例析平抛运动与斜面的组合问题
解决平抛运动与斜面结合问题的思路探究
ｘ ＝ １ Ｖ（ １ ｖ 平均速 度 ， 因竖 直 ｙ，
－
，
２ Ｖ ０
一
方 向是 初 速 度 为０的 匀 变 速 直 线 运 动 ） ，位 移 Ｓ ‘ ＝ｘ ‘ ＋ ｙ ‘ ； ｔ 时 刻
其水平方向分速度ｖ ＝ ｖ 。 ， 竖直方向的分速度ｖ ＝ ｇ ｔ ， 合速度Ｖ ＝ Ｖ ：
．
ｇ
Ｖ０ Ｔ ： ２ ｔ ａ ｎ ０ ：
一
Ｘ 。过 ０ 点 做０ Ｃ 平 行 于ＡＤ， 过 Ａ、 Ｄ 分别做Ｏ Ｃ 的垂 线 交 点 分 别 为 Ｂ 、 Ｃ， 那么线段Ｄ Ｃ 的 长 就 是 运 动 曲线 与Ｏ Ｃ的最 大 距 离 ｈ ， 由几
ｇ
Ｘ＝ ｖ ＝ ｖ ｏ Ｔ Ｙ： ￣ｔ
：
Ｖ
由文 中分 析 得 ： Ｅ、 Ｆ 分别是Ａ Ｇ、 Ａ Ｅ的 中 点 ； 由几 何 关 系 得
１ ｖ ￣ ｓ ｉ ｎＯ・ ｔ ａ ｎ０ ｈ ：二 Ｘ・ ｓ ｉ ｎ０ ＝— ———一 ４ ２ｇ
●
Ｃ Ｏ Ｓ ‘ Ｐ ｓ ｉ ｎ‘ Ｐ
解 决平 抛运 动与 斜 面结 合 问题 思 路 主 要 有 四种 ： 是利 用 速 度 的合 成 和 分 解 的 方 法 进行 求解 。 二 是利 用重 力 加 速 度 、 初速 度 分 解 进 行 求 解 。 三是利用 动能 定理 （ 或者机 械能 守 ） 与 结 合 运 动 学 进 行 求解。 四 是 利 用几 何 关 系及 解 析 几 何 知 识 进行 求解 。 下 面用 四种 不 同 的思 路对 例 题 进 行 解 析 ．从 解 析 过 程 中 体 会 不 同 思 路 的 内涵 和 实 质 。
１ ３ ６
经 纬 网 的 分 布 。在 动手 实践 的 过 程 中 ， 学 生 有 了 亲 身 的体 验 ， 不 仅 获 得 成就 感 ， 而 且 对 学 习产 生 浓 厚 的兴 趣 。
高中物理之平抛运动和斜面组合模型及其应用
平抛运动和斜面组合模型及其应用平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其运动轨迹和规律如图1所示，会应用速度和位移两个矢量三角形反映的规律灵活的处理问题。
设速度方向与初速度方向的夹角为速度偏向角φ，位移方向与初速度方向的夹角为位移偏向角θ，若过P点做与初速度平行的直线，则该直线与位移方向的夹角可以看作是构造的虚斜面的倾角，这样平抛运动模型和斜面模型就组合在一起了。
在中学物理中有大量的模型，平抛运动和斜面模型是重要的模型，这两个模型组合起来进行考查，是近几年高考的一大亮点。
为此，笔者就该组合模型的特点和应用，归纳如下。
一．斜面上的平抛运动问题例1．（2006·上海）如图2所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370，物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37O=0.6，cos370=0.8，g＝10 m/s2）A．v1＝16 m/s，v2＝15 m/s，t＝3sB．v1＝16 m/s，v2＝16 m/s，t＝2sC．v1＝20 m/s，v2＝20 m/s，t＝3sD ．v 1＝20m/s ，v 2＝16 m/s ，t ＝2s解析：设物体A 平抛落到斜面上的时间为t ，由平抛运动规律得 t v x 0=，221gt y =由位移矢量三角形关系得 x y =θtan 由以上三式解得gv t θtan 20= 在时间t 内的水平位移g v x θtan 220=；竖直位移gv y θ220tan 2= 将题干数据代入得到3v 1＝20t ，对照选项，只有C 正确。
将v 1＝20 m/s ，t ＝3s 代入平抛公式，求出x ，yA s =75m ，B s =v 2t ＝60m ，15A B s s L m -==，满足题目所给已知条件。
高中物理模块要点回眸5平抛运动与斜面结合的问题新人教版必修2(new)
第5点平抛运动与斜面结合的问题解答斜面上的平抛运动问题时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移或速度与水平方向夹角的关系，通过分解位移或速度使问题得到顺利解决。
对点例题一水平抛出的小球落到一倾角为β的斜面上时，其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图1中虚线所示。
则小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为（)图1A。
tan β B。
2tan β C。
错误! D.错误!解题指导由图可知小球在竖直方向下落的距离y与水平方向通过的距离x之比等于tan α，即错误!＝tan α，tan θ＝错误!，又由于tan θ＝2tan α。
所以错误!＝tan α＝错误!，故选项D正确。
答案D1。
（多选）如图2所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球由静止释放,运动到底端B的时间为t1。
若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点经过的时间为t2,落到斜面底端B点经过的时间为t3，落到水平面上的C点经过的时间为t4，则（）图2A.t2＞t1B.t3＞t2C。
t4＞t3D。
