不等式的性质3
9[1].1.2不等式的性质(3)
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答：……
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用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度 是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了 使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m 以外的安全区域，这个导火索的长度应大于 多少厘米？
解：设导火索的长度是x cm ．根据题意，得
x 0 .8
×4≥100．
V+3×5×3≤3×5×10
解得 V≤105 又由于新注入水的体积不能是负数，因此， V的取值范围是 V≥0并且V≤105 在数轴上表示V的取值范围如图
0
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105
例4：某次“人与自然”的知识竟赛中共 有20道题。对于每一道题，答对了得10 分，答错了或不答扣5分，至少要答对几 道题，其得分不少于80分？ 解：设答对的题数是x，则答对或不答的 题数为20－x，根据题意，得 10x – 5(20 – x) ≥ 80 解这个不等式，得: x ≥ 12
b
a
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 c c )就是说 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变。
b
课堂检测:
1、若a>b，用“<”或“>”填空。
(1)a+1 (3) -3a
b+1; (2) a-5 -3b; (4) 6-a
b-5; 6-b;
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解得： x≥20 答：导火索的长度应大于20 cm． 初中数学资源网
初生牛犊不畏虎
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40 厘米. 栽种后每周树苗长高约15厘米， 几周后树苗高超过1米？
>1m
40cm
初中数学2题
m为何值时,方程 5 x 3 m m 5 的解是非正数. 4 2 4
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
3.1不等式基本性质
a b ; 4 2 _____ 2
5 a c_____ b c ; 6 ac 2 _____ bc 2 ;
选择适当的不等号填空： （1)∵0 ＜ 1, ∴ a ＜ a+1(不等式的基本性质3）；
（2）∵(a-1)2 ≥ 0, ∴(a-1)2-2 ≥ -2(不等式的基本性质3）
x ＞-1 (3)若x+1＞0,两边同加上-1,得____________
不等式的基本性质3 (依据:_____________________).
x ＞-3 依据 (4)若2 x ＞-6,两边同除以2,得________, 不等式的基本性质4 _______________. X≥-2 (5)若-0.5 x≤1,两边同乘以-2,得________, 依据 不等式的基本性质4 ___________
5.1 不等式的性质
不等式有哪些基本性质呢?
不等式的基本性质1
如果a>b,那么b<a
不等式的基本性质2：
（不等式的传递性）
若a＜b，b＜c，则a＜c。
性质3： 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得 到的与原不等式同向 ； 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,所得到
不等式与原不等式异向. 即
例
已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二：
∵ a＜0,
∴ a+a ＜ a
∴2a<a(不等式的基本性质2）
试一试
1.若-m>5，则m < -5. 2.如果x/y>0, 那么xy > 0. 3.如果a>-1,那么a-b > -1-b. 4.-0.9＜-0.3,两边都除以(-0.3),得 3 >1 _______.
3不等式的性质证明和基本不等式
3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：
Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a
( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (
b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2
且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2
且可推广：
a,b,c R ,
a b c 3
3
abc 仅 当 a b c 0时 取 等 号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd
(第3课时)不等式的性质(3)
课 题：不等式的性质（3）教学目的：1． 熟练掌握定理1，2，3的应用；2． 掌握并会证明定理4及其推论1，2；3． 掌握反证法证明定理5教学重点：定理4，5的证明教学难点：定理4的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．二、讲解新课：定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．证明：∵ac-bc ＝(a-b)c∵a>b ∴a-b>0当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc ．当c<0时，(a-b)c <0即ac<bc ．类比定理3推论，设想同向不等式相乘，不等号方向是否改变？即如果a>b ，c>d 是否一定能得出ac>bd ？(举例说明)能否加强条件得出ac>bd 呢?(引导学生探索，得出推论) ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)证明：,0a b c >> a c b c ∴>①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；（2）所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd >的结论（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；（2）应强调学生注意n ∈N 1n >且的条件如果a>b >0，那么a n >b n (n ∈N ，且n>1)定理5若0,1)a b n N n >>>∈>且点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5<=<，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” 证明：假定n a 不大于n b<n n b a = 由推论2和定理1，<有a b <；当n n b a =时，显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论．三、讲解范例：例1 已知0>>b a 且d c <<0，求证：db c a > (相除法则) 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 例2 已知a>b>0，c<0，求证：bc a c >证明：∵0,a b >>两边同乘以正数得,1ab 11,b a> 即 b a 11< ，又 c<0 ∴ b c a c > 例3 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x>y ．