浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题(精品解析)

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浙江省浙南名校联盟2018_2019学年高二数学上学期期末联考试题(含解析)

浙江省浙南名校联盟2018_2019学年高二数学上学期期末联考试题(含解析)

浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二数学上学期期末联考试题(含解析)选择题部分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则使成立的的值是()A. -1B. 0C. 1D. -1或1【答案】A【解析】【分析】根据集合A,B,以及B⊆A即可得出,从而求出a=﹣1.【详解】解:∵A={﹣1,0,1},B={a,a2},且B⊆A;∴∴a=﹣1.故选:A.【点睛】本题考查列举法的定义,集合元素的互异性,以及子集的定义.2.已知复数,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把z=﹣2+i代入,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由z=﹣2+i,得.故选:A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.若为实数,则“”是“”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:由得0<a<1,则“a<1”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.4.若实数,满足约束条件,则的最大值为()A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,可得当x,y时,z取得最大值.【详解】解:作出变量x,y满足约束条件表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(,),B(,﹣1),C(2,﹣1)设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值=F(,).故选:C.【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.6.设函数,将的图像向平移个单位后,所得的函数为偶函数,则的值可以是()A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,可得平移后函数的解析式,再根据三角函数的奇偶性,求得ω的值.【详解】解:将函数f(x)=2sin(ωx)的图象向右平移个单位后,可得y=2sin(ωx)的图象.∵所得的函数为偶函数,∴kπ,k∈Z.令k=﹣1,可得ω,故选:D.【点睛】本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的奇偶性,属于基础题.7.函数的图像可能是()A. B.C. D.【答案】A【分析】判断函数的奇偶性和对称性,利用特征值的符号是否一致进行排除即可.【详解】解:f(﹣x)f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D,函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1},由f(x)=0得 sin x=0,得距离原点最近的零点为π,则f()0,排除C,故选:A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键.8.设等差数列的前项和为,数列的前项和为,下列说法错误..的是()A. 若有最大值,则也有最大值B. 若有最大值,则也有最大值C. 若数列不单调,则数列也不单调D. 若数列不单调,则数列也不单调【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质知数列{a2n﹣1}的首项是a1,公差为2d,结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可.【详解】解:数列{a2n﹣1}的首项是a1,公差为2d,A.若S n有最大值,则满足a1>0,d<0,则2d<0,即T n也有最大值,故A正确,B.若T n有最大值,则满足a1>0,2d<0,则d<0,即S n也有最大值,故B正确,C.S n=na1•d n2+(a1)n,对称轴为n,T n=na1•2d=dn2+(a1﹣d)n,对称轴为n•,不妨假设d>0,若数列{S n}不单调,此时对称轴n,即1,此时T n的对称轴n•1,则对称轴•有可能成立,此时数列{T n}有可能单调递增,故C错误,D.不妨假设d>0,若数列{T n}不单调,此时对称轴n•,即2,此时{S n}的对称轴n2,即此时{S n}不单调,故D正确则错误是C,故选:C.【点睛】本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系,涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断,综合性较强,难度较大.9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点,,点是,的交点,若是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设∠F1PF2=θ,则,得出,利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出,结合c=2,可得出,然后将椭圆和双曲线的方程联立,求出交点P的横坐标,利用该点的横坐标位于区间(﹣c,c),得出,可得出,从而得出椭圆C1的离心率e 的取值范围.【详解】解:设∠F1PF2=θ,则,所以,,则,由焦点三角形的面积公式可得,所以,,双曲线的焦距为4,椭圆的半焦距为c=2,则b2=a2﹣c2=a2﹣4>3,得,所以,椭圆C1的离心率.联立椭圆C1和双曲线C2的方程,得,得,由于△PF1F2为锐角三角形,则点P的横坐标,则,所以,.因此,椭圆C1离心率e的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质,解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用,起到了化简的作用,同时也考查了计算能力,属于中等题.10.如图,在棱长为1正方体中,点,分别为边,的中点,将沿所在的直线进行翻折,将沿所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误..的是()A. 无论旋转到什么位置,、两点都不可能重合B. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为C. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为D. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为【答案】D【解析】【分析】利用圆锥的几何特征逐一判断即可.【详解】解:过A点作AM⊥BF于M,过C作CN⊥DE于N点在翻折过程中,AF是以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的母线,同理,AB,EC,DC也可以看成圆锥的母线;在A中,A点轨迹为圆周,C点轨迹为圆周,显然没有公共点,故A正确;在B中,能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°,又AF,EC分别可看成是圆锥的母线,只需看以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可,故B正确;在C中,能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°,只需看以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故C正确;在D中,能否使得直线与直线所成的角为,只需看以B为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故D不成立;故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力,考查数形结合思想,是中档题.非选择题部分二、填空题.11.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】直接根据双曲线的简单性质即可求出.【详解】解:在双曲线1中,a2=2,b2=1,则c2=a2+b2=3,则a,b=1,c,故双曲线1的渐近线方程是y=±x,焦点坐标(,0),故答案为:y=±x,(,0)【点睛】本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.12.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,则___;的面积是___【答案】 (1). 2 (2).【解析】【分析】由余弦定理可求c,利用同角三角函数的基本关系式求出sin C,然后由△ABC的面积公式求解即可.【详解】解:在△ABC中,a=b,cos C,由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2ab cos C4,则c=2;在△ABC中,∵cos C,∴sin C,∴S△ABC ab•sin C.故答案为:2;.【点睛】本题考查余弦定理,考查同角三角函数的基本关系式的应用,考查三角形的面积公式,是基础题.13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____;表面积为____.【答案】 (1). 3 (2). 9+【解析】【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱,结合图中数据求出它的体积和表面积.【详解】解:根据三视图知该几何体是直三棱柱,如图所示;则该几何体的体积为V=S△ABC•AA13×1×2=3;表面积为S=2S△ABC=23×1+3×2+22=9+22.故答案为:3,9+22.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题,是基础题.14.若实数,满足,则的最小值为____.【答案】4【解析】【分析】由已知可知,2(a﹣1)+b﹣2=2,从而有()[2(a﹣1)+b﹣2)],利用基本不等式可求最小值.【详解】解:∵a>1,b>2满足2a+b﹣6=0,∴2(a﹣1)+b﹣2=2,a﹣1>0,b﹣2>0,则()[2(a﹣1)+b﹣2)],(4),当且仅当且2a+b﹣6=0即a,b=3时取得最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用,解题的关键是配凑基本不等式的应用条件.15.已知直线,曲线,若直线与曲线相交于、两点,则的取值范围是____;的最小值是___.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点,结合图象知:k PE≤k≤k PO,求出直线PO和PE 的斜率即可;当PC⊥AB时,|AB|最小.【详解】解:直线l:kx﹣y k=0过定点(1,),曲线C为半圆:(x﹣2)2+y2=4(y≥0)如图:由图可知:k OP,k PE,∴;要使弦长AB最小,只需CP⊥AB,此时|AB|=22,故答案为:[,];.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了垂径定理,考查了数形结合思想,属于中档题.16.点是边长为2的正方形的内部一点,,若,则的取值范围为___.【答案】(]【解析】【分析】根据题意可知λ,μ>0,根据条件对λμ两边平方,进行数量积的运算化简,利用三角代换以及两角和与差的三角函数,从而便可得出λμ的最大值.【详解】解:如图,依题意知,λ>0,μ>0;根据条件,12=λ22+2λμ•μ22=4λ2+4μ2.令λ,μ=sinθ,.∴λμ=cosθsinθ=sin(θ);θ, sin(θ)(]∴的取值范围为(]故答案为(].【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式,以及辅助角公式,三角代换的应用,考查转化思想以及计算能力.17.函数,若此函数图像上存在关于原点对称的点,则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】根据函数图象上存在关于原点对称的点,转化为f(﹣x)=﹣f(x)有解,利用参数分离法进行转化求解即可.【详解】解:若函数图象上存在关于原点对称的点,即f(﹣x)=﹣f(x)有解,即a﹣2x﹣ma﹣x=﹣(a2x﹣ma x)=﹣a2x+ma x,即a2x+a﹣2x=m(a x+a﹣x),即m(a x+a﹣x),设t=a x+a﹣x,则t≥22,则(a x+a﹣x)t在[2,+∞)为增函数,∴h(t)=t h(2)=2﹣1=1,则要使m=h(t)=t有解,则m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞),故答案为:[1,+∞).【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为f(﹣x)=﹣f(x)有解,利用参数分离法进行转化是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知函数.(Ⅰ)若为锐角,且,求的值;(Ⅱ)若函数,当时,求的单调递减区间.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值,进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解;(Ⅱ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2sin(2x),根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】(Ⅰ)为锐角,,,,,(Ⅱ),,,所以单调递减区间是【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的单调性的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.19.如图,在四棱锥中,平面,,,,,.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)推导出AC⊥PC,AC⊥CD,由此能证明AC⊥平面PCD;(Ⅱ)过D作直线DH⊥PC,AC⊥DH,DH⊥平面PAC,从而∠DCH为直线CD与平面PAC所成线面角,由此能求出直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值.【详解】(Ⅰ),,,,,,,,有公共点,,(Ⅱ)方法1:过作直线垂直于,为垂足,,,,为所求线面角,,,方法2:如图建立空间直角坐标系,,,,直线与所成线面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.20.已知数列满足:,.(Ⅰ)求证:是等比数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)令,设数列的前项和为,若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)运用等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;(Ⅱ)求得b n=log2(a n+1)=2n﹣1,(),由裂项相消求和,可得S n,再由参数分离和基本不等式可得所求范围.【详解】(Ⅰ)由得且是以4为公比的等比数列,,(Ⅱ),,,,且,当且仅当n=2时取等号,,【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式的运用,考查数列的裂项相消求和,考查不等式恒成立问题解法,注意运用基本不等式,考查运算能力,属于中档题.21.已知椭圆过点,且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于,两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线,使得,若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)椭圆(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)根据已知条件列有关a、b、c的方程组,求出a和b的值,即可得出椭圆C1的方程;(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+t,先利用导数写出直线l的方程,于是得到k=2x0,,将直线l的方程与椭圆C1的方程联立,列出韦达定理,由并代入韦达定理,通过计算得出t的值,可得出x0的值,从而可得出直线l的方程.【详解】(Ⅰ)由题知,得,所以椭圆,(Ⅱ)设的方程:,由(1)知,的方程:,故 . 由,得.所以,即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,化简有5t2-2t-3=0,所以t=1或t=,,,【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用,同时也考查了计算能力,属于中等题.22.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若,求证:.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见证明【解析】(Ⅰ)利用导数与函数单调性的关系求解;(Ⅱ)af(x)>lnx⇔.令F(x),F′(x)(x>0).①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;②当>1时,令G(x),利用导数求得最小值大于0即可.【详解】解.(1)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),∵,∴x∈(﹣∞,0),(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0∴函数f(x)的单调增区间为:(1,+∞),减区间为(﹣∞,0),(0,1).(2)af(x)>lnx⇔.令F(x),F′(x).(x>0).①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;②当>1时,令G(x),G.∴G(x)在(1,+∞)单调递增,∵x→1时,G(x)→﹣∞,G(2)=e20,∴G(x)存在唯一零点0∈(1,2),F(x)min=F(x0)∵G(x0)=0,.综上所述,当时,af(x)>lnx成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

