上海市松江区2021届高三一模数学试卷
2020-2021上海市松江数学一模(学生版)
1松江区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.3lim 32nn nn →∞=+_________; 2.若集合{13},{1,2,3,4},A xx B =−<<=∣则A B ⋂=_________;3.已知复数z 满足1 (1)z i i i ⋅−=+（为虚数单位），则||z =_________;4.若1sin ,3α=则cos(2)πα−=_________; 5.抛物线24y x =−的准线方程是_________;6.已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x = 对称,则(3)f =_________;7.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本, 则学生甲被抽到的概率为________;8.在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________;9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,220,1c aB +=则角A =_________;10.从以下七个函数：221,,,2,log ,x y x y y x y y x x=====sin ,cos y x y x ==中选取两个函数记为()f x和(),g x 构成函数()()(),F x f x g x =+若()F x 的图怡如图所示,则()F x =_________;杨浦数学教研团队211.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x y +的最大值为_________; 12.对于定义城为D 的函数(),f x 若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得()()()2212122,f x f x f x x ==+则称函数()f x 具有性质M.若函数2()log 1g x x =−(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为_________;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知两条直线12,l l 的方程分别为1:10l ax y +−=和2:210,l x y −+=则“2a ="是“直 线12"l l ⊥的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14.在正方体1111ABCD A B C D −中,下列四个结论中错误的是 （ ）(A)直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒(B)直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ (C)直线1B C 与直线1AD ,所成的角为90︒(D)直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15.设0,0,x y >>若121,x y+=则y x 的 （ ）(A)最小值为8 (B)最大值为8 (C)最小值为2 (D)趣大值为2 16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(),n n a 在直线102y x =−上、若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是 （ ） (A)(8,14] (B)(14,18] (C)(18,20] (D)8118,4⎛⎫ ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1,在三棱柱111ABC A B C −中,已知1,1,2,AB AC AB AC AA ⊥===且1AA ⊥ 平面ABC.过11 A C B 、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图 2 ). (1)求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示)； (2)求四棱锥11B ACC A −的体积和表面积.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos cos 1.f x x x x =++(1)求()f x 的最小正周期和值域(2)若对任意的2,()()20x R f x k f x ∈−⋅−≤恒成立,求实数k 的取值范围.杨浦数学教研团队419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件).经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x −与促销费t 之间的关系为31k x t −=+(其中k为常数), 如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1 (万件), 促销费t 至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332x+(元).若将商品售价定为:“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费1为多少(万元)时，该网店售出商品的总利汪最大? 此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点坐标为(2,0),倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N . (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),P 且OMN的面积为求直线l 的方程;(3)若直线l 的方程为(0),y kx t k =+≠点M 关于x 轴的对称点为,M '直线MN 、MN 分别与x 轴相交于P 、Q 、两点,求证:||||OP OQ ⋅为定值.杨浦数学教研团队521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,,m M a a a a =记12()m P M a a a =+++特别规定()0.P ∅=若集合M 满足：对任意的正整数(),k P M ≤都存在集合M 的两个 子集A 、B,使得()()k P A P B =−成立，则称集合M 为“满集". (1) 分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集",请说明理由; (2) 若12m a a a 、、、由小到大能排列成公差为()*d d N∈的等差数列，求证:集合M 为“满集"的必要条件是11,1a d ==或2； (3)若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项1,公比为2的等比数列,求证:集合M 是“满集"杨浦数学教研团队。
2024届上海市松江区高三一模数学试题及答案
上海市松江区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.5一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知全集为R ，集合1P x x ，则集合P．2.双曲线221x y 的右焦点坐标是．3.4.5.6.7.8.1人连续参9.2A ，则边长b10. 12,1,3x x ，使11. 2x f x2，则 2023f．12.已知正四面体A BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC ，则AP AD的取值范围是．第14题图第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.英国数学家哈利奥特最先使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题是真命题的是（）.A 若22a b ，则a b ；.B 若a b ，则ac bc ；.C 若a b ，c d ，则ac bd ；.D 若a b ，c d ，则a c b d ．14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）.A 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；.B 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；.C 甲数据的标准差大于乙队数据的标准差；.D 乙队数据的第75百分位数为27．15.函数y .A .C 16.；②曲线M .A 三、17.//AB .（1）（2）CD 45CDA ，求二面角P CE A 的大小．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知数列 n a 为等差数列， n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a ．（1）证明：11a b ；（2）若集合1,150k m M k b a a m ，求集合M 中的元素个数．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310 （含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520 （含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米．（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含a 、b 、c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求a 、b 、c 的值．已知椭圆2222:1y x a b （0a b ）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y 的焦点重合．（1）求椭圆 的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆F 于点A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆 于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G（如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．第20题图1第20题图2已知函数 y f x ，记 sin f x x x ，x D ．（1）若 0,2D ，判断函数的单调性；（2）若0,2D，不等式 f x kx 对任意x D 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若D R ，则曲线 y f x 上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使得曲线 y f x 在A 、B 、C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．松江区2023学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学答案一、填空题1、{}|1x x <（或(),1−∞）2、(2,0) 34、05、17− 6、 7、10 8、359、 10、[]7,8− 11、1− 12、4⎡−+⎣二、选择题：DDCC17、（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．………2分 因为,//,AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以． ………………………2分 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD ．……………………2分注：建立空间直角坐标系证明，相应给分．（2）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PE 在平面ABCD 上的投影是AE ，由（1）可知CE AE ⊥，由三垂线定理可得，CE PE ⊥． 所以，二面角P CE A −−的平面角为PEA ∠．……………2分 在Rt ECD ∆中，DE CD =cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒=又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形． ………2分 所以2BC AE ==，所以1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA −=⋅=⨯+⨯⋅=梯形，所以1PA =………2分 在Rt PAE ∆中，1tan 2PA PEA AE ∠==，所以1arctan 2PEA ∠=． 即：二面角P CE A −−的大小为1arctan2． ………2分18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则1111111122428(3)a db a d b a d b b a d +−=+−⎧⎨+−=−+⎩ ………2分即1112250d=b a d b =⎧⎨+−⎩ ………2分可解得，112db a ==，所以原命题得证． ………2分 （2）由（1）知112db a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a −=+⇔⨯=+−+ ……2分因为10a ≠，所以[]221,50k m −=∈，解得22log 5027.64k ≤≤+≈ ………4分所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6． ………2分前5个月燃气总费用：168+240+198+174+183=963，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+−， 所以 3.3b =． . ……… 4分又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==． . ……… 2分 解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到3=a ,3.3=b ,2.4=c ． . ………8分 20、解：（1）由题意得(0,1)F ，即：1c = ，又2c a =，所以a = . ……… 2分 由222a b c −=，得21b = ，所以椭圆的方程为 2212y x += ． . ……… 2分（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++−=， 则12222k x x k +=−+，12212x x k=−+， 所以)2212k A k B +==+. . ……… 2分抛物线K 的方程为：24x y =， 联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx −−=， 所以()241CD k ==+. . ……… 2分所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB −=+−+=−())()(2222222212421410k k k k k k++=+−++=+>，即AC BD >. . ……… 2分 （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ， 当直线AB 的斜率存在且不为零时， 设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k =−+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， . ……… 1分所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()222222111111k k k +==−−++ . ……… 2分因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k−∈+，()22111AEBG S k =>−+. ……… 2分当直线AB 的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=； . (2)分 综上所述：AEBG S ≥AEBG 面积的最小值为. . ……… 1分 21、解：（1）因为'()1cos 0f x x =+≥，当且仅当在x π=时，'()0f x =，…… 2分 所以函数()y f x =在上是增函数．（区间开闭都对）. ……… 2分[0,2]π（2）由题意得，(1)sin k x x −<，于是sin 1xk x−<． 令sin ()xh x x=，则2cos sin '()x x x h x x −=， . ……… 2分令()cos sin u x x x x =−，则'()sin 0,(0,]2u x x x x π=−<∈，所以()u x 在(0,]2π上是严格减函数，于是()(0)0,(0,]2u x u x π<=∈．. ……… 2分由于2cos sin '()0,(0,]2x x x h x x x π−=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数， 所以min 2()()2h x h ππ==，因此21k π−<，即21k π<+． . ……… 2分（3）设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在A B C 、、三点处的切线分别为直线 11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+， 33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+−+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x −+222cos sin x x x =−+333cos sin x x x =−+． . ……… 2分 因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±． ①若12sin sin x x =−，23sin sin x x =−，31sin sin x x =−． 则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =， 于是112233cos cos cos x x x x x x −=−=−， 因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与A B C 、、三点互不重合矛盾． . ………3分 ②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立， 不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =， 若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±， . ……… 2分所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =−．. ……… 1分解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同。
2021年上海各区数学高三一模各板块汇编——三角比和三角函数汇编--学生版
