2017-2018学年北京师大附中九年级(上)期中数学试卷

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2017-2018学年北京中国人大附中九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年北京中国人大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）一元二次方程（x﹣2）2=0的解是（）A．x=2B．x1=x2=2C．x1=2，x2=﹣2D．x=﹣23．（4分）二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＞2C．m＜0D．m＜24．（4分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定5．（4分）已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1B．8C．﹣2D．16．（4分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（4分）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3B．y=﹣x2﹣2x+3C．y=﹣x2+2x+3D．y=﹣x2+2x﹣38．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°10．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A．B．C．D．11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）13．（4分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．14．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是．15．（4分）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为16．（4分）函数y=的最小值是．17．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标是．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2可通过平移交换向得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是．19．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．三、解答题（共3小题，满分24分）20．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，（1）请你将函数解析式化成y=（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1=0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．21．（8分）用配方法解一元二次方程：x2+3x﹣=0．22．（8分）已知：如图在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AD=CB，（1）利用尺规作图确定圆心O的位置，保留作图痕迹；（2）求证：AB=CD．2017-2018学年北京中国人大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）一元二次方程（x﹣2）2=0的解是（）A．x=2B．x1=x2=2C．x1=2，x2=﹣2D．x=﹣2【分析】利用直接开平方法得到x﹣2=0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：x﹣2=0，所以x1=x2=2．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．3．（4分）二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＞2C．m＜0D．m＜2【分析】根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下”是解题的关键．4．（4分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．5．（4分）已知关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，则此解析式的一次项系数是（）A．﹣1B．8C．﹣2D．1【分析】根据二次函数定义可得m=2，再代入3m+2即可得到答案．【解答】解：∵关于x的函数y=（m﹣1）x m+（3m+2）x+1是二次函数，∴m=2，则3m+2=8，故此解析式的一次项系数是：8．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．6．（4分）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选：B．【点评】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．7．（4分）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣2x+3B．y=﹣x2﹣2x+3C．y=﹣x2+2x+3D．y=﹣x2+2x﹣3【分析】抛物线开口向下，a＜0，与y轴的正半轴相交c＞0，对称轴在原点的右侧a、b异号，则b＞0，再选答案．【解答】解：由图象得：a＜0，b＞0，c＞0．故选：C．【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．8．（4分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP=∠CQN，∠PAQ=∠CQN∵∠AQP+∠PAQ=90°，∴∠AQP+∠CQN=90°，∴∠AQC=90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°【分析】先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A．B．C．D．【分析】过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．【解答】解：过O作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=∠AOB=60°，∴AC=OA•sin60°=，因此AB=2AC=2．故选：B．【点评】此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．11．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）13．（4分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（﹣2，3）关于原点O的对称点是P′（2，﹣3）【解答】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．14．（4分）已知抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），则y1与y2的大小关系是y1＞y2．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣2，y1）和B（3，y2），分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2的值，最后比较它们的大小即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），∴y1=4+4+5=13，即y1=13，y2=9﹣6+5=8，即y2=8，∵8＜13，∴y2＜y1．故答案是：y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．15．（4分）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为4或5【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．【解答】解：由勾股定理可知：①直角三角形的斜边长为：8；②直角三角形的斜边长为：=10．因此这个三角形的外接圆半径为4或5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．16．（4分）函数y=的最小值是﹣2．【分析】由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．【解答】解：在函数y=中，∵a=，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．17．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，那么点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．【分析】根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可．【解答】解：如图所示，点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2可通过平移交换向右移2个单位，再向下移2个单位得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是4．【分析】确定出抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x=2，当x=2时，y=×22=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，×（2+2）×2=4．故答案为：右移2个单位，再向下移2个单位，4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．19．（4分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA=OB，在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，∴AG=2OG，OA==，∴∠GAO=30°，AB=2AO=2，∴∠AGO=60°，∵GC=GA，∴∠GCA=∠GAC，∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠GCA=∠GAC=30°，∴AC=2OA=2，MG=CG=1，∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM=﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共3小题，满分24分）20．（8分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3，（1）请你将函数解析式化成y=（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1=0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出x=﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出y=﹣2时对应的x的近似值即可．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，函数图象如图所示；（2）y=﹣2时，x2﹣2x﹣3=﹣2，x2﹣2x﹣1=0，方程x2﹣2x﹣1=0的根如图所示．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．21．（8分）用配方法解一元二次方程：x2+3x﹣=0．【分析】在本题中，把常数项﹣移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方．【解答】解：x2+3x﹣=0x2+3x=x2+3x+（）2=+（）2（x+）2=x+=±x1=，x2=．【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．（8分）已知：如图在⊙O中，弦AB，CD交于点E，AD=CB，（1）利用尺规作图确定圆心O的位置，保留作图痕迹；（2）求证：AB=CD．【分析】（1）作BD的垂直平分线即可；（2）同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，∴△ADE≌△CBE．∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．第21页（共21页）。

北师大附中数学

北师大附中2008~2009学年上学期期中考试初三数学试卷本试卷满分120分，考试时间为120分钟。

一、选择题（每小题3分，共36分）1. 在反比例函数的图象中，下列阴影部分的面积不等于4的是2. 在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A. B.C. D.3. 已知二次函数的图象上有三点A（，），B（2，），C（，），则、、的大小关系为A. B. C. D.4. 已知抛物线（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于A. B. C. 2D. –25. 如图，抛物线（0）的对称轴是直线，且经过点P（3，0），则的值为A. 0B. –1C. 1D. 26. 如图，AB是⊙O的直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点PA. 到CD的距离保持不变B. 位置不变C. 随C点的移动而移动D. 等分7. 某版人民币的一角硬币的正面图案中，是一个圆内接正九边形，如果这枚硬币的半径是R，那么它的边长为A. B. C. D.8. 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，已知∠B=，∠C=，连结OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于A. B. C.D.9. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是A. B. C.D.11. 半径为15cm和13cm的两个圆相交，它们的公共弦长为24cm，则这两个圆的圆心距等于A. B. 或 C.D. 或12. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中R、r分别为⊙、⊙的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙、⊙的位置关系是A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切二、填空题（每小题4分，共44分）13. 函数的自变量x的取值范围是__________。

师大附中初三第一学期期中试题及答案

北京师大附中2012--2013学年度第一学期期中考试初三数学试卷班级_______姓名________学号______成绩__________试题说明：1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2.请将全部的答案填在答题纸上.一．选择题（每小题4分，共32分）1．由二次函数y = 2 (x －3)2 + 1，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x=－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大 2．如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（）A ．45°B ．35°C ．25°D ．20°3. 在ABC ∆中，,135sin ,900==∠A C 则=A tan （）A . 1312B . 135C . 125D . 12134.设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（）A .123y y y >>B .132y y y >>C .321y y y >>D .213y y y >> 5. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则下列结论中正确的是 ( ) A ．a>0 B ．c ＜0 C ．b 2- 4ac<0 D ．a ＋b ＋c>06．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若CE =2，则AB 的长是 ( )A ．4B ．6C ．8D ．107．如图，已知抛物线y 1 = —2x 2 + 2，直线y 2 = 2x + 2，当x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1 = y 2，记M = y 1 = y 2，例如：当x = 1时，y 1= 0，y 2 = 4，y 1＜y 2，此时M = 0，下列判断： ① 当x ＞0时，y 1＞y 2； ② 当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③ 使得M 大于2的x 值不存在；④ 使得M = 1的x 值是21—或22其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 8．如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C →A 的路径运动，回到点A 时运动停止。