【校级联考】浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题

【校级联考】浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题

绝密★启用前【校级联考】浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.设集合 , ,则使 成立的 的值是( ) A .-1 B .0 C .1 D .-1或1 2.已知复数 ,则( )A .B .C .D . 3.若 为实数,则“ ”是“”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量 , 满足约束条件,则 的最大值是A .B .C .0D .5.在 中, 是 的中点, ,点 在 上且满足 ,则 等于( )A .B .C .D .6.设函数,将 的图象向右平移个单位后,所得的函数为偶函数,则 的值可以是 A .1 B .C .2D .…………○…………○…………线…………○※※请※※不※※…………○…………○…………线…………○7.函数的图像可能是( )A .B .C .D .8.设等差数列 的前 项和为 ,数列 的前 项和为 ,下列说法错误..的是( ) A .若 有最大值,则 也有最大值 B .若 有最大值,则 也有最大值 C .若数列 不单调,则数列 也不单调 D .若数列 不单调,则数列 也不单调 9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点 , ,点是 , 的交点,若 是锐角三角形,则椭圆 离心率 的取值范围是( ) A .B .C .D .10.如图,在棱长为1正方体 中,点 , 分别为边 , 的中点,将 沿 所在的直线进行翻折,将 沿 所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误..的是( )A .无论旋转到什么位置, 、 两点都不可能重合B .存在某个位置,使得直线 与直线 所成的角为C .存在某个位置,使得直线 与直线 所成的角为D .存在某个位置,使得直线 与直线 所成的角为………外…………○……订…………○________考号:___________………内…………○……订…………○第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.12.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,若 ,,则 ___; 的面积是___13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为______;表面积为______.14.若实数 , 满足 ,则的最小值为____.15.已知直线,曲线 若直线 与曲线 相交于 、 两点,则 的取值范围是____; 的最小值是___.16.点 是边长为2的正方形 的内部一点, ,若 ,则 的取值范围为___.17.函数 且 ,若此函数图像上存在关于原点对称的点,则实数 的取值范围是____.18.如图,在四棱锥 中, 平面 , , , , , .(Ⅰ)求证 平面 ;(Ⅱ)求直线 与平面 所成线面角的正弦值.………○…………订在※※装※※订※※线※※内………○…………订三、解答题19.已知函数 . (Ⅰ)若 为锐角,且,求 的值; (Ⅱ)若函数 ,当 时,求 的单调递减区间. 20.已知数列 满足: , . (Ⅰ)求证: 是等比数列,并求数列 的通项公式; (Ⅱ)令 ,设数列的前 项和为 ,若 对一切正整数 恒成立,求实数 的取值范围. 21.已知椭圆过点 ,且离心率为.过抛物线上一点 作 的切线 交椭圆 于 , 两点.(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出 的方程;若不存在,请说明理由. 22.已知函数.(Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若,求证: .参考答案1.A【解析】【分析】根据集合A,B,以及B A即可得出,从而求出a=﹣1.【详解】解:∵A={﹣1,0,1},B={a,a2},且B A;∴∴a=﹣1.故选:A.【点睛】本题考查列举法的定义,集合元素的互异性,以及子集的定义.2.A【解析】【分析】把z=﹣2+i代入,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由z=﹣2+i,得.故选:A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.B【解析】【分析】求出不等式>的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:由>得0<a<1,则“a<1”是“>”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.4.B【解析】【分析】画出变量,满足的可行域,目标函数经过点时,取得最大值,求出即可。

2018~2019学年浙江省名校协作体(G12)高二上学期9月联考数学试题(解析版)

2018~2019学年浙江省名校协作体(G12)高二上学期9月联考数学试题(解析版)

绝密★启用前浙江省名校协作体(G12)2018~2019学年高二年级上学期9月联考数学试题(解析版)一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.若集合,,那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B,由此利用交集定义能求出A∩B.【详解】∵集合,,∴.故选:A.【点睛】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析:由对数函数的性质,所以,b<a<c,故选D。

考点:本题主要考查对数函数的性质。

点评:简单题,涉及比较函数值的大小问题,首先考虑函数的单调性,必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。

3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式,整理即可。

【详解】解:将函数的图象向左平移个单位得到的图象, 故选:C.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,函数的图象变换规律,属于基础题.4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数,由此排除B和D, ,由此排除A.由此能求出结果.【详解】∵(e为自然对数的底数)是偶函数,∴函数(e为自然对数的底数)的图象关于y轴对称,由此排除B和D,∴,由此排除A.故选:C.【点睛】本题考查函数的图象的判断,考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.5.设实数x,y满足约束条件,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】。

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考试题数学(含答案)

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考试题数学(含答案)

