2019届高考文科数学一轮复习教师用书：6.1不等关系与一元二次不等式

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2019版高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件理

方法技巧
比较两个数(式)大小的两种方法
1-1 已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系
是 ( A ) A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b
答案 A ∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,
∴c≥b. ∵b+c=6-4a+3a2, ① c-b=4-4a+a2, ② 由①-②得2b=2+2a2, ∴b=1+a2.
当m=0时,f(a)=f(b); 当m≠0时,m2>0, 又a>b>1,∴f(a)<f(b). 综上,f(a)≤f(b).
考点二
不等式的性质
1 1 a b
典例2 (1)若 < <0,则下列结论不正确的是 ( A.a2<b2 C.a+b<0
a b c d a b C. > d c
)
B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+lt;
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N.故选B. (2)易知a,b都是正数, = =log89>1,所以b>a.
b 2ln 3 a 3ln 2
1 3 ∵b-a=1+a2-a= >0, a + 4 2
2
∴b>a.即c≥b>a.
1-2
m2 x 已知m∈R,a>b>1, f(x)= ,则f(a)与f(b)的大小关系是 ( x 1

【高考讲坛】高考数学一轮复习第6章第1节不等关系与一元二次不等式课件理苏教版

②由①知，原不等式化为 x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－c)(x－2)<0. 当 c>2 时，原不等式的解集为{x|2<x<c}，当 c<2 时，原不等式的解集为{x|c<x<2}．当 c＝2 时，原不等式的解集为∅.
3． (2014· 南京质检)已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________． [解析] ∵x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.
[答案] (0,8)
4．(2014· 四川高考改编)若 a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是________．(填序号) a b a b a b a b ①d＞c ；②d＜c ；③c ＞d；④c ＜d.
第一节
不等关系与一元二次不等式
内容考纲传真一元二次不等式 A
要求 B C √
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b⇔a－b > 0，a<b⇔a－b < 0，a＝b⇔a－b＝0. 2．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的不等式．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集有两相异实根 x1， x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1＝x2＝－2a 没有实数根 R Δ>0 Δ＝0 Δ<0

2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式习题课件文

得a＝12[f－1＋f1]， b＝12[f1－f－1]，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
16．已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当 x∈(－3,2)时，f(x)>0.
14．(2017·江苏模拟)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈ R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m， m＋6)，则实数 c 的值为___9_____．
解析解法一：由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b ＝x＋a22＋b－a42. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)， ∴b－a42＝0，即 b＝a42， ∴f(x)＝x＋a22. 又∵f(x)<c，∴x＋a22<c，
A．12 元 B．16 元 C．12 元到 16 元之间 D．10 元到 14 元之间
解析设销售价定为每件 x 元，利润为 y，则 y＝(x－ 8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即 x2－28x＋192<0，解得 12<x<16，所以每件销售价应定为 12 元到 16 元之间．故选 C.
所以 a＝－3，b＝5，
所以 f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋18.75，
函数图象关于 x＝－12对称，且抛物线开口向下，在区
间[0,1]上 f(x)为减函数，函数的最大值为 f(0)＝18，最小值
为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．

【优化方案】高考数学一轮复习第6章第一节不等关系与一元二次不等式课件文苏教版

课前热身
1 1 1．若a<b<0，则下列结论：①a2<b2；②ab<b2； b a ③a＋b>2；④a3>b3，其中正确的是________．
1 1 解析：∵a<b<0，∴b<a<0. ∴a2<b2，ab<b2，b3<a3.
b b a 又∵b<a<0，∴a>0，且a≠b， b a ∴a＋b>2.
(3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．对于解含有参数的二次不等式时，讨论的顺序为 (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小．
对不等式的影响是最常见的三种情况．其次，
不等式的乘、除、取平方、取绝对值、取倒数
等时，不等式的方向往往要考虑变与不变．
一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)计算相应的判别式；
2
结合二次函数 y＝3x ＋2x－8 的图象可知原 4 不等式的解集为{x|－2≤x≤ }． 3
【解】
(1)∵Δ＝42－4× 2× 3<0，
∴方程 2x2＋4x＋3＝0 没有实根，二次函数 y＝2x ＋4x＋3 的图象开口向上，与 x 轴没有交点， 2x2＋4x＋3>0 恒成立，所以不等式 2x2＋4x＋3>0 的解集为 R.