北京市师大附中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新

北京市师大附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=，BC=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．23．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是（）A．8 B．6 C．4 D．34．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A．B．C．D．6．将抛物线y=3x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x+2）2﹣3 C．y=3（x﹣2）2+3 D．y=3（x﹣2）2﹣37．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．abc＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b＞0 D．4a﹣b+c＜09．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C 落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A．B．2 C．3 D．210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式：．12．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是．13．在阳光下，身高1.7m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为m．14．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，则两次摸取纸牌上数字之和为5的概率是．15．已知二次函数y=2x2+8x+m，自变量x1=﹣2+对应的函数值为y1，自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）．16．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：2sin45°+3tan30°﹣2tan60°•cos30°．18．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．19．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …﹣5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．21．已知如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=18，求：BC、AB的长．22．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知：如图，面积为2cm2的四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD=45°，CD=cm，求AB的长．24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．26．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与∠A相等的角为，∠A的正切值为；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=，KG=，延长HK，求∠α+∠β的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=﹣1，且反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k的取值范围．28．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=有交点A、B，已知点B（﹣2，﹣2），tan∠AOX=4．（1）求k的值以及抛物线的解析式；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）．（3）点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，△ABP 的面积S△ABP恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围（P与B重合时规定S△ABP=0）．2015-2016学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=，BC=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵在Rt△AB C中，∠C=90°，AB=，BC=2，∴AC===1，∴sinB===．故选A．【点评】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键．3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则E C的长是（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例=，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC﹣AE．【解答】解：∵AD=6，BD=2，∴AB=AD+BD=8；又∵DE∥BC，AE=9，∴=，∴AC=12，∴EC=AC﹣AE=12﹣9=3；故选：D．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB的长度．4．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．【解答】解：P（红豆粽）==．故选：B．【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．将抛物线y=3x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x+2）2﹣3 C．y=3（x﹣2）2+3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】几何变换．【分析】先由而次函数的性质得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律，点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（2，3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后的抛物线的解析式是y=3（x﹣2）2+3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线平移的问题转化为顶点平移的问题．7．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．abc＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b＞0 D．4a﹣b+c＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，故A错误；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故B错误；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴2a﹣b=0，故C正确；∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故C错误．故选C．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C 落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A．B．2 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．【解答】解：连接CC1．Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=，易得BE=AB×tan30°=1，AE=2．∠AEB1=∠AEB=60°，由AD∥BC，那么∠C1AE=∠AEB=60°，所以△AEC1为等边三角形，那么△CC1E也为等边三角形，那么EC=EC1=AE=2，∴BC=BE+EC=3，故选C．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，注意使用翻折前后得到的对应边相等，对应角相等这个知识点及相应的三角函数等知识．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式：y=﹣x2﹣1 ．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣1）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），故解析式为：y=﹣x2﹣1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2﹣1（答案不唯一）．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．12．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是55°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用互余求解．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°．故答案为55°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13．在阳光下，身高1.7m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为15.3 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．【解答】解：根据题意可得：设旗杆高为x．根据在同一时刻身高与影长成比例可得： =，解得：x=15.3．故答案为：15.3．【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．14．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，则两次摸取纸牌上数字之和为5的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可．【解答】解：根据题意，列表如下：1 2 3 4甲乙1 2 3 4 52 3 4 5 6.3 4 5 6 74 5 6 7 8由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）==，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．已知二次函数y=2x2+8x+m，自变量x1=﹣2+对应的函数值为y1，自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1＜y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=﹣2，然后通过比较点（﹣2+，y1）和点（﹣4，y2）离直线x=﹣2的远近得到y1与y2的大小．【解答】解：∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点（﹣2+，y1）比点（﹣4，y2）离直线x=﹣2要近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．16．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为﹣．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了．【解答】解：连接OB，∵旋转75°，∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，∵∠AOB=45°，∴OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°=30°，过B作BD⊥x轴于D，∵BC=OC=1，∴OB=，∴BD=，∴OD=，∴B（，），把B点坐标代入y=ax2中得：，解之得：a=．【点评】此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：2sin45°+3tan30°﹣2tan60°•cos30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=2×+3×﹣2××=+﹣3．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．【考点】作图-位似变换．【分析】利用位似图形的性质得出对应点的交点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为：2：1．【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心是解题关键．19．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出=，进而代入可得出AE•DE的值．【解答】解：（1）证明：如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2，又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA．（2）∵△ABE∽△DEA，∴=，∴AE•DE=AB•DA．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=DA=4．∴AE•DE=AB2=16．【点评】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质得出∠1=∠2，证明出△ABE∽△DEA，难度一般．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …﹣5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设y=a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．已知如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=18，求：BC、AB的长．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值和余弦值求出CD、AD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长，根据AB=AD+BD计算即可得解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵∠A=30°，AC=18，∴CD=AC•sin∠A=18•sin30°=18×=9，AD=AC•cos∠A=18•cos30°=18×=9，∵tanB=，∴BD=CD÷=9×=12，∴AB=AD+BD=9+12；由勾股定理得，BC===15．【点评】本题考查了解直角三角形，作辅助线构造出两个直角三角形是解题的关键．22．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共边BE求得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案．【解答】解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．【点评】本题考查解直角三角形的知识．要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知：如图，面积为2cm2的四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD=45°，CD=cm，求AB的长．【考点】圆周角定理；勾股定理．【分析】延长BC、AD交于点E，根据圆周角定理得到∠ADC=∠B=90°，根据直角三角形的性质求出DE=CD=，求出S△EDC，得到S△EAB，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：延长BC、AD交于点E．∵直径AC，∴∠ADC=∠B=90°，∵∠BAD=45°，∴∠E=90°﹣45°=45°，∴DE=CD=，∴S△EDC=×DC×DE=1，∵四边形ABCD面积为2，∴S△EAB=3，∴×AB×BE=3，∵∠BAD=∠E=45°，∴AB=BE，∴AB=．【点评】本题考查的是圆周角定理、勾股定理的应用以及等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的性质是解题的关键．24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把y=70代入y=﹣5x+150，求出x即可；（2）每月销售量y=﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；（3）转化为二次函数求出最大值即可．【解答】解：（1）当y=70时，70=﹣5x+150，解得x=16，则（16﹣10）×70=420元；（2）w=（x﹣10）（﹣5x+150）=﹣5x2+200x﹣1500，∵，∴自变量的取值范围为10≤x≤18；（3）w=﹣5x2+200x﹣1500=﹣5（x﹣20）2+500∵a=﹣5＜0，∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，∴当x=18时，w有最大值，为480元．答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．26．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC 相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=，KG=，延长HK，求∠α+∠β的度数．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由图得知：AC=，DE=2，BC=2，EF=2，AB=，DF=2，通过三边对应成比例，两三角形相似得到△ABC∽△DEF，于是得到结论；（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，如图4，由图得知各个相等的长度，于是得到=，得到△MKG∽△MGH，求得∠α=∠1，根据三角形外角的性质即可得到结果．【解答】解：（1）由图得知：AC=，DE=2，BC=2，EF=2，AB=，DF=2，∴=，∴△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A，∴tanA=tanD=；故答案为：∠D，；（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，如图4，∵可得KM=2，MG=，∴HM=4，HG=，MG=，MG=，KG=，KM=2，∴=，∴△MKG∽△MGH，∴∠α=∠1，∵∠1+∠β=45°，∴∠α+∠β=45°．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，外角的性质，找准相似三角形是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=﹣1，且反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）令y=0，则x2﹣（m﹣3）x+=0，由判别式得出△=（m﹣1）2+3，不论m为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0，即可得出结论．（2）由抛物线对称轴x=﹣1，得出m=2，抛物线的解析式为y=x2+x﹣；当2＜x＜3时，对于y=x2+x ﹣，y随着x的增大而增大，对于y=（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．分别求出当x0=2时和当x0=3时，k的取值范围，即可得出结果．【解答】（1）证明：令y=0，则x2﹣（m﹣3）x+=0，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4××=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴不论m为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0．∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．（2）解：∵抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+的对称轴为x=﹣=m﹣3，又∵抛物线对称轴x=﹣1，∴m﹣3=﹣1，解得：m=2，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；当2＜x＜3时，对于y=x2+x﹣，y随着x的增大而增大，对于y=（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得：＞×22+2﹣，解得：k＞5．当x0=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得：×32+3﹣＞，解得：k＜18．所以k的取值范围为5＜k＜18．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法、判别式的应用、二次函数的性质、不等式的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用二次函数的性质和解不等式才能得出结果．28．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．。