t1＞t4答案BD解析设斜面高为h,倾角为θ，则当小球沿斜面下滑时，其加速度a＝g sin θ，由错误!＝错误!at错误!得t1＝错误!错误!，小球平抛时，由h＝错误!gt2得t3＝t4＝错误!＞t2＝错误!，故t1＞t3＝t4＞t2，选项B、D正确.2.如图3为湖边一倾角为θ＝37°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。
一人(身高忽略不计）站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝50 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
则：图3（1）若要求小石子能直接落到水面上，v0最小是多少？（2)若小石子不能直接落到水面上,落到斜面时速度方向与水平面夹角的正切值是多少？答案(1)16.33 m/s (2）1.5解析(1）若小石子恰能落到O点,v0最小,有AO cos θ＝v0t,AO sin θ＝错误!gt2，解得v≈16。
平抛运动与斜面、曲面相结合问题归类例析
平抛运动与斜面、曲面相结合问题归类例析作者：王玉鸿来源：《中学物理·高中》2014年第06期平抛运动是曲线运动的典型物理模型，其处理的方法是化曲为直，即平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分运动和合运动具有独立性、等时性和等效性的特点.纵观近几年的高考试题，平抛运动考点的题型大多不是单纯考查平抛运动而是平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，这类问题题型灵活多变，综合性较强，既可考查基础又可考查能力，因而受到命题专家的青睐，在历年高考试题中属高频考点.解答平抛运动的问题，首先要掌握平抛运动的规律和特点，同时也应明确联系平抛运动的两个分运动数量关系的桥梁除了时间t，还有是两个重要参量：一是速度与水平方向之间的夹角θ，其正切值tanθ=vy1vx （如图1）；二是位移与水平方向之间的夹角α，其正切值tanα=y1x （如图2）.这两个正切值之间还满足关系：tanθ=2tanα.平抛运动与斜面、曲面相结合的问题，命题者用意在于考查学生能否寻找一定的几何关系，建立上述两个角参量与几何图形中几何角之间关系，或建立水平位移、竖直位移与曲线方程的函数关系，考查学生运用数学知识解决物理问题的能力.倘若学生能够从寻找这层关系上展开思维，也就找到了解决这类问题的钥匙.这类问题有多种题型，下面分几种情况进行讨论和解析.1从斜面外抛出的平抛运动1.1落点速度与斜面垂直例1（2010年全国Ⅰ卷）一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图3中虚线所示.小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为A.11tanθB.112tanθC.tanθD.2tanθ解析如图4所示，先将物体的末速度vt分解为水平分速度vx和竖直分速度vy.根据平抛运动的规律可知，vx=v0，vy=gt；又因为vt与斜面垂直，vy与水平面垂直，所以vt与vy间的夹角等于斜面的倾角θ.根据tanθ=vx1vy=v01gt，可以求出时间t=v01gtanθ.则小球竖直方向下落距离与水平方向通过距离之比y1x=112gt21v0t=112tanθ.所以答案为B.变式（2013年上海高考）如图5，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出A.轰炸机的飞行高度B.轰炸机的飞行速度C.炸弹的飞行时间D.炸弹投出时的动能解析由于炸弹落地时速度垂直于山坡，依照例题1的方法将速度分解建立与倾角的关系，可先求出炸弹的飞行时间t.再由几何关系可知炸弹的水平位移x=hcosθ，由v0=x1t可求得轰炸机的飞行速度.根据H=h+112gt2，可求得轰炸机的飞行高度.由于炸弹的质量未知，故无法求得其动能.所以答案为A、B、C.点评物体从斜面外抛出垂直落在斜面上的问题，要充分利用“垂直”关系，将隐藏的关系挖掘出来，即将落地速度沿水平和竖直方向进行分解，则竖直分速度vy与落地速度vt的夹角就等于斜面倾角θ，利用tanθ=vx1vy=v01gt即可求解此类问题.1.2落点速度与斜面或切面平行例2如图6所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为θ=53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）小球水平抛出的初速度v0是多少？（2）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？解析（1）由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy=v0tan53°，v2y=2gh，代入数据，得vy=4 m/s，v0=3 m/s.（2）由vy=gt1得t1=0.4 s，s=v0t1=3×0.4 m=1.2 m.变式如图7所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点.O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，求小球抛出时的初速度.