清华大学高等代数经典课件01
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《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高等代数北大版1.11.ppt
则有
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a
§1.11 对称多项式
二 、n 元对称多项式
定义 设 f ( x1, , xn ) P[ x1, x2, ，, xn],
若对任意 i, j (1 i, j n，) 有 f ( x1, , xi , , x j , , xn ) f ( x1, , x j , , xi , , xn) 则称该多项式为对称多项式． 如， f ( x1, x2 , x3 ) x13 x23 x33
的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数，
其余各项系数分别用A、B、C、… 代替．
§1.11 对称多项式
第四步：分组选取适当的 xi (i 1,2, , n) 的值，计
算出 1, 2 , , n 及 f ，将之代入第三步中设出的线
性表达式中，得到关于A、B、C、… 的线性方程组， 解这个线性方程组求得A、B、C、… 的值． 最后写出所求的 f 的表达式．
它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步．
．
故存在 h Z ， 使 fh fh1 h 0 于是 f 1 2 h.
这就是一个初等对称多项式的多项式．
§1.11 对称多项式
说明
上述证明过程实际上是逐步消去首项.
逐步消去首项法的一般步骤：
第一步：找出对称多项式 f 的首项 ax1l1 x2l2
一、一 元多项式根与系数的关系
二、n元对称多项式 三、一元多项式的判别式
一、一 元多项式根与系数的关系
——韦达定理
设 f ( x) xn a1xn1 a2 xn2 an P[ x] ①
若f ( x)在 P上有 n个根 1,2 , ,，n 则
f ( x) ( x 1)( x 2 ) ( x n )
高等代数
多 项 式
1 设 cd 2 0cd 2 0 （否则当 d 0 c 0 矛盾； 当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是 d
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2 cd 2
3 2
f x g x 3x 4 6 x 5 8 3 x
5 4
3
10 4 3 x 2 5 4 x 5
高 等 代 数
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
加法交换律： f x g x g x f x
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多 项 式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 高 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 数
ai bi xi 。当m<n时，取
i 0 n
bm1 bn 0。
n i 0
1
f x g x f x g x ai bi xi
f 定义5：设 f x , g x 如上， x 与 g x 的积为
多 项 式
f x g x c0 c1x cnm xnm
其中 ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 高
高等代数第一章ppt课件
有 a c . 其中 NM*c表示{x全体Z |正x 整 c数} N * {1,2,3, } 的集合.
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
那么其代替正整数集 N *，最小数原理对于 M c 仍然成 立. 也就是说，M c 的任意 一个非空子集必含有一个最
小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小
数.
.
二、数学归纳法原理
定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整
内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。 重点、难点
最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。
.
一、 最小数原理
.
数学归纳法的理论依据——最小数原理（正整数的 一个最基本的性质）.
注意 最小1数．原最理小数正原整理数并集不N是*的对任于意任一意个数非集空都子成集立S的必含有 一个2最．小设数c，是也任就意是一这个样整一数个，数令 a S ，对任意 c S都
对于一切 x A ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：
gf
A
C
f
g
.
B
.
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D，有 h (g f ) (h g) f .
但是，一般情况下 f g g f
.
设A是非空集合, jA : A A，x x, 称为A上的 恒
等映射。
射，简称满射.
f : A B 是满射必要且只要对于B中的每一元素y ， 都有A中元素x 使得 f (x) y .
关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯 一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.
定义3 设 f : A B是一个映射，如果对于A中任意两
个元素 x1 和 x2 ，只要x1 x2 ，就有 f (x1) f (x2 )，那么就
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
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如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
清华电子教材-高等代数1
记为 (G; ∗ )
( 4 )中的 b称为 a的逆 , 记为 a −1 ( 3)中恒元也称为单位元 .
