小学五年级培优第六章第7课：计数问题之几何计数(部分)
小学数学 奥数讲义计数专题：几何计数
华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。
五年级上册数学教案-第6单元《第7课时 组合图形的面积》人教版
五年级上册数学教案-第6单元《第7课时组合图形的面积》人教版一、教学目标知识目标1.理解组合图形的概念。
2.能够计算组合图形的面积。
能力目标1.能够灵活运用所学知识解决实际问题。
2.锻炼学生观察、分析和解决问题的能力。
情感目标1.培养学生合作学习的意识。
2.激发学生对数学学习的兴趣。
二、教学重点和难点教学重点1.组合图形的面积计算方法。
2.解决实际问题时的应用。
教学难点1.理解组合图形面积计算的原理。
2.结合具体题目进行解答。
三、教学过程1. 导入新知识通过展示几个不规则图形，引导学生思考如何计算这些图形的面积。
2. 学习新知识1.认识组合图形的概念–组合图形是由两个或多个简单图形组合而成的图形。
2.计算组合图形的面积–方法1：拆分为简单图形，分别计算面积后相加。
–方法2：将图形内划分为小方格，计算方格的个数。
3. 拓展练习老师给出几个组合图形，让学生自行计算其面积。
4. 引导讨论学生展示自己的计算方法，并与同学分享，讨论不同的解题思路。
5. 巩固练习让学生在小组内合作解决几个应用题，锻炼他们解决实际问题的能力。
6. 课堂小结回顾今天的学习内容，强调组合图形的面积计算方法。
四、课堂作业1.计算以下组合图形的面积，并写出计算步骤：–图形1：三角形和矩形的组合。
–图形2：梯形和圆形的组合。
2.思考：在日常生活中，还有哪些组合图形可以遇到？如何计算它们的面积？五、教学反思本节课通过引入组合图形的概念，让学生了解到数学并不是那么枯燥，同时也锻炼了他们的观察和计算能力。
在未来的教学中，可以增加更多实际的案例让学生练习，提高他们解决问题的能力。
小学数学 奥数讲义计数专题几何计数
小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。
其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。
本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。
一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。
它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。
二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。
对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。
对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。
例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。
三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。
顶点是指图形的两条边交汇的点。
对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。
例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。
四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。
对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。
对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。
例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。
五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。
假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。
首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。
接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。
最后，我们观察图形的对称性。
五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。
六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。
几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。
在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第6讲-几何计数
第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。
【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。
小学奥数教程之-几何计数
⼩学奥数教程之-⼏何计数1.掌握计数常⽤⽅法；2.熟记⼀些计数公式及其推导⽅法；3.根据不同题⽬灵活运⽤计数⽅法进⾏计数．本讲主要介绍了计数的常⽤⽅法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和⽤容斥原理的计数思想．⼀、⼏何计数在⼏何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满⾜某种条件的三⾓形的个数，若⼲个图分平⾯所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到⼀些处理⽅法的．常⽤的⽅法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平⾯分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平⾯的部分数为n (n -1)+2；n 个三⾓形将平⾯最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平⾯最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常⽤到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序⽆关，只与这两个组合中的元素有关．⼆、⼏何计数分类数线段：如果⼀条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段⼀共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数⾓：数⾓与数线段相似，线段图形中的点类似于⾓图形中的边．数三⾓形：可⽤数线段的⽅法数如右图所⽰的三⾓形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成⼀个三⾓形，共有15个三⾓形，同样⼀边在BC 上的三⾓形也有15个，所以图中共有30个三⾓形．ED CBA数长⽅形、平⾏四边形和正⽅形：⼀般的，对于任意长⽅形（平⾏四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长⽅形（平⾏四边形）mn 个．模块⼀、⽴体⼏何计数教学⽬标例题精讲知识要点7-8-3.⼏何计数（三）【例1】⽤同样⼤⼩的正⽅体⼩⽊块堆成如下图的⽴体图形，那么⼀共⽤了__________块⼩正⽅体。
【奥赛】小学数学竞赛：几何计数(三).学生版解题技巧 培优 易错 难
【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？
【例 5】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。