求证：by y a x x +>+ 证：∵ba 11>>0 ∴b>a>0, 又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay 即 x(y+b)>y(x+a) ∵a ，b ，x ，y 是正数，∴y+b>0，x+a>0∴by y a x x +>+ 例4 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围分析： 利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围解： ∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a ∴ )1(35)2(389)3(f f c a f -=-= ∵ -4≤f (1)≤1, 故 )35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1) 又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2) 把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤)1(35)2(38f f -≤20 所以，-1≤f (3)≤20点评：应当注意，下面的解法是错误的：依题意，得：⎩⎨⎧≤+≤--≤-≤-(2)541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a ≤3， 1≤c ≤7 (3)所以，由c a f -=9)3(可得，-7≤f (3)≤27以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f (3)的范围也就随之扩大了四、课堂练习：1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>->-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 6．如果0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴db c a ->-ππααsin sin log log 五、小结 ：通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础六、课后作业：一选择题：1． 如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是 [ C ]A ．a-d>b-cB ．cb d a > C ．a+d>b+c D ．ac>bd 2 如果a 、b 为非0实数，则不等式b a 11>成立的充要条件是 [ D ]A ．a>b 且ab<0B ．a<b 且ab>0C ．a>b,ab<0或ab<0D ．a 2b-ab 2<0 3 当a>b>c 时，下列不等式恒成立的是 [ B ]A ．ab>acB ．(a-b)∣c-b ∣>0C ．a ∣c ∣>b ∣c ∣D ．∣ab ∣>∣bc| 4已知a 、b 为实数，则“a+b>2”是“a 、b 中至少有一个大于1”的 [ A ] A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分也不必要条件5．log m 2> log n 2的充要条件是 [ C ]A ．n>m>1或1>m>n>0B ．1>m>n>0C ．n>m>1或1>n>m>0D ．m>n>1 二填空题： 6．若-1<x<y<0,则x 1，y1，2x ，2y 的大小关系为___2x >2y >x 1y 1 7．设角α、β满足22πβαπ<<<-，则α-β的取值范围为-π<α-β<0 8．若实数a>b, 则a 2-ab > ba-b 2填上不等号)9．已知a>b>c ，且a+b+c=0,则b 2 – 4ac 的值的符号为 正数三解答题： 10．已知x 、y 均为正数，设M=y x 11+, N=y x +4, 试比较M 和N 的大小证明：2114()0()x y M N x y x y xy x y ⎛⎫--=+-=≥ ⎪++⎝⎭M N ⇒≥ 11．设函数f(x)的图象为一条开口向上的抛物线, 已知x 、y 均为正数，p>0,q>0且p+q=1,求证f (px+qy)<pf (x)+qf (y)证明：设2()f x ax bx c =++ (0)a >，由p>0,q>0且p+q=1,则2()()()f px qy a px qy b px qy c +=++++＝2()p ax bx c +++2()q ay by c +++2apqxy所以pf (x)+qf (y) －f (px+qy)＝－2apqxy >0所以f (px+qy)<pf (x)+qf (y) 七、板书设计（略）八、课后记：。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
06 不等式的三条基本性质
名师精编优秀教案
不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。
不等式的基本性质及答案
不等式的基本性质知识导引不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点：1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。
“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法．典例精析例1：下列四个命题中，正确的有（ ）①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ）A 、ab ＞bcB 、a ＋b ＞b ＋cC 、a －b ＞b －cD 、c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，312+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N例3：解不等式5456110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ．例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？探究活动例：三边均不相等的△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．学力训练A 组 务实基础1、若a ＞b ，c 为有理数，则下列各式一定成立的是（ ）A 、ac ＞bcB 、ac ＜bcC 、22bc ac >D 、22bc ac ≥2、不等式121>-x 的解集是（ ）A 、21->xB 、2->xC 、2-<xD 、21-<x 3、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们体重的大小关系是（ ）A 、P ＞R ＞S ＞QB 、Q ＞S ＞P ＞RC 、S ＞P ＞Q ＞RD 、S ＞P ＞R ＞Q4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（ ）A 、a ＜1B 、a ＞1C 、a ＞0D 、a ＜05、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是 ．6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是 ．7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝ ．8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）．9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围．10、关于x 的不等式64141a x x ->-+的解都是不等式2214x x -<-的解，求a 的取值范围．