数学模型8

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人教版数学中考专题复习微专题1 “8”字模型及飞镖模型

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【模型分析】因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
例1 观察下列图形,计算:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
由平移可得AC=BF.
如图所示,线段AD,BC相交于点O,结论:
∠BOC是△COD的外角,推出∠OCD+∠ODC=∠BOC.
由①②可得AB+AC>BD+CD.
∵∠BOC是△BOE的外角,
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
【解析】∵OA+OB>AB,①

∴ ∠EAB+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ (∠ECD-∠E)+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ ∠ECD- ∠E+∠E= ∠ECD+∠F.

∴ ∠E=∠F.

∴∠E=2∠F.∵∠E=42°,∴∠F=21°.
随堂测试
由①+②,得 AD+BC< OA+OD+OB+OC.
∴∠D=180°-(∠2+∠4).
练习2 如图,∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2
由飞镖模型,得AB+BF>AD+DF.
∴∠A+∠B+∠BMH+∠ANC+∠1=360°.
∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.
∵BE+EC=BD+DE+EC,DE+EC>CD,

初中数学重难点易错专题相似三角形中的“8”字模型(3种题型)(解析版)

相似三角形中的“8”字模型(3种题型)一、【知识梳理】8字_平行型条件：CD∥AB,结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;四边形ABCD为一般梯形.条件：CD∥AB,PD=PC.结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似)ΔPAD≅ΔPBC左右全等；四边形ABCD为等腰梯形；8字_不平行型条件：∠CDP=∠BAP.结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似);ΔAPD∼ΔBPC(左右相似);二、【考点剖析】8字-平行型1.直接利用“8”字型解题1如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若DE :EC =1:2，则BF :BE =．【答案】3:5．【解析】DE :EC =1:2，可知CE CD =CE AB =23，由CE ⎳AB ，可知BF EF =AB CE=32，故BF :BE =3:5．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型．2如图，P 为▱ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ ∙PI =PR ∙PS ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴RB ⎳DI ，SD ⎳BQ ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PR =PD PB =PS PQ，∴PQ ⋅PI =PR ⋅PS ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．3如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交AD 于点G ．求证：BF 2=FG ∙EF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ⎳CD ，AD ⎳BC ，∴AB ⎳CE ，AG ⎳BC ．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF BF =CF AF=BF FG ，∴BF 2=FG ∙EF ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．4如图，点C 在线段AB 上，ΔAMC 和ΔCBN 都是等边三角形．求证：(1)MD DC =AM CN；(2)MD ∙EB =ME ∙DC ．【解析】证明：(1)∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴∠ACM =∠NCB =∠AMC =60°．∵点C 在线段AB 上，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠NCB =60°=∠AMC ．∴AM ⎳CN ，∴MD DC =AM CN．(2)同(1)易证得CM ⎳BN ，则有ME EB =MC NB．∵ΔAMC 和ΔCBN 是等边三角形，∴MC =AM ，NB =CN ，∴MD DC=ME EB ，∴MD ∙EB =ME ∙DC ．【总结】初步认识相似三角形中的“8”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．5如图，已知AB ⎳CD ⎳EF ．AB =m ，CD =n ，求EF 的长．(用m 、n 的代数式表示)．【答案】mn m +n ．【解析】由AB ⎳CD ⎳EF ，则有EF AB =CF BC ，EF CD =BF BC ，即EF m +EF n =1，得EF =mn m +n．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．6如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，AE EC=13，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求BF :FG 的值．【答案】1:2．【解析】由AF ⎳BC ，可得AF BC =AE EC =13，即AF AD=13，故AF FD =12，由AB ⎳DG ，可得：BF :FG =AF :FD =1:2．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．7如图，l 1⎳l 2，AF :FB =2:5，BC :CD =4:1，求AE :EC 的值．【答案】2:1．【解析】由l 1⎳l 2，得：AG BD =AF FB =25，又BC :CD =4:1，可得AG CD=21，故AE :EC =AG :CD =2:1．【总结】考查相似三角形中“8”字型的综合应用，得到比例关系．2.添加辅助线构造“8”字模型解题8过ΔABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 、E ．求证：AE ED =2AF FB．【解析】过点D 作DG ⎳AB 交CF 于点G ．∵DG ⎳AB ∴AE ED =AF GD ，DG BF =CD CB ；∵AD 是中线，　∴BC =2CD ，　∴DG BF =12；∴AE ED =2AF BF．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．9如图，AD 是ΔABC 的内角平分线．求证：AB AC=BD DC ．【解析】过点C作CM⎳AB交AD的延长线于点M．∵CM⎳AB　∴AB CM=BDDC，∠BAD=∠M∵AD是角平分线∴∠BAD=∠DAC；∴∠M=∠DAC∴AC=CM∴AB AC=BD DC．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．8字-不平行型1如图，∠BEC=∠CDB，下列结论正确的是()A.EF•BF=DF•CFB.BE•CD=BF•CFC.AE•AB=AD•ACD.AE•BE=AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC=∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC=∠CDB，∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EF DF=FB FC，∴EF•FC=DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴BE CD=BF FC，∴BE•CF=CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC=∠CDB，∠BEC+∠AEC=180°，∠BDC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴AB AC=AD AE，∴AB•AE=AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．1.【过关检测】一、选择题(共3小题)1(2023•静安区校级一模)如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是()A. B. C. D.【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，==，∴DG=AG，∵BG：EG=AB：DE=2：1，∴GB：BE=2：3，∴S△AGB：S△AEB=2：3，∵AE=EC，∴S△AEB=S△ABC，∴S△AGB=S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴==，∴S △CDE =S △ABC ，∴=，结论成立的是=，故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．2(2023•徐汇区一模)如图，点D 在△ABC 边AB 上，∠ACD =∠B ，点F 是△ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且AF =2EF ，则下列选项中不正确的是()A. B. C. D.【分析】过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，由条件可以证明△ACF ≌△GCE (ASA )，得到AF =EG ，CF =CE ，由△ADF ∽△GCF ，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．【解答】解：过C 作CG ∥AB 交AE 延长线于G ，∴∠G =∠BAE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，∴∠G =∠CAE ，∴CG =CA ，∵∠ACD =∠B ，∠ECG =∠B ，∴∠ACF =∠ECG ，∴△ACF ≌△GCE (ASA )，∴CF =CE ，AF =EG ，∵AF =2FE ，∴EG =2FE ，令EF =k ，则AF =EG =2k ，AE =GF =3k ，∵△ADF∽△GCF，∴AD：CG=AF：FG=2k：(3k)=2：3，∴=，故A正确．∵AB∥CG，∴CE：BE=GE：AE=2k：(3k)=2：3，∴=，故B正确．∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴==，故C正确．∵=，AC和BD不一定相等，∴不一定等于．故选：D．【点评】本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．3(2022秋•闵行区期末)如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB．如果==3，且量得CD=4cm，则零件的厚度x为()A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵==3，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=2，∵CD=4cm．∴AB=8cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-8)÷2=1(cm)，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．二、填空题(共8小题)4(2022秋•奉贤区期中)如图，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若，BC=8，则AE的长为4．【分析】由AE∥BC，可得△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD推出==，又有BC的值，再由==1，得出AE=CF，代入即可求解AE的长．【解答】解：∵AE∥BC，∴△AEG∽△BFG，△AED∽△CFD，∴==，==1，即AE=CF，又BC=8，∴=AE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．5(2022•浦东新区校级模拟)如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC=2：3，设=，试用向量表示向量，=-　．【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ACB，由DE：BC=2：3，可得DA=CD，即可表示，从而得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∵DE：BC=2：3，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=-，故答案为：-．【点评】本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．6(2022•静安区二模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，AO：OC=1：4，设=，那么=　．(用含向量的式子表示)【分析】由相似三角形性质可得=4=4，再根据梯形中位线定理即可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=4=4，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴=(+)=(+4)=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，平面向量等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．7(2023•静安区校级一模)在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF=　-1．【分析】先根据黄金分割的定义可得=，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF=AE，从而可得=，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，∴==，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF=AE，∴=，∵DC∥AB，∴∠FCP=∠PAE，∠CFP=∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴==，∵PE=2，∴PF=-1，故答案为：-1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．8(2022春•浦东新区校级期中)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是2：3．【分析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，根据已知易得DM=BN，再根据S△BCD=2S△ABD，从而可得BC=2AD，然后再证明8字模型相似三角形△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质可得==，从而可得=，最后根据△BOC与△BDC 的高相等，即可解答．【解答】解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点B作BN⊥AD，交DA的延长线于点N，∵AD∥BC，∴BN=DM，∵S△BCD=2S△ABD，∴BC•DM=2×AD•BN，∴BC=2AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∴△AOD∽△COB，∴==，∴=，∵△BOC与△BDC的高相等，∴==，故答案为：2：3．【点评】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2022秋•虹口区校级月考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，点E为边BC的中点，点F在边CD上且3CF=CD，EF交对角线AC于点G，则AG：GC=7：2．【分析】如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，首先利用AD∥BC，，点E 为边BC的中点，可以得到AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，然后利用MH∥EF，DH：HF= DM：ME=3：2=6：4，最后利用又3CF=CD即可求解．【解答】解：如图，连接DE，交AC于M，过M作MH∥EF交CD于H，∵AD∥BC，，点E为边BC的中点，∴△ADM∽△CME，∴AD：EC=AM：CM=DM：ME=3：2，∵MH∥EF，∴DH：HF=DM：ME=3：2=6：4，又3CF=CD，∴DF=2CF，∴CF：HF=5：4，∴CG：MG=5：4，∴CG=CM，MG=CM，而AM：CM=3：2，∴AM=CM，∴AG=AM+MG=CM，∴AG：GC=CM：CM=7：2．故答案为：7：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质于判定，同时也利用了平行线的性质，解题的关键是会进行比例线段的转换，有一定的难度．10(2022秋•黄浦区期末)如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB．如果==，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．的值．【解答】解：∵==，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD=3，∵CD=3cm．∴AB=9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：(10-9)÷2=0.5(cm)，故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．11(2022春•闵行区校级月考)如图，梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥CD，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果AB=4，且=，那么梯形ABCD的中位线等于7．【分析】过点B作BG⊥EC，利用同高的两个三角形的面积的比先求出EF：BF，再利用相似三角形的性质求出ED、EG，最后利用梯形中位线与上下底的关系得结论．【解答】解过点B作BG⊥EC，垂足为G∵=，∴=．∵AB∥CD，∴△EDF∽△BAF．∴==，∴ED=2，=．∵AD∥BG，∴=．∴EG=6．∵CB绕着点B按顺时针方向旋转，点C落在CD延长线上的点E处，∴BE=BC．∵BG⊥EC，∴EG=GC=6．∴DC=DG+CG=4+6=10．∴梯形ABCD的中位线=(AB+CD)=(4+10)=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握等腰三角形的三线合一、等高的两个三角形的面积比等于底边的比、梯形的中位线等于上下底的和的一半是解决本题的关键．三、解答题(共12小题)1(2023•普陀区一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD=1：3．(1)求的值；(2)联结FC，设，，那么= ，= .(用向量、表示)【分析】(1)根据题意可证明四边形AECD为平行四边形，得到AE=CD，则EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，易证明△BEF∽△DAF，由相似三角形的性质即可求解；(2)由AF=2EF得，，由三角形法则求出和，再求出，最后利用三角形法则即可求出．【解答】解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE=CD，∵EF：CD=1：3，∴EF：AE=1：3，EF：AF=1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；(2)联结FC，如图，由(1)可得AF=2EF，∵，∴，，∴=，=，∵，AD=EC，∴，∴==，∴==．故答案为：，．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．2(2023•奉贤区一模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD=∠BDC．(1)求证：AE•BD=AD•DC；(2)如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【分析】(1)利用平行线的性质证明∠ADB=∠DBC，然后利用已知条件可以证明△ADE∽△DBC，由此即可解决问题；(2)利用(1)的结论和已知条件可以证明△DEF∽△DBC，接着利用相似三角形的在即可求解．【解答】证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠EAD=∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD=DC：BD，∴AE•BD=AD•DC；(2)∵AE：AD=DC：BD，且，∴=，而∠EDF=∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF=∠DBC，∴EF∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行线的性质，比例的基本性质，有一定的综合性．3(2023•青浦区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF=2AF．(1)求EA：AB的值；(2)如果，，试用、表示向量．【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，易证△AEF∽△DCF，则=，由DF=2AF即可求解；(2)先算出，再根据即可求解．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF=2AF，∴，∴；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DF=2AF，∴，∵，，∴，，∴．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键．4(2022秋•金山区校级期末)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC 分别相交于点F、G，AF2=FG•FE．(1)求证：△CAD∽△CBG；(2)联结DG，求证：DG•AE=AB•AG．【分析】(1)通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG=∠E，由平行线的性质可得∠E=∠EBC=∠FAG，且∠ACD=∠BCG，可证△CAD∽△CBG；(2)由相似三角形的性质可得=，且∠DCG=∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得=，由平行线分线段成比例可得=，可得结论．【解答】证明：(1)∵AF2=FG⋅FE．∴=，∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG=∠E，∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC，∴∠EBC=∠FAG，∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG；(2)∵△CAD∽△CBG，∴=，∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴=，∵AE∥BC，∴=，∴=，∴=，∴DG•AE=AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5(2022•松江区二模)已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．(1)求证：；(2)如果BE2=BF•BD，求证：DF=BE．【分析】(1)根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB=∠EBC，=，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得=，即可解答；(2)根据已知易证△BFE ∽△BED ，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF =∠BDE ，进而可得∠DAF =∠BDE ，然后利用(1)的结论可证△ADF ≌△DBE ，再利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：(1)∵DA =DB ，EB =EC ，∴=，∵∠ADB =∠BEC ，∴△DAB ∽△EBC ，∴∠DAB =∠EBC ，=，∴AD ∥EB ，∴∠DAF =∠AEB ，∠ADF =∠DBE ，∴△ADF ∽△EBF ，∴=，∴；(2)∵BE 2=BF •BD ，∴=，∵∠DBE =∠EBF ，∴△BFE ∽△BED ，∴∠BEF =∠BDE ，∵∠DAF =∠AEB ，∴∠DAF =∠BDE ，∵∠ADF =∠DBE ，AD =DB ，∴△ADF ≌△DBE (ASA )，∴DF =BE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6(2023•宝山区二模)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，OB =OC ．(1)求证：AB =CD ；(2)E 是边BC 上一点，联结DE 交AC 于点F ，如果AO 2=OF •OC ，求证：四边形ABED 是平行四边形．【分析】(1)由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB 和△DOC 全等，利用全等三角形的性质得结论；(2)先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：(1)∵OB=OC，∴∠DBC=∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC．∴∠DAC=∠ADB．∴OA=DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(SAS)．∴AB=CD．(2)∵AO2=OF•OC，OA=OD，OC=OB，∴AO•OD=OF•OB，即．∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO=∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．7(2022秋•徐汇区期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2=BE•BD．(1)求证：△ABE∽△DCE；(2)AE•CD=BC•ED．【分析】(1)根据相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC=∠BDC，由此可得出△ABE ∽△DCE；(2)由(1)中的相似可得出AE：DE=BE：CE，再由∠BEC=∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，可得△BCD∽△ADE，进而可得结论．【解答】证明：(1)∵AB2=BE•BD，∴AB：BE=BD：AB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC=∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=∠BAC，∴△ABE∽△DCE；(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE，∵∠BEC=∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD=∠EBC，∠ADE=∠BDC=∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE=CD：ED，AE•CD=BC•ED．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与安定，涉及A字型相似，8字型相似等相关内容，熟练掌握相关判定是解题关键．8(2022春•杨浦区校级期中)如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E=∠ABC．(1)求证：AB2=AC•AE；(2)如图2，D在BC上且BD=3CD，延长AD交BE于F，若=，求的值．【分析】(1)利用两角相等的两个三角形相似，证明△ABC∽△AEB，然后利用相似三角形的性质即可解答；(2)过点E作EH∥CB，交AF的延长线于点H，利用(1)的结论可得===，先AC=2a，AB=3a，从而求出AE的长，进而求出的值，再根据已知设CD=m，BD=3m，从而求出BC，BE的长，然后证明A字模型相似三角形△ACD∽△AEH，利用相似三角形的性质可得EH=m，再证明8字模型相似三角形△BDF∽△EHF，利用相似三角形的性质可得=，从而求出EF的长，进行计算即可解答．【解答】(1)证明：∵∠E=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△AEB，∴=，∴AB 2=AC •AE ；(2)解：过点E 作EH ∥CB ，交AF 的延长线于点H ，∵△ABC ∽△AEB ，∴===，∴设AC =2a ，AB =3a ，∴=，∴AE =a ，∴==，∵BD =3CD ，∴设CD =m ，则BD =3m ，∴BC =CD +BD =4m ，∴=，∴EB =6m ，∵EH ∥CD ，∴∠ACD =∠AEH ，∠ADC =∠AHE ，∴△ACD ∽△AEH ，∴==，∴EH =m ，∵EH ∥BD ，∴∠BDF =∠DHE ，∠DBF =∠FEH ，∴△BDF ∽△EHF ，∴===，∴EF =BE =m ，∴==，∴的值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9(2023•崇明区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．(1)求证：AG2=GF•GM；(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴=，=．∴=．∴AG2=GF•GM．(2)∵AB∥DM，∴∠BAG=∠M．∵∠BAG=∠BCG，∴∠M=∠BCG．∵∠MGC=∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴=，即CG2=GF•GM．∵AG2=GF•GM，∴CG2=AG2．∴CG =AG ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE =CE ．∴GE ⊥AC ，即BD ⊥AC ．∴平行四边形ABCD 是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．10(2021秋•虹口区期末)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，BC =2AD ，对角线AC 与BD 交于点E ．点F 是线段EC 上一点，且∠BDF =∠BAC ．(1)求证：EB 2=EF •EC ；(2)如果BC =6，sin ∠BAC =，求FC 的长．【分析】(1)先由AD ∥BC 得到△EAD ∽△ECB ，从而得到，然后由∠BDF =∠BAC 、∠AEB =∠DEF 得证△EAB ∽△EDF ，进而得到，最后得到结果；(2)先利用条件得到AC 、AB 的长，然后利用BC =2AD 得到AD 、BD 的长，再结合相似三角形的性质得到EB 、EC 的长，进而得到EF 的长和FC 的长．【解答】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴△EAD ∽△ECB ，∴，即，∵∠BDF =∠BAC ，∠AEB =∠DEF ，∴△EAB ∽△EDF ，∴，∴，∴EB2=EF•EC．(2)解：∵BC=6，sin∠BAC==，BC=2AD∴AC=9，AD=3，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴AB===3，∴BD===3，∵△EAD∽△ECB，∴，∴EC=AC=×9=6，EB=BD=×3=2，∵EB2=EF•EC，即(2)2=6EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点评】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知“8”字模型相似三角形的判定与性质．11(2021秋•嘉定区期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10．求EH、GE的长．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∠DEC=∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC=4DE，∴，∵CE=10，∴HC=10-EH，∴，∴EH=2，∵BC=4DE，DE：AE=2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE=∠GBC，∠GEA=∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE=10，∴GC=10+GE，∴，∴GE=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5，点D为射线AB上一动点，且BD<AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．(1)当点D在边AB上时，①求证：∠AFC=45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；(2)联结CE、BE，如果S△ACE=12，求S△ABE的值．【分析】(1)①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∠ACE=90°-2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH=DH=BD，再根据CH+BH=BC=5，建立方程求解即可；(2)分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：(1)①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC=BC，∠ECF=∠BCF，设∠ECF=∠BCF=α，则∠BCE=2α，∴∠ACE=90°-2α，∵AC=BC，∴AC=EC，∴∠AEC=∠EAC=[180°-(90°-2α)]=45°+α，∵∠AEC=∠AFC+∠ECF=∠AFC+α，∴∠AFC=45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由(1)知：∠AFC=45°，∴∠BEF=45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG=∠DBC=45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G=∠BCD=∠BAG，∵∠G+∠BAG=∠ABC=45°，∴∠G=∠BCD=22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BD，BH=BD，∠BHD=45°，∵∠CDH=∠BHD-∠BCD=45°-22.5°=22.5°=∠BCD，∴CH=DH=BD，∵CH+BH=BC=5，∴BD+BD=5，∴BD==5-5，∴线段BD的长为5-5；(2)Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，∴①AM2+CM2=AC2=25，∵S△ACE=AE•CM=12，∴②AM•CM=12，①+②×2，得：(AM+CM)2=49③，①-②×2，得：(AM-CM)2=49③，∵CM>AM>0，∴AM=3，CM=4，∴AE=6，由(1)知：∠AFC=45°，BE⊥CF，∴∠BEF=45°，∵∠AFC=∠ABC=45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB=180°，∴∠AFB=90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，设EF=BF=x，则AE=x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(x+6)2+x2=50，解得：x=1或x=-7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×6×1=3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由(1)知：∠AFC=45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF=45°，BF=EF，∴∠EBF=∠BEF=45°，∴∠BFE=90°，∵AC=EC=BC=5，∴AM=EM=AE，与Ⅰ同理可得：AM=EM=4，CM=3，AE=8，设BF=EF=y，则AF=8-y，在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴(8-y)2+y2=50，解得：y=1或y=7(舍去)，∴BF=1，∴S△ABE=AE•BF=×8×1=4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．。