解析将B点速度分解成水平分速度v0和竖直分速度vy，由于速度vt与圆弧相切，由几何关系得vy与vt的夹角等于60°，tan60°=v01vy=v01gt，得t=v013g.由几何关系，小球的水平位移x=R+Rcos60°，又x=v0t，解得v0=33gR12.点评当平抛的落点速度与斜面或切面平行时，要注意寻找速度角与几何角之间的关系，然后利用tanθ=vx1vy=v01gt求出相关物理量.1.3落点速度与斜面不垂直不平行例3如图8，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点.若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A.b与c之间某一点B.c点C.c与d之间某一点D.d点解析由平抛运动的特点，平抛运动时间由高度决定，与初速无关，高度相同时，水平位移与初速成正比.故可过b点作一水平线ef，由于ab=bc，所以eb=bf.若没有斜面，则当初速为2v0时，水平位移是初速为v0时的两倍，小球将落在同一水平线上的f点，若有斜面，画出轨迹可知，小球将落在斜面上的b、c两点之间的某一点，故答案为A.变式（2012年上海卷）如图9，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点.若小球初速变为v，其落点位于c，则A.v0C.2v03v0解析过b点作水平线de，由于ab=bc，则有db=be，画出落点在c点的平抛轨迹可知，当速度为v时小球落在同水平线上的b、e之间，即与初速为v0时相比，落在水平线de上的水平位移大于前者的1倍而小于其2倍，由平抛运动规律可知，v0点评根据平抛运动的规律，平抛时间由高度决定，高度相同时水平位移与初速成正比.物体从斜面外以不同速度抛出，落在斜面上的位置不同，为了利用上述规律解题，应虚拟一水平面，并画出平抛轨迹，根据位移关系来确定速度关系或根据速度关系来确定位移关系.1.4落点在曲面上的平抛运动例4（2012年全国卷）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状.此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面.如图10所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=112hx2，探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；（2）略.解析平抛运动的分解x=v0t，y=2h-112gt2，得平抛运动的轨迹方程y=2h-g12v20x2，此方程与坡面的抛物线方程为y=112hx2的交点为x=4h2v201v20+gh，y=2hv201v20+gh.根据动能定理mg·（2h-y）=Ek-112mv20.由以上各式解得Ek=112mv20+2mghv201v20+gh.点评平抛运动与曲面相结合，其结合点通常有两个，一是建立速度角或位移角与几何角的关系；二是建立平抛轨迹方程与有关曲线方程的函数关系.本题解题的关键是要确定探险队员在坡面上落点的位置，为此就要建立平抛轨迹方程与抛物线方程的关系，考查了运用数学方法解决物理问题的能力.2在斜面上抛出的平抛运动例5如图11所示，小球以初速度v0自倾角为θ的斜坡顶端被水平抛出.若不计空气阻力作用且斜坡足够长，重力加速度为g，试求：（1）小球需经过多长时间落到斜坡上？落地点到斜坡顶端的距离是多大？（2）小球被抛出多久距离斜坡最远？解析当小球从斜坡上抛出落到斜坡上时，位移与水平方向的夹角就等于斜坡倾角；而当小球距离斜坡最远时，小球的速度与水平方向的夹角也必等于斜坡的倾角.（如图12）（1）因小球落到斜坡上（A点）位移与水平方向夹角θ满足tanθ=y1x=112gt211v0t1=gt112v0，得落地时间t1=2v0tanθ1g，所以落地点到斜坡顶端的距离s=sx1cosθ=v0t11cosθ=2v20sinθ1gcos2θ.（2）因小球距离斜坡最远（B点）速度与水平方向的夹角θ满足tanθ=vy1vx=gt21v0，所以小球达到距离斜坡最远所需时间t2=v0tanθ1g.变式（2008年全国理综卷Ⅰ）如图13所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.。
高中物理精品课件：与斜面结合的平抛问题
(1)1 s (2)2.4 平抛运动
[例1] 如右图所示，以v0=10m/s的速
度水平抛出的小球，飞行一段时间垂
直地撞在倾角＝303的斜面上。
(1) 物体的飞行时间是; (2)物体撞击斜面时的速度大小; (3)物体下降的高度是多少;
例2、如图所示，一个小球从倾角是45°的斜 面顶端A点水平抛出，抛出的速度为v，小球落
到斜面上的B点，则有(g为重力加速度)：
• （1）小球从A到B飞行时间？ • （2）A、B两点的距离？ • （3）落到B点的速度大小？ • （4）小球落下的高度为 ？
规律方法：
• 求解平抛运动的时间一般是由竖 直方向的速度和位移进行突破,结 合斜面倾角进行计算。
变式：若质点以V0正对倾角为θ的斜面水平抛出, 如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为
多少?