如果还有 a ∗ b = b ∗ a , 对任 a , b ∈ G , 则称 G 为 Abel 群或交换群 . Group
4
例1： ;+ ), (Q;+ ), ( R;+ ), (C ;+ ) 均为 Abel群. (Z
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例如乘法结合律 ∞
i i=0 ∞
( ∑ a i X )( ∑ b j X )( ∑ c l X )
j l j=0
∞
∞
= (∑ (
=
m =0
∑(∑
∞
k =0 ∞
i+ j= k
∑
a ib j ) X
i+ j=k
k
)(∑ cl X )
l l=0
l∞ 0 =
(
i
k +l=m
∑ab
i
j
)cl ) X
m
m
例4： ＋, ⋅)是环, 称为整数环。有单位元 , 无逆元） (Z; ( 例5：n阶方阵的全体，按通常 矩阵的加法和 乘法是环.M n (F) 加法零元是 0方阵， Ring 乘法恒元为单位阵。 6
域：设 F是有两个二元运算（ + ）和（ ⋅）的集合， 且满足： Field （1）（ F;＋)是Abel群。 （2）（ F∗ ; ⋅)是Abel群. F∗指F的非 0元全体。 （3）分配律。
§1- 1基本概念与运算
定义1：（ i）设 F为一个域， X是不属于 F的 任一个符号，则形如 an X n + a n −1 X n −1 + L + a1 X + a0 , ai ∈ F 的表达式称为域 F上的一个多项式形式 . n称为其次数，ai (i = 0,1,L, n)称为其i次系数,
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数课件
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
高等代数课件
1 2 C C ( x) x 6 x 100 9
内容小结
总成本函数
C C ( x) C0 C1 ( x)
x
平均成本函数 C C ( x) C ( x) 销售收入函数
作业
P50 17；18
R R(q) pq
销售利润函数 L L(q) R(q) C (q) 供需均衡函数 Q S
V0
V0 h 2 r
所以圆柱形封闭罐头盒表面积为：
S S V0 2 2r r
2
(r 0)
二、经济方面函数关系式
（1）在生产过程中，产品的总成本 C为产量 q的单调 增加函数，记作
C C (q) C1 C2 (q)
求该商品的均衡价格p0。 解： 由供需均衡条件Q=S，可得
2 1 20.3 p 2.7 p 3 3
因此可得均衡价格为p0=23。
例5 某产品总成本C万元为年产量 qt 的函数，
C C (q) a bq
2
其中a，b为代定常数.已知固定成本为400万元，且当 年产量 q 100t 时，总成本C=1000万元.试将平均单 位成本 C 万元/t表示为年产量 qt 的函数. 解： C (0) a
2 108 x 2 2 x V V ( x) x h 4x 1 3 3 27 x x (m ) 4 2 108 x 因 h0 即 0 得 0 x6 3
4x
例3 欲做一个容积为 V0 的圆柱形封闭罐头盒，试将 圆柱形封闭罐头盒表面积 S 表示为底半径 r 的函数. 解： r 2 h
产品销售价格p元/kg，它与日产量 xkg 的关系为 1 p p( x) 46 x 3 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表示为日产 量 xkg 的函数. 解：总收益 R R( x) xp( x) x(46 1 x) 1 x 2 46 x 3 3 1 2 总成本 C C ( x) x 6 x 100 9 1 2 1 2 总利润 L L( x) R( x) C ( x) ( x 46 x) ( x 6 x 100) 3 9 4 2 x 40 x 100(元) 9 因 x 0, p 0 0 x 138
清华大学高等代数讲义-1
二元运算的性质： 设 和 ◦ 是 A 上的二元运算，∀a, b ∈ A， (1) 若 a b ∈ A，则称 A 在 下封闭； (2) 若 a b = b a，则称 A 满足交换律； (3) 若 a (b c) = (a b) c，则称 A 满足结合律； (4) 若 a (b ◦ c) = (a b) ◦ (a c)，则称 A 满足左分配律； (b ◦ c) a = (b a) ◦ (c a)，则称 A 满足右分配律; (5)∀a ∈ A，若 ∃el ∈ A，s.t. el a = a，则称 el 为左单位元； 若 ∃e ∈ A，s.t. e a = a e = a，则称 e 为单位元 (unit element). (6)∀a ∈ A，若 ∃b ∈ A，s.t. b a = e，则称 a 有左逆元，b 是 a 的左逆元； 若 ∃c ∈ A，s.t. c a = a c = e，则称 a 有逆元，记 c = a−1.
f : Mn(R) −→ R A −→ detA
f : GLn(R) −→ GLn(R) A −→ A−1
Example 11 设 [a, b] 上全体可微函数的集合为 A，[a, b] 上全体函数的集合 为 B, 令
D : A −→ B
f −→ f
即 ∀f ∈ A, 有 D(f ) = f .