2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = ( ▲ )A .)3,0(B .),1(+∞-C .)1,0(D .),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 ( ▲ ) A .b c a <<B .a c b << C .c b a << D .c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象,则 ( ▲ ) A .x x f 2sin )(= B .x x f 2cos )(=C .x x f 2sin )(-=D .x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 ( ▲ )5.设实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是( ▲ )A .[2,1]--B .]0,1[-C .]1,1[-D .[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅,则下列说法正确的是 (▲ )A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值,若,x y 为任意正实数,令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则M 的最大值是( ▲ )A.3B.2239.平面向量,a b 满足,()240aa b -⋅-=,3b =,则a 最大值是 ( ▲ )A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3341S S S -=.若11a >,则 ( ▲ ) A .1324,a a a a << B .1324,a a a a <>C .1324,a a a a >< D .1324,a a a a >>第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)11.已知向量,若 ,则 ▲,若则 ▲.12.已知3sin()45πα+=,则3sin()4πα-=____▲____;sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---,若()f x 为奇函数且非偶函数,则a =__▲___; 若()1f x >的解集为空集,则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中,2111,1(2),n n a a a n -==+≥,则数列{}n a 的通项公式为___▲___; 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++,则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数,满足23a b +=,则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点,则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题(本大题共5个题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(14分)已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--,求cos2x 的值; 19.(15分)如图所示, ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)点D 为边AB 的中点, 2BD =,求ABC ∆面积的最大值.20.(15分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.(15分)已知函数:),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ,解关于x 的不等式x x f ≥)((结果用含m 式子表示); (Ⅱ)若存在实数m ,使得当[]2,1∈x 时,不等式x x f x 4)(≤≤恒成立,求负数..n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ,求证:;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-,求:b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4; 12. 37,525-; 13. 1,[0,2]- ;14.n a =,119; 15.3; 16.0;17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解:函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解,且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解.由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥,即2m ≥或1m ≤-.由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. (1)31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++. ——————2分 若()f x 单调递增,则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分(2)由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--,即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=, ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==; —————14分19.(1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中,设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以,2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 (Ⅱ)当2n ≥时,112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时,时,解得:①时,原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时,原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈(Ⅱ)时,恒成立,等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分(注:其它做法相应给分)22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-,则0x >,可设2()=()0a b g x x +>()[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证:在上递减,上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><,同理,当1时, ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分(注:其它做法相应给分)。

2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期末数学试卷(解析版)

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l,使得 DA⊥DB,若存在,求出 l 的方程;若不存在,求说明理由.
22.(15 分)已知函数

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若
,求证:af(x)>lnx.
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2018-2019 学年浙江省浙南名校联盟高二(上)期末数学 试卷
,则 z=x+2y 的最大值是( )
A.
B.
C.0
D.
5.(4 分)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 =2 ,则 (•
+ )等于( A.
) B.
C.
D.
6.(4 分)设函数 f(x)=2sin(ωx+ ),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,所
得的函数为偶函数,则 ω 的值可以是( )
的最小值为

15.(6 分)已知直线 l:kx﹣y+ =0,曲线 C=y=
,若直线 l 与曲线 C 相交于
A、B 两点,则 k 的取值范围是
;|AB|的最小值是

16.(4 分)点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内部一点,
,若
(λ,
μ∈R),则 λ+μ 的取值范围为

17.(4 分)函数 f(x)=a2x﹣max(a>0 且 a≠1),若此函数图象上存在关于原点对称的点,
得 0<a<1,
则“a<1”是“
”的必要不充分条件,
故选:B.
4.【解答】解:作出变量 x,y 满足约束条件
表示的平面区域,
得到如图的△ABC 及其内部, 其中 A( , ),B(﹣ ,﹣1),C(2,﹣1) 设 z=F(x,y)=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F( , )= . 故选:B.

浙江省名校协作体2018_2019学年高二数学上学期9月联测试题

浙江省名校协作体2018_2019学年高二数学上学期9月联测试题

浙江省名校协作体2018-2019学年高二数学上学期9月联考试题考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题卷。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = ( ▲ )A .)3,0(B .),1(+∞-C .)1,0(D .),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 ( ▲ )A .b c a <<B .a c b <<C .c b a <<D .c a b << 3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象,则 ( ▲ ) A .x x f 2sin )(= B .x x f 2cos )(=C .x x f 2sin )(-=D .x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 ( ▲ )5.设实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是( ▲ )A .[2,1]--B .]0,1[-C .]1,1[-D .[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅,则下列说法正确的是 (▲ ) A. ()f x 的最小正周期为π B.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值,若,x y 为任意正实数,令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则M 的最大值是( ▲ )A.3B.2 9.平面向量,a b 满足,()240aa b -⋅-=,3b =,则a 最大值是 ( ▲ )A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3341S S S -=.若11a >,则 ( ▲ ) A .1324,a a a a << B .1324,a a a a <>C .1324,a a a a >< D .1324,a a a a >>第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)11.已知向量,若 ,则 ▲,若则 ▲.12.已知3sin()45πα+=,则3sin()4πα-=____▲____;sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---,若()f x 为奇函数且非偶函数,则a =__▲___; 若()1f x >的解集为空集,则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a中,11,2),n a a n ==≥,则数列{}n a 的通项公式为___▲___; 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++,则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数,满足23a b +=,则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知()f x x =若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___.17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题(本大题共5个题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(14分)已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅.(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--,求cos2x 的值; 19.(15分)如图所示, ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c cb=.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)点D 为边AB 的中点, 2BD =,求ABC ∆面积的最大值.20.(15分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.(15分)已知函数:),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ,解关于x 的不等式x x f ≥)((结果用含m 式子表示); (Ⅱ)若存在实数m ,使得当[]2,1∈x 时,不等式x x f x 4)(≤≤恒成立,求负数..n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ,求证:;3)()(≥+b f a f(Ⅱ)若)()(b f a f =-,求:b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4; 12. 37,525-; 13. 1,[0,2]- ; 14.n a ,119; 15.3; 16.0;17. 127,13⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--17、解:函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解, 且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解.由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得 2m -≤-或1m -≥,即2m ≥或1m ≤-.由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得m127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∈-18. (1)1cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++. ——————2分 若()f x 单调递增,则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分(2)由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--,即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=, ——————11分 ∴33cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==; —————14分19.(1sin sin BC=,所以tan C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中,设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以,2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤ 此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 (Ⅱ)当2n ≥时,112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时,时,解得:①时,原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时,原不等式的解集为或 --- -- 7分[][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈(Ⅱ)时,恒成立,等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分(注:其它做法相应给分)22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t +⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-,则0x >,可设2()=()0a b g x x +>()[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+-⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证:在上递减,上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><,同理,当1时, ----------13分()min a b ∴+= a b ==此时,分(注:其它做法相应给分)。

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期期初联考数学试题

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期期初联考数学试题

浙江省名校协作体2018学年第一学期期初联考高二数学试题卷2018年9月3日本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页,第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0>=y y A ,{}0322<--=x x x B ,则=B A A .)3,0(B .),1(+∞-C .)1,0(D .),3(+∞2.设5log ,)3(log ,4log 4255===c b a ,则A .b c a <<B .a c b <<C .c b a <<D .ca b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位,得到)(x f 的图象,则A .xx f 2sin )(=B .x x f 2cos )(=C .x x f 2sin )(-=D .x x f 2cos )(-=4.函数x e y x cos 4-=(e 为自然对数的底数)的图象可能是A B C D5.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-103202x y x y x ,则y x z -=的取值范围是A .]1,2[--B .]0,1[-C .]1,1[-D .]1,2[-非选择题部分(共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

【精品解析】浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考数学试题(附解析)

【精品解析】浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考数学试题(附解析)

浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考数学试题一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.若集合,,那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B,由此利用交集定义能求出A∩B.【详解】∵集合,,∴.故选:A.【点睛】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析:由对数函数的性质,所以,b<a<c,故选D。

考点:本题主要考查对数函数的性质。

点评:简单题,涉及比较函数值的大小问题,首先考虑函数的单调性,必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。

3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式,整理即可。

【详解】解:将函数的图象向左平移个单位得到的图象,故选:C.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,函数的图象变换规律,属于基础题.4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数,由此排除B和D,,由此排除A.由此能求出结果.【详解】∵(e为自然对数的底数)是偶函数,∴函数(e为自然对数的底数)的图象关于y轴对称,由此排除B和D,∴,由此排除A.故选:C.【点睛】本题考查函数的图象的判断,考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.5.设实数x,y满足约束条件,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域,利用线性规划知识求解即可。

【详解】解:根据实数x,y满足约束条件画出可行域,由,.由得点由图得当过点时,Z最小为.当过点时,Z最大为1.故所求的取值范围是故选:D.【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值,属于基础题。

精品解析:【校级联考】浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考数学试题(解析版)

精品解析:【校级联考】浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考数学试题(解析版)

浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考数学试题考生须知:1.本卷共4页,满分150分,考试时间120分钟;2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题纸。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由不等式得出集合,再由交集的运算即可求出结果.【详解】由得,即,所以.故选A【点睛】本题主要考查交集的运算,熟记定义即可,属于基础题型.2.双曲线的焦点坐标为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲的标准方程求出,进而可求出,然后即可求出焦点坐标.【详解】由可得,焦点在轴上,所以,因此所以焦点坐标为;故选B【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程,由标准方程可求出,并确定焦点位置,从而可得结果,属于基础题型.3.设实数满足,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域,再令,化目标函数为,由直线在y轴的截距的范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行与如图,令,则,因此求的最小值,即是求直线在y轴截距的最大值,由图中虚线可知,当虚线过点(0,1)时,直线截距最大,即.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题,只需由约束条件作出可行域,再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解,属于基础题型.4.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.5.函数的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函数确定函数值域的大致范围,以及特殊值验证即可判断.【详解】因为时,,所以;当时,,所以;故排除A、C 选项;又,,即,所以排除D,故选B【点睛】本题主要考查函数的图像,特殊值法在处理函数图像中非常实用,属于基础题型.6.已知,,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件与必要条件的定义即可判断出结果.【详解】令,若,则,即,即,故是的充分条件;又,令,则,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以时,不一定能推出;综上,是的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,结合函数的性质即可判断出结果,属于常考题型.7.甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃,则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( )A. 84种B. 100种C. 120种D. 150种【答案】C【解析】【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种,共种情况;第二步,将3种食物编号,用列举法列举所有情况即可;【详解】由分步乘法计数原理:第一步:由5种食物中选择3种,共种情况;第二步:将3种食物编号为A,B,C,则甲乙选择的食物的情况有:,,,,,,,,,,,共12种情况,因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理,按定义逐步计算,最后求乘积即可,属于常考题型.8.已知随机变量的分布列如下表:X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由分布列求出方差,再结合题意列不等式求解即可.【详解】由的分布列可得:的期望为,,所以的方差,因为所以当且仅当时,取最大值,又对所有都成立,所以只需,解得,所以.故选D【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差,根据不等式的最值,即可求参数的范围,属于中档题型.9.如图,在三棱柱中,点在平面内运动,使得二面角的平面角与二面角的平面角互余,则点的轨迹是( )A. 一段圆弧B. 椭圆的一部分C. 抛物线D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】将三棱柱特殊化,看作底面以为直角的直角三角形,侧棱与底面垂直,然后设出点的坐标,作出点Q在下底面的投影,由对称性知:点P与点Q的轨迹一致,研究点Q的轨迹即可.【详解】不妨令三棱柱为直三棱柱,且底面是以为直角的直角三角形,令侧棱长为m,以B 的为坐标原点,BA方向为x轴,BC方向为y轴,方向为z轴,建立空间直角坐标系,设,所以,过点作以于点,作于点,则即是二面角的平面角,即是二面角的平面角,所以,又二面角的平面角与二面角的平面角互余,所以,即,所以,因,所以,所以有,所以,即点Q 的轨迹是双曲线的一支,所以点的轨迹是双曲线的一支.故选D【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用,特殊值法是选择题中非常实用的一种作法,用特殊值法求出点的坐标之间的关系式,即可判断出结果,属于中档试题. 10.设是方程的两个不等实根,记.下列两个命题:①数列的任意一项都是正整数;②数列第5项为10. ( )A. ①正确,②错误B. ①错误,②正确C. ①②都正确D. ①②都错误【答案】A 【解析】 【分析】 先由方程求出之间的关系,进而可得的特征,由数列递推式即可判断出结果. 【详解】因为是方程的两个不等实根,所以1,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又1,,所以,,,以此类推,即可知:数列的任意一项都是正整数,故①正确;②错误;因此选A【点睛】本题主要考查命题真假的判断,根据方程与数列的结合,由方程的根确定数列的递推式及数列的前几项,进而判断出结果,属于中档试题.二、填空题。

浙江省浙南名校联盟2018~2019学年度高二上学期期末联考化学试题参考答案

浙江省浙南名校联盟2018~2019学年度高二上学期期末联考化学试题参考答案

2018学年第一学期浙南名校联盟期末联考高二年级化学参考答案一、选择题题号123456789答案B A D A D B D A C题号101112131415161718答案C B C D A D C B C题号19202122232425答案C D B A A C D第Ⅱ卷主观题26.(15分)(1)酯键或酯基C18H34O2(2)BD(3)+CH2=CH-CH3→(4)CH3CH2CHO、CH2=CHOCH3(5)72g2:3评分细则:除T(1)第一空1分,其余都2分。

T(2)双选,正确1个给1分,多选、错选不给分。

T(4)同分异构体正确1个给1分27.(12分)(1)FeOCl(2)取少量黄色溶液置于洁净试管中,滴加几滴KSCN溶液,若溶液呈血红色,则说明有Fe3+(3)2Fe3++Cu=2Fe2++Cu2+(4)当最后一滴标准KMnO4溶液滴入锥形瓶时,溶液恰好变浅紫(红)色,且半分钟内不变色(5)0.1000mol.L-1(6)Fe4O5评分细则:T(2)合理答案均给分,NaOH溶液给1分T(3)配平1分T(4)务必交代变浅紫色或紫红色,原色为黄色,写浅绿色不扣分,其他酌情扣分T(5)有效数字不对扣1分28.(12分)I.(1)蒸馏烧瓶(2)冷却CCl4,防止CCl4挥发造成空气污染(3)⑤④②③①II.(4)过滤(5)5I-+IO3-+6H+=3I2+3H2O(5)高小①确保I2被NaOH溶液完全转化为离子进入水层②使V较小,减少I2在水中的溶解损耗(提高产率)总评分细则:T(1)(4)均1分(5)前2空均1分。

其余2分T(2)(4)合理答案均给分29.(11分)(1)H(或氢)原子(2)4CO32-+2H2O-4e-=O2+4HCO3-(3)BCD(4)CH4(g)+2H2O(g)=CO2(g)+4H2(g)△H=-165.0kJ.mol-1(5)①1/45或2.2×10-2②评分细则:T(1)1分,其余每小题均2分T(2)写4OH-—4e-=O2+2H2O或2H2O—4e-=O2+4H+给1分T(3)全对2分,选2个且均正确1分,其余不给分T(4)△H错则0分,缺状态扣1分T(5)②拐点1分,趋势1分。

浙江省浙南名校联盟数学2018年第一学期期末联考高二数学试题(解析版)

浙江省浙南名校联盟数学2018年第一学期期末联考高二数学试题(解析版)