例3如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°表面 光滑的斜面体，物体A以v1＝6 m/s的初速度沿斜面 上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一 初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被 B物体击中．(A、B均可看作质点，sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
平抛运动与斜面相结合应用类型
A v 0 平抛运动与斜面相结合应用类型 类型一：从斜面上抛出 【例1】在倾角为37°的斜面上，从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，如图所示．求A 、B 两点间的水平距离和小球在空中飞行的时间．(g 取10 m/s 2)【练习1】.(08·全国Ⅰ·14)如图所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角ϕ满足 ( )A.tan ϕ=sin θB.tan ϕ=cos θC.tan ϕ=tan θD.tan ϕ=2tan θ【练习2】(广东中山龙山中学2009届高三第二次月考)如图所示，足够长的斜面上A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0水平速度抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1 : t 2为：（ ）A ．1 : 1B ．1 : 2C ．1 : 3D ．1 : 4【练习3】一小球以2 m/s 的速度从楼梯顶水平飞出，如图13所示，若台阶宽度均为0.25 m ，高度为0.2 m ，则小球将与哪个台阶相碰？类型二：从斜面外抛向斜面【例2】(2010·全国Ⅰ理综·18)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图4中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为 ( )A. 1tan θB. 12tan θC ．tan θD ．2tan θ 【练1】 如图所示，在倾角θ＝37°的斜面底端的正上方H 处，平抛一个物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面垂直，求物体抛出时的初速度．【练2】A 、B 两小球以l ＝6 m 长的细线相连．两球先后从同一地点以相同的初速度v 0＝4.5 m 水平抛出，相隔Δt ＝0.8 s ．(g 取10 m/s 2)(1)A 球下落多长时间，线刚好被拉直？(2)细线刚被拉直时，A 、B 两小球的水平位移各多大？【练3】．河南省桐柏实验高中2010届高三上学期期末模拟以v 0的速度水平抛出一物体,当其水平分位移与竖直分位移相等时,下列说法错误的是 ( )A.即时速度的大小是5v 0B.运动时间是2v 0/gC.竖直分速度大小等于水平分速度大小D.运动的位移是22v 02/g。
例析平抛运动与斜面的组合问题
例析平抛运动与斜面的组合问题许文将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。
这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。
下面通过实例剖析平抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。
一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。
斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。
通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。
例1如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。
则下列说法中正确的是（）。
点评本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。
通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。
例2如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。
若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（）。
A.v0B.√2v0C.2v0D.v>3v0例3如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD=5：3：1，则（）。
A.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动时间之比为1：2：3B.从A、B、C三处抛出的三个小球落在斜面上时的速度与初速度间的夹角之比为1：1：1C.从A、B、C三处抛出的三个小球的初速度大小之比为3：2：1D.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动轨迹可能在空中相交解析因为AB：BC：CD=5：3：1，所以从A、B、C三处抛出的三个小球做平抛运动的位移大小之比为点评本题中三个小球的运动均为同一斜面上的平抛运动，上述求解过程中充分利用了斜面上平抛运动的几个二级结论，即运动时间t∞v0，合位移s∞v0，末速度与初速度方向间夹角a与斜面倾角θ之间满足tan a=2tanθ，实现了快速求解问题的目标。
好题精析：与斜面结合的平抛运动的问题
两个平抛模型 ：取相同的高度
h平位移变为原来2倍
跳台滑雪是勇敢者的运动，运动员在专用
滑雪板上，不带雪杖在助滑路上获得高速
后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆
，这项运动极为壮观．设一位运动员由a
h
点沿水平方向跃起，到山坡b点着陆，如
x
图所示．测得a、b间距离L＝40 m,山坡倾
角 θ ＝ 30° ， 山 坡 可 以 看 成 一 个 斜 面 ． 试 计算：
(1)运动t 员起2 s跳后他在空中从a到b飞行的时
间． (2)运动员在a点的起跳速度大小．(不计空
已知位移的大小和方向 方法：分解位移 (2)水平方向做匀速直线运动