2017-2018学年北师大版数学九年级(上册)期中试卷及答案

2017-2018学年九年级（上册）期中数学试卷一．选择题1．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的方程x2+kx﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．设x1、x2是方程2x2﹣6x﹣1=0的两个根，则（）A．x1+x2=6 B．x1+x2=3 C．x1•x2=D．x1•x2=﹣14．在下列函数中，其中y是x的二次函数的一个是（）A．y=2x+1 B．y=C．y=x2﹣3 D．y=（k﹣1）x2+3x﹣15．抛物线y=x2+2x的顶点坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1） C．（2，0） D．（1，0）6．三角形的外心是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边的中垂线的交点D．三条高的交点7．对于抛物线y=﹣x2+4，下列说法中错误的是（）A．开向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是（0，4）C．当x=0时，y有最小值是4 D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠69．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等10．如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是．12．如果点P（﹣2，6）与点P′关于原点对称，那么点P′的坐标是．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是．14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．15．已知抛物线y=x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2，则阴影部分的面积为．三．解答题17．解方程：3x（x+2）=4x+8．18．已知抛物线y=ax2+bx经过 A（1，﹣1）、B（2，2）两点，求这条抛物线的解析式．四．解答题19．白溪镇2013年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2015年达到82.8公顷．求该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率．20．已知抛物线 y=x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．21．如图是一个还未画好的中心对称图形，它是一个四边形ABCD，其中A与C，B与D是对称点．（1）用尺规作图先找出它的对称中心，再把这个四边形画完整；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，C是⊙O上一点，∠PCA=∠B．求证：PC是⊙O 的切线．23．用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？24．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．25．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q，使△QBC的面积最大？，若存在，求出点Q的坐标及△QBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别结合选项判断即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．关于x的方程x2+kx﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】求出△的值即可得出结论．【解答】解：∵△=k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解答此题的关键．3．设x 1、x 2是方程2x 2﹣6x ﹣1=0的两个根，则（）A ．x 1+x 2=6B ．x 1+x 2=3C ．x 1•x 2=D ．x 1•x 2=﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2﹣6x ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2=﹣．故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．4．在下列函数中，其中y 是x 的二次函数的一个是（）A ．y=2x+1B ．y=C ．y=x 2﹣3D ．y=（k ﹣1）x 2+3x ﹣1 【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义进行选择即可．【解答】解：A 、y=2x+1是一次函数，故错误；B 、y=不是二次函数，故错误；C 、y=x 2﹣3是二次函数，故正确；D 、当k=1时，y=（k ﹣1）x 2+3x ﹣1不是二次函数，故错误；故选C ．【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．5．抛物线y=x 2+2x 的顶点坐标是（）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（2，0）D ．（1，0）【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．6．三角形的外心是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边的中垂线的交点D．三条高的交点【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】三角形的外心是这个三角形的三边的中垂线的交点，作出判断．【解答】解：A、三条中线的交点叫重心，所以选项A不正确；B、三条角平分线的交点叫内心，是三角形内切圆的圆心，所以选项B不正确；C、三边的中垂线的交点叫外心，是三角形外接圆的圆心，所以选项C正确；D、三条高的交点叫垂心，所以选项D不正确；故选C．【点评】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三角形的外心是这个三角形的三边的中垂线的交点是关键．7．对于抛物线y=﹣x2+4，下列说法中错误的是（）A．开向下，对称轴是y轴 B．顶点坐标是（0，4）C．当x=0时，y有最小值是4 D．当x＞0时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及最值，再利用增减性可判断D，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣x2+4，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，4），当x=0时，y有最大值4，当x＞0时，y 随x的增大而而减小，∴C错误，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠6【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据，在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得A、B选项中的结论正确，D选项错误，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得C选项中的结论正确．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠1=∠2，∠3=∠5，∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BAD=∠DCE，则A、B、C选项结论都成立，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠4=∠ACD，但是不一定等于∠6，故D选项结论错误，故选：D．【点评】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆周角定理，以及圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．9．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故本选项错误；D、相等的弧所对的圆心角相等，正确，故选D．【点评】本题考查了圆、弧、弦的关系，熟练掌握圆、弧、弦的关系是解题的关键．10．如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据直线与抛物线的解析式中a、b的符号关系，结合图象的位置，进行逐一判断．【解答】解：①当a＞0时，二次函数的图象应该开口向上，一次函数的图象应该在一三或一二三或一三四象限，不正确；②一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b=0，此时二次函数的图象应该开口向上，且对称轴为x=0，正确；③一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b＞0，此时二次函数的图象应该开口向下，a＜0，不正确；④一次函数的图象反映的信息是：a＞0，b＜0，此时二次函数的图象应该开口向下，a＜0，不正确；故选B．【点评】应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c图象的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二．填空题11．把方程2x2﹣1=x（x+3）化成一般形式是x2﹣3x﹣1=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】直接去括号，进而移项合并同类项进而得出答案．【解答】解：2x2﹣1=x（x+3）2x2﹣1=x2+3x，则2x2﹣x2﹣3x﹣1=0，故x2﹣3x﹣1=0．故答案为：x2﹣3x﹣1=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．12．如果点P（﹣2，6）与点P′关于原点对称，那么点P′的坐标是（2，﹣6）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出点P′的坐标．【解答】解：根据题意得，点P′的坐标（2，﹣6）．故答案是：（2，﹣6）．【点评】本题考查了关于原点对称，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是22°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=136°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数．【解答】解：∵∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣136°）=22°．故答案为22°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．15．已知抛物线y=x2﹣4x+m与x轴交于A、B两点，若A的坐标是（﹣1，0），则B的坐标是（5，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求出点B的坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x+m，∴抛物线的对称轴方程为x=2，∵点A（﹣1，0）和点B关于对称轴x=2对称，∴点B的坐标为（5，0），故答案为（5，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程，此题难度不大．16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C=30°，CD=2，则阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算；垂径定理．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，连接OD ，假设线段CD 、AB 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE=ED=，又∵∠DCB=30°，∴∠DOE=2∠CDB=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE •cot60°=×=1，OD=2OE=2，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =﹣OE ×ED+BE •EC=﹣+=．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．三．解答题17．解方程：3x （x+2）=4x+8．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到3x （x+2）﹣4（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：3x （x+2）﹣4（x+2）=0，（x+2）（3x ﹣4）=0，x+2=0或3x ﹣4=0，所以x 1=﹣2，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知抛物线y=ax 2+bx 经过 A （1，﹣1）、B （2，2）两点，求这条抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】把A ，B 两点坐标代入解析式求得a 和b 的值即可求得解析式．【解答】解：∵抛物线y=ax 2+bx 经过 A （1，﹣1）、B （2，2）两点，∴把A ，B 两点坐标代入抛物线解析式中得：，∴， ∴抛物线的解析式为：y=2x 2﹣3x ．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式的知识，解题的关键是列出a 和b 的二元一次方程组，此题难度不大．四．解答题19．白溪镇2013年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2015年达到82.8公顷．求该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为x ，由题意得等量关系：2013年有绿地面积×（1+增长率）2=2015年绿地面积，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为x ，由题意得：57.5（1+x）2=82.8，解得：x1=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去），2答：该镇2013至2015年绿地面积的年平均增长率为20%．【点评】本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；增长率问题：增长率=增长数量原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a （1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．20．已知抛物线 y=x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用配方法即可确定函数的顶点坐标；令y=0，解方程即可求得与x轴的交点的横坐标；（2）y＜0求x的范围，根据函数开口向上，以及函数与x轴的交点即可确定．【解答】解：（1）y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，则函数的顶点坐标是（2，﹣2），即A的坐标是（2，﹣2）．令y=0，则x2﹣2x=0，解得x=0或4，则B的坐标是（0，0），C的坐标是（4，0）；（2）x的范围是0＜x＜4．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．21．如图是一个还未画好的中心对称图形，它是一个四边形ABCD，其中A与C，B与D是对称点．（1）用尺规作图先找出它的对称中心，再把这个四边形画完整；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的判定．【分析】（1）直接利用中心对称图形的性质得出BD的中点，进而得出C点位置；（2）直接利用平行四边形的判定方法进而得出答案．【解答】（1）解：连接BD，并作其中垂线，得对称中心O连接并延长AO至C，使OC=AO，连CB、CD；（2）证明：∵O是对称中心，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平行四边形的判定，正确得出O点位置是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，C是⊙O上一点，∠PCA=∠B．求证：PC是⊙O 的切线．【考点】切线的判定；圆周角定理．【分析】要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．【解答】证明：连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠PCA=∠B，∴∠OCB=∠PCA．∵AB是直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠PCA=90°，∴OC⊥PC．又∵C是⊙O上一点，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的高度为x米，窗的透光面积（铝合金所占面积忽略不计）为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（结果要化成一般形式）；（2）能否使窗的透光面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由；（3）窗的高度为多少时，能使透光面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）设窗框的长为x米，则宽为（6﹣2x）米，进而得出函数关系式即可；（2）令y=2，代入函数关系式，则可判定所对应方程根的判别式和0的大小即可；（2）根据面积公式列出二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．【解答】解：（1）设窗框的长为x米，则宽为（6﹣2x）米，窗户的透光面积为：y=x•（6﹣2x）=﹣x2+2x；（2）令y=2得：2=﹣x2+2x，整理得：2x2﹣6x+6=0，∵△=b2﹣4ac=﹣12＜0，∴此方程无解，∴不能使窗的透光面积达到2平方米；（3）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1.5）2+1.5，∵a=﹣＜0，∴y有最大值，当x=1.5时，y的最大值是1.5．答：窗的高度1.5米时，能使透光面积最大，最大面积是1.5米2，【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式是解题关键．24．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的判定定理证明；（2）根据勾股定理求出AB，根据切线长定理得到AF=AE，BD=BF，CD=CE，结合图形列式计算即可．【解答】解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形；（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ，∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣CE=BC+AC ﹣AB=4，则CE=2，即⊙O 的半径为2．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念和性质、正方形的判定和性质，掌握切线长定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）抛物线在第二象限内是否存在一点Q ，使△QBC 的面积最大？，若存在，求出点Q 的坐标及△QBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点坐标与系数的关系即可求得；（2）根据轴对称的性质先找出C 的对称点C′，然后连接AC′即可找到P 点，最后根据A 、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得P 的坐标；（3）根据S △QBC =S △QBP +S 四边形QPOC ﹣S △BOC 即可求得解析式，根据解析式即可求得求出点Q 的坐标及△QBC 的面积最大值；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，当y=0时，即﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1，当x=0时，y=3，∴B （﹣3，0）、C （0，3）；（2）存在；如图1，∵抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3，∴抛物线的对称轴x=﹣1，C （0，3）∴C′（﹣2，3），设直线AC′的解析式为：y=kx+b ，∵A （1，0），∴ 解得，∴直线AC′的解析式为：y=﹣x+1，把x=﹣1代入直线AC′的解析式y=﹣x+1，得y=2，∴P （﹣1，2）；（3）存在；如图2，设Q （m ，﹣m 2﹣2m+3），过Q 作QP ⊥x 轴于P ，∴OP=﹣m ，PQ=﹣m 2﹣2m+3，BP=3+m ，∴S △PBQ =BP •PQ=（3+m ）（﹣m 2﹣2m+3），S 四边形QPOC =（OC+PQ ）•OP=（3﹣m 2﹣2m+3）•（﹣m ），S △BOC =OB •OC=×3×3=，∴S △PBC =S △PBQ +S 四边形QPOC ﹣S △BOC =﹣m 2﹣m ，即S △PBC =﹣m 2﹣m=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，△QBC 的面积最大，最大值为；∴Q （﹣，）．【点评】该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、轴对称图形、三角形的面积以及平行四边形的判定和性质；（3）利用坐标系借助规则图形求三角形的面积是此题的关键所在．第21页（共21页）。

北京西城区北师大附中初三上学期期中数学试卷及答案解析

北京西城区北师大附中初三上学期期中数学试卷答案解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. A.B.C.D.【答案】【解析】已知，则的值为（）．B ∵，∴，故选：．2. A.B. C. D.【答案】【解析】抛物线的顶点坐标是（）．A 由顶点式，可知顶点为．3. A.B. C. D.【答案】【解析】如图，在中，点，分别在，上，且，，，那么的值为（）．D ∵，∴，∴，∵，，∴，∴．4. A.先向左平移个单位，再向上平移个单位 B.先向左平移个单位，再向下平移个单位C.先向右平移个单位，再向上平移个单位 D.先向右平移个单位，再向下平移个单位【答案】【解析】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（）．D 抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，而点先向右平移个单位，再向下平移个单位即可得到，故将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位即可得到．故答案为．5. A.B. C. D.【答案】【解析】三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）．B ，由相似的性质相似三角形的周长比等于相似比，得这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．6. A. B.C. D.如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形与相似的是（）．【答案】【解析】A根据相似的判定定理：两组对应边成比例且夹角相等，可直接判断．7. A.， B.， C.， D.，【答案】【解析】在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，则对系数和判断正确的是（）．A由图知，函数图象开口向上， ∴，函数对称轴在轴左侧，∴与同号，故．8. A. B.C. D.如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形的是（）．不.相.似.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】C阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选 C .9. A.B. C. D.【答案】【解析】城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天个时段的值进行调查，调查发现，值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的值与时刻的关系近似满足函数关系（、、为常数，且），如图记录了个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近时刻是（）．C的图象经过点，，，∴，∴，∴，对称轴，故可知，选项中最大的在时取得．10.A.个 B.个 C.个 D.个【答案】【解析】函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（）．C①选项：由图象可知，图象与轴无交点，所以，即，故①错误．②选项：抛物线过，则，所以，故②正确．③选项：抛物线过，则，所以，故③正确．④选项：由图象可知，当时，，变形为：，故④正确．故选．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.【答案】【解析】已知，则．∵，∴，∴．12.点、在二次函数的图象上，若，则与的大小关系是（用“”、“”、“”填空）【答案】【解析】二次函数开口向上，对称轴为，当时，随的增大而增大．故．13.【答案】【解析】老师给出一个二次函数，甲、乙两位同学分别指出函数的一个性质：甲：函数图象顶点在轴上；乙：函数有最大值；老师说两位同学说的都准确，请你根据上述性质写出一个符合条件的二次函数的表达式．函数图象顶点在轴上则有，即，函数有最大值说明，例如．故符合题意．（答案不唯一）14.【答案】【解析】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为．如图，，，，由于，∴，∴，即，解得：．15.【答案】【解析】如图，直线和抛物线都经过点，，不等式的解集．∵，∴的解集为．故答案为：．16.【答案】【解析】如图，中，，分别是，边上一点，连接，请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是（写出一个即可）．添加．∵，，∴．故答案为．17.【答案】【解析】若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为．抛物线与轴有公共点，有解，，．18.【答案】【解析】函数沿直线翻折所得函数解析式为．∵，∴二次函数的顶点坐标为，∵关于翻折的点的坐标为，∴翻折后函数的顶点坐标为，∵抛物线关于对称后开口方向变化，∴翻折后函数解析式为，故答案为：．19.【答案】【解析】如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则，若，则．;题意可知平行四边形中，∴，∴，∵为中点，∴，∴，∴，∵，∴．20.如图，正方形的边在轴上，，，定义：若某分抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”．若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为．【答案】【解析】或四边形为正方形，，，∴，，中心坐标，由题意可知抛物线过，∴或．三、解答题（本大题共60分）21.（1）（2）（3）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在和中，，．求证：∽．证明：在线段上截取，过点作，交于点，由此得到∽．∴，∵，∴∵，∴≌，∴∽．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：首先，通过作平行线，依据，可以判定所作与．然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作与．最后，可证得∽．（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成三角形与原三角形相似 ;相似全等证明见解析．作，∴利用的就是平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成三角形与原三角形相似∴∽．利用证明≌．证明∽．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，在中，是上一点，连接，且．求证：．若，，求的长．证明见解析．．∵，，∴．∵，∴ ．∴，∵，，∴．23.如图，点的坐标为，点的坐标为．作如下操作：①以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到；②以点为位似中心，将放大，得到，使相似比为，且点在第三象限．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】在图中画出和．请直接写出点的坐标：．画图见解析．O点的坐标为．24.【答案】廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．（结果保留根号）．【解析】以水平面所在直线为轴，中点为原点，建立平面直角坐标系，已知水面宽米，抛物线最高点到水平面的距离为米，∴，，，∴设过点，，三点的抛物线为：，将代入，得：，∴抛物线：，令，，∴．25.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】下表是二次函数的部分，的对应值：求函数解析式．当时，的取值范围是．当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围是．．把点，和代入二次函数解析式可得：，解得，∴二次函数解析式为：．故答案为：．∵∴当时，有最小值，∴当时，．故答案为：．在中，令代入可得，∵抛物线的顶点在直线的下方时，∴，解得．故答案为：．26.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知，如图中，，，为边上的一点，．求证：．若交于点，请你补全图形，再找出一个和相似的三角形，并计算的长．证明见解析．，．∵，，，∴，∴，∵，∴．中，∵，∴，由（）知，∴，又∵，∴，∴．27.如图，点是矩形边上一动点（不与点重合），过点作交于点，连接．已知，，设，两点间的距离为，面积为．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）（2）（3）（4）（1）（3）（4）（2）【答案】（1）（2）【解析】确定自变量的取值范围是．通过取点、画图、测量、分析，得到了与的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当面积最大时，的长度为．画图见解析．或点在上，，故答案为：；四边形是矩形，，，，，，，，，（3）（4），，，，，，当时，，，，当时，，，此时，点和点重合，，故答案为：，．如图．x–112345y–11234O 由图象可知，当或时，面积最大，即：当面积最大时，或，故答案为，．矩形矩形28.（1）（2）抛物线，以为对称轴，图象经过．求抛物线的解析式．将抛物线在轴左侧的图象沿轴翻折，并将翻折至轴右侧的部分图象称作图形．若直线与抛物线交于点和，与图形交于点，且．12（1）12（2）【答案】（1）方法一：1（2）【解析】求的值．当抛物线沿轴向右平移个单位，请结合图象，确定时，求的取值范围．．．．为对称轴，∴，，∵图象过，∴，∴，，∴解析式为．将代入，∴，，，，，∴，，∴，∴．方法二：2由题意得，∴，∵、对称，∴，∴，∴．∵，∴，则，对称轴向右移到，∴．29.1（1）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为．回答下列问题：点的“引力值”为．2（2）（3）12（1）（2）（3）【答案】12（1）（2）【解析】若点的“引力值”为，则的值为．若点在直线上，且点的“引力值”为，求点的坐标．已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，那么点的“引力值”的取值范围是．或．．．设点的坐标为．由于点的“引力值”为，则或，即，或．当时，，此时点的“引力值”为，舍去．当时，，此时点点坐标为．。