【例 6】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例 7】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【巩固】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。
【例 11】九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A走到点B共有________种不同的走法．
【例 12】国际象棋中“马”的走法如图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中．在5×5个方格的国际象棋棋盘上（如右图）放入四枚白马（用○表示）和四枚黑马（用●表示）．要求将四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到空格中，每个格最多放一枚棋子．那么最少需要__________步．
小学奥数知识体系之几何计数-四五年级组
几何计数几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．【例1】数出右图中有多少条线段练习1：数出右图中有多少个锐角练习2：数一数下面图中各有多少个三角形。
练习3：从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习1：下图中共有____个正方形．练习2：图中有______个正方形．【例3】下面的55⨯和64⨯图中共有____个正方形．练习1：在图中(单位：厘米)： ①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?练习2：如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【例4】如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．练习1：在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）练习2：图中含有“※”的长方形总共有________个．（6级）练习3：由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)作业题：1：如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．※※*2：如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?3：图中共有多少个三角形？4：下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？。
小学五年级逻辑思维学习—几何计数
小学五年级逻辑思维学习—几何计数知识定位在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 B∠COD ，∠COE共2个 A∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。
四、B M C线段AM与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。
小学五年级数学培优.全年简洁版
Part 1“数与运算”之分数计算与比较大小理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法. 1、比较下列分数的大小： 2、将下列分数由小到大排列起来： Part 1“数与运算”之分数与循环小数掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分.1、把下列循环小数化成分数： (3)0.08， (4)0.7，0.12，0.123，0.123.2、计算： Part 2“应用题”之行程问题4流水行程问题与环形问题.流水行程问题中，注意水速对实际速度的影响，初步了解速度的相对性；环形问题中，注意相遇和追及问题的周期性.1、两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要20小时，该船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙从起点同向跑出.又过了5分钟，甲追上乙.请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？Part 2“应用题”之和差倍分问题在和差倍分问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义.解题中应合理选取单位“1”；题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键.1、有红、黄两种颜色的小球，其中红色小球有60个，黄色小球的数量比红色小球的四分之五倍还多1个，那么一共有小球多少个？2、运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了九分之五，其余都是手榴弹.由于遇上敌军伏击，炮弹损失了五分之二，而手榴弹只剩八分之三.送到时剩多少枚弹药？Part 2“应用题”之拓展问题掌握比的概念，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比的含义.剪短的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论.1、水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为5:4，那么水果店运来的西瓜和哈密瓜各多少个？2、有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的个数比为7:6.后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为11:10.请问：后来报名的女生有多少人？Part 2“应用题”之工程问题掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位1”的概念并 .2313，1915，2314，2413，1914 7920 与32079)4( 409 与133)3( 6032 与247)2( 854 与171)1(灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化、总量变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题.1、如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半.请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？2、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成.如果按甲、乙、甲、乙......的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？Part 2“应用题”之牛吃草问题与钟表问题牛吃草问题是一类特殊的工程问题，难点在于草的总量有变化，要注意单位“1”的选取。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
小学五年级数学培优(6) ：计数问题