2018年学年第一学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题选择题部分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则使成立的的值是()A. -1B. 0C. 1D. -1或1【答案】A【解析】【分析】根据集合A,B,以及B⊆A即可得出,从而求出a=﹣1.【详解】解:∵A={﹣1,0,1},B={a,a2},且B⊆A;∴∴a=﹣1.故选:A.【点睛】本题考查列举法的定义,集合元素的互异性,以及子集的定义.2.已知复数,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把z=﹣2+i代入,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由z=﹣2+i,得.故选:A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.若为实数,则“”是“”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:由得0<a<1,则“a<1”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.4.若实数,满足约束条件,则的最大值为()A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,可得当x,y时,z取得最大值.【详解】解:作出变量x,y满足约束条件表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(,),B(,﹣1),C(2,﹣1)设z=F(x,y)=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值=F(,).故选:C.【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选:B.【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.6.设函数,将的图像向平移个单位后,所得的函数为偶函数,则的值可以是()A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】【分析】利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,可得平移后函数的解析式,再根据三角函数的奇偶性,求得ω的值.【详解】解:将函数f(x)=2sin(ωx)的图象向右平移个单位后,可得y=2sin(ωx)的图象.∵所得的函数为偶函数,∴kπ,k∈Z.令k=﹣1,可得ω,故选:D.【点睛】本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的奇偶性,属于基础题.7.函数的图像可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性,利用特征值的符号是否一致进行排除即可.【详解】解:f(﹣x)f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D,函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1},由f(x)=0得sin x=0,得距离原点最近的零点为π,则f()0,排除C,故选:A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键.8.设等差数列的前项和为,数列的前项和为,下列说法错误..的是()A. 若有最大值,则也有最大值B. 若有最大值,则也有最大值C. 若数列不单调,则数列也不单调D. 若数列不单调,则数列也不单调【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质知数列{a2n﹣1}的首项是a1,公差为2d,结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可.【详解】解:数列{a2n﹣1}的首项是a1,公差为2d,A.若S n有最大值,则满足a1>0,d<0,则2d<0,即T n也有最大值,故A正确,B.若T n有最大值,则满足a1>0,2d<0,则d<0,即S n也有最大值,故B正确,C.S n=na1•d n2+(a1)n,对称轴为n,T n=na1•2d=dn2+(a1﹣d)n,对称轴为n•,不妨假设d>0,若数列{S n}不单调,此时对称轴n,即1,此时T n的对称轴n•1,则对称轴•有可能成立,此时数列{T n}有可能单调递增,故C错误,D.不妨假设d>0,若数列{T n}不单调,此时对称轴n•,即2,此时{S n}的对称轴n2,即此时{S n}不单调,故D正确则错误是C,故选:C.【点睛】本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系,涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断,综合性较强,难度较大.9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点,,点是,的交点,若是锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设∠F1PF2=θ,则,得出,利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出,结合c=2,可得出,然后将椭圆和双曲线的方程联立,求出交点P的横坐标,利用该点的横坐标位于区间(﹣c,c),得出,可得出,从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围.【详解】解:设∠F1PF2=θ,则,所以,,则,由焦点三角形的面积公式可得,所以,,双曲线的焦距为4,椭圆的半焦距为c=2,则b2=a2﹣c2=a2﹣4>3,得,所以,椭圆C1的离心率.联立椭圆C1和双曲线C2的方程,得,得,由于△PF1F2为锐角三角形,则点P的横坐标,则,所以,.因此,椭圆C1离心率e的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质,解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用,起到了化简的作用,同时也考查了计算能力,属于中等题.10.如图,在棱长为1正方体中,点,分别为边,的中点,将沿所在的直线进行翻折,将沿所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误..的是()A. 无论旋转到什么位置,、两点都不可能重合B. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为C. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为D. 存在某个位置,使得直线与直线所成的角为【答案】D【解析】【分析】利用圆锥的几何特征逐一判断即可.【详解】解:过A点作AM⊥BF于M,过C作CN⊥DE于N点在翻折过程中,AF是以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的母线,同理,AB,EC,DC也可以看成圆锥的母线;在A中,A点轨迹为圆周,C点轨迹为圆周,显然没有公共点,故A正确;在B中,能否使得直线AF与直线CE所成的角为60°,又AF,EC分别可看成是圆锥的母线,只需看以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可,故B正确;在C中,能否使得直线AF与直线CE所成的角为90°,只需看以F为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故C正确;在D中,能否使得直线与直线所成的角为,只需看以B为顶点,AM为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可,故D不成立;故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查逻辑推理能力,考查数形结合思想,是中档题.非选择题部分二、填空题.11.双曲线的渐近线方程是____;焦点坐标____.【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接根据双曲线的简单性质即可求出.【详解】解:在双曲线1中,a2=2,b2=1,则c2=a2+b2=3,则a,b=1,c,故双曲线1的渐近线方程是y=±x,焦点坐标(,0),故答案为:y=±x,(,0)【点睛】本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.12.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,则___;的面积是___【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】由余弦定理可求c,利用同角三角函数的基本关系式求出sin C,然后由△ABC的面积公式求解即可.【详解】解:在△ABC中,a=b,cos C,由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2ab cos C4,则c=2;在△ABC中,∵cos C,∴sin C,∴S△ABC ab•sin C.故答案为:2;.【点睛】本题考查余弦定理,考查同角三角函数的基本关系式的应用,考查三角形的面积公式,是基础题.13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____;表面积为____.【答案】(1). 3(2). 9+【解析】【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱,结合图中数据求出它的体积和表面积.【详解】解:根据三视图知该几何体是直三棱柱,如图所示;则该几何体的体积为V=S△ABC•AA13×1×2=3;表面积为S=2S△ABC=23×1+3×2+22=9+22.故答案为:3,9+22.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题,是基础题.14.若实数,满足,则的最小值为____.【答案】4【解析】【分析】由已知可知,2(a﹣1)+b﹣2=2,从而有()[2(a﹣1)+b﹣2)],利用基本不等式可求最小值.【详解】解:∵a>1,b>2满足2a+b﹣6=0,∴2(a﹣1)+b﹣2=2,a﹣1>0,b﹣2>0,则()[2(a﹣1)+b﹣2)],(4),当且仅当且2a+b﹣6=0即a,b=3时取得最小值为4.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用,解题的关键是配凑基本不等式的应用条件.15.已知直线,曲线,若直线与曲线相交于、两点,则的取值范围是____;的最小值是___.【答案】(1). (2).【解析】【分析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点,结合图象知:k PE≤k≤k PO,求出直线PO和PE的斜率即可;当PC⊥AB 时,|AB|最小.【详解】解:直线l:kx﹣y k=0过定点(1,),曲线C为半圆:(x﹣2)2+y2=4(y≥0)如图:由图可知:k OP,k PE,∴;要使弦长AB最小,只需CP⊥AB,此时|AB|=22,故答案为:[,];.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了垂径定理,考查了数形结合思想,属于中档题.16.点是边长为2的正方形的内部一点,,若,则的取值范围为___.【答案】(]【解析】【分析】根据题意可知λ,μ>0,根据条件对λμ两边平方,进行数量积的运算化简,利用三角代换以及两角和与差的三角函数,从而便可得出λμ的最大值.【详解】解:如图,依题意知,λ>0,μ>0;根据条件,12=λ22+2λμ•μ22=4λ2+4μ2.令λ,μ=sinθ,.∴λμ=cosθsinθ=sin(θ);θ, sin(θ)(]∴的取值范围为(]故答案为(].【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式,以及辅助角公式,三角代换的应用,考查转化思想以及计算能力.17.函数,若此函数图像上存在关于原点对称的点,则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】根据函数图象上存在关于原点对称的点,转化为f(﹣x)=﹣f(x)有解,利用参数分离法进行转化求解即可.【详解】解:若函数图象上存在关于原点对称的点,即f(﹣x)=﹣f(x)有解,即a﹣2x﹣ma﹣x=﹣(a2x﹣ma x)=﹣a2x+ma x,即a2x+a﹣2x=m(a x+a﹣x),即m(a x+a﹣x),设t=a x+a﹣x,则t≥22,则(a x+a﹣x)t在[2,+∞)为增函数,∴h(t)=t h(2)=2﹣1=1,则要使m=h(t)=t有解,则m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞),故答案为:[1,+∞).【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为f(﹣x)=﹣f(x)有解,利用参数分离法进行转化是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知函数.(Ⅰ)若为锐角,且,求的值;(Ⅱ)若函数,当时,求的单调递减区间.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值,进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解;(Ⅱ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2sin(2x),根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】(Ⅰ)为锐角,,,,,(Ⅱ),,,所以单调递减区间是【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的单调性的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.19.如图,在四棱锥中,平面,,,,,.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求直线与平面所成线面角的正弦值.【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)推导出AC⊥PC,AC⊥CD,由此能证明AC⊥平面PCD;(Ⅱ)过D作直线DH⊥PC,AC⊥DH,DH⊥平面P AC,从而∠DCH为直线CD与平面P AC所成线面角,由此能求出直线CD与平面P AC所成线面角的正弦值.【详解】(Ⅰ),,,,,,,,有公共点,,(Ⅱ)方法1:过作直线垂直于,为垂足,,,,为所求线面角,,,方法2:如图建立空间直角坐标系,,,,直线与所成线面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.20.已知数列满足:,.(Ⅰ)求证:是等比数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)令,设数列的前项和为,若对一切正整数恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)运用等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;(Ⅱ)求得b n=log2(a n+1)=2n﹣1,(),由裂项相消求和,可得S n,再由参数分离和基本不等式可得所求范围.【详解】(Ⅰ)由得且是以4为公比的等比数列,,(Ⅱ),,,,且,当且仅当n=2时取等号,,【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式的运用,考查数列的裂项相消求和,考查不等式恒成立问题解法,注意运用基本不等式,考查运算能力,属于中档题.21.已知椭圆过点,且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于,两点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线,使得,若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)椭圆(Ⅱ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)根据已知条件列有关a、b、c的方程组,求出a和b的值,即可得出椭圆C1的方程;(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+t,先利用导数写出直线l的方程,于是得到k=2x0,,将直线l的方程与椭圆C1的方程联立,列出韦达定理,由并代入韦达定理,通过计算得出t的值,可得出x0的值,从而可得出直线l的方程.【详解】(Ⅰ)由题知,得,所以椭圆,(Ⅱ)设的方程:,由(1)知,的方程:,故 . 由,得.所以,即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,化简有5t2-2t-3=0,所以t=1或t=,,,【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用,同时也考查了计算能力,属于中等题.22.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若,求证:.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见证明【解析】【分析】(Ⅰ)利用导数与函数单调性的关系求解;(Ⅱ)af(x)>lnx⇔.令F(x),F′(x)(x>0).①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;②当>1时,令G(x),利用导数求得最小值大于0即可.【详解】解.(1)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),∵,∴x∈(﹣∞,0),(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0∴函数f(x)的单调增区间为:(1,+∞),减区间为(﹣∞,0),(0,1).(2)af(x)>lnx⇔.令F(x),F′(x).(x>0).①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae>0;②当>1时,令G(x),G.∴G(x)在(1,+∞)单调递增,∵x→1时,G(x)→﹣∞,G(2)=e20,∴G(x)存在唯一零点0∈(1,2),F(x)min=F(x0)∵G(x0)=0,.综上所述,当时,af(x)>lnx成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

