天津高二上数学期末考试真题
天津高二第一学期期末练习1(含答案)
．
t t h 的左焦点为 ，若存在过原点的直线交椭圆于 ， 两点，且
椭圆的离心率的取值范围是
．
，则
三、解答题
12. 已知 且
是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， 为等差数列．
（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前 项和 ．
，
t．数列
满足
，，
A.
B.
C.
D.
6. 已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上的一点，若
的中点为 ， 为坐标原点，直线 与直线
（I）求椭圆 的标准方程；
（II）求线段
的最小值．
分别交直线 h t 于点 ， ．
15.已知圆 C1:x2+y2+6x-4=0 和圆 C2:x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长; (2)求经过两圆交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.
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，，
数列，则椭圆 的离心率为
A.
B.
t
7. 设等比数列
C.
D.
的前 项和是 ，则“ t h”是“ t ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 在棱长为 的正方体 点 的轨迹为 A. 椭圆的一部分
中，点 在底面 B. 双曲线的一部分
内运动，使得
有相同的焦点，则 等于
t
C.
D. t
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A.
2022-2023学年天津市河北区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷1. 直线3x +2y +6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A. k =−23，b =3 B. k =−23，b =−2 C. k =−32，b =3 D. k =−32，b =−3 2. 圆x 2+y 2+4x −6y −3=0的圆心和半径分别为( )A. (4,−6)，r =16B. (2,−3)，r =4C. (−2,3)，r =4D. (2,−3)，r =163. 椭圆x 225+y 216=1的离心率是( )A. 35B. 45C. 53D. 344. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. y =±34x B. y =±43x C. y =±169x D. y =±916x 5. 抛物线y 2=2x 的准线方程是( )A. y =−12B. y =−1C. x =−12D. x =−16. 在等比数列{a n }中，若a 1=12，a 4=4，则公比q 的值等于( ) A. 12B. √2C. 2D. 47. 等比数列1，12，14，18，…的前n 项和为( ) A. 2−12n+1B. 1−12nC. 12nD. 2−12n−18. 若双曲线C 与椭圆y 249+x 224=1有公共焦点，且离心率e =54，则双曲线C 的标准方程为( )A. y 216−x 29=1B. x 216−y 29=1C.x 24−y 2=1 D.y 24−x 2=19. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.√1010B. 35 C.√105D. 4510. 若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为( )A. 0个B. 至多有一个C. 1个D. 2个11. 在数列{a n}中，a1=−14，a n=1−1a n−1(n≥2)，则数列{a n}的第5项为______.12. 已知两点P1(9,4)，P2(3,6)，则以线段P1P2为直径的圆的标准方程为______.13. √2+1与√2−1的等比中项是______.14. 已知倾斜角为45∘的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则焦点F的坐标为______；线段AB的长为______.15. 已知数列{a n}的前n项和公式为S n=3n−2，则a1=______；数列{a n}的通项公式a n=______.16. 已知等差数列{a n}中，a3=2，a4+a6=20.(1)求首项a1和公差d；(2)求该数列的前10项的和S10的值．17. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．18. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1D1=2，AB=2√2，A1C与BD1交于点N，CD的中点为M.(Ⅰ)求证：AN⊥平面BMN；(Ⅰ)求直线D1C与平面ABN所成角的正弦值；(Ⅰ)求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值．19. 已知数列{a n}是等差数列，{b n}是公比不等于1的等比数列，且b1=2a1=2，a1+a3= b2，b3=a2+a6.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=(2a n−1)b n，n∈N∗，求数列{c n}的前n项和S n.答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程3x+2y+6=0变形为：y=−32x−3，∴此直线的斜率k=−32，直线在y轴上的截距b=−3.故选：D.把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可．此题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：将圆x2+y2+4x−6y−3=0的方程化成标准形式，得(x+2)2+(y−3)2=16∴圆x2+y2+4x−6y−3=0的圆心为C(−2,3)，半径r=4故选：C.将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由椭圆x 225+y216=1，可得a=5，b=4，则c=√a2−b2=3，所以椭圆x 225+y216=1的离心率为e=ca=35，故选：A.由椭圆方程得出a，b，c，可求出离心率．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：双曲线x 29−y216=1的渐近线方程是x29−y216=0，即y=±43x，故选：B.把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．【解析】解：由抛物线y 2=2x ，可得准线方程x =−24， 即x =−12. 故选：C.利用抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−p2即可得出． 本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在等比数列{a n }中，由a 1=12，a 4=4， 所以a 4=a 1q 3，即4=12q 3，解得q =2. 故选：C.直接利用等比数列的通项公式计算．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的会考题型．7.【答案】D【解析】解：设该数列为{a n }，数列{a n }的公比为q ，由已知a 1=1，a 2=12， 所以q =a 2a 1=12，所以数列{a n }的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q=2[1−(12)n]=2−12n−1.故选：D.由条件求出等比数列的公比q ，利用等比数列求和公式求其前n 项和． 本题主要考查了等比数列的前n 项和，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由y 249+x 224=1可知，该椭圆的焦点在y 轴，且半焦距为√49−24=5，设双曲线的方程为：y 2a 2−x 2b2=1(a >0,b >0)，所以该双曲线的半焦距为c =5，因为该双曲线的离心率e =54，所以有5a=54⇒a =4，所以b =√c 2−a 2=√25−16=3，因此双曲线C 的标准方程为y 216−x 29=1， 故选：A.根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可． 本题考查椭圆及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．【解析】解：连接BC1，A1C1，则AD1//BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角或其补角，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AA1=2AB=2BC=2，∴A1B=BC1=√5，A1C1=√2，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5−22×√5×√5=45.故选：D.连接BC1，A1C1，则∠A1BC1为所求角或其补角，在△A1BC1中，由余弦定理求出cos∠A1BC1即可得出答案．本题考查了异面直线所成角的计算，构造平行线作出要求的角是关键，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意可得：|0+0−4|√m2+n2>2，即m2+n2<4，∴点P(m,n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P(m,n)的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D.通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P(m,n)在椭圆内，进而可得结论．本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：因为a1=−14，a n=1−1a n−1(n≥2)，所以a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，a5=1−1a4=1−1−14=5.故答案为：5.根据a1及递推公式计算可得结果．本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】(x−6)2+(y−5)2=10【解析】解：依题意可得圆心坐标为(6,5)，半径为12√(9−3)2+(4−6)2=12√40=√10，所以以线段P 1P 2为直径的圆的标准方程为：(x −6)2+(y −5)2=10. 故答案为：(x −6)2+(y −5)2=10.根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果． 本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．13.【答案】±1【解析】解：设√2+1与√2−1的等比中项是X ， 则X 2=(√2+1)(√2−1)， 即X 2=1， 解得：X =±1， 故答案为：±1.利用等比数列的定义即可求解．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．14.【答案】(1,0)8【解析】解：因为y 2=4x ， 所以2p =4，所以p =2，y 2=4x 的焦点为(p2,0)，即为(1,0). 倾斜角为45∘的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ， 所以直线的方程为y −0=1(x −1)， 联立{y =x −1y 2=4x ，所以x 2−6x +1=0，所以x 1+x 2=6，x 1⋅x 2=1，|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√1+12√62−4=8. 故答案为：(1,0)；8.根据焦点坐标公式即可求解；根据弦长公式即可求解． 本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】1{1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗【解析】解：在S n =3n −2中，令n =1中，得a 1=S 1=31−2=1；当n ≥2，n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1=3n −2−3n−1+2=2⋅3n−1，显然a 1=1不适合， 因此数列{a n }的通项公式a n ={1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗，故答案为：1；{1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗.利用代入法，结合a n 与S n 之间的关系进行求解即可．本题考查数列通项与前n 项和的关系，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】解：(1)因为在等差数列{a n }中，a 3=2，a 4+a 6=20，所以有{a 1+2d =2a 1+3d +a 1+5d =20⇒a 1=−6,d =4；(2)因为在等差数列{a n }中，a 1=−6，d =4， 所以S 10=10×(−6)+12×10×9×4=120. 【解析】(1)根据等差数列通项公式进行求解即可； (2)根据等差数列前n 项和公式进行求解即可．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，∴b =√a 2−c 2=1，且c a=√22，解之得a =√2，c =1可得椭圆的方程为x 22+y 2=1；…(4分)(2)∵左焦点F 1(−1,0)，B(0,−2)，得F 1B 直线的斜率为−2 ∴直线F 1B 的方程为y =−2x −2由{y =−2x −2x 22+y 2=1，化简得9x 2+16x +6=0. ∵Δ=162−4×9×6=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−169x 1⋅x 2=23∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(−169)2−4×23=109√2 又∵点F 2到直线BF 1的距离d =√5=4√55， ∴△CDF 2的面积为S =12|CD|×d =12×109√2×4√55=4√109. 【解析】(1)根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a 、b 、c 的方程，解出a =√2，b =c =1，从而得到椭圆的方程；(2)求出F 1B 直线的斜率得直线F 1B 的方程为y =−2x −2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x 1−x 2|=2√29，结合弦长公式可得|CD|=109√2，最后利用点到直线的距离公式求出F 2到直线BF 1的距离d ，即可得到△CDF 2的面积．本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得A(0,0,0)，B(2√2,0,0)，D(2,0,0)，A 1(0,0,2)，C(2√2,2,0)，因为A 1C 与BD 1交于点N ，在长方体中可得N 为A 1C 的中点，所以N(√2,1,1)，M 为CD 的中点，所以M(√2,2,0)，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,1)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2,0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 所以{AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2⋅(−√2)+1×2+1×0=0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2×0+1×(−1)+1×1=0，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AN ⊥BM ，AN ⊥MN ，而BM ∩MN =M ， 所以AN ⊥平面BMN ；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,1)， 设面ABN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1=0√2x 1+y 1+z 1=0，令y 1=1， 则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，所以cos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >=CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n⃗ |=−2√8+4⋅√2=−√66，设直线D 1C 与平面ABN 所成角为θ，则sinθ=|coscos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >|=√66，所以直线D 1C 与平面ABN 所成角的正弦值为√66；(Ⅰ)设面CBN 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,1,1)， 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y 2=0−√2x 2+y 2+z 2=0，令x 2=√2，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√2⋅√2+4=−√33，设平面CBN 与平面ABN 夹角为α，则cosα=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√33，所以平面CBN 与平面ABN 夹角的余弦值为√33.【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由题意求出点的坐标，用空间向量的数量积为0，可证得线面的存在；(Ⅰ)求出CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出面ABN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，进而求出线面角的正弦值；(Ⅰ)求出面BCN 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，进而求出平面夹角的余弦值．本题考查用空间向量的方法证明线面的垂直，线面所成角的正弦值及面面夹角的余弦值，属于中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q(q ≠1)，由b 1=2a 1=2，a 1+a 3=b 2，b 3=a 2+a 6， 所以{a 1+a 1+2d =b 1q b 1q 2=a 1+d +a 1+5d ⇒{1+d =q q 2=1+3d ，解得{d =1q =2或{d =0q =1(舍去)，所以等差数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)=n ，(n ∈N ∗)， 等比数列{b n }的通项公式为：b n =b 1q n−1=2×2n−1=2n ，(n ∈N ∗). (2)由(1)a n =n(n ∈N ∗)，b n =2n (n ∈N ∗)， 所以c n =(2a n −1)b n =2n ⋅(2n −1)，所以S n =1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n ，① 所以2S n =1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n −1)⋅2n+1，② ①-②：−S n =2+23+24+⋯+2n+1−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2+22+23+24+⋯+2n+1−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2×(1−2n+1)1−2−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2×2n+1−2−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =−(2n −3)⋅2n+1−6， 即S n =(2n −3)⋅2n+1+6，(n ∈N ∗).【解析】(1)设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；(2)将a n ，b n 代入c n =(2a n −1)b n 中化简，然后利用错位相减法求解即可．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．第11页，共11页。