2020-2021学年一模汇编—三角比和三角函数一、填空题【长宁2】函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为 .【松江4】若1sin 3α=，则cos(2)πα-=___________ 【普陀3】若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α=_______.【杨浦6】已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______________【闵行4】若tan()34πα+=-，则tan α=________.【虹口3】行列式ααααααcos sin cos cos sin sin +-的值等于 ．【嘉定5】已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【虹口9】已知），（πα0∈，且有αα2cos 2sin 21=-，则=αcos __________． 【徐汇6】函数arccos y x =，[1,0]x ∈-的反函数1()f x -=____.【松江9】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 2201c a B+=，则角A = .【浦东新区6】在ABC △中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =__________. 【宝山8】方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为 ．【奉贤6】已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，则ϕ=____．【徐汇10】在ABC 中，45A ︒∠=，M 是AB 的中点，若2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________【闵行11】已知平面向量a 、b 、c ，对任意实数t ，都有||||b ta b a -≥-、||||b tc b c -≥-成立， 若||3a =，||2c =，||7a c -=，则||b =_____【宝山11】设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =⋅+⋅∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数；②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数；③当1a b ==-时，2x f ⎛⎫⎪⎝⎭在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；④当1a b == 时，设()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()t ϕ ，最小值为()t ψ，则()()t t ϕψ-≤则所有正确结论的序号是_________二、选择题【宝山14】“函数()sin()f x ωx =（,x ωR ∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【虹口15】已知函数)0,0(,)sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图像与直线)0(A b b y <<=的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，下列区间是函数)(x f 单调递增区间的是（ ）．.A []3,0 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 .C []6,3 .D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,3【徐汇15】方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1【青浦15】已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为（ ）．A.三、解答题【普陀17】 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（x ∈R ）.（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ； （2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域.【浦东新区18】已知函数()sin(),6f x x πωω=+>（0)的最小正周期为π（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.【松江18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．【闵行18】已知函数2()cos 222x x xf x =+[0,]x π∈.（1）求函数()f x 的值域；（2）若方程()f x ω=0ω>）在区间[0,]π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.【嘉定18】已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【宝山19】（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()sin()0,22ππf x ωx φωφ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点.（1）求ωφ、的值；（2）在ABC ∆中，若2222()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=⋅⋅+，且三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，试求()b f B C c⋅+的值.【崇明18】已知函数21()sin 22f x x x = （1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足，()6f A C π==2c =，求ΔABC 的面积.【杨浦18】设常数k R ∈，2()cos cos ,f x k x x x x R =+∈ （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3f A a b ===，求ABC ∆的面积S .进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设POAα∠=5 1212ππα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭．（1）用α表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到21m）；（2）当α取何值时，矩形PGBF的面积PGBFS最大？并求出最大面积（精确到21m）．【奉贤19】在①3ac=；②sin3c A=；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC∆，它的内角A B C、、的对边分别为a b c、、，且sin3sinA B=，6Cπ=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.CEABO DFGP如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．【徐汇20】设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-.（1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，n N *∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(]0,n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数；（3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围.。
2021年上海市松江区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市松江区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知两条直线l 1，l 2的方程为l 1：ax +y −1=0和l 2：x −2y +1=0，则a =2是“直线l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列四个结论中错误的是( )A. 直线B 1C 与直线AC 所成的角为60°B. 直线B 1C 与平面AD 1C 所成的角为60°C. 直线B 1C 与直线AD 1所成的角为90°D. 直线B 1C 与直线AB 所成的角为90°3. 设x >0，y >0，若2x +1y =1，则yx 的( )A. 最小值为8B. 最大值为8C. 最小值为2D. 最大值为24. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知点(n,a n )在直线y =10−2x 上，若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ，则实数k 的取值范围是( )A. (8,14]B. (14,18]C. (18,20]D. (18,814]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. n →∞lim3n3n +2n =______．6. 若集合A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}，则A ∩B =______．7. 已知复数z 满足z ⋅(1−i)=1+i(i 为虚数单位)，则|z|=______．8. 若sinα=13，则cos(π−2α)=______． 9. 抛物线y 2=−4x 的准线方程是______．10. 已知函数f(x)图象与函数g(x)=2x 的图象关于y =x 对称，则f(3)=______． 11. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率______．12. 在(x 2+2x )6的二项展开式中，常数项等于______．13.在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2a∣∣=0，则角A=______．cosB1∣14.从以下七个函数：y=x，y=1，y=x2，y=2x，y=log2x，y=sinx，y=cosxx中选取两个函数记为f(x)和g(x)，构成函数F(x)=f(x)+g(x)，若F(x)的图象如图所示，则F(x)=______．15.已知向量|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，若a⃗⋅b⃗ =1，且c⃗=x a⃗+y b⃗ ，则x+y的最大值为2______．16.对于定义域为D的函数f(x)，若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f(x12)=f(x22)=2f(x1+x2)，则称函数f(x)具有性质M，若函数g(x)=|log2x−1|，具x∈(0,a]有性质M，则实数a的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2)．(1)求异面直线BC1与AA1所成角的大小(结果用反三角函数表示)；(2)求四棱锥B−ACC1A1的体积和表面积．18.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+1．(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)若对任意x∈R，f2(x)−k⋅f(x)−2≤0的恒成立，求实数k的取值范围．19.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3−x与促销费t之间的关系为3−x=kt+1(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的利余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的√2倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l经过点P(0,4)，且△OMN的面积为2√2，求直线l的方程；(3)若直线l的方程为y=kx+t(k≠0)，点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N分别与x轴相交于P、Q两点，求证：|OP|⋅|OQ|为定值．21.对于由m个正整数构成的有限集M={a1,a2,a3,…,a m}，记P(M)=a1+a2+⋯+a m，特别规定P(⌀)=0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P(M)，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，则称集合M为“满集”．(1)分别判断集合M1={1,2}与M2={1,4}是否为“满集”，请说明理由；(2)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2；(3)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若a=2，则l1：2x+y−1=0和l2：x−2y+1=0，k1⋅k2=−2×12=−1，所以直线l1⊥l2，满足充分性；若直线l1⊥l2，则a×1+1×(−2)=0，解得a=2，满足必要性．所以a=2是“直线l1⊥l2”的充要条件．故选：C．根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．本题主要考查充分条件、必要条件，考查两直线垂直的充要条件，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C 和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由已知2x +1y =1可得y =11−2x ，(x ≠12)， 所以y x =1x(1−2x)=1−2x 2+x =1−2(x−14)2+18，当x =14时，(−2x 2+x)max =18，此时(yx )min =8， 故选：A ．先由已知求出y ，然后代入所求的关系式中，化为与x 有关的函数，然后利用函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值问题，涉及到二次函数的最值问题以及统一变量思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由已知可得a n =10−2n ，由a n −a n−1=−2，所以数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2， 所以S n =8n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+9n ，当n =4或5时，S n 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ， 所以满足条件的n =4和n =5， 因为S 3=S 6=18，所以实数k 的取值范围是(18,20]． 故选：C ．由已知可得数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2，由等差数列的前n 项和公式可得S n =−n 2+9n ，由二次函数的性质可得n =4或5时，S n 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围．本题主要考查数列与函数的综合，考查等差数列前n 项和公式，二次函数的图象与性质，属于中档题．5.【答案】1【解析】解：n →∞lim3n3n +2n =n →∞lim11+(23)n =11−0=1．故答案为：1．利用数列极限的运算法则化简求解即可． 本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．6.【答案】{1,2}【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：由z ⋅(1−i)=1+i ， 得z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ， ∴|z|=1． 故答案为1．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．8.【答案】−79【解析】解：∵sinα=13，∴cos(π−2α)=−cos2α=−(1−2sin 2α)=−1+2sin 2α=−1+29=−79． 故答案为：−79原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sinα的值代入计算即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9.【答案】x =1【解析】解：∵抛物线的方程y 2=−4x ，∴2p =4，得p2=1， 因此，抛物线的焦点为F(−1,0)，准线方程为x =1． 故答案为：x =1根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答案．本题给出抛物线方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．10.【答案】log 23【解析】解：∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称， ∴函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数， ∴f(x)=log 2x ， ∴f(3)=log 23， 故答案为：log 23.由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称，可得：函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数，求出函数解析式，可得答案．本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．11.【答案】115【解析】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11， ∴学生甲被抽到的概率P =m n=C 119979C 11C 120080=115．故答案为：115．基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11，由此能求出学生甲被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】240)6的二项展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅2r⋅x12−3r，【解析】解：在(x2+2x令12−3r=0，求得r=4，可得展开式的常数项为C64⋅24=240，故答案为：240．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.【答案】5π6∣∣=0，【解析】解：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2acosB1∣可得√3b+2c=2acosB，由正弦定理可得√3sinB+sinC=2sinAcosB，，即√3sinB+sin(A+B)=2sinAcosB，可得cosA=−√32．所以A=5π6．故答案为：5π6利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，行列式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2x+sinx，y=log2x，【解析】解：由图象可知，函数F(x)的定义域为R，故排除y=1x又F(x)的图象过定点(0,1)，当x>0时，F(x)>1且为增函数，当x<0时，F(x)大于0与小于0交替出现，故排除y=x，y=x2，∵y=2x过(0,1)，且当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1．若包含y=cosx，当x=0时，y=1，y=2x+cosx不满足过点(0,1)，∴只有y=2x+sinx满足．故答案为：2x+sinx．