椭圆的标准方程教案

河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○

第 1 页 共 3 页

学习目标：

1：熟练掌握椭圆的定义。

2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程：

一：椭圆概念的引入：

1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。

（2）立体几何中作圆的一种直观图。

2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

3：由此总结椭圆定义：

平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点------两点间距离确定。

（2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。

思考：

改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？

二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤：

2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数）

{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得：

)()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>

022>-∴c a

令222b c a =-∴代入，得：

222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：

选修2-1 第一章

2.2.2 椭圆的标准方程 教案

试卷类型 学案

※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图

条件 结论

2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2|

动点不存在，因此轨迹不存在

河北阜城中学--高二数学组 组题人：沈志华 审核人：沈志华 日期：2019年9月19日

……○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……

姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________

第 2 页 共 3 页

122

22=+b

y a x ，此即为椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。其中222b c a +=

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，

说明：（1）其中：2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。

2c 为焦距，焦点()0,c ）

，（0c - （2）如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同调换x,y 轴）焦点则变成

））（，（c -,0c 0只要将此方程中的x,y 调换，即可得：122

22=+b

x a y ，此也是

椭圆的标准方程。

三：巩固练习：

1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b 的值。

①1352222=+y x ②16422

22=+y x ③16922=+

y x ④14

72

2=+y x 总结：注意到a 2>b 2，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。 四：例题讲解：

求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。

1

4)1(2

2=+y x 154)2(22=+y x

434)3(22=+y x

解：(1)椭圆方程具有形式122

2

2=+b y a x 其中1,2==b a 因此

31422=-=

-=

b a

c 两焦点坐标为)0,3(),0,3(-椭圆上每一

点到两焦点的距离之和为42=a .

（2）椭圆方程具有形式1y 22

22=+b

x a 其中2,5==b a

因此

14522=-=

-=

b a

c 两焦点坐标为)-1,0(),10(，

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为52

2=a

（3）在等式的左右两边同时除以4，使等式右边变为1. 即

14

32

2=+y x ，在变

河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○

第 3 页 共 3 页

成1a y 2

222=+b x 的形式即13

4y 2

2=+x 其中332,1b ==a 因此3

3

312

2

==

-=

b

a c ，两焦点坐标为)33-,0(),330(，

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为33

42=

a

例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程如图:求满足下列条件的椭圆方程

,10||||21=+PF PF 8||21=F F

解：椭圆具有标准方程122

2

2=+b y a x 其中102,82==a c 因此

,5,4==a c 91625222=-=-=c a b 所求方程为

19252

2=+y x

六：作业