2012年佛山一模理数

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理 科 数 学本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．172B ．5C ．22D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x AB x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+， 0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________. 10．函数3sin sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.12．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 . 13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .合唱社 粤曲社 书法社 高一45 30 a 高二 15 10 20 CAPB三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.17．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2. （1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角 （锐角）的余弦值.18．（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. （1）求这种灯管的平均使用寿命μ； （2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.19．（本题满分12分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等. （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程； (2) 若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3) 若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.21．（本题满分14分）设*N n ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y x =的交点为1(,)n N y n，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>; (3)设123n n S a a a a =++++,111123n T n =++++,求证:27352n n S n T -<<.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项DBBAABCC二、填空题（每题5分，共30分） 9．30 10．2π 11．1 12．94 13． 3 14．213- 15．π49 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解：（1）∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=…………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分 在△ABC 中，由正弦定理AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==A C a c , 5sin ==aAb b …………………10分三角形面积113sin 58103222S ac B ==⨯⨯⨯=. …………………12分 17． （本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分 由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ …………………………2分 又 PBCB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分PCAC C =， BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥ …………………………7分 （2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=. …………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =. 由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ，即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-. …………………………12分 取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n 则3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>=-， 故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ……………14分 方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . ……………8分 B E F EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ， ∴//CG BEF 平面. ……………9分 同理可证：BEF GM 平面//. 又CGGM G =， ∴//CMG BEF 平面平面.…………10分则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC ∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ …………11分 又PBAB B =，∴CM ⊥平面PAB由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥ 而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线， 又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG ∠∴为二面角A CM G --的平面角 …………12分根据条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM ∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG 故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. …………14分 18．（本题满分13分） 解：（1）∵2(,)N ξμσ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=> …………………3分 由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分 （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=， …………………6分 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则(4,0.2)B η， …………………10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=（写成≈0.18也可以）. …………………13分 19．（本题满分13分）解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分 因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ……………………3分即2222(4)(2)x y x y -+=+-，化简得23y x =-， ……………………4分因此点P 的轨迹方程是23y x =-； ……………………5分 （2）假设这样的Q 点存在，因为Q 点到(22,0)A -点的距离减去Q 点到(22,0)B 点的距离的差为4， 所以Q 点在以(22,0)A -和(22,0)B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………9分 又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解，所以点P 的轨迹上不存在满足条件的点Q . ……………………13分 20．（本题满分14分）解：方法一在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………1分 （1）当2a =时，(1)121f '=-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++= …………3分 （2）①若0a <,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->Q ,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<,(1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. …………6分②若0a =,()ln f x x =有唯一零点1x =. …………7分 ③若0a >,令()0f x '=得: 1x a=. 在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>. 故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分 方法二、函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln xa x=在()0,+∞上无实数解 …………4分令ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'= 由()0g x '=即21ln 0xx -=得：x e = …………6分 在区间(0,)e 上, ()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上, ()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()g x 的极大值为1()g e e=. …………7分 注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分[注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.](3) 设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==Q 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+ 令12x t x =,则1t >,于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. …………12分 设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >, 求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()(1)0g t g ∴>= 即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立. ……………………14分 21．（本题满分14分）解： (1)由点N 在曲线y x =上可得11(,)N n n, ……………………1分 又点在圆n C 上，则2221111(),n n n n R R n n n n++=+==, ……………………2分理科试题参考答案 第 11 页 共 11 页从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………4分 由点11(,)N nn 在直线MN 上得:111n nna n R +=⋅,将1n n R n +=代入 化简得: 1111n a n n=+++. ……………………6分 (2)1111,11n n +>+>,*11,112n n N a n n∴∀∈=+++> ……………………7分 又111111,1111n n n n +>++>+++, 11111111111n n a a n n n n +∴=+++>+++=++ ……………………9分(3)先证:当01x ≤≤时,1(21)112xx x +-≤+≤+. 事实上, 不等式1(21)112x x x +-≤+≤+22[1(21)]1(1)2xx x ⇔+-≤+≤+22212(21)(21)114x x x x x ⇔+-+-≤+≤++222(223)(21)04x x x ⇔-+-≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤. 故当01x ≤≤时, 不等式1(21)112xx x +-≤+≤+成立. 1111(21)112n n n ∴+-≤+<+, ……………………11分 1113221122n a n n n n∴+⋅≤=+++<+(等号仅在n =1时成立) 求和得: 32222n n n n T S n T +⋅≤<+⋅ 273252n n S n T -∴<≤< ……………………14分。