2020年中考数学几何复习课件：八字模型模型(19张ppt)

八字形模型秒杀技巧
4.如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
5：如图，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，求证：∠P= 1 (∠A+∠C) 2
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
8.如图，BP平分∠ABC交CD于F，DP平分∠ADC交AB于E，AB与CD相交于G，如果 ∠A=42°，∠C=38°，求∠P的度数
构造“8”字形
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D
∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
八字形模型秒杀技巧
1.如图，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB. （1）求证：∠A+∠D=∠C+∠B；（2）若∠A=40°，∠C=60°，则∠D-∠B= ；（3）若∠C=α，∠A=β（α＞β），则∠D-∠B= .
秒杀技巧： ∠A+∠B=∠C+∠D ∠D-∠B=∠C-∠A
A
D O
C B
若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接 AB、DC， △AOB∽△DOC相似吗？为什么？
八字倒角（共边等角，一等三等、四点共圆）：如图：如果∠BAC与∠BDC； ∠DAC与∠DBC； ∠ABD与∠ACD ∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？（学了圆，理解、记忆更容易）

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°）练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 4321AD模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．（2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．CAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

数学8字模型定理

数学8字模型定理数学是一门严密而精确的科学，其中有许多重要的定理被广泛应用于各个领域。

其中之一就是数学8字模型定理，它是一条关于数学运算的基本原理。

本文将对该定理进行详细介绍，并探讨其应用。

数学8字模型定理可以简单概括为“横平竖直斜，前后左右对称齐”。

这句话看似简单，实则蕴含着丰富的数学内涵。

在这句话中，“横平竖直斜”是指在平面几何中的四种基本方向，而“前后左右对称齐”则是指对称性。

下面我们将详细解释这句话的含义以及其在数学中的应用。

我们来看“横平竖直斜”。

这是指在平面几何中，物体可以沿着四个基本方向运动或变换，即水平方向、垂直方向、左斜方向和右斜方向。

这四个方向是平面几何中最基本的概念，它们构成了平面上的直线和曲线。

在数学中，直线和曲线是研究几何形状和变换的基础。

通过对这四个方向的研究，我们可以推导出许多重要的几何定理。

比如，在平面上的两条直线如果垂直相交，那么它们的斜率乘积为-1；如果两条直线平行，那么它们的斜率相等。

这些定理都是基于“横平竖直斜”的基本概念得出的。

接下来，我们来看“前后左右对称齐”。

这是指物体在空间中可以以某种轴或面为中心进行对称变换，使得变换前后的物体保持形状和大小不变。

对称性在数学中起着重要的作用，它是许多定理和问题的基础。

在几何中，对称性可以分为平面对称和轴对称两种。

平面对称是指物体在某个平面上对称，如镜像对称；轴对称是指物体围绕某条轴旋转180度后保持不变，如正方形的对角线。

通过对对称性的研究，我们可以推导出许多重要的定理。

比如，平面上的任意三角形都可以通过某种对称变换得到等边三角形；任意多边形的内角和等于180度等等。

数学8字模型定理的应用非常广泛。

在几何中，它可以用来研究图形的性质和变换规律。

在代数中，它可以用来解方程和推导等式。

在概率论和统计学中，它可以用来分析事件的可能性和相关性。

在计算机科学中，它可以用来设计算法和优化问题。

数学8字模型定理是一条关于数学运算的基本原理，它描述了数学中的基本方向和对称性。

【高中数学】函数模型及其应用

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

初中数学解题模型专题讲解1---8字型

初中数学解题模型专题讲解专题1 8字模型模型模型 1 1 角的角的角的““8”字模型字模型如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。

结论：∠A+∠D=∠B+∠C。

证明：在△AOD 和△BOC 中，∠AOD=∠BOC（对顶角）又∵∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC=180°∴∠A+∠D=∠B+∠C模型分析8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _____；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _____。

模型精练模型精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=____ ；（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= ______。

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_____ 。

模型模型 2 2 边的边的边的““8”字模型字模型如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。

结论：AC+BD>AD+BC。

证明：在△AOD 中，AO+OD>AD在△BOC 中，BO+OC>BC∴AC+BD=(A0+OC)+(B0+OD)>AD+BC∴AC+BD>AD+BC模型实例如图，四边形 ABCD 的对角线求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC （2）AB+BC+CD+AD<2A模型3 3 相似相似8字模型字模型（（⑴ 如图8型，对顶角的对边平⑵ 如图反8型，对顶角的对边已知：∠1=∠2，结论：△ADE∽△ABC证明：如图∠1=∠2，又∠ ∴∠E=∠C（∠D=∠ ∴△ADE∽△ABC（AAA模型分析模型分析在相似三角形的判定中，我们相似，后面会讲到），在做题以下题目由沈阳数学高老师提对角线 AC、BD 相交于点 O。

AD>AC+BD；AD<2AC+2BD.又称X 字型）对边平行，则△ADE∽△ABC ；的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC∠DAE=∠BAC（对顶角）∠B）AAA）我们常通过作平行线，从而得到8字形相似（有时在做题时，我们也常常关注题目中由平行线产生的老师提供ABC . 有时得到A 字形产生的相似三角形。

飞镖、8字模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于 180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【变式1-2】．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，∠ABC +∠ACB ＝100°，则∠BIC 的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是度．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是．实战演练1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝．（用α，β表示）6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝度．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB 分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．。

数学建模万能模板8模型的进一步讨论和改进

七、模型改进方向改进方向一：对于问题二的求解，我们提出了另外一个求解方法。

在问题二中，若全力造房，即每月建房33套，总建房数为33⨯6=198(套)，比预计新建房18749236=-多建11套。

我们设在i 月份中的建房数目比33少i X 套，则有1161=∑=i i X结合前面模型建立部分的约束条件，同样可以求出最优月建造计划。

改进方向二：我们的模型是线性规划模型，本题涉及到六个月的建造计划，我们在假设的时候，将一个月作为一个建造周期。

我们可以从另外一个角度考虑，这实际上也是一个多阶段规划问题。

多阶段规划属于离散动态优化问题，动态规划模型是解决这类问题的有效方法。

我们要解决的建造计划问题就是这类问题，可以将它转化为典型的动态优化模型—最短路问题。

最短路问题为了更好的解决这类问题，我们将6个月的建房计划问题化为最短路问题，最短路线问题有这样的特点，如果最短线路在第K 站通过点，则这一线路在由出发到达终点的那一部分线路，对于从点到达终点的所有可能选择的不同线路来说，必定也是距离最短的。