高中数学2018学年浙南名校联盟高三上期末

高中数学2018学年浙南名校联盟高三上期末

2018学年浙南名校联盟高三上期末一、选择题:本大题共10小题,共40分1. 设集合{}02A x x =∈<<R ,{}1B x x =∈<R ,则A B =I ( )A .()0,1B .()0,2C .()1,2D .()1,2- 2. 双曲线2222x y -=的焦点坐标是( )A .()1,0±B.()C .()0,1±D.(0,3. 设实数,x y 满足1020210x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩,则x y -的最小值为( )A .1B .0C .1-D .2-4. 若复数12i z =+,()2cos isin z a αα=+∈R ,其中i 是虚数单位,则12z z -的最大值为( )A1 BC1D5. 函数sin xy x=的图象可能是( )6. 已知,a b ∈R ,则“a b =”是“a b e e a b -=-”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7. 甲、乙二人均从5种不同的食品中人选一种或两种吃,则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A .84种B .100种C .120种D .150种8. 已知随机变量X其中,,0a b c >,若X 的方程3DX ≤对所有()0,1a b ∈-都成立,则() A .13b ≤B .23b ≤C .13b ≥D .23b ≥DCB9. 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,点P 在平面111A B C 内运动,使得二面角P AB C --的平面角与二面角P BC A --的平面角互余,则点P 的轨迹是( ) A .一段圆弧B .椭圆的一部分C .抛物线D .双曲线的一支10. 设α,β是方程210x x --=的两个不等实根,记()*n n n a n N αβ=+∈.下列两个命题: ①数列{}n a 的任意一项都是正整数;②数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则( )A .①正确,②错误B .①错误,②正确C .①②都正确D .①②都错误二、填空题:本大题共7小题,共36分11. 《九章算术》中记载了“今有共买豖,人出一百,盈一百;人出九十,适足.问人数、豖价各几何?”其意思是“若干个人合买一头猪,若每人出100,则会剩下100;若每人出90,则不多也不少.问人数、猪价各多少?”设x ,y 分别为人数、猪价,则x = ,y = . 12. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ,表面积为 .13. 在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若sin sin b A a C =,1c =,则b = ,ABC △面积的最大值为 .14. 实数()0,1,2,3,4,5i a i =满足:对任意x R ∈,都有()523450123451,x a a x a x a x a x a x +=+++++则0a = ,035124123456a a a a a a +++++= . 15. 已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,若抛物线上存在点A ,使得线段AF 的中点的横坐标为1,则AF = .16. 若向量,,a b c r r r满足a b ≠r r ,0c ≠r r 且()()0c a c b -⋅-=r r r r ,则a b a b c++-r r r r r的最小值是 .C 1B 1A 1P C BA俯视图侧视图正视图12117. 若对任意0a >,函数()321f x x ax bx =+++在开区间(),0-∞内有且仅有一个零点,则实数b 的取值范围是 .三、解答题:本大题共5小题,共74分 18. (14分)(1)证明:()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦(,R αβ∈); (2)求函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期与单调递增区间.19. (15分)在三棱台111ABC A B C -中,ABC △是等边三角形,二面角1A BC B --的平面角为,11BB CC =. (1)求证:1AA BC ⊥;(2)求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20. (15分)已知等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈,前n 项和n S .若331S a +=,且2116a +是1a 与3a 的等差中项. (1)求n a ;(2)设数列{}n b 满足10b =,1n n n b b a +-=,数列{}n n a b 的前n 项和n T .求证:13n T <.C 1B 1A 1BA21. (15分)已知直线:l y kx m =+与椭()222210x y a b a b+=>>恰有一个公共点P ,l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.(1)求k 与m 的关系式;(2)点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时,QAB △的面积取到最大值2a ,求椭圆的离心率.22. (15分)设,a b R ∈,函数()()2ln 1f x x ax bx =+++.(1)证明:当0b =时,对任意实数a ,直线y x =总是曲线()y f x =的切线; (2)若存在实数a ,使得对任意1x >-且0x ≠,都有()0xf x >,求实数b 的最小值.。