，y=log2x，再由F(x)的图象过定点(0,1)及图象的变化由函数F(x)的定义域排除y=1x情况排除y=x与y=x2，然后分析y=2x与y=cosx，或y=2x与y=sinx是否经过(0,1)得结论．本题考查函数的图象及图象变换，考查基本初等函数的性质，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】2√33【解析】解：∵|a⃗|=|b⃗ |，且a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗与b⃗ 的夹角为60°，设a⃗=(1,0)，则b⃗ =(12,√32)，∵c⃗=x a⃗+y b⃗ ，∴c⃗=(x+12y,√32y)，又|c⃗|=1，∴(x+12y)2+(√32y)2=1，化简得x2+xy+y2=1，∴(x+y)2−1=xy≤(x+y)24，当且仅当x=y=√33时，等号成立，∴x+y≤2√33．故答案为：2√33．易知a⃗与b⃗ 的夹角为60°，不妨设a⃗=(1,0)，写出b⃗ 与c⃗的坐标，再由|c⃗|=1和基本不等式，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．16.【答案】√2√2+2【解析】解：设x1<x2，由f(x12)=f(x22)得，|log2x12−1|=|log2x22−1|，则1−log2x12=log2x22−1，故log2x12x22=2，∴x12x22=4(x12<2,x22>2)，又2f(x1+x2)=|2log2(x1+x2)−2|=|log2(x1+x2)2−2|，∴log2(x1+x2)2−2=1−log2x12，∵x12=4x22，∴log2(x12+4x12+4)−2=1−log2x12，则log2(x14+4x12+4)=3，∴x14+4x12+4=8，∴x1=√2√2−2，故x2=√2√2+2，∴a≥√2√2+2，则实数a的最小值为√2√2+2．故答案为：√2√2+2．设x 1<x 2，由f(x 12)=f(x 22)，可得x 12x 22=4，结合2f(x 1+x 2)=|2log 2(x 1+x 2)−2|=|log 2(x 1+x 2)2−2|可得x 14+4x 12+4=8，进而求得x 1，x 2，由此得解．本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵AA 1//CC 1，∴∠BC 1C即为异面直线BC 1与AA 1所成角， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴CC 1⊥平面ABC ， ∴∠C 1CB =90°．∵CB =√AB 2+AC 2=√1+1=√2，CC 1=2，∴tan∠C 1CB =√22，得∠C 1CB =arctan√22， 即异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为arctan √22；(2)V B−ACC 1A 1=13×1×22=43；S 全=S △BAC +S △BAA 1+S △BA 1C 1+S CAA 1C 1 =12×1×1+12×1×2+12×1×√5+12×√2×2+1×2 =12+1+√52+√2+2=72+√2+√52． ∴四棱锥B −ACC 1A 1的体积为43，表面积为72+√2+√52．【解析】(1)由棱柱的结构特征可得AA 1//CC 1，∴∠BC 1C 即为异面直线BC 1与AA 1所成角，证明CC 1⊥平面ABC ，再由已知求解三角形得答案；(2)直接由棱锥体积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的表面积．本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +1=√32sin2x +cos2x+12+1=√32sin2x +12cos2x +32=sin(2x +π6)+32， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，值域为[12,52].(2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，由f 2(x)−k ⋅f(x)−2≤0恒成立，知t 2−kt −2≤0恒成立，即kt ≥t 2−2恒成立， 因为t >0，所以k ≥t 2−2t =t −2t ，因为g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，g max (t)=g(52)=52−45=1710， 所以k 的取值范围是k ≥1710．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x +π6)+32，利用正弦函数的性质即可求解． (2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，可得k ≥t 2−2t=t −2t ，由于g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，利用函数的性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)由3−x =kt+1，当t =0，x =1时，得k =2，∴3−x =2t+1，由2t+1≤0.1，得t ≥19，故要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为19(万元)； (2)设网店的利润为y(万元)，由题意可得，y =x(3+32x x ×1.5+t2x)−(3+32x +t) =992−32t+1−t 2=50−(32t+1+t+12)≤50−2√32t+1⋅t+12=42．当且仅当32t+1=t+12，即t =7时取等号，此时3−x =0.25．∴当促销费t 为7(万元)时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件)．【解析】(1)在已知等式中，取t =0，x =1求得k 值，可得3−x =2t+1，由2t+1≤0.1求解t 的范围得答案；(2)由题意写出网店的利润为y 关于t 的函数，再由基本不等式求最值即可． 本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得a =√2b ，a 2−b 2=4，解得a =2√2，b =2，所以椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)设点M ，N 的坐标为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线l 的方程为y =kx +4，联立方程{y =kx +4x 28+y 24=1，消去y 可得：(1+2k 2)x 2+16kx +24=0， 则x 1+x 2=−16k 1+2k ，x 1x 2=241+2k 2，所以S △OMN =12⋅4⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8√2√2k 2−31+2k 2=2√2，解得k =±√142，所以直线l 的方程为y =±√142x +4； (3)证明：由题意知M′点的坐标为M′(x 1,−y 1)，将y =kx +t 代入椭圆方程可得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0， 所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−81+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =t1+2k 2，对于直线y =kx +t ，令y =0，得x =−t k ，所以|OP|=|− tk |，对于直线M′N ：y −y 2=y 2−y1x 2−x 1(x −x 2)，令y =0，得x =− y 2(x 2−x 1)y 2+y 1+x 2=x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=x 1(kx 2+t)+x 2(kx 1+t)y 2+y 1=2kx 1x 2+t(x 1+x 2)y 2+y 1=−8kt，所以|OQ|=|−8k t|，所以|OP|⋅|OQ|=|−tk |⋅|−8k t|=8为定值，故原结论成立．【解析】(1)根据已知以及a ，b ，c 的恒等式即可求解；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及弦长公式求出三角形OMN 的面积，并令面积为2√2，即可求解；(3)由已知可得M′与M 关于x 轴对称，联立直线与椭圆的方程，写出韦达定理，并求出直线M′N 的方程，令y =0求出x ，即可得|OQ|的长度，并根据直线l 的方程求出|OP|，然后相乘即可求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题以及椭圆中的定值问题，考查了学生的运算转化能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：(1)集合M 1是“满集”，集合M 2不是“满集”，理由如下：对于集合M 1，P(M 1)=1+2=3，且M 1共有4个子集：⌀，{1}，{2}，{1,2}，当k分别取1，2，3时，有1=P({1})−P(⌀)，2=P({2})−P(⌀)，3=P({1,2})−P(⌀)，故集合M1是“满集”；对于集合M2，P(M2)=1+4=5，且M1共有4个子集：⌀，{1}，{4}，{1,4}，当k=2时，不存在M2的两个子集A，B，使得P(A)−P(B)=2，故集合M2不是“满集”，(2)证明：∵a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，∴a1<a2<⋯<a m，记k0=P(M)=a1+a2+⋯+a m，∵集合M为“满集”，∴对任意的正整数k≤k0，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，当k=k0−1时，由k0−1=P(A)−P(B)，及P(B)≥0，知P(A)=k0或P(A)=k0−1，若P(A)=k0，则P(B)=1，此时A={a1,a2,…,a m}，B={a1}，∴a1=1；若P(A)=k0−1，则在M的真子集中，P(A)=a2+a3+⋯+a m最大，必有a1=1，此时A={a2,a2,…,a m}，B=⌀，综上，可得a1=1；若d≥3，当k=k0−3时，∵k0−0>k0−1>(k0−1)−1>⋯>k0−(1+d)>⋯，∴不存在集合M的两个子集A、B，使得k=k0−3=P(A)−P(B)成立，∴d=1或2，综，可得集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2，(3)证明：由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，对任意k≤2m−1，∵k∈N∗，∴存在k1<k，k1∈N∗，p1∈{0,1}，使得k=2k1+p1，同理有k1=2k2+p2，k2=2k3+p3，…，其中k i<k i−1，k i∈N∗，p i∈{0,1}，经过有限次的操作后，必存在k s=1(0≤s<m)，∴k=2k1+p1=2(2k2+p2)+p1=⋯=2s+2s−1p s+2s−2p s−1+⋯+2p2+20p1，当p j1=p j2=⋯=p jm=1时，k=2s+2j1+2j2+⋯+2j s，此时取A={2s,2j1,2j2,…,2j s}，B=⌀，则有P(A)−P(B)=2s+2j1+2j2+⋯+2j s−0=k，∴集合M是“满集”．【解析】(1)根据“满集”的定义，可知集合M1是“满集”，集合M2不是“满集”，然后利用定义说明理由即可；(2)由题设条件和“满集“的定义⇒a1=1，d=1或2，即可证明结论；(3)由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，然后根据“满集”的定义证明结论即可．本题主要考查数列在概念新定义题型中的综合应用，属于一道难题．。
2024届上海松江区高三一模数学试卷和答案
上海松江区2023-2024学年第一学期期末质量监控试卷高三数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知全集为R ，集合{}|1P x x =≥，则集合P =________．2.双曲线221 3=x y -的右焦点坐标是________．3.已知复数2i z =+（其中i 是虚数单位），则z =________4.已知向量()1,2a =，()4,3b = ，则()2a a b ⋅-= ________5.已知3sin 5θ=，π(0,2θ∈，则πtan(4θ-的值为________6.已知lg lg 1a b +=，则2+a b 的最小值为________7.二项式()3nx +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =___________；8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为________．9.在ABC 中，设角,A B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若3a =，5c =，2B A =，则边长b =________．10.已知函数2()6f x x x m =-++，π()2sin(2)3g x x =+．对任意0π0,4x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，存在12,[1,3]x x ∈-，使得102()()()f x g x f x ≤≤，则实数m 的取值范围是________．11.若函数()y f x =是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(2)(2)()2x f x x f x ⋅+=+⋅+，则(2023)f =________．12.已知正四面体A BCD -的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC += ，则AP AD⋅的取值范围是________．二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．13.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a b c d 、、、，下列命题是真命题的是（）A.若22a b <，则a b <B.若a b <，则ac bc<C.若a b <，c d <，则ac bd< D.若a b <，c d <，则a c b d+<+14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是（）A.甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；B.甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；C.甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；D.乙队数据的第75百分位数为27．15.函数()y f x =的图象如图所示，()y f x '=为函数()y f x =的导函数，则不等式()0f x x'<的解集为（）A.(3,1)--B.(0,1)C.(3,1)(0,1)--⋃ D.(,3)(1,)-∞-+∞ 16.关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M 上的点到坐标原点的距离最小值是22；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB ．（1）求证：CE ⊥平面PAD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为56，1AB =，3AD =，2CD =，45CDA ∠= ，求二面角P CE A --的大小．18.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）若集合{}1|,150k m M k b a a m ==+≤≤，求集合M 中的元素个数．19.为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：第一档：年用气量在0310-（含）立方米，价格为a 元/立方米；第二档：年用气量在310520-（含）立方米，价格为b 元/立方米；第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米.（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含,,a b c 的式子表示）；（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求,,a b c 的值.月份1234591012当月燃气用量（立方米）5680665860535563当月燃气费（元）168240198174183174.9186264.620.已知椭圆2222:1y x a b Γ+=（0a b >>）的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y =的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆Γ于点,A B ，同时交抛物线K 于点,C D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆Γ于点,A B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点,E G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值．21.已知函数()y f x =，记()sin f x x x =+，x D ∈．（1）若[]0,2πD =，判断函数的单调性；（2）若π0,2D ⎛⎤= ⎥⎝⎦，不等式()f x kx >对任意x D ∈恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若R D =，则曲线()y f x =上是否存在三个不同的点,,A B C ，使得曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：一．填空题：1、{}|1x x <；2、(2,0)；3；4、0；5、17-；6、7、10；8、35；9、；10、[]7,8-；11、1-；12、44⎡-+⎣；二．选择题：13、D ；14、D ；15、C ；16、C ；三．解答题：17、（1）由PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，得PA CE ⊥，由,//AB AD CE AB ⊥，得CE AD ⊥，而,,PA AD A PA AD ⋂=⊂平面PAD ，所以CE ⊥平面PAD ．（2）由（1）知，CE ⊥平面PAD ，而PE ⊂平面PAD ，则CE PE ⊥，又CE AE ⊥，因此PEA ∠是二面角P CE A --的平面角，在Rt ECD △中，cos451,sin 451DE CD CE CD ==== ，显然1,//CE AB AB CE ==，四边形ABCE 为矩形，于是2BC AE ==，而四棱锥P ABCD -的体积1115(23)13326P ABCD ABCD V S PA PA -=⋅=⨯+⨯⋅=，解得1PA =，在Rt PAE 中，1tan 2PA PEA AE ∠==，因此1arctan 2PEA ∠=，所以二面角P CE A --的大小为1arctan2.18、（1）证明：设数列{}n a 的公差为d ，则()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即1112250d b a d b =⎧⎨+-=⎩，解得112db a ==，所以原命题得证.（2）由（1）知112d b a ==，所以111112(1)k k m b a a a a m d a -=+⇔⨯=+-+，因为10a ≠，所以[]221,50k m -=∈，解得222log 5023log 25k ≤≤+=+,由4215=，5232=，故24log 255<<，即273log 258<+<，所以满足等式的解2,3,4,5,6,7k =．