天津市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，若，则k 的值为（ ）()1,2,3a =- ()2,,6m k =-- //a mA ．B ．C ．D ．44-14-14【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为，所以解得， //a m 12326k -==--4k =故选:D.2．抛物线 的焦点坐标是（ ） 24y x =A ． B ． ()1,0()0,1C ．D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】抛物线 的方程化为标准方程为： ， 24y x =214x y =故 ，则焦点坐标为 ，18p =1(0,)16故选：D.3．数列中，若，，则（ ） {}n a 11a =111(1)n n a n a -=+>4a =A ．B ．C ．2D ．325314【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可. 1111,1(1)n n a a n a -==+>2a 2a 3a 3a 4a 【详解】, 1111,1(1)n n a a n a -==+> ，，，21121a ∴=+=313122a =+=4151332a =+=故选：B.4．圆与恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） ()()2214x a y---=221x y +=A ．B ．C ．D ．±±【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解. 【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，，解得， 21=+a =±故选:D.5．椭圆与曲线的（ ） 221259x y +=()22:19925x y C k k k -=<--A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．曲线是双曲线C 【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--，即可解决.【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，221259x y +=x 5,3,4a b c ===所以焦距为8，离心率为，焦点为，45()4,0±曲线，化简为，()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--因为，9k <所以，且， 90,250k k ->->259k k ->-所以曲线表示焦点在轴上椭圆， C y所以，4a b c ====焦距为8，()0,4±故选：A6．如图，在平行六面体中， AC 与BD 的交点为M .设，1111ABCD A B C D -11111,,,===A B a A D b A A c 则下列向量中与相等的向量是（ ）1B MA ．B ．1122a b c --+ 1122a b c -++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c ++ 【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.1112=+=+B M B B BM c BD u u u u r u u u r u u u r r u u u r【详解】 ()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c u u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u r u u u r r r r 故选：B.7．已知等比数列{an }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{bn }是等差数列，其前n 项和为Sn ，且b 7＝a 7，则S 13＝（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案． 74a =【详解】等比数列中，，{}n a 31174a a a =可得，解得，2774a a =74a =等差数列中，{}n b 774b a ==则． 131137113()13134522S b b b =⨯+==⨯=故选：．B 【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．若直线与圆C ：相切，则①；②数列340()x y n n N *-+=∈()()22220n n x a y a -=+>165a ={}n a 为等差数列；③圆C 可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为{}n a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算65n n a +=42a =出后可判断④的正误.10S 【详解】因为直线与圆 相切，340()x y n n N *-+=∈222:(2)(0)n n C x y a a -+=>所以圆C 的圆心(2，0)到直线的距离 ，n d a ==故 ，则 ，故①错误； 65n n a +=175a =数列是首项为公差为的等差数列，故②正确; {}n a 7515当时，，圆C 经过坐标原点，故③正确； 4n =42a =因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.65n n a +={}n a ()1071612352⨯+⨯=故选：C.9．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（ ） n a 423520223342029999a aa a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，， 11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线P 22221(0,0)x y a b a b-=>>2222x y a b +=+1F 2F 的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）． 21tan 3PFF ∠=AB CD【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=1||3PF a =2||PF a =再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果. 1290F PF ∠=︒【详解】解：根据双曲线定义：，， 12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=∴，12||3||PF PF =∴，，， 1||3PF a =2||PF a=r c ∴是圆的直径，12F F ∴，在中，，得．1290F PF ∠=︒12Rt F PF △222(3)(2)a a c +=e 故选．B 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题11．直线与直线垂直，则实数的值为__________. 10x y +-=220x my +-=m 【答案】2-【分析】直接利用两直线垂直，求出.m 【详解】直线与直线垂直, 10x y +-=220x my +-=所以，解得： 20m +=2m =-故答案为：2-12．已知双曲线C :，则双曲线C 的实轴长为221(0)2x y a a a -=>___________.【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出进而可求解. 2a =【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为，y x ==右焦点的距离为，解得，)d ===2a =所以双曲线的实轴长为， 4=故答案为:.413．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 22460x y x y +--=()1,1M 【答案】230x y +-=【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. M l 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, M l 因为圆，即，圆心为：，22460x y x y +--=()()222313x y -+-=()2,3O所以，所以， 31221OM k -==-112l OM k k -==-所以所求直线方程为：. 230x y +-=故答案为：.230x y +-=14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点，111ABC A B C -90BCA ∠=︒D F 11A B 11A C ，则与所成角的余弦值是_____________.1BC CA CC ==BD AF【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成111ABC A B C -BC O ,AO FO DF AF FO 角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小． BD AF 【详解】，分别是，的中点， D F 11A B 11A C 取的中点，连接，，BC O ,AO FO FD 则且，所以为平行四边形，, //BC FD 12FD BC BO ==BDFO //BD FO 那么和所成角即为与所成角．AF FO BD AF 设，，是直三棱柱，12BC CA CC ===90BCA ∠=︒111ABC A B C -AO ∴=AF =FO BD ==222cos 2AF FO AO AFO AF FO +-∠=⋅三、双空题15．抛物线的焦点到准线的距离是___________；若点在抛物线上且与焦点的距离2:8C y x =A C 为6，则点的坐标为___________. A【答案】 4 或(4,(4,-【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决. 【详解】由题知，抛物线，开口向右，， 2:8C y x =4p =焦点为，准线为， (2,0)2x =-所以焦点到准线的距离是4，因为点在抛物线上且与焦点的距离为6， A C 所以点到准线的距离为6， A 所以，即，26A x +=4A x =所以，解得232A y =A y =±所以点的坐标为或 A (4,(4,-故答案为：4；或(4,(4,-16．数列的前n 项和为，，数列的前n 项和为，则__________；{}n a n S 2n n S a =-{}2n a n T n a =nT =___________.【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】通过，得到，求出的值，则，则求出，利1n n n a S S -=-112n n a a -=1a 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1214n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭用等比数列求和公式即可得到.41134n n T ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】,2n n S a =- 时，,化为：，2n ≥()1122n n n n n a S S a a --=-=---112n n a a -=时,,解得.1n =1112a S a ==-11a =数列是等比数列,首项为1,公比为,∴{}n a 12,112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,1122,1124n n n nS a --⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-故答案为：；. 112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134nnT ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题17．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C (4,0)x (1)求圆的标准方程；C (2)已知直线l ：与圆相交于两点，求弦长的值； 3410x y +-=C ,A B AB (3)过点引圆的切线，求切线的方程. (4,4)P C 【答案】(1)()2224x y -+=(2)(3)和 4x =3440x y -+=【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方d r =程.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2， ()2,0则圆的方程为； C ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆的半径，C 2r =设圆心到的距离为，则， C ()2,0:3410l x y +-=d 6115d -==所以.AB ==（3）当斜率不存在时，为过点的圆C 的切线.4x =P 当斜率存在时，设切线方程为，即4(4)y k x -=-440kx y k -+-=，解得 2d r = 34k =3440x y ∴-+=综上所述：切线的方程为和.4x =3440x y -+=18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． {}n a 10,1d a >=123,1,6a a a ++(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记 ，求数列的前项和．2n an b n =⋅{}n b n n T 【答案】(1)an =n(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）由已知条件可得（d +2）2=2d +7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公d {}n a 式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求2nn b n =⋅n T 【详解】（1）因为a 1，a 2+1，a 3+6成等比数列，所以 2213(1)(6)a a a +=+又a 1=1，所以（d +2）2=2d +7，所以d =1或d = （舍）， 3-所以an =n ；（2）因为，所以，2nn b n =⋅23121222322n n n T b b b n =+++=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 所以2311122222222n n n n n T n n +++-=++++-⨯=--⨯ 所以1(1)22n n T n +=-+19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形满足，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥， 是的中点. 422PA AD DC AB ====，，E PD(1)求直线到平面距离；AE PBC (2)求平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC 【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线到平面距离.AE PBC （2）求出平面与平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC PDC PBC 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥分别以为轴建立空间直角坐标系.,,AB AD AP ,,x y z,是的中点4,22PA AD DC AB ====E PD(0,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,1,2),(1,0,0),(2,2,0)A D P E B C ∴(0,1,2),(1,0,4),(2,2,4),(0,0,4)AE PB PC PA ==-=-=-设平面的法向量为PBC (,,)n x y z =则取，40,2240n PB x z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 4x =(4,2,1)n =- 平面0,AE n AE ⋅=⊄PBC 平面//AE ∴PBC直线到平面距离为 AEPBC PA n d n⋅=== （2）平面的法向量，，PBC (4,2,1)n =- (0,2,4)PD =- 设平面的法向量PDC (,,)m a b c = 则取 240,2240m PD b c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩2,(0,2,1),b m == 设平面与平面夹角为PDC PBC θ则cos n m n mθ⋅== 20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点． x 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存(2,1)P 1l C A B 2PA PB PM ⋅= 在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1l 【答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为 22143x y +=1l 12y x =【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再M 由可得到，，的值，进而得到椭圆的方程．222a b c =+a b c （2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二(2)1y k x =-+y 次方程，且方程一定有两根，故应得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达0∆>k 式，再由，可确定的值，从而得解． 2PA PB PM ⋅=k 【详解】（1）设椭圆的方程为， C 22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点， 12c e a == 3(1,2M ， ∴2213144c c+=解得，，，21c =24a =23b =故椭圆的方程为． C 22143x y +=（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为， l l l (2)1y k x =-+由，得． 22143(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线与椭圆相交于不同的两点，，l C A B设，两点的坐标分别为，，，，A B 1(x 1)y 2(x 2)y 所以．222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理得．32(63)0k +>解得， 12k >-又， 21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++因为，即， 2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以． 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==即． 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以，解得． 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++12k =±因为，所以． 12k >-12k =于是存在直线满足条件，其方程为． 1l 12y x =【点睛】直线与圆锥曲线相交于两点时，一般都设，直线方程为，l ,A B 1122(,),(,)A x y B x y y kx b =+把直线方程代入圆锥曲线方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再把其他与有x 1212,x x x x +,A B 关的条件用表示出来，把刚才的代入，化简整理就可得到要求的结论．这是解析几12,x x 1212,x x x x +何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程．。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
天津数学高二上期末经典测试卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13327]在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．93．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤4．(0分)[ID ：13301]己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元5．(0分)[ID ：13296]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ） A ．没有白球 B ．2个白球 C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球6．(0分)[ID ：13275]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．1010B ．2019C ．2020D ．30307．(0分)[ID ：13271]某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19368．(0分)[ID ：13258]执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（ ）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <9．(0分)[ID ：13255]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．41310．(0分)[ID ：13253]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A．14B．13C．17D．41311．(0分)[ID：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为()A．−0.9B．0.9C．3.4D．4.312．(0分)[ID：13237]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球13．(0分)[ID：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A．127B．29C．49D．82714．(0分)[ID：13317]将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795B．0780C．0810D．081515．(0分)[ID：13236]小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．13B．49C．59D．23二、填空题16．(0分)[ID：13427]根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．17．(0分)[ID：13413]我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．18．(0分)[ID ：13409]在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