Lcos vt v 10 3 m/s
气阻力，g取10 m/s2)
如图所示，从倾角为θ的斜面上某点
先后将同一小球以不同的初速度水平
抛出，小球均落在斜面上．当抛出的
v0
x
位移方 分解
h 向确定 位移
速度为v1时，小球到达斜面时速度方
向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为
vy
v2时，小球到达斜面时速度方向与斜
面的夹角为α2，则( C )
与速度v 分解 方向有关 速度
A．当v1＞v2时,α1＞α2 B．当v1＞v2时,α1＜α2 C．无论v1、v2关系如何,均有α1＝α2
好题精析：与斜面结合 的平抛运动的问题
2020/8/18
斜面上有P、R、S、T四个点，如图 所示，PR＝RS＝ST，从P点正上方 的Q点以速度v水平抛出一个物体， 物体落于R点，若从Q点以速度2v水 平抛出一个物体，不计空气阻力，
则物体落在斜面上的( A )
A．R与S间的某一点 B．S点 C．S与T间某一点 D．T点
微专题18 平抛运动规律及与斜面的结合问题
微专题18 平抛运动规律及与斜面的结合问题【核心要点提示】 1.平抛运动基本规律以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：(1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2.(3)合速度：v ＝v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gtv 0.(4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt2v 0.2. 平抛运动与斜面结合问题(1)从斜面上平抛：已知位移方向，方法：分解位移 (2)对着斜面平抛：已知速度的大小或方向，方法：分解速度 【微专题训练】如图所示，一战斗机进行投弹训练，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放甲、乙两颗炸弹，分别击中竖直悬崖壁上的P 点和Q 点．释放两颗炸弹的时间间隔为t ，击中P 、Q 的时间间隔为t ′，不计空气阻力，以下对t 和t ′的判断正确的是( )A ．t ′＝0B ．0<t ′<tC ．t ′＝tD ．t ′>t【解析】先后释放的两颗炸弹，水平方向均做匀速直线运动，且速度相同，故两炸弹同时击中P 、Q 两点，t ′＝0，A 项正确． 【答案】A如图所示，A 、B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h ，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．A 、B 两球的初速度之比为1∶4 B ．A 、B 两球的初速度之比为1∶2C ．若两球同时抛出，则落地的时间差为2h gD ．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(2－1)2h g【解析】设A 球落地时的水平位移为x ，v 1＝x 4h g ＝x 2·g h ，v 2＝2x 2hg＝2x ·g h ，因此两球的初速度之比为1∶22，A 、B 项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为4hg－2h g ＝(2－1)2hg，若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为4h g－2hg＝(2－1)2h g，C 项错误，D 项正确． 【答案】D(2016·山西省四校高三第二次联考)如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P 以速度v 0抛出一个小球，落在斜面上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v 0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )A ．夹角α将变大B ．夹角α与初速度大小无关C ．小球在空中的运动时间不变D ．PQ 间距是原来间距的3倍【解析】根据tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0得，小球在空中运动的时间t ＝2v 0tan θg ，因为初速度变为原来的2倍，则小球运动的时间变为原来的2倍，故C 错误；速度与水平方向的夹角的正切值tan β＝gtv 0＝2tan θ，因为θ不变，则β不变，又α＝β－θ，可知α不变，与初速度无关，故A错误，B 正确；PQ 的间距s ＝x cos θ＝v 0t cos θ＝2v 20tan θg cos θ，初速度变为原来的2倍，则PQ 的间距变为原来的4倍，故D 错误。
“平抛遇到斜面”类问题剖析
例 ３ 如 图 ５ 从 倾 角 为 的 ，
足 够 长 的 斜 面 上 的 Ａ 点 ， 后 将 先 同 一 小 球 以 不 同 的初 速 度 水 平 向
右 抛 出 ． 一 次 初 速 度 为 ， 落 第 球
到 斜 面 上 的 瞬 时 速 度 方 向 与 斜 面 图 ５
～ 夹 角 为 ａ ， 二 次 初 速 度 为 ｚ， 第 球 的速度减为零时 ， 球 距斜 面的距离 最大 ， 过程 的时 间 ｔ 小 此 一
、
图 ４ 示 ， ｂ 做水平线 Ａ ， 以 ２ 所 过 点 Ｂ 当
的 速 度 水 平 抛 出 时 ， 下 落 到 水 平 线 若 ＡＢ上 ， 其 运 动 时 间 与 以 口的 速 度 水 则 平 抛 出 时 的运 动 时 间 相 同 ， 水 平 位 移 其
图 １
例 １ 如 图 １所 示 ， 面 倾 角 为 ０ 斜 ，
～
定 值 与 初 速 度 无 关 ． 案 为 Ｂ 答 ．
然后利用速度的合成得出此时小球的速度 一 。． ＿
点 评 ： 法 运 算 量 较 大 ， 很 容 易得 出一 个 “ 产 品 ” 一 此 但 副 一 最 大 距 离 Ｈ． 用上 述 两 法 求 最 大距 离 Ｈ ， 常 烦 琐 ． 若 非 二 、 造 水 平 面 巧 断 下 落 点 构 例 ２ 如 图 ３ 斜 面 上 有 ｎ ６ ｃ ｄ四个 点 ，ｂ ｃ ｃ ， ｎ ， 、、、 ａ ＝ｂ ｄ 从 点 正 上 方 ０ 点 以速 度 水 平 抛 出 一 个 小 球 ， 落 在 斜 面 上 ｂ 它
， ．
胪
． ｎ
ｃ ＋ ｇ ０
Ｃ ａ ＜ａ ．。 ｚ