故集合M 中的元素个数为6.19、（1）依题意，函数解析式为：,0310310(310),310520310210(520),520ax x y a b x x a b c x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪++->⎩（2）解法一：由一月份数据可得：168356a ==，通过计算前5个月用量：5680665860320++++=，前5个月燃气总费用：168240198174183963++++=，由（1）中函数解析式，计算可得：9633103(320310)b =⨯+-，所以 3.3b =，又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份为第三档，264.64.263c ==.解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同．所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．从而得到，3, 3.3, 4.2a b c ===.20、（1）由题意得(0,1)F ，即：1c =，又22c a =，所以a =由222a cb -=，得21b =，所以椭圆的方程为2212y x +=.（2）由题意得过点F 的直线AB 的斜率存在，设直线AB 方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222210k x kx ++-=，则12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，所以()()2222222211221422k k k k A k k B +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣-+⎦-++.抛物线K 的方程为：24x y =，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得：2440x kx --=，则34344,4x x k x x +==-，所以()()()2221161641CD k kk =++=+，所以()()AC BD AC AD BD AD CD AB-=+-+=-()()()()2222222212422221410k k k k k k++-=+-++=+>，即AC BD>.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()55,E x y ，()66,G x y ，当直线AB 的斜率存在且不为零时，设直线AB 方程为()10y kx k =+≠，则直线EG 方程为11y x k=-+，由（2）的过程可知：)2212kk AB ++=，由()241CD k=+，以1k -替换k ，可得2141EG k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以))()222222211111412222AEBGk k k S AB EG k k k ++⎡⎤⎛⎫=⋅=⨯⨯+= ⎪⎢⎥⎭⎣⎦+⎝+)()()22222214211111kk k +==--++，因为211k +>，所以()()2210,11k ∈+，()()22110,11k -∈+，()2242111AEBG S k =>-+当直线AB的斜率不存在时，AB =，4EG =，所以11422AEBG S AB EG =⋅=⨯=；综上所述：AEBG S ≥AEBG面积的最小值为21、（1）因为()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当在πx =时，()0f x '=，所以函数()y f x =在[0,2π]上是增函数．（2）由题意得，(1)sin k x x -<，于是sin 1xk x-<．令sin ()xh x x =，则2cos sin ()-'=x x x h x x ，令()cos sin u x x x x =-，则π()sin 0,(0,2u x x x x '=-<∈，所以()u x 在(0,2π上是严格减函数，于是π()(0)0,(0,]2u x u x <=∈由于2cos sin π()0,(0,]2x x x h x x x -'=<∈，于是()h x 在(0,]2π上是严格减函数，所以min π2()(2πh x h ==，因此21πk -<，即21πk <+．（3）解法一：设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则曲线在,,A B C 三点处的切线分别为直线，11111:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+，22222:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+，33333:(1cos )cos sin l y x x x x x =+-+．因为直线123,,l l l 互相重合，所以123cos cos cos x x x ==，且111cos sin x x x -+222cos sin x x x =-+333cos sin x x x =-+．因为123cos cos cos x x x ==，所以12sin sin x x =±，23sin sin x x =±，31sin sin x x =±．①若12sin sin x x =-，23sin sin x x =-，31sin sin x x =-．则1sin 0x =，2sin 0x =，3sin 0x =，于是112233cos cos cos x x x x x x -=-=-，因为123cos cos cos 10x x x ===±≠，所以123x x x ==，与,,A B C 三点互不重合矛盾．②若12sin sin x x =，23sin sin x x =，31sin sin x x =中至少一个成立，不妨设12sin sin x x =成立，则1122cos cos x x x x =，若12cos cos 0x x =≠，则12x x =，矛盾，舍去，于是12cos cos 0x x ==，12sin sin 1x x ==±，所以满足要求的切线方程为1y x =+或1y x =-解法2：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同.曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线方程分别为：11111:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，22222:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，33333:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，依题意，有123111222333cos cos cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x ==⎧⎨-=-=-⎩①②由①得，21312π,2π,,Z x k x x n x k n =±=±∈.情形1：若21312π,2π,,0,x k x x n x k n k n =+=+≠≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=-+=-+.即11(2π)cos 0(2π)cos 0k x n x =⎧⎨=⎩，而,0k n ≠，故1cos 0x =，1sin 1x =±，此时满足条件的切线方程为1y x =±.情形2：若21312π,2π,x k x x n x k n =-=-≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=---=---.即111111sin (π)cos 0sin (π)cos 0x k x x x n x x +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得1()πcos 0k n x -⋅=，由于k n ≠，故1cos 0x =，此时1sin 0x =，与2211sin cos 1x x +=矛盾，舍去.情形3：若21312π,2π,0x k x x n x k =+=-≠，代入②得，111111111sin cos sin (2π)cos sin (2π)cos x x x x k x x x n x x -=-+=---.即1111(2π)cos 0sin (π)cos 0k x x n x x =⎧⎨+-=⎩，故1cos 0x =，高中11则1sin 0x =，与2211sin cos 1x x +=矛盾，舍去.情形4：若21312π,2π,0x k x x n x n =-=+≠，与情形3完全类似，舍去.综上，满足条件的切线方程为1y x =±.解法3：假设存在三个不同点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在曲线()y f x =上满足条件，则111222333sin ,sin ,sin y x x y x x y x x =+=+=+，且123,,x x x 互不相同.曲线()y f x =在,,A B C 三点处的切线方程分别为：11111:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，22222:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，33333:(1cos )sin cos l y x x x x x =++-，依题意，有123111222333cos cos cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x ==⎧⎨-=-=-⎩①②由①得，123|sin ||sin ||sin |x x x ==，由②，令111222333sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x t -=-=-=，则111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x t x x x t x x x t x x =+=+=+，即有112233|cos ||cos |cos |t x x t x x t x x +=+=+，平方，得2222222221111222233332cos cos 2cos cos 2cos cos t tx x x x t tx x x x t tx x x x ++=++=++，即222121121222131131()cos 2()cos 0()cos 2()cos 0x x x t x x x x x x t x x x ⎧-+-=⎨-+-=⎩由于123,,x x x 互不相同，即2121121311()cos 2cos 0()cos 2cos 0x x x t xx x x t x ⎧-+=⎨-+=⎩，相减，得2231()cos 0x x x -=，于是1cos 0x =，则1sin 1x =±，此时满足条件的切线方程为1y x =±.。
上海2021届高三数学·一模试卷 分类汇编(三角函数)
2021届上海高三数学·一模分类汇编（三角函数）一、填空题： 1、行列式ααααααcos sin cos cos sin sin +-的值等于2、已知），（πα0∈，且有αα2cos 2sin 21=-，则=αcos ________ 3、已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α4、若函数)42sin(π+=x y ，则它的最小正周期T =5、若矩阵sin cos m A n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin cos mB n θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B =，则22m n += 6、在ABC △中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =_______ 7、若παπ<<2且31cos -=α，则=αtan 8、若1sin 3α=，则cos(2)πα-=9、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 2201c a B+=，则角A =10、函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为11、方程cos2x －sin x ＝0在区间[0，π]上的所有解的和为 ．12、已知函数)22)(3sin()(πϕπϕ<<-+=x x f 的图像关于直线4π=x 对称，则=ϕ______13、若tan()34πα+=-，则tan α=_____14、函数arccos y x =，[]1,0x ∈-的反函数是()1f x -=________15、已知sin ,522⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭ππαα ，则sin 2⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα二、选择题：1、已知函数)0,0(,)sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图像与直线)0(A b b y <<=的三个相邻交点的横坐标依次是1，2，4，下列区间是函数)(x f 单调递增区间的是（ ）．.A []3,0 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 .C []6,3 .D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,3 2、方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 3、已知函数x x x f ωπωcos )6sin()(++=在上的值域为，则实数ω的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4、“函数f (x )＝sin(ωx )（x ，ω∈R ，且ω≠0）的最小正周期为2”是“ω＝π”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 5、已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为（ ）． （A 223- （B 223+ （C 261- （D 261+三、解答题：1、设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若2f 2(B )＋3f 2(C )＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋f 2(A )，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．2、如图所示，,A B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电．要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km ）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得,A B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨．（1）当15AP km =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区,要求PAB ∆的面积最大．问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？3、已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．4、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．居民生活区北5、设常数k ∈R, 2()cos cos f x k x x x =, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, a , 3b =, 求ABC △的面积S .6、已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．7、如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．()fx8、进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．9、设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.10、已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．11、某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒. （1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.12、已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=，2c =， 求ABC △的面积．13、已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12A f =，求sin sinBC +的取值范围.14、已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．。
上海市松江区2021届新高考一诊数学试题含解析
上海市松江区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =I （ ） A ．{|12}x x -≤< B ．{}|25x x -<< C ．{|15}x x -≤< D ．{}|02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】考虑既属于M 又属于N 的集合，即得. 【详解】{}2|{2,1|2}N x x M N x x =-<<∴⋂=-≤<Q .故选：A 【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0【答案】A 【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y 2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线 其渐近线方程是﹣y 2=1整理得x±2y=1． 故选A ．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．5．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果. 【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④. 【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x yx y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.8．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.9．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B．CD【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ， 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -【答案】C【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x a x+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 12．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111bba a -<-，()()211bba a -<-，所以A,B 两项均错； 又111ab <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市松江区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