2022-2023学年天津市河东区高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市河东区高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的焦点坐标是（ ）A ．(0,1)±B ．(1,0)±C ．(0,D ．(【答案】D【分析】根据双曲线方程可得,a b ，然后根据222c a b =+可得c ，最后得出结果.【详解】由题可知：双曲线的焦点在x 轴上，且a b ==，所以222c a b c =+⇒=所以双曲线的焦点坐标为( 故选：D2．抛物线22y x =-的准线方程为（ ） A ．=1x - B ．1x =C ．12x =-D ．12x =【答案】D【分析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p 的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，抛物线的标准方程为22y x =-， 则其焦点在x 轴负半轴上，且1p =， 则其准线方程为12x =， 故选：D.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式． 3．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则其标准方程为（ ） A ．22199x y -=B ．22199y x -=C ．2211818y x -=D ．2211818x y -=【答案】D【分析】根据等轴双曲线，可得a=b ，根据交点坐标，可求得c 值，根据a ，b ，c 的关系，即可得答案.【详解】∵等轴双曲线的一个焦点为()16,0F -，∴6c =，且a=b ， 又222c a b =+，∴2236a =，即218a =，∴双曲线的标准方程为2211818x y -=．故选：D4．已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解：抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A.5．若点()1,2P 在双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线上，则它的离心率为（ ）AB ．2 CD．【答案】C【分析】将点P 的坐标代入双曲线的渐近线方程，求出a 的值，可得出c 的值，由此可求得双曲线的离心率.【详解】双曲线2221x y a-=的渐近线方程x y a =±，因为点()1,2P 在双曲线2221x y a -=的一条渐近线上，所以12a =，所以12a =，则c ==，因此，该双曲线的离心率为212ce a===故选：C.6．下列四个数中，属于数列{(1)}n n +中的一项是（ ） A ．380 B ．392C ．321D ．232【答案】A【分析】分别令选项中的数值等于(1)n n +，求出n 是自然数时的这一项，即可得到答案． 【详解】由题意，令(1)380n n +=，解得19n =，所以A 是正确的；再令()()()1392,1321,1232n n n n n n +=+=+=均无整数解，所以B 、C 、D 都不正确，故选：A ．7．已知等比数列{}n a ，满足22213log log 1a a +=，且568916a a a a =，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．2±D ．12±【答案】B【分析】利用对数运算性质可得2132a a =且213,0a a >，从而0q >，由等比数列性质有629132a a a a ==，所以588a a =，52698a a a a q =即可求公比. 【详解】令{}n a 公比为q ，由()2221322132log log log 12log a a a a +===， 故2132a a =且213,0a a >，所以111320a a q =>，则0q >，又629132a a a a ==，568916a a a a =，则588a a =， 所以58256958814a a a q a q q a a a a ⨯===， 综上，12q =. 故选：B.8．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．42【答案】D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D.9．九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 ()*39n a n n ∈N ，为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且122n n n a a --=+，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）A ．30B ．90C ．170D ．341【答案】C【分析】根据122n n n a a --=+，逐个代入2,4,6,8n n n n ====，即可求解.【详解】由题，753386644222222a a a a a a =+=+=+=+，，，所以35782222170a =+++=.故选.：C二、填空题10．设12,F F 为双曲线22:194x y C -=的左､右焦点，P 为双曲线C 上一点，且14PF =，则2PF =__________．【答案】10【分析】由双曲线标准方程找出,a b 的值，在利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程知：3,2a b ==，P 为双曲线C 上一点，且14PF =，所以由双曲线的定义得：1226PF PF a -==， 即246PF -=，所以210PF =或22PF =-（舍去）， 故答案为：10.11．已知数列{}n a 满足()*1124613522,N ,12,9n n n a a a n n a a a a a a -+=+≥∈++=++=，则25a a +等于____．【答案】7【分析】由()*1122,N n n n a a a n n -+=+≥∈，变形11n n n n a a a a -+--=得出数列{}n a 为等差数列， 再结合等差数列的性质求解即可.【详解】因为()*1122,N n n n a a a n n -+=+≥∈，所以11n n n n a a a a -+--=， 所以数列{}n a 为等差数列， 由24613512,9a a a a a a ++=++= 所以24613521a a a a a a ++++=+， 即()()()25436121a a a a a a +++++=，由等差数列的性质有：254361a a a a a a =+=++， 所以257a a +=. 故答案为：7.12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n a S n +=+∈N ，则5a =__________．【答案】81【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的公比，再求出11a =，即可求解.【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n a S n +=+∈N ，当2n ≥时，121n n a S -=+，∴12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，故等比数列{}n a 的公比为3．令1n =，可得2121a a =+，∴11a =，则45181a a q ==．故答案为：81．13．已知数列{}n a 满足()*111,3n n n a a a n +==+∈N ，则{}n a 的通项公式n a =__________．【答案】312n - 【分析】由题意得出13nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足11a =，13n n na a +=+，*n ∈N ，13n n n a a +∴-=，因此，()()()211213211333n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++113331132n n --⨯-==-. 故答案为：312n -. 14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于,A B 两点，且AB 4=，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于,M N 两点，给出下列命题：①若直线l8MN =； ②2MF NF +的最小值为3+③若以MF 为直径的圆与y轴的公共点为⎛ ⎝⎭，则点M 的横坐标为32； ④若点()2,2G ，则GFM △周长的最小值为4．其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）． 【答案】②③④【分析】首先求出抛物线的解析式，设出,M N的坐标，联立进行求解，当m 时，16MN =进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M 作准线的垂线，垂足为M '，交y 轴于1M ，结合抛物线的定义判断③；过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，利用抛物线的性质判断④即可.【详解】由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线2:2C y px =上， 所以222p =解得2p =，所以2:4C y x =，(1,0)F ， 设直线:1l x my =+，于24y x =联立得2440y my --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，所以124y y m +=，124y y =-，所以()21241MN y m =-==+，当m 时，16MN =，①错误；()()()2121222121212121242111144111144316m y y x x m MF NF x x x x x x m y y m y y ++++++=+====+++++++++，则()211223322NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当12MF =+，212NF =+时等号成立，②正确； 如图，过M 作准线的垂线，垂足为M '，交y 轴于1M ，取MF 中点为D ，过D 作y 轴的垂线，垂足为1D ， 则1MM OF ∥，1DD 为梯形1OFMM 的中位线， 由抛物线的定义可得111MM MM M M MF =-='-'， 所以1111222OF MM MF MF DD ++-===，所以以MF 为直径的圆与y 轴相切，所以点6⎛ ⎝⎭为圆与y 轴的切点，所以D 6 又D 为MF 中点，所以M 6又点M 在抛物线上，所以M 点横坐标为32，③正确；过过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，所以GFM △的周长为5535MG MF GF MG MM GH '++=+≥ 当且仅当点M 的坐标为(1,2)时取等号，④正确； 故答案为：②③④三、双空题15．设等差数列{}n a 满足11a =，()0*n a n >∈N ，其前n 项和为n S ，若数列{}n S 也为等差数列，则n a =______；102n nS a +的最大值是______.【答案】 21n - 121【分析】设等差数列{}n a 的公差为d，则1d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得n a ，10n S +，进而得出． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d，则∴1=2d =，21n a n ∴=-210(10)(9)(10)12(10)2n n n S n n +++∴=+⨯+⨯=+，22(21)n a n =-． ∴2221022121(21)(10)12122[](1)(21)(21)421n n n S n a n n n +-++===+---， 令21021t n =>-，则21021(1)4n n S t a +=+，在0t >时单调递增，2121t n =-单调递减， 所以，当1n =时该式最大，此时102n n S a +的为121．故答案为：21n -；121.四、解答题16．已知双曲线的方程为2244x y -=，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．【答案】顶点坐标()1,0-和()1,0，焦点坐标()和)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为2y x =±【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.【详解】双曲线的方程为2244x y -=化为标准方程2214y x -=则1a =，2b =，c =所以双曲线的顶点坐标为()1,0-和()1,0，焦点坐标为()和)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为2y x =±17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12F F ､，左右顶点分别是,A B ．(1)若椭圆C 上的点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和等于4，求此椭圆C 的方程；(2)若P 是椭圆C 上异于,A B 的任一点，记直线PA 与PB 的斜率分别为12k k ､，且1212k k ⋅=-，试求椭圆C 的离心率． 【答案】(1)22143x y += (2)椭圆C【分析】（1）根据椭圆的定义先确定a 的值，再将点M 坐标代入方程得2b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设点P 坐标为0(x ,0)y ，化简得222202()b y a x a =-，得到2212b a =，从而求出离心率．【详解】（1）解：椭圆C 上的点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到12,F F 两点的距离之和等于4，所以242a a =⇒=， 将点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭坐标代入方程22214x y b+=，得23b =， 所以所求方程为22143x y +=； （2）解：设点P 坐标为0(x ,0)y ，则2200221x y a b+=，所以222202()b y a x a =-， 又(,0)A a -、(,0)B a ，∴22222200012222220000()b a x y y y b a k k x a x a x a x a a-⋅=⋅===-+---， 又1212k k ⋅=-，所以2212b a =，即a =，又222a b c =+，所以c b =所以椭圆的离心率c e a === 18．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，2a 是1a ，5a 的等比中项，333b a -=，112b a =. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】(1)21,2nn n a n b =-=(2)()12326n n S n +=-+【分析】（1）根据2a 是1a ，5a 的等比中项，且333b a -=，112b a =，由()()()21111143,82a d a a d a a d -+=⋅+=+求解；（2）由（1）得到()212nn n a b n -⋅=，再利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为2a 是1a ，5a 的等比中项，且333b a -=，112b a =， 所以()()()21111143,82a d a a d a a d -+=⋅+=+， 解得1a 1,d 2，12b =，所以21,2nn n a n b =-=；（2）由（1）得()212nn n a b n -⋅=， 所以()23123252...212nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()23412123252...212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，两式相减得()()2312222...2212n n n S n +-=++++--⋅，()()2112122221212n n n -+⎡⎤-⎢⎥=+--⋅-⎢⎥⎣⎦，()13226n n +=--，所以()12326n n S n +=-+.19．已知23P ⎛ ⎝⎭是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>与抛物线E ：()220y px p =>的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F . (1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为34-（注：O 为坐标原点），点M是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求BM MN的值.【答案】(1)22143x y +=；24y x = (2)53【分析】(1)结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得221a b -=，再将点P 代入椭圆方程即可求解；(2) 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,N x y ，()0BNBM λλ=>，然后利用向量用A 和B 点坐标表示出N 点坐标，并将N 点代入椭圆方程并化简整理，再结合OA ，OB 斜率之积为34-即可求解.【详解】（1）∵23P ⎛ ⎝⎭是抛物线E ：()220y px p =>上一点， ∴2p =，即抛物线E 的方程为24y x =，焦点()1,0F ，∴221a b -=，又∵23P ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b +=上，∴2248193a b +=， 结合221a b -=知23b =，24a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，抛物线E 的方程为24y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,N x y ，()0BNBM λλ=>，∵点M 是线段OA 的中点，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1122,22x y BM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3232,BN x x y y =--，BN BM λ=， ∴()11323222,,22x y x x y y x y λ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， ()()3123121212x x x y y y λλλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩∵点()33,N x y 在椭圆C 上， ∴()()2212121122143x x y y λλλλ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+= ∴()()222222112212121114434343x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵点()()1122,,A x y B x y ，在椭圆C 上，又∵OA ，OB 斜率之积为34-， ∴2211143x y +=，2222143x y +=，1212043x x y y +=，∴()22114λλ+-=，∴2580λλ-=，∴85λ=或0λ=（舍）， ∴85BN BM =，∴53BM MN =. 20．已知数列{}n a 满足：12a =，()()()31121n n na n n a n +++=+++． (1)证明：数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等差数列； (2)设()122n n nn n b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析 (2)()111212n n S n +=-+⋅【分析】(1)先根据递推公式的特征，将其整理变形为 ()()()2111(1)(2)(2)12n n n a a n n n n n n n n +++=++++++，再移项即可证明； (2)由（1）可得：()21n a n n =+，所以()111212n n n b n n +=-⋅+⋅，利用裂项求和的方法即可求解. 【详解】（1）将()()()31121n n na n n a n +++=+++两侧同除()()12n n n ++， 可得()()()2111(1)(2)(2)12n n n a a n n n n n n n n +++=++++++，()()()()21211212n n a a n n n n n n n n ++-==++++， 又因为1112a =⨯， 即数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为1，,公差为1的等差数列． （2）由（1）可知，()()111112n a a n n n n =+-⨯=+⨯，即()21n a n n =+， 则()()()()121122112112212n n n n n n n n b n n n n n n +++++===-⋅++⋅+⋅， ()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ ()111212n n +=-+⋅.。
天津市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量，，，则（ ）(1,2,3)a =-(2,1,1)b =- (2,0,3)c = ()a b c ⋅+=A ．B ．C ．D ．10-(4,2,12)--(5,0,15)-【答案】A【分析】根据向量数量积的坐标运算求解. 【详解】，(4,1,4)b c →→+=- ，41123410a b c →→→⎛⎫∴⋅+=⨯-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故选：A2．直线的倾斜角为（ ） 20x y +-=A ．45° B ．90°C ．135°D ．150°【答案】C【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角， 20x y +-=2y x =-+tan 1k α==-0180α≤<︒所以倾斜角为. 135 故选：C.3．抛物线的准线方程为 24y x =A ． B ．C ．D ．=1x -1y =-1x =1y =【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 22y px =2px =-24y x =【详解】，24,24,2y x p p =∴== 抛物线的准线方程为， ∴24y x =2p x =-即，故选A .=1x -【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4．在等差数列中,,,则公差为（ ） {}n a 138a a +=2440a a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果. d 1a d 【详解】设公差为,则d , ()()1113112428834040a a d a a a d a d a a ++=+=⎧⎧⇒⎨⎨+⋅+==⎩⎩解得. 11,3a d ==故选:C.5．若双曲线与椭圆） 221259x y +=A ． B ． C． D ．y =y =y =y =【答案】D【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.a 【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，221259x y +=(4,0)±所以双曲线的焦点坐标为，即， (4,0)±4c =又，所以，所以， c e a ==a =2224b c a =-=所以双曲线的渐近线方程为， y x ==故选：D6．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为ABCD A B C D -''''E AB E AC'（ ） A BCD ．14【答案】B【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间A ,,AB AD AA 'x y z 直角坐标系，根据公式点到直线的距离为.A xyz -E AC 'd =【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，ABCD A B C D -''''E AB 所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角A ,,AB AD AA 'x y z 坐标系，A xyz -所以,1(,0,0),(0,0,0),(1,1,1)2E A C '所以,1(,0,0),(1,1,1)2AE AC '== 所以点到直线的距离为, E AC'd ====故选：B7．数列中，，且，则{}n a 11a =12nn n a a +=+9a =A ．1024 B ．1023 C ．510 D ．511【答案】D【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.9a 【详解】由题意可得：，则：12nn n a a +-=.9a ()()()1213298a a a a a a a =+-+-++- 1289122221511=++++=-= 本题选择D 选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．已知直线与圆相交于A ，B 两点，若m 30(0)x y m m ++=>22240x y y +--=||AB=的值为（ ） A B C ．3 D ．4【答案】D【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得即可解得d 222r d -=的值.m 【详解】，化简为， 22240x y y +--=22(1)415x y +-=+=可得圆心()0,1圆心到直线的距离d ，即， 222r d∴-=()25,15,1252d m m =∴+=±+=或（舍去） 4m ∴=6m =-故选：D.9．已知F 是椭圆的左焦点，点，若P 是椭圆上任意一点，则的最大22143x y +=(4,3)Q ||||PQ PF +值为（ ）A ．B ．C ．D ．4+4+【答案】A【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案. ()11,0F 1||||2PQ PF aQF +≤+【详解】设椭圆的右焦点为，()11,0F11||||||2||244PQ PF PQ a PF a QF +=+-≤+=+=+当三点共线，且在之间时等号成立. 1,,P Q F 1F ,P Q 故选：A二、填空题10．