7，试求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE ＝∠DCF ，在△BDE 和△CDF 中，，∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；（2）解：∵AE ＝13，AF ＝7，∴EF ＝AE ﹣AF ＝13﹣7＝6，∵△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∵DE +DF ＝EF ＝6，∴DE ＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（202210块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）； （2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6（cm ），BE ＝7×2＝14（cm ），∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【变式】已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.【答案与解析】证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②证明：由（1）知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ．（2）成立．证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c ，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝c .作法：(1)作∠DAF ＝∠α；图4－4－224－4－23(2)在射线AF 上截取线段AB ＝c ；图4－4－24(3)以B 为顶点，以BA 为一边，在AB 的同侧作∠ABE ＝∠β，BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形．[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 例7.已知：角α，β和线段a ，如图4－4－29所示，求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a .图4－4－29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C ，再利用两角夹边作图． 解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC ＝a ；(3)分别以B ，C 为顶点，以BC 为一边作∠CBM ＝∠β，∠BCN ＝∠γ；(4)射线BM ，CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：α∠，∠β和线段a ，求作ABC ，使A α∠=∠，2B β∠=∠，AB a =．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．≌过程中，先作2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠，再作DCB ACB ∠=∠，从而得到DBC ABC ≌，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠，DCB ACB ∠=∠，再加上公共边BC BC =，根据AAS ，即可判断DBC ABC ≌．【详解】解：∵得DBC ABC ∠=∠， BC BC =，DCB ACB ∠=∠，∴DBC ABC≌()ASA ， 故选：B ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ，若6PM =，则PN 的长度不可能是（ ）【答案】D 【分析】如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，证明POH POM △≌△得到6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，∵PM OB ⊥，∴90PHO PMO ==︒∠∠，∵OC 平分AOB ∠，∴POH POM ∠=∠，又∵OP OP =，∴()AAS POH POM △≌△，∴6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，∵(264036=>，∴6，∴四个选项中，只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若4PE =，则点P 到AD 与BC 的距离之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，先证明AD FG ⊥，由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠，进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，则8FG PF PG =+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，∵AD BC ∥，∴AD FG ⊥，∵PE AB ⊥，∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠，∵BP 平分ABC ∠，∴EBP GBP =∠∠，又∵BP BP =，∴()AAS EBP GBP △≌△，∴4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，∴8FG PF PG =+=，∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，90C ∠=︒，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且8CB =，则点M 到线段AD 的最小距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，证明MDE MDC △≌△，得到ME MC =，再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===，根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，∴90MED C ==︒∠∠，∵DM 平分ADC ∠，∴MDE MDC =∠∠，又∵MD MD =，∴()AAS MDE MDC △≌△，∴ME MC =，∵点M 是BC 的中点，8CB =，∴142ME MC BC ===，∴点M 到线段AD 的最小距离为4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E 在ABC 外部，点D 在ABC 的BC 边上，DE 交AC 于F ，若123∠=∠=∠，AE AC =，则（ ）．A ．ABD AFE △≌△B ．AFE ADC ≌△△ C ．AFE DFC ≌△△D ．ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠，E C ∠=∠，然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△．【详解】解：∵12∠=∠，∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC DAE ∠=∠，∵23∠∠=，AFE DFC ∠=∠，∴E C ∠=∠，∴在ABC 和ADE V 中，BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADE ≌△△， 故选：D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ． 8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，8AD BD ==，10AC =，2AE =，则BF 的长为（ ）A ．11.2B ．11.5C ．12.5D ．13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△，可得 6DE DC ==，14BC =，而10AC =，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠，∵AEF BED ∠=∠，∴DBE DAC ∠=∠，∵8AD BD ==，2AE =，∴BDE ADC △≌△，6DE =，∴6DE DC ==，∴14BC =，而10AC =，由等面积法可得：111481022BF ⨯⨯=⨯⨯，解得：11.2BF =；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明BDE ADC △≌△是解本题的关键． 9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；最后，他用步测的办法量出自己与E 点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是（ ）A ． SSSB ． SASC ． ASAD ． AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上，∴A D ∠=∠，∵AC BC ⊥，DF EF ^，∴90ACB DFE ∠=∠=︒，∵AC DF =，∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若212cm BPC S =△，则ABC 的面积（ ）A ．