小学五年级培优数学6-1“计数问题”之包含与排除有重叠部分的若干对象的计数问题.利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；处理具有一些不确定性的计数问题、重复计数问题.1、某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第二题做错了，那么第一题和第二题全对的共有多少人？2、暑假里，小米和小文一起讨论“内江十八景点”.她们发现十八景中的每一处都有人都去过，而且有五处是两人都去过的.如果小米去过其中的十二景，那么小文去过其中的几景？3、在一群小朋友里，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过.请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？4、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？5、五一班45个学生参加期末考试.成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人.请问：语文成绩得满分的有多少人？6、如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、丙与甲重合部分的面积分别为6，8，5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2.请问：甲(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？乙丙7、操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳的女生有多少名？8、在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？9、唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难.请问：师徒四人共同渡过的有多少难？小学五年级培优数学6-2“计数问题”之几何计数合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算.1、如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米.请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？2、小齐把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问：(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有箭头的小边)，剩下的图形中还有多少个三角形？A B C D E 3cm 3cm 3cm 3cm3、如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.图中 包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？4、数一数，图中一共有多少个三角形？5、在如图所示的4×4的方格表中，共有多少个正方形？6、数一数，图中一共有多少条线段？多少个矩形？7、平面上有9个点，以这些点为顶点可以连出多少条线段？8、如图，AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？9、如上图2，在2×3的长方形中，每个小正方形的面积都是1.请问：以A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 为顶点且面积为1的三角形共有多少个？9、如上图3，数一数，图中共有多少个三角形？*C D O A BE F MN小学五年级培优数学6-2“计数问题”之计数综合二涉及整数知识，包括数字或数阵图形式的计算问题.解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式.1、能同时被4,5,6整除的三位数共有多少个？2、分母是30的最简真分数共有多少个？3、从1,2,3,...,9这九个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？4、在所有由1,3,5,7,9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？5、用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？6、个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？7、一个正整数，如果从左往右看和从右往左看都是一样的，那么把这个数称为“回文数”.例如：1331,7,202,66都是回文数，而220则不是回文数.请问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中第1997个回文数是什么？8、一个四位数ABCD ，它与逆序数DCBA 之和的末两位为56，这样的四位数ABCD 有多少个？9、把2005、2006、2007、2008、2009这五个数分别填入图中的东、南、西、北、中五个方格内，使横、竖三个数的和相等，一共有多少种不同的填法？ 10、从1至7中选出六个数字填入表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数比左边大.请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？西 中 东 北 南。
高思导引五年级第6讲 几何计数—完整版
第6讲几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。
兴趣篇1．如图6 -1，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？答案：10条；60厘米解析：(1)图中最短的小线段共有4条：AB，BC，CD，DE;而由两条小线段组成的线段共有3条：AC，BD，CE;由三条小线段组成的线段共有2条：AD，DE;由四条小线段组成的最长线段只有一条：AE因此所有线段共有4+3+2+1=10条．(2)最短的线段每条长度都是3厘米，因此总长度为3×4=12厘米；由两条小线段组成的线段每条长度都是6厘米，总长度为6×3=18厘米；由三条小线段组成的线段每条长度都是9厘米，总长度为9×2=18厘米；由四条小线段组成的一条线段长度为12厘米，因此所有线段总长度为12+18+18+12=60厘米．2．小明把巧克力棒摆成了如图6-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：(1) 一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？答案：(1) 30个 (2) 27个 (3) 22个解析：(1)先数横向的巧克力棒：共有四层，一共有1+2+3+4 =10个．根据图形的对称性，每个方向的巧克力棒个数都相同，所以图中一共有10 ×3=30个巧克力棒．(2)如果假设一段巧克力棒的长度为l，那么图形中的等边三角形边长可以是l，2，3，4，按边长把这些三角形分成四类分别计算：边长为1的三角形，从上往下一层一层来数，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，所以一共有1+3+5+7=16个；边长为2的三角形，第一、二层有1个，第二、三层有2个，第三、四层有4个，共7个；边长为3的三角形共3个；边长为4的三角形只有1个．因此，整个图形中共有16+7+3+l=27个三角形．(3)考虑吃掉一个巧克力棒后三角形会减少多少个，容易想到，减少的三角形都是以吃掉的巧克力棒为边（或边的一部分）的三角形．分类来数：这种三角形中边长为1的有2个，边长为2的有2个，边长为3的有1个，没有边长为4的，共5个．因此剩下的图形中还有27-5=22个三角形．3．如图6-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个？答案：6个解析：设图中小正三角形的边长为1．包含“*”的边长为1的正三角形只有1个，包含“*”的边长为2的正三角形有4个，包含“*”的边长为3的正三角形只有1个，所以图中包含“*”的各种大小的正三角形共有1+4+1=6个．4．数一数，图6-4中共有多少个三角形？答案：13个解析：若将图中的斜边去掉，容易算得剩下的图形中有6个三角形．此时再添上这条斜线，会多7个三角形，因此图中共有6+7 =13个三角形。
小学五年级培优第六章第6课：计数问题之包含与排除(部分)
小五.第六部分
计数问题
“一分耕耘一分收获。”
第6讲
包. 利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏 图中每部分的含义；结合文氏图理解 两个对象和三个对象的容斥原理； 处理具有一些不确定性的计数问题、 重复计数问题.
