最新4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【学习目标】1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．【学习重难点】重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 【预习指导】（1）一楼屋顶C ’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？（2）在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？（3）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？【合作探究】空间两点间的距离公式问题：在研究这一问题之前，我们先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=例1 课堂一开始提到的问题。
例2在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，H 为三角形ABC 的外心，求点P 与H 的距离？ 【巩固练习】 教材P138练习1、2、3、4题 【当堂检测】1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63【解析】设P(x ，y ，z)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.【答案】 A图4-3-32．如图4-3-3，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别在xOy 平面和z 轴上移动．若AB ＝2，则点C 到原点O 的最远距离为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．3【解析】 连结OA ，△AOB 为直角三角形(图略)，设D 为AB 的中点，当OD⊥AB 时，O 到AB 的距离最大为1，又C 到AB 的距离为3，所以C 到O 的最远距离为3＋1，故选C.【答案】 C3．(2014·景德镇高一期末)在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】 S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2， S △ABC ＝34×|AB|2＝34×8＝2 3.故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3图43 44．(2014·江苏苏州中学周练)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图434所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【拓展延伸】图4-3-1如图4-3-1，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ|的最小值．【解】 (1)当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q(0，a ，z)． 则|PQ|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a.即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为22a.(2)因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ⊥AB 时，|PQ|最短．连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为22a.【课堂小结】今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第3题【教学反思】。
4.3.2空间两点间的距离公式人教A版高中数学必修2
A
)
空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公 式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点 间的距离的求解．设P(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 |P1P1|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 ，当P1，P2两点落在 了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转 化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐 标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式.
练在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定
一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最小．
6 1.点 A(1,1,2)与点 B(0,-1,3)间的距离为__
2.若 A(4,－7,1),B(6,2,z),|AB|＝11,
－5或7 则 z＝________.
3．点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点， 设它关于 y 轴的对称点为 Q，则 PQ 的长为( A．2 5 C．3 2 B． 5 2 D． 2 3
2 2 2
例1 求证：以 A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3) 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
练在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点
A(1,0,2)与点 B(1，－3,1)的距离相等．
例2
在 yOz 平面上求与三个已知点 A(3,1,2)，
B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
M( x1 , y1 , 0), N( x 2 , y 2 , 0)
O P1
x
2
y
N M
2
MN
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
思考2:点P1、P2的距离如何计算？ z P2 P1 A O y N x M
高一数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式
【做一做】 在空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和点 B(2,-1,6)间
的距离是( )
A.2 43 B.2 21
C.9
D. 86
解析:|AB|= (-3-2)2 + (4 + 1)2 + (0-6)2 = 86.
答案:D
重难点突破
12
1.对空间两点间距离公式的两点说明 剖析:(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推 广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体 现了化空间为平面的转化思想. (2)若已知两点的坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点 间的距离求参数或点的坐标时,则应利用公式建立相应方程求解.
∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
∴|DE|= (1-0)2 + (1-1)2 + (0-2)2 = 5,
|EF|= (0-1)2 + (1-0)2 + (2-0)2 = 6.
题型一 题型二
精选例题
反思空间两点间的距离公式是本小节的重点,也是将来在选修模块 中继续学习空间直角坐标系的基础.应用两点间的距离公式列出方 程,是求解此类问题的常用方法,体现了两点间距离公式的应用.
精选例题
题型一 题型二
变式训练2】 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC的 形状.
本节结束，谢谢观看！
解:由题意,得
|AB|= (4-1)2 + (2 + 2)2 + (3-11)2 = 89,
空间两点间距离公式
d x y02 z02 y d y x02 z02
d z x02 y02
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
课堂小结
一、空间两点间的距离公式：
d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
二、空间中点坐标公式：
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
z
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
AC 1 32 5 12 2 52 29
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (2)BC边上中线AM的长。
AM ?
例2:求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
4.3.2 空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式
1 (y 1) 2 .
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2, 所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.
【延伸探究】 1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得 △ABP是以AB为底边的等腰三角形?
5 5
答案: (0,－ 24 ， 0)
5
【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 ,则可直接设出该点坐标, 利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上 找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 17，则P点的坐标为 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得, | PQ | 17， 即 .
2.空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.