点 评 ： 题 也 可 以 沿 水 平 方 向 和 竖直 方 向 分 解 ， 出 两 个 本 求
平抛运动与斜面、曲面结合的问题--高考物理热点模型(解析版)
平抛运动与斜面、曲面结合的问题模型概述1．模型概述：在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．2.各种类别：1)平抛与竖直面结合水平：d =v 0t竖直：h =12gt 22)平抛与斜面结合①顺着斜面平抛情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下处理方法：分解位移．x =v 0t y =12gt 2tan θ=yx可求得t =2v 0tan θg .情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下处理方法：分解速度v x =v 0v y =gt tan θ=v y vx可求得t =v 0tan θg .②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v x v y=v 0gt可求得t =v 0g tan θ.3)平抛与圆面结合①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．处理方法：由半径和几何关系制约时间t ：h =12gt2R ±R 2-h 2=v 0t联立两方程可求t .②小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .③小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .4)与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．典题攻破1.平抛运动与斜面结合的问题1.(2024·辽宁·模拟预测)如图所示，斜面的倾角为θ，斜面的长度为L 。
曲线运动专题一 平抛运动和斜面、曲面相结合问题
曲线运动专题一平抛运动和斜面、曲面相结合问题说明：1、作出位移平行四边形和速度平行四边形，有时作一个即可。
2、把握彼此独立进行的两个分运动规律；因为两个分运动同步进行，所以通常以时间为纽带构建联系。
3、有时需要挖掘隐藏在问题中的几何关系4、记住并理解两个结论：任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点；任意时间末的速度偏角的正切是该时间内位移偏角的正切的2倍练习题1、某倾斜墙壁与水平面间的夹角为θ，AB为墙壁在竖直面内的截面图，D为AB上一点，如图所示。
墙壁左侧某点C与D在同一水平线上，且CD长为d，重力加速度用g表示。
在C处沿着CD方向抛出一个小球，要让小球落到墙壁上，小球的初速度至少为（）A.√gdtanθB．√2gdtanθC．√gd tanθD．√2gd tanθ2、如图所示，一可看做质点的小球从一台阶顶端以6m/s的水平速度抛出，每级台阶的高度和宽度均为1 m，如果台阶数足够多，重力加速度g取10m/s2，则小球将落在标号为几的台阶上（不考虑弹起后的运动）()A．6 B．7C．8 D．93、如图，轰炸机沿水平方向以速度v匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。
重力加速度为g，不计空气阻力，则目标A点高度h为( )A．h = v2/4g B．h = v2/2gC．h = v2/g D．h =2v2/g4、（多选）如图，A、B、C、D、E为斜面上等间距的点，若在最高点A以初速度v平抛一小球，它恰好落在B点，且与斜面夹角为θ；若仍在最高点A以初速度2v平抛另一小球，则它（）A.将落在C点B．将落在E点C 与斜面夹角仍为θ D．与斜面夹角为2θ5、（多选）某风洞实验室可简化为立方体ABCDMNPQ模型，各棱长均为d，其中侧面ADQM在竖直平面内，风速垂直ADQM侧面进入实验室内。
把一个小球从A点沿着AD方向平抛出去，假设小球在实验室内任何位置受到的风力大小都相等，风力方向与风速同向，且空气阻力不计，要使小球直接落在P点处，则（重力加速度用g表示）（）A．把风力大小应该调节为等于小球重力B．把风力大小应该调节为等于小球重力的√2倍C．初速度v的大小为√gd2D．初速度v的大小为√gd6、一个探险队在探险时遇到一条山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧呈抛物线形状的坡面OB与一个平台BC相连，如图所示．已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h．以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y=x 2ℎ．质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台．人可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g．（1）若探险队员从A点以速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？（2）为了能跳在平台上，他在A点的初速度应满足什么条件？请计算说明7、如图为一半球型容器，球心为O，半径为R，A、B为容器内部边缘两点，直径AOB沿水平方向。
平抛运动与斜面相结合问题的解题策略
平抛运动与斜面相结合问题的解题策略作者：刘玲来源：《中学物理·高中》2015年第02期我们先来看看2013年上海高考的第19题：轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出A.轰炸机的飞行高度B.轰炸机的飞行速度C.炸弹的飞行时间D.炸弹投出时的动能分析与解根据A点的高度可知A点到底端的水平位移，即炸弹的水平位移，由于炸弹垂直击中目标A，可知速度与水平方向的夹角为斜面的倾角，再抓住平抛运动速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，可得知平抛运动竖直位移.从而得出轰炸机的飞行高度.故A正确.求出平抛运动的竖直位移，根据y=12gt2得出炸弹平抛运动的时间，根据时间和水平位移求出轰炸机的初速度.故B、C正确.由于炸弹的质量未知，则无法求出炸弹投出时的动能.故D错误.所以本题的答案为A、B、C.