最短线路问题的这一特性启示我们：以一个月为一个建造周期，从最后一个周期向前逐步推进，求出各月到最后的最短路线，最终求得从1月到6月的最短路线。

八、模型的进一步讨论和改进8.1 回归模型对教材满意度权重的确定在本文中，我们考虑调查问卷中：教材内容新颖，保持学术前沿水平(Q2l1)；教材的作者是相应领域的权威，所以课程理论基础扎实(Q2l2)；教材印刷及排版质量(Q2l3)；教材价格(Q2l4)四项指标在材材满意度中的权重，为了问题的简化，我们人为取Q211的权重系数为0.1，Q212的权重系数为0.2，Q213的权重系数0.2，Q214的权重系数为0.5。

这样的权重没有牢固的理论背影及依据，因此,基于教材满意度的调查数据,建立一个有效的教材满意度回归模型,实现教材满意度影响因素Q211，Q212，Q213，Q214的合理匹配,对于挖掘教材强势点,提高新教材出版的针对性具有十分重要的意义。

部编数学八年级上册全等变化模型一8字全等模型(解析版)含答案

全等变化模型一 8字全等模型【模型展示】【模型条件】如图，直线21l l ∥，OMON =【模型结论】DNO BMO DNO BMO CDO ABO △，△△，△△△≅≅≅ .HGO EFO NHO MEO △，△△△≅≅【模型解析】从变化方式的角度分析，8字全等模型可以看成是两个全等三角形绕三角形的一个顶点旋转180°而得；从图形的结构分析，8字全等模型是由两条平行线和平行线间的中点组成的.【知识链接】三线八角，对顶角相等【模型总结】①当两条平行线间出现中点时，一般都会形成全等；②在运用和求证线段中点时，可以尝试构造8字全等来解决。

③倍长中线是8字全等最常见的运用，在三角形中线问题经常采用此方法处理。

.【模型巩固】【例1-1】如图，BD 是ABC D 的中线，6AB =，4BC =，求中线BD 的取值范围．【解答】解：如图所示，延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ，BD Q 是ABC D 的中线，AD CD \=，在ADE D 和CDB D 中，AD CD ADE CDB BD ED =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE CDB SAS \D ≅D ，AE BC \=，在ABE D 中，有AB AE BE AB AE -<<+，即2210BD <<，15BD \<<．【例1-2】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AM ⊥BC 于点M ，点D 在AM 上，且DM ＝CM ，F 是BC 的中点，连接FD 并延长，在FD 的延长线上有一点E ，连接CE ，且CE ＝CA ，∠BDF ＝36°，求∠E 的度数．【分析】先证明△AMC ≌△BMD ，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG ．再证△BFG ≌△CFE 可得BG ＝CE ，∠G ＝∠E ，从而得BD ＝BG ＝CE ，即可得∠BDG ＝∠G ＝∠CEF ．【解答】解：∵∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，∴∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，在△BMD 和△AMC中，，∴△BMD≌△AMC（SAS），如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，∴∠E＝36°．【例1-3】如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．∵∠D＝∠ABD＝90°，∴∠CDB+∠ABD＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAO＝∠E，在△ABO和△EDO中，，∴△ABO≌△EDO，∴AO＝OE，AB＝DE，∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，∴CA＝CE，∵OA＝OE，∴OC平分∠ACD．（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠E＝∠BAE，∴∠CAO＝∠OAB，∴OA平分∠CAB，∵CA＝CE，OA＝OE，∴CO⊥AO．【例1-4】如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN ＝∠ACF ，又∵AB ＝AC ，∴△ABN ≌△ACF （SAS ），∴AF ＝AN ，∵AG ＝NG ＝AN ，∴AF ＝2AG ．【例1-5】如图，在等边三角形ABC 中，点P 为AC 边上一动点（点P 不与A 、C 重合），延长AB 至点N ，使CP BN =，连接PN 交BC 于点D ，PH BC ^于点H ．①求证：DP DN =； ②探究DH 与AB 的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：过点P 作//PQ AB ，交BC 于点Q ，如图所示：在等边ABC D 中，60A ACB C Ð=Ð=Ð=°，//PQ AB Q ，60CPQ A \Ð=Ð=°，60CQP ABC Ð=Ð=°，QPD N Ð=Ð，CPQ \D 是等边三角形，CP PQ \=，CP BN =Q ， PQ BN \=，在QDP D 和BDN D 中，QDP BDN QPD NPQ NB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()QDP BDN AAS \D ≅D ，PD DN \=；（2）解：12DH AB =．理由如下：CPQ D Q 是等边三角形，且PH BC ^，CH HQ \=，QDP BDN D ≅D Q ，QD BD \=，12DH HQ QD BC \=+=，BC AB =Q ，12DH AB \=．【模型拓展】【拓展1-1】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，若AB ＝13，AC ＝9，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，容易证得△ADC ≌△EDB ，再由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 2＜AD ＜11　．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且∠FAE ＝∠AFE ．若AE ＝4，EC ＝3，求线段BF 的长．（3）【拓展提升】如图3，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．求证：BE +CF ＞EF ．【分析】（1）先判断出△ADC ≌△EDB （SAS ），得出BE ＝AC ＝9，最后用三角形的三边关系计算；（2）延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，证明△ADC ≌△MDB ，根据全等三角形的性质解答；（3）延长ED 到点G ，使GD ＝ED ，连接CG 、GF 、EF ，先证明△CDG ≌△BDE ，得CG ＝BE ，根据三角形的三边关系得CG +CF ＞GF ，则BE +CF ＞GF ，由DF 垂直平分EG 得GF ＝EF ，所以BE +CF ＞EF ．【解答】（1）解：延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4＜AE＜22∴2＜AD＜11，故答案为：2＜AD＜11．（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵∠AFE＝∠AEF，∴AE＝EF＝4，∴AC＝AE+CE＝7，∴BM＝AC＝7，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF＝7；（3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF，∵D是BC边上的中点，∴CD＝BD，在△CDG和△BDE中，，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG＝BE，∵CG+CF＞GF，∴BE+CF＞GF，∵DE⊥DF，GD＝ED，∴DF垂直平分EG，∴GF＝EF，∴BE+CF＞EF．=，【拓展1-2】如图1，在Rt ABCABCD中，90Ð=°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD AB =，连接BD、BE．CE CBÐ的度数；（1）求EBD^于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得（2）如图2，过点D作FD BD=，连接FH、FG，求证：BH BC=，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD CD=．FH FG【解答】解：（1）如图1中，AB AD =Q ，CB CE =，ABD ADB \Ð=Ð，CBE CEB Ð=Ð，2180A ADB Ð+Ð=°Q ，2180C CEB Ð+Ð=°，22360A ADB C CEB \Ð+Ð+Ð+Ð=°，90ABC Ð=°Q ，90A C \Ð+Ð=°，135CEB ADB \Ð+Ð=°180()45EBD ADB CEB \Ð=°-Ð+Ð=°．（2）如图2中，延长BD 到M ，使得DM BD =．DG GC =Q ，BDC MDG Ð=Ð，BD DM =，BDC MDG \D ≅D ，BC MG \=，CBD DMG Ð=Ð，BH BC =Q ，BH MG \=，90ABC Ð=°Q ，45DBF Ð=°，45CBD FBH \Ð+Ð=°，DF BD ^Q ，DF BD DM \==，45GMF DMG \Ð+Ð=°，FBH GMF \Ð=Ð，DF BM ^Q ，BD DM =，FB FM \=，，HBF GMF \D ≅D．【拓展1-3】如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 边上，连接AD 、AE ，AD ＝AE ；（1）求证：BD ＝CE ；（2）如图2，F 为AE 上一点，连接DF 、CF ，若DF ＝CF ，∠DAE ＝60°，求证：AF ＝CE ．（3）如图3，在（2）的条件下，N 为DE 上一点，连接AN ，∠BAD ＝2∠DAN ，M 为DF 中点，连接AM ，若AM ＝6，AF ＝5，求EN 的长．【解答】（1）证明：如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于点H ．∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ，DH ＝EH ，∴BD ＝CE ，∴BD +DE ＝EC +DE ，即BE ＝CD ；（2）证明：过点F 作FT ∥DE 交AD 于点T ．∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵FT ∥DE ，FH FG \=∴∠ATF＝∠ADE＝60°，∠AFT＝∠AED＝60°，∴△AFT是等边三角形，∴AT＝AF＝FT，∵AD＝AE，∴DT＝EF，∵FD＝FC，∴∠FDC＝∠FCD＝∠DFT，∵∠DTF＝∠CEF＝120°，∴△FTD≌△CEF（AAS），∴FT＝CE，∴AF＝EC；（3）解：如图3中，延长AM到Q，使得MQ＝AM，则AQ＝2AM＝12，设∠DAN＝α，则∠BAD ＝∠CAE＝2α．∴∠B＝60°﹣2α，∴∠CNA＝∠B+∠BAN＝60°﹣2α+3α＝60°+α，∠CAN＝∠CAE+∠EAN＝2α+60°﹣α＝60°+α，∴∠CNA＝∠CAN，∴CN＝CA，∵MA＝MQ，∠AMF＝∠QMD，MF＝MD，∴△MAF≌△MQD（SAS），∴AF＝DQ，∠MAF＝∠Q，∴DQ∥AE，∴∠ADQ＝180°﹣∠DAE＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠ADB＝∠ADQ＝120°，∵BD＝EC＝AF＝5，∴DB＝DQ，∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADQ（SAS），∴AB＝AQ＝12，∴AC＝AB＝CN＝12，∴EN＝12﹣5＝7．。

