空间向量运算及坐标运算A

空间向量运算及坐标运算A一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1． 已知空间四边形ABCD ，其对角线为BD AC ,，N M ,为CD AB ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG =，用基向量AD AC AB ,,表示向量AG 为（ ） A ．AD AC AB 314141++B ．AC AD AB 414131++ C ．ADAC AB 316161++D ．AD AC AB 414141++2．点()()()4,1,6,3,2,4,11,2,1--C B A , 则ABC ∆的形状是 ( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 3．若向量m 垂直向量a 和b ，向量R b a n ∈+=μλμλ,(且λ、)0≠μ则 （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．m 不平行n ，m 不垂直nD ．以上三种情况都可能4．正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ,点M 分1AC 的比为21,N 为1BB 的中点,则MN 为( )A.a 621 B. a 66 C. a 615 D. a 3155． 已知空间四边形ABCD ，连结BD AC ,，设G M ,分别是CD BC ,的中点，则AD AB MG +-等于（ ） A ．DB ⋅23 B ．MG 3 C ．GM 3 D ．MG 26． 三个大小相同的力321,,F F F 作用在同一个点上，设此点沿1F 的方向作匀速直线运动，则此三个边的关系是（ ）A ．三个力共线B ．321,,F F F 的夹角相等C ．三个力两两夹角为3πD ．三个力两两夹角为32π7.在以下命题中,不正确的命题个数为( )(1) 已知D C B A ,,,是空间任意四点,则0=+++DA CD BC AB ; (2)+=-是b a ,共线的充分条件. (3) 若b a ,两向量共线,则a 与b 所在直线平行;(4)对空间任意一点O 和不共线的三点C B A ,,,若OC z OB y OA x OP ++=(其中R z y x ∈,,),则C B A P ,,,四点共面.NA BDCM GA.1个B.2个C.3个D.4个8. 已知ABC ∆的顶点()()()131265211---，，，C ，，，B ，，A ，则AC 边上的高BD 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 二、填空题（每小题5分，共20分）9．设21,e e 是平面上两个不共线向量，已知212e k e AB +=，213e e CB +=,212e e CD -=，若D B A ,,三点共线，则=k _______________.10．已知()()2,0,1,0,1,1-==b a ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是_________11．已知平面上三点C B A ,,543===，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于______________.12．已知b a ,是异面直线，,,,,,,b BD b AC b D C a B A ⊥⊥∈∈且1,2==CD AB ，则a 与b 所成的角为________________.三、解答题（每小题10分，共40分）13．如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的四边的中点，M 、N 分别是两对角线上的中点BD AC ,，且AD BC BD AC CD AB ===,, 求EF )1(与GH 的夹角； )()2(MG NH EF +⋅14.如图正方体1111D C B A ABCD -，点F E ,分别是上底面11C A 和侧面1CD 的中心，求下列各题中的y x ,的值.1)1AA y AB x AD AF +=-; 2)1AA y AE x AD AB +=+15. 如图,ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，AD PA =,N M ,分别是AB PC ,的中点, 求证：⊥MN 平面PCDEMAADFG NHB 1ADMBCNP16． 在空间四边形OABC 中，60,45,25,2,3,4=∠=∠====OAB OAC BC AC AB OA ，求OA 与BC 夹角的余弦值.空间向量运算及坐标运算A 答案一、选择题 1．答案为D.解析: ()AM ANAB MN AB MG AM AG -+=+=+=21212121()AD AC AB AB AD AC AB 41414121212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++= 2．答案为C解: ()()()7,1,5,1,3,2,8,4,3-=-=-=AC BC AB 又0=⋅AC BC且≠,故ABC ∆为直角三角形 3．答案为B解: a m ⊥,b m ⊥, 0,0,0=⋅+⋅=⋅∴=⋅=⋅m b m a n m b m a m μλ n m ⊥∴ 4．答案为A解：建立直角坐标系，由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛2,,,3,3,32a a a N a a a M ， 故621,3621632322222a MN a a a a MN=∴=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=5．答案为B解析: MG MG MG BD MG AD BA MG AD AB MG 32=+=+=++=+- 6．答案为D解析: 三个大小相同的力321,,F F F 两两夹角为32π,使任两个力的合力与第三个力为相反,故作匀速直线运动,满足题意. 7. 答案为B解析:(1) 正确.D C B A ,,,四点首尾相连,则0=+++DA CD BC AB ；(2) 正确.+=-两边平方,得b a =⋅,即得方向相反的共线向量,反之则不成立,故充分性成立；(3) 不正确.两向量所在直线可以重合；(4)不正确.需满足1=++z y x ,则C B A P ,,,四点共面. 8.解: 答案为D.设()()，，，，，AC AD λλλλ340340-=-==则()λλ3544-+-=+=，，AD BA BD 由AC BD ⊥得, 0=⋅BD AC ,解得54-=λ,5=二、填空题（每小题5分，共20分） 9．答案为8-解：212121423e e e e e e CD BC BD -=-+--=+= ()212124,e k e e e AB BD +=-∴=λλ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=∴821421k k λλλ10．答案为57=k解：()2,,1k k b a k -=+,()2,2,32-=-b a ,由()()b a b a k -⊥+2得()()02=-⋅+b a b a k ，即()022213=⨯-+-k k 得57=k11．答案为 -25解：易知90=∠B ，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅()250-=⋅=++=AC CA AB BC CA12．答案为60解：设b a ,是异面直线所成角为θ，向量AB 与CD 所成的角为α因DB CD AC AB ++=()CD DB CDCD AC CD DB CD AC CD AB ⋅+⋅+⋅=⋅++=⋅∴2100=++=60,21cos ==∴==∴αθα三、解答题13．解：（1）GF EH EG BD HF ===,21 ，GF EH =∴，∴四边形EGFH 为平行四边形. 又,BD AC =HF FG =∴∴四边形EGFH 为菱形，∴故两对角线垂直，即GH EF ⊥，故EF 与GH 成90角。

（2）由（1）得，同理可证得MN EF ⊥，⊥EF 平面GMHN ，∴⊥⊥.,MG EF HN EF 0)(=+⋅MG NH EF14.解:1) ()112121DD DC DC DF AD AF +===-112121AA y AB x AA AB +=+=,即21,21==y x2) ()11111222AA y AE x AA AE AA AE C A AC AD AB +=-=-===+即22-==，y x15.证:设,,,c AD b AB a AP ===则记},,{c b a 为空间向量的一组基底 则)(21)(2121)(2121c a c b a b AC AP b AM AN MN +-=++-=+-=-=⊥-===PA a c PD b AB DC ,, 平面ABCD AD AB AD PA AB PA ⊥⊥⊥∴且,, 0,0,0=⋅=⋅=⋅∴a c c b b a ，故;0)(21)(21=⋅+⋅-=⋅+-=⋅b c b a b c a DC MN又0)2||2|(|212||2|(|21)()(21=--=--=-⋅+-=⋅AP AD a c a c c a PD MN⊥∴=⊥⊥∴MN D PD DC PD MN DC MN ,,, 又平面PCD16．解:()AB AO AC AO AB AC AO BC AO ⋅-⋅=-⋅=⋅ 62460cos 3445cos 24-=⨯-⨯⨯=10254=⨯=⋅ ,532210624,cos -=->=<∴BC AO即OA 与BC 夹角的余弦值为5322-.。