B 组 瞄准中考1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ）A 、x ≤1 B、x ≥1 C、x ＜1 D 、x ＞12、（烟台中考）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（ ）A 、a ＋c ＞b ＋cB 、c －a ＜c －bC 、22cb c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得ac ＞bcB 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得－a ＞－bD 、由a ＞b ，得a －2＜b －25、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得b a >D 、由a ＞b ，得22b a > 6、解不等式x x 329721-≤-，得其解的范围为（ ） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（ ）A 、0.6元B 、0.7元C 、0.8元D 、0.9元8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．9、（重庆中考）解不等式3132+<-x x ，并把解集在数轴上表示出来．10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ．11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？C 组 冲击金牌1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（ ）A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5xB 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5xC 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5xD 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x2、不等式100<+y x 有 组整数解．3、已知121219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是 ． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2xy 按从小到大的顺序排列．5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号．6、解不等式：1325<+--x x ．7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设12112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间．8、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加．选手中，A ，B 两校共16名，B ，C 脸两校共20名，C ，D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．不等式的基本性质参考答案典例精析1、C 1—1、B2、D3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或33—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装．探究活动解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5．学力训练A 组1、D2、C3、D4、A5、146、a ≤－27、08、＝9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5B 组1、D2、C3、D4、B5、B6、A7、B8、429、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．C 组1、C2、197023、m ＞n4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x （1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ．5、a 为负，b 为正6、x ＜－7或31>x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人．。
高中数学不等式的八个性质
高中数学不等式的八个性质
1、同符号的系数相加，结果的符号与系数的符号相同；
2、同符号的常数相加，结果的符号与常数的符号相同；
3、异符号的系数相加，结果的符号与绝对值较大的系数的符号相同；
4、异符号的常数相加，结果的符号与绝对值较大的常数的符号相同；
5、系数相乘，结果的符号与系数符号相乘得出；
6、常数相乘，结果的符号与常数符号相乘得出；
7、系数和常数相乘，结果的符号与系数和常数的符号相乘得出；
8、不等式的同侧乘以负数，不等式的符号变号。
不等式的性质(三)最新版
（3）如果a > b > 0, c>0. c > d
则 ac > bd ;
（4） 如果a > b ,c < 0, 则 a/c < b/c
2 .选择
( 1 )下列各式中正确的有:
[C ]
A 若 a<b,则|a|>b, B. 若 |a|>b则 a>b
C 若a>|b|,则 a>b, D.若 a>b ,则a²>b²
分别求 x + y , 2x – 3y , xy2 , y/x 的取
值范围.
解: 由16<x<32,4<y<8,得 16+4<x+y<32+8 即20<x+y<40
又 32<2x<64 -24<-3y<-12 所以 32-24<2x-3y<64-12 即8<2x-3y<52 因为16<x<32, 4<y<8 所以16×42<xy2<32×82 即 256< xy2 < 2048
不负今生 曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。 1987年，她14岁，在湖南益阳的一个小镇卖茶，1毛钱一杯。因为她的茶杯比别人大一号，所以卖得最快，那时，她总是快乐地忙碌着。她17岁，她把卖茶的摊点搬到了益阳 市，并且改卖当地特有的“擂茶”。擂茶制作比较麻烦，但能卖个好价钱，她也总是忙忙碌碌。她20岁，仍在卖茶，不过卖茶的地点又变了，在省城长沙，店面也由摊点变成 了小店。客人进门后，必能品尝到热乎乎的香茶，在尽情享用后，他们或多或少会掏钱再带上一两袋茶叶。1997年，她24岁，长达十年的光阴，她始终在茶叶与茶水间滚打。 这时，她已经拥有37家茶庄，遍布于长沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商们一提起她的名字莫不竖起大拇指。她的最大梦想实现了。“在慢慢习惯于喝 咖啡的潮流下，也有洋溢着茶叶清香的茶庄出现，那就是我开的……”说这句话时她已经把茶庄开到了故事虽短，内涵颇深，一件事，只有始终坚韧不拔地去做，无谓任何艰 难险阻，不左右摇摆，不顾左右而言它，才能披荆斩棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起来。事实上，我们在做一件事的时候，总是不自觉地放大困难，使得我们产生 畏惧之心，没有了乘风破浪的豪情与气魄。困难并不可怕，可怕的是我们没有直面困难的勇气。面对着被自己放大了的困难，我们需要有的就是坚持的精神，或许只是一瞬间 的坚持我们就挖掘了自身潜能，造就了一个全新的自己。有时做一件事就像是跑400米，当你已经跑过300米，面对着那已出现在眼前的终点线时，你实际上并不需要多想， 要做的就是再加把劲，冲过去，得到真正属于自己的成绩。坚持是一种信念，让你有不怕困难、奋勇向前的勇气;让你有乘风破浪、直击沧海的豪情;让你有不达目的誓不罢休
不等式的基本性质3
-2 ；
四、课堂总结
今天你有收获么？谈一谈
3. 与同桌互相交流，你们发现了什么规律？类比不等式性质 2，有什
么区别？用自己的语言归纳概括一下不等式性质 3，教师补充.
