山东省烟台市2016届高三上学期期末统考数学(理)试题 扫描版含答案

2015-2016学年度高三期末理科数学参考答案及评分标准一、选择C D B B D B A C D B二、填空题11. (1,3)- 12. 32 13.14. 2020x y x y --=+-=或 15.三、解答题16. 解：(1) 由已知，有21cos 21cos 21113()cos 2cos 22122222x x f x x x x π⎛⎫++ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 221cos 21423x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭. …………………5分 所以()f x 的最小正周期22T ππ==， …………………6分 当2223k x k ππππ-≤+≤时，()f x 单调递增， 解得：2[,]()36x k k k ππππ∈--∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为2[,]()36k k k ππππ--∈Z . …………………8分 (2)由（1）可知，()f x 在区间[,]36ππ--上是减函数， 在区间[,]66ππ-上是增函数， 而533(),(),()346264f f f πππ-=-==， …………………11分 所以()f x 在区间[,]36ππ-上的最大值为32，最小值为34.………………12分 17. 解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=， 所以222cos12030000x y xy +-=o ,即2230000x y xy ++=， …………………4分又因为0,0x y >>，所以0x y <<<<………………6分（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +的最小，由（1）知，2230000x y xy ++=，所以2()30000x y xy +-=， 因为2()2x y xy +≤，所以22()30000()2x y x y ++-≤，…………………9分 则2()40000x y +≤，即200x y +≤，当且仅当100x y ==时，上式不等式成立. ………………11分 故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为200米. ……………12分18. 解：（1）,AD DC AD DF ⊥⊥Q ,,AD CDEF AD FC ∴⊥∴⊥平面.四边形CDEF 为正方形，所以DC CF ⊥，而DC AD D =I ，FC ABCD ∴⊥底面, …………………3分 FC AC ∴⊥，又ABCD 为直角梯形， //,,2,2AB CD AD DC AD CD ⊥==，可得，45AC CAB =∠=o，而4,AB =由余弦定理可得：BC = 则有222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， …………………5分 又BC FC C =I ，AC ∴⊥平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以AC FB ⊥. …………………6分（2）由（1）知，,,AD DC DE 所在直线两两垂直，故以D 为原点，以,,DA DC DE 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得(0,0,0),(0,2,2)D F , (2,4,0),(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0B E C A ），得(0,2,0)EF =u u u r ，(2,2,2)FB =-u u r设平面EFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则有0000EF y x y z FB ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩=⎪⎩n n uu u r g uu r g ， 令1z =，可得(1,0,1)=n ,……9分由（1）知平面FCB 的一个 法向量为(2,2,0)AC =-u u u r ，所以1cos ,2||||AC AC AC <>===-n n n uuu r uuu r g uuu r ， 因为2,[0,],,3AC AC ππ<>∈∴<>=n n uuu r uuu r ，………………………………11分 由图可得二面角E FB C --的大小为3π. ………………………………12分 19. 解：（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +=-+，①由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +=-+， ②①+②得，113()n n n n a b a b +++=+，所以{}n n a b +是以3为首项、3为公比的等比数列． …………………4分（2）由（1）知，1333n n n n a b -+=⨯=， ③①-②得，11()n n n n a b a b ++-=--，所以{}n n a b -是以1-为首项、1-为公比的等比数列即1(1)(1)(1)n n n n a b --=--=- ④③+④得，(1)32n nn a -+=， …………………8分 33(23)log [2(1)](1)log [(1)3(1)](1)n n n n n n n n n n c a a n =---=--+--=-， 所以231(1)2(1)3(1)(1)n n T n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L ，2341(1)1(1)2(1)3(1)(1)(1)(1)n n n T n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯-+-L ， 两式相减可得：231(21)(1)12(1)(1)(1)(1)(1)2n n n n n T n ++--=-+-+-++---=L ， 所以(21)(1)14n n n T +--= ………………………12分 20. 解：（1）由已知，点在椭圆C 上.因此，22222121,,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得33,2a b ==. …………………4分 所以椭圆的方程为224199x y +=. …………………5分 （2）当直线l 与x 轴平行时，ABD ∆不存在， …………………6分所以可设直线l 的方程为1x my =+，并设两点1122(,),(,)A x y B x y ，联立2241,991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)280m y my ++-=， 其判别式222432(4)361280m m m ∆=++=+>， …………………8分 所以，12122228,44m y y y y m m +=-=-++，因此121||||2ABD S DP y y ∆=-===10分 假设存在直线l= 解得22m =，负解删除，所以m =， …………………12分 故存在直线l方程为1x =+，使得ABD S ∆=……………13分 21.解：（1）12a b =-时， ()e (1)()22x a a h x x a =+-∈R ，∴()e (1)2x a h x x '=+，①当0a =时，()e 0,x h x '=>()h x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)e a h ϕ==；②当0a >时，2()e (),2x a h x x a '=⋅+()h x 在2(,)a-+∞上为增函数， 故()h x 在[0,1]上为增函数，此时()(1)e a h ϕ==； …………………2分③当0a <时，2()e ()2x a h x x a'=⋅+， ()h x 在2(,)a -∞-上为增函数，在2(,)a-+∞上为减函数， 若201,a<-<即2a <-时，故()h x 在2[0,]a -上为增函数， 在2[,1]a-上为减函数， 此时222()()e (1)e 2a a a a hb a ϕ--=-=-+=-⋅， …………………5分 若21,a -≥即20a -≤<时，()h x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)e a h ϕ==； ∴综上所述：2e ,2,()2e, 2.a a a a a ϕ-⎧-<-⎪=⎨⎪≥-⎩； …………………6分（2）()()()e 2,x F x f x g x x b =-=--()e 2,xF x '=-∴()F x 在(0,ln 2)上单调递减；在(ln 2,)+∞上单调递增；…………………7分 ∴()e 2x F x x b =--在[0,2]上恰有两个相异实根，2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)e 40F b F b b F b ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩，∴实数m 的取值范围是(22ln 2,1]m ∈-； …………………10分（3）由题设：15,()()()e 022x a x p x f x g x x ∀∈=-=-+>R ， （*） ∵()e 2x a p x '=-,故()p x 在(,ln )2a -∞—上单调递减；在(ln ,)2a +∞上单调递增， ∴（*）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222a a a a a p x p a a ⇔==-+=-+>， 设()ln 15(ln ln 2)152x q x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x x q x '=--=-， ∴()q x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减， ……………12分 而22222(2e )2e 2e lne 15152e 0q =-+=->， 且215515(15)1515ln1515(2ln )15(ln e ln )0222q =-+=-=-<， 故存在20(2e ,15)x ∈使0()0q x =，且0[2,)x x ∈时()0,h x >0(,)x x ∈+∞时()0,h x < 又∵1(1)16ln 0,2q =->2157e 2<<， ∴*a ∈N 时使()f x 的图象恒在()g x 图象的上方的最大正整数14a =．…………14分。