224cmB ．230cmC ．236cmD ．不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，易证()ASA ABP DBP ≌，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==．【详解】如图所示，延长AP ，交BC 于点D ，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP 和DBP 中，ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABP DBP ≌，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴2224ABC BPC S S cm ==，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠，A A ∠=∠，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵B C ∠=∠，A A ∠=∠，∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌，可补充的条件是BE CD =或AE AD =；故答案为：BE CD =或AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．七年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等．【详解】∵AD BC ⊥，∴90BDA CDA ︒=∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAD ∠CAD =∠．在ABD △与ACD 中，BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌．故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等． 13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，连接AD ，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．若8CE =，5BF =，4EF =，则AD 的长为________．【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌，可得8AF CE ==，5BF DE ==，推出AD AF DF =+即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠=∠=︒，∴A C ∠=∠，∵AB CD =，∴(AAS)ABF CDE ≌，∴8AF CE ==，5BF DE ==，∵4EF =，∴()8549AD AF DF =+=+−=，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取BC CD =，过D 点作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，测得16DE =米，则A ，B 之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△，从而得到DE AB =，从而得解．【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥，，∴90B EDC ∠=∠=°，∵90B EDC ∠=∠=，BC CD BCA DCE =∠=∠，，∴()ASA ABC EDC ≌△△，∴DE AB =．又∵16DE =米，∴16AB =米，即A B ，之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，AD CF =，添加一个条件，使ABC DEF ≌△△，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =（答案不唯一）【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =，理由是∶∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，∵AD CF =，∴AD CD CF CD +=+即AC DF =，当BC EF ∥时，有BCA EFD ∠=∠，则() ASA ABC DEF ≌， 当BCA EFD ∠=∠时，则() ASA ABC DEF ≌， 当B E ∠=∠时，则() AAS ABC DEF ≌， 当AB DE =时，则() SAS ABC DEF ≌，故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ， SSS 是解题的关键． 16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M 与点O 的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O 处立竖杆PO ，并将顶端的活动杆PQ 对准点M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N ，测量点N 与点O 的距离，该距离即为点M 与点O 的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在POM 和PON △中，90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ASA POM PON ∴≌，∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒，CBE ACF ∠=∠，根据AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果；②求出CBE ACF ∠=∠，由AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果．【详解】解：①90BCA ∠=︒，90α∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△，BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒，在BCE 中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠，180BCA α∠=︒−∠，BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠，ACF BCE BCA ∠+∠=∠，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△， BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，故答案为：=，180BCA α∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△． ABC 的角平分线，过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，利用ASA 证明ABD △和ACF △全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，90EBF F ∠+∠=︒，90ACF F ∠+∠=︒，EBF ACF ∴∠=∠，在ABD △和ACF △中，EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ABD ACF ∴≌， BD CF ∴=，BD Q 是ABC ∠的平分线，EBC EBF ∴∠=∠．在BCE 和BFE △中，BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BCE BFE ∴≌， CE EF ∴=，2CF CE ∴=，24BD CF CE ∴===．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定AB EF ∥，得到ABC F ∠=∠，再利用AAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得9AB CF ==，4BC EF ==，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵CD AB ⊥，EF CE ⊥，∴AB EF ∥，∴ABC F ∠=∠，在ABC 和CFE 中，ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABC CFE △△≌； （2）∵ABC CFE △△≌， ∴9AB CF ==，4BC EF ==，∴5BF CF BC =−=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等． 20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠．求证：AB CE AD +=．