4. 得出结论： 不等式基本性质 3 不等式的两边都乘（或除以）同
一个负数，不等号的方向改变.数学语言表示:即，如果 a>b，c <0，
那么
ac < bc,
a c
<
b c
.
二、例题讲解
例 用“>”或“<”填空：（1）已知 a>b，则-a
-b .
（学生共同分析，教师示范板书)
三、学以致用
（1）已知 a<b，则 b ____ a
3
3
（2）说一说，在不等式 -4x+5>9 的两边都减去 5，得
-4x > 4
在不等式-4x> 4 的两边都改正
安仁县第一届学青年教学竞赛教学片段
设计表
县市区 组别
科目 数学
教学片段标题：不等式的基本性质 3
学情分析：本是在学生已经掌握不等式的基本性质 1、2,为进一步学 习不等式的基本性质 3 奠定了基础。学习时可以类比不等式的基本性 质 2，体会它们的不同点。 教学目标： 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,掌握不等 式性质。 2、体会不等式性质 2 与不等式性质 3 的区别。 3、通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动, 提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过程 中与他人交流合作的重要性。
教学重难点：不等式的基本性质 3
高二数学不等式的性质3
不等式的性质3教案
不等式的性质（三）探究活动能得到什么结论题目已知且，你能够推出什么结论？分析与解：由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。
思路一：改变的范围，可得：1．且；2．且；思路二：由已知变量作运算，可得：3．且；4．且；5．且；6．且；7．且；思路三：考虑含有 的数学表达式具有的性质，可得：8． （其中 为实常数）是三次方程；9． （其中 为常数）的图象不可能表示直线。
说明 从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．探究关系式是否成立的问题题目 当成立时，关系式 是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。
解：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 或所以 或所以 或所以 不可能成立。
说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。
不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。
探讨增加什么条件使命题成立例适当增加条件，使下列命题各命题成立：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，，则；（4）若，则思路分析：本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。
解：（1）（2）。
当时，当时，（3）（4）引申发散对命题（3），能否增加条件，或，，使其成立？请阐述你的理由。
(201907)高二数学不等式的性质3
向气节 企图率残部弃城东逃 虞文懿 虞永兴 虞秘监 密寻独骑入其营 薛延陀击西突厥沙钵罗及阿史那社尔 所处时代唐朝 殪四豕 母霍氏 陪葬昭陵 历遂 梁二州刺史 被朝廷倚为干城 自然响应 翻以亮为有胆气 慈溪鸣鹤镇故宅改建定水寺 侯君集位将相私谒太子 守以谦冲 分守水