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

初中数学常见模型
8字模型与飞镖模型
模型1：角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。结论：∠A+∠D=∠B+∠C
A
D
O
B
C
模型分析：8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
模型实例：
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D =
。
A
E
135O
C
B
图① D
F
D
105O A
C 120O
B
图②
模型3 边的“8”字模型
A
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。
B
结论：AC+BD>AD+BC。
D O
C
典例精选
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=

中考数学几何模型专题15三角形之“8”字模型(老师版)知识点+例题

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题15三角形之“8”字模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．模型2 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC ．模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.C ADOD CB A【例1】（2021•西湖区校级三模）如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE＝CE．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的长．【分析】（1）先由AB∥CF得到∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，然后结合AE＝CE得到△ADE≌△CFE；（2）由AB∥CF得到△GBD∽△GCF，然后由相似三角形的性质得到CF的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CF，∴∠F＝∠ADE，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）解：∵AB∥CF，∴△GBD∽△GCF，∴，∵GB＝4，BC＝6，∴GC＝GB+BC＝10，∵BD＝2，∴，∴CF＝5．【例2】（2021秋•阜阳月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD，从而得出∠BAD＝∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE，进而可以解决问题；（2）结合（1）证明∠COF＝∠BAC＝48°，进而可以解决问题；（3）连接AO，证明△ADO≌△AEG，可得AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，然后证明∠COF＝∠OAG，根据AG∥BD，可得∠AOF＝∠OAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AFB＝∠CFO，∴∠COF＝∠BAC＝48°，∴∠COD＝180°﹣∠COF＝180°﹣48°＝132°，答：∠COD的度数为132°．（3）证明：如图，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠AEC，∵AD＝AE，GE＝OD，在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS），∴AG＝AO，∠DAO＝∠EAG，∵AG＝OC，∴OA＝OC，∵∠OAG＝∠DAO+∠DAG，∴∠OAG＝∠EAG+∠DAG＝∠DAE＝∠BAC，由（2）知：∠COF＝∠BAC，∴∠COF＝∠OAG，∵AG∥BD，∴∠AOF＝∠OAG，∴∠COF＝∠AOF，∵OA＝OC，∴BD⊥AC．【例3】（2020秋•青岛期末）阅读材料，回答下列问题：。

八年级上册数学期末复习：几何常用模型

八年级几何模型整理一．几种常见的三角形角度模型1.“8”字模型结论：∠A+∠D=∠B+∠C。

模型分析：8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到【例1】如图①，线段AB\CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图①的图形称之为“８字形”。

如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图①中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系______；（2）应用（1）的结果，猜想∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。

2.飞镖模型如图所示角度结论：∠D=∠A+∠B+∠C。

长度结论：AB+AC >BD+CD模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到1.如图,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE、CF交于G,若∠BDC=140∘,∠BGC=110∘，则∠A=___.2.如图∠A＝70°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.【例2】（1）如图①，在△ABC中，∠A=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。

求∠BPC 的度数；（2）如图②，若BP、CP分别为△ABC的外角∠ABC、∠ECB的平分线，且∠A=50°，求∠BPC的度数；（3）如图③，若CP平分∠ACE，BP是∠ABC的平分线，∠A=50°求∠P。

【方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结论：（1）如图①，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点（即三角形两内角平分线相交所成的角），则∠P＝90°＋∠A；（2）如图②，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点（即三角形一内角平分线和一外角平分线相交所成的角），则∠P＝∠A；（3）如图③，若点P是∠CBF和∠BCE的平分线的交点（即三角形两外角平分线相交所成的角），则∠P＝90°－∠A．3.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60，则BM=CN；②如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108，则BM=CN；任务要求：(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索：ⅰ、如图d,在正n(n⩾3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)ⅱ、如图e,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立。

角度计算的经典模型(八大题型)(解析版)-初中数学

角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．【答案】110°【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．先根据三角形的内角和定理得到∠ACB 的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD 的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =80°，∠B =60°，∴∠ACB =180°-∠CAB =∠B =180°-80°-60°=40°，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ECD =12∠ACD =12×40°=20°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，∴∠AEC =∠ADC +∠ECD =90°+20°=110°．3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 边上一点，BE 与AD 交于点F ，若∠ABC =45°，∠BAC =75°，∠BFD =60°，求∠BEC 的度数．【答案】90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠C ，然后求出∠DBF ，进而得出答案．【详解】∵∠ABC =45°,∠BAC =75°，∴∠C =180°-45°-75°=60°．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°．∵∠BFD =60°，∴∠DBF =90°-60°=30°，∴∠BEC =180°-∠EBC -∠C =180°-60°-30°=90°．【题型02：A 字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=270°．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=220°．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠A=70°，∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠BDE=120°．故选：A．6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．【答案】(1)见解析(2)∠G=50°【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠DEF+∠ADG=180°,由∠CAD+∠DEF=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠BAC=∠ADE=50°，然后利用三角形的外角求出∠BDG,解答即可．【详解】(1)证明：∵AD∥EF，∴∠DEF+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠DEF=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥DE；(2)解：∵AC是∠BAD的平分线，且AC∥DE，∴∠BAC=∠CAD，∠CAD=∠ADE，∴∠BAC=∠ADE，∵∠ACD=∠ADE+45°，∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠BAD的平分线，∠BAD=50°，∴∠CAD=∠ADE=12∴∠G=∠BAD-∠ADE=100°-50°=50°．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【答案】(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】(1)解：由折叠性质可知：∠CDC =2∠CDE，∠CEC =2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2∠CDE+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)解：连接DG，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C -∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图(2)，AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°．求∠P 的度数．(3)如图(3)，直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠P AD +∠PCB =∠P AB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD ,求得∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°，∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°，∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解．【详解】解：(1)如图.∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)如图.∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =1236°+16° =26°(3)如图.∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠P AB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴∠P +∠P AD -∠BAD -∠B =∠PCD -∠BCD∴∠P -∠P AB -∠B =∠PCB ,∴∠P -∠B =∠P AB +∠PCB∴180°-2∠P -∠B +∠D =∠B ，即∠P =90°+12∠B +∠D ．(4)连接PB ，PD∵直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，∵∠APB +∠PBA +∠P AB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°∴∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCB +∠P AB +∠PCD +∠P AD =720°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCE +∠P AB +∠PCD +∠P AF =720°∵∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC =360°，∴∠APC =180°-12∠ABC +∠ADC 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9.如图，∠1=60°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A +∠E ，∠2=∠F +∠D ，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析；(2)115°．【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：(1)AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；(2)平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外角求解即可．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【答案】(1)见解析(2)95°【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．【详解】(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠OFE=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图(1)，∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C，∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①如图(2)，∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)，∵∠A=40°，∠DBE=130°，∴∠ADE+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A=90°，∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC>∠DEC，而∠DEC>∠A，所以∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B，所以∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°，∵∠ABD=∠A+∠C，∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D=30°，∠C=20°，又∵∠DEC=∠B+∠D，∴∠C+∠DEC=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】(1)③，理由详见解答过程．(2)∠1+∠2=2∠DAE．【解答】解：(1)由题意得：∠DAE=∠DA′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠DAE．故答案为：③．(2)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图2，2∠A=∠2-∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n °；(3)∠BGO -∠ACF =50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据(2)的结论解答．【详解】解：(1)∵∠MON =60°，∴∠BAO +∠ABO =120°，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA +∠CAB =12(∠ABO +∠BAO )=60°，∴∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON =n °，∴∠BAO +∠ABO =180°-n °，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由(2)得：∠ACG=90°-12×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．25.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.26.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，则∠BOC的度数为．【答案】125°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-70°=110°，∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO ,CO 相交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =12×110°=55°，在△BOC 中,∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-55°=125°，故答案为:125°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.27.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．(1)若∠ABC +∠ACB =130°，求∠BPC 的度数．(2)当∠A 为多少度时，∠BPC =3∠A ？【答案】(1)115°；(2)∠A =36°【分析】(1)根据角平分线的定义，求得∠PBC ，∠PCB ，再根据三角形内角和定理即可求得∠BPC ；(2)根据(1)的方法求得∠BPC ，再结合条件∠BPC =3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】(1)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB =130°，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-65°=115°，(2)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠PBC+∠PCB=90°-12∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A∵∠BPC=3∠A∴3∠A=90°+12∠A，∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°-12∠A(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】(1)在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可【详解】(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+12∠A=90°-12∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB) =90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，∴∠OBC +∠OCB =12(∠A +∠ACB +∠ABC +∠A )，∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°+12∠A ，在△OBC 中，∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-(90°+12∠A )=90°-12∠A ，∵∠A =40°，∴∠BOC =90°-12×40°=90°-20°=70°．【题型08：内外角平分线模型】内外角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACE 的角平分线【结论】∠P =12∠A 【典例8】(1)如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求证：∠P =90°+12∠A ；(2)如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明过程见解答；(2)∠P =12∠A ．【解答】(1)证明：∵A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∵BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PCB =12∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P =180°-(∠PCB +∠PBC )=180°-12(∠ACB +∠ABC )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ；(2)猜想：∠P=12∠A证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴∠P=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12∠ACD-∠ABC=12∠1，即∠1=2∠2，故①正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠1=90°+12∠1，故④错误；∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE =12∠ACB +∠ACD =12×180°=90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC =∠OCE +∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．32.如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．33.【初步认识】(1)如图1，BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，若∠A =80°，则∠M =°．【变式探究】(2)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图2，∠ADC =110°，∠BCD =120°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠F =°．【继续探索】(3)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，且α+β>180°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，求∠F 与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，且两平分线所在的直线交于点F ，那么∠F 与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)【答案】(1)40；(2)25；(3)∠F =12α+12β-90°，理由见解析；(4)∠F =90°-12α-12β【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：(1)利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M =12∠A ，即可求解；(2)延长AD 、BC 相交于G ，先求出∠G 的度数，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解；(3)类似(2)探究即可；(4)延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，先求出∠G =180°-α-β，再判断AF 平分∠NAG ，FB 平分∠ABG ，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解．【详解】解：∵BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，∴∠MBC =12∠ABC ，∠MCD =12∠ACD ，∵∠A =∠ACD -∠ABC ，∠M =∠MCD -∠MBD ，∴∠M =12∠ACD -12∠ABC =12∠A ，∵∠A =80°，∴∠M =40°，故答案为：40；(2)延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =110°，∠BCD =120°，∴∠GDC =70°，∠GCD =60°，∴∠G =50°，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =25°，故答案为：25；(3)∠F =12α+12β-90°理由：延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，∴∠GDC =180°-α，∠GCD =180°-β，∴∠G =α+β-180°，由(2)知∠F =12∠G ，∴∠F =12α+12β-90°；(4)∠F =90°-12α-12β理由：延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，α+β<180°，∴∠G =180°-α-β，∵AM 平分∠DAB ，∴∠DAM =∠BAM ，∵∠NAF =∠MAB ，∠GAF =∠DAM ，∴∠NAF =∠GAF ，∴AF 平分∠NAG ，同理FB 平分∠ABG ，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =12∠G =90°-12α-12β．。