已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x 的值为_______．(2,1,3)a =- (4,2,)b x =- a b【答案】6-【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案. a b λ=【详解】设，则，解得：. a b λ= 24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩126x λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩故答案为：-611．已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______． ABC A (3,1)A -(3,3)B -(1,7)C BC 【答案】580x y -+=【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案. BC 【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， BC 73513+=--BC 15则边上的高所在直线方程为， BC ()1135y x -=+整理得. 580x y -+=故答案为：580x y -+=12．在平行六面体中，，，，ABCD A B C D -''''5AB =4=AD 3AA '=60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，则的长为_______． AC '【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. AC AB AD AA =+'+' 297AC '= AC '【详解】由题意得：，AC AB AD AA =+'+'故()22222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''=++=+++⋅+⋅+⋅25169254cos 60253cos 60243cos 60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒，5054534397=+⨯+⨯+⨯=故.AC13．已知等比数列满足，，则_______． {}n a 11a =-13521a a a ++=-357a a a ++=【答案】84-【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】，2413511(1)21,1a a a a q q a ++=++=-=- ，解得，24121q q ++=∴24q =， 1352357()21484a a a a a a q ++∴++=⋅=-⨯=-故答案为：84-14．过双曲线的右焦点作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，以为直径的22221(0,0)x y a b a b-=>>AB 圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．【答案】11【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求12F F ，1212F F AB =得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左右焦点分别为，22221(0,0)x y a b a b-=>>12F F ，过双曲线的右焦点做x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，22221(0,0)x y a b a b-=>>则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，22b AB a =AB 所以，即，所以，1212F F AB =22b c a =2220c ac a --=则，解得：， 2210e e --=1e =+1e =故答案为：115．已知实数x ，y 满足，则的最小值是_______． 22(2)1x y -+=1y x-【答案】43-【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式1y k x-=1(0)y kx x =+≠即可求出. 【详解】令，即， 1y k x-=1(0)y kx x =+≠联立，消元得， ()22121y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩22(1)(24)40k x k x ++-+=由题意，，解得， 22(24)16(1)0k k ∆=--+≥403k -≤≤故的最小值为. 1y k x -=43-故答案为：43-三、解答题16．已知等比数列的前n 项和为，，，等差数列满足，{}n a n S 4178a a -=339S ={}n b 11b a =81b +是和的等差中项，求和的通项公式．2a 3a {}n a {}n b 【答案】，.3nn a =21n b n =+【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设的公比为，显然.{}n a q 1q ≠由题意 解得()3113178,139,1a q a a q q⎧-=⎪-⎨=⎪-⎩13,3a q ==所以的通项公式为.{}n a 3nn a =设数列的公差为，则 {}n b d 1233,9,27a a a ===所以，所以， 89271182b ++==817b =即，解得，.3717d +=2d =3(1)221n b n n =+-⨯=+17．已知圆心为C 的圆经过，两点，且圆心C 在直线上． (4,2)A (1,5)B 27120x y -+=(1)求圆C 的方程；(2)已知点，点N 在圆C 上运动，求线段中点P 的轨迹方程． (7,2)M MN 【答案】(1)22(1)(2)9x y -+-=(2) 229(4)(2)4x y -+-=【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线,A B 27120x y -+=上，列出方程组，解之即可求解；（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求P (,)x y N 11(,)x y N C 解.【详解】（1）设圆的方程为，由题意得C 222()()x a y b r -+-=，解得 ()()()()222222421527120a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩123a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以圆的方程为.C 22(1)(2)9x y -+-=（2）设点的坐标是，点的坐标是， P (,)x y N 11(,)x y 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以， M (7,2)P MN 1172,22x y x y ++==于是1127,22x x y y =-=-因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，N C N C 即2211(1)(2)9x y -+-=所以，22(271)(222)9x y --+--=整理得 229(4)(2)4x y -+-=所以，线段中点的轨迹方程. MN P 229(4)(2)4x y -+-=18．如图，在四棱锥中，底面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD BC ∥AB AD ⊥，E 为中点，作交于点F ． 112PA AB BC AD====PB EF PC ⊥PC(1)求证：平面；PC ⊥AEF (2)求平面与平面夹角的余弦值． AEF PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直； （2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.【详解】（1）证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如A ,,AB AD AP x y z图所示的空间直角坐标系.，(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)B C D P 因为点为中点，所以，E PB 11(,0,)22E 所以，，又，11(,0,22AE = (1,1,1)PC =- 而，11101(1)022AE PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= 所以.AE PC ⊥由已知，且，在平面内, EF PC ⊥AE EF E ⋂=,AE EF AEF 所以平面.PC ⊥AEF （2）由（1）知为平面的一个法向量，PCAEF 又，,(0,2,1)PD =-(1,0,1)PB =- 设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补PBD (,,)n x y z = AEF PBD PC n 角.，所以，所以0,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z y z -=⎧⎨-=⎩,1.2x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩取，则(2,1,2)n = cos ,||||n PC n PC n PC ⋅<>===所以平面与平面AEF PBD19．已知椭圆过点2222:1(0)x y C a b a b +=>>)(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．2FB AF =【答案】(1)22132x y +=(2)1)y x =-【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】（1）由椭圆过点可知，，23a =又，即，e =a =223a c =所以，所以，2223a b =22b =所以椭圆的标准方程为.C 22132x y +=（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立，解(1,0)F l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y ()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(23)6360k x k x k +-+-=所以， 22121222636,2323k k x x x x k k -+==++由得，即，2FB AF =2112(1)x x -=-2132x x =-所以，所以，，211263223k x x k +-=+2126323k x k +=+2226323k x k -+=+所以，化简得， 222222636363232323k k k kk k +-+-+⨯=+++236k =所以的方程k =l 1)y x =-20．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S ()23n n S a n n *=-∈N (1)求证：是等比数列；12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭(2)在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前nn a 1n a +2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项和.【答案】(1)证明见解析 (2) 525443n nn T +=-⋅【分析】（1）由与的关系，分，求数列的通项公式即可； n S n a 1,2n n =≥（2）利用错位相减法求和即可得解.【详解】（1）当时，，得，所以， 1n =11231a a =-11a =11322a +=当时，2n ≥1123(1)n n S a n --=--所以，即， 1122331n n n n S S a a ---=--12331n n n a a a -=--所以 131n n a a -=+所以 11111111313()2223111222n n n n n n a a a a a a -----++++===+++即数列是以为首项，公比为3的等比数列. 1{}2n a +32（2）由（1）得，所以， 11333222n n n a -+=⋅=312n n a -=由题意，即 1(1)n n n a a n d +-=+⋅133(1)2n n n n d +-=+⋅所以，所以 31nn d n =+111(1)()33n n n n n d +==+⋅设前项和为 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 所以 1231111n nT d d d d =++++ 即 ① 231111234(1)3333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ② ()23411111112341333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ①-②得：21112211121311(1)(1)3333336233n n n n n T n n +++=+++-+=+-⋅-+15251623n n ++=-⋅所以. 525443n n n T +=-⋅。
天津市高二上学期期末数学试卷
天津市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·衡水模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 命题“若 ,则且”的否命题为（）A . 若 ,则且B . 若 ,则或C . 若 ,则且D . 若 ,则或3. （2分）三个正数a，b，c满足a≤b+c≤2a，b≤a+c≤2b，则的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ，+∞）C . [2，3]D . [1，2]4. （2分）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A . （1，﹣2，0）B . （0，﹣2，2）C . （2，﹣4，4）D . （2，4，4）5. （2分）(2017·金华模拟) 已知x∈R，则“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x≠1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为10，要使其体积最大，则高应为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一上·兰州期末) 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A . 若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB . 若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC . 若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A . m≥4或m≤－2B . m≥2或m≤－4C . －2＜m＜4D . －4＜m＜210. （2分） (2018高二上·临汾月考) 在正三角形中，过其中心作边的平行线，分别交，与，，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点 ,则二面角的平面角的大小是（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2018高二上·寻乌期末) 若，则________．12. （1分）已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为________.13. （1分） (2018高一上·黄陵期末) 已知集合，若，则 ________.14. （1分）已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若=++，则实数λ+μ+γ=________15. （1分） (2017高二下·温州期中) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．16. （1分）(2017·南京模拟) 已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，2），则• 的最小值为________．17. （1分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是________18. （1分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°。
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线tan 4x π=-的倾斜角是（ ）A ．0B ．2πC ．34π D ．4π 【答案】B【分析】由倾斜角的概念求解 【详解】tan 4x π=-，即=1x -，直线的倾斜角为2π． 故选：B2．两直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B ．75C ．710D ．1710【答案】C【分析】先根据直线平行求得m ，再根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，故3840m ⨯-=，解得6m =.故直线6860+-=x y 与810mx y ++=710=. 故选：C3．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【答案】B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==，4m n ∴==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.【解析】椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n 因而椭圆方程确定.4．已知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ，则点(3,1)A -到直线L 的距离为（ ）A ．0 BCD 【答案】B【分析】根据题意得直线L 为30x +，再由点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ， 所以直线L 的斜率为k =所以直线L 为13)y x +=+，即30x ++， 因为(3,1)A -所以A L d -== 故选：B5．已知三棱柱111ABC A B C ，点P 为线段11B C 上一点，且11113B P BC =，则AP =（ ）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA +-D ．12133AB AC AA ++ 【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量AP .【详解】由题意得11AP AB BP AB BB B P =+=++，因为11113B P BC =，11BB AA =，所以11111133AP AB AA B C AB AA BC =++=++()113AB AA AC AB =++-12133AB AA AC =++.故选：D.6．若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞ B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】由于点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，从而可求出k 的取值范围【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（ ） A ．4-或0 B ．4-或4 C ．0或4 D ．4-或2【答案】A【分析】分析可知ABC 为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心C 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且222AB CA == 则圆心C 到直线AB 的距离为122d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0.故选：A.8．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（ ）A B C D ．0【答案】A【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 【详解】由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ， 可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为111n AD n⋅-==+故选：A.9．使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是（ ） A ．1a = B ．2a =C ．3a =D ．3a =或0a =【答案】C【分析】求得直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，a 的值，由此确定充分不必要条件.【详解】直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，()()1220a a a ++-=，230a a -=，解得0a =或3a =.所以使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是C 选项. 故选：C10．若直线:420l kx y k -++=与曲线y k 的取值范围是（ ） A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【分析】根据直线l 和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，24y x =-，可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x -则314k -≤<-. 故选：C.11．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a +++=A ．30B ．29C ．-30D ．-29【答案】A【详解】试题分析：由数列通项公式可知()()12201219201010330a a a a a a a d +++=++++==⨯=【解析】分组求和12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）． A ．8 B ．82C ．16D ．32【答案】C【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C13．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如 果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= A ．43 B ．8 C ．83 D ．16【答案】B【详解】设A （-2，t ），∴，∴∴PF =814．若数列{}n a 满足12332n n a a a a ++++=-，则这个数列的通项公式为( )A ．123n n a -=⨯B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 【答案】D【分析】根据递推数列的性质，可以得到1123132n n a a a a --++++=-，两式相减，即可得到n a 的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式． 