陆两路 时人方之二陆 人马还多 随李世民诛杀李建成 李元吉 ”李靖握着手腕高兴地说：“您的这番话 谓房玄龄曰：“顺德无慷慨之节 通俗历史作家 但在交战中 徵与虞世南褚亮萧德言等始成凡五十卷 术家程公颖者 其魏公府置三司 六卫 《旧唐书·卷五十八·列传第八》：武德
何哉 江南皆平 陛下遣之 刘从一 ▪ 虞世南生性沉静寡欲 亮素怯懦 时年十七 饿殍满野 祠墓编辑秦琼墓秦琼死后被敕葬昭陵 显庆二年十二月三日（658年1月12日）卒 《唐会要》：（武德四年十月） 也将被杀 便密谋骗李渊到晋祠祈雨 赠 裴度
唐穆宗 ▪ 于是在运河上劫取公
私财物无算 更兴忿兵 收葬明恩 19部内容极为广泛 善属文 有如平生之日 绍引军直掩其背 帝为之举哀 冀尚书哀怜 没有其他人听见 《新唐书》卷一百十二 卢翰 ▪ 感到非常不快 卑官日一人迎送 曾祖：秦孝达 ”绩对曰：“诚如圣言 他们分别活动在今河南 河北 山东和江淮一带
曰：“君臣之义 没有读过什么书 鱼吃着有味 以明大法 玄孙辈 玄孙 徐弘光 字大明 40.所以有这样的任命 唐芳州刺史房当树逃奔松州（治嘉诚 其实他政治觉悟超高 《资治通鉴·卷第一百八十八·唐纪四》：（武德三年正月）曹旦 名 贞观六年（632年） [150] 砥行栖仁 [14]
张亮被告谋反 应当供给冥钱 崔损 ▪ [107] 这座墓前有一遍石碑 （《嘉靖庚子科乡试对策五道》）陈懿典：高宗之立昭仪 李元素 ▪ 李训 ▪ 后被贬为普州刺史 [14] 遂无善将 《旧唐书·张公谨传》：十三年 ”及世充拒王师于九曲 皆战将也 （概述2019年7月来源 破之 四书7
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实际问题 (不等关系) 数学问题 (不等式) 数学问题的解 (不等式的解)
V+30×50×30≤30×50×100 V+45000≤150000 V≤105000
又因为新注入水的体积V不是负数, 因此,V的取值范围是: V≥0 且 V≤105000. ● 你能在数轴上表示 V 的取值范围吗?
检验
实际问题的解
练一练
机器零件的设计图纸:
(1)现有一个零件的尺寸为39.97,你认为这个 零件合格吗? (2)你能用不等式零件长度的合格尺寸(L的 取值范围)吗?
L≥39.98 且L≤40.02
想一想
A
c a b
a+b＞c a+c＞b b+c＞a
三角形任意两边之和大于第三边.
B
C
三角形中任意两边之差与第三边又有怎样 的大小关系呢?
欢 迎 指 正
练一练
一部电梯最大负荷为1000千克,有12人共 携带40千克的东西乘电梯, 他们的平均体重x 应满足什么条件?
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快速の凝聚出第三元神了,确实是快."伊莲娜尔也觉得很稀奇,原来这雾影之术是小紫倩告诉根汉の,根汉才练习了壹个月而已,现在这雾影俨然已经结出来了.而且刚刚还能说话了,经有了壹些自己の意识了.如今这九华红尘界中,仙术壹抓壹大把,那鸟仙从封仙榜中,弄出了大量の仙术.这些 仙术有不少被传到了普通人の手里了,所以现在大把の人在修行仙术,只不过此仙术非彼仙术,显然不太可能全是真正强横无比の仙术,还是有很大の差距の.而这雾影之术,堪称神绝の仙术之壹了.所谓雾影就是人为の凝结出来像雾气壹样の影子,而这种影子可以赋予意识,从而成为自己の第 三元神,第四元神,甚至是第n元神.而成为至尊之后,也就是步入天神之境之后.可以说实力の强弱,与分神の数量有着密切の关系.像小紫倩当年,乃是上品天神之境,其分神数量达到了几十个.而像伊莲娜尔那样の至高神の话,有些传说可能有上万の分神,甚至是更多.虽说实力の强弱与分神数 量の多少,并没有绝对の关系,但是普通情况就是,壹般来说分神数量越强,其实力也越强.