Lesson 1
A=
10 01
,B =
10 00
,C =
00 00
则 SM2(R)/ ∼= = {[A], [B], [C]}
Lesson 1
4
若按相似关系 (∼) 进行分类，其代表元记作：
D=
λ1 0 0 λ2
, λ1 ≥ λ2, λ1, λ2 ∈ R
则 SM2(R)/ ∼ = {[D]}
f : Mn(R) −→ R A −→ detA
f : GLn(R) −→ GLn(R) A −→ A−1
Example 11 设 [a, b] 上全体可微函数的集合为 A，[a, b] 上全体函数的集合 为 B, 令
D : A −→ B
f −→ f
即 ∀f ∈ A, 有 D(f ) = f .
Lesson 1
A=
10 01
,B =
10 00
,C =
00 00
则 SM2(R)/ ∼= = {[A], [B], [C]}
Lesson 1
4
若按相似关系 (∼) 进行分类，其代表元记作：
D=
λ1 0 0 λ2
, λ1 ≥ λ2, λ1, λ2 ∈ R
则 SM2(R)/ ∼ = {[D]}
学高数一定要看的-清华大学高等数学教材PPT资料20页
q2[x (1 )1 ]33x q2[x (1 )33(x1 )23(x1 )1 ]3x
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
清华高等代数讲义(上)
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) = {f (a) | a ∈ A}。
1
若 ∀a ≠ a'∈ A, 都有 f (a) ≠ f (a'), 则称 f 为单射。若 ∀b ∈ B, 都存在 a ∈ A ，使得 f (a) = b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
证明 设线性方程组为
aa1112xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
+L+ +L+
a1n xn a2n xn
= b1, = b2
,
......
am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bn.
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）
数 a1, a2 ,......, an ，使
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α 2 )......(x − α n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0
3
所以 我们记
∏ 1
a0
f (x) =
n i=1
(x −αi ) = (x −α1)(x −α2 )L(x −αn )
= xn − (α1 + α2 +L + αn )xn−1 +L + α1α2 Lαn.
1
若 ∀a ≠ a'∈ A, 都有 f (a) ≠ f (a'), 则称 f 为单射。若 ∀b ∈ B, 都存在 a ∈ A ，使得 f (a) = b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
证明 设线性方程组为
aa1112xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
+L+ +L+
a1n xn a2n xn
= b1, = b2
,
......
am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bn.
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）
数 a1, a2 ,......, an ，使
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α 2 )......(x − α n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0
3
所以 我们记
∏ 1
a0
f (x) =
n i=1
(x −αi ) = (x −α1)(x −α2 )L(x −αn )
= xn − (α1 + α2 +L + αn )xn−1 +L + α1α2 Lαn.
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张贤科，许甫华 编著， 清华大学出版社(主教材)
2.《高等代数解题方法》，许甫华、张贤科编著， 清华大学出版社(辅导教材) 3.《Theory and Problems of Linear Algebra》， S. Lipschutz著， McGraw-Hill出版. 4.《Linear Algebra》，S.Berberian著， Oxford Univ. 出版 5. 《Advanced Linear Algebra》， S. Roman著， Springer出版社。 (以上3本为参考书)
8.1 二次型与对称方阵 (第12大节上课)
8.2 对称方阵的相合
8.3 正定实对称方阵
(第13大节上课)
(第14大节上课) (第15大节上课)
8.4 交错方阵的相合及例题
8.5 线性函数与对偶空间