初中数学课件全等三角形常用模型 - 8字形

确认预判Ⅲ
如图，//， = ， = ．请写出与的数量关系，
并证明你的结论．
课程目标
1.理解并掌握三角形全等里面的“8”字模型等常用模型；
2.熟练应用这些模型解决三角形全等相关问题.
知识讲解
五、“8”字全等
例题讲解
如图，与相交于点, = , = ．
例题讲解
如图，在四边形中，是的中点延长、相交于点,
∠ = ∠ + ∠．求证： = ．
例题讲解
证明：
∵ //，
∴∠＝∠，∠＝∠，
在△ 和△ 中
ቐ
∴△ ≅△ ()，
∴＝，
∵ − ＝，
√
全等三角形的常用模型
“8”字全等
思维导图
确认预判Ⅰ
△ 中， = ，三条高，，相交于O，那么图中
全等的三角形有(
)对.
确认预判Ⅱ
如图，已知线段、相交于点, = , = ．
(1)求证：△ ≅△ ;
(2)当 = 5时，求的长．
求证： ∠ = ∠．
例题讲解Байду номын сангаас
证明：
在△ 和△ 中，
=
ቐ∠ = ∠
=
∴△ ≅△ () ，
∴∠ = ∠（全等三角形对应角相等）．
应用练习
如图，与相交于点, = , ∠ = ∠.
求证: △ ≅△
∴ − ＝．
∠ = ∠
∠ = ∠
=
应用练习
如图，点是上一点，交于点, = , ∥ .
求证: − = .
课堂小结
1. 确定好是哪两个三角形全等.
2. 确定两个三角形中的已相等条件（是否有“8”字形状）.
3. 确定好判定方法.