分析与解当小球初速度变为v时，其落点位于c点，根据平抛运动的特点，初速度越大，则落点越远，显然v>v0，由于斜面上a、b、c三点等距，如图3所示，设想做一条过b点的水平线，当小球从a点抛出的初速度变成2v0时，小球恰好在c点正上方通过这条水平线上的点c1，然后落到斜面上c点下面的点d，因此可以判断v从对这两道高考题的分析可以看出，当平抛运动与斜面相结合时，解题的基本方法有如下几点：（1）熟练掌握平抛运动的规律；（2）斜面的倾角十分关键，是解决这类问题的突破口.它隐含的可能是速度的方向角（即速度与水平方向的夹角），则斜面的倾角的三角函数就联系了水平速度、竖直速度和实际速度；它也可能隐含的是位移的方向角（即位移和水平方向的夹角），则斜面的倾角的三角函数就联系了水平位移、竖直位移和实际位移.平抛运动速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，即vt的反向延长线与x轴的交点是水平位移的中点.下面根据这这个解题的基本方法我们来研究几道例题.例题1如图5，在倾角为θ的斜面上A点，以水平的初速度v0抛出一小球，小球落在斜面上的B点，不计空气阻力，从小球抛出开始计时，求：（1）小球经过多长时间落到B点？A、B两点间的距离L为多大？（2）小球经过多长时间距斜面最远？最远距离h为多少？（3）若以不同的初速度将小球水平抛出，试证明小球到达斜面速度方向与斜面的夹角α为一定值.分析与解（1）小球落到B点时，位移与水平方向的夹角与斜面倾角相等，即斜面的倾角为位移的方向角，其水平位移x与竖直位移y满足例题3如图9，从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α，0。
高中物理之平抛运动和斜面组合模型及其应用
平抛运动和斜面组合模型及其应用位移方向及初速度方向的夹角为位移偏向角久 若过尸点做及初速度平行的直 线，则该直线及位移方向的夹角可以看作是构造的虚斜面的倾角，这样平抛运动 模型和斜面模型就组合在一起了。
在中学物理中有大量的模型，平抛运动和斜面 模型是重要的模型，这两个模型组合起来进行考查，是近儿年高考的一大亮点。
为此，笔者就该组合模型的特点和应用，归纳如下。
一.斜面上的平抛运动问题例1. （2006 -上海）如图2所示，一足够长的固定斜面及水平面的夹角为37°,物体月以初速度人从斜面顶端水平抛出，物体万在 斜面上距顶端Z=15m 处同时以速度力沿斜面向下匀速运 动，经历时间广物体力和物体万在斜面上相遇，则下列各 组速度和时间中满足条件的是（sin37°=0.6, cos37°=0. 8, g = 10 m/s 2) A. 5=16 m/s, V 2=15 m/s, t = 3sB. 兀=16 m/s, %=16 m/s, t = 2sc. =20 m/s T V 2=20 m/s, 3s度方向及初速度方向的夹角为速度偏向角0，国2D・V\―20m/ s9 %=16 m/s,方=2s解析：设物体A平抛落到斜面上的时间为t,由平抛运动规律得A = v o r, y = -gr2由位移矢量三角形关系得tan^ = -由以上三式解得g在时间t内的水平位移＞=心皿；竖直位移＞，=竝竺_£g g将题干数据代入得到3为=20匕对照选项，只有C正确。
将为=20 m/s, t=3s代入平抛公式，求出x, y=\]x2 +y2 =75m, s H = v?t=60m»»=厶=15〃？，满足题目所给已知条件。
结论1：物体自倾角为0的固定斜面抛出，若落在斜面上，飞行时间为2v n tan02v f, tan0亠“ 2v.^ tan?0亠“一―亠t=——，水平位移为" ---- ，竖直位移），= ----- ,均及初速度8 8 8和斜面的倾角有关且分位移及初速度的平方成正比。
平抛与斜面结合
如图所示，在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( )A ．AB ∶AC ＝2∶1 B ．AB ∶AC ＝4∶1C ．t1∶t 2＝4∶1 D ．t 1∶t 2＝2∶1[解析]选B.由平抛运动规律有：x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，则tanθ＝y x ＝gt 2v 0，将两次实验数据均代入上式，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，C 、D 项均错．它们竖直位移之比y B ∶y C ＝12gt 21∶12gt 22＝4∶1，所以AB ∶AC ＝y B sin θ∶y C sin θ＝4∶1，故A 错误，B 正确．例12、倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，如图所示，今测得AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，由此可判断( )A ．A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B ．A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C ．A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D ．A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交答案 BC例13、如图所示，一高度为h 的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v 从平面的右端P 点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t ( )A ．一定与v 的大小有关B ．一定与v 的大小无关C ．当v 大于 gh 2cot θ，t 与v 无关D ．当v 小于 gh 2cot θ，t 与v 有关 答案 CD解析 球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足h cot θ＝v t ，h＝12gt 2，联立可得v ＝ gh 2cot θ，故当v 大于 gh 2cot θ时，小球落在水平面上，t ＝ 2h g ，与v 无关；当v 小于 gh 2cot θ时，小球落在斜面上，x ＝v t ，y ＝12gt 2，y x ＝tan θ，联立可得t ＝2v tan θg ，即与v 有关，故选项C 、D 正确．。
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例析平抛运动与斜面的组合问题作者：许文
来源：《中学生数理化·高一使用》2020年第01期