北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期中考试数学试卷

绝密★启用前北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期中考试数学试卷试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．下列各式中，分式的个数为（）x−y3，a2x−1，xπ+1，−3ab ，12x+y ，12x +y ，x x−2.A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A ．()a x y ax ay +=+B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．21055(21)x x x x -=-D ．2163(4)(4)3x x x x x x -+=+-+3．如图，已知AB=AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A ． CB=CDB ． ∠BAC=∠DAC C ． ∠BCA=∠DCAD ． ∠B=∠D=90°4．下列各等式中，正确的是（）A ． C ． 5．若分式211x x -+的值为零，则x 的值是（） A ． 1 B ． 0 C ． -1 D ． ±16．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是（）A ． 80x−5＝70x B ． 80x =70x+5 C ． 80x+5=70x D ． 80x =70x−5 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（）A ．B ．C ． mnD ． 2mn 8．如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H.下列叙述正确的是（）A ． AB=ADB ． AC 平分∠BADC ． ABC S ∆=BC·AHD ． BH ⊥AD9．已知x=22a b ++20，y=4（2b-a ），x 与y 的大小关系是（）A ． x≥yB ． x≤yC ． x<yD ． x>y第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10．当x______. 11．分解因式： 256x x --=________. 12．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于____________。

2018-2019师大附中九(上)期中数学试卷(教师版)

2018-2019学年度第一学期期中考试师大附中九年级数学试卷一、选择题1、一元二次方程022=-x x 根的判别式为（）234解：2（2019师大九上期中）5、一元二次方程2304y y --=配方后可化为（） A 、()1212=+y B 、 ()121-2=y C 、 ()43212=+y D 、()4321-2=y 21⎛⎫8888、如图，AG ：GD ＝4：1，BD ：DC ＝2:3，则AE ：EC 的值是（）A 、23 B 、34 C 、56 D 、58解：AE：DH＝4:1， DH：EC＝2:5，化连比得AE：EC＝8:59解：①②④①AE＝AD＝BC正确；②△AEF≌△CBF（SAS）正确；③假设BF2＝FG·FC，则△FBG≌△FCB，∴∠FBG＝∠FBG＝45°，由∠ACF＝45°，∴∠∠ACB＝90°，矛盾；④欲证EG·AE＝BG·AB，可先证EG·AD＝BG·CD，即EG BGCD AD=；△ADF∽△GBF，（2019师大九上期中）★14、已知关于x 的方程210ax bx ++=的两根为11x =，22x =，则关于x 的方程()()21110a x b x ++++=的两根之和为________。

解：整体思想，()()21110a x b x ++++=的两根之和()()12111x x =-+-=。

[D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是_______。

解：522、略（2019师大九上期中）23、如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起股东作用的两根钢筋，AD与BC的交点记为M，已知AB＝4米，CD＝6米，求点M离地面的高度MH.解：设MH 为x 米，x DH =，x BH =，1x x DH BH +=+=，12x =.（2019师大九上期中）25、★如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 上一点（不与A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接CE ，设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S 1.（1）当AD ＝3时，1S S=（）.（2）当AD ＝m 时，请你用含有字母m 的代数式表示1S S=（）.解：2484444'416864646464GBC n n n n n S n n S ∆++-+-++-=-===. 22''4'4161633364484GBC GBC S S S n n S S S ∆∆--==⨯=⨯=。