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式

第章　不等式、推理与证明第一节　不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第92页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2，n ∈N )；(6)开方法则：a >b >0⇒>(n ≥2，n ∈N )；n a nb (7)倒数性质：设ab >0，则a .1a 1b 3．“三个二次”的关系判别式Δ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b 2－4ac 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法解集不等式a ＜b a ＝b a ＞b (x －a )·(x －b )＞0{x |x ＜a 或x ＞b }{x |x ≠a }{x |x ＜b 或x ＞a }(x －a )·(x －b )＜0{x |a ＜x ＜b }∅{x |b ＜x ＜a }[知识拓展]　1.倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔<.1a 1b 2．若a ＞b ＞0，m ＞0，则＜.b a b ＋ma ＋m 3．(1)＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)．f (x )g (x )(2)≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.f (x )g (x )以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔Error!或Error!不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔Error!或Error![基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( )(2)a >b ⇔ac 2>bc 2.( )(3)a >b >0，c >d >0⇒>.( )a d bc (4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( )[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [Error!⇒Error!又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a ＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．]3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．>1ab C ．2a >2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1)　[由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为Error!，则a ＋b ＝________.－14　[由题意知x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则1213Error!解得Error!(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.](对应学生用书第93页)比较大小与不等式的性质　(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋<<log 2(a ＋b )1b b2a B.<log 2(a ＋b )<a ＋b2a 1b C ．a ＋<log 2(a ＋b )<1b b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋<1b b2a(1)A (2)B [(1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝＋＞0，(a －12)2 34∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a .(2)法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2)＝1.ab∵＝＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，b2a 1a 2a 又∵b ＝，a >b >0，∴a >，解得a >1.1a 1a ∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0，∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即<.b 2a 12∵a ＋＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，1b ∴<log 2(a ＋b )<a ＋.b2a 1b 故选B.法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝，12此时a ＋＝4，＝，log 2(a ＋b )＝log 2 ，1b b2a 1852∴<log 2(a ＋b )<a ＋.b2a 1b 故选B.][规律方法]　1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[跟踪训练]　(1)(2018·东北三省四市模拟(二))设a ，b 均为实数，则“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝，则f (a )与f (b )的大小关系是( )m 2xx －1【导学号：79140188】A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定(1)A (2)C [(1)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f (a )＝，f (b )＝，m 2a a －1m 2bb －1∴f (a )－f (b )＝－＝m 2m 2aa －1m 2bb －1(aa －1－b b －1)＝m 2·＝m 2·，a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)b －a(a －1)(b －1)当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )．综上，f (a )≤f (b )．]一元二次不等式的解法　解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0；(2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解]　(1)原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．　将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．[解]　若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1)>0，(x －1a )解得x <或x >1.1a 若a >0，原不等式等价于(x －1)<0.(x －1a )①当a ＝1时，＝1，(x －1)<0无解；1a (x －1a )②当a >1时，<1，解(x －1)<0得<x <1；1a (x －1a )1a ③当0<a <1时，>1，解(x －1)<0得1<x <.1a (x －1a )1a 综上所述：当a <0时，解集为Error!；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为Error!；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为Error!.[规律方法]　1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.[跟踪训练]　(1)不等式≥－1的解集为________．2x ＋1x －5(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是Error!，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.Error!D.Error!(1)Error!　(2)B [(1)将原不等式移项通分得≥0，3x －4x －5等价于Error!解得x ≤或x ＞5.43∴原不等式的解集为Error!.(2)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是Error!，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－和x 2＝－，且a <0，1213∴Error!解得Error!则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题◎角度1　形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围　不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140189】(－2,2]　[当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有Error!即Error!∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]◎角度2　形如f (x )≥0求参数的范围(x ∈[a ，b ])　设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解]　要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ＋m －6<0在(x －12)2 34x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)2 34当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <，所以0<m <；6767当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是Error!.法二：因为x 2－x ＋1＝＋>0，(x －12)2 34又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <.6x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m <即可．6x 2－x ＋16767所以m 的取值范围是Error!.◎角度3　形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围　对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3}　[对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即Error!解得x <1或x >3.][规律方法]　一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f (x )＞0或f (x )＜0(x ∈R )的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)形如f (x )＞0或f (x )＜0(x ∈[a ，b ])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(3)形如f (x )＞0或f (x )＜0(参数m ∈[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.[跟踪训练]　(1)(2017·四川宜宾一中期末)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定(1)A (2)C [(1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，即＝1，解得a2a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]。

