北京市丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)(数学文)

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）2011.5一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若2∈{1，a ，a 2-a }，则a =(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x>(B) x ∀∈R ，2310x x ++>(C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a = (A) 12-(B) 23-(C)35(D )52关于数列的概念是几次考试中第一次考，要注意引起关注。

遇到这样既不成等差又不成等比的数列，求2011a =，只能是周期性。

5．如图所示，已知2AB BC = ，OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式中成立的是(A) 3122c b a =-(B) 2c b a =-(C) 2c a b =-(D) 3122c a b =-这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题往往是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

OxyO π2π1-16．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D) 41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为 0.95y x a =+，则a = (A) 3.25(B) 2.6(C) 2.2(D) 0本题就是考查回归方程过定点(,)x y 。

8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-，若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 (A) (0,3)(B) (0,3](C) (0,4)(D) [0,4]考查意图：考查学生对函数概念的理解。

考察了学生数形结合的能力。

试题分析：讲评时首先要从正面求解得到结论：有2个零点，即函数y=f (x )与直线y=kx 有两个交点。

然后从反面：排除法。

本题一定是数形结合。

首先k =0不成立，排除D ，其次，二次函数的顶点是（4,12），与原点连线的斜率是3，显然成立，排除A ，B ，得到结果。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于第 象限． 10．圆C ：222220x y x y ++--=的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．若[0,2]x ∈π，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是 ．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元． 本题的关键是写对不等式组，考察学生写出不等关系，其次才是线性规划问题。

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．14．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BA 的延长线于P 1，然后以B 为圆心，BP 1长为半径画弧，交CB 的延长线于P 2，再以C 为圆心，CP 2长为半径画弧，交DC 的延长线于P 3，再以D 为圆心，DP 3长为半径画弧，交AD 的延长线于P 4，再以A 为圆心，AP 4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n 道弧时，这n 道弧的弧长之和为___．本题的关键是读懂题，读懂了就非常简单。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12f π-的值； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()y f x =的最小值及取得最小值时的x 值．三角函数部分虽然已经考过几次，但二次函数型仍然没有考过，请老师们在复练时一定要练习到。

AB C A D P 1 P 2P 3P 4P 5正视图侧视图俯视图16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，CD G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折到△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．本题重点考查的是翻折问题。

在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。

17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中FGEABCD 'ABCEDFG考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆C 的长轴长为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． （实际上，P 是不同于A ，B 的任一点，结论都成立．）20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）参考答案2011.54 答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．(0,)π写成闭区间也给满分 12．15 13．12 14． 8，(1)4n n +π注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数21()sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()12f π-的值；（Ⅱ）求函数(),[0,]2y f x x π=∈的最小值，及取得最小值时的x 的值．解：（Ⅰ）∵21()sin cos 2f x x x x =+-12cos 22x x =- sin(2)6x π=-， ………………5分∴()sin(2)sin()1212632f ππππ-=-⨯-=-=- ． ………………7分（Ⅱ）∵02x π≤≤∴02x π≤≤．∴52666x πππ-≤-≤． ………………9分∴1sin(2)126x π-≤-≤， 即1()12f x -≤≤． ………………11分∴min 1()2f x =-此时266x ππ-=-∴0x =． ………………12分∴当0x =时，min 1()2f x =-． ………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD 中，//BC AD ，112BC AD ==，CD G ，E ，F 分别是AD ，BC ，CD的中点，且CG =CG 将△CDG 翻折成△CD G '． （Ⅰ）求证：EF //平面AD B '；（Ⅱ）求证：平面CD G '⊥平面AD G '．证明：（Ⅰ）∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，即E ，F 分别是BC ，C D '的中点， ∴EF 为△D BC '的中位线．∴EF //D B '． ………………2分又∵EF ⊄平面A D '，D B '⊂平面FGEABCD 'ABCEDFGAD B '， ………………4分∴EF // 平面A '． ………………6分 （Ⅱ）∵G 是AD 的中点，112BC AD ==，即2AD =，∴1DG =． 又∵CD =CG =∴在DGC ∆中，22D G G C+= ∴DG GC ⊥． ………………9分∴GC D G '⊥，GC AG ⊥． ∵AG ∩D G '=G ，∴GC ⊥平面A '． ………………12分又∵GC ⊂平面CD G '，∴平面C '⊥平面AD G '． ………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率． 解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (6)分（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………7分[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；[]90,100分数段抽取1人，记为M ． ………………9分 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ， ………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种．事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51()153P A ==． ………………13分18.（本小题共14分）已知函数21(),(0)2af x x a x=+≠． （Ⅰ）当1x =时函数()y f x =取得极小值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞， ………………1分2()af x x x '=-． ………………3分∵1x =时函数()y f x =取得极小值， ∴(1)0f '=． (4)分∴1a =． ………………5分当1a =时，在(0,1)内()0f x '<，在(1,+∞内()0f x '>， ………………6分∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =有意义． ………………7分（Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)-∞∪(0,)+∞，322()a x af x x x x-'=-=． 令()0f x '=，得x = ………………9分0a <………………11分（ⅱ）当0a >时，综上所述： ………………13分当0a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为，(0,)+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(,0)-∞，，单调递增区间为)+∞．………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l 斜率k =1，求△ABP 的面积；（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．（实际上，P 是不同于A ，B 的任一点，结论都成立．） 解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且1c =，2a =， ………………1分∴a =2221b a c =-=． ………………2分∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）2222x y y x⎧+=⎨=⎩ ………………5分 ∴3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ………………7分即A，(B ，P ． 所以1223ABP S ∆==． ………………9分（ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．椭圆的右顶点为P2222x y y kx⎧+=⎨=⎩ ， 消y 整理得 22(21)2k x +=， 不妨设x 1>0>x 2， ∴1x =，2x =；1y =，2y =-12分AP BP k k ⋅==………………13分2222212221k k k -+=-+22212422k k -==--++ ∴AP BPk k ⋅为定值12-． ………………14分20.（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且首项11b =，48b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{}n c 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ． ………………3分又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =． ∴12n n b -=(*)n ∈N ． ………………6分（Ⅱ）2121nn n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++ 12(21)(21)(21)n =-+-++- 12(222)n n =++-2(12)12n n -=--．所以122n n T n +=--． ………………9分（Ⅲ）假设数列{}n c 中存在三项,,m k l c c c 成等差数列，不妨设(,,*)m k l m k l <<∈N因为 21n n c =-，所以 m k l c c c <<，且三者成等差数列．所以 2k l m c c c =+，即2(21)(21)(21)k m l -=-+-，2222k m l ⋅=+， 即222m k l k --=+．（方法一）因为 (,,*)m k l m k l <<∈N ， 所以1l k -≥，0m k -<． 所以 22l k-≥，20m k ->，所以 222m kl k --+> 与222m k l k --=+矛盾． 所以数列{}n c 中不存在成等差数列的三项． ………………13分（方法二）2222k m l ⋅=+2(12)m l m-=+所以 12122k l mm +-=+， 即1212k m l m +--=+． 所以 1221k ml m +---=．因为(,,*)m k l m k l <<∈N ，所以 12k m+-，2l m-均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列{}n c 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。