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级(上)期中数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝4D．x＝﹣42．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一个根是﹣1，则m的值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．﹣84．（3分）在平面内，已知OP＝2，OQ＝4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是（）A．点Q在⊙O内B．点Q在⊙O上C．点Q在⊙O外D．无法判断5．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（）A．25°B．50°C．75°D．100°6．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，且BE＝1，∠BAE＝30°，将△ABE 绕点A逆时针旋转至△ADF，使点B与点D重合，则点E，F之间的距离为（）A．B．2C．D．37．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（）A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0 8．（3分）在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球队有（）A．15支B．16支C．17支D．18支二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）将抛物线y＝5x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为．10．（3分）设x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则x1•x2的值为．11．（3分）如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为．12．（3分）请写出一个开口向下，且经过点（2，﹣4）的抛物线的表达式为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE的长为．14．（3分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为和（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）．15．（3分）关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实根，则k的取值范围是；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为．16．（3分）我们将满足等式x2+y2＝1+|x|y的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，（1）“心形”图形是轴对称图形；（2）“心形”图形所围成的面积一定大于2；（3）“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于，所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共52分，17-18题每题4分，19-23题每题5分，2425题每题6分，26题7分）17．（4分）解方程：x2﹣7x+6＝0．18．（4分）解方程：（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0．19．（5分）若a是关于x的一元二次方程x2＝3x+10的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a ﹣1）的值．20．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线的步骤：①延长OD交于点M；②连接AM交BC于点N．所以∠BAN＝∠CAN．即线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线．（1）依据题意，补全图形：（2）请回答，得到∠BAN＝∠CAN的两个主要依据是．（填写序号）①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③直径所对的圆周角是直角；④等弧所对的圆周角相等．21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（4，2）．（1）将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是．（2）将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，其中点A与点D对应，月点D在线段BC 上，请在图中画出△DBE；（3）经过A，B，E三点确定一个圆．（填写“能”或“不能”）22．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）（x+1），（1）直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为；（2）求该抛物线的顶点坐标；（3）画出它的图象；（4）若（m，y1），（m+2，y2）在抛物线上，且y1≤y2，直接写出m的取值范围是．23．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．24．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．（1）用含a的代数式表示b为；（2）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求此时a的值；（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＜2时，求a的取值范围．25．（6分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．26．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是；②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2﹣4，∴此函数的对称轴就是直线x＝1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据题意可得：把x＝﹣1代入方程mx2﹣2x+6＝0中得：m×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+6＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝﹣1代入方程mx2﹣2x+6＝0中得：m×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+6＝0，m+2+6＝0，解得：m＝﹣8，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．4．【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴⊙O的半径OP＝2．∵OQ＝4，∴OQ＞⊙O的半径，∴点Q在⊙O外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．5．【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝50°，∴∠ACB＝∠AOB＝×50°＝25°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．【分析】由直角三角形的性质可求AE＝2，由旋转的性质可得AE＝AF＝2，∠EAF＝90°，即可求解．【解答】解：如图，连接EF，∵BE＝1，∠BAE＝30°，∠ABE＝90°，∴AE＝2BE＝2，∵将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADF，∴AE＝AF＝2，∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝2，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．7．【分析】根据图象可知，函数的对称轴为直线x＝﹣，当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，再观察图象可得不等式的解集．【解答】解：由图象可知函数的对称轴为直线x＝﹣，当x＝0时，y＝2，∴当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0，故选：C．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，能够根据函数的图象，利用函数的对称性确定y＝2时，x的对应值是解题的关键．8．【分析】本次小组赛参赛球队有x支，根据主办方共投入使用6个球场，每天每个球场共安排4场比赛，若连续10天才能保证小组赛全部比完，列一元二次方程，进一步求解即可．【解答】解：设本次小组赛参赛球队有x支，根据题意，得x（x﹣1）＝6×4×10，解得x1＝16，x2＝﹣15（不合题意，舍去），∴本次小组赛参赛球队有16支，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立一元二次方程是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝5x2向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为y＝5x2﹣2，故答案为：y＝5x2﹣2．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1•x2＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．【分析】由“C是的中点”推知∠AOC＝∠BOC＝70°，然后根据平角的定义作答．【解答】解：∵C是的中点，∵＝．∵∠AOC＝70°，∴∠AOC＝∠BOC＝70°．∵BD是⊙O的直径，∴∠AOD+∠AOC+∠BOC＝180°．∴∠AOD＝40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．12．【分析】可以把点（2，﹣4）作为抛物线的顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，然后a取一个负数即可．【解答】解：把点（2，﹣4）设顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，∵抛物线开口向下，∴a可以取﹣1，∴满足条件的抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣2）2﹣4，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．13．【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，连接CE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，∴BE＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：45°，．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．14．【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，∴∠ADC+∠ABC＝180°，故答案为：∠ADC，∠ABC；（答案不唯一）．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．15．【分析】先根据根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＞0，则求出两不等式的公共部分得到k的取值范围，由于该方程的两个实根均为有理数，则4k+1为完全平方数，然后利用k的范围可确定整数k的最小值．【解答】解：∵方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实根，∴k≠0且Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＞0，解得k＞﹣且k≠0，∵Δ＝4k+1，该方程的两个实根均为有理数，∴4k+1为完全平方数，∴整数k的最小值为2．故答案为：k＞﹣且k≠0，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．16．【分析】观察图象“心形”图形恰好经过（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），利用图象法一一判断即可．【解答】解：如图，由题意，E（﹣1，1），F（1，1），G（﹣1，0），H（1，0），T（0，﹣1）．观察图象可知，“心形”图形是轴对称图形，故①符合题意，∵“心形”图形所围成的面积＞五边形EFHTG的面积，∴“心形”图形所围成的面积＞3，故②符合题意，∵当x＞0时，x2+y2＝1+|x|y≤1+（x2+y2），∴x2+y2≤2，∴“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于，故③符合题意，故答案为：①②③．【点评】本题考查轴对称图形，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本题共52分，17-18题每题4分，19-23题每题5分，2425题每题6分，26题7分）17．【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）＝0，可得x﹣1＝0，或x﹣6＝0，解得：x1＝1，或x2＝6．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．【分析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：∵（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0，∴5x（5x﹣1）＝0，∴x＝0或5x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝0.2．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19．【分析】将x＝a代入关于x的一元二次方程x2＝3x+10，求得a2﹣3a＝10，然后将其整体代入整理后的代数式求值即可．【解答】解：根据题意知，a2＝3a+10，所以a2﹣3a＝10，则：（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣16﹣3a+3＝a2﹣3a﹣13＝10﹣13＝﹣3．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．20．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线；（2）∵OD⊥BC，∴＝（垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧），∴∠BAN＝∠CAN（等弧所对的圆周角相等）．故答案为：①④．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂径定理是解题的关键．21．【分析】（1）利用点平移的坐标变换特征确定点C的坐标；（2）利用点D在线段BC上得到∠ABD＝90°，则△ABC绕点B顺时针90°旋转得到△DBE，然后根据旋转的性质画出C点的对应点E即可；（3）根据确定圆的条件进行判断．【解答】解：（1）如图，点C为所作，C点坐标为（4，6）；故答案为：（4，6）；（2）如图，△DBE为所作；（3）∵点D在线段BC上，∴∠ABD＝90°，∴△ABC绕点B顺时针90°旋转得到△DBE，∴点E在AB的延长线上，即点A、B、E共线，∴经过A，B，E三点不能确定一个圆．故答案为：不能．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换和确定圆的条件．22．【分析】（1）令y＝0，即可得到方程（x﹣3）（x+1）＝0，解方程可得抛物线与x轴交点；（2）配方后直接得到顶点坐标；（3）找到关键点：与坐标轴交点坐标，顶点坐标接口画出图象；（4）根据对称轴，判断出y1＝y2时m的值，再根据图形判断出m的取值范围．【解答】解：（1）当y＝0时，（x﹣3）（x+1）＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣1，可得，抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．（2）∵y＝（x﹣3）（x+1），＝x2﹣2x﹣3，＝（x﹣1）2﹣4，抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．（3）当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），由（1）（2）可知，抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）；顶点为（1，﹣4），顺次连接各点即可得到抛物线图象．（4）由（2）可知，抛物线对称轴为x＝1，当y1＝y2时，＝1，解得，m＝0，由图可知m≥0时，y1≤y2．故答案为：m≥0．【点评】本题考查了二次函数的性质及图象上点的坐标特征，熟悉函数性质，掌握待定系数法是解题的关键．23．【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx，变形即可得答案；（2）根据题意将点A和B坐标代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）即可求a；（3）将点B坐标代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）可得b＝1﹣4a．再令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．可得x1＝0，．根据d＜2，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx得，16a+4b＝4，∴b＝1﹣4a．（2）由题意得，，∴．（3）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4），∴16a+4b＝4．∴b＝1﹣4a．令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．∴ax2+（1﹣4a）x＝0．∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．∵a≠0，∴x1＝0，．∵d＜2，∴4﹣＜2，或4﹣＞﹣2．∴＞2或＜6．①当a＞0时，a或0＜a．②当a＜0时，＜6恒成立．∴a＜0．∴综上所述，a＜0，a或0＜a．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的知识．25．【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS 证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF ＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AC＝CD＝CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC＝DE，故答案为：AC＝DE；（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，∴2AC＝AE+DE；（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．26．【分析】（1）①求出OC，OD，OE的长d，当长度d在1≤d≤3时，点是与⊙A关于原点O“平衡”．②若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．求出四个特殊点H的坐标，可得结论．（2）如图3﹣1中，当⊙K经过（﹣，0）或经过（，0）时，点K的坐标．如图3﹣2中，当⊙K经过（，0）或经过（﹣，0）时，求出点K的坐标，可得结论．【解答】（1）①如图1中，由题意OC＝1，OD＝，OE＝，∵1＝1，1＜＜3，＞3，∴点C，D是与⊙A关于原点O“平衡”，故答案为：C，D．②解：若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．当OH＝1时，H（﹣，）或（，﹣），当OH＝3时，H（﹣，）或（，﹣）∴点H横坐标的取值范围是或．（2）如图3﹣1中，当⊙K经过（﹣，0）时，K（2﹣，0），当⊙K经过（，0）时，K（2+，0），观察图象可知满足条件的x的值为2﹣≤x≤2+．如图3﹣2中，当⊙K经过（，0）时，K（﹣2+，0），当⊙K经过（﹣，0）时，K（﹣2﹣，0），观察图象可知满足条件的x的值为﹣2﹣≤x≤﹣2+．综上所述，圆心K的横坐标的取值范围或．【点评】本题属于圆综合题，考查了图形M与图形N关于原点O“平衡”的定义，点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题。

北京师大附中上学期初中九年级期中考试数学试卷(附解析答案)

北京师大附中2020届上学期初中九年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题。

考试时长120分钟，满分100分。

一、本大题共8小题，共16分。

1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用. 瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产. 下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )2. 抛物线y= －(x－1)2 +3的顶点坐标是( )A. (1, 3)B. (－1, 3)C. (－1，－3)D. (1，－3)3. 将函数y=3x2的图象如何变换可以得到抛物线y=3(x+1)2－4的图象( )A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°,那么∠BAD等于( )A. 34°B. 46°C. 56°D. 66°5. 如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是( )A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从(3，4)出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不．经过( )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q7. 下列关于二次函数的说法错误的是( )A. 二次函数y=(x+2)2－2的顶点坐标是(－2,－2)B. 抛物线y=－x2 +2x+1，当x<0时y随x的增大而增大C. 函数y= 2x2 + 4x－3的图象的最低点坐标为(－1,－5)D. 点A(3,0)不在抛物线y=x2－2x－3的图象上8. 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题. 近几年来，“互联网”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用。

2017-2018学年北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一元二次方程3x2-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，6，1B. 3，6，C. 3，，1D. 3，，2.把抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A. B. C. D.3.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.B.C.D.4.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.5.用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A. B. C. D.6.风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A. 45B. 60C. 90D. 1207.二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.B. 或C.D.8.如图1，动点P从格点A出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示，下列选项中，可能是点P的运动路线的是（）A. B. C. D.四、解答题（本大题共9小题，共56.0分）9.如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为______（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？10.古代丝绸之路上的花刺子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家--“代数学之父”阿尔•花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以x2+10x=39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（x+______）2=39+______，从而得到此方程的正根是______．11.如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y=x2-4x+4和直线l：y=kx-2k（k＞0）．（1）抛物线C的顶点D的坐标为______；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y=的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，结合图象，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：一元二次方程3x2-6x-1=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，-6，-1．故选：D．找出所求的系数及常数项即可．考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】A【解析】解：把抛物线y=x2向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是y=x2+1．故选：A．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选：D．由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．根据中心对称图形的概念判断．本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】A【解析】解：把方程x2-4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=-2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=-2+4，配方得（x-2）2=2．故选：A．在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】D【解析】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为120．故选：D．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7.【答案】A【解析】解：由图可知，-3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是-3＜x＜0．故选：A．根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：画出四种情况的函数图象如图：故选：D．分别分析四种情况的函数的图象即可判断．本题考查了动点问题的函数图象，画出四种情况的图象是解题的关键．1.【答案】y=-2x2+4x+16【解析】解：（1）y=（4-x）（4+2x）=-2x2+4x+16，故答案为：y=-2x2+4x+16；（2）根据题意可得：-2x2+4x+16=16，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），答：BE的长为2米．（1）根据题意可得DG=2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为16，进而可得矩形苗圃AEFG 的面积为16，进而可得：-2x2+4x+16=16，再解方程即可．此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．1.【答案】5；25；3【解析】解：x2+10x=39，（x+5）2=39+25，x+5=±8，x=3或-3，所以此方程的正根为3，故答案为：5，25，3．根据已知算式和图形得出即可本题考查了矩形的性质和解一元二次方程等知识点，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．1.【答案】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE=BE，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B，在△DCE与△OBE中，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE=OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°=∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC=CD，∵OC=OD，∴OC=OD=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠DCE=90°-∠D=30°，∴在Rt△CDE中，CD=2DE，∵BC=6，∴CE=BE=3，∵CE2+DE2=CD2=4DE2，∴DE=，CD=2，∴OD=CD=2，∴四边形CAOD的面积=OD•CE=6．【解析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．本题考查了垂径定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答．1.【答案】（2，0）【解析】解：（1）∵y=x2-4x+4=（x-2）2，∴顶点D的坐标为（2，0）；故答案为：（2，0）；（2）点D在直线l上．理由如下：直线l的表达式为y=kx-2k（k＞0），∵当x=2时，y=2k-2k=0，∴点D（2，0）在直线l上；（3）如图，不妨设点P在点Q的左侧，由题意知：要使得x1+x2=4成立，即是要求点P与点Q关于直线x=2对称，又∵函数y=x2-4x+4的图象关于直线x=2对称，∴当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，即要求点Q在y=x2-4x+4（x＞2，1＜y＜3）的图象上，根据图象，临界位置为射线y=kx-2k（k＞0）过y=x2-4x+4（x＞2）与y=1的交点A（3，1）处，以及射线y=kx-2k（k＞0）过y=x2-4x+4（x＞2）与y=3的交点B（2+，3）处，此时，k=1以及k=，故k的取值范围是1＜k＜．（1）将抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标即可；（2）将点D的坐标代入直线l的解析式判断即可；（3）根据抛物线的作法作出图形，再根据等式判断出点P、Q关于直线x=2对称，再根据抛物线的对称轴为直线x=2，从而判断出点Q在抛物线上，然后求出t=1和3时的临界的交点坐标，再求出k的值，写出k的取值范围即可．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标的求解，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，难点在于判断出两点关于对称轴x=2对称．。