中考数学几何模型08 互补型旋转

专题08 互补型旋转一、单选题1．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ 的面积为_______．【答案】64+ 【分析】由旋转的性质可得△BPQ 是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ△△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ 是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【详解】解：连接PQ ，由旋转的性质可得，BP=BQ ，又△△PBQ=60°， △△BPQ 是等边三角形， △PQ=BP ，在等边三角形ABC 中，△CBA=60°，AB=BC ， △△ABQ=60°-△ABP △CBP=60°-△ABP △△ABQ=△CBP 在△ABQ 与△CBP 中BQ BP ABQ CBP AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABQ△△CBP(SAS)， △AQ=PC ，又△PA=4，PB=5，PC=3， △PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ 中，因为2229,16,25AQ AP PQ ===，25=16+9， △由勾股定理的逆定理可知△APQ 是直角三角形，△231534642BPQ APQAPBQ S SS=+=+⨯⨯=+四边形，故答案为：64+【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．2．如图，在Rt△ABC 和Rt△BCD 中，△BAC ＝△BDC ＝90°，BC ＝8，AB ＝AC ，△CBD ＝30°，BD ＝4√3，M ，N 分别在BD ，CD 上，△MAN ＝45°，则△DMN 的周长为_____．【答案】4√3+4．【解析】【分析】将△ACN 绕点A 逆时针旋转，得到△ABE ，由旋转得出△NAE ＝90°，AN ＝AE ，△ABE ＝△ACD ，△EAB ＝△CAN ，求出△EAM ＝△MAN ，根据SAS 推出△AEM △△ANM ，根据全等得出MN ＝ME ，求出MN ＝CN +BM ，解直角三角形求出DC ，即可求出△DMN 的周长＝BD +DC ，代入求出即可．【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：△NAE＝90°，AN＝AE，△ABE＝△ACD，△EAB＝△CAN，△△BAC＝△D＝90°，△△ABD+△ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，△△ABD+△ABE＝180°，△E，B，M三点共线，△△MAN＝45°，△BAC＝90°，△△EAM＝△EAB+△BAM＝△CAN+△BAM＝△BAC﹣△MAN＝90°﹣45°＝45°，△△EAM＝△MAN，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，△△AEM△△ANM（SAS），△MN＝ME，△MN＝CN+BM，△在Rt△BCD中，△BDC＝90°，△CBD＝30°，BD＝4√3，CD＝BD×tan△CBD＝4，△△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4√3+4，故答案为：4√3+4．【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若△BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【答案】【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，△OB=OA△点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，△COD=90°，△OAD=△OBC，在四边形OACB中△△BOA=△BCA=90°，△△OBC+△OAC=180°，△△OAD+△OAC=180°△C、A、D三点在同一条直线上，△△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC= 【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C 、A 、D 三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB△y 轴的情况，此时四边形OACB 刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.二、解答题4．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，△CBG=△ABE ，再证明BGF BEF △≌△，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，△CBG=△ABE ，再证明BGF BEF △≌△，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，△CBG=△ABE ，再证明BGF BEF △≌△，可得GF=EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， △BCG BAE △≌△（SAS ）， △BG=BE ，△CBG=△ABE ， △△ABC=120°，△MBN=60°， △△ABE+△CBF=60°， △△CBG+△CBF=60°，即△GBF=60°，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BGF△△BEF （SAS ）， △GF=EF ，△GF=CG+CF=AE+CF ， △EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， △BCG BAE △≌△（SAS ）， △BG=BE ，△CBG=△ABE ， △△ABC=2△MBN ，△△ABE+△CBF=12△ABC ， △△CBG+△CBF=12△ABC ，即△GBF=12△ABC ，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BGF△△BEF （SAS ）， △GF=EF ，△GF=CG+CF=AE+CF ， △EF=AE+CF ．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，△180BAD BCD ∠+∠=︒，△BCG+△BCD=180°， △△BCG=△BAD 在△BCG 和△BAE 中，BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △BCG BAE △≌△（SAS ）， △BG=BE ，△CBG=△ABE ， △△ABC=2△MBN ，△△ABE+△CBF=12△ABC ， △△CBG+△CBF=12△ABC ，即△GBF=12△ABC ，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BGF△△BEF （SAS ），△GF=EF，△GF=CG+CF=AE+CF，△EF=AE+CF．实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，△△AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，△EOF=70°，△△EOF=12△AOB△OA=OB，△OAC+△OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，△符合探索延伸中的条件△结论EF= AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．（问题初探）线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图△，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图△，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．（运用拓广）运用所形成的结论解决问题：（3）如图△，四边形ABCD中，△ABC＝60°，△ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD AD的长．【答案】（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3 【分析】（1）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由三角形内角和定理可求解；（2）由旋转的性质可得AB CD =，OA OC =，BO DO =，可证()AOB COD SSS ，可得B D ∠=∠，由平角的定义和四边形内角和定理可求解；【形成结论】由（1）（2）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；【运用拓广】（3）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，由旋转的性质可得BF BD =，3AF CD ==，由三角形内角和定理可求90FAD ∠=︒，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，60α=︒，60BOD ∴∠=︒，线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，AB CD ∴=，OA OC =，BO DO =，()AOBCOD SSS ，B D ∴∠=∠，B D ∠=∠，OEDBEF ，60BFEEOD，故答案为：60︒；（2）直线AB 与直线CD 所夹锐角角与旋转角α互补，理由如下：如图2，延长AB ，DC 交于点E ，线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，AB CD ∴=，OA OC =，BO DO =，()AOBCOD SSS ，ABO D ， 180ABO EBO ，180DEBO，360EBO E D BOD ，180EBOD，∴直线AB 与直线CD 所夹锐角角与旋转角α互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．运用拓广（3）如图3，将BCD ∆绕点B 顺时针旋转60︒，得到BAF ∆，连接FD ，延长FA ，DC 交于点E ，∴旋转角60ABC ∠=︒，BCDBAF ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，3AF CD ==，BD BF =，30ADC ∠=︒，90FADAEDADC，又60FBD ABC，BF BD =，BFD ∴∆是等边三角形，BFBDDF ，∴在Rt DAF 中，2219910ADDF AF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，BC AC >，点E 在BC 上，点D 在AB 上，CE CA =，连接DE ，180ACB ADE ∠+∠=︒，CH AB ⊥，垂足为H ．证明：DE AD +=．【答案】见解析【分析】如图，延长BA 到点F ，使AF DE =，连接CF 、CD ，根据四边形的内角和和邻补角互补可得CAF CED ∠=∠，进而可根据SAS 证明AFC EDC △≌△，可得CF CD =，ACF ECD ∠=∠，进一步即可求得120FCD ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论．【详解】证明：如图，延长BA 到点F ，使AF DE =，连接CF 、CD ，180ACB ADE ∠+∠=︒，360180180CAD CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，180CAD CAF ∠+∠=︒， CAF CED ∴∠=∠，AC EC =，AF ED =，AFC EDC ∴△≌△，CF CD ∴=，ACF ECD ∠=∠，120FCD ACF ACD ECD ACD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，CF CD =，CH DF ⊥，()1122FH DH DF DE AD ∴===+，1602HCD FCD ∠=∠=︒，tan DHHCD CH∴∠==DH ∴=，2DE AD DH ∴+==．【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．7．如图1，四边形ABCD 中，BD△AD ，E 为BD 上一点，AE ＝BC ，CE△BD ，CE ＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GH△AB于H，△BGH＝75°．求证：BF＝EG．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定理得出BD8，由HL证得Rt△ADE△Rt△BEC，得出BE＝AD，则CE＝ED ＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接CF，易证AF＝CE，AD△CE，得出四边形AECF是平行四边形，则AE＝CF，AE△CF，得出△CFD ＝△EAD，△CFB＝△AGF，由Rt△ADE△Rt△BEC，得出△CBE＝△EAD，推出△CBE＝△CFD，证得△BCF是等腰直角三角形，则BF＝BC CF AE，△FBC＝△BFC＝45°，推出△AGF＝45°，△AGH＝60°，△GAH＝30°，则AG＝2GH，得出BF AE（AG+EG），即可得出结论．【详解】（1）解：△BD△AD，△BD＝8，△CE△BD，△△CEB＝△EDA＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，AE BC ED CE=⎧⎨=⎩，△Rt△ADE△Rt△BEC（HL），△BE＝AD，△CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝8﹣6＝2，＝CE＝；（2）解：连接CF，如图2所示：△AF＝DE，DE＝CE，△AF＝CE，△BD△AD，CE△BD，△AD△CE，△四边形AECF是平行四边形，△AE＝CF，AE△CF，△△CFD＝△EAD，△CFB＝△AGF，由（1）得：Rt△ADE△Rt△BEC，△△CBE＝△EAD，△△CBE＝△CFD，△△FBD+△BFC+△CFD＝90°，△△FBD+△BFC+△CBE＝90°，△△BCF＝90°，△AE＝BC，△BC＝CF，△△BCF是等腰直角三角形，△BF BC CF AE，△FBC＝△BFC＝45°，△△AGF＝45°，△△BGH＝75°，△△AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，△GH△AB，△△GAH＝30°，△AG＝2GH，△BF AE（AG+EG），△BF＝2EG．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键．8．已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB 于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120º，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM△OA于M，CN△OB于N，证明△CMF△△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：△OP平分△AOB，CF△OA，CG△OB，△CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C 作CM△OA ，CN△OB ，△OP 平分△AOB ，CM△OA ，CN△OB ，△AOB=120º， △CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， △△AOC=△BOC=60º（角平分线的性质）， △△DCE=△AOC ，△△AOC=△BOC=△DCE=60º，△△MCO=90º-60º =30º，△NCO=90º-60º =30º， △△MCN=30º+30º=60º， △△MCN=△DCE ，△△MCF=△MCN -△DCN ，△NCG=△DCE -△DCN ， △△MCF=△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF△△NCG （ASA ），△CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．9．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.【答案】BD CE ⊥且BD CE = 【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =. 【详解】解：ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC = AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠ 即BAD CAE ∠=∠ 在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒ 又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =. 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.10．五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分△CDE．【答案】见解析【解析】【分析】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC，易证△ABC△△AEF，得到EF=BC，AC=AF然后证明△ADC△△ADF 即可解决问题．【详解】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.△∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，△∠ABC=∠AEF△AB=AE，BC=EF，△△ABC△△AEF．△EF=BC，AC=AF△BC+DE=CD，△CD=DE+EF=DF，△△ADC△△ADF，△∠ADC=∠ADF即AD平分△CDE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题关键.11．探究问题：(1)方法感悟：如图△，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足△BAF＝45°，连接EF，求证DE ＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD 重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，△1＝△2，△ABG＝△D＝90°，△ △ABG＋△ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．△ △EAF＝45°△ △2＋△3＝△BAD－△EAF＝90°－45°＝45°．△ △1＝△2，△1＋△3＝45°．即△GAF＝△________．又AG＝AE，AF＝AE△ △GAF△△________．△ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：△DAB．试猜如图△，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且△EAF＝12想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【解析】【分析】（1）利用角之间的等量代换得出△GAF=△F AE，再利用SAS得出△GAF△△EAF，得出答案；（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF△△AEF，即可得出答案；【详解】解：（1）如图△所示；根据等量代换得出△GAF=△F AE，利用SAS得出△GAF△△EAF，△GF=EF，故答案为：F AE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设△BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，△1＝△2，△ABG＝△D＝90°，△ △ABG＋△ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． △ ∠EAF =12m°，△ ∠2+∠3=∠BAD −∠EAF =m°−12m°=12m°．△ △1＝△2， △ △1＋△3＝12m°．即△GAF ＝△EAF ．△在△AGF 和△AEF 中，{AG ＝AE ∠GAF ＝∠EAF AF ＝AF，△ △GAF △△EAF （SAS ）． △ GF ＝EF ．又△ GF ＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ， △ DE ＋BF ＝EF ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF △△EAF 是解题的关键．12．如图所示，ABC ∆为等边三角形，边长为4，点O 为BC 边中点，120EOF ∠=︒，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E ，F ，求AE AF -的值.【答案】6 【解析】【分析】过点O 作OC△AB 交AD 于点C ，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF△△OBE ，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．