高考数学北师大版文科一轮复习配套课件6.1不等关系与不等式

(4)如果a>b>0，则 a> b(n∈N＋，n≥2)．
n
n
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b， b<c⇒a<c.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件， a>b⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
[试一试] 1．(2013· 北京高考)设 a，b，c∈R，且 a>b，则
A．ac>bc C．a2>b2 1 1 B．ab3
(
)
解析：由性质知选 D .
1 2． ________ 3＋1(填“>”或“<”)． 2－1
1 解析：＝ 2＋1＜ 3＋1. 2－1
答案：<
1．不等式的倒数性质 1 1 (1)a>b，ab>0⇒a<b； 1 1 (2)a<0<b⇒a<b； a b (3)a>b>0,0<c<d⇒ c>d；
(2)作商法：
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小； ④结论．
(3)特值法：
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．
注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
[典例]
(1)(2014· 太原诊断)“a＋c>b＋d”是“a>b 且 c>d”的 ( )
1 1 1 (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b<x<a.

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理

合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章不等式、推理与证明第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1

a

2019年高考数学(文)考点一遍过考点24 不等关系与一元二次不等式(含解析)

2019年高考数学（文）考点一遍过1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．（2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a 0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a ⇔<；(双向性) ②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性) ⑧开方法则：a >b >0⇒nn a b >n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论（1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b ma a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a mb b m-<-(b −m >0)．二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠；（3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ．（2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．（4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ．（6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若，，，试比较，，的大小.典例2 已知0<a =,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1．设a >b >0,求证:2222a b a ba b a b-->++. 考向二求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______. 【答案】[]2,27典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围. 【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.则()2423)()11(f a b f f =---=+.∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知正数满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则142yx z -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为 A ．1 B ．324C ．116 D ．132考向三一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<.典例5 解下列不等式：（1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.典例6 已知函数. （1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【解析】（1）当时，,可得，,的解集为.3．不等式的解集为A．B．C ．D ．4．已知是偶函数，是奇函数，且=．（1）求和的解析式；（2）设(其中)，解不等式．考向四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.典例7 已知函数. （1）当时,解关于a 的不等式；（2）若关于x 的不等式的解集是(-1,4)，求实数a ,c 的值.【解析】（1）当时,,所以,,即, 解得.典例8 已知关于的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数的取值范围. 【解析】（1）由不等式2230kx x k -+<的解集为，可知和-1是一元二次方程2230kx x k -+=的两根，所以()()()()313231k⎧-⨯-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得12k =-.5．若不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,则的值是 A ．B ．C ．14D ．10考向五一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积； ②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)； ④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.2211()x x a a a a -=-=-，分情况讨论如下：①若a <0或a >1，即a 2>a ，则所求不等式的解集为{}2|x a x a <<．②若a ＝0或a ＝1，原不等式可化为x 2<0或(x －1)2<0. 此时，所求不等式的解集为x ∈∅.6．不等式102xx-≥+的解集为 A ．[]2,1- B ．(]2,1- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-+∞7．求下列不等式的解集：（1）25123x x x -≥--；（2）()()()3212110x x x --+<.考向六含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.（2）由题意知，即，∵，∴2212223x x xk -≤-⋅+，设，则22tk t ≤+，又∵212222t t t t=≤++，当且仅当即时取得最大值，∴，即实数的取值范围为24⎛-∞⎝⎦，. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.（2）f (x )<5-m ,即()216m x x -+<. 因为210x x -+>,所以m <261x x -+对于x ∈[1,3]恒成立.记g (x )=261x x -+=2613()24x -+,x ∈[1,3],易知()()min637g x g ==,所以67m <. 即实数m 的取值范围为(6,)7-∞.8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．1．设,则下列结论中正确的是A ．c c a b C ．a c b c <D ．22ac bc >2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===,则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<3．不等式()2521x x +≥-的解集是A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1[,1)1,32D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．实数，，满足且，则下列关系式成立的是 A ． B ． C ．D ．5．已知的大小关系为A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定,与的取值有关6．设集合,则A ．B ．C ．D ．7．已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 A ．[]6,14- B ．[]2,14- C ．[]2,10-D ．[]6,10-8．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2]-D ．(,2]-∞- 9．已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出11a b<成立的有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．12．已知函数=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是A ．0<m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥1D ．0≤m ≤413．设,a b 是不相等的正数，2a ba bx y ++==，则,x y 的大小关系是___________．(用“<”连接） 14．不等式的解集是___________．15．已知实数,则的取值范围是___________.16．函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为___________.17．已知关于的不等式的解集为，则__________． 18．已知实数满足：，，则的最小值是___________.19．若关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，则k 的取值范围为___________.20．已知0a b >>，0c d <<，0e <，试比较e a c -与eb d-的大小．21．已知11222x y+≤-≤,12-≤3x+y≤12,求9x+y的取值范围.22．解下列不等式：（1）；（2）.23．已知不等式的解集为.（1）求实数的值;（2）若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24．已知不等式的解集是.（1）求，的值；（2）解不等式0c xax b->+(为常数) .25．（1）解关于的不等式a ；（2）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.26．已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立，求实数的值.1．（2017 天津文科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则错误！未找到引用源。