北京师范大学附属中学2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷及答案

2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题。

（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。

1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝53．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣24．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（）A．B．2C．D．55．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5B．0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞5D．x＜0或x＞39．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题。

2018~2019学年北京西城区北师大附中初三上学期期中数学试卷

2018~2019学年北京西城区北师大附中初三上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1. 已知
，则的值为（）．
A.
B.
C.
D.
2. 抛物线
的顶点坐标是（）．
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在
中，点，分别在，上，且
值为（）．
，
，
，那么的
A.
B.
C.
D.
4. 将抛物线
．
（ 1 ）求证：
（ 2 ）若
，
．，求的长．
23. 如图，点的坐标为，点的坐标为．作如下操作：
①以点为旋转中心，将
顺时针方向旋转，得到
；
②以点为位似中心，将
放大，得到
，使相似比为，且点在第三象限．
（ 1 ）在图中画出
和
．
（ 2 ）请直接写出点的坐标：
．
24. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．（结果保留根号）
证明：在线段上截取
，过点作
，交于点，
由此得到
∽
．
∴
，
∵
，
∴
∵
，
∴
≌
，
∴
∽
．
小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：
（ 1 ）首先，通过作平行线，依据
，可以判定所作
与
．
（ 2 ）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作

北京师大附中2016-2017学年九年级(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析版）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.1．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20°B．30°C．40°D．60°5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（）A． B． C． D．6．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+37．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（）A．4 B．8 C．8D．48．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=59．已知点A（﹣1﹣，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）2+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y110．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.11．二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为．12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为．13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数10 50 100 200 500 1000 2000事件发生的频率估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是．15．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．（5分）已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是；顶点坐标是；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……18．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？19．（5分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …0 4 6 6 4 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．20．（5分）如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．21．（5分）已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．22．（5分）石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．（5分）如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果⊙O的半径为，求AB的长．24．（5分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=4+，BC=2，求⊙O的半径．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图象可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为．28．（7分）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y=x2，求a的值；（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（﹣1，0）的距离跨度；B（，﹣）的距离跨度；C（﹣3，2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标x c的取值范围．2016-2017学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的（请将答案写在答题纸上）.1．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选D．【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°．故选B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【解答】解：A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20°B．30°C．40°D．60°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：=，然后由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（）A． B． C． D．【考点】几何概率．【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=，故选项错误；B、指针指向灰色的概率为3÷6=，故选项错误；C、指针指向灰色的概率为4÷6=，故选项正确；D、指针指向灰色的概率为5÷6=，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．6．抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x+1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2﹣3 C．y=﹣2（x﹣1）2﹣3 D．y=﹣2（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”进行解答即可．【解答】解：抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（）A．4 B．8 C．8D．4【考点】正多边形和圆．【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．【解答】解：如图所示：∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=4，∠AOB=90°，∴AB==4．故选：D．【点评】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．8．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0），由抛物线的对称性可求得b=﹣4，然后将b=﹣4代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可．【解答】解：令y=0得：x2+bx=0．解得：x1=0，x2=﹣b．∵抛物线的对称轴为x=2，∴﹣b=4．解得：b=﹣4．将b=﹣4代入x2+bx=5得：x2﹣4x=5．整理得：x2﹣4x﹣5=0，即（x﹣5）（x+1）=0．解得：x1=5，x2=﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．9．已知点A（﹣1﹣，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y=（x﹣1）2+c上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的解析式找出其开口方向及对称轴，再结合二次函数的性质以及点A、B、C三点的横坐标，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线解析式为y=（x﹣1）2+c，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，∵|﹣1﹣﹣1|=2+，|﹣1﹣1|=2，|2﹣1|=1，∴2+＞2＞1，∴y1＞y2＞y3．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式找出A、B、C三点离对称轴的距离的远近是解题的关键．10．小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据小阳运动轨迹，结合图①与②，确定出摄像机所在的固定位置即可．【解答】解：从图②图象上观察得到小阳沿着O﹣M匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧M﹣N 行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远，观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的P点．故选：B．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化过程是解本题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分．请将答案写在答题纸上）.11．二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为y=3x2﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y换成﹣y，整理后即可得出结论．【解答】解：将二次函数y=﹣3x2+1的图象沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为﹣y=﹣3x2+1，整理得：y=3x2﹣1．故答案为：y=3x2﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，牢记沿x轴翻折将y换成﹣y是解题的关键．12．“双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为．【考点】概率公式．【分析】让绿色的笔的个数除以笔的总个数即为所求的概率．【解答】解：∵一共有5+3+2=10支笔，其中有3支绿色的，∴随机赠送的笔为绿色的概率；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，明确概率的意义是解题的关键．13．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数10 50 100 200 500 1000 2000事件发生的频率估计这个事件发生的概率是0.25（精确到0.01）．【考点】利用频率估计概率．【分析】根据用频率估计概率解答即可．【解答】解：由表格中数据可得：这个事件发生的概率是：0.25，故答案为：0.25．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．【解答】解：圆心到y轴的距离是3＜5，则圆的y轴所在直线的位置关系是相交．故答案是：相交．【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．15．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的上方，∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．故答案为：x＜﹣2或x＞8．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．【解答】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）；顶点坐标是（1，﹣4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，解方程求出与x轴的交点，再将解析式配方得出顶点坐标（1，﹣4）；（2）利用五点法画出图象．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则顶点为（1，﹣4），当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，则与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）；故答案为：（3，0）、（﹣1，0）；（1，﹣4）；（2）列表如下：【点评】本题是二次函数的图象与x轴的交点与画函数图象的问题，比较简单，属于二次函数中的基础题；考查了二次函数与x轴交点坐标的求法：令y=0，得关于x的一元二次方程，解方程可得交点坐标；同时要知道五点法画二次函数的图象：①五点是指：顶点、与x轴的两个交点、与y轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．18．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB=r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB=r，∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，∴AB=4，∵刻度尺宽2cm，∴OA=r﹣2，在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，则该光盘的直径是10cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …0 4 6 6 4 0 …（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的表达式；（2）画图象，根据图象直角写出当y＜0时x的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x+2）（x﹣3），把（0，6）代入得：6=﹣6a，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x+2）（x﹣3）=﹣x2+x+6；（2）如图所示，由图象得：当y＜0时，x的取值范围是：x＜﹣2或x＞3．【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式和抛物线与x轴的交点；利用图象直接得出当y ＞0和y＜0时x的取值范围都与抛物线与x轴的交点有关，明确△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．20．如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸出的两张牌均为黑色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表法：A B C DA AB AC ADB AB BC BDC AC CB CDD AD DB DC∵共有12种等可能的结果，摸出的两张牌均为黑色的有2种情况，∴P（摸出的两张牌均为黑色）==．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA、PB切⊙O于点A、B两点，∠PAB=60°．求AB的长．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OA，由PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，∠PAB=60°，易得△ABP是等边三角形，则可求得AP的长，继而求得答案．【解答】解：连接AO，∵PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴PA=PB，∠APO=∠APB，∵∠PAB=60°，∴△ABP是等边三角形，∴∠APO=30°，∵∠PAO=90°，∴PO=10，PA=5，∴PA=AB=5．【点评】此题考查了切线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．22．石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意画出树状图，再根据甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，于是根据概率公式可计算出不分胜负的概率；（2）根据题意得出所有27种等可能的结果数，再找出三种手势都相同或都不相同的结果数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）根据题意画图如下：甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，则一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率=；（2）∵游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为9，∴甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率=；【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．。