【详解】过点O 作OD△AB 交AC 于点D ，△△CDO=△A=△ACB=△ABC=60°， △△DOC=60°，△ADO=△BOD=120°． △△CDO 是等边三角形， △DO=CO ， △DO=BO=AD ． △△ABC 是等边三角形，△AB=AC=BC ．△CAB=△ABC=△C=60°， △△OBE=120°， △△ODF=△OBE ．△△FOB+△BOE=△EOF=120°，△DOF+△FOB=△BOD=120° △△FOD=△EOB ．在△DOF 和△BOE 中，ODF OBE DO BOFOD EOB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， △△DOF△△BOE （ASA ）． △FC=EB ．OF=OE ． △AE=AB+BE ， △AE=AB+DF ， △AE=AB+AD+AF ， △AE -AF=AB+AD ． △AB+AD=32AB ，△AE-AF=32 AB．△AB=4，△AE-AF=6.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．13．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，△EDF=120°，把△EDF绕点D旋转，使△EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF△AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求△DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE△△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DM△AB于M，作DN△AC于N，如图2，易证△MBD△△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD△△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2.【详解】（1）△△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，△△B=△C=60°，BD=CD，△DF△AC，△△DFA=90°，△△A+△EDF+△AFD+△AED=180°，△△AED=90°，△△DEB=△DFC ，且△B=△C=60°，BD=DC ， △△BDE△△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM△AB 于M ，作DN△AC 于N ，则有△AMD=△BMD=△AND=△CND=90°． △△A=60°，△△MDN=360°-60°-90°-90°=120°． △△EDF=120°， △△MDE=△NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B CBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， △△MBD△△NCD （AAS ） BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， △△EMD△△FND （ASA ） △EM=FN ，△BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决本题的关键．14．如图所示，ABC ∆中，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DF ，长直角边为DE ），将三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ，证明DM DN =；（2）继续旋转至如图所见，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，证明DM DN =. 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）连接BD ，证明△DMB△△DNC ．根据已知，全等条件已具备两个，再证出△MDB=△NDC ，用ASA 证明全等，四边形DMBN 的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC 面积的一半；（2）同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB△△DNC ；（3）方法同（1）．【详解】证明：（1）连接BD,△AB=BC ，△ABC=90°，点D 为AC 的中点 △BD△AC ，△A=△C=45° △BD=AD=CD △△ABD=△A=45° △△MBD=△C=45° △△MDB+△BDN=90° △NDC+△BDN=90° △△MDB=△NDC 在△MDB 和△NDC 中MBD C BD CDMDB NDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ △△MDB△△NDC （ASA ） △DM=DN （5分）（2）DM=DN 仍然成立．理由如下：连接BD ，由（1）知BD△AC ，BD=CD △△ABD=△ACB=45°△△ABD+△MBD=180°△ACB+△NCD=180° △△MBD=△NCD △BD△AC△△MDB+△MDC=90° 又△NDC+△MDC=90° △△MDB=△NDC 在△MDB 和△NDC 中MBD NCD BD CDMDB NDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ △△MDB△△NDC （ASA ） △DM=DN. 【点睛】本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用ASA 求三角形全等（手拉手模型），还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理等知识．15．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;【答案】(1) AM =(2)见解析；(3)见解析. 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝，求出 △MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE △△ADF ，根据全等三角形的性质证明；（3）过点 M 作 ME △BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME △△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 30BMD ∴∠=︒， 2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =AM AD DM ∴=-= （2）证明：AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，{B DAF DB DA BDE ADF∠=∠=∠=∠， ()BDE ADF ASA ≌∴∆∆BE AF ∴=；（3）证明：过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，90AME ∴∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，ME MA ∴=，90AME ∠=︒∵，90BMN ∠=︒，BME AMN ∴∠=∠，在BME ∆和AMN ∆中，{E MAN ME MA BME AMN∠=∠=∠=∠， ()BME AMN ASA ∴∆∆≌，BE AN ∴=，AB AN AB BE AE ∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．问题背景如图（1），在四边形ABCD 中，△B+△D ＝180°，AB ＝AD ，△BAD ＝α，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且△EAF 12=α，连接EF ，试探究：线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当△BAD ＝△B ＝△D ＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD=请直接写出DE的长．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE3=【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，△BAE＝△DAG，根据△EAF=12△BAD可得△BAE+△DAF＝45°，即可得出△△EAF＝△FAG，利用SAS可证明△AFE△△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得△ABE＝△ADH，△BAE＝△DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据△BAD＝α，△EAF12=α可得△BAE+△FAD12=α，进而可证明△FAH＝△EAF，利用SAS可证明△AEF△△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A 顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，△C＝△ABE′，△EAC＝△E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得△ABC＝△ACB＝45°，BC＝，即可求出△E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF△△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，△△ADC＝△B＝△ADG＝90°，△△FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，△BAE＝△DAG．△△BAE+△DAF＝△BAD﹣△EAF＝90°﹣12△BAD=90°-45°＝45°，△△DAG+△DAF＝45°，即△FAG=45°，△△EAF＝△FAG，△△AFE△△AFG（SAS），△EF＝FG．又△FG＝DG+DF＝BE+DF，△BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得△ABE＝△ADH，△BAE＝△DAH，AE＝AH，BE＝DH．△△B+△ADC＝180°，△△ADH+△ADC＝180°，△点C，D，H在同一直线上．△△BAD＝α，△EAF12=α，△△BAE+△FAD12=α，△△DAH+△FAD12=α，△△FAH＝△EAF，又△AF＝AF，△△AEF△△AHF（SAS），△EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE=，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC ，AE′＝AE ，△C ＝△ABE′，△EAC ＝△E′AB ，在Rt△ABC 中，△AB ＝AC ＝4，△BAC=90°，△△ABC ＝△ACB ＝45°，BC ＝，，△△ABC+△ABE′＝90°，即△E′BD ＝90°， △E′B 2+BD 2＝E′D 2．易证△AE′D△△AED ， △DE ＝DE′，△DE 2＝BD 2+EC 2，即DE 222)DE =+，解得3DE =．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.17．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______. （2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若1AD =，求出重叠部分图形的周长.【答案】（1）4，4+（2）4，8；（3）4；（4）4+【解析】【分析】()1根据4AC BC ==，90ACB ∠=，得出AB 的值，再根据M 是AB 的中点，得出AM MC =，求出重叠部分的面积，再根据AM ，MC ，AC 的值即可求出周长；()2易得重叠部分是正方形，边长为12AC ，面积为214AC ，周长为2.AC()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、.E 求得RtMHD △Rt MEG ，则阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积.()4先过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，根据DMH EMH ∠∠=，MH ME =，得出Rt DHM △Rt EMG ，从而得出HD GE =，CE AD =，最后根据AD 和DF 的值，算出DM =即可得出答案. 【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴==M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=， AM MC ∴=，∴4=，∴周长为：44AM MC AC ++==+故答案为4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=，周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ，M 是ABC △斜边AB 的中点，4AC BC ==， 12MH BC ∴=， 12ME AC =， MH ME ∴=，又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=，HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH MEDHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， MHD ∴△()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积，正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=； ∴阴影部分的面积是4；故答案为4．()4如图所示，过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形，MH CE ∴=，45A ∠=，45AMH ∠∴=，AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DHM ∴△.Rt GEMGE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-，CG AD ∴=，1AD =，1.DH ∴=DM ∴==． ∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++ 2AD CD DM =++4=+【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．18．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图△，四边形ABCD 为对直角四边形，△B=90°，若AB 2-AD 2=4，求CD 2-BC 2的值；（2）如图△，四边形ABCD 中，△ABC=90°，AB=BC ，若BD 平分△ADC ，求证：四边形ABCD 为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图△，连结AC ，若35ACD ABCS S=，求tan△ACD 的值．【答案】△ 4；△见解析；△tan△ACD 的值为3或13．【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图△中，作BE△CD 于E ，BF△DA 交DA 的延长线于F ．只要证明△EBF=90°即可解决问题；（3）如图△中，设AD=x ，BD=y ．根据35ACD ABCS S=，构建方程即可解决问题. 【详解】解：如图△中，△四边形ABCD 为对直角四边形，△B=90°， △△D=△B=90°，△AC 2=AB 2+BC 2=AD 2+DC 2， △CD 2-BC 2=AB 2-AD 2=4．（2）证明：如图△中，作BE△CD 于E ，BF△DA 交DA 的延长线于F ．△BD 平分△ADC ，BE△CD ，BF△AD ， △BE=BF ，△△BFA=△BEC=90°，BA=BC ，BF=BE ， △Rt△BFA△Rt△BEC （HL ）， △△ABF=△CBE ， △△EBF=△ABC=90°， △ADC=360°-90°-90°-90°=90°， △△ABC=△ADC=90°，△四边形ABCD 为对直角四边形．（3）解：如图△中，设AD=x ，BD=y ．△△ADC=90°，△tan△ACD=xy， △AB=AC ，△ABC=90°，△35ACD ABCS S=， △()22132154xy x y =+，整理得：3x 2-10xy+3y 2， △3（x y ）2-10•xy+3=0， △x y =3或13． △tan△ACD 的值为3或13．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．19．问题：如图(1)，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，△EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．（发现证明）小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．（类比引申）如图(2)，四边形ABCD 中,△BAD≠90°,AB=AD,△B+△D=180°,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,则当△EAF 与△BAD 满足关系时，仍有EF=BE+FD ．（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD ．已知AB=AD=80米，△B=60°，△ADC=120°，△BAD=150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ，且AE△AD ，DF=40﹣1）米，现要在E 、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF=1.41）【答案】【发现证明】证明见解析；【类比引申】△BAD=2△EAF；【探究应用】109．2米．【解析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG△△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG△△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF△△ABM，证△FAE△△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A 逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG△△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG△△AFE即可得出EF=BE+FD．解：如图（1），△△ADG△△ABE，△AG=AE，△DAG=△BAE，DG=BE，又△△EAF=45°，即△DAF+△BEA=△EAF=45°，△△GAF=△FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，△GAF=△FAE，AF=AF，△△AFG△△AFE（SAS）．△GF=EF．又△DG=BE，△GF=BE+DF，△BE+DF=EF．【类比引申】△BAD=2△EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，△△ABC+△D=180°，△ABC+△ABM=180°，△△D=△ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD，△ABM=△D，BM=DF，△△ABM△△ADF（SAS），△AF=AM，△DAF=△BAM，△△BAD=2△EAF，△△DAF+△BAE=△EAF，△△EAB+△BAM=△EAM=△EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE，△FAE=△MAE，AF=AM，△△FAE△△MAE（SAS），△EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：△BAD=2△EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．△△BAD=150°，△DAE=90°，△△BAE=60°．又△△B=60°，△△ABE是等边三角形，△BE=AB=80米．根据旋转的性质得到：△ADG=△B=60°，又△△ADF=120°，△△GDF=180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG△△ABE，△AG=AE，△DAG=△BAE，DG=BE，又△△EAG=△BAD=150°，△△GAF=△FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，△GAF=△FAE，AF=AF，△△AFG△△AFE（SAS）．△GF=EF．又△DG=BE，△GF=BE+DF，△EF=BE+DF=80+401）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG△△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．20．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，△EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．。