高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件文湘教版

推理与证明
3/24/2019
6.1 不等关系与不等式
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b＞0 a＞b;a-b=0 a＝b ;a-b＜0 a＜b. 2.不等式的基本性质（1）对称性:a＞b b＜a .（2）传递性:a＞b,b＞c a＞c . （3）加法性质:a＞b a+c＞ b+c;a＞b,c＞d a+c＞ b+d. （4）减法性质:a＞b,c＜d a-c＞ b-d. （5）乘法性质:a＞b,c＞0 ac ＞ bc;a＞b,c＜0 ac< bc;a＞b＞0,c＞d＞0 ac ＞ bd. 1 1 1 1 （6）倒数法则:a＞b,ab＞0 < ; ＜ ,ab＞0 a ＞ b.（同号即可,而不要求 a,b 均大于 0） a b a b n （7）乘方性质:a＞b＞0 a＞ bn（n∈N*,n＞1）. （8）开方性质：a>b>0 n a > n b （n∈N*,n>1）. 1 1 【思考探究】 a＞b 成立吗? a b 提示：不成立.只有当 a、b 同号时成立
a b ac bd 0 d c cd
∴故②正确.
∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确. ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选 C. 方法二取特殊值一一验证. 【答案】 C
3/24/2019
3.(2013·北京西城期末)已知 a>b>0，给出下列四个不等式：① a 2 b 2 ； ② 2a 2b 1； ③ a b a b； ④ a 3 b3 2 a 2 b . 其中一定成立的不等式为 A.①②③B.①②④ C.①③④D.②③④ 【解析】由 a＞b＞0 可得 a 2 b 2 ，①成立；由 a＞b＞0 可得 a＞b－1，而函数 f(x)＝ 2 x 在 R 上是增函数， ∴f(a)＞f(b－1)，即 2a 2b 1，②成立；∵a＞b＞0，∴ a b ， ∴ a b a b 2 ab 2b 2 b a b 0 ，

(通用版)2019版高考数学一轮复习第7章不等式 1 第1讲不等关系与不等式教案理

第1讲不等关系与不等式知识点考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组)的实际背景。

一元二次不等式的解法会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.二元一次不等式（组)与简单的线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

基本不等式错误!≥错误!（a≥0,b≥0)了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b〉0⇔a〉b；a－b＝0⇔a＝b；a－b〈0⇔a<b．2．不等式的基本性质（1）对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；（3）可加性:a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd;（5）可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N,n≥1）；（6）可开方：a＞b＞0⇒错误!＞错误!(n∈N，n≥2）．3．不等式的一些常用性质（1)有关倒数的性质①a〉b,ab>0⇒1a<错误!。