典型问题
1、某次练习共有2道题，做对第一题的 有40人，这40人中有13人第二题做错了， 那么第一题和第二题全对的共有多少人？
典型问题
2、暑假里，小又和小文一起讨论“内江 十八景点”.她们发现十八景中的每一处都 有人都去过，而且有五处是两人都去过 的.如果小又去过其中的十二景，那么小 文去过其中的几景？
典型问题
3、在一群小朋友里，有12人看过动画片 《黑猫警长》，有21人看过动画片《大 闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过. 请问：至少看过其中一部的小朋友有多 少人？
典型问题
4、一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃 馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢 吃馒头的有30人，两种都喜欢的有7人， 那么喜欢吃米饭的有多少人？
典型问题
5、五年级一班45个学生参加期末考试.成 绩公布后，数学得满分的有10人，数学 及语文均得满分的有3人，这两科都没有 得满分的有29人.请问：语文成绩得满分 的有多少人？
人教版五年级数学上册 第六单元第7课时组合图形的面积 精品教学课件
=
+
5×5+5×2÷2 =25+5 =30（m2）
倍速学习法 学习好方法
二、例题讲解
右图表示的是一间房子侧面墙的 形状。它的面积是多少平方米？
（5+5+2）×（5÷2）÷2×2
=
=+
=15×2 =30（m2）
倍速学习法 学习好方法
三、新知应用
添补一个小正方形
7×6=42 (m2) 3×3=9 (m2) 42－9=33(m2)
４m 6m
7-4=3m 6-3=3m 3m
7m
倍速学习法 学习好方法 三、新知应用
倍速学习法 学习好方法 三、新知应用
（教材P101第2题）
30+30=60(cm) 80×60=4800(cm2) 60×20÷2=600(cm2) 4800-600=4200(cm2)
倍速学习法 学习好方法 三、新知应用
1.下面组合图形的面积是多少？ ４m
6m 3m
7m
倍速学习法 学习好方法 三、新知应用
分割成两个长方形４m 6-3=3m
6m
7m
4×3=12（m2） 3m 3×7=21（m2）
12+ 21=33（m2）
倍速学习法 学习好方法
三、新知应用
分割成一个长方形和一个正方形 ４m
6 多边形的面积 第7课时 组合图形的面积
人教版·五年级上册
倍速学习法 学习好方法 一、新课导入
b
a
长方形面积 = 长×宽
S =ab
a
h
a
a
正方形面积 =边长×边长 三角形面积 =底×高÷2
小学数学 奥数讲义计数专题：几何计数
华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。
基础几何知识：小学五年级下册数学第六单元教案
在小学数学教学中，基础几何知识是非常重要的一部分。
在五年级下册数学第六单元教案中，将会详细介绍一些基础几何知识的内容。
以下是我对该单元教案的详细分析和总结。
第一节：线段、直线、射线在这一节中，教师将向学生介绍线段、直线和射线的定义及其区别。
线段有两个端点，可以通过这两个确定；直线是由无数个点组成，而且在其中任意两个点之间都可以画出一个线段；射线是由起点和沿着一定方向延伸的无数个点组成的。
通过这种讲解方式，可以让学生更好地理解这些概念，避免将它们混淆。
第二节：平面图形的简单认识在这一节中，教师将通过图形的形象展示和直观示范引导学生认识和区分平面上的各种基本图形。
这些基本图形包括：三角形、四边形、五边形和六边形等，其中还会涉及到它们的各种变形。
通过这种教学方式，学生可以更加深入地了解不同图形之间的联系以及它们的性质。
第三节：相交与平行线相交与平行线是基础几何知识中的重要概念。
在这一节教学中，教师将通过实际绘制、线段与角度的对比等方式，让学生理解相交和平行的概念。
教师还将介绍诸如垂直等角线对和垂线等重要概念，帮助学生更加全面地理解这些概念。
第四节：点、线、面点、线、面也是基础几何知识中的重要内容。
在这一节教学中，教师将通过各种举例，让学生学习区分这三种图形，并掌握它们的特点以及与其他图形之间的联系。