【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌，得出AB CD =，BC CE =，即可证明结论．【详解】解：∵AB CE ∥，∴A DCE ∠=∠，∵B D ∠=∠，BC DE =，∴()AAS ABC CDE ≌，∴AB CD =，BC CE =，∴AB CE CD AC AD +=+=．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△．21．（2022秋·八年级课时练习）已知αβ∠∠，和线段a （下图），用直尺和圆规作ABC ，使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=，，．【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段AB a =．2．分别以A ，B 为顶点，在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，，DA 与EB 相交于点C ．ABC 就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知ABC ，请根据“ASA”作出DEF ，使DEF ABC ≌．【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠，再在EM 上截取ED BA =，在EN 上截取EF BC =，从而得到DEF ABC ≌．【详解】解：如图，DEF 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，已知FB CE =，AB DE ∥，ACB DFE ∠=∠，试说明：AC DF =．【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵FB CE =，∴FB FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△， ∴AC DF =．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC AC =，BCE DCA ∠=∠，A E ∠=∠．求证：AB ED =．【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠，再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BCE DCA ∠=∠，∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠，即ACB ECD ∠=∠．在ABC 和EDC △中，∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AB ED =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△； (2)若10BE =，3BF =，求FC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB DE ∥，得ABC DEF ∠=∠，而AB DE =，A D ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△； （2）根据全等三角形的性质得BC EF =，则3BF CE ==，即可求得FC 的长度．【详解】（1）解：证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 和DEF 中，A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△； （2）解：由（1）知()ASA ABC DEF ≌△△，∴BC EF =， ∴BF FC CE FC +=+，∴3BF CE ==，∵10BE =，∴10334FC BE BF CE =−−=−−=，∴FC 的长度是4．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键． 26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 中，BD CD =，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】（1）根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð，根据全等三角形的判定即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得DE DF =，即可求得．【详解】（1）证明：∵BE CF ∥，∴BED CFD Ð=Ð，∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =，∴()AAS BDE CDF ≌；（2）由（1）结论可得DE DF =，∵1587EF AE AF =−=−=，∴72DE =．【点睛】全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，AC DE DC ==．(1)试说明ABC DBE ≌△△．(2)若72ACD ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到BED BCA ∠=∠，证明()SSS DBC ABC ≌，得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，即可得解．【详解】（1）解：因为DBA CBE ∠=∠，所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠，即DBE ABC ∠=∠．在ABC 和DBE 中，ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以()AAS ABC DBE ≌． （2）因为ABC DBE ≌△△， 所以BD BA =，BCA BED ∠=∠．在DBC △和ABC 中，DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以()SSS DBC ABC ≌， 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，所以36BED BCA ∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段AD 是ABC 的中线，分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线，垂足分别为E 、F ．(1)请问BDE 与CDF 全等吗？说明理由；(2)若ACF △的面积为10，CDF 的面积为6，求ABE 的面积．【答案】(1)BDE CDF ≌△△，见解析 (2)22【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可．（2）根据中线性质，得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ，结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可． 【详解】（1）BDE CDF ≌△△，理由如下： ∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AE ⊥，CF AE ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌．（2）∵10ACF S =△，6CDF S =△，BDE CDF ≌，∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△，6BDE CDF S S ==，∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键． 29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC 中，点D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，若,=∠=∠AB AC ADB ADC ，求证：AD 平分BAC ∠.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点P 分别作三边的垂线，分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠，所以ADE ADF ∠=∠，因此(AAS)ADF ADE ≅，得到AF AE =.进而AFC AEB ≅，得到ABD ACD ∠=∠，因此BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC ，P 为三角形ABC 内任意一点，PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证：PD+PE+PF 为定值.证明：如图：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++， ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠，又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅，∴AF AE =∴AFC AEB ≅，∴ABD ACD ∠=∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．。