②a〈0〈b⇒错误!<错误!.③a>b〉0，0〈c<d⇒错误!>错误!。

④0<a<x〈b或a〈x<b<0⇒错误!<错误!<错误!.（2)有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!<错误!；错误!>错误!(b－m>0）．②错误!〉错误!;错误!〈错误!(b－m〉0）．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）两个实数a，b之间,有且只有a>b，a＝b，a〈b三种关系中的一种．( )（2)若错误!〉1,则a〉b.（)(3）一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )(5）同向不等式具有可加性和可乘性．( ）（6）两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母．（)答案：（1)√(2)×(3)×(4)×（5)×(6）√(教材习题改编)设A＝(x－3）2，B＝（x－2)（x－4)，则A与B的大小关系为( ）A．A≥B B．A＞BC．A≤B D．A＜B解析：选B。

2019高考数学一轮复习第三章不等式第13课一元二次不等式及其解法教师用书

第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式ax 2＋x －1>0一定是一元二次不等式．( ) (2)不等式x －2x ＋1≤0⇔(x －2)(x ＋1)≤0.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.]4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32[原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2017·宿迁模拟)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<x <3.即不等式x 2－bx －a <0的解集为(2,3)．](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．。

2019版数学(文)教师用书：第六章第一节不等关系与一元二次不等式含答案

第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据（1）a－b＞0⇔a＞b。

(2）a－b＝0⇔a错误!b。

（3)a－b＜0⇔a错误!b.2．不等式的性质（1）对称性：a〉b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b〉c⇒a>c；（3)可加性：a〉b⇔a＋c错误!b＋c；a〉b,c>d⇒a＋c错误!b＋d;（4)可乘性：a>b，c>0⇒ac错误!bc;a〉b>0,c〉d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性:a〉b〉0⇒a n>b n(n∈N，n≥1）；（6)可开方性:a〉b〉0⇒错误!错误!错误!(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系在不等式ax＋bx＋c>0（a≠0）中，如果二次项系数a<0，则可根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）两个实数a，b之间，有且只有a〉b，a＝b，a〈b三种关系中的一种．()（2)若错误!〉1,则a>b。

（）(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．（)（4）一个非零实数越大，则其倒数就越小．（)（5）同向不等式具有可加性和可乘性．()(6）若不等式ax2＋bx＋c〈0的解集为（x1,x2),则必有a>0。

（) (7）若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx ＋c>0的解集为R。

(）答案：（1)√(2）×(3)×(4)×（5)×(6)√（7）×2．函数f(x)＝3x－x2的定义域为（）A．［0,3]B．(0，3）C．（－∞,0]∪[3，＋∞) D．（－∞，0）∪（3,＋∞）解析：选A要使函数f（x）＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0,即x2－3x≤0,解得0≤x≤3.3．若a〈b〈0，则下列不等式不能成立的是（）A.1a－b>错误! B.错误!>错误!C．|a|〉｜b｜D．a2>b2解析：选A取a＝－2，b＝－1，则错误!〉错误!不成立．4．若集合A＝｛x｜ax2－ax＋1〈0｝＝∅,则实数a的取值范围是()A．（0，4）B．［0,4）C．（0，4］D．［0,4］解析：选D当a＝0时，满足条件；当a≠0时,由题意知a〉0且Δ＝a2－4a≤0，得0〈a≤4，所以0≤a≤4。

