方案设计1

利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计

生活中许多实际问题需借助方程(组)或不等式(组)的求解，不仅如此还需要对方程(组)或不等式(组)的解，进行有针对性的分析作出方案设计与决策．

【例1】(2011湖南永州)某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3 000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．

(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？

(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？

分析：(1)已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，且其单价和为130元．可以设它们的单价分别为8x,3x,2x元，列一元一次方程来解决；(2)根据购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系，再根据购买乒乓球拍的数量不超过15副和不超过3 000元的资金

购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案．

解：(1)因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8∶3∶2，所以，可以依次设它们的单价分别为8x,3x,2x元，于是，得8x＋3x＋2x＝130，解得x＝10.

所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为80元、30元和20元．

(2)设购买篮球的数量为y个，则购买羽毛球拍的数量为4y副，购买乒乓球拍的数量为(80－y－4y)副，根据题意，得80y＋30×4y＋20(80－y－4y)≤3 000，80－y－4y≤15，①②

由不等式①，得y≤14，由不等式②，得y≥13.

于是，不等式组的解集为13≤y≤14，

因为y取整数，所以y只能取13或14.

因此，一共有两个方案：

方案一，当y＝13时，篮球购买13个，羽毛球拍购买52副，乒乓球拍购买15副；

方案二，当y＝14时，篮球购买14个，羽毛球拍购买56副，乒乓球拍购买10副．

方法归纳本类型题目主要特点有：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论；

(2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答．

需要说明的是利用方程(组)或不等式(组)进行方案设计常常可借助一次函数的性质进行决策．