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浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题(解析版)一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.设集合A={−1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的a的值是()A. −1B. 0C. 1D. −1或1【答案】A【解析】解:∵A={−1,0,1},B={a,a2},且B⊆A;∴a=−1.故选:A.根据集合A,B,以及B⊆A即可得出{a2=1a=−1,从而求出a=−1.考查列举法的定义,集合元素的互异性,以及子集的定义.2.已知复数z=−2+i,则5iz=()A. 1−2iB. 1+2iC. −1−2iD. −1+2i【答案】A【解析】解:由z=−2+i,得5iz =5i−2+i=5i(−2−i)(−2+i)(−2−i)=1−2i.故选:A.把z=−2+i代入5iz,再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.若a为实数,则“a<1”是“1a>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:由1a>1得0<a<1,则“a<1”是“1a>1”的必要不充分条件,故选:B .求出不等式1a >1的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键.4. 若变量x ,y 满足约束条件{y ≤2xx +y ≤1y ≥−1,则z =x +2y 的最大值是( )A. 52B. 53C. 0D. −52【答案】B【解析】解:作出变量x ,y 满足约束条件{y ≤2xx +y ≤1y ≥−1表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部, 其中A(13,23),B(−12,−1),C(2,−1)设z =F(x,y)=x +2y ,将直线l :z =x +2y 进行平移, 当l 经过点A 时,目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F(13,23)=53.故选:B .作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数z =x +2y 对应的直线进行平移,可得当x =13,y =23时,z 取得最大值.本题给出二元一次不等式组,求目标函数z =x +2y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题.5. 在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =1,点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )等于( ) A. −49B. −43 C. 43 D. 49【答案】A【解析】解:∵M 是BC 的中点,知AM 是BC 边上的中线,又由点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴P 是三角形ABC 的重心∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 又∵AM =1∴|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−49故选:A .由M 是BC 的中点,知AM 是BC 边上的中线,又由点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得:P 是三角形ABC 的重心,根据重心的性质,即可求解.判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 或AP⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值③坐标法:P 点坐标是三个顶点坐标的平均数.6. 设函数f(x)=2sin(ωx +π3),将y =f(x)的图象向右平移π4个单位后,所得的函数为偶函数,则ω的值可以是( )A. 1B. 23C. 2D. 103【答案】D【解析】解:将函数f(x)=2sin(ωx +π3)的图象向右平移π4个单位后, 可得y =2sin(ωx −ωπ4+π3)的图象.∵所得的函数为偶函数,∴−ωπ4+π3=kπ+π2,k ∈Z .令k =−1,可得ω=103,故选:D .利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,可得平移后函数的解析式,再根据三角函数的奇偶性,求得ω的值. 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,三角函数的奇偶性,属于基础题.7. 函数f(x)=sinxln|x|的图象可能是( )A. B.C. D. 【答案】A【解析】解:f(−x)=sin(−x)ln|−x|=−sinxln|x|=−f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D,函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1},由f(x)=0得sinx=0,得距离原点最近的零点为π,则f(π6)=sinπ6lnπ6=12lnπ6<0,排除C,故选:A.判断函数的奇偶性和对称性,利用特征值的符号是否一致进行排除即可.本题主要考查函数图象的识别和判断,利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,数列{a2n−1}的前n项和为T n,下列说法错误的是()A. 若S n有最大值,则T n也有最大值B. 若T n有最大值,则S n也有最大值C. 若数列{S n}不单调,则数列{T n}也不单调D. 若数列{T n}不单调,则数列{S n}也不单调【答案】C【解析】解:数列{a2n−1}的首项是a1,公差为2d,A.若S n有最大值,则满足a1>0,d<0,则2d<0,即T n也有最大值,故A正确,B.若T n有最大值,则满足a1>0,2d<0,则d<0,即S n也有最大值,故B正确,C.S n=na1+n(n−1)2⋅d=d2n2+(a1−d2)n,对称轴为n=−a1−d2−2×d2=a1−d2−d=12−a1d,T n=na1+n(n−1)2⋅2d=dn2+(a1−d)n,对称轴为n=−a1−d2d=12−12⋅a1d,不妨假设d>0,若数列{S n}不单调,此时对称轴n=12−a1d≥32,即−a1d≥1,此时T n的对称轴n=12−12⋅a1d≥12+12×1=1,则对称轴12−12⋅a1d<32有可能成立,此时数列{T n}有可能单调递增,故C错误,D.不妨假设d>0,若数列{T n}不单调,此时对称轴n=12−12⋅a1d≥32,即−a1d≥2,此时{S n}的对称轴n=12−a1d≥12+2=52>32,即此时{S n}不单调,故D正确则错误是C,故选:C.根据等差数列的性质知数列{a2n−1}的首项是a1,公差为2d,结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可.本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关系,涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断,综合性较强,难度较大.9.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线C2:x2−y23=1有共同的焦点F1,F2,点P是C1、C2的交点,若△F1PF2是锐角三角形,则椭圆C1离心率e的取值范围是()A. (12,1) B. (0,2√77) C. (12,2√77) D. (2√77,1)【答案】C【解析】解:设∠F1PF2=θ,则0<θ<π2,所以,0<θ2<π4,则0<tanθ2<1,由焦点三角形的面积公式可得S△F1PF2=b2tan θ2=3tanθ2,所以,b2=3tan2θ2>3,双曲线的焦距为4,椭圆的半焦距为c=2,则b2=a2−c2=a2−4>3,得a>√7,所以,椭圆C1的离心率e=ca =2a<2√77.联立椭圆C1和双曲线C2的方程{x2a2+y2b2=1x2−y23=1,得x2=a2(b2+3)3a2+b2=a2(a2−c2+3)3a2+(a2−c2)=a2(a2−1)4(a2−1)=a24,得x=±a2,由于△PF1F2为锐角三角形,则点P的横坐标±a2∈(−c,c),则a2<c,所以,e=ca>12.因此,椭圆C1离心率e的取值范围是(12,2√77).故选:C.设设∠F1PF2=θ,则0<θ<π2,得出0<tanθ2<1,利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出a>√7,结合c=2,可得出e<2√77,然后将椭圆和双曲线的方程联立,求出交点P的横坐标,利用该点的横坐标位于区间(−c,c),得出a2<c,可得出e>12,从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围.本题考查椭圆和双曲线的性质,解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用,起到了化简的作用,同时也考查了计算能力,属于中等题.10.如图,在棱长为1正方体ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将△ABF沿BF所在的直线进行翻折,将△CDE沿DE所在直线进行翻折,在翻折的过程中,下列说法错误的是()A. 无论旋转到什么位置,A、C两点都不可能重合B. 存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为60∘C. 存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为90∘D. 存在某个位置,使得直线AB与直线CD所成的角为90∘【答案】D【解析】解:在A中,A与C恒不重合,故A正确;在B中,存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为60∘,故B正确;在C中,当平面ABF⊥平面BEDF,平面DCE⊥平面BEDF时,直线AF与直线CE垂直,故C正确;在D中,直线AB与直线CD不可能垂直,故D不成立;故选:D.在A中,A与C恒不重合;在B中,存在某个位置,使得直线AF与直线CE所成的角为60∘;在C中,当平面ABF⊥平面BEDF,平面DCE⊥平面BEDF时,直线AF与直线CE垂直;在D中,直线AB与直线CD不可能垂直.本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.二、填空题(本大题共7小题,共36.0分)11.双曲线x22−y2=1的渐近线方程是______;焦点坐标______.【答案】y=±√22x(±√3,0)【解析】解:在双曲线x22−y2=1中,a2=2,b2=1,则c2=a2+b2=3,则a=√2,b=1,c=√3,故双曲线x22−y2=1的渐近线方程是y=±√22x,焦点坐标(±√3,0),故答案为:y=±√22x,(±√3,0)直接根据双曲线的简单性质即可求出.本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b=√3,cosC=13,则c=______;△ABC的面积是______.【答案】2 √2【解析】解:在△ABC中,a=b=√3,cosC=13,由余弦定理得:c2=a2+b2−2abcosC=3+3−2×√3×√3×13=4,则c=2;在△ABC中,∵cosC=13,∴sinC =√1−cos 2C =√1−(13)2=2√23, ∴S △ABC =12ab ⋅sinC =12×√3×√3×2√23=√2.故答案为:2;√2.由余弦定理可求c ,利用同角三角函数的基本关系式求出sinC ,然后由△ABC 的面积公式求解即可. 本题考查余弦定理,考查同角三角函数的基本关系式的应用,考查三角形的面积公式,是基础题.13. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为______;表面积为______.【答案】3 9+2√2+2√5【解析】解:根据三视图知该几何体是直三棱柱,如图所示;则该几何体的体积为V =S △ABC ⋅AA 1=12×3×1×2=3; 表面积为S =2S △ABC +S 矩形ABB 1A 1+S 矩形BCC 1B 1+S 矩形ACC 1A 1=2×12×3×1+3×2+2×√12+12+2×√22+12=9+2√2+2√5.故答案为:3,9+2√2+2√5.根据三视图知该几何体是直三棱柱,结合图中数据求出它的体积和表面积. 本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题,是基础题.14. 若实数a >1,b >2满足2a +b −6=0.,则1a−1+2b−2的最小值为______. 