八年级数学上册三角形全等的判定知识点
八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 全等三角形的判定【八大题型】【浙教版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (2)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (3)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (4)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (5)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (8)【题型8 全等三角形的应用】 (9)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB ＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠F AE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB ＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠F AG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC ＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD 交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，请把小明所说的条件补上．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．。
三角形全等的判定第四课时教案
12．2三角形全等的判定第四课时一、教学目标1．经历探索判定直角三角形全等的方法的过程，理解“斜边直角边”．2．会应用“斜边直角边”证明两个直角三角形全等．3．树立探索、发现隐含条件的意识．二、教学重难点重点：应用“斜边直角边”判定两个直角三角形全等．难点：“斜边直角边”判定方法的探索过程．教学过程一、情境引入前面我们已经学过了全等三角形的判定方法：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知：(1)一边和一个锐角相等的两直角三角形全等．(利用“ASA”或“AAS”)(2)两直角边相等的两直角三角形全等．(利用“SAS”)提出问题：如右图，小亮在探索直角三角形全等时发现，两直角三角形满足斜边、直角边分别相等时，这两个直角三角形也会全等，你认为小亮的说法正确吗？说说你的理由．教师利用三角形模型，从完全重合的角度来说明．二、互动新授通过演示，我们发现，小亮的说法是正确的，下面通过画图再来验证一下．【探究5】如教材图12.2－11，任意画出一个Rt△ABC中，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？作法如下：画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C ′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB ：(1)画∠MC ′N ＝90°；(2)在射线C ′M 上截取B ′C ′＝BC ；(3)以点B ′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C ′N 于点A ′；(4)连接A ′B ′.追问：剪下这两个三角形，拼拼看，它们是不是全等的三角形．你会发现什么？ 由探究5可以得到判定直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【例5】 如教材图12.2－12，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证BC ＝AD.【证明】 ∵AC⊥BC，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴BC＝AD.三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节是全等三角形的最后一个判定：“斜边、直角边”，它有别于前面学过的判定方法，首先是它只适用于直角三角形，它的判定条件只有两组对应边相等(斜边和一条直角边)；其次是判定的书写格式，要求先要证明这两个三角形是两个直角三角形，并指出在两个直角三角形(Rt△)中，满足斜边、直角边分别相等，最后由“HL”得出两个直角三角形全等．学生在书写时，往往会出现书写格式不规范的错误，主要错误是没有体现出直角三角形，教学中应该加以强调．导学方案一、学法点津学生通过模型演示和画图感受“斜边、直角边”的合理性是重要且必要的．同时，学会正确应用“斜边、直角边”证明直角三角形全等．注意书写格式要规范：(1)证明两直角三角形的斜边和一直角边分别相等；(2)表述两直角，并用Rt△来叙述两三角形；(3)写出条件：斜边和一直角边分别相等；(4)用Rt△表述两直角三角形全等．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．2．两直角三角形只要满足两个元素(至少有一边)分别相等，这两个直角三角形就全等．（二）规律方法总结1．证明三角形全等在思路上可以分为非直角三角形的两个三角形全等和两直角三角形全等两类．2．在全等条件中要注意“两边必须夹角”，“两角却不一定要夹边”，“斜边、直角边”只适应于两直角三角形．3．隐含条件的类型主要有：公共边，公共角，边的恒等变形，角的恒等变形，对顶角相等，同位角相等，内错角相等，隐含全等的三角形等．要学会发现隐含的条件，且将发现的隐含条件与已知条件进行综合考虑推出新结论则显得更重要．第四课时作业设计一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( )．(1)有一角相等的两个直角三角形一定全等；(2)有一边分别相等的两个直角三角形一定全等；(3)有一角一边分别相等的两个直角三角形一定全等；(4)有两边分别相等的两个三角形一定全等；(5)有两角分别相等的两个三角形一定全等．A．0个 B．2个C．3个 D．4个2．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需添加的一个条件是( )A．∠A＝∠D B．AB＝BDC．AC＝DE D．∠BED＝∠C二、填空题3．“斜边、直角边”判定的内容是：__________________________________________.4．如图，已知AB＝AC，AD是BC边上的高，则可以证明△ABD≌△ACD，依据是__________．由此可推出∠B＝__________．三、解答题5．如右图，已知AB＝CD，BF⊥AC, DE⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF.求证AB∥CD.【参考答案】1.A2.C3.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等4．HL ∠C5.证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED ＝90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD.。
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A
D
B
C
E
F
对命题的证明，写出“已知”和“求证” 。
判定两个三角形全等的方法：
有两个角和其中的一个角的对边对应相等
的两个三角形全等 (AAS)
A
在ΔABC和ΔDEF中
∠B=∠E ∠C=∠F
B D
C
AC=DF
∴ΔABC ≌ Δ DEF（ ASA ）
1.5三角形全等的判定（4）
SSS、SAS、ASA
知识回顾
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三 角形全等(ASA)
A
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E (已知) BC= EF (已知) ∠C= ∠ F (已知)
∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）
B
C
D
E
F
探索新知：
用来判定两个三角形全等还有以下定理：
E
F
例题解析：
例题解析：
课堂检测：
1:如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据ASA或AAS，那
么应补充一个直接条件 ∠---B--=--∠---E--或--∠---A--=--∠---D--，（写出一 个即可），才能使△ABC≌△DEF.
A
F
E
B
C
D
课堂检测：
2:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别是D、E,
BE、CD相交于点O,若∠1=∠2,试说明 (1) OD=OE (2) OB=OC
A
12
D
E
O
B
C
课堂小结：
全等三角形的定义
两
判定条件 SSS
个
形
关键：找符合要求的条件
全
等
特别注意：边和角分别对应相等,而不
是分别相等。
课堂小结：
SSS
两
个
三
SAS
角
形
全
ASA
等
AAS
作业布置：
作业本、预习、课后练习