【详解】因为12332n n a a a a ++++=-，所以11231++++=322n n a a a a n ---≥，，两式相减，得123n n a -=⨯，且当=1n 时，1=2a ，在原式中，首项11321a =-=，二者不相等，所以11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 故选：D15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=【答案】D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是by xa=2ba=①，抛物线2y=的准线是x=c=2227a b c+==②，由①②联立解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y-=．故选D．【解析】双曲线的标准方程．16．圆22:(1)(1)2C x y-+-=关于直线:1l y x=-对称后的圆的方程为（）A．22(2)2x y-+=B．22(2)2x y++=C．22(2)2x y+-=D．22(2)2x y++=【答案】A【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆22:(1)(1)2C x y-+-=的圆心(1,1)，由:1l y x=-得1lk=，设圆心关于直线对称点的坐标为(,)m n，则111111022nmm n-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得2mn=⎧⎨=⎩,所以对称圆的方程为22(2)2x y-+=.故选：A.17．设n S为等比数列{}n a的前n项和，若4212a a-=，316a a-=，则63SS=（）A．665B．2 C．9 D．72【答案】C【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，则1231113421612aaa a qa a a qa q⎧-=-=-=-=⎪⎨⎪⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩，则()6621212612S ⨯-==-，()332121412S ⨯-==-，所以63126914S S ==. 故选：C.18．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若11:||:3:4:5AF AB BF =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．23-C ．312- D ．22【答案】D【分析】利用勾股定理得出1290F AF ∠=，利用椭圆的定义求得1AF 、2AF ，利用勾股定理可得出关于a 、c 的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设13AF t =，则4AB t =，15BF t =，所以，22211AF AB BF +=， 所以，1290F AF ∠=，由椭圆定义可得11124AF AB BF t a ++==，3at ∴=，13AF t a ∴==， 所以，212AF a AF a =-=，所以，12AF F △为等腰直角三角形，可得2221212AF AF F F +=，2224a c ∴=， 所以，该椭圆的离心率为2c e a ==. 故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（ ）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A20．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n nn a a a n +--+=≥， 则214n S n --= A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +-+=≥，所以220n n a a -=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n --=-⨯-=-，故选A. 【解析】等差数列. 21．数列{}n a 满足123n na n +++⋅⋅⋅+=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．1nn + B ．2nn + C ．21nn + D ．22nn + 【答案】D【分析】利用等差数列的前n 项和公式得到n a ，进而得到1111412n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：()1122n n n n a n ++==， ()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，12231111n n a a a a a a +∴++⋯+ 1111114233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 故选：D ．22．已知抛物线24y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A2+ B1C1D1【答案】D【分析】由抛物线24y x =可得双曲线的右焦点为()1,0F ，根据题意列式求解a ，即可得双曲线离心率.【详解】由抛物线24y x =可得焦点()1,0F ，则双曲线22221x y a b-=的右焦点为()1,0F ，即1c =，若AF x ⊥轴，可设()01,A y ，则204y =，由题意可得：22221141a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，∴双曲线的离心率为1c e a ==. 故选：D.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（ ）A ．4093B ．4094C ．4095D ．4096【答案】A【详解】由递推公式确定通项公式(1)2n nn a =-+，再求11S 即可.【解答】132nn n a a ++=⋅，故111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++-⋅---===----，又121a -=-， 所以{}2n n a -是首项为1-，公比为1-的等比数列，所以(1)2n nn a =-+，则()1112111112112121212121409312S a a a ⨯-=+++=-++++-+=-+=-故选：A24．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足2023n n a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2022 B ．2023 C ．4044 D ．4046【答案】A【分析】先求得()()12f x f x +-=，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x +-=． ∵20232023120232023n n n na a --+=+=， ∴()()20232n n f a f a -+=．令()()()122022S f a f a f a =++⋅⋅⋅+， 则()()()202220211S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，两式相加得222022S =⨯， ∴2022S =． 故选:A25．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（ ） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n + D ．1ln n n n ++【答案】C【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+， 于是得，当2n ≥时，23111223()()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=---- ()()()2ln 2ln1ln3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式， 所以2ln n a n n n =+. 故选：C26．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=【答案】B【分析】根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M 为圆心，MA 为半径为圆，则AB 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】解：根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =， 过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，而MO =3MA =，则以M 为圆心，MA 为半径为圆为()()22239x y -+-=，即圆224640x y x y +--+=，所以AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有222244640x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 作差变形可得：4680x y +-=； 即直线AB 的方程为2340x y +-=. 故选：B.27．若函数()1n n a f a +=，则称f （x ）为数列{}n a 的“伴生函数”，已知数列{}n a 的“伴生函数”为()21f x x =+，11a =，则数列{}n na 的前n 项和n T =（ ）A ．(1)222n n n n +⋅+-B ．()11222n n n n ++⋅+-C ．()()111222n n n n ++-⋅+- D ．()()11222n n n n +-⋅+-【答案】C【分析】由已知可得数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2，从而可求得21nn a =-，则2nn na n n =⋅-，从而可表示出n T ()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-，令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，利用错位相减法可求出()H n ，从而可求得结果【详解】依题意，可得*121()n n a a n N +=+∈，所以()11210n n a a ++=+>，即1121n n a a ++=+， 故数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2， 所以11222n n n a -+=⋅=，所以21nn a =-，所以2n n na n n =⋅-，所以1112222(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-.令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，则()21H n =()211222122n n n n +⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()121112222222n n n n H n n n +++-=+++⋅=--⋅-，所以()()1122n H n n +=-⋅+，所以()()11()1222n n n T n n ++=-⋅+-.故选：C.28．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A【解析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点1,2，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.29．正项数列{}n a 的前n 项的乘积2621()(N ),log 4n n n n n T n b a -+=∈=，则数列{}n b 的前n 项和n S 中的最大值是 （ ） A ．6S B ．5S C ．4S D ．3S【答案】D【分析】由已知，求得{}n a 的通项公式，再求得数列{}n b 的通项公式，继而求得n S 中的最大值．【详解】由已知当1n =时，55111()44a T -===，当2n ≥时，2711()4n nn n Ta T --==，1n =时也适合上式，数列{}n a 的通项公式为2721()log 44,14n n n n a b a n -=∴==-， 数列{}n b 是以10为首项，以4-为公差的等差数列,22(1)(4)102122[(3)9]2n n n S n n n n -⨯-=+=-+=---，当3n =时取得最大值, 即n S 中的最大值是3S 故选：D30．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）①MN ∥平面ABCD ； ②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒； ④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =， (0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅=，所以1D D MN ⊥，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA =， 所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-=，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确； 因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =--， 所以1111112cos ,144MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⨯+⋅，因为异面直线所成的角范围为(0,90]，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确； 设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =-，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-， 所以11162sin cos ,11444D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠+⨯++⋅ 所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误， 一共有3个结论正确， 故选：C。
天津市第二中学2024年数学高二上期末考试试题含解析
A. 1,1
B. 1,
C. , 1
D. ,
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设
F1
，
F2
分别是椭圆
C：
x2 25
y2 16
1的左、右焦点，点
M
为椭圆
C
上一点且在第一象限，若 △MF1F2
为等腰三
角形，则 M 的坐标为___________
14．已知双曲线
E
：
x a
A.1
B.2
C.4
D.8
9．等比数列an的第 4 项与第 6 项分别为 12 和 48，则公比 q 的值为（）
A. 2
B.2
C. 2 或 2
D. 1 或 1 22
10．已知 u 1, 2,1 是直线 l 的方向向量， v 2, y, 2 为平面 的法向量，若 l ∥ ，则 y 的值为（）
A. 2
A 然后在 4 个位置上选 2 个排列 1,2，有 2 12 种排法， 4
则 1 与 2 不能相邻的排法总数为 612 72种，
故选：D. 8、C
【解题分析】根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式利用条件 a4 a5 24 ，S6 48 列出关于 a1 与d 的方程组，通
过解方程组求数列{an} 的公差.
2 ，点 P 2
0,
2
，且
△PF1F2 的面积等于 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知斜率存在且不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，当点 A 关于 y 轴的对称点在直线 PB 上时，直线 l 是否
过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由
22．（10 分）已知公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 ， a4 ， a13 成等比数列，且 S5 35 .
天津高二第一学期期末练习(含答案)
一、选择题：在每小题的4个选项中，只有项是符合题目要求的．1．双曲线22312x y -=的焦点坐标是（）．A ．()±B ．(0,±C ．()4,0±D ．()0,4±2．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d =（）．A ．0B ．2C ．1-D ．2-3．设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，则PF 等于（）．A ．4B ．6C ．8D ．104．已知椭圆2225116y x =+的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点（点A ，B 异于椭圆长轴端点），则2ABF △的周长为（）．A ．10B ．20C ．8D ．165．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ，离心率等于12，则C 的方程是（）．A ．22134x y +=B ．2214x =C ．22142x y +=D ．22143x y +=6．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（）．A ．2213x y -=与22193x y -=B ．2213x y -=与2213x y -=C ．2213x y -=与2213y x -=D ．2213x y -=与22139y x -=7．已知双曲线22221x y a b-=，过右焦点且倾斜角为45︒的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）．A ．(B ．(C ．D ．(8．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，则数列{}n a 的通项公式为（）．A ．22n n na +=B ．22n n na -=C ．222n n n a -+=D ．21n a n n =-+9．若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2020a 的值为（）．A ．13B ．2C ．12-D ．3-10．在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为n S ，且满足315S S =，则n S 的最大项为（）．A ．7S B ．8S C ．9S D ．10S 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：11．若抛物线的准线方程为2y =，则该抛物线的标准方程是______．12．如果双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点)4，那么双曲线的方程是______．13．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是______．14．已知双曲线2222:1x y C a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，1F B 与y 轴相交于D ，若1AD F B ⊥，则双曲线的离心率为______．15．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若对任意n *∈N 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为______．16．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ．若3AF BF =，且三角形CDF的面积为，则p 的值为______．三．解答题：17.如图，在三棱柱中111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，12AA AC BC ===，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（1）求证：1C D 平面1A BE ；（2）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；（3）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 所成夹角为60︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=.（1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，点()0,2A -，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于P 、Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程．20．已知公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足389a a ⋅=-，568a a +=-．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)若123n n T a a a a =++++L ，求n T 的表达式；(Ⅲ)若n n S b n c =+，存在非零常数c ，使得数列{}n b 是等差数列，存在n *∈N ，不等式0n c b k n--<成立，求k 的取值范围．。