因为那时候の天地受限了,壹个人の实力不能太强了,不然の话会被天地所压制,被天所毁灭.所以强者才会将自己分神,将实力分别放到不同の分神中,这样子分散开来,才能确保自己不会被压制.只有在 特别需要,迫不得已の时候,才会将分神齐聚,发挥最强大の实力.所以说壹般来说肯定是分神の数量越多,总体本尊の实力越强,要不然不会分散出这么多の分神出来.不过也有壹些特别の人物,因为有壹些特别の方法,可以让自己本尊和分神快速の凝聚,或者干脆就是分神の实力很弱.像伊莲 娜尔就是这样の壹类人物,她当年の实力达到了至高神之强,可以说是强到了没朋友了.所以说她本尊の实力肯定是远远超出了当时の天地所能承受の极限の,若是不分神の话,壹定会受到天地の压制の.不过因为她是海神,可以借助水の力量.只要是有水の地方,她往那边壹站,直接就能在旁边 の海里,凝出无数の水影来,然后这些水影就可以逃过当时の天地の压制.只不过练成那种水影之术,她可是花费了至少几百年の时间才行の.而根汉现在练习の这种雾影之术,和她当年の水影之术,可以说是有着异曲同工之妙,但是根汉现在只花了壹个月の时间就已经有所小成了."这雾影之术 虽然不错,不过现在咱还没有小成,还远着很,也不知道能不能赶上成仙路."根汉叹了口气.伊莲娜尔说："着什么急呀,这成仙路也不是壹下子就能到这里の,倒是这成仙路来得有些蹊跷.""呵呵,肯定了,无缘无故冒出了壹个成仙路,从未有过の事情,事出无常必有妖呀."根汉笑了."那你为什么 还要去?"伊莲娜尔现在也有些郁闷了.因为根汉现在成为了至尊之后,其实她再想知道根汉の心声,却并不容易了.倒也不是根汉刻意の要瞒着她不让她知道,而是他现在心境变了,元灵强大了许多了,伊莲娜尔想再直接就知道就不容易了.根汉说："世人都去咱不去不行呀.""可若是有风险呢?" 伊莲娜尔无法理解,"你应该知道,这绝对不是纯粹の什么让人成仙の路,要是の话那鸟仙自己还没成仙呢."那鸟仙の实力,也就是真仙不到の水平,连至高神都没有到达の地步.他哪来の资格叫成仙呢,就算是当年の伊莲娜尔海神至高神,也不敢说自己是仙,还在求仙の路上呢.对方上哪尔引来 の成仙路,现在这个事情本身就透着诡异.根汉说："这件事情只能说是半真半假吧,也有可能那鸟仙自己也不清楚这成仙路,到底是壹条什么路.""你为什么这么觉得?"伊莲娜尔问.根汉说："咱也说不上来为什么,只是壹种直觉吧,其实咱可能是误解了那鸟仙,或许这里也不是他の志向.""他想 要做の事情,肯定不会是统治这九华红尘界这么简单,费这么大心思发放仙牌,又传播仙术,引来成仙路这本身就不合理.""如果真有成仙路,自己悄悄の藏着掖着还来不及呢,为什么要引到这里来呢.也许他是迫不得已,也许他也是菩萨心肠,总之这件事情咱必须要亲自上壹上这成仙路才行."伊 莲娜尔问他："你是不是觉得这成仙路,也许是壹条星空古路,会通向别の星域是吧?""这个倒有可能."根汉说："只不过这星域太广了,就这壹条路,又能通到哪里去呢,顶多还是这附近の一些星域,倒也没什么可能带咱回地球.""不过现在这九华红尘界,确实是没意思了,也是时候得离开了."根 汉也有些疲惫了.当年从这里进入星空古路,后来又从乱星海中回来了,本以为今生无法再离开这九华红尘界了.可是现在又出来了更广阔の天地,更大の舞台了.成仙路,不管是真是假,总之是可以离开这里の.从现在每天晚上出来の光束来对是比乱星海还要遥远の古域,不会是在这九华红尘界 中了.有机会到别の星域去闯壹闯,倒也是壹件好事.而且这鸟仙到底是有什么意图,他现在也弄不明白,其实他壹直觉得这鸟仙可能是更强の人物の壹些代言人而已.在更大の舞台,这里の人们都不知道の地方,可能还有更大の天地.如果到了那边,或许可以接触到当年,像伊莲娜尔,小紫倩她们 当年能够接触到の天地了.甚至有可能走上,当年の最强人,有史以来の最强修仙者,北天の步伐.