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八．多元分析实验1 回归分析Ⅰ解：首先我们做如下假设：011Y X ββ=+即血压与年龄成一元线性关系。

编写R 程序如下：x=matrix(c(27,73,21,66,22,63,24,75,25,71,23,70,20,65,20,70,29,79,24,72,25,68,28,67,26,79,38,91,32,76,33,69,31,66,34,73,37,78,38,87,33,76,35,79,30,73,31,80,37,68,39,75,46,89,49,101,40,70,42,72,43,80,46,83,43,75,44,71,46,80,47,96,45,92,49,80,48,70,40,90,42,85,55,76,54,71,57,99,52,86,53,79,56,92,52,85,50,71,59,90,50,91,52,100,58,8 0,57,109),nrow=54,ncol=2,byrow=T,dimnames=list(1:54,c("C","E")))outputcost=as.data.frame(x)plot(outputcost$C,outputcost$E)下面在之前数据录入的基础上做回归分析（程序接前文，下同）可见X与Y的关系是明显的线性的，做回归,并检视回归结果。

lm.sol = lm(E~C,data = outputcost)summary(lm.sol)运行结果：Call:lm(formula = E ~ C, data = outputcost)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-16.4786 -5.7877 -0.0784 5.6117 19.7813Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 56.15693 3.99367 14.061 < 2e-16 ***C 0.58003 0.09695 5.983 2.05e-07 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 8.146 on 52 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.4077, Adjusted R-squared: 0.3963 F-statistic: 35.79 on 1 and 52 DF, p-value: 2.05e-07常数项0∧β=56.157，变量的系数1∧β=0.580 得到回归方程：∧y =56.157+0.580x在上面的结果中sd （0∧β）=3.99367 sd （1β∧）=0.09695。

而对应于两个系数的P 值2e-16，2.05e-07，故是非常显著的。

关于方程的检验，残差的标准差σ∧=8.146。