2019年数学二轮专题复习 大题规范练(一)文

大题规范练(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)当f (x )＝2时，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值； (2)若g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解：(1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－1，2]．2．(本题满分12分)A 药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A 药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件，以抽取的10件中药材的质量(单位：克)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A 药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂．(1)根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：(ⅰ)估计A(ⅱ)若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元，求a 的最大值． 解：(1)A 药店应选择乙药厂购买中药材．(2)(ⅰ)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为x －＝110×(7＋9＋11＋12＋12＋17＋18＋21＋21＋22)＝15(克)，故A 药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15＝1 500(克)． (ⅱ)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n <15的概率为510＝0.5，15≤n ≤20的概率为210＝0.2，n >20的概率为310＝0.3，则A 药店所购买的100件中药材的总费用为100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)． 依题意得100×(50×0.5＋0.2a ＋100×0.3)≤7 000， 解得a ≤75， 所以a 的最大值为75.3．(本题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A ­CMN 的高．解：(1)在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝ （AB －CD ）2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥BC .又AC ∩PC ＝C ，故BC ⊥平面PAC . (2)取N 为PB 的中点(图略)．因为M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2.又AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面， 所以点N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点．因为BC ⊥平面PAC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面PAC 的距离d ＝12BC ＝ 2.又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2，所以V N ­ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在直角三角形PCA 中，PA ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3， 在直角三角形PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝ 2. 设三棱锥A ­CMN 的高为h ，V N ­ACM ＝V A ­CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A ­CMN 的高为 2.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22，曲线C 1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，tan θ1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝255，tan θ1＝2.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧2ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2cos π4＋cos θ2sin π4＝22，tan θ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝253，tan θ2＝2.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4515，所以线段PQ 的长为4515.5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)求不等式f (x )＋|x ＋1|＜2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求4m ＋1n的最小值．解：(1)f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12. 当x ≤－1时，－3x ＜2，得x ＞－23，无解；当－1＜x ＜12时，－x ＋2＜2，得x ＞0，即0＜x ＜12；当x ≥12时，3x ＜2，得x ＜23，即12≤x ＜23.综上，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.(2)由条件得g (x )＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，当且仅当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，其最小值a ＝2，即m ＋n ＝2.又4m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋24n m ×m n ＝92， 所以4m ＋1n 的最小值为92，当且仅当m ＝43，n ＝23时等号成立．大题规范练(二)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{a n }的前5项和为55，且a 2，a 6＋a 7，a 4－9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（a n －6）（a n －4），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12.解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝55，（a 1＋5d ＋a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋3d －9） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝0(舍去)．故数列{a n }的通项公式为a n ＝7＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋5. (2)证明：由a n ＝2n ＋5，得b n ＝1（a n －6）（a n －4）＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12.2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒， 需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1， 需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2， 需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3， 需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25， 需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600， 当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x ＜160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得160＞x ≥140.当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点，连接MN .(1)证明：直线MN ∥平面PCD ；(2)若点Q 为PC 中点，∠BAD ＝120°，PA ＝3，AB ＝1，求三棱锥A ­QCD 的体积． 解：(1)取PD 中点R ，连接MR ，RC (图略)，∵MR ∥AD ，NC ∥AD ，MR ＝12AD ，NC ＝12AD ，∴MR ∥NC ，MR ＝NC ，∴四边形MNCR 为平行四边形，∴MN ∥RC ，又RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴直线MN ∥平面PCD .(2)由已知条件得AC ＝AD ＝CD ＝1，∴S △ACD ＝34， ∴V A ­QCD ＝V Q ­ACD ＝13×S △ACD ×12PA ＝18.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0； 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4可得点P 的直角坐标为(2，－2)．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t(t 为参数)，代入y ＝x 2得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数，则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9.综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}． (2)∵|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.由(1)知f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，所以2|a |≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34.。