8.6 双线性函数 8.7 对称双线性型与二次型
(第16大节上课)
(第18大节上课) (讨论课 3次)
第11章 Hilbert空间
11.1 内积与度量空间 11.2 内积空间与完备 11.3 逼近与正交直和 11.4 Fourier展开
11.5 等距同构于
11.6 有界函数与Riesz表示
习题11
18
第12章 张量积与外积
12.1 引言与概述 12.2 张量积 12.3 线性变换及对偶 12.4 张量及其分量 12.5 外积 12.6 交错张量 习题12
8
(第14大节上课)
第4章 矩阵的运算与相抵
4.1 矩阵的运算 4.2 矩阵的分块运算 4.3 矩阵的相抵 (第16大节上课) (第15大节上课)
4.4 矩阵运算举例
4.5 矩阵与映射 *4.6 矩阵的广义逆 *4.7 最小二乘法
(第17大节上课)
(第18大节上课)
习题题4
(2 次讨论课)
---复习, 期中考试
高等代数
电子教程
配套印刷教材：《高等代数学》
清华大学 数学bra
2
《高等代数》目录和教案:
(一) 课程概况
名称: 高等代数I 高等代数II 学时：两学期， 课内周４学时 共计128学时 课外另有讨论课
3
(二) 使用教材：
1.《高等代数学》(第一、二版)
-----------复习, 期末考试 (第30-32大节)
16
第三部分
选 学 内 容
(课外阅读材料, 不在课内讲课, 或稍作介绍)
第10章 正交几何与辛几何
10.1 根与正交补 10.2 正交几何与辛几何的结构 10.3 等距变换与反射 10.4 Witt定理
10.5 极大双曲子空间
习题10
17
(第23大节上课)
*9.5 二次超曲面的正交分类 (第24大节上课)
9.6 杂例
(第25大节上课)
15
9.7
Hermite型
(第26大节上课) (第27大节上课)
9.8 酉空间和标准正交基
9.9 方阵的酉相似与线性变换 第28大节上课) *9.10 变换族与群表示 9.11 型与线性变换 习题9 (讨论课 4次) (第29大节上课)
7.7 矩阵与空间分解
(第8大节上课)
7.8 矩阵的相抵与Smith标准形 (第9大节上课) 7.9 三种因子与方阵相似标准形 (第10大节上课) *7.10 方阵函数 *7.11 与可交换的方阵 *7.12 模分解基本定理 7.13 若干例题 习题7 (讨论课4次)
13
(第11大节上课)
第8章 双线性型、二次型与方阵相合
1.7 根与重根
1.8 R[X]与C[X]
(第5大节上课)
(第6大节上课)
1.9 Q[X]与Z[X]
1.10 多元多项式 (第7大节上课)
1.11 对称多项式
习题1 (4 次讨论课)
6
第2章 行列式
2.1 排列 (第8大节上课) 2.2 行列式的定义 2.3 行列式的性质 2.4 2.5 Laplace 展开 (第9大节上课)
(第17大节上课)
*8.8 二次超曲面的仿射分类
*8.9 无限维线性空间 习题8 -----复习, 期中考试 (第19大节上课)
14
第9章 欧几里得空间与酉空间
9.1 标准正交基 (第20大节上课)
9.2 方阵的正交相似
(第21大节上课)
9.3 欧几里得空间的线性变换 (第22大节上课)
9.4 正定性与极分解
4
(
内容－进度安排
(带星号*的是简单介绍性内容)
第一部分
基 础 内 容
(第一学期上课)
第1章 数与多项式
1.1 数的进化与代数系统 *1.2 整数的同余与同余类 (第1大节上课) (第2大节上课)
1.3 多项式形式环
1.4 带余除法与整除性
(第3大节上课)
5
1.5 最大公因子与辗转相除法(第4大节上课) 1.6 唯一析因定理
(第19大节)
9
第5章 线性(向量)空间
5.1 线性(向量)空间
5.2 线性映射与同构 5.3 基变换与坐标变换 5.4 子空间的和与直和 *5.5 商空间 习题5 (两次讨论课)
(第20大节上课)
(21大节上课) (第22大节上课) (第23大节上课)
10
第6章 线性变换
6.1 线性映射及其矩阵表示 (第24大节上课)
19
本多媒体课件, 适用于清华大学 数学科学系(和部分理工科系) 的本 科生
采用多媒体(电子)教学与板书、等相结合的 教学方式
20
6.2 线性映射的运算
6.3 线性变换 *6.4 线性表示介绍 6.5 不变子空间 6.6 特征值与特征向量
(第25大节上课)
(第26大节上课)
(第27大节上课) (第28大节上课)
6.7 方阵的相似
习题6 (两次讨论课)
(第29大节上课)
------复习, 期末考试
(第30-32大节)
11
第二部分
深 入 内 容
(第二学期上课)
第7章 方阵相似标准形与空间分解
7.1 引言: 孙子定理 (第1大节上课) 7.2 零化多项式与最小多项式 (第2大节上课) 7.3 准素分解与根子空间 (第3大节上课)
7.4 循环子空间
(第4大节上课)
(第5大节上课) (第6-7大节上课)
12
7.5 循环分解与有理标准形 7.6 Jordan 标准形
Cramer 法则与矩阵乘法(第10大节上课) (第11大节上课)
2.6 矩阵的乘积与行列式 2.7 行列式的计算 习题2
7
第3章 线性方程组
3.1 Gauss消元法 (第12大节上课) 3.2 方程组与矩阵的秩 3.3 行向量空间和列向量空间 (第13大节上课)
3.4 矩阵的行秩和列秩
3.5 线性方程组解的结构 3.6 例题 *3.7 结式与消去法 习题3 (2次讨论课)