上海市松江区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ）A ．c c a b >B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22a b< 【答案】C【解析】【分析】 A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于,A Q 实数0a b <<， 11,c c a b a b ∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出．对于.D 指数函数1()2x y =单调递减性质，因此不成立．故选：C ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．2．若复数52z i =-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z .【详解】 55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 4．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．64【答案】B【解析】 【分析】 设大正方体的边长为x ，312x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解。
上海市松江区2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
上海市松江区2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）A ．1 BC ．±1D ．【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：2z ==，求解关于实数a 的方程可得：a =.本题选择D 选项.2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r+=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β【答案】B 【解析】由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.4．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5．点(,)P x y 为不等式组+4x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（ ）A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞UC ．()2,1-D ．[]2,1-【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论． 【详解】不等式组40x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩„„…作出可行域如图：(4,0)A ，(2,2)B ，(0,0)O ，22y z x +=-的几何意义是动点(,)P x y 到(2,2)Q -的斜率，由图象可知QA 的斜率为1，QO 的斜率为：1-， 则22y x +-的取值范围是：(-∞，1][1-U ，)+∞． 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积. 【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12× A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．8．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．22x yB ．22x yC ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.9．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除. 【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确．【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．10．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．532【答案】C 【解析】 【分析】 根据551[(21)1]32x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551[(21)1]32x x =-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有32255111545323232216C C a ⨯=⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 11．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62【答案】A 【解析】 【分析】令()()f m g n t ==，进而求得122ln 2t n m e t --=--，再转化为函数的最值问题即可求解. 【详解】∵()()f m g n t ==∴12ln12mne t -=+=（0t >），∴122ln 2t n m e t --=--， 令：()122ln 2t h t et -=--，()122t h t e t-'=-，()h t '在()0,∞+上增，且()10h '=，所以()h t 在()0,1上减，在()1,+∞上增，所以()()min 1220h t h ==-=，所以n m -的最小值为0.故选：A本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示n 和m 是本题的关键，属于中档题.12．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新上海市2021年高三上学期一次质量调研数学(文)试题及答案
高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x x B ,011，则=B A __________．3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________．5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．7．已知012cos sin =αα，则=α2sin ____________． 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值开始1←k ，0←S2015≤k )1(1++←k k S S 1+←k k 输出S结束是否为___________．10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是____________．11．设)12,(k PA =，)5,4(=PB ，),10(k PC =，则=k _________时，点A ，B ，C共线．12．已知*N ∈n ，若80222211221=++++--n n n n n n C C C ，则=n _______． 13．设数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，记数列前n 项的积为n P ，则2016P 的值为 __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||14)(x x x f +-=在 R 上封闭，那么=-a b _____________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面；④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外．其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．若椭圆122=+my x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．418．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且13a ，321a ，22a 成等差数列，则7698a a a a ++等 于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．α① ②20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=，记函数n m x f ⋅=)(．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，3=+b a ，求△ABC 的面积S ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数x x a a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值；（2）设1>a ，试判断函数)(x f y =在R 上的单调性，并解关于x 的不等式0)12()(2<-+x f x f ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线py x 22=，准线方程为01=+y ，直线l 过定点),0(t T （0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）OB OA ⋅是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当1=t 时，设TB AT ⋅=λ，记)(||λf AB =，求)(λf 的解析式．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ； （3）求数列}{n n y x ⋅的前100项之和．数学试卷（文）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．31 4．25．510arccos 6．π33 7．54 8．20162015 9．43 10．109 11．2-或11 12．4 13．1 14．6二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．D三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．α︒60 B C DA B C D ③ ④EF（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大． ………………………………………………………………（2分）解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， …………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分）解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ………………………………………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分） （2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctanCBD ， 所以点F 在线段AD 上， …………………………………………（1分）此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， …………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………（4分） 由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． ……（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．…（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ……………………………………（3分）所以)(x f 的最小正周期是π=T ． ………………………（4分）由226222πππππ+≤-≤-k x k ，Z ∈k ， ……………………（6分）得函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k （Z ∈k ）． ……（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ， 所以262ππ=-C ，3π=C ． ………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， …………（4分）得ab b a ab b a 3)(3222-+=-+=，即2=ab ， ………………（5分）所以△ABC 的面积2323221sin 21=⨯⨯==C ab S ． …………（7分）21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ．…………………………………………………………（3分）当1=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数． 所以，所求k 的值为1． …………………………………………………………（6分） 解法二：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， …………………………………（2分）即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， ………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ……………………………………………（6分）（2）由（1），xxaa x f --=)(，任取1x ，R ∈2x ，且21x x <，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---=-+--2121221111)()()()()(21x x x x x x x xa a a a a aa x f x f ，因为1>a ，21x x <，所以021<-xx a a ，又01121>++x x a ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，所以函数)(x f 在R 上是单调递增函数． ………………（4分）（注：也可以这样解答：1>a ，xa y =在R 上是增函数，xxa ay ⎪⎭⎫⎝⎛==-1在R 上是减函数，则x a y --=在R 上是增函数，所以x x a a x f --=)(在R 上是增函数．） 由0)12()(2<-+x f x f ，得)12()(2--<x f x f ，即)21()(2x f x f -<， ……（6分） 所以x x 212-<，即0122<-+x x ，解得)21,21(+---∈x ． …………（8分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． （1）由题意，12-=-p，2=p ， ………………………………………………（2分） 故抛物线方程为y x 42=． …………………………………………………………（4分） （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线t kx y l +=:，则⎩⎨⎧-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=.4,40444,212122t x x k x x t kx x yx t kx y …………………………（2分） 于是，2212122121)()1(t x x kt x x k y y x x OB OA ++++=+=⋅t t 42-=， ……（4分） 因为点),0(t T 是定点，所以t 是定值，所以OB OA ⋅是定值，此定值为t t 42-．…（6分）（3）)1,0(T ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,20x x TB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==λλλλ4,20x x TB AT ，故)41,(200x x A ⋅-+-λλλ， ………………（2分）因为点A 在抛物线y x 42=上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=4142022x x λλλ，得λ420=x ．……（4分）又T 为抛物线的焦点，故24412||)(2020++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=++==x x y y AB f B A λλλ21++=λλ，即21)(++=λλλf （0>λ）． ………………………………（6分）23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11)1(z i z n n ⋅+=-， ………………（1分） 当14+=k n 时，k k n i i )4()1()1(41-=+=+-， ………………………（3分） 令k)4(-=λ，则1z z n ⋅=λ，即则存在非零实数k )4(-=λ（*N ∈k ），使得1n OZ OZ λ=． …………（5分）所以，当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分） 所以n n n n y x y x 1644=++， …………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ， …………………………（4分）)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， ……………………………………（7分）所以数列}{n n y x 的前100项之和为10021-． ……………………………………（8分）。