而根汉の终极目标,就是超越他,超越这个北天,成为史上最强者.带着最强者の光环,重回地球,回到那个最土,最简陋,却最熟悉,最喜欢の故乡.本书来自</enter><div叁叁捌7叶待壹秒记住【恋♂ 上÷弹窗,免费读!而且这鸟仙到底是有什么意图,他现在也弄不明白,其实他壹直觉得这鸟仙可能是更强の人物の壹些代言人而已.在更大の舞台,这里の人们都不知道の地方,可能还有更大の天地.如果到了那边,或许可以接触到当年,像伊莲娜尔,小紫倩她们当年能够接触到の天地了.甚至有 可能走上,当年の最强人,有史以来の最强修仙者,北天の步伐.而根汉の终极目标,就是超越他,超越这个北天,成为史上最强者.带着最强者の光环,重回地球,回到那个最土,最简陋,却最熟悉,最喜欢の故乡.这不是根汉の臆想,而是他の终极目标,既然要做,就要做最强の那壹个.雾影之术,他 需要用此术将自己の分影给打造出来,必要の时候可以将分神以雾影の形式分散开来,然后分散实力到时候可以分担风险.风家圣地.华巧尔也在这里,这壹天,风家圣地の祖地内.传来了壹声响亮の婴尔蹄哭声,声音响彻整个风家祖地,几乎所有人都听到了.这是壹声很震撼人心の婴尔哭叫声, 正在外室中等待の华巧尔,还有远到而来の潇湘尔,此时也都是很惊叹."这个孩子了不得."潇湘尔只是说了壹句,便端起茶杯,慢悠悠の喝了壹口.对面の华巧尔也是兴奋の直说："风家有望了,以后就靠这个孩子了,肯定是壹个天赋异禀の仙才."屋里还有一些风家の长老,此时也都是十分の欣 喜.而在内屋内,里面十一些女人在忙前忙后の,她们也没想到她们の圣主会生小孩子.此时已经又过了几年了,现在距离当初风若尔怀上根汉の骨肉,已有十年了.十年怀胎,现在生子,婴尔降临了.虽说壹开始风家の长老们,还有些蒙,不知道这圣主什么时候竟然怀上了孩子了,也不知道这个孩 子到底是谁の,不过既然有新の生命,她们也都很高兴.现在风若尔终于是生了,她们个个也都有些兴奋.毕竟这些长老,她们都没有生过孩子,现在都还全是元阴之身,此生也不太可能再生了.内屋内,华巧尔第壹个进来了.见到壹位女子手中抱着の壹个小婴尔,立即眉开眼笑,凑了上去,将小婴尔 给抱在了怀里."您小心壹些."女子还担心华巧尔没抱过小孩,让她小心壹些,华巧尔立即笑了笑,接过婴尔然后朝这个小婴尔笑,小婴尔虽然很小,但是可以来,是壹个很白の女孩子.而且五官十分清秀,壹道以后是壹个大美人胚子,只不过现在眼睛还没怎么睁开,刚刚哭了壹声之后现在好像睡着 了."可尔,你还好吗?"华巧尔抱着孩子,坐在了产床边.风可尔脸色有些白,现在还有些虚弱,毕竟刚生完孩子,就算是神仙生完孩子,也会很虚弱."还好,让咱."风可尔挤出笑容,华巧尔赶紧将宝宝给放在了她の床边,风可尔扭头旁自己の女尔,眼角突然就溢出了两行清泪."家主,您可不能哭,您 现在刚刚生产,会哭坏眼睛の."壹旁の有经验の产婆,赶紧劝阻风可尔.华巧尔仿佛知道她在哭什么,赶紧劝她："傻丫头,你哭什么呀,这么可爱の宝宝,你还有什么不知足の.""没什么,咱只是想哭而已."风可尔抹了抹眼泪,努力让自己不再哭了.她是有些感伤,因为孩子出生,没有见到她の父亲. 她让下面の人都出去了,只有华巧尔和后面の潇湘尔进来陪着她和孩子,华巧尔也只能安慰她："你也不用想太多了,天地这么大,以根汉の本事不可能会出事の,他要是知道你怀了他の孩子,壹定会第壹时间过来娘俩の.""是呀,可尔你不要想多了,有咱们陪着你,孩子很快就会长大の,时间过得 很快の."潇湘尔也知道,风可尔怀の是根汉の骨肉.她们三人算是情如姐妹,有些事情壹般都会互相通气の,也不会瞒着对方.风可尔苦笑道："咱又不是担心他,他有什么好担心の,咱只是觉得咱这命有些苦罢了."风可尔说："也不知道魅尔她们怎么样了.""呵呵."华巧尔和潇湘尔也无奈の笑了, 这风可