【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明 (1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何 意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面 中处理. (2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、 线线垂直的相互转化.
【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三 角形,即|PA|=|PB|, 得
0－4
2
0－5 z－6
课件6：4.3.2 空间两点间的距离公式
课堂小结 空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式 的推广，常应用在四个方面：一是根据坐标求距离； 二是根据距离求点的坐标；三是利用边长判断三角 形的形状；四是求空间中点的轨迹方程．目的都是 考查空间中两点间距离公式，解答时可类比平面上 解决类似问题的方法．在求轨迹方程时，注意理解 方程表示的图形．
4．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O是坐标原 点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________． 解析：由题意P(0,0,1)或P(0,0，－1), 所以|PA|＝ 2 或 6 . 答案： 2 或 6
题型一 求空间两点间的距离
例1 如图所示，在长方体OABCO1–A1B1C1中，|OA|＝2， |AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC中点，作OD⊥AC于D，求点O1 到点D的距离．
A. 13
B．2 5
C．5 D. 29
解析：点 P 在 y 轴的射影 P′为(0,3,0)， ∴|PP′|＝ 22＋42＝ 20＝2 5. 答案：B
3．已知点A(－3,1,4)关于原点的对称点为B，则线 段|AB|的长为________．
解析：|AB|＝2|OA|＝2 －32＋12＋42＝2 26. 答案：2 26
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
自测自评
1．坐标原点到下列各点的距离最小的是( A )
A．(1,1,1)
B．(1,2,2)
C．(2，－3,5)
D．(3,0,4)
2．点P(2,3,4)到y轴的距离是( )
练习1.点M(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距为： ___x_2_＋_y_2_＋__z_2 _. 练习2.如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表 示什么图形？_表__示__球__心__为__O_，__球__半若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x， y，z满足什么关系式？你能想象点P的集合是 什么吗？
4.3.2空间中两点间的距离公式
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
讲授新课
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R．
点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴 z
上的坐标x，y和z，那么点M的空
间坐标为（x，y，z）．
P
R M
O
M’
Q
y
x
讲授新课
2 2
2
公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
讲授新课
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５ ） Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ 分析：利用两点间距离公式可得
课堂练习
①在空间中，已知点A(1,0,-1)，
3 2 B (4,3,-1)，求A，B的距离_______.
②在空间中， P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的 距离是________ 3
z
P A C o
B
y
2
AP AC CB BP
2
2
2
2
2
x
2
AP ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
讲授新课
总结:在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
z
D`
A` B`
C`
Q
O C B y
A x
课堂练习
3.在空间直角坐标下， 如何找到给定坐标 z D（1，3，4）的空 间位置
D
4
O D` 3 y
两点间距离的计算公式
两点间距离的计算公式在我们的数学世界里，两点间距离的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多几何谜题呢！先来说说这个公式到底是啥。
两点间距离的计算公式是：d = √[(x₂- x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。
这里面的 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 就是两个点的坐标。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了两个点，一个叫 A 点，坐标是(3, 4)，另一个叫 B 点，坐标是(6, 8)。