高三数学12月一模考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校松江区2021届高三数学12月一模考试试题〔含解析〕一.填空题〔本大题一一共12题，1-6每一小题4分，7-12每一小题5分，一共54分〕{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，那么A B ⋂=_____【答案】{}12，【解析】 【分析】求解不等式化简集合A ，再由交集的运算性质得答案． 【详解】由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案为{}1,2【点睛】此题考察了交集及其运算，是根底题． 的终边过点(4,3)P -，那么3sin()2πα+的值是_____________. 【答案】45- 【解析】 【分析】由题意可得x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，再由任意角的三角函数的定义可得4cos 5α=，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P 〔4，﹣3〕，那么x ＝4，y ＝﹣3，r ＝5，4cos 5α=， 34sin()cos 25παα+=-=-． 【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，两点间的间隔公式的应用，属于根底题．3.设121iz i i-=++，那么||z =______. 【答案】1.分析：首先求得复数z ，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法那么有：()()()()11122221112i i ii z i i i i i i i ----=+=+=+=++-， 那么：1z i ==.点睛：此题主要考察复数的运算法那么，复数模的计算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rrrr r rC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1034r -=，解得2r所以系数225240C ⨯=【点睛】此题考察了二项式定理的简单应用，属于根底题．22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，假设椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，那么1||PF =________【答案】4 【解析】根据椭圆定义，得到1226PF PF a +==，再由题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，在椭圆22194x y +=中，1226PF PF a +==，又122PF PF =，所以1362=PF ，因此14PF =. 故答案为：4【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔，熟记椭圆的定义即可，属于根底题型.x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，那么实数m =________【答案】2- 【解析】 【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx ym 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】此题主要考察由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的断定条件，灵敏运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.(1,2)a =，(,3)b m =-，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =________【答案】32- 【解析】 【分析】先由题意，得到2(12,8)-=-a b m ，根据向量一共线的坐标表示，得到()12(3)80-⨯--=m m ，求解，即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =，(,3)b m =-，所以2(12,8)-=-a b m ，又(2)a b -∥b ，所以()12(3)80-⨯--=m m ，即230m +=，解得：32m =-. 故答案为：32-【点睛】此题主要考察由向量一共线求参数，熟记向量一共线的坐标表示即可，属于常考题型.()y f x =存在反函数1()y f x -=，假设函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，那么函数12()log y f x x -=+的图像必经过点________【答案】(4,3) 【解析】 【分析】先由题意，得到6(1)2=+f ，推出函数()y f x =的图像过点(1,4)，其反函数过点(4,1)，求出1(4)1-=f ，得到12(4)log 4123-+=+=f ，进而可求出结果.【详解】因为函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，所以6(1)2=+f ，因此(1)4f =，即函数()y f x =的图像过点(1,4)又()y f x =存在反函数1()y f x -=，所以1()y f x -=的图像过点(4,1)，即1(4)1-=f ，所以12(4)log 4123-+=+=f ，即函数12()log y f x x -=+的图像必经过点()4,3.故答案为：()4,3【点睛】此题主要考察反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.{}n a 中，假设121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，那么1a 的取值范围是________ 【答案】112(0,)(,)333【解析】 【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到1q <且0q ≠，1113=-a q ，分别讨论10q -<<，和01q <<，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么其前n 项和为：11(1),11,1n n a q q S qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 假设1q=时，1211lim()lim 3→∞→∞++⋅⋅⋅+=≠n n n a a a na ， 假设1q ≠时，112(1)1lim()lim13→∞→∞-++⋅⋅⋅+==-n n n n a q a a a q ， 因此1q <且0q ≠，1113=-a q ，即()1113=-a q ， 所以当10q -<<时，()11121,333⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q ； 当01q <<时，()11110,33⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭a q .因此，1a 的取值范围是112(0,)(,)333. 故答案为：112(0,)(,)333【点睛】此题主要考察由等比数列的极限求参数的问题，熟记极限的运算法那么，以及等比数列的求和公式即可，属于常考题型.ax by cx d+=+的大致图像如图，假设函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，那么:::a b c d =________【答案】2:1:1:1- 【解析】 【分析】先由函数图像，得到函数ax b y cx d+=+关于()1,2-对称，推出02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，化原函数为2+=+cx by cx c，再由函数图像所过定点，即可求出参数，得出结果.【详解】由图像可得：函数ax by cx d+=+关于()1,2-对称， 所以有02c d a c-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，即2c d a c =⎧⎨=⎩，因此2++==++ax b cx by cx d cx c ， 又函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，所以1834bcc b c c ⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪-+⎩，解得：11b c =-⎧⎨=⎩，因此12d a =⎧⎨=⎩，所以:::2:1:1:1=-a b c d.故答案为：2:1:1:1-【点睛】此题主要考察由函数图像求参数，熟记函数的对称性，以及待定系数法求函数解析式即可，属于常考题型.,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，那么实数c 的最小值为________【答案】-【解析】 【分析】先由题意，根据根本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈ta b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果.【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221ab +=，所以22212++=+a bab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a bc ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+ta b，因为+==≤=a b a b =时取等号. 所以(=+∈ta b ，又易知函数3=-yt t在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y t t ，因此()()2233==≥=-+--+c a b t a b t即实数c 的最小值为-故答案为：-【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，那么0m n ⋅=的概率为________【答案】851【解析】 【分析】 先以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到各顶点坐标，列举出集合M 中所有元素，以及满足条件的组合，根据古典概型的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】以41A A 的中点为坐标原点O ，以41A A 所在直线为x 轴，以41A A 的垂直平分线为y 轴，建立如以下图的平面直角坐标系， 因为正六边形的边长为1，所以易得：()11,0A -、212⎛- ⎝⎭A 、31,22⎛ ⎝⎭A 、()41,0A 、51,22⎛- ⎝⎭A 、61,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，因此125412⎛== ⎝⎭A A A A ，136432⎛== ⎝⎭A A A A ，()142,0=A A ，()412,0=-A A ，15243,2⎛== ⎝⎭A A A A ，16341,2⎛== ⎝⎭A A A A ，21451,22⎛==-- ⎝⎭A A A A ，()23651,0==A A A A ，(251,=A A ，(52=-A A ，(26350,==A AA A ，31463,22⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，()32561,0==-A A A A ，(361,=-A A ，(63=A A ，4251322⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭A A A A ，4361122⎛==- ⎝⎭A A A A ，(5362==A A A A ；一共18个向量. 因此{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j Ma a A A i j i j ===≠中含有18个不同的元素.又在M 中任取两个元素m 、n ，满足0m n ⋅=的有：13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()2,0与()0,3-或者()0,3；()2,0-与()0,3-或者()0,3；()1,0与()0,3-或者()0,3；()1,0-与()0,3-或者()0,3；()1,3与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3--与33,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；()1,3-与33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者33,22⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭；一共24种选法，又由m 、n 的任意性，因此满足0m n ⋅=的情况一共有：222448=A 种；又在M 中任取两个元素m 、n ，一共有22182C A 种情况；因此，满足0m n ⋅=的概率为：2218248851==PC A . 故答案为：851【点睛】此题主要考察古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 二.选择题〔本大题一一共4题，每一小题5分，一共20分〕 13.l 是平面α的一条斜线，直线m α，那么〔〕A.存在唯一的一条直线m ，使得lm ⊥ B.存在无限多条直线m ，使得lm ⊥C.存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD.存在无限多条直线m ，使得l ∥m【答案】B 【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合直线与直线，直线与平面位置关系，即可得出结果. 【详解】因为l 是平面α的一条斜线，直线m α，画出图形如下：显然在平面内必存在直线m 与直线l 垂直， 且平面内有无数条直线与直线m 平行， 故存在无限多条直线m ，使得l m ⊥.应选：B【点睛】此题主要考察直线与直线位置关系的断定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.,x y ∈R ，那么“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】假设2x y +>，那么x 、y 中至少有一个数大于1，即“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分条件， 反之，假设“x 、y 中至少有一个数大于1〞，那么x y +不一定大于2，如：2,1x y ==-；因此，“2x y +>〞是“x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件.应选：A .,b c R ∈，使2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，那么〔〕A.M 的最小值为1B.M 的最小值为2C.M 的最小值为4D.M 的最小值为8【答案】B 【解析】 【分析】先令2()f x x bx c =++，由题意，得到(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，推出2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，三式相加得2221644-++++≤b c b c c M ，根据绝对值不等式的性质定理，得到22216416422-++++≥++b b c b c c b ，再由题中存在,b c R ∈，使结论成立，可得：只需2min44126≥++b M b ，进而可得出结果.【详解】因为2++≤x bx c M 对任意的[]0,4x ∈恒成立，令2()f x x bx c =++，那么只需(0)(4)()2f M f Mbf M⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，即21644c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以2164222c M b c Mb c M ⎧⎪≤⎪⎪++≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩，所以以上三式相加可得：2221644-++++≤b c b c c M ，由绝对值不等式的性质定理可得：22221642162224416-++++≥-++++=++b b b c b c c c b c c b ，因此只需()222min minmin 14416412822648⎛⎫⎛⎫≥++=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b M b b b 即2M≥.应选：B【点睛】此题主要考察求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，那么10S =〔〕A.45B.1012C.2036D.9217【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】因为集合{1,2,3,,10}M=⋅⋅⋅，集合A M ⊆，()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集，由题意可得：()M A 可能取的值是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， 那么一共有92个1；82个2；72个3；62个4；……，02个10； 因此98760102223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ， 所以1098711022223242102=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯S ，两式作差得101098761102(12)222222101012--=------⋅⋅⋅-+=-+-S112122036=-+=-，所以102036=S .应选：C【点睛】此题主要考察含n 个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型.三.解答题〔本大题一一共5题，一共14+14+14+16+18=76分〕 17.如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.〔1〕求圆锥的侧面积和体积； 〔2〕求异面直线CD 与AB 所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕【答案】〔1〕侧面积，体积8π；〔2〕14.【解析】 【分析】〔1〕根据圆锥的侧面积公式，以及体积公式，结合题中数据，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】〔1〕因为圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，所以其母线长为==PA因此圆锥的侧面积为122π=⋅⋅⋅=S PA OA ； 体积为：2183ππ=⋅⋅⋅=VOA PO ； 〔2〕由题意，易得：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如以下图的空间直角坐标系，那么(2,0,0)C ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,0,6)P ，又点D 是母线PA 的中点，所以(0,1,3)-D ，因此()2,1,3=--CD ，()0,4,0AB =，记异面直线CD 与AB 所成角的大小为θ，所以cos cos ,14θ⋅-=<>===CD AB CD AB CD AB，因此，异面直线CD 与AB所成角的大小为.【点睛】此题主要考察求圆锥的侧面积与体积，以及异面直线所成的角，熟记圆锥的侧面积公式与体积公式，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.2()cos 2sin f x x x x =-.〔1〕求()f x 的最大值； 〔2〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.【答案】〔1〕最大值为1；〔2〕2a =.【解析】 【分析】〔1〕先将函数解析式化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可得出最大值；〔2〕先由题意得到1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，得:2a b c =+；由2AB AC ⋅=得4bc =，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】〔1〕2()cos 2sin 2(1cos2)2cos21=-=--=+-f x x x x x x x x2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由x ∈R 可得26π+∈x R ，因此1sin 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max ()211=-=f x ；〔2〕由()0f A =得2sin 2106π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭A ，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以132666πππ<+<A ，因此5266ππ+=A ，所以3A π=；由b 、a 、c 成等差数列，可得:2a b c =+； 又2AB AC⋅=，所以1cos 22==bc A bc ，即4bc =， 由余弦定理可得：222222cos ()22cos 412=+-=+--=-a b c bc A b c bc bc A a ，解得：2a=.