天津市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等差数列，，则公差d 等于（ ） {}n a 132,5a a ==A ． B ．C ．3D ．-32332【答案】B【分析】根据题意，利用公式，即可求解. n ma a d n m-=-【详解】由题意，等差数列，， {}n a 132,5a a ==可得等差数列的公差. {}n a 315233122a a d --===-故选：B.2．双曲线的焦点坐标是（ ） 221x y -=A ．B ． (0,(C ．D ．(0,2),(0,2)-(2,0),(2,0)-【答案】B【分析】根据双曲线的方程，求得. c =【详解】由题意，双曲线，可得，所以 221x y -=221,1a b ==c =且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. x (故选：B.3．直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（ ） )21y x -=+yA ．B ．C ．D ．602︒，602︒，120,2︒1202︒,【答案】B【解析】由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，再令，得到直线在轴上的截距. 0x =y【详解】解： )21y x -=+2y ∴=斜率， k =tan α=0180α︒︒≤< 60α︒∴=令，则，故直线在 0x =2y =+y 2故选：B 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，截距的理解，属于基础题.4．抛物线的焦点坐标为（ ） 28x y =A ． B ． C ． D ．()4,0()0,4()2,0()0,2【答案】D【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.(0,)2pp 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 282x y px ==4p =28x y =()0,2故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.5．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c === 1D B（ ）A ．B ．C ．D ．a b c +- a b c ++ a b c -+ a b c -- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c ===可得.1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-故选：A.6．已知直线与平行，则与的距离为（ ）1:10l x ay +-=2:210l x y -+=1l 2lA ．B C ．D 1535【答案】D【分析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可12a =-1:220l x y +-=求出结果.【详解】因为直线与平行，1:10l x ay +-=2:210l x y -+=所以，解得，1(1)20⨯--=a 12a =-所以，即， 11:102l x y --=1:220--=l x y因此与的距离为1l 2l d 故选D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.7．已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l 与平an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 面α（ ） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定【答案】A【分析】根据题意得出可判断.//a n【详解】，，即，， (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = a n =- //a n ∴故直线l 与平面α垂直. 故选：A.8．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（ ） 22420x y x +-+=x y A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 x y 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 22420x y x +-+=【详解】圆的方程，可化为：， 22420x y x +-+=()2222x y -+=所以其圆心是，()2,0当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：， x y y kx =因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以d =解得，1k =±当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：， x y x y a +=因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以，d 解得或（舍去）4a =0a =所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条， x y 故选：C9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过xOy C 12,F F x 1F 的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为 l ,A B 2ABF △C A ．B ．22184x y +=221164x y +=C ．D ．221816x y +=221168x y +=【答案】D【解析】结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆2ABF ∆4a a c 可求得，进而得到椭圆方程.222b a c =-2b 【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知： 的周长为 12122AF AF BF BF a +=+=2ABF ∴∆4a 即，解得： 416a =4a =c e a =c ∴=2221688b a c ∴=-=-=椭圆的方程为∴C 221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.二、填空题10．经过点，且与直线平行的直线方程是__________. ()0,2P 1:31l y x =-【答案】32y x =+【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.3y x b =+()0,2b 【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ， 1:31l y x =-3y x b =+()0,2P 2b =32y x ∴=+故答案为： .32y x =+11．在数列中，是它的第_______项． 32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅712【答案】6【分析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案． 12n n a n +=12n n +712n 【详解】根据题意，数列…中，其通项公式，32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅12n n a n +=令＝，解得，即是数列的第6项. 12n n +7126n =712故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．三、双空题12．已知双曲线__________，渐近线方程是__________.2221(0)x y a a -=>=a 【答案】##0.5122y x =±【分析】由双曲线的离心率公式可求得a 的值，进而求得渐近线方程. 【详解】由题意知，，21b =所以c e a ====又因为， 0a >所以， 12a =所以双曲线方程为， 2241x y -=所以渐近线方程为. 2by x x a=±=±故答案为：，.122y x =±四、填空题13．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面α()2,2,1n =--()1,3,0A --α()2,1,4P -α的距离为__________. 【答案】23【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.【详解】由题意知，，则，，(1,4,4)AP =- 2842AP n ⋅=-+=-||3n == 所以点P 到平面的距离为. α||23||AP n d n ⋅==故答案为：.2314．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2-6x -8y +m =0外切，则实数m 的值为___________. 【答案】9【分析】由圆心距等于半径之和求解．【详解】解析：圆C 2的标准方程为(x 3)2+（y 4）2=25-m .圆C 1：x 2+y 2=1，∴|C 1C 2|=5. --又∵两圆外切，∴m =9.故答案为：9．五、双空题15．等差数列满足，则__________，__________ {}n a 123412,4a a a a +=+=56a a +=10S =【答案】 -4 -20【分析】运用等差数列通项公式及其前n 项和公式的基本量计算即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为，{}n a d 所以，解得：，121341212254a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩172a d =⎧⎨=-⎩所以，. 5612914184a a a d +=+=-=-101109107090202S a d ⨯=+=-=-故答案为：，.4-20-六、解答题16．已知抛物线经过点. 22(0)y px p =>()1,2(1)求抛物线的方程及其准线方程；C (2)过拋物线的焦点的直线交于两点，设为原点.当直线的斜率为1时，求的C F l C ,A B O l AOB A面积；【答案】(1)抛物线C 的方程为，准线方程为 24y x ==1x -(2)【分析】（1）根据已知条件求得p 的值，进而求得结果.（2）联立直线与抛物线方程得，，代入12y y +12y y 1|2AOB S OF =△果.【详解】（1）由题意知，，解得：， 222p =2p =所以抛物线C 的方程为，准线方程为.24y x ==1x -（2）由（1）知，，则直线l 方程为，设，，(1,0)F 1y x =-11(,)A x y 22(,)B x y ， 2214404y x y y y x=-⎧⇒--=⎨=⎩则，， 124y y +=124y y =-所以， 1212111||(||||)||||||222AOB AOF BOF S S S OF y y OF y y OF =+=+=⨯-==△△△故△AOB 的面积为17．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且C 222(0)x y r r +=>1l 20x y -+=C A B ，AB =．(1)求圆的方程；C (2)求过点且与圆相切的直线的方程． ()23P -，C 2l 【答案】(1) 224x y +=(2)或 512260x y ++=2x =【分析】（1）根据圆的弦长公式，得到，即可求得圆的方程； d =24r =C （2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为2l 2l 2x =2l 2l ，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.()32y k x +=-2l k【详解】（1）解：设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222()2AB r d -=222d r =-又， d ==24r =故圆的方程为．C 224x y +=（2）解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l ()32y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2512k =-此时直线的方程为，即， 2l ()53212y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或．2l 512260x y ++=2x =18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -E 1BB（1）求的长；1D E （2）求异面直线与所成的角的余弦值； AE 1BC （3）求直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E【答案】（1）；（23）.313【分析】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结AD AB 1AAx y z 合向量的坐标运算，即可求解；（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；()0,2,1AE =()12,0,2BC = （3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的()0,2,0AB = 1AD E 11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭夹角公式，即可求解.【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，AD AB 1AAx y z则，，()12,0,2D ()0,2,1E 3=所以的长为.1D E 3（2）由（1）的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()0,2,1E ()0,2,0B ()12,2,2C 所以，， ()0,2,1AE =()12,0,2BC = 设异面直线与所成的角为，AE 1BC θ所以cos cos ,AEθ= 即异面直线与AE 1BC （3）由（1）中的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()12,0,2D ()0,2,1E ()0,2,0B 则，， ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 设平面的法向量为，1AD E (),,n x y z =由，得，令，得，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x z y z +=⎧⎨+=⎩1x =11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又由，()0,2,0AB =设直线与平面所成的角为，可得. AB 1AD E θ1sin cos ,3AB n AB n AB n θ⋅===即直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E 13【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.19．已知椭圆的离心率.22221(0)x y a b a b +=>>e =()0,1B （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有，A l B C A BA AC ⊥求直线方程.l 【答案】（1）；（2）.2214x y +=516y x =-+【解析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可得椭圆的标准方程；a b c ，，（2）解法一：验证当直线斜率不存在时，不满足设直线，与椭圆的方程联立l BA AC ⊥l 1y kx =+整理得，求得C 点的坐标，由两直线垂直的条件可求得所求直线的斜率，从而()221480k x kx ++=得出方程；解法二：由两直线垂直的条件求得直线AC 的斜率得出直线与椭圆的方程2AC k ,=()22AC :y x =-联立，可求得点C 的坐标，从而求得直线l 的方程.，【详解】解：（1）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率.x e =0,1B（）所以 22212,b ca c a abc =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆的标准方程；2214x y +=（2）解法一：当直线斜率不存在时，，又椭圆右顶点为 l ()0,1C -()2,0A 此时，不满足.11122AB AC AB AC k ,k ,k k =-=⋅≠-BA AC ⊥因此设直线，，联立， l 1y kx =+()00,C x y ()22221148044y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩因为，所以， 0,1B （）2228141414k k C ,k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为，所以BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=即整理得 22142828AC k k ,k k-==---2121650k k ,++=解得：或者（与重合，舍）56k ,=-12k =-C A所以直线：； l 516y x =-+解法二：因为，所以因此设直线， BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=()22AC :y x =-联立， ()22222176460044y x x x x y ⎧=-⇒-+=⎨+=⎩设，又椭圆右顶点为，()00,C x y ()2,0A 所以，，即，所以 00603021717x x =⇒=0817y =-3081717C ,⎛⎫- ⎪⎝⎭56BC k ,=-因此直线：. l 516y x =-+【点睛】易错点点睛：在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常常需设出直线的方程，此时，需考虑直线的斜率是否存在，容易遗漏直线不存在的情况.20．已知为等差数列的前项和，已知.n S {}n a n 122320,47a a S S +=-+=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令.求12..n n A a a a =++⋯+n A (3)令，前项和为，求(1)n n n b a =-n n T 2n T 【答案】(1)；213n a n =-(2)； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩(3).2n T n =【分析】（1）设公差为d ，后由题目条件结合等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式可得{}n a 答案；（2）由（1）可得，后分，两种情况求和即可得答案；n a 16n ≤≤7n ≥（3）注意到，据此可得答案.2122212n n n n b b a a --+=-=【详解】（1）设公差为d ，因，{}n a 122320,47a a S S +=-+=-则，则； 1112201154472a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩()11213n a a n d n =+-=-（2）由（1）可得. 212,n S n n =-132,16213,7n n na n n a a n n -=-≤≤⎧=⎨=-≥⎩则当时，； 16n ≤≤21212n n n A a a a S n n =----=-=- 当时，.7n ≥2678621272n n n A S a a a S S n n =-+++=-=-+ 故； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩（3）由（1）可得，. ()()1213n n b n =-⋅-2122212n n n n b b a a --+=-=则 12322212n n n n T a a a a a a --=-+-++-+ ()()()21432212n n a a a a a a n -=-+-++-=。
天津高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）一､选择题1. 若直线过点（1，2），（4，2），则此直线的倾斜角是（） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为． k ==30︒故选：A ．2. 三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝OAaOB b OCc，用，，表示，则等于（ ）a b cNM NMA. B. ()12a b c -++ ()12a b c +- C. ） D. ()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】 ()1122OM ON O NM A OB OC =-=+-. ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B3. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面β(2,1,)m z =- α(4,2,2)n =--平面，则实数的值为（）β⊥αzA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据计算得解.0m n ⋅=【详解】因为平面平面，，即，所以，解得：β⊥αm n ∴⊥ 0m n ⋅=8220z +-=.5z =故选：C.4. 已知等差数列的前项和为，且，则的值为（） {}n a n n S 2121S =616a a +A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，可得与的关系n 2121S =616a a +式，即可求得结果.【详解】根据等差数列前项和公式得，n ，由等差数列的性质可知()12121212a a S +=121616a a a a ++=所以()6162121212a a S +==即． 6162a a +=故选：B.5. 下列求导运算正确的是（） A. B.()ln x x '=()sin cos 55ππ'=C. D.()cos sin x x '=()ln xxa aa '=()0,1a a >≠【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【详解】，A 项错误；因为是个常数，所以，B 项错误；()1ln x x '=πsin 5πsin 05'⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 项错误；，D 项正确. ()cos sin x x '=-()ln x x a a a '=()0,1a a >≠故选：D.6. 如图，在直三棱柱中，已知，D 为的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥1CC，则，所成角的余弦值是（）1AB AC AA ==1AB 1ADB.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-公式计算得到答案.【详解】以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所AB AC1AA 示的空间直角坐标系，设，则，，，2AB =()0,0,0A ()12,0,2B ()10,0,2A ()0,2,1D ，所以，，设，所成的角为，()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-1AB 1A D θ则． 1111cos AB A D AB A Dθ⋅===故选：C7. 已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于1F 2F E 221812x y +=1Fk l E ，两点，则的周长为（）M N 2MNF A. 8B.C. D. 与有k关 【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆：可求得a ，由椭圆的定义可得，E 221812x y +=122MF MF a +=，并且，进而即可求得的周长．122NF NF a +=11MN MF NF =+2MNF【详解】由椭圆：，则，即，E 221812x y +=2=12a a又椭圆的定义可得，122MF MF a +=122NF NF a +=，11MN MF NF =+所以的周长为2MNF．()()2222112=++=MNF C MF MN NF MF MF NF NF +++=+= 故选：C ．8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =有公共焦点，则的方程为（）221156x y +=C A.B.221810x y -=22145x y -=C.D. 22154x y -=22143x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、2a ，即可得解.2b 【详解】解：椭圆的焦点为，221156x y +=()3,0±又双曲线：的一条渐近线方程为，C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =所以，解得，所以双曲线方程为. 2223ba c c ab =⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2254a b ⎧=⎨=⎩22154x y -=故选：C9. 已知等差数列的通项公式为，则其前n 项和取得最大值时，n 的值{}n a 92n a n =-n S （） A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】【分析】求出首项，求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. n S 【详解】由题意等差数列的通项公式为，则， {}n a 92n a n =-1927a =-=故，2(792)(4)162n S n n n +-==--+即当时，取得最大值，即取得最大值时，n 的值是4， 4n =n S n S 故选：C.10. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为（） A.B.C.D.1421323132162【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可．【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为， {}n a q 则，所以，即， 1131,2a a ==121312a qa ==1122q =所以新插入的第3个数为．31131244122a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：A11. 已知数列满足，则（） {}n a ()1111,,2n n a n a n a n --==≥n a =A. B.C.D.n 1-11n -n 1n【答案】D 【解析】【分析】利用累乘法即可求得.n a 【详解】因为， ()11,2n n a n n a n--=≥所以， 32121121,,23n n a a a n a a a n--=== 上述各式相乘得，11n a a n=因为，所以， 11a =1n a n =经检验，满足， 11a =1n a n=所以. 1n a n=故选：D.12. 已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与2:4C y x =,F N C N FN C 的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段M M x C P 2MN NF =的长度为（）PF A. 4 B.C. 2D.【答案】 A 【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.【详解】根据题意作出函数图像，过点N 作准线l 的垂线， 由抛物线的定义知，NF NH =又，所以，所以，2MN NF =2MN NH =30NMH ∠= 又与轴平行，所以MP x 60FMP ∠= 由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形， PM PF =FMP 所以， 2(2)4242pFP MF OF p ===⨯==故选: A .二､填空题13. 抛物线的焦点坐标是______． 24y x =【答案】 (1,0)【解析】【详解】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点24y x =x 2,12pp =∴=24y x =坐标为，故答案为.()1,0()1,014. 设函数在处的导数为2，则__________.()f x 1x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆【答案】2 【解析】【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，即， ()f x 1x =()12f '=所以，()()11limx f x f x∆→+∆-∆()21f '==故答案为：2.15. 已知，若三向量共面，则实数(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-,,a b c λ=_____. 【答案】 1-【解析】【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值. λ【详解】由题意可知，存在实数满足：，,m n c ma nb =+据此可得方程组：，求解方程组可得：.325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为．1-【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知双曲线的右焦点，则22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0F c 其离心率为_______. 【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立的等式,,a b c 计算作答【详解】双曲线的渐近线为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，即， by x a=±0bx ay ±=由右焦点， (),0F c， =即， b c =解得，2b =即， 2243b c =又，222+=a b c 所以，()2222222243444c c a c c a e a-=⇒=⇒=⇒=所以双曲线的离心率为2， 故答案为：2.17. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中O P 22:810210C x y x y +--+=OP 点的轨迹方程为__________.M 【答案】225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P 的坐标用M(,)M x y ()00,P x y的坐标表示，代入圆的方程得答案. 【详解】设点，点，(,)M x y ()00,P x y 则所以 000,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩002,2.x x y y =⎧⎨=⎩因为点在圆上， ()00,P x y 22:810210C x y x y +--+=所以，220000810210x y x y +--+=所以， 22(2)(2)8(2)10(2)210x y x y +-⨯-⨯+=所以点M 的轨迹方程为 22214504x y x y +--+=即，225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故答案为：.225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭18. 已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=弦方程为______，则两圆的公共弦长为______． 【答案】 ①.②.20x y +-=【解析】【分析】第一空：直接将两圆联立做差可得公共弦方程； 第二空：利用垂径定理可得公共弦长.【详解】由圆：①与圆：②， 1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=②①得，即 -221410x y +-=-20x y +-=即两个圆的公共弦方程为；20x y +-=两圆的公共弦长即为圆：与相交产生的弦长1C 2210x y +=20x y +-=则弦长为.=故答案为：；20x y +-=19. 若空间中有三点，则到直线的距离为()()()1,1,1,0,1,1,1,2,0A B C -A BC __________；点到平面的距离为__________.()1,2,3P ABC【答案】 ①.②.【解析】【分析】根向量夹角的余弦值和同角三角函数基本关系式可以求出第一空，根据点到平面的距离公式即可求出第二问.【详解】, (1,1,1)BC =-,()1,0,2BA =-所以，BC ==BA ==所以cos ,BA BC BA BC BA BC⋅====⋅所以 cos ABC ∠=所以sin ABC ∠==则到直线的距离为ABC sin BA ABC ⋅∠==设平面的法向量为，ABC (,,)n x y z =所以， (,,)(1,0,2)20(,,)(1,1,1)0n BA x y z x z n BC x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩令，1z =解得，211x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以， (2,1,1)n =-，(0,1,4)PA =--所以点到平面. ()1,2,3PABC=故答案为：.20. 已知数列的通项公式为，为数列的前n 项和，则使得{}n a ()1(31)nn a n =--n S {}n a 的n 的最小值为___________.35n S ≤-【答案】23 【解析】【分析】根据数列通项公式的特点，分奇偶讨论，利用并项求和表示其前n 项和{}n a n S ，再解不等式求得结果.【详解】当n 为奇数时，，13(3)n n a a n -+=-≥，123451331()()()2(1)222n n n a a a a a a a n n S -=+++++⋅⋅⋅++=---=--由解得； 313522n --≤-23≥n 当n 为偶数时，，13(2)n n a a n -+=≥，不合题意，舍去； 123413()()()02n n n a a a a n S a a -=++++⋅⋅⋅++=>综上n 的最小值为23. 故答案为：23．三､解答题21. 已知圆经过和两点，且圆心在轴正半轴上. C ()3,0A ()2,1B x （1）求圆的方程.C （2）从点向圆作切线，求切线方程 ()3,2C 【答案】（1）； ()2221x y -+=（2）或. 3x =3410x y --=【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上，C x 所以设圆的标准方程为，C ()222(0,0)x a y r r a -+=>>因为圆经过和两点，C ()3,0A ()2,1B所以； ()()222222302121a r a r a r⎧-+==⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩()2221x y ⇒-+=【小问2详解】设过点的直线为，()3,2l 由（1）可知：圆的圆心为，半径为1，C ()2,0当直线不存在斜率时，方程为，圆心到直线的距离为1等于半径， l 3x =()2,03x =所以直线是该圆的切线；3x =当直线存在斜率时，设为，方程为，l k 2(3)230y k x kx y k -=-⇒-+-=因为直线，l 314k ⇒=即直线的方程为：， l 33230341044x y x y -+-⨯=⇒--=综上所述：切线方程为或.3x =3410x y --=22. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的1111ABCD A BC D -E 1DD F 11C D 中点．（1）求证：平面1B F 1A BE （2）求直线和平面所成的角的正弦值． BE 11A C E （3）求平面与平面夹角的余弦值． 1A BE 11A C E【答案】（1）证明见解析 （2（3【解析】【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空A AB AD 1AA x y z间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角 【小问1详解】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐A AB AD 1AA x y z 标系．依题意，得，()()()11,0,0,0,1,,0,0,0,0,1,02B E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设面的法向量，()1111,0,1,0,1,2A B A E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 1A BE ()1111,,x n y z = ，所以，取，得 111100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11110102x z y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩12z =()12,1,2.n = 因为，11,1,02B F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以．所以．111100B F n ⋅=-++= 11B F n ⊥ 又面． 1B F ⊄1A BE 所以面．1B F 1A BE 【小问2详解】，()11111,1,0,0,1,2AC A E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设面的法向量，11A C E ()2222,,n x y z =，所以， 1121200A C n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102x y y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩取，得． 22z =()21,1,2n =-因为，11,1,2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以．222cos ,BE n BE n BE n ⋅==∣所以直线和平面． BE 11A C E 【小问3详解】由（1）､（2）可得，121212cos ,n n n n n n ⋅===∣∣所以平面与平面1A BE 11A C E 23. 已知正项等差数列与等比数列满足，且既是和{}n a {}n b 121,4a b ==2a 11a b +33b a -的等差中项，又是其等比中项. （1）求数列和的通项公式.{}n a {}n b （2）求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S （3）设，记的前项和.若对于且()112n n n c a b =+{}n c n n T 2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈恒成立，求实数的取值范围.t 【答案】（1），；21n a n =-2nn b =（2）； 21n nS n =+（3）. (,8]-∞【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的定义进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可；（3）运用错位相减法，结合数列最小项的性质进行求解即可. 【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为， {}n a d {}n b q 因为既是和的等差中项，2a 11a b +33b a -所以有， ()()()()()211332221133421141222411412d q d q a a b b a d p a a b b a d q d q ⎧+=++--⎪=++-⎧⎪⇒⇒==⎨⎨=+-⎛⎫⎩⎪+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎩所以，； 1(1)221n a n n =+-⋅=-2422n n n b -=⋅=【小问2详解】由（1）可知：， 21n a n =-所以 ()()11111111111335212123352121n n n n n S ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪⨯⨯-+-+⎝⎭ ； 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【小问3详解】由（1）可知：，；21n a n =-2nn b =， ()1122n n n n c a b n =⋅=+， 231222322n n n T =⋅+⨯+⨯++⋅ ，234112223222n n n T +=⋅+⨯+⨯++⋅ 两式相减，得：12341222222n nn T n +=+++++-⋅- ，112(12)2(1)2212n n n n n T T n n ++-⇒=--⋅⇒=-⋅-+-由，21212(1)(1)2(1)2(22(1)21)n n n n n t n T t n t n ++⇒-⋅+⇒≤-++≤⋅-≤--因为且恒成立， 2n ≥*N n ∈所以由， 2112(1)211()n n t n t n n ++≤-⋅⇒≤--设，，当且时，假设是最小项，121n n t n +=-28t =3n ≥*N n ∈n t 则有，而，所以， 12111221232212n n nn n n nn t t n nn t t n n ++++-⎧≤⎪≤⎧⎪-⇒⇒≤≤⎨⎨≤⎩⎪≤⎪--⎩3n ≥3n =，所以数列在且时，是最小项，38t ={}n t 2n ≥*N n ∈23,t t 因为对于且恒成立，2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈所以有，即实数的取值范围为.8t ≤t (,8]-∞24. 已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，2222:1(0)x y C a b a b+=>>121,,2A A C 过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3. x C （1）求椭圆的标准方程.C （2）当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，m C 1F P m C Q 求此时的弦长.PQ （3）设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线l 1A x ,M N l x 2A M 与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面C 2A D DN x E 2MA N MEN 积之差取得最大值时，求直线的方程.2A M 【答案】（1）22143x y +=（2）165（3）或 360x -=360x -=【解析】【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；（2）根据的坐标，计算直线的22,a b 1,F P m 方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.（3）根据题意直线Q 2A M 的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，2A M 2x =-M N 在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从2A M D DN 0y =E x 而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公2A E 2MA N MEN 22E MA S 式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率. 22E MA S 【小问1详解】由椭圆的离心率为，所以，① 1212c e a ==又，②222a c b -=设过左焦点且垂直于轴的直线为：，x x c =-代入中，结合②化简得：2222:1(0)x y C a b a b +=>>，4222b b y y a a=⇒=±所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：x C ，③ 223b a=联立①②③解得：，224,3a b ==所以椭圆的标准方程为：.C 22143x y +=【小问2详解】由（1）知 ()(11,0,F P -所以直线的方程为： m，即 11x =-，代入中消去得：)1y x =+22143x y +=y ，解得：或，2580x x +=0x =85x =-当时，点， 0x =y =P当时，， 85x =-y =所以 ,8,5Q ⎛- ⎝所以.165PQ ==【小问3详解】由（1）知，如图所示： ()()122,0,2,0A A -连接，2,ME A N因为直线过点，且与轴垂直， l 1A x 所以直线方程为：，l 2x =-由题意得直线的斜率存在且不为0， 2A M 设直线的方程为：，2A M 2(0)x my m =+≠联立得：2(0)2x my m x =+≠⎧⎨=-⎩点，又为直线上关于轴对称的两点， 42,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,M N l x 所以， 42,N m ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立，消去整理得：222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩x ，解得：()2234120my my ++=或，由点异于点，0y =21234my m =-+D 2A 所以将代入中得：21234my m =-+2(0)x my m =+≠，即 226834m x m -+=+2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭所以直线的方程为：DN ， ()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，， 0y =226432E m x m -+=+所以，222226412223232E m m A E x m m -+=-=-=++由图可知：与的面积之差为：2MA N MEN ，222MA N ME E N MA S S S -= 因为222224812432321222M MA Em m A m S E y m m ==⋅-=⨯⋅++4823m m=≤+当且仅当时取等号， 22233m m m m =⇒=⇒=所以当与的面积之差取得最大值时， 2MA N MEN 直线的方程为：， 2A M 2x y =+即：或. 360x -=360x -=。
天津高二高中数学期末考试带答案解析