这些概念不仅能够帮助学生更好地认识几何，更可以起到培养学生的思维能力和创造力的作用。
总体说来，五年级下册数学第六单元的教学内容是基于基础几何知识的。
通过这些内容的教学，学生可以更清晰、明确地理解和简单运用几何基础知识。
通过不同的教学方式和方法，让学生能够掌握这些概念，并培养他们的思考和创造力。
希望我们的教师及家长们都能够积极参与学生的学习中，并激励他们在学习中不断突破，发现探索几何的乐趣。
22几何计数问题-线段立体图形平面图形计数培优篇及课后作业
图形认识初步【几何计数问题】【培优练习】1.你会数线段吗？如图①线段AB，即图中共有1条线段；如图②线段AB上有1个点C，则图中共有3条线段；如图③线段AB上有2个点C、D，则图中共有6条线段．思考问题：（1）如果线段AB上有3个点，则图中共有条线段；（2）如果线段AB上有9个点，则图中共有条线段；（3）如果线段AB上有n个点，则图中共有条线段（用含n的代数式来表示）．2.阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（）A．36 B．45 C．55 D．663.观察下列图形，像这样的十条直线相交最多的交点个数有( )A．40个 B．45个 C．50个 D．55个4.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36 B．37 C．38 D．395.（2008•襄阳）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．6.图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）（1）图2有个三角形；图3中有个三角形（2）按上面方法继续下去，第20个图有个三角形；第n个图中有个三角形．（用n的代数式表示结论）7.观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题．问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有条横截线．8.如图是由18个大小相同的小三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个，那么图中包含“*”号的大小正三角形一共有多少个？9.数一数共有多少个三角形。
10.图中一共有多少个大大小小的三角形。
11.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
如图平面上有9个点。
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典型问题
7、平面上有9个点，以这些点为顶点可以连出 多少条线段？Fra bibliotek数学培优
小五.第六部分
计数问题
“一分耕耘一分收获。”
第7讲
几何计数
合理使用各种已学的计数方法来解决 几何计数问题；学会利用图形的位置 和形状进行恰当的分类；掌握方格表 中长方形个数的计算方法；注意利用 图形的对称性来简化计算.
典型问题 1、如图，线段AB、BC、CD、DE的长 度都是3厘米.请问：图中一共有多少条线 段？这些线段的长度之和是多少厘米？
典型问题
3、如图，它是由18个大小相同的小正三角形 拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可 以拼成较大的正三角形.图中包含“*”的各种大 小的正三角形一共有多少个？
*
典型问题
4、数一数，图中一共有多少个三角形？
典型问题
5、在如图所示的4×4的方格表中，共有多少 个正方形？
典型问题
6、数一数，图中一共有多少条线段？多少个 矩形？
3厘米 3厘米 3厘米 3厘米
A BCDE
典型问题
2、小又把巧克力棒摆成了如图所示的形状， 其中每一条小短边代表一个巧克力棒.请问： (1)一共有多少个巧克力棒？ (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端 带有箭头的小边)，剩下的图形中还有多少个 三角形？