【点睛】此题主要考察求正弦型函数的最大值，以及解三角形，熟记正弦函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型.19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的间隔〔并结合车速转化为所需时间是〕，当此间隔等于HY 间隔时就开场HY 提醒，等于危险间隔时就自动刹车，某种算法〔如以下图所示〕将HY 时间是划分为4段，分别为准备时间是0t 、人的反响时间是1t 、系统反响时间是2t 、制动时间是3t ，相应的间隔分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v 〔米/秒〕，且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 随地面湿滑等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈〕.〔1〕请写出HY 间隔d 〔米〕与车速v 〔米/秒〕之间的函数关系式()d v ，并求0.9k=时，假设汽车到达HY 间隔时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是〔准确〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，HY 间隔均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？【答案】〔1〕22020v d v k=++，最短时间是3.1秒〔2〕汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，得到0123=+++dd d d d ，结合题中数据，即可得出函数关系式；再由0.9k =，得到汽车撞上固定障碍物的最短时间是20118==++d v tv v ，根据根本不等式，即可求出最值； 〔2〕根据题意，得到当0.5k =时，HY 间隔最大，推出222020802010++≤++<v v v v k ，求解即可得出结果.【详解】〔1〕由题意：HY 间隔201232020=+++=++v d d d d d v k ，当0.9k =时，22018=++v d v ，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间是为：20111 3.118==++≥=≈d v tv v 秒； 〔2〕由题意可得：2208020v d v k=++<，因为[0.5,0.9]k ∈，所以当0.5k=时，HY 间隔最大，因此，只需：2208010++<v v ，解得：3020-<<v ，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒，合72千米/小时.【点睛】此题主要考察函数模型的应用，以及根本不等式的应用，熟记根本不等式，以及不等关系即可，属2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .〔1〕假设||3FA =，求点A 的坐标；〔2〕假设2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；〔3〕假设||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公一共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕(2,±；〔2〕证明见解析；〔3〕存在，最小值2，(3,0)M .【解析】 【分析】〔1〕由抛物线方程以及抛物线定义，根据||3FA =求出横坐标，代入24y x =，即可得出点的坐标；〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到12120OA OB x x y y ⋅=+<，推出AOB ∠恒为钝角，即可得结论成立； 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，由||||FA FM =得1(2,0)+M x ，推出直线AB 的斜率12=-AB y k ．设直线1l 的方程为12yy x b =-+，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y=-，21141Ex y x ==，由三角形面积公式，以及根本不等式，即可求出结果.【详解】〔1〕由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-， 设()11,A x y ，由||3FA =及抛物线定义知，12x =，代入24y x =得y =± 所以A点的坐标(2,A或者(2,A -〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程是：2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<，故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． 〔3〕设()11,A x y ，那么110≠x y ，因为||||FA FM =，那么111-=+m x ，由0m >得12=+m x ，故1(2,0)+M x ．故直线AB 的斜率12=-AB y k ． 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．设(),E E Ex y ，那么14E y y =-，21141Ex y x ==，111111110014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥-，当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩得21144x x =，解得11x =或者10x =〔舍〕， 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min()2OAE S ∆=.【点睛】此题主要考察求抛物线上的点，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记抛物线的HY 方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型，但计算量较大.{}n a 满足：①n a ∈N 〔*n ∈N 〕；②当2k n =〔*k ∈N 〕时，2n na =；③当2k n ≠〔*k ∈N 〕时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S .〔1〕求1a ，3a ，9a 的值； 〔2〕假设2020nS =，求n 的最小值；〔3〕求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=〔*n ∈N 〕.【答案】〔1〕10a =，30a =或者1，90a =或者1；〔2〕115；〔3〕证明见解析.【解析】 【分析】〔1〕先根据题中条件，求出21a =，42a =，168a =，再结合题意，即可得出结果；〔2〕先由题意，得到122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-分别求出()64max S ，()128max S ，进而可求出结果；〔3〕先由242nn S S n =-+，根据题中条件，求出21+n a ，证明必要性；再由211()n a n N *+=∈，求出242n n S S n =-+，证明充分性即可.【详解】〔1〕因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=；42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或者31a =； 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或者91a =．〔2〕由题意可得：122()kk ak N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k ma m -+=-或者m ，11,2,3,,2 1.k m -=-23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++=，()128max 646571427942S ⨯=+=，71420202794<<，64128n ∴<<，又20207141306-=， 所以min6451115n =+=〔3〕必要性：假设242n n S S n =-+，那么：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141()n n n aa a n N ++*++++=-∈③ 由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或者11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或者1只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211()n a n N *+∴=∈；充分性：假设211()na n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)nn kak n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n *∈N ，都有2211n n a a -=+…〔I 〕另一方面，由2n ka k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n *∈N ，都有22nn a a =…〔II 〕2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+.【点睛】此题主要考察数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的求和公式，由递推关系求通项公式的方法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型，难度较大.。
2021年上海市松江区高考数学一模填空与解答题综合练习含答案
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．314．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{a n}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{a n}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性﹣a n|=n，1≤n≤63，n∈N*，由题意|a n+1∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，∴a n﹣a n=n，1≤n≤63，n∈N*，+1∴{a n}是增数列，综上，数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，a m﹣a m﹣1=±（m﹣1），假设a m=b1+b2+b3+…+b m﹣1，其中，b i∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（a m）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若a n中有k项，，，…，取负值，则有a m=（a m）max﹣（+++…+），（*）∴a m的所有可能值与（a m）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明a n可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，∴a m所有可能的取值共有：=个．。
上海市2021年高三数学一模汇编——三角函数(含答案)
上海市2021年高三数学一模汇编：三角函数长宁19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.杨浦18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R , 2()cos 3sin cos f x k x x x =+, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, 7a =, 3b =,求ABC △的面积S .19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．松江18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米． （1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．普陀区17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.闵行18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．()f x14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ． （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）金山17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．嘉定18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．黄浦18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若A 为钝角，且2sin 0a B =.(1) 求角A 的大小；(2) 记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.虹口18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈． （1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．奉贤区19、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．崇明18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．宝山1. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若＋＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．答案长宁区19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分 得BC=3620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………4分 所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分杨浦18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1) 解: 由题意()00==k f （2分）检验： ()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x （5分）∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（6分）(2)解: 2()cos cos 1f A A A A ==, 整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（8分）A 是三角形的内角∴π3A =（10分） 由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=, 即219726c c+-=整理得2320c c -+=,解得1c =或2c =（12分）1sin 24==S bc A ,或2.（14分）徐汇19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)S ＝（80-60cos α）（80-60sin α），51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，-----------------3分当矩形PGBF 为正方形时，4πα=，此时S PGBF =(280-≈1412（2m ）-------6分(2)S ＝3600sin αcos α－4800(sin α＋cos α)＋6400＝1800sin2α－48002sin(α+4π)＋6400 ＝－1800cos(2α+2π)－48002sin(α+4π)＋6400＝3600 sin 2(α+4π)－48002sin(α+4π)＋4600，51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-----------10分记t ＝sin(α+4π)∈[2,1],则236004600S t =-+对称轴为t ＝322，∵1－322＜322∴t 即∴α＝12π或512π时， max 1421S ≈（2m ）------------------------------------------------------14分（注意：若令sin cos t αα=+，则相应给分）松江18.已知2()cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分青浦19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-；（2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．普陀17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当3=a 时，1)62sin(212cos 2sin 3)(++=++=πx x x x f ……2分由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得63ππππ+≤≤-k x k ，所以此函数的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分浦东18．解：（1） 2ω=()f x 的单调递增区间：222262k x k πππππ-≤+≤+即36k x k ππππ-≤≤+()f x 的单调递增区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈（2）()sin(2)6f x x π=+，由()12A f =，sin()16A π+=，(0,)A π∈，3A π=由A B C π++=，23B C π+=，23B C π=-23sin sin sin()sin sin )326B C C C C C C ππ+=-+=+=+ 250,3666C C ππππ<<∴<+<，1sin()126C π<+≤ sin sin B C +的取值范围为⎝ 闵行18．[解]（1）()f x x x =+， ………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-． ………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin()=42x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 静安14．解：（1）在ABC ∆中，45180=∠-∠-=∠CBA CAB ACB ，（1分）由正弦定理，有ACBABCBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） ()f x所以，65045sin 60sin 100=⨯=AC 米．（2分） DAC AC CD ∠=tan25030tan 650=⋅= 米．（1分）（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅-+（3分）βααcos tan 22tan 21002-+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有DF βααcos sec 3264sec 4326502+-++=米．