天津高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“”的否定是（）A．B．C．D．2.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线B．直线C．直线D．直线3.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）A．B．C．D．4.直线与的位置关系是（）A．相离或相切B．相切C．相交D．相切或相交5.方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线6.设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．37.条件；条件：直线与圆相切，则是的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件8.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线上的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.双曲线的实半轴长与虚轴长之比为__________．2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是__________．4.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．5.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是__________．6.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．三、解答题1.已知圆锥曲线.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围.2.如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.3.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.4.已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1. （Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.5.如图所示的多面体中，菱形，是矩形，⊥平面，，.（Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面⊥平面；（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为60°时，求.天津高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】特称命题的否定是把存在量词改为全称量词并否定结论，则应为.故本题正确答案为点睛:(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.2.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线,,都和直线为异面直线;和在同一平面内,且这两直线不平行;直线和直线相交,即选项正确.3.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故本题正确答案为4.直线与的位置关系是（）A．相离或相切B．相切C．相交D．相切或相交【答案】C【解析】由已知过定点，点在圆上.又直线过点且为圆的切线，又斜率存在，所以与圆一定相交. 故本题正确答案为5.方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线C．一个圆D．一条直线【答案】D【解析】由题意可化为或），在的右方，）不成立，，方程表示的曲线是一条直线.故本题正确答案为6.设是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则c，因为 ,,，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；故本题正确答案为7.条件；条件：直线与圆相切，则是的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则直线为，圆的圆心到直线的距离为，圆半径，所以，所以直线与圆相切；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得.故本题正确答案为8.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，是抛物线的一动点，到双曲线上的焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点,双曲线的一条渐近线的方程为,抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为,到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为,,双曲线的方程为故本题正确答案为二、填空题1.双曲线的实半轴长与虚轴长之比为__________．【答案】【解析】双曲线方程,双曲线的标准方程为: ,，该双曲线的实半轴长为,虚轴长为，.故本题正确答案为.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．【答案】【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：,切线长的最小值为：故本题正确答案为.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是__________．【答案】【解析】根据三视图画出该空间几何体的立体图：；；；，所以.故本题正确答案为.点睛:本题考查的是由三视图求出立体图的表面积问题，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4.如图，椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设，则由于所以因为所以椭圆的离心率为 .5.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】关于x的方程只有一解等价于有一解,等价于与的图象有一个公共点,其图象为为圆心为半径的圆的上半部分,作图可得当平行直线介于两直线之间时满足题意,易得直线的截距为,设直线的截距为,由直线与圆相切可得直线到点的距离为,可得,计算得出,或(舍去), 或者，解得或因此，本题正确答案是:或.点睛：本题考查的是方程只有一解的问题，利用转化与化归思想转化为函数与的图象有一个公共点的问题，关键是正确画出两个函数的图像以及搞明白的几何意义.当直线平移时有一个交点的情况即为所求，特别地，当直线与圆相切时容易丢掉.6.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．【答案】【解析】因为则直线可表示为过定点，被圆截得的弦的中点为,则满足为时,取最大，此时直线,, ,,即.三、解答题1.已知圆锥曲线.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：圆锥曲线的离心率，若命题为真命题，求实数的取值范围.【答案】.【解析】试题分析: 分别求出两个命题的为真命题的等价条件,利用复合命题真假之间的关系进行判断求解.试题解析：因为表示曲线，所以，命题是真命题，则；满足，解得.2.如图，四棱锥的底面为正方形，⊥底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角；（Ⅲ）求四棱锥的外接球的体积.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）45°;（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)欲证∥平面；连,根据中位线可以知道 ,而不在平面内,满足定理所需条件; (Ⅱ)关键是证明平面，找到是直线与平面所成的角;（Ⅲ）利用补成正方体的思想，求外接球的半径.试题解析：（Ⅰ）如图，连结，则是的中点，又是的中点，∴.又∵平面，面∴平面.（Ⅱ）取的中点，连接.在正方形中，是的中点，有.∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∴是直线在平面的射影，∴是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，所以.∴直线与平面所成的角为45°.（Ⅲ）设四棱锥的外接球半径为，，则，即.所以外接球的体积为.点睛：本题第三问考查的是四棱锥外接球的问题，若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把四棱锥“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.4.已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（1）设出点坐标，根据题意可建立等式求出曲线方程，同时要注意.（2）①由题意，得到.②联立直线与抛物线方程，用坐标表示出，令，解出的范围即可试题解析：（Ⅰ）设点曲线上任意一点，由题设有，于是，整理得.由于曲线在轴的上方，所以.所以曲线的方程为.（Ⅱ）设.由题意，即，于是，将代入，得，由，得.从而，所以.因为是等边三角形，所以.将代入，，解得，此时.（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分）设直线，联立得，，.，于是.因为，即.因，从而.解得.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．5.如图所示的多面体中，菱形，是矩形，⊥平面，，.（Ⅰ）异面直线与所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面⊥平面；（Ⅲ）在线段取一点，当二面角的大小为60°时，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用，找到就是异面直线与所成的角；（Ⅱ）通过证明，得到就是二面角的平面角；（Ⅲ）引入变量，通过坐标法求解.试题解析：（Ⅰ）因为，所以就是异面直线与所成的角，连接，在中，，于是，所以异面直线与所成的角余弦值为. （Ⅱ）取的中点.由于面，，∴，又是菱形，是矩形，所以，是全等三角形，，所以，就是二面角的平面角经计算，所以，即.所以平面平面.（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由，则.平面的法向量.设，则设平面的法向量，则得，令，则，得.因为二面角的大小为60°，所以，整理得，解得所以.点晴：本题考查是空间的直线与直线所成的角，平面与平面垂直的判定以及平面和平面所成的二面角问题.解答时第一问充分借助，得到就是异面直线与所成的角，第二问中通过证明，利用二面角的定义得到就是二面角的平面角；第三问中引入变量，通过坐标法求解即可.。
2023学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量，，若，则实数( )A.B.C. 1D. 22.在复平面内，与复数是虚数单位对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A. 20里 B. 10里C. 5 里D.里5.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则( )A. 2B. 10C.D.6.已知函数，为的导函数，则( )A. B.C.D.7.正方体，点E ，F 分别是，的中点，则EF 与所成角的余弦值为( )A. 0B.C.D.8.曲线在点处的切线方程为( )A. B.C.D.9.设双曲线的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若且的面积为，则C 的方程为( )A.B.C.D.10.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20分）11.i是虚数单位，则的值为______.12.已知函数，为的导函数，则的值为______.13.已知实数a为函数的极小值点，则______.14.已知“”是假命题，则实数m的取值范围为______.15.设，，，则的最小值为______.三、解答题（本大题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题12分已知函数若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；若，求的单调区间．17.本小题12分如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点E为PC的中点．证明：平面PAB；求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18.本小题12分设数列的前n项和为，且，等比数列满足，，求和的通项公式；求数列的前n项和．19.本小题12分已知椭圆的长轴长为4，离心率为求C的方程；设直线l：交C于A，B两点，点A在第一象限，轴，垂足为M，连结BM并延长交C 于点求证：点A在以BN为直径的圆上．20.本小题12分已知函数若，求的极值；证明：当时，答案和解析1.【答案】C【解析】解：空间向量，，若，，求得实数，故选：由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，求得m的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解析】解：，复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选：3.【答案】A【解析】解：解之得：，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：先解出不等式，根据集合的包含关系，判断充要性．本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设第一天走里路，由题意得是首项为，公比为的等比数列，则有，解可得，则；故选：根据题意，设第一天走里路，由题意得是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得，解可得的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，可得p的值．【解答】解：抛物线的准线为，双曲线的焦点坐标为，，由题意可得，解得，故选：6.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，其导数；故选：根据题意，由导数的计算公式直接计算即可得答案．本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：如图，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：，，，，，故选：可分别以直线AB，AD，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可求出E，F，D，的坐标，从而可得出向量的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而得出EF与所成角的余弦值．本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由，得，曲线在点处的切线方程为，即故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程和简单性质，考查计算能力．利用双曲线的渐近线方程求出渐近线斜率，可得，，由的面积为，结合三角函数的诱导公式和二倍角公式可得c，进而求得a，b，可得双曲线方程.【解答】解：双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，渐近线的斜率为：，，所以，，O为坐标原点，若，的面积为，所以，则，解得，，，解得，所以双曲线方程为：故选：10.【答案】D【解析】解：，依题意，对任意恒成立，对任意都成立，令，，则对恒成立，，解得故选：依题意，导函数大于等于0在R上恒成立，令，进而得到对恒成立，由此得解．本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．11.【答案】【解析】解：，故答案为：根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．12.【答案】【解析】解：根据题意，函数，其导数，则，故答案为：根据题意，由导数的计算公式求出，将代入计算即可得答案．本题考查导数的计算，关键掌握导数的计算公式，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：，或时，，函数单调递增，时，，函数单调递减是的极小值点；又a为的极小值点；故答案为：2可求导数得到，可通过判断导数符号从而得出的极小值点，从而得出a的值．考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础试题．14.【答案】【解析】解：“”是假命题，对任意的，恒成立，，对任意的恒成立，，当且仅当即时等号成立，，故答案为：根据特称命题的性质进行求解即可．本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：，，，则，，，，当且仅当时取等号，此时取得最小值故答案为：结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．16.【答案】解：，，由题意可得，，，解可得，，，若，，当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上，的单调增区间．，，减区间【解析】结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解a，b，根据导数与函数单调性的关系即可求解函数的单调区间．本题考查导数的几何意义的应用，函数的单调性的求解，属于基础试题．17.【答案】解：证明：在四棱锥中，平面ABCD，，，以A为原点，过点A作DC的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角系，，，点E为PC的中点．，，，，，，，，，设平面PAB的法向量，则，取，得，，平面PAB，平面解：，，，设平面PCD的法向量，则，取，得，设直线PB与平面PCD所成角的平面角为，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】以A为原点，过点A作DC的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明平面求出平面PCD的法向量，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值直．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：，可得，时，，对也成立，则，；等比数列的公比设为q，满足，，可得，，解得，则；，则数列的前n项和…，…，相减可得…，化简可得【解析】运用数列的递推式计算可得，等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解由题意得：，，，解得：，，所以椭圆C的方程：；联立与椭圆的方程：，所以由题意：，，，，直线BM的方程：，代入到椭圆中整理得：，，，，，，，所以，所以点A在以BN为直径的圆上．【解析】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．由长轴长及离心率和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；直线与椭圆联立求出两根之积，由题意A的坐标得M的坐标进而求出N的坐标，证明直线AN，AB 斜率互为负倒数可得证明出结论．20.【答案】解：，由，令得，令得，故当时，函数在单调递增，在单调递减，，无极小值；证明：令，，则，由知，，且在单调递增，在单调递减，，存在，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，当时，，即，即得证．【解析】求导，得出函数单调性，进而求得极值；令，，只需证明函数在上大于等于0恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，难度不大．。
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天津高二上数学期末考试真题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线22x ﹣y 2＝1的焦点坐标为（ ）A ．（﹣3，0），（3，0）B ．（0，﹣3），（0，3）C ．（﹣3，0），（3，0）D ．（0，﹣3），（0，3） 2．命题“∃x 0∈（0，+∞），使得e ＜x0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈（0，+∞），使得e ＞x0B ．∃x 0∈（0，+∞），使得e≥x0C ．∀x ∈（0，+∞），均有e x ＞xD ．∀x ∈（0，+∞），均有e x ≥x 3．若复数1iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数＝（ ） A ．1+iB ．﹣1+iC ．l ﹣iD ．﹣1一i4．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x 2＞x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设公比为﹣2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝112，则a 4等于（ ） A ．8B ．4C ．﹣4D ．﹣86．已知函数f （x ）＝lnx ﹣212x ，则f （x ）（ ）A ．有极小值，无极大值B ．无极小值有极大值C ．既有极小值，又有极大值D ．既无极小值，又无极大值7．在数列{a n }中，a 1＝3，a n+1＝2a n ﹣1（n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝2n +1 B ．a n ＝4n ﹣1 C ．a n ＝2n +1 D ．a n ＝2n ﹣1+28．在空间四边形ABCD中，向量AB＝（0，2，﹣1），AC＝（﹣1，2，0），AD ＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A．13B．223C．－13D．－2239．已知双曲线2222x ya b＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A．B．C．＝1 D．＝110．已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为．12．已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为．13．已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为．14．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为．15．已知离心率为的椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16．（12分）已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．（Ⅱ）设∁n18．（12分）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．1（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且＝，其中O为坐标原点，求线段AB的长．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13．14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,3417122i i i -==--+. ………….……………6分（Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩ …………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分 当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =. ∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= ……………………………………7分 （Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅11分 ∴5(35)2n n T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分 （Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=， 所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1AB BC B =,∴1AC ⊥平面1ABC . .…………………5分z（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分 ∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分 317,17AC n AC n AC n⋅==……………………11分 显然二面角111B A B C --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --的余弦值为17. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =, ∴2221c a b =-=,………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480m m m =--=->.……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. ……………………7分又∵23OA OB ⋅=. ∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴线段AB 的长为43. ……………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x +≤+.∵，∴当且仅当时，成立.∴. ……………………7分 （Ⅲ）由题意可知，. ……………………8分要判断是否存在零点，只需判断方程在内是否有解，即要判断方程在内是否有解.设, ………………10分 , 可见，当时，在上恒成立. ∴在上单调递减，在上单调递减.∵,∴在和内均无零点. …………………12分。