2017-2018年内蒙古北京师大附属鄂尔多斯学校九年级(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年内蒙古北京师大附属鄂尔多斯学校九年级（上）期中数学试卷一、单项选择（本大题共10题，每题3分，共30分.）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣1 3．（3分）如图所示，将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转几度，可使得新五边形A′B′C′D′E的顶点D′落在直线BC上（）A．108 B．72 C．54 D．364．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）A．35°B．70°C．110° D．140°5．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．106．（3分）二次函数y=﹣3（x +2）2+1的图象的顶点坐标是（）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，﹣1）7．（3分）已知二次函数y=kx 2﹣7x ﹣7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（）A ．k ＞﹣B ．k ≥﹣且k ≠0C ．k ＜﹣D ．k ＞﹣且k ≠08．（3分）已知A （﹣3，y 1）、B （﹣2，y 2）、C （2，y 3）在二次函数y=x 2+2x +c 的图象上，比较y 1、y 2、y 3的大小（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 3＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 29．（3分）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④b +2a=0；⑤a +b +c ＜0．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（）A ．B ．C ．D．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．（3分）点A（3，n）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n=．12．（3分）二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=．13．（3分）AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，若CD长为6，则⊙O的半径长为．14．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是．15．（3分）如图，点O是边长为1的正方形对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，阴影区域的面积为．16．（3分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）17．（10分）解方程（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．18．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．19．（10分）如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？20．（12分）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．21．（10分）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．22．（10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162﹣3x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？23．（11分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=﹣2．与x轴交于A点和B点且AB=2，与y轴交于点C，（点A在点B的右侧）（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．当t何值时，△PAC的周长最小？2017-2018学年内蒙古北京师大附属鄂尔多斯学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（本大题共10题，每题3分，共30分.）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．（3分）将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣1【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），所以平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1．故选：A．3．（3分）如图所示，将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转几度，可使得新五边形A′B′C′D′E的顶点D′落在直线BC上（）A．108 B．72 C．54 D．36【解答】解：将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72度，可使得新五边形A′B′C′D′E′的顶点D′落在直线BC上．故选：B．4．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）A．35°B．70°C．110° D．140°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．故选：D．5．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（）A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，∴a﹣3+1=﹣6，解得：a=﹣4．故选：C．6．（3分）二次函数y=﹣3（x+2）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：∵y=﹣3（x+2）2+1，∴顶点坐标是（﹣2，1）．故选：B．7．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠0【解答】解：∵y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴无交点，∴当图象在x轴上方时，，∴，解为空集．当图象在x轴下方时，，∴，∴k＜﹣．∴k的取值范围是{k|k＜﹣}，故选：C．8．（3分）已知A（﹣3，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）在二次函数y=x2+2x+c 的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【解答】解：由抛物线y=x2﹣4x﹣m可知对称轴x=﹣=﹣1，∵抛物线开口向上，B（﹣2，y2）到对称轴的距离最近，C（2，y3）到对称轴的距离最远，∴y3＞y1＞y2．故选：D．9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b ＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；④∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0．故④正确；⑤根据图示知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故⑤错误．综上所述，正确的说法是①③④，共有3个．故选：C．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．故选：C．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．（3分）点A（3，n）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n=﹣2．【解答】解：∵A（3，n）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2），∴n=﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）二次函数y=x2﹣6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2﹣6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=5．【解答】解：由图可知，对称轴为x=﹣==3，根据二次函数的图象的对称性，=3，解得x2=5．故答案为：5．13．（3分）AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，若CD长为6，则⊙O的半径长为2．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，CD长为6，∴DE=CD=3．∵弦CD垂直平分半径OA，设OD=r，则OE=r，在Rt△ODE中，∵OE2+DE2=OD2，∴（r）2+32=r2，解得r=2．故答案为：2．14．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是560（1﹣x）2=315．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得，560（1﹣x）2=315．故答案为：560（1﹣x）2=315．15．（3分）如图，点O是边长为1的正方形对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，阴影区域的面积为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点，∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，∵∠MON=90°，∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，∴∠MOB=∠NOC．在△MOB和△NOC中，有，∴△MOB≌△NOC（ASA）．同理可得：△AOM≌△BON．∴S阴影=S△BOC=S正方形ABCD=，故答案为：16．（3分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）17．（10分）解方程（1）x2﹣2x﹣3=0（2）（x+3）2=（1﹣2x）2．【解答】解：（1）a=1，b=﹣2，c=﹣3，△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣3）=16＞0，x==，x1=3，x2=﹣1；（2）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，因式分解，得（x+4）（3x+2）=0，于是，得x+4=0或3x+2=0，解得x1=﹣4，x2=﹣．18．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴=，∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；（2）根据勾股定理得，AC===4，∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．19．（10分）如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？【解答】解：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．20．（12分）如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．【解答】解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示；（2）点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）；（3）∵A（﹣6，12），B（﹣6，0），∴AB=12，∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积==36π．21．（10分）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．【解答】解：根据题意建立坐标系如下：设抛物线解析式为：y=ax2+h，又∵B（4，0），D（2，3）∴，解得：，∴y=﹣x2+4，∴M（0，4）即OM=4m∴MN=OM﹣ON=1，则t==5（小时）．答：水过警戒线后5小时淹到拱桥顶．22．（10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162﹣3x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为什么最合适？最大销售利润是多少？【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30），又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣30）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．23．（11分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=﹣2．与x轴交于A点和B点且AB=2，与y轴交于点C，（点A在点B的右侧）（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是（1）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．当t何值时，△PAC的周长最小？【解答】解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=﹣2．∴点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（﹣3，0）．∵抛物线y=x2+bx+3与x轴交于点A，B，∴﹣1、﹣3是关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0的两根．由韦达定理，得﹣1﹣3=﹣，﹣1×（﹣3）=，∴a=1，b=4，∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3；（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2+4x+3，A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴C（0，3），∴BC==3，AC==．∵点A、B关于对称轴x=﹣2对称，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC．此时，PB+PC=BC．∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3+．。

2017-2018学年北京师大附中九年级(下)期中数学模拟试卷

2017-2018学年北京师大附中九年级（下）期中数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分20分）1．抛物线y=﹣2x2+4x﹣5的对称轴、顶点坐标分别是（）A．x=1，（1，﹣3）B．x=﹣1，（﹣1，﹣3）C．x=1，（1，3）D．x=﹣1，（﹣1，3）2．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，53．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD 的长为（）A．1B．C．2D．4．已知抛物线y=ax2﹣k是由抛物线y=﹣x2向下平移2个单位得到的，则a、k 的值分别是（）A．﹣1，2B．﹣1，﹣2C．1，2D．1，﹣25．将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y=2x2+3B．y=2x2﹣3C．y=2（x+3）2D．y=2（x﹣3）2 6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C 的坐标分别为（）A．（3，1）B．（3，3）C．（4，4）D．（4，1）7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=8．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．B．C．2倍D．3倍9．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．①②B．②③C．①③D．②④10．如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x 的函数图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若x﹣2y=4，则4x﹣8y﹣2=．12．抛物线y=2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k=．13．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式．14．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=15米，那么该古城墙的高度CD是米．15．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD=．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+7x﹣6与直线y=x﹣2相交于点B、C，点P为直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ⊥x轴交BC于点Q，PG⊥BC于点G，点M为线段PQ的中点，则线段GM的最大值为．三．解答题（共10小题，满分49分）17．（6分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法将此二次函数化为顶点式；（2）求出它的顶点坐标和对称轴；（3）求出二次函数的图象与x轴的两个交点坐标；（4）在所给的坐标系上，画出这个二次函数的图象；（5）观察图象填空，使y随x的增大而减小的x的取值范围是．18．（6分）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD于点F，求证：=．19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A（1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，﹣1）．（1）若△ABC的外接圆的圆心为P，则点P的坐标为，⊙P的半径为；（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O点为位似中心，将△ABC 按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'．①画出△A'B'C'；②将△A'B'C'沿x轴方向平移，需平移个单位长度，能使得B'C'所在的直线与⊙P相切．20．（6分）求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．21．（6分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？22．（6分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE 交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．23．（6分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．24．（7分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线BC的函数解析式．25．如图，菱形ABCD的边长为5 厘米，对角线BD长8厘米．点P从点A出发沿AB方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．26．先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，﹣）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，）．问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．①求抛物线y=x2的焦点F的坐标；②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；③当直线AB过点（﹣1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．参考答案一．选择题1．A．2．C．3．C．4．A．5．C．6．C．7．C．8．A．9．B．10．B．二．填空题11．14．12．3．13．y=x2+2，答案不唯一．14．10．15．2．16．．三．解答题17．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x=2；（3）令y=x2﹣4x+3=0解得：x=1或3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）；（4）图象如图；（5）观察图象，使y随x的增大而减小的x的取值范围是x＜2，故答案为：x＜2．18．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB=OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF=OC：OA．∴OB：OF=OE：OB，即：19．【解答】解：（1）△ABC的外接圆⊙P如图所示由图可知，点P的坐标为（﹣1，0）、半径为=，故答案为：（﹣1，0）、；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求．将△A′B′C′向右平移5﹣或5+个单位B′C′所在的直线与⊙P相切，故答案为：5﹣或5+．20．【解答】解：令y=0，则x2+x﹣2=0，解得：x1=1、x2=﹣2，∴抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标为（1，0）、（﹣2，0）．21．【解答】解：（Ⅰ）设P=kx+b，根据题意，得：，解得：，则P=﹣x+120；（Ⅱ）y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；（Ⅲ）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，又当x≤90时，y随x的增大而增大，∴当x=90时，y取得最大值，最大值为900，答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．22．【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，∴，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F=∠DAE，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴，∴BF•DE=AB•AD．23．【解答】解：如图所示∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况：①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm．24．【解答】解：（1）由题意，∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）对于抛物线y=x2﹣2x﹣3，令y=0，得到x=﹣1或3，∴B（3，0），C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．25．【解答】解：由运动知，AP=t，DQ=2t，∵AB=5，BD=8，∴BP=5﹣t，BQ=8﹣2t，（0≤t≤4）（1）如图，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，OB=BD=4，在Rt △AOB 中，AB=5，OB=4，根据勾股定理得，OA=3，sin ∠ABD==，cos ∠ABD==，∵△BPQ 是等腰三角形，∴①如图1，BP=PQ过点P 作PE ⊥OD 于E ，∴BE=BQ=4﹣t ，在Rt △BPE 中，cos ∠ABD===，∴t=0，②如图2，BP=BQ ，∴5﹣t=8﹣2t ，∴t=3，③如图3，BQ=PQ ，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，∴BE=BP=（5﹣t ），在Rt △BEQ 中，cos ∠ABD===， ∴t=，即：△BPQ 是等腰三角形时，t 的值为0或3或；（2）如图4，由（1）知，AC=2OA=6，∵BD=8，∴S 菱形ABCD =AC ×BD=24，过点P作PE⊥BD于E，在Rt△BPE中，sin∠ABD=，∴=，∴PE=（5﹣t），=BQ×PE=×（8﹣2t）×（5﹣t）=（4﹣t）（5﹣t），∴S△BPQ∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的，∴（4﹣t）（5﹣t）=×24，∴t=8（舍）或t=1秒，（3）如图5，∵∠ABD=∠AQP，∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ，∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ，∴∠BPQ=∠DQA，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB，∴△BPQ∽△DQA，∴，∴，∴t=或t=；（4）存在：理由：如图6，过点M作MN∥CD交BD于N，∴MN∥BP，∵BM：CM=2：3，且BC=5，∴BM=2，∵MN∥CD，∴△BMN∽△BCD，∴，∴，∴MN=2，BN=，∵BQ=8﹣2t，∴NQ=BN﹣BQ=﹣（8﹣2t）=2t﹣，∵MN∥BP，∴△BPQ∽△NMQ，∴，∴，∴5t2﹣47t+100=0，∴t=＞4（舍去）或t=．26．【解答】①解：F（0，1）②证明：∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；而∠AFO+∠BFO=180°∴∠CFO+∠DFO=（∠AFO+∠BFO）=90°；∴CF⊥DF．③解：设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；∴MN=AB在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．∴MN=（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．∴MN=（AF+BF）∴AF+BF=AB∴AB过焦点F（0，1）．又AB过点（﹣1，0）∴解得∴AB对应的函数解析式为y=x+1．。