2019版高考数学文一轮复习教师用书：第六章第一节不

第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 2转化为正数，再对照上表求解．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(7)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× 2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选A 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 3．若a 1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2 解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.答案：－146．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0. ∴－3<α－|β|<3. 答案：(－3,3)考点一不等式的性质及应用 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜2．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.答案：S 3a 3＜S 5a 5[题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法考法(二) 不等式的性质3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，所以a d ＜bc .故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒ 1d ＜1c ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ；又∵－32＜－23，排除A ，故选B.4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a <b ，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D错误．6．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18) [题型技法]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4； (3)2x ＋1x －5≥－1； (4)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5. (4)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [解题师说]1．解一元二次不等式的4个步骤求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔{ f (x )·g (x )≥0(≤0)， g (x )≠0. 3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[冲关演练]1．设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为{ x <0， x ＋6>3或{ x ≥0， x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a . 解得{ a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞. 考点三一元二次不等式恒成立问题 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则{ a －2<0， Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即{ a －2<0， a 2<4，解得－2<a <2.∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [题型技法]一元二次不等式在R 上恒成立的条件角度(二) 形如f (x )≥2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求实数b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [题型技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .角度(三) 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[题型技法]一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．[冲关演练]1．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：⎝⎛⎭⎫－22，0(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0， ∴M >N .2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B.⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C.⎝⎛⎭⎫0，3π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{}x |－1<x <3，B ＝{}x |－3<x <2，所以A∩B＝{}x |－1<x <2，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.4．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．(2018·广东清远一中一模)若关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确。