【答案】4【解析】解:∵a >1,b >2满足2a +b −6=0, ∴2(a −1)+b −2=2,a −1>0,b −2>0, 则1a−1+2b−2=(1a−1+2b−2)[2(a −1)+b −2)]×12,=12(4+b−2a−1+4(a−1)b−2)≥12(4+2√b−2a−1⋅4(a−1)b−2)=12(4+4)=4,当且仅当b−2a−1=4(a−1)b−2且2a +b −6=0即a =32,b =3时取得最小值为4.故答案为:4.由已知可知,2(a −1)+b −2=2,从而有1a−1+2b−2=(1a−1+2b−2)[2(a −1)+b −2)]×12,利用基本不等式可求 本题主要考查了基本不等式求解最值的应用,解题的关键是配凑基本不等式的应用条件.15. 已知直线l :kx −y +32−k =0,曲线C =y =√4x −x 2,若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,则k 的取值范围是______;|AB|的最小值是______. 【答案】[−12,32] √3【解析】解:直线l :kx −y +32−k =0过定点(1,32),曲线C 为半圆:(x −2)2+y 2=4(y ≥0) 如图:由图可知:k OP =32,k PE =−12,∴−12≤k ≤32;要使弦长AB 最小,只需CP ⊥AB ,此时|AB|=2√CB 2−CP 2=2√4−134=√3,故答案为:[−12,32];√3.因为过定点的直线与半圆C 的图象有两个交点,结合图象知:k PE ≤k ≤k PO ,求出直线PO 和PE 的斜率即可;当PC ⊥AB 时,|AB|最小.本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.16. 点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为______. 【答案】(12,√22]【解析】解:根据题意得,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4λ2+4μ2=1 又λ>0,μ>0∴λ2+μ2=1 4∴1<(λ+μ)2≤2(λ2+μ2)=1∴1<λ+μ≤√2故答案为(12,√2 2].运用向量的数乘运算可解决此问题.本题考查向量的数乘运算和线性运算.17.函数f(x)=a2x−ma x(a>0且a≠1),若此函数图象上存在关于原点对称的点,则实数m的取值范围是______.【答案】[1,+∞)【解析】解:若函数图象上存在关于原点对称的点,即f(−x)=−f(x)有解,即a−2x−ma−x=−(a2x−ma x)=−a2x+ma x,即a2x+a−2x=m(a x+a−x),即m=a2x+a−2xa+a =(a x+a−x)2−2a+a=(a x+a−x)−2a+a,设t=a x+a−x,则t≥2√a−x⋅a x=2,则(a x+a−x)−2a x+a−x =t−2t在[2,+∞)为增函数,∴ℎ(t)=t−2t≥ℎ(2)=2−1=1,则要使m=ℎ(t)=t−2t有解,则m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞),故答案为:[1,+∞).根据函数图象上存在关于原点对称的点,转化为f(−x)=−f(x)有解,利用参数分离法进行转化求解即可.本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为f(−x)=−f(x)有解,利用参数分离法进行转化是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.三、解答题(本大题共5小题,共74.0分)18.已知函数f(x)=√3sin2x.(Ⅰ)若α为锐角,且cosα=√63,求f(α)的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+cos2x−sin2x,当x∈[0,π]时,求g(x)的单调递减区间.【答案】(本题满分为14分)解:(Ⅰ)∵α为锐角,且cosα=√63,∴sinα=√33,…(2分)∴f(α)=√3sin2α=2√3sinαcosα…(4分)=2√3⋅√33⋅√63=2√63.…(7分)(Ⅱ)g(x)=√3sin2x+cos2x−sin2x=√3sin2x+cos2x =2sin(2x+π6),…(10分)令2kπ+π2<2x+π6<2kπ+3π2,k∈Z,解得:kπ+π6<x<kπ+2π3,k∈Z,…(12分)∵x∈[0,π],∴可得单调递减区间是:(π6,2π3).…(14分)【解析】(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值,进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解.(Ⅱ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g(x)=2sin(2x+π6),根据正弦函数的单调性即可求解.本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的单调性的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.19.如图,在四棱锥P−ABCD中,BC⊥平面ABP,BC//AD,BC=BP=1,AB=2,AD=5,∠ABP=120∘.(Ⅰ)求证AC⊥平面PCD;(Ⅱ)求直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值.【答案】证明:(Ⅰ)∵在四棱锥P−ABCD中,BC⊥平面ABP,BC//AD,BC=BP=1,AB=2,AD=5,∠ABP=120∘.∴AP2=4+1−2×2×(−12)=7,PC2=1+1=2,AC2=1+4=5,AP2=AC2+PC2,∴AC⊥PC…(3分)CD2=(5−1)2+22=20,AD2=AC2+CD2,∴AC⊥CD…(5分)∵CD,PC⊂平面PCD,CD,PC有公共点C,∴AC⊥平面PCD…(7分)解(Ⅱ)过D作直线DH⊥PC,H为垂足,∵AC⊥平面PCD,∴AC⊥DH,∴DH⊥平面PAC,∴∠DCH为直线CD与平面PAC所成线面角,…(11分)cos∠DCH =2√2×2√5=−√104,…(14分) ∴直线CD 与平面PAC 所成线面角的正弦值sin∠DCH =√104)=√64.…(15分) 【解析】(Ⅰ)推导出AC ⊥PC ,AC ⊥CD ,由此能证明AC ⊥平面PCD .(Ⅱ)过D 作直线DH ⊥PC ,AC ⊥DH ,DH ⊥平面PAC ,从而∠DCH 为直线CD 与平面PAC 所成线面角,由此能求出直线CD 与平面PAC 所成线面角的正弦值.本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.20. 已知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=4a n +3(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证:{a n +1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)令b n =log 2(a n +1),设数列{1bn b n+1}的前n 项和为S n ,若nλ≤(n 2+6)S n 对一切正整数n 恒成立,求实数λ的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)证明:由a 1=1,a n+1=4a n +3,得a n+1+1=4(a n +1),且a 1+1=2,∴{a n +1}是以2为首项,4为公比的等比数列,即有a n +1=2⋅4n−1=22n−1,∴a n =22n−1−1;(Ⅱ)b n =log 2(a n +1)=2n −1,∴1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),前n 项和为S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1,nλ≤(n 2+6)S n ,化为λ≤n 2+62n+1, 且n 2+62n+1=14[2n +1+252n+1−2]≥2, 当且仅当n =2时取等号,∴λ≤2.【解析】(Ⅰ)运用等比数列的定义和通项公式,即可得到所求;(Ⅱ)求得b n =log 2(a n +1)=2n −1,1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),由裂项相消求和,可得 S n ,再由参数分离和基本不等式可得所求范围.本题考查等比数列的定义、通项公式的运用,考查数列的裂项相消求和,考查不等式恒成立问题解法,注意运用基本不等式,考查运算能力,属于中档题.21. 已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点D(0,1),且离心率为√32.过抛物线C 2:y =x 2上一点P(x 0,y 0)作C 2的切线l 交椭圆C 1于A ,B 两点.(Ⅰ)求椭圆C 1的方程;(Ⅱ)是否存在直线l ,使得DA ⊥DB ,若存在,求出l 的方程;若不存在,求说明理由.【答案】解:(Ⅰ)由题知{c a =√32b =1,得{b 2=1a 2=4, 所以,椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1;(Ⅱ)设l 的方程:y =kx +t由(Ⅰ)知,l 的方程:y =2x 0x −x 02,故{k =2x 0t =−x 02. 由{x 2+4y 2=4y=kx−t ,得(4k 2+1)x 2+8ktx +4t 2−4=0. 所以{x 1+x 2=−8kt4k 2+1x 1x 2=4t 2−44k 2+1. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=x 1x 2+(kx 1+t −1)(kx 2+t −1)=(k 2+1)x 1x 2+k(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0即(4t 2−4)(k 2+1)−8k 2t(t −1)+(t −1)2(4k 2+1)=0化简有5t 2−2t −3=0,所以t =1或t =−35.∴x 02=t =1,得x 0=±1. 因此,直线l 的方程为y =2x −1或y =−2x −1.【解析】(Ⅰ)根据已知条件列有关a 、b 、c 的方程组,求出a 和b 的值,即可得出椭圆C 1的方程;(Ⅱ)设直线l 的方程为y =kx +t ,先利用导数写出直线l 的方程,于是得到k =2x 0,t =x 02,将直线l 的方程与椭圆C 1的方程联立,列出韦达定理,由DA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0并代入韦达定理,通过计算得出t 的值,可得出x 0的值,从而可得出直线l 的方程.本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用,同时也考查了计算能力,属于中等题.22. 已知函数f(x)=e xx .(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a ≥2e 2,求证:af(x)>lnx .【答案】解.(1)f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),∵f′(x)=(x−1)e xx 2,∴x ∈(−∞,0),(0,1)时,f′(x)<0,x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0∴函数f(x)的单调增区间为:(1,+∞),减区间为(−∞,0),(0,1).(2)af(x)>lnx ⇔ae x x −lnx >0. 令F(x)=ae x x −lnx , F′(x)=a(x−1)e x x 2−1x =1x 2[a(x −1)e x −x].(x >0). ①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae >0;②当>1时,令G(x)=e x −x a(x−1),G′(x)=e x +1a(x−1)2>0. ∴G(x)在(1,+∞)单调递增,∵x →1时,G(x)→−∞,G(2)=e 2−2a >0,∴G(x)存在唯一零点 0∈(1,2),F(x)min=F(x 0)=ae x 0x 0−lnx 0 ∵G(x 0)=0,即e x 0=x 0a(x 0−1),故F(x 0)=1x 0−1−lnx 0>0.综上所述,当a ≥2e 2时,af(x)>lnx 成立.【解析】(1)利用导数与函数单调性的关系求解;(2)af(x)>lnx ⇔ae xx −lnx >0.令F(x)=ae xx −lnx ,F′(x)=a(x−1)e x x 2−1x =1x 2[a(x −1)e x −x](x >0). ①当∈(0,1]时,F′(x)<0,F(x)单调递减,F(x)≥F(1)=ae >0;②当>1时,令G(x)=e x −xa(x−1),利用导数求得最小值大于0即可. 本题考查了函数的单调性与导数的关系,考查了分类讨论思想,属于中档题.。

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