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2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（）A．3，6，2，4B．4，6，5，10C．1，2，3，6D．2，4，5，103．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE 与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：44．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1C．y=﹣x2﹣1D．y=x2﹣1 5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB 放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2B．2：5C．4：25D．25：49．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若=，则=．12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为m．15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为．16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx ﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化为顶点式；（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为，点C的坐标为．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：．20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2=BD•DE．23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求B点与顶点D的坐标；（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S=5，求直线l的解析式；△ADM（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m 左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是．25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．（1）如图1，若m=，求的值；（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是；②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．2017-2018学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2．（2分）下面的四条线段中不能成比例的是（）A．3，6，2，4B．4，6，5，10C．1，2，3，6D．2，4，5，10【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d．只要代入验证即可．【解答】解：A、3：6=2：4，则a：b=c：d，即a，b，c，d成比例；B、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；C、1：3=2：6，则a：c=b：d．故a，c，b，d成比例；D、2：4=5：10，即a：b=c：d，故a，b，c，d成比例．故选：B．【点评】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中．3．（2分）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE 与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB=1：2，∴=（）2=．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．4．（2分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1C．y=﹣x2﹣1D．y=x2﹣1【分析】由于将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，可知函数图象的形状不会发生变化，只是顶点坐标和开口方向发生了变化，先画出图象，即可进行解答．【解答】解：如图，由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，故所得函数顶点为（0，﹣1），则所得函数为y=﹣x2﹣1．故选：C．【点评】此题考查了函数的对称变化，找到所求函数的顶点坐标是解题的关键．5．（2分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB 放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴=，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（2分）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．（2分）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2B．2：5C．4：25D．25：4【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．9．（2分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c 与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．【解答】解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=，∴y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°，∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x）．∴==．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若=，则=．【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．【点评】本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．12．（3分）点A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y=x2﹣3x上，则y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【分析】先得到抛物线的对称轴为直线x=，根据二次函数的性质，通过两点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【解答】解：由抛物线y=x2﹣3x可知对称轴x=﹣=，∵抛物线开口向上，而点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比B（3，y2）远，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次项系数一定要大于0．14．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为6m．【分析】设树的高度为xm，根据相似三角形的性质即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设树的高度为xm，根据题意得：=，解得：x=6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用以及解一元一次方程，利用相似三角形的性质列出关于x的一元一次方程是解题的关键．15．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上的点，∠DBC=∠A，，AC=3，则CD的长为2．【分析】先证明△BCD∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例的性质求CD 的长度．【解答】解：在△BCD和△ACB中，∵∠C=∠C（公共角），∠DBC=∠A（已知），∴△BCD∽△ACB，∴=，∵，AC=3，∴CD=2．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定定理（两个三角形中，有两个角对应相等，则这两个三角形相似）及相似三角形的性质（相似三角形中，对应边成比例）．16．（3分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx ﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为﹣3或6．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y=2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1=﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18=0，解得：n=﹣3或n=6，故答案为：﹣3或6．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．三、解答题（本大题共62分：第17题-23题每题6分，第24题7分，第25题6分，第26题7分）17．（6分）已知抛物线y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化为顶点式；（2）在坐标系中利用五点作图法画出它的图象（不需要列表）；（3）请结合函数图象直接写出不等式y＞0的解集x＜1或x＞3．【分析】（1）根据配方法可以将题目中的解析式化为顶点式；（2）根据五点作图法可以画出相应的函数图象；（3）根据（2）中的函数图象可以直接写出不等式y＞0的解集．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；（2）图右图所示；（3）由图象可得，不等式y＞0的解集是x＜1或x＞3，故答案为：x＜1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．求证：（1）△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，又因为又∠DAE=∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC=AD=8，所以EC=BC﹣BE=8﹣2=6，代入计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．（1）点A的坐标为（2，8），点C的坐标为（6，6）．（2）将△ABC向左平移7个单位，请画出平移后的△A1B1C1．若M为△ABC内的一点，其坐标为（a，b），则平移后点M的对应点M1的坐标为（a﹣7，b）．（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1：2．请在网格内画出△A2B2C2，并写出点A2的坐标：（1，4）或（﹣1，﹣4）．【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；（3）根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可，注意有两种情况．【解答】解：（1）A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；（2）所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，可知M1的坐标（a﹣7，b）；（3）所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（1，4）或（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了旋转变换和位似变换后图形的画法，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点，难度一般．20．（6分）已知：关于x的二次函数y=x2+2x+2k﹣4图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且抛物线与x轴交点的横坐标为整数，求k的值．【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，求出△的取值范围，即可求出k的取值范围；（2）根据（1）的结论，且k为正整数，求出k的值，将k代入抛物线解析式，检验是否与x轴有两个交点即可；【解答】解：（1）根据题意知，△=22﹣4×1×（2k﹣4）＞0，解得：k＜；（2）∵k＜，且k为正整数，∴k=1或k=2，当k=1时，函数解析式为y=x2+2x﹣2，不符合题意，舍去；当k=2时，函数解析式为y=x2+2x，与x轴的交点为（0，0）、（﹣2，0），符合题意，故k=2．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．21．（6分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由题意知，A（﹣20，0），B（20，0），C（0，10）．设过点A、B、C的抛物线方程为：y=a（x+20）（x﹣20）（a＜0）．把点C（0，10）的坐标代入，得10=a（0+20）（0﹣20），解得：a=﹣，则该抛物线的解析式为：y=﹣（x+20）（x﹣20）=﹣x2+10把y=8代入，得﹣x2+10=8，即x2=80，x1=4，x2=﹣4．所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF=|x1﹣x2|=|4﹣（﹣4）|=8（m）．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．22．（6分）如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC=BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2=BD•DE．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC即可；（2）由相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再利用相似三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBC，∵BA•BC=BD•BE．即，∴△ABD∽△EBC；（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD=∠BEC，∠ADB=∠BCE，∵∠AED=∠BEC，∴∠BAD=∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴，即AD2=BD•DE．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答．23．（6分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=，=，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高为54米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求B点与顶点D的坐标；（2）经过点B的直线l与y轴正半轴交于点M，S=5，求直线l的解析式；△ADM（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作x轴的垂线m，将抛物线在直线m 左侧的部分沿直线m对折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线l没有公共点时，t的取值范围是t＞．【分析】（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，可求得a 的值，配方后可得顶点D的坐标，由对称性可得点B的坐标；（2）根据三角形的面积=铅直高度与水平宽度的积，列等式，可得OM的长，写出M的坐标，利用待定系数法求直线l的解析式；（3）根据对折的性质得新抛物线的顶点坐标，由开口相同可知：a=1，可得解析式，当图象G与直线l没有公共点时，即两解析式联立方程组无解，可得结论．【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，得：a+（a+1）﹣3=0，a=1，∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），由对称性得：B（3，0）；（2）设直线AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AD的解析式为：y=﹣2x﹣2，设AD交y轴于N，∴ON=2，∴S=MN•（﹣x A+x D）=5，△ADM∴（2+OM）×（1+1）=5，OM=3，∴M（0，3），设直线l的解析式为：y=kx+b，则，解得：；直线l的解析式为：y=﹣x+3；（3）如图2，由对折得：OC=3+2（t﹣3）+2=2t﹣1，∴新抛物线的顶点为（2t﹣1，﹣4），解析式为：y=（x﹣2t+1）2﹣4，则，（x﹣2t+1）2﹣4=﹣x+3，x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣4t﹣6=0，当△＜0时，图象G与直线l没有公共点，即△=[﹣（4t﹣3）]2﹣4（4t2﹣4t﹣6）＜0，t＞，故答案为：．【点评】本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用及对折的性质，解答时根据函数之间的关系建立方程是解答本题的关键．25．（6分）已知矩形ABCD，AD=3，AB=m，点P是线段CD的中点，点E是线段AD上的一个动点（点E可以和点A、D重合），过点P作线段PE的垂线PF，交矩形的边AB于点F．（1）如图1，若m=，求的值；（2）如图2，若m=8，点M是线段AD上另一动点（不与点E重合），过点P作线段PM的垂线PN交边AB于点N，求的值；（3）如图3，点D关于直线PE的对称点为点N，当点E和点A重合时，点N到直线AB的距离等于1，请你直接写出m的值．【分析】（1）先判断出∠PFG=∠EPD，进而得出△PDE∽△FGP，即：，即可得出结论；（2）先判断出，，即：，再判断出△MPE∽△NPF，求出AH=2，即可得出结论；（3）先求出IN=AH=2，AI=NH=1再判断出∠ADN=∠APD，进而得出△ADP∽△NID，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点F作FG⊥CD于G，FG=AD=3，∴∠PFG+∠FPG=90°，∵∠EPF=90°，∴∠DPE+∠FPG=90°，∴∠PFG=∠EPD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠FGP=90°，∴△PDE∽△FGP，∴，∵CD=AB=6，而点P是CD的中点，∴DP=3，∴=；（2）如图2，过点F作FG⊥CD于G，同（1）的方法得，∴△PDE∽△FGP，∴，∵CD=AB=8，而点P是CD的中点，∴DP=4，∴；过点N作NQ⊥CD于Q，同理：，∴，∵∠EPF=∠MPN=90°，∴∠MPE=∠NPF，∵，∴△MPE∽△NPF，∴；（3）如图3，∵点N是点D关于PE的对称点，∴AP⊥DN，AN=AD=3，∵点N到直线AB的距离为1，∴NH=1，在Rt△AHN中，AH==2，过点N作NI⊥AD交DA的延长线于I，∴四边形AHNI是矩形，∴IN=AH=2，AI=NH=1，∴DI=AD+AI=3+1=4，∵∠ADN+∠PDN=90°，∠APD+∠PDN=90°，∴∠ADN=∠APD，∵∠DIN=∠PDA=90°，∴△ADP∽△NID，∴，∵点P是CD中点，∴DP=m，∴，∴m=6．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，是一道很好的题目．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“伴随菱形”．图1为点P，Q的“伴随菱形”的一个示意图．（1）已知点A的坐标为（1，4），点B是直线y=﹣1上一点，记点B坐标为（m，﹣1），①若m=﹣1，则R（1，﹣5），S（﹣3，4），T（3，﹣1）中能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是S、T；②若点A，B的“伴随菱形”为正方形，求直线AB的解析式；（2）已知抛物线y=x2﹣2nx+，过点A（1，4）作垂直于y轴的直线y=4交抛物线于E、F两点，记抛物线在点E和点F之间（包括点E和F）的图象为图象G，若图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，请你直接写出n的取值范围．【分析】（1）当m=﹣1时，B（﹣1，﹣1），然后画出图形，最后，依据“伴随菱形”的定义进行判断即可；（2）过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．由点A，B的“伴随菱形”为正方形，可得到∠ABC=45°，当点B在点A的右侧时设直线AB的解析式为y=﹣x+b，当点B位于点A的左侧时，设直线AB的解析式为y=x+b，将点（1，4）求解即可；（3）由（2）可知：当A、B的伴随菱形为正方形，则AB的解析式为y=﹣x+5或y=x+3，故此图象G上存在点C，使点A，C的“伴随菱形”为正方形，图象C 与直线AB有交点，然后将该问题转化为方程组有解的问题解决即可．【解答】解：（1）当m=﹣1时，B（﹣1，﹣1）．如图1所示：∵点R到B的距离不等于AB，∴点R不能构成点A，B的“伴随菱形”顶点．∵点S为以AS为对角线的菱形的顶点，点为以BT为对角线的菱形的顶点，∴能够成为点A，B的“伴随菱形”顶点的是S、T为．故答案为：S、T．（2）如图2所示：当点B位于点A的右侧时，过点A作AC∥y轴，作BC∥x轴．。