2019版高考(文)高分计划一轮：6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

第6章不等式6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[知识梳理]3．必记结论(1)a>b，ab>0⇒1a<1b.(2)a<0<b⇒1a<1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd .(4)0<a<xb>0，m>0，则b a b －m a －m (b －m>0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m>0)． 4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． (2)顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)．(3)两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系[诊断自测] 1．概念思辨(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为R.( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 74T 3)下列四个结论，正确的是( )①a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ；②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bd ；③a ＞b ＞0⇒3a ＞3b ；④a ＞b ＞0⇒1a2＞1b2. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③ 答案 D解析利用不等式的性质易知①③正确．故选D.(2)(必修A5P 80A 组T 3)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) 解析由题意知Δ＝(m ＋1)2＋4m ＞0. 即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 3.小题热身(1)(2014·四川高考)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c 答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．故选D.(2)已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12 C ．{x|－2＜x ＜1} D ．{x|x ＜－2或x ＞1}答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2＋x －1＜0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，故选A.题型1 不等式性质的应用典例1 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小关系是________．比较两数的大小，应考虑a>b ⇔a －b>0.答案 |log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|解析 (作差法)当a ＞1时，log a (1－x)＜0，log a (1＋x)＞0，∴|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x)－log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)＞0. 当0＜a ＜1时，log a (1－x)＞0，log a (1＋x)＜0，∴|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)＋log a (1＋x)＝log a (1－x 2)＞0. ∴|log a (1－x)|＞|log a (1＋x)|.典例2 已知二次函数y ＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．采用方程组法，找出f(－2)的表达式与f(1)，f(－1)的关系，再根据不等式性质求范围．解由题意知f(x)＝ax 2＋bx ，则f(－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x(a ＋b)＋y(a－b)，即4a －2b ＝(x ＋y)a ＋(x －y)b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f(－2)＝4a －2b ＝(a ＋b)＋3(a －b)．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b)≤6，所以6≤(a ＋b)＋3(a －b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．[条件探究] 将本典例条件变为⎩⎪⎨⎪⎧3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，求x3y4的最大值．解设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x2m ＋n y 2n －m，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又∵16≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13，∴2≤x 3y 4≤27，故x3y 4的最大值为27.方法技巧不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1. 2．不等式的性质及应用解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．3．求代数式的取值范围(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围．如冲关针对训练．冲关针对训练(2017·长春模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a|＋b>0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b2中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 C解析由1a <1b<0，可知b<a<0.①中，因为a ＋b<0，ab>0，所以1a ＋b <0，1ab >0，故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；③中，因为b<a<0，又1a <1b <0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b<a<0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在其定义域上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确，故选C. 题型2 不等式的解法典例1 已知不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为{x|α<x<β，α>0，β>0}，求不等式cx 2＋bx ＋a<0的解集是________．采用方程组法先确定a ，b 的值，然后代入待解不等式求解．答案{|x x>1α或x<1β} 解析 ∵ax 2＋bx ＋c>0的解集为{x|α<x<β}， ∴a<0，α，β为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，0<α<β. ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－ba ，α·β＝ca.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a (α＋β)，c ＝a αβ.∴不等式cx 2＋bx ＋a<0可转化为a αβx 2－a(α＋β)x ＋a<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1>0. ∴(αx －1)(βx －1)>0. ∴x>1α或x<1β.∴不等式cx 2＋bx ＋a<0的解集为{|x x>1α或x<1β}.典例2解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax(a ∈R)．本题采用分类讨论思想．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.(2)当a>0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.(3)当a<0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a<－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a <－1，即0>a>－2，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ≤－1}；当a>0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a<0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .方法技巧1．一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．如典例1，冲关针对训练． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．如典例2中对参数a 进行分类讨论，在讨论时要明确讨论的依据是什么．冲关针对训练(2013·四川高考)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 ∵f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)．又x ≥0时，f(x)＝x 2－4x ， ∴不等式f(x ＋2)＜5⇒f(|x ＋2|)＜5 ⇒|x ＋2|2－4|x ＋2|＜5 ⇒(|x ＋2|－5)(|x ＋2|＋1)＜0 ⇒|x ＋2|－5＜0⇒|x ＋2|＜5 ⇒－5＜x ＋2＜5⇒－7＜x ＜3. 故解集为(－7,3)．题型3 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性典例(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．转化为函数的恒成立和存在性问题．解 (1)设f(x)＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f(x)＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f(x)min ＞0，即f(x)min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f(x)＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f(x)≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f(x)min ≤－3，即f(x)min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题典例设函数f(x)＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________．数形结合思想，分类讨论法．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0解析要使f(x)＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max ＝g(3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max ＝g(1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 角度3 给定参数范围的恒成立问题典例已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3)采用主元与次元转化法．将已知a 的范围的次元变为主元．答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f(a)＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f(－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f(1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.方法技巧形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路1．x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如角度1典例． 2．x ∈[a ，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求范围．如角度2典例．3．已知参数m ∈[a ，b]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如角度3典例．冲关针对训练1．设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|a>0} B.{|a a>12}C.{|a a>14}D ．{a|a>0或a<－12}答案 B解析设f(x)＝x 2＋ax －3a ，因为对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a<0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a<0，1－2a<0，解得a>12.故选B.2．设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.1．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b)B.b 2a ＜log 2(a ＋b)＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b)＜b 2D ．log 2(a ＋b)＜a ＋1b ＜b2答案 B解析解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b)＞log 2(2ab)＝1. ∵ab ＝1，∴b ＝1a.∵a>b>0，∴a>1a >0，∴a>1,0<b<1,2a>2，∴b2a <1. ∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a>a ＋b>log 2(a ＋b)，∴b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1b.故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b)＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b)＜a ＋1b.故选B. 2．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D.有下面四个命题：p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3 答案 B解析设x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －2y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4，∴43(x ＋y)≥43，－13(x －2y)≥－43，∴x ＋2y ＝43(x ＋y)－13(x －2y)≥0.∴x ＋2y 的取值范围为[0，＋∞)．故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误．故选B.3．(2018·湖北优质高中联考)已知g(x)是R 上的奇函数，当x ＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，且f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0.若f(2－x 2)＞f(x)，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(－2,1)答案 D解析若x ＞0，则－x ＜0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln (x ＋1)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，则函数f(x)是R 上的增函数，所以当f(2－x 2)＞f(x)时，2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1，故选D.4．(2018·湖南长沙调研)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析要满足f(x)＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知集合A ＝{x|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x|x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3} B ．{1,3} C ．{2} D ．{3} 答案 C解析 A ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，B ＝{x|x 2－2x －3≤0，x ∈N *}＝{1,2,3}，故A ∩B ＝{2}，故选C.2．(2017·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当a ≥b 时，(a －b)a 2≥0成立；当(a －b)a 2≥0时，由a 2>0得a －b ≥0，即a ≥b ，由a ＝0不能得到a ≥b ，a2a>2cB ．2a >2b >2cC ．2c>2b>2aD ．2c>2a>2b答案 A4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.故选A.5．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b)(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b)(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a ＞2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ＞qC ．p ＜qD ．p ≤q 答案 A解析由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q.故选A. 7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x ≥0时，f(x)＝x 3，若不等式f(－4t)>f(2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 A解析 ∵f(x)在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在R 上是增函数，结合题意得－4t>2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m<0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x<16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f(x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f(2x －1)－f(x ＋1)>0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 答案 D解析 ∵y ＝f(x ＋2)为偶函数，∴y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．∵f(x)在(2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，又f(2x －1)－f(x ＋1)>0，∴f(2x －1)>f(x ＋1)．当x>2时，2x －1>x ＋1，要使f(2x －1)>f(x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x<1(舍去)；当x<2时，2x －1<x ＋1，要使f(2x －1)>f(x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x>32，∴32<x<2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x>43，∴43<x ≤32.综上，43<x<2，故选D.10．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x<0，若关于x 的不等式[f(x)]2＋af(x)－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8 答案 D解析函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x<0的图象如图所示，①当b ＝0时，原不等式化为 [f(x)]2＋af(x)<0，当a>0时，解得－a<f(x)<0，由于不等式[f(x)]2＋af(x)<0恰有1个整数解，因此其整数解为3. 又f(3)＝－9＋6＝－3，∴－a<－3，－a ≥f(4)＝－8，则3<a ≤8. 易知当a ≤0时不合题意．②当b ≠0时，对于[f(x)]2＋af(x)－b 2<0，Δ＝a 2＋4b 2>0，解得－a －a 2＋4b 22<f(x)<－a ＋a 2＋4b 22，又－a －a 2＋4b 22<0<－a ＋a 2＋4b22，f(x)＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意．综上可得a 的最大值为8.故选D.二、填空题11．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z ＞y ＞x解析 ∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)＞0，∴y 2>x 2，即y>x. z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0，故z 2>y 2，即z ＞y ，故z>y>x.12．(2018·汕头模拟)若x>y ，a>b ，则在①a －x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x>y ，a>b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析原不等式等价于x(x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.14．(2017·江苏模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析解法一：由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a24，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f(x)<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.解法二：由题意知，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，∵f(x)的值域为[0，＋∞)．∴b ＝a 24.又∵f(x)<c 可化为x 2＋ax ＋a 24－c<0，且f(x)－c<0的解集为(m ，m ＋6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a24－c ，∴c ＝a 24－m(m ＋6)＝(2m ＋6)24－m 2－6m ＝364＝9.三、解答题15．(2017·昆明模拟)设f(x)＝ax 2＋bx ，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a －2b ＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.16．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当x ∈(－3,2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x ∈(－3,2)时，f(x)>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f(x)为减函数，函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12，故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。