将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。
这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。
下面通过实例剖析平
抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。
一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛
起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。
斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。
通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。
例1 如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。
则下列说法中正确的是（）。
点评
本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。
通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。
例2 如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。
若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（）。
A. v0
B.√2v0
C. 2v0
D. v>3v0
例3 如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD =5：3：1，则（）。
A.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动时间之比为1：2：3
B.从A、B、C三处抛出的三个小球落在斜面上时的速度与初速度间的夹角之比为1：1：1
C.从A、B、C三处抛出的三个小球的初速度大小之比为3：2：1
D.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动轨迹可能在空中相交
解析
因为AB：BC：CD=5：3：1，所以从A、B、C三处抛出的三个小球做平抛运动的位移大小之比为
点评
本题中三个小球的运动均为同一斜面上的平抛运动，上述求解过程中充分利用了斜面上平抛运动的几个二级结论，即运动时间t∞v0，合位移s∞v0，末速度与初速度方向间夹角a与斜面倾角θ之间满足tan a= 2tanθ，实现了快速求解问题的目标。
例4 如图5所示，每级台阶高h=0.2 m，宽l=0. 25 m。
一小球从台阶顶以初速度v0=2 m/s 平抛，问：小球最先落在哪一级台阶上？（取g=10 m/s02）
点评
本题对小球落在哪一级台阶上的判断，需要先求出小球做平抛运动的水平位移z或竖直位移y的大小，再根据每一级台阶的宽度或高度进行推理判断。
上述求解过程中先通过连接每一级台阶顶部构成一斜面，再利用起点与落点均在同一斜面上平抛运动的相关二级结论，使得问题得到有效的解决。
三、起点在斜面上、落点在水平面上的平抛
对起点在斜面上、落点在水平面上的平抛运动问题的分析与求解，要充分挖掘隐藏在几何图形中的相关隐含条件，必要时还可将平抛运动的轨迹延长到与斜面或水平面相交，从而将问题转化成起点与落点均在同一斜面上或不被斜面约束的平抛运动问题。
点评
本题分析的难点是第三种可能的情况。
我们把落在斜面上的平抛运动轨迹延长到与水平面相交，把落在水平面上的平抛运动轨迹延长到与斜面相交，将问题进行转化比较，从而顺利地突破了这个难点。
感悟与提高
1.如图9所示，一固定斜面体的倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点;将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q 点。
不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法中正确的是（）。
A.若小球A在击中P点时的速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ=2tanφ
B.若小球A在击中P点时的速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ=2tanθ
C.小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ：1
D.小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ：1
2.如图10所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面体紧靠在一起，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半。
小球从左边斜面的顶点以不同的水平初速度v向右平抛，最后落在斜面上，其中三次的落点分别是a、b、c。
下列判断正确的是（）。
A.小球落在a点时的飞行时间最短
B.小球落在c点时在飞行过程中的速度变化最大
C.小球落在c点时在飞行过程中的速度变化最快
D.无论小球抛出时的初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
3.如图11所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，小球做平抛运动的时间为t0。
现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则图12中四幅图像能正确表示小球做平抛运动的时间t随初速度v变化的函数关系的是（）。
4.如图13所示，一小球以初速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M 点且速度水平向右。
现将该小球以初速度2v0从斜面底端朝同样方向斜向上抛出，落在斜面上的N点。
下列说法中正确的是（）。
A.落到M和N两点所用时间之比为1：2
B.落到M和N两点时的速度大小之比为1：1
C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：2
D.落到N点时的速度方向水平向右
参考答案：1. BC 2.D 3.C 4.AD
（责任编辑张巧）。