（同样给分） 【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 所以，αtan 100=AE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米．（2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+-++-=米． （2分） 【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ．（2分）由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 解得，αsec 100=BE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分）截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+-++-=米． （2分）金山17．解：(1) 在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=，………………………………2分即)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c ， ………………………………………………………………4分整理，得01242=-+c c ，…………………………………………………………………………6分解得2=c ； …………………………………………………………………………………………7分 (2)在ABC△中，由余弦定理得，acb c a B 2cos 222-+=，……………………………………9分得33cos =B ，……………………………………………………………………………………11分311cos 22cos 2-=-=B B . ……………………………………………………………………14分嘉定18、（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．黄浦18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1)ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，2sin 0a B =，∴ 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴ sin A =A 为钝角，即2A ππ<<，34A π∴=. (2)B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，且04x π<<. ∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+sin()3x π=-.又04x π<<，可得1263x πππ<-<.考察函数sin y x =的图像，可知sin sin()123x ππ<-<.3sin()1232x ππ<-<. 所以函数()f x的值域是3,)122π. (写成3)2也可以) 虹口19、（14分）解：（1）由条件，得505303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222159165cos 215927APB +-∠==⨯⨯ ,所以5arccos 27APB ∠=； (6)（2）由条件①，得505303PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分22222(5)(3)1617128cos 25315t t t APB t t t +--∠==⨯⨯ , sin APB ∠=……10分 则=∆PAB S 11165322h t t ⨯⨯=⨯⨯=900)34(440961088162224+--=-+-t t t当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =千米，PB =.…………14分奉贤居民生活区 北崇明18.解：（1）1cos2)()sin 2sin(2)2232x f x x x π+=-=--...........................4分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分（2）由()f A =1sin(2)=32A π- 因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 24b c a b A bc b +--===b =...........................6分所以1sin 12ABCSbc A ==...........................8分 宝山19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 2π ω＝2π，所以ω＝1，故f (x )=sin(x ＋φ)，因为f (x )的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，即 sin φ=0，注意到－π2＜φ＜π2，因此，φ=0．（2） 由（1）得f (x )=sin x ，故由已知，可得2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A ▪sin B ▪sin C ＋sin 2A ，利用正、余弦定理，并整理得sin A －cos A ＝b 2＋2c 22bc ，因为 b 2＋2c 22bc ≥2，所以 sin A －cos A ≥2，又sin A －cos A ＝≤2，所以sin A －cos A ＝2，且b =2c ，A ＝3π4， 故b ·f (B ＋C )c ＝2c ·sin(B ＋C )c＝2sin A ＝1．。
2021年上海各区数学高三一模各板块汇编——数列汇编--教师版
数列汇编一：填空题【徐汇1】计算：222lim 253n n n n n →∞+=-+__________【参考答案】12【解析】由arccos y x =，[1,0]x ∈-，可得[,]2y ππ∈，故其反函数为cos y x =，[,]2x ππ∈.【松江1】 ． 【答案】【解析】 【长宁3】计算：121lim 31n n n +→∞+=-__________．【答案】0【解析】1212+2133lim 013113n n n nn n n+→∞+==--．【普陀4】设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为12，则3a = 【参考答案】14【解析】无穷等比数列{}n a 的各项和S =113=21,1a a a q ∴==-，14【青浦6】已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差2d =，其前n 项和为n S ，则2()lim n n na S →∞= ． 【答案】4【解析】等差数列d n a a dn n na S n n )1(2)1(11-+=-+=，代入求得极限为4. 【嘉定区7】设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．3lim 32nnnn →∞=+131lim lim13221+3nnn n n n →∞→∞==+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】32【徐汇7】用数学归纳法证明：2511222n -+++⋅⋅⋅+()n ∈*N 能被31整除时，从k 到1k +添加的项共有 项（填多少项即可） 【参考答案】5【解析】n k =时，2511222k -+++⋅⋅⋅+；1n k =+时，2541222k ++++⋅⋅⋅+， 增加的项为55152535422222k k k k k ++++++++，故添加的项共有5项. 【闵行区9】已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足15|1|02()(2)22x x f x f x x --≤<⎧=⎨--≥⎩，设()f x 在[22,2)n n -（*n ∈N ）上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为 【参考答案】64【解析】当1n =时，[)02x ∈，，即02x ≤<时，151f x x =--（），显然10x -≥， 所以15015f x ≤-=（），当且仅当1x =时最大，即115a =。
2021届松江区一模数学试卷
高三数学 第1页 共4页松江区2020学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2020．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．3lim 32n n n n →∞=+ ▲ ． 2．若集合{}13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，则A B = ▲ ．3．已知复数z 满足(1i)1i z ⋅-=+（i 为虚数单位），则z = ▲ ．4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-= ▲ ． 5．抛物线24y x =-的准线方程是 ▲ ． 6．已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x =对称，则(3)f = ▲ ．7．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率为 ▲ ．8．在262()x x +的二项展开式中，常数项等于 ▲ ．9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3220cos 1b c a B +=，则角A = ▲ ．10．从以下七个函数: y x =,1y x=,2y x =,2x y =,2log y x =,sin y x =,cos y x =中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x = ▲ ．高三数学 第2页 共4页 11．已知向量1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为 ▲ ． 12．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ．若函数2()log 1g x x =-(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知两条直线1l 、2l 的方程分别为1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，则“2a =”是“直线12l l ⊥”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在正方体1111ABCD A B C D - 中，下列四个结论中错误．．的是（ ） （A ）直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒（B ）直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒（C ）直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒（D ）直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15．设00,x y >>，若121x y+=，则y x 的（ ） （A ）最小值为8（B ）最大值为8（C ）最小值为2 （D ）最大值为216．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是( )（A ）(8,14]（B ）(14,18] （C ）(18,20]（D ）81(18,]4高三数学 第3页 共4页三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC ．过1A 、1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数2()3sin cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域； （2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31k x t -=+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?图1 图2高三数学 第4页 共4页 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知椭圆12222=+Γby a x ：（0>>b a ）的右焦点坐标为)0,2(，且长轴长为短轴长的2倍．直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆的面积为22，求直线l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠， 点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN 、M N '分别与x 轴相交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅ 为定值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=．若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A 、B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”．（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集”，请说明理由；（2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11a =，1d =或2； （3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”．。
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高三数学
（满分150分，完卷时间120分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5
分，否则一律得零分．
1．3lim 32n
n n
n →∞=
+▲．
2．若集合{}
13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，则A B ∩=▲．3．已知复数z 满足(1i)1i z ⋅-=+（i 为虚数单位），则z =▲
．
4．若1
sin 3
α=
，则cos(2)πα-=▲．5．抛物线24y x =-的准线方程是
▲
．
6．已知函数()f x 图像与函数()2x
g x =的图像关于y x =对称，则(3)f =
▲
．
7．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率为▲
．
8．在2
6
2(x x
+的二项展开式中，常数项等于
▲．
9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 2201
c a B
+=，则角A =
▲．
10．从以下七个函数:y x =,1y x
=
,2y x =,2x
y =,2log y x =,sin y x =,cos y x =中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =
▲
．11．已知向量1a b c === ，若1
2
a b ⋅= ，且c xa yb =+ ，则x y +的最大值为
▲
．
12．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得22
1212()()2()f x f x f x x ==+，
则称函数()f x 具有性质M ．若函数2()log 1g x x =-(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为
▲．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知两条直线1l 、2l 的方程分别为1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，则“2a =”是“直线12l l ⊥”的（
）
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列四个结论中错误．．
的是（）
.A 直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒.B 直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒.C 直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒.D 直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒
15．设00,x y >>，若121x y
+=，则
y
x
的（）
.A 最小值为8.B 最大值为8.C 最小值为2.D 最大值为2
16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则
实数k 的取值范围是(
)
.A (8,14].B (14,18].C (18,20]
.D 81(18,]
4
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC ．过1A 、
1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积．
图1
图2
已知函数2()cos cos 1f x x x x =
++．
（1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31
k
x t -=
+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件),促销费t 至少为多少(万元)?
（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为3
32+
x
（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?
已知椭圆122
22=+Γb
y a x ：（0>>b a ）的右焦点坐标为)0,2(倍．直线l 交椭圆Γ于
不同的两点M 和N ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆的面积为l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠，点M 关于x 轴的对称点为M '，直线
MN 、M N '分别与x 轴相交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅为定值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =⋯，记12()m P M a a a =+++⋯，特别规定()0P ∅=．若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A 、B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”．
（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集”，请说明理由；
（2）若12,,,m a a a ⋯由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11a =，
1d =或2；
（3）若12,,,m a a a ⋯由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”．。