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第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系2转化为正数，再对照上表求解．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(7)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× 2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选A 要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 3．若a 1a B.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2 解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 当a ＝0时，满足条件；当a ≠0时，由题意知a >0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.答案：－146．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0.∴－3<α－|β|<3. 答案：(－3,3)考点一不等式的性质及应用 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜2．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5.当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5.综上可知S 3a 3＜S 5a 5.答案：S 3a 3＜S 5a 5[题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法考法(二) 不等式的性质3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，所以a d ＜bc .故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd＜0⇒ 1d ＜1c ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项C 、D ；又∵－32＜－23，排除A ，故选B.4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a <b ，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D错误．6．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18) [题型技法]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4； (3)2x ＋1x －5≥－1； (4)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5. (4)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [解题师说]1．解一元二次不等式的4个步骤求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔{ f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[冲关演练]1．设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为{ x <0，x ＋6>3或{ x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a . 解得{ a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.考点三一元二次不等式恒成立问题 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则{ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即{ a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2.∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [题型技法]一元二次不等式在R 上恒成立的条件角度(二) 形如f (x )≥2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求实数b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.所以实数b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [题型技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .角度(三) 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [题型技法]一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．[冲关演练]1．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：⎝⎛⎭⎫－22，0(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0， ∴M >N .2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2 B.⎝⎛⎭⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎫0，3π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.3．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{}x |－1<x <3，B ＝{}x |－3<x <2，所以A∩B＝{}x |－1<x <2，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.4．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．(2018·广东清远一中一模)若关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确。

2019届高考文科数学一轮复习教师用书：6.1不等关系与一元二次不等式

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