2020考研数学二真题完整版

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一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.0x +→，无穷小最高阶

A.()2

0e 1d x t t -⎰

B.(0ln d x

t ⎰

C.sin 20sin d x

t t ⎰

D.1cos 0t -⎰ 2.1

1ln |1|()(1)(2)

x x e x f x e x -+=--

A.1

B.2

C.3

D.4

3.10x =

⎰ A.2π4

B.2π8

C.π4

D.π8

4.2()ln(1),3f x x x n =-≥时，

()(0)n f = A.!2n n --

B.!2

n n - C.(2)!n n

-- D.(2)!n n

-

5.关于函数0(,)00

xy xy f x y x

y y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出以下结论 ①(0,0)

1

f

x ∂=∂ ②2(0,0)

1f x y ∂=∂∂ ③

(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →= ④00limlim (,)0y x f x y →→=正确的个数是

A.4

B.3

C.2

D.1

6.设函数()f x 在区间[2,2]-[上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ） A.(2)1(1)

f f ->- B.(0)(1)

f e f >- C.2(1)(1)

f e f <- D.3(2)(1)

f e f <- 7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*A x =0的通解为（ ）.

A.112233x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数

B.112234x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数

C.112334x k k k ααα=++，其中，123,k k k ，后为任意常数.

D.122334x k k k ααα=++，其中123,k k k 为任意常数

8.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 属于1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特

征值-1的特征向量，则满足1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵

P 可为（ ）. A.1323(,,)αααα+-

B.1223(,,)αααα+-

C.1333(,,)αααα+--

D.1233(,,)αααα+--

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

9.

设(ln x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则212t d y dx ==_______.

10.10dy =⎰_____.

11.设arctan[sin()]z xy x y =++，则(0,)|dz π=______.

12.斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为______

13.设()y y x =满足20y y y '''++=，且(0)0,(0)1y y '==，则0()d y x x +∞=⎰_____

14.行列式01101

1110110a

a a

a --=--________

三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分） 求曲线1(0)(1)x

x

x y x x +=>+的斜渐近线方程. 16.（本题满分10分）

已知函数()f x 连续且100()lim 1,()(),'()x f x g x f xt dt g x x

→==⎰求并证明'()0g x x =在处连续.

17.（本题满分10分）

33(,)8f x y x y xy =+-极值

19.（本题满分10分）

平面D 由直线1,2,x x y x x ===与

轴围成，计算.D 20.（本题满分11分）

2

1().x r f x e dt =⎰ （1）证：存在2

(1,2),()(2);f e ∈=-ξξξξ

（2）证：存在2(1,2),(2)ln 2.f e ∈=⋅ηηη

21.（本题满分11分）

()f x 可导，()0(0)f x x '>≥过原点O 上任意M 切线与X 轴交于T ，MP x ⊥轴，(),y f x MP x =轴围成面积与MTP ∆面积比为3：2，求曲线方程.

22.（本题满分11分）

设二次型22212312

3121323(,,)222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++经可逆线性变换

112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

得()22212312312,,42g y y y y y y y y =+++. （1）求a 的值；

（2）求可逆矩阵P.

23.（本题满分11分）

设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且是不是A 的特征向量.

(1)证明P 为可逆矩阵.

(2)若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.