我问同学们：“大家猜猜这两个点之间的距离是多少呀？”结果大家都一脸懵，有的开始在草稿纸上乱画，有的皱着眉头苦思冥想。
这时候，有个平时特别调皮的小男生举起手说：“老师，这也太难了，能不能给点提示？”我笑着说：“行，那老师给你们一点小提示，咱们不是刚学了两点间距离的计算公式嘛，大家试着用用看。
”于是，同学们纷纷开始动笔计算。
过了一会儿，一个小女孩兴奋地站起来说：“老师，我算出来了，是 5！”我赞许地点点头，然后让她到黑板上来给大家讲讲是怎么算的。
小女孩一笔一划地在黑板上写下：x₁ = 3，y₁ = 4，x₂ = 6，y₂ = 8，然后代入公式：d = √[(6 - 3)² + (8 - 4)²] = √[3² + 4²] = √25 = 5 。
看着她认真的样子，同学们都忍不住给她鼓掌。
通过这件事，我发现让同学们自己动手去算，去思考，比我单纯地讲效果要好得多。
那这个两点间距离的计算公式到底有啥用呢？比如说，在地图上，我们要知道两个地点之间的实际距离，就可以先把这两个地点在地图上的坐标找出来，然后用这个公式算一算。
再比如，建筑设计师在设计大楼的时候，要确定两个支撑点之间的距离，也能用到这个公式。
而且，这个公式可不只是在平面上有用哦。
在三维空间里，也有类似的计算公式，只不过多了一个 z 轴的坐标。
比如说，要计算空间中两个点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 之间的距离，公式就变成了：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] 。
4.3.2 空间两点间的距离公式参考答案
14.3.2空间两点间的距离公式【学习探究】【预习提纲】222zy x ++ ；221221221)()()(z z y y x x -+-+-.【处理方式】类比平面上的两点间的距离公式得出空间两点间的距离公式. 【基础练习】1．6.2. )3,0,0(-.3. 29.4.求证：以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -三点为顶点的三角形是等腰三角形. 证明：根据空间两点间距离公式，得7)96()11()410(||222=-+--+-=AB ，7)39()41()24(||222=-+-+-=BC ，98)36()41()210(||222=-+--+-=AC .因为,9877>+且||||BC AB =，所以ABC ∆是等腰三角形.【典型例题】例1【审题要津】建立如图坐标系，易求点1B ，D B ,的坐标，借助中点坐标公式可求出点E 的坐标，利用两点间的距离坐标公式即可解答此类问题.解：由题意得：)2,4,3(),0,4,0(),0,0,3(1B C A .设)0,,(y x E ，在ADC Rt ∆中，5||,4||,3||===AC CD AD ， 512||=∴DE ，在ADE Rt ∆中，2548325144|,|||2==∴⋅=x AD x DE .在CDE Rt ∆中，2536425144|,|||2==∴⋅=y AD y DE .)0,2536,2548(E ∴. 52934)25364()25483(||221=+-+-=∴E B .【方法总结】结合具体图形建立适当的空间直角坐标系，可以求图形中一些特殊点之间的距离，与平面直角坐标系中一样，在空间直角坐标系中，也可以求满足一定条件的点的轨迹方程.例2 【审题要津】（1）点P 为对角线的中点，易求点P 的坐标，而点Q 在棱CD 上运动，其坐标是随Q 点的位置变化，它的横、纵坐标不变，而竖坐标在变化，设出点Q 的坐标，建立||PQ 与竖坐标的函数关系，借助代数思想解决即可（2）同（1）的解法. 解：设正方体的棱长为a ，（1）当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是)2,2,2(aa a .2点Q 在线段CD 上，设),,0(z a Q ，2221)2(||aa z PQ +-=∴.∴当2a z =时，||PQ 的最小值为a 22，即当Q 为棱CD 的中点时，||PQ 有最小值a 22.（2） 点P 在对角线AB 上运动，Q 为定点， ∴当AB PQ ⊥时，||PQ 最短.当点Q 为棱CD 的中点时，QAB BQ AQ ∆=|,|||是等腰三角形， ∴点P 是AB 的中点时，||PQ 取得最小值a 22.【方法总结】建立空间直角坐标系，用点的坐标表示给定的点的位置，将空间几何问题转化为代数问题，借助函数的知识加以解决是一种重要的思想方法.【自我检测】1.D2.C3.C4.D 5．球面 ；6.230;7. 解：由已知，得点N 的坐标为)0,32,3(a a ，点M 的坐标为)32,,,3(a a a .所以a a a a a a MN 35)320()32()33(||222=-+-+-=.8. 解：由题意得：)1,0,0(),0,1,1(1D B ，故1BD 的中点为)21,21,21(P . 点Q 在棱1CC 上，Q ∴的坐标可设为)10)(,1,0(≤≤a a . ||||21QC Q C =，)32,1,0(,32||Q QC ∴=∴.从而619)3221()121()021(||222=-+-+-=PQ .9.解： 面⊥ABCD 面ABEF ，面 ABCD 面,,BE AB AB ABEF ⊥=⊥∴BE 面ABC .BE BC AB ,,∴两两垂直.∴以B 为原点，分别以BC BE BA ,,所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,22,22(),221,0,22(a a N a a M -.3222)0221()220()2222(--+-+-=∴a a a a MN21)22(1222+-=+-=a a a .∴当22=a 时，MN 最短，最短为22，此时，N M ,恰好为BF AC ,的中点.。